（材料加工工程专业论文）1420alli合金特深模锻件成形的有限元模拟及偏心问题研究.pdf

重庆大学硕士学位论 摘要 摘要 1 4 2 0 a 1 l i 合金锻件是西南铝加工厂生产的一种特深模锻件，在航天 航空工业上有十分重要的用途。然而在生产中出现了上下壁厚差严重的现 象，使生产效率降低了，成本增加了。本文针对这个问题，首先从理论上 分析了挤压时金属流动的情况，然后用有限元软件a n s y s 模拟了锻件成 形的过程，给出了其网格变形图，等效应力、等效应变、压力分布图和金 属流速图，载荷压下量曲线，发现在冲头小头导角处等效应力和等效应变 是最大的，是变形最剧烈的地方，金属流动速度和压力也是最大的。再用 主应力法推导了计算变形力的公式，并计算出不同摩擦系数时的变形力。 然后具体分析了各种因索对锻件偏心的影响，特别是润滑不均和冲头与挤 压筒轴线不重合对偏心的影响。并分析了它们产生的原因，然后通过对实 测的壁厚的数据的分析，找出其偏心的规律，对其进行了解释。最后提出 了几条减小偏心的措施，并成功的应用于生产实践中。 关键词：特深模锻件偏心壁厚差刚塑性有限元模拟 重盎奎鲎堡主堂垡堡 些! ! 坠兰! a b s t r a c t t h e1 4 2 0a l u m i n u ma l l o yi sak i n do f s p e c i a ld e e pf o 哂n g a n d i ti su s e d w i d e l yi ns p a c ea n da i ri n d u s t r y h o w e v e r ，t h e r es t i h e x i s t st h ef a c to ft h e s e r i o u sv a r i a n c eo f t h et o pa n db e i t e mt h i c k n e s so f t h ep r o d u c t a n di tr e d u c e s t h e p r o d u c t i v ee f f i c i e n c ya n d i n c r e a s e st h ec o s to f p r o d u c t i o n t h em a i np u r d o s e o f t h i st h e s i si st or e s e a r c ht h ef a c t o r st h a ti n f l u e n c et h ev a r i a n c ea n dt h ep o s s m l e w a yt o e l i m i n a t et h ev a r i a n c e f i r s t l y w et h e o r e t i c a l l y a n a l y z e t h e l i q u i d c h a r a c t e r so f t h em e t a lw h e n f o r g i n ga n dp u n c h i n gw e a l s op r a c t i c a l l ys i m u l a t e t h ep r o c e s so ff o r m i n go ft h e1 4 2 0a l u m i n u ma l l o yw i t ht h ef i n i t ee l e m e n t a n a l y s i ss o f t w a r ea n s y sa c c o r d i n g t ot h e p i c t u r eo f f l o w a n ds l r e s s w e 南u n d t h a tt h ee q u i v a l e n ts t r e s sa n de q u i v a l e n ts t r a i nr e a c hi t s h i g h e s tp o i n ta tt h e c o m e ro ft h el i t t l eh e a do ft h ep u n c ka n di ti sa l s ot h ep l a c ew h e r et h em e t a l f l o w sm o s t q u i c k l y a n dt h e p r e s s u r e i s h i g h e s ts e c o e d l yw ed e d u c tt h e f o r m u l a t i o no f t h ef o r c e o f f o r g i n gp r o c e s s , w ef o u n d t h a tt h ei n h o m o g e n e i t yo f i u b r i c a t i o na n dt h eo d d so ft h ep u n c ht ot h ef i g h ta x e sm a yb et h em o s t i m p o r t a n tf a c t o r st h a tl e a dt ot h ev a r i a n c et h ea n a l y s i so f t h ep r o d u c td a t aa n d t h ed i ec h a r a c t e rd a t ah a sp m v e do u re s t i m a t i o n f i n a l l yw eb r i n gu paf e w m e a s u r e st od e c r e a s et h ev a r i a n c e , a n ds o m eo f t h e mh a v eb e e n i d e a l l ya p p l i e d t ot h e p r a c t i c a lp e r f o r m a n c e k e yw o r d ：s p e c i a ld e e pf o i 娶i n gv a r i a n c e r i g i d p l a s t i cf i n i t ee l e m e n t s i m u l a t i o n 重盎盔堂堡主堂焦堕壅 一一! 兰! 鱼 1 绪论 1 1 本课题的提出及研究意义 金属塑性成形技术是一种少切屑、无切屑的金属加工方法。它不仅 具有生产效率高、产品质量稳定、原材料消耗少的优点，而且还可有效地 改善金属的组织性能，因而广泛地被应用于机械、电子电器、航天航空、 船舶、兵器等工业生产部门的产品生产。据统计，在汽车生产中7 0 以上 的零部件是由金属塑性加工而成的。因此，金属塑性成形技术一直是为广 大科技工作者所关注和潜心研究的课题。同时也是一个理论性与实用性很 强的研究的领域。 常见的金属塑性成形工艺包括锻造、挤压、轧制、拉拔和板料冲压 等。而挤压加工在轻合金工业体系中占有特殊的地位。这是因为近些年来， 随着科学技术的不断进步和国民经济的飞速发展，使用部门都对铝合金产 品的精度、形状、表面光洁度等各种质量指标提出了新的要求，而向用户 保证供应符合各种质量要求的轻合金产品，采用挤压加工技术生产比用其 他压力加工方法有更大的优越性和可靠性，因为挤压加工有下列特点： ( 1 ) 在挤压过程中，被挤压金属在金属变形区能获得强烈和均匀的 三向压缩应力状态，这就可充分发挥被加工那些用其他加工方法加工有困 难的金属。 ( 2 ) 用挤压法不但可以生产端面形状较简单的管、棒、型、线产品， 而且可生产断面变化、形状极复杂的型材和管材，这类产品用轧制法或其 他压力加工方法生产是很困难的，甚至是不可能的。这对于减少设备投资、 节能、提高金属利用率、降低产品的总成本具有重大的意义。 ( 3 ) 挤压加工灵活性很大，只需要更换模子等挤压工具即可在一台 设备上生产形状、规格和品种不同的制品， ( 4 ) 挤压制品的精度比轧制材的产品的精度高，制品表面质量也较 好。这不仅大大减少总工作量和简化了后步工序，同时也提高了被挤压金 属材料的综合利用率和成品率。 ( 5 ) 工艺流程简短、生产操作方便。 由于金属挤压成形过程伴随着很大的塑性变形，而塑性变形过程中既 存在几何非线性( 应变与位移之间的非线性) 特征，又有物理非线性( 应力与 应变之间的非线性) 特征，加之边界条件的复杂性及数学处理上的困难， 因而长期以来人们只能通过采用简化、假设和利用实验、经验数据以及图 解、模型等方法，即回避这些难点才能分析金属挤压成形问题。这无疑难 以适应飞速发展的工业生产的需要。 重壅盔堂堡主堂垡堡奎 一l _ 蔓! 笙 金属挤压成形工艺由以前的经验分析到定量分析，这是现代科学发展 的必然趋势，而计算机数值模拟技术正是在这种情况下发展起来的。采用 有限元数值模拟技术，模拟整个工艺过程，可以观察工件成形的情况，分 析变形工艺参数与工件质量之间的关系。随着我国经济的快速发展和人民 生活水平的迅速提高，铝合金挤压型材在生产和生活中得到了大量的应 用，铝型材加工业得到了迅速的发展。与此同时，对产品的质量的要求也 就越来越高，这就要求人们更好的了解和控制生产过程。在这一方面，有 限元数值模拟就具有明显的优越性。这一研究工作的开展将会极大的促进 挤压成形技术的发展。 1 4 2 0 合金是一种铝铿合金，早在1 9 6 0 1 9 6 5 年间。就由前苏联研制 如来了，它具有高强度、高比强度、低密度等优点，广泛的用于航空航天 领域，例如，前苏联曾把它用在米格2 9 飞机上。目前1 4 2 0 铝合金已经用于 代替了常规的铝合金在航天航空上的应用，并且是在航空航天工业应用量 最大的铝锂合金。西南铝加工厂生产的1 4 2 0 铝锂合金锻件是一种特深模锻 件，出模方向高度达1 4 2 6 m m ，在航空航天上有很重要的用途。然而，在 生产过程中出现了严重的偏心问题，使得成品壁厚差大，不符合产品要求， 需要进行二次加工，有的产品甚至报废。这大大的影响了生产效率，增加 了成本。而且由于该材料属于战略尖端材料，各国对资料进行了保密，很 难又经验借鉴。为了打破别国的技术封锁，增加我国在生产特深模锻件方 面的经验，减少经济损失，有必要对其进行研究。本课题就旨在模拟其成 形过程，研究锻件产生偏心的原因，并分析生产中的各种因素对偏心大小 的影响，找出合理的解决办法。 1 2 金属塑性成形理论分析方法概述 金属塑性成形的分析方法主要有主应力法，滑移线法，视塑性法，上 限法等经典分析方法，以及近年来发展的边界元法，有限元法等数值分析 方法。 主应力法等传统的经典分析理论在金属塑性成形理论的发展过程中起 着一定的作用，它们可以预测成形载荷以及定性描述金属流动模式。但是 它们均只能近似的了解诸如摩擦条件，材料性质及工件几何形状等参数对 金属流动特性的影响，金属成形过程越复杂，其计算结果与实际情况差别 越大。随着现代工业的迅速发展，几何形状复杂的高精度金属产品的需求 量越来越大，相应的对金属塑性成形过程的实验和理论研究工作也提出了 更高的要求。而上述的经典分析方法显然已经不能满足这些要求。随着现 代计算机技术和塑性理论的发展，数值分析方法在金属塑性成形领域的作 2 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 用不断加强，其中有限元法因其通用性强和计算精度高等优点，而占有十 分重要的地位。可以说，也只有在有限元法广泛应用于金属塑性成形过程 之后，人们才可能更全面，准确的掌握各种工艺参数对金属塑性成形过程 的影响。 1 2 1 有限元法简介 当前，有限元法已成为分析和研究金属塑性成形问题的主要的数值分 析方法之一。大量的分析计算表明，对于金属塑性成形问题的分析较之于 其他理论分析方法，有限元法具有如下优点： ( i ) 适合于各类金属塑性成形过程的分析，不受具体成形问题的限 制： ( 2 ) 能提供丰富的单元类型，从而具有很高的边界拟合精度，同时， 也使复杂成形过程的分析成为可能； ( 3 ) 能够较全面地考虑多种因素对成形过程的影响，如温度、摩擦 润滑条件，材料特性、变形速度以及模具的几何形状等； ( 4 ) 能够在假设条件较少的前提下提供详尽的变形力学信息，如应 力、应变和温度场的分布，金属的塑性流动规律，成形载荷等力能参数， 还可以与计算机辅助设计技相结合，为优化成形工艺参数及模具结构设计 提供详细而可靠的分析数据； ( 5 ) 虽然有限元法的计算精度与所选择的单元形状，单元数及所假 设的单元的速度分布函数有关，但弹塑性有限元一般是很准确的，塑性变 形量较大时，刚( 粘) 塑性有限元的计算精度也较高； ( 6 ) 用有限元法编制的计算机程序通用性强，可以用于求解大量的 复杂的问题，只要修改少量的输入数据即可。 当然，有限元方法也有其不足之处，即计算工作量大，在进行大变 形弹塑性有限元分析及刚( 粘) 塑性有限元分析时，通常需要大容量的计 算机和花费较多的计算时间【1 。 就金属塑性成形而言，有限元法大致可分为两大类【1 1 ： 一类是小变形和大变形弹塑性有限元法。弹塑性有限元最早是由 m a r c a l 和k i n g - = 1 9 6 7 年提出的。它同时考虑弹性变形与塑性变形，弹性区 采用h o o k 定律，塑性区采用p r a n d t l r e u s s 方程和m i s e s 屈服准则。 另类刚塑性有限元法和刚粘塑性有限元法。这类有限元法不计弹 性变形，采用l e v y - m i s e s 方程作为本构方程。 | 垩盎盔堂堡主堂垡堡奎l 立董! 生 1 2 2 刚塑性有限元法 在一般情况下，金属塑性成形过程的变形量都很大，因此，不仅应力 与应变成非线性关系，而且位移与应变也成非线性关系。由于存在这两种 非线性关系，使得大塑性变形过程比只存在材料非线性的小塑性变形过程 要复杂的多。 尽管在实际的金属塑性成形过程中，材料的变形都是弹塑性的，但是 对于大多数金属塑性成形过程而言，塑性变形量都很大，弹性变形量可以 忽略不计，因此可将材料看作是刚塑性的。通过建立刚塑性材料模型，可 以简化有限元计算列式及其计算过程。由于满足体积不变条件，并采用率 方程描述，变形后物体的形状可通过在离散空间上对速度积分而获得，从 而避开了有限变形中的几何非线性问题。同时，可用比弹塑性有限元法大 的增量步长来达到减少计算时间、提高计算效率的目的，并能保证足够的 工程精度。 目前，锻造和挤压过程的有限元模拟更多的使用刚( 粘) 性有限元 法，这是因为锻造和挤压过程产生的塑性应变大，即使忽略弹性变形也能 得到足够的计算精度，并且与弹塑性变形相比，刚塑性变形可取更大的增 量p l 。对于锻造和挤压过程，通过有限元模拟可迅速的得到原料加工后的 形状，缺陷产生的可能性，加工后的材质，成形极限，工具的表面压力、 温度分布以及设备的加工载荷等数据。通过对这些信息与加工成本、生产 率和产品要求尺寸及材质间关系的综合分析，可得到最佳工序数，预成形 和加工条件等。 1 3 国内外刚塑性有限元研究概况 自从1 9 7 3 年l e e 和k o b a y a s h i 以矩阵分析法的名义导出刚塑性有限 元中l a g r a n g e 法的矩阵方程组以来，刚塑性有限元法已在塑性成形工艺 的数值分析模拟中显示了巨大的潜力。k o b a y a s h i 及其作者先后用刚塑性 有限元和刚粘塑性有限元分析了镦粗、锻造等体积成形以及胀形、冲孔、 方拉延的板料成形。z i e n k i e w i e z 于1 9 7 4 年导出了剐粘塑性有限元的矩阵 方程组，1 9 7 5 年又提出了刚塑性有限元中的罚函数法，并用这些新方法 模拟了热态挤压、轧制及板料成形。1 9 8 2 年m o i l 和o s a k a d a 提出了刚塑 性有限元中的材料可压缩法，并对各类轧制和挤压工艺进行了模拟分析。 o h 和a l t a n 等则用大型刚塑性有限元分析程序a i o i d 对各类塑性成形问 题进行了模拟分析。此外，m a h r e r d a o l t z 等用刚塑性有限元分析变形而用 差分法分析热传导，m o r i 、o s a k a d a 、k o b a y a s h i 等还将刚塑性有限元用于 4 重庆大学硕士学位论文 l 绪论 分析金属粉末成形工艺。8 0 年代以来，国内外一些学者对锻造、挤压等 成形问题进行了三维的有限元模拟，但由于三维刚( 粘) 塑性有限元模拟 的一些关键技术还未得到较好的解决，这些模拟过程都将实际生产中的工 件形状加以了简化f ”。 1 4 本文的研究内容 由前可知，有限元模拟正在成为金属塑性成形研究领域的重要的方 法，有鉴于此，本文的主要研究内容有： ( 1 ) 有限元软件来模拟锻件的成形过程，了解其应力、应变等场变量 的分布。 ( 2 ) 分析反挤压时金属的流动特征，再用主应力法计算锻件的成形力。 ( 3 ) 分析各种因素对偏心大小的影响，并对测得的数据进行分析，发 现其中的规律，并对其进行解释。最后提出改进的措施。 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 2 刚塑性有限元法的理论基础 对于实际的金属材料的塑f 生成形过程，弹性变形部分远小于塑性变形 部分( 弹性应变与塑性应变的比通常在1 1 0 0 1 1 0 0 0 之间) ，因此，可采 用刚塑性模型。由于刚塑性有限元采用率方程描述，变形后物体的形状可 通过在离散空间上对速度积分而获得，从而避开了有限变形中的几何非线 性问题。同时，可用比弹塑性有限元法大的增量步长来达到减少计算时间、 提高计算效率的目的，并能保证足够的工程精度。所以目前刚塑性有限元 已广泛的应用与金属塑性成形的数值分析【3 】。 2 1 刚塑性材料的基本假设 金属塑性成形过程是一个典型的边值问题。刚塑性变形的边值问题可 以描述如下： 有一块刚塑性材料，其边界s 围成的体积为v 。在体积v 内满足 平衡方程、协调方程、体积不可压缩条件和本构关系。在边界s 上，一 部分表面s ，上给定位移速度珥；另一部分表面s 。上给定表面力芦，整个 物体处于塑性变形状态。 理论分析时需要作一定的简化假设，即用简化的材料模型代替真实 材料，以便进行数学处理。对于刚塑性材料，基本的假设如下： 1 )不计材料的弹性变形； 2 ) 材料的变形流动服从l e v y - m i s e s 流动理论； 3 ) 材料是满足体积不可压缩条件： 4 ) 材料是均质各向同性体； 5 ) 不计体积力和惯性力； 6 ) 加载条件( 加载面) 给出刚性区与塑性区的界限。 在以上刚塑性材料模型的基本假设的基础上，任意时刻的刚塑性材料 流动过程的真实应力场和速度场满足下列关系： ( 1 ) 平衡方程 o q j = 0 ( 2 ) 速度应变率关系 毛= 批饥u j ) u 。j 峥+ j 6 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 重鏖盔兰堡主兰堡垒苎 ! 型望壁塑墼垂塑翌丝墨坐 ( 2 ) 本构方程 占p = 仃p 二 3 云 一 2 手 j ：中：石：；丽一一等效应力： ；= 屉鬲喇应变麟 ( 3 ) 屈服准则 扛口：= 七2 体积不可压缩条件 占p = s 址= 0 ( 4 ) 边界条件 盯”胛j = 瓦( 在s p 上) 川= 巧( 在s ，上) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 2 2m a r k o v 变分原理 设一刚塑性物体，体积为v ，边界表面为s ，整个物体处于塑性变形 状态。在表面的s 。部分给定表面力e ，在表面的s 。部分给定速度e 。 在满足几何方程式( 2 2 ) 、体积不可压缩条件式( 2 6 ) 和速度边界 条件武( 2 8 ) 的一切运动容许速度场0 ，中，使泛函 万2j 夕尉矿一1 p f q d s ( 2 9 ) 取绝对极小值( 即条件面f z 0 ) 所得到的速度场u ，必为问题的真解。这 鬟。 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 就是m a r k o v 变分原理。 使用m a r k o v 变分原理求解刚塑性体变形速度场时，速度场应满足事 先附加的约束条件，即体积不可压缩条件，所以问题可以表示为 j 肛膨肛l ，聃嬲( 2 1 0 ) 【印= 西，- p = 0 这是场变量须满足一定约束条件的“自然变分原理”。但在实际求解过程 中，寻找一个既满足几何方程和速度边界条件、又满足体积不可压缩条件 的速度场是较为困难的。另外，用l e v y m i s e s 方程只能求出应力偏量口：， 而刚塑性材料模型忽略了弹性变形，强加了体积不可压缩条件，这样就无 法确定静水压盯。，也就不能得到应力场盯一所以自然变分原理做刚塑性 变形的应力计算有一定困难。因此，利用广义变分原理，即用适当的方法 如l a n g r a n g e 乘子法、罚函数法或修正罚函数法将速度场函数应事先满足 的约束条件引入泛函，构成一个新的泛函，将式( 2 1 0 ) 的条件极值问 题转化成对新泛函求无约束条件的驻值问题。 刚塑性变形的广义变分原理仅仅在满足协调方程和速度边界条件的容 许速度场中寻找真解，数学上容易处理，还能求出静水压盯。，解决了应 力计算问题。那么，关键在于怎样处理体积不可压缩条件。以下是广义变 分原理的几种形式。 2 2 1 拉格朗日乘子法 用拉格朗日乘子 将式( 2 1 0 ) 中的体积不可压缩条件引入泛函“， 得一修正泛函 万+ 2l 孑材1 2 , 言v d v 1 p ，o t i s ( 2 1 1 ) 泛函中互相独立的场函数是速度场o ，和拉格朗日乘子 。引入体积不 可压缩条件后，原泛函的有附加条件驻值问题转化为修正泛函+ 的无 附加条件驻值问题。现在要在满足协调方程和速度边界条件的容许速度场 中寻找真解。n 的驻值条件是它的一阶变分等于零 勋。= 伊痢y + f 瑟r d v + f 旯品，d v f p ，面，d s ( 2 1 2 ) b 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 拉格朗日乘子凡代表着一定的物理意义，即当速度场为真解时，乘 子 等于静水压盯。，证明如下： 当速度场为真解时，体积应变率为零 屯= 8 , j 0 。= 0 ( a ) 式( 2 1 2 ) 右端第一项中的单位体积应变能率为 a 硒百= 盯f 出口= ( 盯：+ 6 , j o - 。) 聒 = 盯份口 ( b ) 在速度边界s 。上，速度场必须满足边界条件，即恒有面，= 0 ，所以 f ，p , b o ，d s = 印，d s + n 她d s 2 f p , s o 。d s( c ) 将式( a ) 、式( b ) 、式( c ) 代入式( 2 1 2 ) ，得到 ( 仃；+ a 占口) 面。d v = f 只面，d s ( 2 1 3 ) 而由虚功原理，有 h 甜，d v = n 6 0 ，d s ( 2 “) 比较式( 2 1 3 ) 和式( 2 1 4 ) ，可知仃。= 盯；+ 五毛 所以， 五= 盯。= 盯“( 2 1 5 ) 由此可见，通过拉格朗日乘子引入体积不可压缩条件，建立修正的泛 函n 的驻值条件，即可求得速度场u ，的真解，并可求出静水压盯。所以， 可由速度场经几何方程求得应变场， 力场，再结合静水压盯，求得应力场， 再经l e v y - m i s e s 本构方程求得偏应 就得到了问题的全解。 2 1 2 2 罚函数法 仍然从m a r k o v 变分原理式( 2 1 0 ) 出发，采用一个大的正数a 附加 在体积不可压缩条件上，作为一个惩罚项引入泛函“，构成一个修正泛 函 9 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 厅= a v + 导f ( 如) 2 一f 。掣，谘 ( 2 1 6 ) 其中，n 称为罚数。在满足几何方程和速度边界条件的运动容许速度场 u ，中，真解使泛函厅取得驻值。上式右端第二项中若用毛的一次式而不 用平方项，就相当于拉格朗日乘子法。采用己的平方项的目的是为了使 体积应变的绝对值| 印f 在域v 内处处很小，才能保证积分c ( 印) 2 d 矿很小。 当速度场趋于真解时，毛接近于零，惩罚项的值接近于零。反之， 速度场远离真解时，由于a 值很大，惩罚项的值就很大，这就是对违反 约束条件的一个“惩罚”。对石+ 求驻值过程中，速度场经过迭代逐渐趋于 真解，惩罚项的作用逐渐变小，就逐渐满足了体积不可压缩条件。 当速度场接近于真解时，可以求得静水压盯，。注意泛函；r g 的驻值条 件 6 冗= 涉霭d v + a i e ，6 e v d v k 。咿u t d s = h 糖口d v + 口胁屯岛d v f 。p ，6 u 。d s = ( 2 1 7 ) j ，( 仃；+ o t 6 9 ，) d 矿一。p 。面d s = 0 与虚功原理式( 2 1 4 ) 对比，可见 盯，= 鲥r ( 2 1 8 ) 应该看到，使用罚函数法的广义变分原理得到的近似解只是近似地满 足体积不可压缩条件，罚数a 值取得越大，就越满足体积不可压缩条件， 然而罚数a 值越大，用于速度场求解的迭代算法所需的c p u 时间就越长。 有研究表明，当a l o s 时，c p u 时间就很可观了，但体积应变的减小效 果却越来越不明显。 另一方面，企图将t l 一。o 以得到精确解也是不可能的。因为当a 增 至相当大介仍保持有限值时有限元方程就可能已变成病态，而使求解失 败。 综合上述考虑，认为对二维体积变形问题，取1 0 4 1 0 5 ：而对三维 情况，取1 0 3 a 1 0 4 即可。 l o 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 需要指出的问题是，式( 2 1 6 ) 中的惩罚项中要求体积应变的绝对 值阮i 在v 内处处很小，这个约束条件过于严格，给数值计算带来了困难。 实际上，在有限元列式的剐度方程中，与体积应变有关的系数计算采用了 简化积分的方法，即仅取单元形心一个积分点，这意味着只保证形心点 阮i 最小，其他位置不做要求。这样的处理是合理的，因为物体空间离散 成单元之后，每个单元的体积相对较小，单元内体积应变变化不大，取一 、 点为代表是可以的。 还有一种处理体积不可压缩条件屯= 0 的方法，即把要求如在单元 内处处很小，放松为在单元内的平均值很小，可得如下泛函： 万= 肛v + 导( p ，a v ) 2 一f 。p , o , d s ( 2 1 9 ) 这就是修正的罚函数法。此时不必再用简化积分运算，所有的积分都可用 完全高斯积分法。 2 3 刚塑性有限元列式 2 3 1 离散化 上面讨论的是连续变分问题，它的解是在整个物体上连续的速度场 u ，和乘子 ( 拉格朗日乘子法) 。这样的场函数将非常复杂，求解很困难。 使用有限元离散化的概念可以克服这个困难。它将物体分成有限个单元 后，仅要求在单元体积v 。上保持场函数连续，以此建立单元的泛函，将 单元泛函集成得到整体的泛函，对整体泛函求驻值，得到问题的数值解。 将物体v 分割成在n 个节点上相连接的m 个单元，单元内部场函数 连续，相邻单元的边界是上保持运动学完整性，这是靠适当的插值函数实 现的，插值基点为节点。 设单元节点的速度矢量为z i 。，则单元内的速度场d 按以下插值求得 ? 2 _ n u ( 2 2 0 ) 单元内的应变速率场用几何方程计算，这里是 重壅盔堂堡主堂焦笙塞 ! 型望丝查里垂堕里丝墨坐 0 = _ l o = 型i 。= 宣。 ( 2 2 1 ) 式中，盟为形函数矩阵；点为微分算子矩阵；一b = 一l n 。应变速率向量重 各分量排成以下形式 重：h i ：届。压，届。l r ( 三维问题) 害= k 。，o 届。】7 ( 平面应变) 軎= l ，如舌：届。r ( 轴对称) 上式中的剪应变分量乘以系数i ，是为了使等效应变率的矩阵运算式和 张量算式保持一致，即 言= 詈言。占，= 詈j ，7 ；。= 詈( ! 。) 7 垦b 7 查! 。 ( 2 ：，) 弘v 了毛勺2 、j 5 ，毛2 、掣j 一笪! 【2 2 3 j 体积不可压缩条件的矩阵算式为 如= 占旷c 7 重= 害7 c = ( ! 。) 7 型c ( 2 2 4 ) 式中，c 是k r o n e e k e r 符号的矩阵表示 c = 【1 1l00 0 】7( 三维问题) c = 【1 10 0 7( 平面应变) c _ 1 1l 0 】7( 轴对称) 下面建立离散形式的泛函。 设n 。表示单元e 上的泛函，则总体泛函n 为 ( 2 2 5 ) ，厅= 丌。 ( 2 2 6 ) 以上不同的方法处理广义变分原理，单元的泛函形式不同，以下是各种离 散形式的泛函。 1 ) 拉格朗日乘予法 将泛函式( 2 1 1 ) 用于单元e ，其体积为v c ，力边界为s e p ，则单元的 泛函为 万。= f 翻矿+ f 。2 4 d v f ：p 7 2 搬 ( 2 2 7 ) 1 2 重塞奎兰堡主兰焦笙奎 ! 型望垡壹堕歪堕望兰苎堕 将言式( 2 2 3 ) 、玉式( 2 2 4 ) 和d 式( 2 2 5 ) 代入上式， 拈f 。彳尽面面矿巾f ) 7 g c 肌p 趔。脚 = q l + z n 2 + q 3 ( 2 2 8 ) 其中 q t2f 。云j 专( ! 。) 7 一b 7 垦! d y q 2 = c 。( ) 7 8 7 c i 。d v q ，= 一p 7 蟛2 一蜘。) 7 丛7 p a s 这里，p 表示作用在单元边界上的力。另外，上面的推导中 单元内的拉格朗日乘子z 为常数，故可以提到积分之外处理。 2 ) 罚函数法 其单元e 的泛函为 ，r 。= q - + 詈q ：+ q ， 其中 q 。和q ，同拉格朗日乘子法的。 q ：= f ( 引2 d v = f 。( 9 7 掣) 2 d v 假设一个 ( 2 2 9 ) 2 3 2 拉格朗日乘子法基本求解公式 将单元泛函。集成为总体泛函n ， 石= 石= 疗( ! ，圣) ( 拉格朗日乘子法) ( 2 3 0 ) = 石。= 厅( 氅) ( 其他方法) ( 2 3 0 其中，n 为总体节点速度向量( y o 向量) 。若总节点数为n ，且为三维问 题，则n 共有分量n 3 个，即 i 2 【l 。女b nk 2 x 女n n d l ( 2 3 2 ) 重庆大学硕士学位论文2 刚塑性有限元的理论基础 若单元总数为m ，每个单元内的拉格朗日乘子为常数，贝吐量共有分量m 个，即 五= 【凡1 九2 入m 】7( 2 3 3 ) 经过前面的离散化处理，泛函n 变成独立变量为节点速度矗( 拉格朗 日乘子法还有a ) 的多元函数了。这样，场变量的变分和自变量的微分是 一样的。 下面导出拉格朗日乘子法的求解公式。其泛函驻值条件为 勋：莩c 篆凇小c 等厂掰 ：c 荨r 占叫嚣归墨：。 ( 2 3 4 ) 注意到标量n 对列向量生的导数是个列向量( 誓) 。 由于场变量的变分占打和占a 是任意的，要满足驻值条件式( 2 3 4 ) ， 必须是其各自的系数向量为零，即 = 0 r 2 3 5 ) = 0 这样，问题归结于单元泛函对本单元的场变量求导。 从单元泛函式( 2 2 7 ) ，有 笪：堕+ 堕+ 垫： a 西。a 政。a 打a 疗。 记为 f 。万 + f 。型c 、d v 一盟7 p a y = ( 2 3 6 ) f 詈手查7 拿1 8 d y 以。f 。查7 9 d y 一是盟7 p ，d 矿 4 矿一旷。矿一 a a a a ，。 堕壅查堂堡主堂垡堡壅 ! 型望丝查堡重堕堡笙堇坠 篆= 孑擘+ 拿一? 其中 h ；f 三b 7 8 6 。d v 一气i 一一、 q = j ，。量c d v p = 一n p d s 然后，单元泛函n 。对拉格朗日乘子凡。求导，有 等= 嘉( 佩瑚：= c b i r d y = 虫( 2 3 8 ) 谈旱设等效内力孑与麻蛮谏谏塞孝子美即材料不具有黏性，盐万 不必对节点速度求导。 对每个单元按式( 2 3 7 ) 和式( 2 3 8 ) 计算之后，按式( 2 3 5 ) 将所 有单元的方程集成，就得到总体刚度方程，即离散形式的刚度方程如下， o n 0 吱 o n a a ：谬眇莩柏0 一阱0 ! ) i q 7【j i 1 ( 2 3 9 ) 其中，未知数是节点速度向量n 和拉格朗e t 乘子向量五。但是，这是一个 非线性方程组，在系数矩阵( 刚度矩阵) 中的等效应变速率言出现在分母 上，它是要由未知数算出的，所以方程不能直接求解。下面是用牛顿一 拉夫森迭代法对方程的线性化并求解的过程。 2 3 3 刚度方程的线性化 假定泛函n 在单元体积v 。上连续，并存在对节点速度。的各阶导数， 则可借助泰勒级数将其在任一点展开。从式( 2 3 9 ) 出发，如果n 1 次迭 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 代的解电乙，则将泛函n 的一阶偏导数在电i 一的邻域展成泰勒级数，并 仅取线性项，从而得到以睁l 为未知数的线性方程组 y 旦r 一0 y - e 2 ，一a 打。、a 打。 y 旦( 一0 7 - e 。a 4 。、a z 7 j n i r 7 i 恽 j n l = 0 = 0 阱吲n - i + 障茄l 陋卜 胤o n = 悻斟_ 阵薪l 陋卜 f 2 4 0 ) r 2 4 1 ) 注意到式( 2 3 6 ) 中的第二项和第三项都不是! 。的函数，所以它们对 ! 。的导数为零，即 i o ( q ) 7 = 0 寺( p ) 7 = o 仅对第项求导，先将它表示为 式中 孑譬= f ，孥垦“b 1 i 3 9研= 睁yj ，一少u 2 ；矿，d ! b 些2 j 弛“t i 。，毪2 昙 j d “ 谢= 蕊吁 1 6 垩鏖盔堂堡主堂垡堡壅 ! ! ! 望丝塑哩垂塑望堡墨堡苎_ 式中 由式( 。 此时也 “u 一“u 嘉c 等) r - 寿c 孑：f 。丝专业y p 兰2r 竺兰2 r 罢, 望2 竺r 。墨l d y ( 2 。：) ( 亭) 2 、。 杠讣础。 b ：b 7 b u 。 佗4 3 ) f 2 4 4 ) = 赤( 哆) = 拿 ( 2 4 5 鼍= f ，喜抛bz i 锣= j 2 畦d 矿 ( 2 4 s ) 将式( 2 3 6 ) 、式( 2 3 7 ) 、式( 2 4 2 ) 、式( 2 4 5 ) 都代入式( 2 4 0 ) 的迭 代方程中，得 1 7 掣嘲 导求式分据 以 根 所 丝衙 口一b 一 ，= 占 2 3 淼。拗 鲨甜 鲫蛳；!；寺 肋 粥 重壅盔堂堡主堂垡堡塞 ；! 型望丝查堡重堕里篓墨坐 f 薏 ： 莩石擘+ 莩彤旱一莩。l + 莩孑l 莩1 8 ) 。= 。 j 6 q i j i = = ；9 71 。 。一r 莩旱7 。一， 莩! 。 。= ：。 将这两个式子组成第n 次迭代的求解方程 弦莩孙otl , i 制引捌2 肿， l 澎i 。2 悟川酗! 叶q 4 7 o j l l o jn l 上式是求解刚塑性有限元的总体刚度方程组，可记为 阻诚一， 其中左端的系数矩阵p 】。称为“总体刚度矩阵”，球 。为总体载荷矩阵， 障。：圈司陋叫酗。0 1 蛾，阱别。 n = y a u 。 j j a ；y 五。 一、 用( 2 4 8 ) 解出的第n 次迭代的节点速度增量诠! i ，修正迭代前的速度 场殴，则得到 色i = 虬+ 叩江鲢 ( 2 - 4 9 ) 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 n 为减速因子，o 分另为整体和局部坐 标系下的节点i 的速度，则： 盈0 = 防f ) ( 2 7 2 ) 式中伽0 = 瞄。】，如f = k ，矗。】，闻为旋转变换矩阵， 旺】= 卜三：兰：j ( 2 7 s ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 重塞盔堂堡主堂垡堡塞 ! 型望丝童堡垄堕望笙墨堕 那么对于整体刚度方程则有t y u 转换形式 p 】防】口】r o = 即 a a = 刚 n 俅 = 忸 ( 2 7 4 ) 式中， s 】、 r ) 、 d ) 分别为整体坐标系中的刚度矩阵、载荷列阵 和速度增量列阵； r ) a u ) 分别为局部坐标系中的载荷列阵和速度增量列阵； f q 为局部坐标系和整体坐标系之间的坐标转换矩阵； 刚= 0 正 0 l ( 2 7 5 ) 其中n 为节点总数，对于每个边界接触节点i 对应一个转换矩阵i w ， 对于工件内部节点和边界自由节点，【叫为单位阵。 通过以上坐标转化就把接触节点的整体坐标系下的刚度方程转化成 了以局部坐标系表示的刚度方程式。在局部坐标系中可以很容易的施加边 界条件，在接触节点i 处，沿模具表面法线方向有虬= 0 。约束处理后， 按式进行n e w t o n - r a p h s o n 迭代，求出 女) ，然后再转换到整体坐标 系中，求出 n 。由于m 是正交矩阵，有r q l = r r 丁，所以 舢 = i t 7 a a ) 2 5 非稳态变形的处理 r 2 7 6 ) 金属塑性成形大多数为非稳态过程，如本文研究的反挤成形过程。在 成形过程中，变形工件塑性区的大小和形状及其内部场变量是随时间的变 化而变化的。为了模拟非稳态成形过程，需把整个成形过程分为若干个增 量步，并且假定每个加载区间的变形为稳定变形。每一个增量步以上一个 增量步的速度场作为初始速度场，用本增量步前的构形作为参考构形，用 本增量步的边界条件进行迭代求解，并修改工件的构形和边界条件。若以 时间at 表示加载区间长度，那么需要确定at 的大小。 时间步长at 的选取应从以下几个方面考虑： 2 4 重鏖查堂堡主堂垡堕奎 ! 型望丝塑堡垂堕里兰茎盟 1 1 下一个边界自由节点接触模具所需的时间a t l ； 2 ；所容许的最大应变增量对应的时间增量a t 2 ，根据文献【l 】，时间步长 所对应的压下量不超过工件当前高度的l ： 3 1 迭代收敛所许可的时间步长at 3 ，从速度场的收敛性方面考虑，时间 增量步长不宜太大，否则会使收敛速度下降，甚至不收敛； 4 1 已接触节点脱离模具所需的时间步长t 4 ； 实际时间步长t 为 a t = m i n ( a t l ，a t 2 ，a t 3 ，a t 4 ) 一般只考虑a t 。，t 2 即可，即 t = m i n ( t ，a t 2 ) 在每个at 时间步长计算结束时，要修正工件的构形。根据稳态的假设， 工件的新的构形 仁k = 扛 。+ 伽k a t ( 2 7 7 ) 式中扛k 和扛 。分别表示k 增量步更新的工件构形和参考构形( 即k 一1 步结果) 。 对于非稳态过程，等效应变可由下式得出： i ) 。；忙k + 咎) 。山 ( 2 7 8 ) 式中忙k ，譬) 。分别为k 和k - - 1 增量步时的等效应变，访k 为k 增量步时的等效应变率。 2 6 初始速度场的确定 在采用n e w t o n - r a p h s o n 迭代法求解刚塑性有限元非线性方程组时，首 先需假设一个满足速度边界条件的初始速度场，然后进行迭代，求出最优 的接近于真实的解。下面用直接法确定初始速度场，此法基于假设应力偏 量叮：和应变率岛为线形关系，即 ， o n = 札s b 其中，由。为常数，根据经验巾o _ ( 1 0 0 - - 5 0 0 ) o 。，o 。为初始屈服应力。 这样泛函得到简化，其离散形式为一线性方程组，对拉格朗日法而言，其 求解公式为： 重庆大学硕士学位论文 2 刚塑性有限元的理论基础 黟册= 刚 q ，。， 式中k 。 = 3 f 。九查7 b _ d v ，【q 和唧由式( 2 3 7 ) 确定，解这个方 程组就得到了初始速度场。 2 7 收敛判据 速度场的求解过程是从初始速度场出发，利用n e w t o n - r a p h s o n 方法 不断的迭代搜索，逼近精确值的过程，既然是迭代的过程，必然存在收敛 判据问题，即迭代到何时可以终止。常采用的收敛准则是用速度范数的相 对变化来衡量： 相邻两次迭代解的偏差即节点速度修正量为 打= 西一打 一nhh l 求其范数 k 忙乒歹巧 当 h u f f 2 8 0 ) 时，即认为在数值解的意义上达到了收敛。式中系数6 一般取1 0 l 1 0 r 6 。 2 8 刚塑性有限元的求解步骤 概括起来，刚塑性有限元求解主要包括以下几步： 1 ) 建立有限元模拟的初始模型，包括工件的网格划分，材料模型、模具 型腔几何信息及其运动和边界条件等各方面信息。 2 ) 生成一个接近于真实解的初始速度场； 3 ) 据( 2 4 8 ) 或( 2 5 0 ) 计算速度场的增量 田。； 4 ) 由式( 2 4 9 ) 修正第1 1 _ 步的速度场似 。； 5 ) 反复进行3 q 步，直到迭代收敛为止； 薹；! 坠堂堡主兰堡堡壅 ! 型望丝童堕垂塑望迨苎型 6 ) 根据某个时间增量步的收敛解修正工件几何形状，并且将该时间增量 步的收敛解作为下一个时间增量步的初始速度场。如此反复，直到工 件变形程度达到所规定的要求为止。 。专章对刚塑性有限元法的变分原理及体积不变条件的处理方法，拉格 粤卑鎏、鼋函数法进行了介绍，并以拉格朗日法为例推导出刚塑性有限芜 塑茎算型式，讨论了接触边界条件和非稳态变形的处理，确定了生产初始 速度场的方法和收敛判据，并