（计算数学专业论文）不可压渗流驱动问题特征混合有限元的超收敛性分析.pdf

湘潭大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外。本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：莪_ ；及 日期：- - ，多年r 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密酬 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：兹弓五 日期：声巧年 ，月1 日 导师签名： 跳节雹舀日期：如晤年t - 月 曰 摘要 多孔介质中流体的运动是一个复杂的物理现象，跟实际生 活当中的环境污染问题和油藏开采问题等密切相关，一直以来都是 众多科学家感兴趣的研究内容。不可压渗流驱动问题是这类流体问 题中最为典型的一种，它由一组非线性偏微分方程耦合而成：椭圆 型的压力方程和抛物型的浓度方程，并且浓度方程往往表现出对流 占优的特点。本文中，我们采用混和有限元方法同时逼近压力方程 中的压力和d a r c y 速度，而采用标准的g a l e r k i n 方法结合特征线方 法逼近浓度方程中的浓度。特别的，由于浓度方程中的对流项和扩 散项的系数仅与d a r c y 速度有关，因而对d a r c y 速度的逼近程度将 会严重影响对浓度的逼近。为此，我们对由混合有限元方法得到的 d a r c y 速度采用插值后处理技术，即通过对g a u s s 线上具有超收敛性 质的d a r c y 速度进行高次l a g r a n g e 插值，使得其在整个区域上超收 敛。随后，将超收敛的d a r c y 速度代入浓度方程。最终，我们经过 深入的理论分析和严谨的推导过程证明了采用上面的方法求解渗流 驱动问题可以得到关于压力步长超收敛的近似解。在文章的最后， 我们分别采用混合有限元方法和修正的u z a w a 方法求解具有非其次 n e u m a n n 边界条件的泊松方程。数值结果表明：这两种方法够得到 具有相同逼近精度的数值解，但采用修正的u z a w a 方法所花费的运 算时间更少，并且通过插值后处理技术都可以获得在整个区域上超 收敛的d a r c y 速度。在数值结论的基础上，我们另外获得了一种新 的格式来求解不可压渗流驱动问题。 关键词：混合有限元，g a l e r k i n 方法，超收敛性，不可压渗流驱动问 题，m m o c ( 修正的特征线方法) ，修正的u z a w a 算法。 a b s t r a c t t h ef l o wa n dt r a n s p o r to ff l u i d si np o r o u sm e d i ai so fg r e a ti m p o r t m l c e s o c i a l l ya n de c o n o m i c a l l yi nt h eo i lr e c o v e r ya n de n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o np r o b l e m t h ei n c o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e mi st h em o s tt r a d i t i o n a l o n ea m o n gt h i sk i n do fp r o b l e m si tc a l lb em o d e l e db yan o n l i n e a rc o u p l e d s y s t e mo ft w op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：t h ep r e s s u r e - v e l o c i t ye q u a t i o n w h i c hi se l l i p t i c ，a n dt h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o n w h i c hi sp a r a b o l i cb u tu s u a l l yc o n v e c t i o n d o m i n a t e di nt h i sp a p e r 、w ee m p l o yam i x e df i n i t ee l e m e n t m e t h o dt oa p p r o x i m a t et h ep r e s s u r ea n dt h ed a r c yv e l o c i t y , a n dag a l e r k i n f i n i t ed e m e n tm e t h o dc o m b i n e dw i t ht h ei v l m o cf m o d i f i e dm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ) t oa p p r o x i m a t et h ec o n c e n t r a t i o n e s p e c i a l l y , t h ec o e f f i c i e n t si l l c o n v e c t i o na n dd i f f u s i o nt e r m so fc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o no n l yi n v o l v et h ed a r c y v e l o c i t y , t h e r e f o r e lt h en u m e r i c a lr e s u l t so fc o n c e n t r a t i o ns t r o n g l yd e p e n do n t h ed a r c yv e l o c i t y b e c a u s eo ft h ed a r c yv e l o c i t yh a st h es u p e r c o n v e r g e n t p r o p e r t ya l o n gt h eg a u s sl i n e s ，w eo b t a i ni t ss u p e r c o n v e r g e n tn u m e r i c a lr e s u i t so na l lo ft h ed o m a i nb yu s i n gp o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e s ，a n dt h e nw e m a k ei tt oe s t i m a t et h ec o e f f i c i e n t si nc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o n a f t e rs t r i c t e r r o ra n a l y s i s ，w ep r o v et h a to u ra l g o r i t h mi ss u p e r c o n v e r g e n c ea b o u tt h e p r e s s u r es t e p i nt h ee n do ft h i sa r t i c l e ) w es o l v eap o i s s o np r o b l e mw i t h 1 1 0 1 1 一h o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o nb vm i x e de l e m e n tm e t h o d s a n dt h em o d i f i e du z a w a sa l g o r i t h mt h ei n l n l e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h e s e t w ok i n d so fm e t h o d sc a l lb eh a v et l ms a l n cs u p c r c o n v e r g e n tp r o p e r t ya l o n g t i l eg a u s sl i n e s ，a n dt h e i rp o s t p r o c e s s i n ga r ea l s os n p e r c o n v e r g e n c e0 1 1a 1 1o f t h ed o m a i n ，e s p e c i a l l y ，t i ml a t t e rm e t lr o d sc o s tf e w e rc o m p u t e dt i m et h a nt h e f i r s to nt h eb a s eo fn u m e r i c a lr e s u l t s ，w ed e s i g nan e wd i s c r e t es h c e m et o s o l v ei m p r e s s i b l em i s c i b l ep r o b l e m k e y w o r d s ：m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，g a l e r k i nm e t h o d ，s n p e r c o n v e r g e n c e i n c o m p r e s s i b l en l i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m ，m o d i f i e dm e t h o d so f c h a r a c t e r i s t i e s 、t h em o d i f i e du z a w a sm e t h o s 4 不可压渗流驱动问题特征混合 有限元的超收敛性分析 ( 提要) 多孔介质中的流体运动是一个复杂的物理现象，跟实际生活当 中的环境污染问题和油藏开采问题等密切相关，一直以来都是众多 科学家感兴趣的研究内容。本文主要考虑的是多孔介质中的不可压 渗流驱动问题，其数学模型可以由一组非线性的偏微分方程耦合而 成：椭圆型的压力方程和抛物型的浓度方程。本文将主要研究其离 散格式的超收敛性质。 1数学模型和一些记号 令ncr 2 是水平油藏区域，多孔介质区域f 2 中不可压渗流驱动 问题在时间段j 一 o ：t 】上的数学模型可以由下面的非线性偏微分方 程来描述( 参考文献12 ，3 ) 浓度方程： 。害乳一v ( d ( n ) 甲( j = ( i r ) q ，( 川) 纠j 压力方程 vf 鲁f v ，) 1 ：vu ：q 、l j 。 初始条件和边值条件： ? 7 7 , = ( d l ) v f n o c ( z ，0 ) = c o ( z ) r 1 扫f2 f n 其中，d ( “) = ( t ) 。hu f ( ，z ) + 也( ，e ( “) ) ) ，r 。代表边界锄的外法 线向量。 方程组巾的自变量是协“，c ) ，它们分别表示混合流体的压力、 d a r 叫速度和浓度。方程组中其它函数表示的物理意义如下：q 表示 产量项；一表示多孔介质的a r 渗透性；为介质孔隙度；“( c ) 为流体 的粘度；d ( z 、“) 是扩散系数，其中f ( 一- ) = ( 峨q h t b 1 2 kt z 。t ， 。z 。是分子扩散率，d ，和画分别是纵向的和横向的弥散率。为了保证 在边界条件( 13 ) 下解存在，我们还需加入相容条件厶q d x = 0 。 本文中，我们假设所有函数充分光滑且具有n 一周期的性质。此 外，我们要求方程组中的函数满足： 0 u ) ( c o 、x j 。) = ( c o ：n ) ， ( 望譬山”。) ( v ：。 旦荨= m 1 + ( r j ( 月( r n ) vc - n ，v ) “ 。 v x h 以 铷 v ”h j f 26 a 1 ( 26 b ) ( 26 c ) 其中，伊。1 ( z j = “( ) c * z - 1 ( z 一号半屯) 我们将先解出一，接着 解出( ，岛) ，由( 妫) 获得c ，c 2 ：p ，、直到，c ：，l ，然后得到 与几，) 的定义类似，我们还需定义：凡，j 二( 一兰等掣。) 0 1 2 j d a r c y 速度沿g a u s s 线的延拓 由于采用m m o c 处理浓度方程会导致质量守恒误差，但提高u 的 精度会减少这种误差；此外，由于浓度方程巾的对流项和扩散项的 系数只和“有关，所以提高u 的精度还会改善( 。的精度。鉴于此， 本文中我们通过研究d 。喇速度沿g s s 线超收敛的性质米提高u 的 精度。 令( 毋。) 是区间【啦。，鳄1 上的r + 1 个g a u s s 点，则在整个区域 0 _ i 上，一共有扣+ 1 ) w 个g a u s s 点，即： 对每一区间【啦。，硼上的g s 点，其实际坐标为： f 菇。 一；【( ；蟛。) d ，- + ( 鳄 鳄一1 ) 】，j l 二1 、 r + 1 其中。，。对应于第7 1 个c a 、。s s 一点在 _ 1 1 1 上的坐标。令“r “代表区间 1 1 上第j 1 个g 。点的权函数值。我们定义下面的半范数( 参考 r lr + 1 ， 札川l 。= l j a ，。a “嵋 ( n 抽圳 ( 3 1 ) 卜：，瓦i l = lj 1 2 1 j 叼h l ，r 1 坍 一瞎善矽协伸圳五皿叫 r p ， 1 2 + 1 喜：i + n ；r ? 。1 娘如山_ j 锄 接r 来，我们令 则有 o 1 卜筵i 1 肌_ 。另记 珈一如h l 、+ 一 f h 一j 】，_ 1 ，2 、 r + 2 ： = _，+ 。； 2 当k w 一1 时，j ：9 ：+ 。f ：1 r + 2 。此时，我们可以利用 ) ar c y 速度。在区间。1 上的2 个引点的值对其进行t m g r a ，g c 捕值， 即： 一) = 酗1 洲删 ( 33 ) f =i t ，jj c 。) 一旦喊) 。l l o ；t 蓟) 当o w1 时，。( f ) 在局部区域f k 。 上关于变量是1 次的多项式，而当k 一0 或= 叼一l 时，可以采用 f j l 中的外推方法 获得。+ 。( 啪) 。同时由剖分磊的一致正则性，我们可以得到 “ 。( ) l o ，v f k 和【o ，1 ( 3d ) 并且，任意 f k ，a + 。】n 【鳄一，略，】总含有不同的g “s s 点。对方向的后 处理类似于z 方向的讨论即可。 4 重要引理 在半范数_ | 意义下，真解( p ) 和其在冗耳空间卜的椭圆投影 ( 疗、户) 之间的误差满足( 参见h ，6 】) ： 类似( e q ( 62 ) ) ，还可以得到下面的估计 另外，当向量值函数”ew 时，有”v i i vl i ，则 在文献 5 中，作者证明了如r 定理： 引理4 1 令叱( 怫+ ，( n ) ) 。，“，如( 32 ) 所定义，则存在常数0 满足 引理4 2 令“v 是充分光滑的，以表示对有限元解u 采用f j - 2 ) 进 行后处理，则存在常数q ，使得 此外，由】：矿v d ，通过利用卜面的引理 们可以得到下面的引理( 参见1 8 ) ： 我 4 24 和 33 台结 引理4 3 令u ( 晖+ 。( n ) ) 2 ，“? 是在 7 2 时刻的值，w 表示在时 刻u ? 的值，类似定义，则存在常数q 满足 i “? c | ! q i i 妒口”v ， ( 46 ) 】| q 以_ | ! q i u “d ”| ， ( 4 7 ) i i u ? l l l 叫p ) 兰o l u ”i l l 一( l 。) ( 48 ) 在文献3 1 中，作者得到了( 26 ) 逼近( 11 ) 一( 14 ) 的先验误差估计： 引理4 4 假设真解 u ，p ，c ) 充分光滑，则对f 1 和r10 ，总存在常数 0 满足 。罢j 是慕。“一e “。兰a 【 扩1 + + 1 + c + ( ；) 。7 。i ( ”) 2 】 ( 49 ) 并且要达到最优阶误差估计，各项网格参数必须满足下面的要求： 。= o ( f + 1 ) ， 1 = o ( h 矿1 ) ，( ；) 。7 2 = o ( ；+ 1 ) ( a t p ) 2 = o ( ；+ 1 ) 5 超收敛分析 我们利用具有超收敛性质的后处理结果叼代替( 2 6 ) 巾的u ”，得 到修正的离散格式： ( f o ，x h ) = ( ，x ) ， v x t , m ， a ) 弘型。 一i v 口 ，只。) ：o v v i ， ( 5 l b ) f vu 。， ) = ( ，h ) v z v k w 公、 ( jl c ) ( 。兰：云岩m ) 邶嵋愀v + ( q 1 。( 一x h ) 一( 矿护x h ) 、 呶“m l ( 5l d 其中，、) = c , n1 m 一1 ( - ：，e 群弘) 下面，我们将证明该格式关j 二压力步长是超收敛的。 定理l 假设真解 u ”) 足够光滑，并对方程组( j ) ( 4 ) 使用离散格 式j ) 进行逼近，则当f = 1 和，0 ，存在与 ，t ba t 。以及 p 无关 的常数q 满足： 【) i y 。t a 。x r i c ”一g “j l q 。h 。i + 1 + ；+ 2 + a t c + ( a t e ) 3 7 21 ( p ) 2 】 ( 52 ) 和a t 。项有关的系数大小主要由我a t 。_ | 确定，其中，r 是( 2 ) 中的 特征线方向的逼近，而和t 。项有关的系数大一1 、主要取次于旧u 划 以及i l a 2 a 2 。 定理2 假设真解h p ，c ) 充分光滑，并对方程系统( j ) 一i s # ) 使用( 5 j ) 进行逼近，则存在与h ，ha t 。以及，无关的常数口，使得当2 1 和，0 时，有如下不等式成立 雹圳u m 一i i 茎o h 。l + 1 + ，。；州 ri ( a i d ) 3 7 2 + ( 蛳j 2 _ i x p 一只”w q 【砖。1 + h ，2 + c + ( ；) 引2 十( t 一) 2 6 数值试验 我们先简要介绍求解压力方程的修正的u z a w a 方法，和混合有限 元相比，它得到的系数矩阵对称正定，且规模比混合有限元要小。 令。是很小的正常数，用下面的迭代扰动方法( i p m ) 米替换求 方程( 1 2 ) 和( 13 ) ，即：对给定的初始值p 。，求“t v 和m 满足 p l 。 l ， “kv 【d i v u k kf - “ n 一0 p k ：7 一l1 ( d i v 女 c v mlv ( x ) nx v ( z ，t ) a nxj v ( z ，t j f2 以 其中，初始的m 值要求满足相容条件h 。d z ：0 。 j n 对( 61 ) 和( 62 ) ，可以采用标准的g a l e r k i n 方法得到其离散格式 对给定的初始值玮，求( ，e 和砂满足 在本文的数值试验当中，我们设定e s v , jj 塞代过程终止条件是 m a 鲁，譬篙当) 功 秘一 l o n g i t u d i i l a la n d t r a n s v e r s ed i s p e r s i o nc o c t f i c i e n t sr e s p e c t i v e l y ，a n dn i st h e c x t e r i o rn o r m a lt ot i l eb o u n d a r ya q f h ed e p e n d e n tv a r i a b l e sa r ep ( z ，) 、“( z ，t ) a n d c ( x ，t ) ，d e n o t et h ep r e s s u r e a n dt h cd a r c vv e l o c i t yi nt i l ef l u i da n dt h ec o n c e n t r a t i o no ft h ei n v a d i n g h u i di e s d e e t i v e l y t i l ec o e f f i c i e n t sa n dd a t aj 1 1 ( 11 ) a n d ( 1 2 j a r eg ( z ，t ) r e l ) r e s e n t i n gf l o wr a t e s 砒w e l l s ；k ( ) ，t h ep e r m e a b i l i t yo ft h ep o r o u sr o c k ； 西f z ) ，t i l ep o r o s i t yo ft h er o c k ；p ( c ) ，t h ev i s c o s i t yo ft i l ef l u i dm i x t u r e ；d ( x “j ， at e i l s o rd i f f l l s i o nd i s p e r s i o nc o e f f i c i e n t , r e l a ，l e ( jt ot h ei n d e t e r m i n a e yi st h e c 0 u a t i m i i t yc o n d i t i o nkq ( z t ) d z = 0t i m cl r n l s t b ei m p o s e d0 1 1t h ed a t a i i lt 1 1 i s1 ) a p e r n e e dt oa s s l l i n et h a ta l l u n c t i o n sa r es u f f i c i e n ts i n o o t h a n ds 帆t i a l l v 。= q - p e r i o d i cf u r t h e r m o r e ，w ea l s on e e dt h a ta uc o e f f i c i e n t ss a t i s f y 0 。+ ! 笃掣茎“，o 口+ p ( 。) 墨8 ， ( 15 a ) p 4 c ) 0 ，) + d ( z 、u ) 娑( 。) 【+ i q ( 州) l + d 札 ( z ，c ) 1 + l v 西( z ) i k + t 1 k + ( 15 b ) ( 15 c ) w h e r en + ，n + ，也、西。、d + ，k + a r ec o n s t a n t s l 如rs i m p l i c i t y v ea s s u l n et h a tn = ( o ，1 ) ( o ，1 ) ，a n dt h e ul e t 互a n d 正 b et h eq u a s i r e g u l a rp a ，r t i t i o n so ff 2 o rpa n dcr e s p e c t i v e l y ，h pa n dh cd e n o t e t l l cd i a i n e t e l - a n dcb ca n ye l e m e n to f 瓦o r 正e s p e c i a l l yf o r 柚1e 互、ei s r e c t a n g l ew eu s et h es t a n d a r dn o t e l t i o ni n s o b o l c vs p a c e8 n dd e f i n e ： h “( d i v ；q ) 一 ，i 凡，v ，1 1 ”1 ) ) i r 二 t u u 1 l 2 l f 2 ) ：，圳d l 2 o ) 、 y = f 口i h ( d i v ；n ) ， n 二o o j 1 a n ) m x x 1 ( r 2 ) ) w ea l s od e n o t em l cmw h i d li sc o m p o s e do fc n p i c c e w i s ep o l y n o m i a l so f d e g r c cf f o rf 三ja n dt i l e i ll e tu j 公 v w 7b ei a v i o r tt h e l l l a s ( r ( 1 ) 1 4 丛如氧 m i x c di i i l i t ee l e m e n ts p a c ew h i c hh a v et i l ed e f i n i t i o na sf o l l o w s ：( o f 1 1 】) ( ) t 4 t ( ) w h e r eq “) ( ，y ) e 1 ew - 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