（系统工程专业论文）随机环境下库存管理系统排队模型研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 排队论又名随机服务系统，它通过研究各种服务系统在排队等待 中的概率特性，来解决系统的最优设计和最优控制。本文在已有文献 的基础上采用排队论的相关知识建立了几类随机环境下的库存管理 模型，并得到了最优解。 首先建立了订货带有数量折扣的库存管理模型，讨论了折扣率的 的变化对最优策略制定的影响。而后继续研究了在库存一生产的联合 库存模型中，在制品库存问题对库存策略制定的影响，结果表明当生 产车间服务率不高时，在制品库存问题将对最优策略的制定有着很大 影响。最后，建立了一种变质性物品库存管理模型，研究结果表明变 质性物品的成本越高，对库存策略制定的影响就越大；而变质率对库 存策略的影响相对复杂，在制定库存系统的模型时应根据实际情况考 虑物品的变质问题。 关键词：排队论，库存管理，最优策略，数量折扣，在制品，变质 江苏大学硕士学位论文 q u e u i n gt h e o r yk n o w n a ss t o c h a s t i cs e r v i n gs y s t e m ，t h r o u g hi t sv a r i o u sr e s e a r c h s e r v i c es y s t e mi nt h eq u e u ew a i t i n gf o rt h ep r o b a b i l i s t i cp r o p e r t i e st os o l v et h e o p t i m a ls y s t e md e s i g na n do p t i m a lc o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r ，t h el i t e r a t u r eo nt h eb a s i so f t h eu s eo fq u e u i n gt h e o r yk n o w l e d g eo faf e ws t o c h a s t i cc i r c u m s t a n c e si n v e n t o r y m a n a g e m e n tm o d e l ，a n dg e tt h eo p t i m a ls o l u t i o n f i r s te s t a b l i s h e do r d e rw i t hq u a n t i t yd i s c o u n t si n v e n t o r ym a n a g e m e n tm o d e l ， d i s c u s s e dt h ei m p a c to ft h ed i s c o u n tr a t eo nt h ef o r m u l a t i o no fao p t i m a lb a s e - s t o c k p o l i c y t h e ne s t a b l i s h e dt h ei n v e n t o r y p r o d u c t i o ni n v e n t o r ym o d e l ，d i s c u s s e dt h e i m p a c to fw o r ki np r o c e s si n v e n t o r i e so nt h ef o r m u l a t i o no fao p t i m a lb a s e - s t o c k p o l i c y t h er e s u l t ss h o wt h a tw h e np r o d u c t i o nc a p a c i t ys e r v i c er a t ei sn o th i l 曲，t h e w o r ki np r o c e s si n v e n t o r i e sp r o b l e mw i l la f f e c tt h eo p t i m a lb a s e - s t o c kp o l i c yg r e a t l y f i n a l l y ，t h ee s t a b l i s h m e n t o fa d e t e r i o r a t i n gp r o d u c t si n v e n t o r ym a n a g e m e n t m o d e l t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h eh i g h e rd e t e r i o r a t i n gp r o d u c t sc o s t s ，t h eg r e a t e ri t a f f e c t st h eo p t i m a lb a s e - s t o c kp o l i c y t h ei m p a c to fd e t e r i o r a t i n gr a t eo no p t i m a l b a s e - s t o c kp o l i c yi sc o m p l e x d e t e r i o r a t i n gp r o d u c t ss h o u l db ec o n s i d e r e dw h e n m o d e l i n gai n v e n t o r ys y s t e mi fn e e d e d k e y w o r d s ：q u e u i n gt h e o r y ，i n v e n t o r ym a n a g e m e n t ，o p t i m a lb a s e s t o c kp o l i c y ， q u a n t i t yd i s c o u n t s ，w o r ki np r o c e s s ，d e t e r i o r a t i n g 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名： 年月日 多易笋 年月日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中己注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：狐主 日期：m 年脏月j 7 日 江苏大学硕士学位论文 1 1 选题背景 第一章绪论 库存控制理论( 存储论) 自二十世纪诞生以来，一直是运筹学中的活跃领 域。其内在机理是使用量化手段建立库存模型，再研究库存问题的各种存储方 案，最后探索出最优库存控制策略。据有文献统计，库存费用约占企业总费用 的3 0 一4 0 。因而如何制定最优的库存控制策略已成为决策者必须解决的问题。 在多数研究库存的文献中，需求都是无差别的，库存问题就是在不同的供应模 式n 3 、不同的库存模型嘲脚( 连续检查库存或周期检查库存系统的不同形式) 、 不同的需求过程“儿5 1 ( 如指数分布，泊松分布等) 、不同的缺货处理方式嘲口1 ( 需 求损失、延迟订单或部分延迟订单) 等条件下，研究库存系统的策略问题( 包括 最优策略，近似策略，短视策略等) 或库存模型中参数的优化问题叶。经典的 经济订货批量模型( e c o n o m i co r d e rq u a n t i t y ，e o q ) 己被广泛应用于实际的生 产管理中，但是，经典e o q 模型假设其物品的需求率和其他参数恒定不变，这 使模型的订购批量解与实际的最优值之间仍有很大的差距，它己远远不能满足 物品的个性化和现代精益管理的要求。 近几十年来，经典库存理论的发展日新月异，很多研究成果相继问世，具 有随机需求过程和随机供货时间的库存研究便是其中一个重要分支。在已有的众 多研究方法中，基于排队论方法的所见无几。而库存的主要研究对象其实可以看 作一个排队系统，需求的到达可以看作是输出过程，订货交付过程可以看作是输 入的过程。仓库的存货水平随着需求的到达而减小，随着订货的交付而增加，形 成一个周期循环的排队系统。研究库存系统的最优存货策略所需的仓库的实时库 存水平便可以通过对特定的排队模型进行求解而方便地得到。尤其是对于随机需 求过程和随机供货时间的库存模型，排队论方法有着它不可忽略的优势。 江苏大学硕士学位论文 1 2 国内外研究现状 库存论的起源可以追溯到十九世纪末的有关确定银行保持多少现金流的问 题。在1 9 1 5 年，h a r r i sf 对银行货币的贮备问题进行了详细的研究，建立了一 个确定性的库存费用模型，并确定了最优解，即最佳批量公式。这个模型是后来 发展起来的确定性库存模型和随机性库存模型的鼻祖。1 9 3 4 年w i l s o n r h 重新得 出了h a r r is 的公式，即现在人们熟知的经济订购批量公式e o q ，或称为w il s o n 公 式。这就是库存论的启蒙研究。但库存论真正作为一门理论发展起来，则是在二 十世纪五十年代的事。1 9 5 3 年，w h i t i nt m 撰写了题为“库存管理的理论( t h e t h e o r yo fi n v e n t o r ym a n a g e m e n t ) 一书，接着a r r o wk j 等在1 9 5 8 年撰写的 “库存和生产的数学理论研究( s t u d i e si nt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo f i n v e n t o r ya n dp r o d u c t i o n ) 一书中提炼了生产库存问题中的数学理论。m o r a n p a p 在1 9 5 9 年撰写了“仓贮理论( t h et h e o r yo fs t o r a g e 一书。此后， 库存理论变成了运筹学中的一个独立分支，并陆续对随机或非平稳需求的库存模 型进行了广泛深入的研究。其代表作有w a g n e ra m 等人的( ( d y n a m i cv e r s i o n o f t h ee c o n o m i cl o ts iz em o d e l ( 1 9 5 8 年) ，v e m o t ta f 等人的( t h eo p t i - m a l i n v e n t o r yp o li c yf o rb a t c ho r d e r i n g s ( 1 9 6 5 年) 等。从上个世纪五十年代 起，( m a n a g e m e n ts c i e n c e ，( o p e r a t i o n sr e s e a r c h ，( m a t h e m a t i c so f o p e r a - t i o n sr e s e a r c h ，( m a t h e m a t i c a lm e t h o d so fo p e r a t i o n sr e s e a r c h ( j o u r n a lo f p r o b a b i l i t y ，( j o u r n a lo ft h eo p e r a t i o n a lr e s e a r c hs o c i e t y s i a mj o u r n a lo f c o n t r o la n do p t i m i z a t i o n 等刊物上陆续刊登了研究库存 问题的文章。 影响库存策略制定的因素较多，主要集中在市场需求、价格折扣、缺货损失 和物品变质率等方面的探讨。 在市场需求方面。早期的研究都把需求率看成是固定的常数。后来， h a r i g a l l 2 。1 6 】等研究了需求率是时间线性关系的库存模型。朱广萍【1 7 】【1 8 1 等研究了需 求率是时间的二次函数并且不允许缺货的模型。w e c 川吼1 9 】等建立了需求率函数 是时间的函数且呈指数分布时的库存模型。 在价格折扣方面，于春田【加】等曾建立了订货具有数量折扣的库存模型，但 2 江苏大学硕士学位论文 是只局限于需求是确定型的情况。 另外，贾湖【2 1 】等研究了具有随机需求过程和随机供货时间的库存模型。h e q m 2 2 2 3 1 等利用了矩阵几何解的知识，研究了订货反应时间为零的，订货策略为 兀( q ( t ) ) ( 即订货水平为零，而订货量与订货时刻t 时系统中正在等待加工的 需求个数q ( t ) 相关) 的生产库存系统。吕大昭 2 4 - 2 6 1 等将订货的提前时间作为研 究对象，研究了相应的变质性物品库存模型。s a l l l a r 2 7 1 考虑到一般情况下库存容 量都是有限的，从而建立了库存容量有限且允许缺货的变质性物品库存模型的库 存模型。t j n v e 【冽等研究了生产车间考虑在制品库存问题的库存模型。 1 3 研究内容 在现有文献中，库存模型的建立大致考虑以下几个要素：需求率是常数还是 随机的，订货数量是否带有折扣，允不允许缺货，缺货情况下对仓库是否造成损 失。本文研究了需求率是是指数分布的，订货带有数量折扣的，允许缺货但有一 定损失的库存模型。绝大部分文献都假定在订货时是瞬间补货的，即补充率无穷 大，这显然是不符合实际的，本文针对补充间隔为随机的情况下，研究了库存模 型的优化控制。 鲜有文章将库存与加工车间作为一个整体研究，本文将二者结合起来，考虑 了加工车间的在制品库存问题，这是生产系统很重要的一部分，而很多已有库存 模型都忽略了这一部分。 越来越多的学者将库存管理的重点放到对于库存物品变质的处理上来，本文 也就物品会变质的情况，给出了自己的处理方法，这与模型的建立是基于排队系 统这一点是密切相关的。 针对以上三个方面，本文利用排队论这一有效工具，对库存问题进行了研究。 并且尽量地在理论与现实之间架起一座桥梁，可以预见最终的研究成果将具有较 大的理论价值，并对企业的经营决策也有着很好的指导意义。 3 江苏大学硕士学位论文 第二章基本排队理论 2 1 排队论的研究内容 排队论起源于2 0 世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔兰用概率论方法研究 通话问题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门新学科建立了基础 1 3 。到 了3 0 年代中期，w f e l l e r 引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认为- i 7 重 要的学科。到了二战期间，经典排队理论逐渐成熟，这里所指的“经典排队理论 指的是排队系统的描述性数学模型，对于这样的模型通常是建立在马尔可夫性的 前提之下来获得排队系统稳态时的队长和等待时间分布的精确解。在此期间，许 多具有天赋的运筹学专家、概率论学者和数学家对输入过程和服务过程相互独立 的单服务台排队模型进行过研究，并且获得了一系列著名的研究成果，而对多服 务台排队系统的研究，主要集中在服务时间满足负指数分布的排队情形。在当时， k e n d a l l 、l i n d l e y 、s m i t h 、c o x 、l o y n e s s 等作出的贡献为排队理论的发展打 下了扎实的基础。 排队理论不仅可以被用来描述现实生活中的排队现象，还可以对一些抽象的 排队问题进行描述，比如，在计算机科学和操作系统的设计等等。它通过对各种 服务系统进行概率描述，运用概率特性来对各类日常生活中的拥挤现象进行研 究。因此，排队论可以看作是运筹学和应用概率的重要分支，所研究的问题具有 较强的实际背景。经过几十年的发展，排队论已经成为一门相当成熟的理论，这 方面的研究专著和论文数以千计。特别是随着计算机技术的迅速发展，排队论的 研究也日新月异，已经由以前的纯理论研究逐步向理论和模拟相结合转换。目前， 排队论已经广泛应用于通信工程、交通运输、计算机系统设计、i n t e r n e t 网络 通信、柔性制造系统、生产系统规划、国防科技和系统可靠性等众多领域，并且 取得了丰硕的成果。排队理论已经成为许多工程技术人员、系统管理人员进行系 统开发和研究的重要手段。 排队论中最为基本的概念是：顾客、排队队列和服务员( 服务台) 。这三个 基本概念的含义显而易见。一般地，在排队系统中，顾客是由输入源来产生的， 并且顾客是依据一定的分布( 至少要按照模型目的来进行简化假设) 来产生的， 4 江苏大学硕士学位论文 该统计分布描述了顾客的到达时间间隔。顾客在到达系统后排队等待接受服务， 在各个时间点上，服务员按照一定的规则对顾客进行特定的服务。这里所指的规 则就是我们通常所说的排队规则。排队队伍中的排头指的是第一个到达的顾客， 与之相对的是排尾，指的是队伍中最后的一位顾客( f c f s 到达情况) 。下面我 们对上述排队论中的重要基本概念逐一考虑。 ( 1 ) 输入过程 排队输入过程也称为到达过程，是那些需要服务的人或物( 顾客) 到达服务 台前寻求服务的过程。顾客在那可以得到服务，在服务完后又相继离去。当一个 顾客到达服务台时，服务台正处于服务中，那么该顾客通常需要等待。到达过程 中最为简单的是p o i s s o n 到达过程，它假设顾客按照p o i s s o n 分布来到达，它等 价于顾客的到达间隔服从负指数分布形式。顾客的到达可以是单个到达也可以是 批量到达，如果系统允许所有到达的顾客在系统中排队等候，我们称此类系统具 有无限等待系统，反之称为有限等待系统。在有限等待系统中，当一个顾客到达 后发现系统中顾客数已经达到系统的容纳极限值k 时，该顾客就不再等待，并且 立即离去。如果k = o 时，除非系统能够为到达的顾客立刻提供服务，否则到达顾 客立即离开。丢失系统就是这类有限容量系统中的一个特例。 ( 2 ) 排队规则 排队规则指的是确定排队队伍形式的规律和顾客接受服务的先后顺序。例 如，服务台对顾客进行随机服务或者按照顾客的到达顺序来进行服务。其中按照 顾客到达的顺序服务的规则是最简单的情形，也是日常生活中最常见的一种，我 们通常称之为先到先服务原则，记为f c f s ( f i r s tc o m e ，f i r s ts e r v e ) 。除了这 两种规则外，还有许多其它的服务规则，例如，后到先服务( l c f s l a s tc o m e ， f i r s ts e r v e ) ，有优先权服务等。正如现实生活中，仓库里提取货物就是典型 的后到先服务。服务过程和到达过程一样，也可以是批量地进行服务，批量数可 以是确定的或者随机变量。通常情况下，我们考虑排队模型的时候都不考虑顾客 进入服务台的时间，但在实际情况下，这一点显然不成立。比如，服务台的操作 要靠手工来完成，服务台工作断断续续的，当一个顾客服务完后离开系统时，服 务台并不能够立刻为下一位顾客提供服务，必须经过一定的时间来处理上一位顾 客离开后系统中剩余的工作才能进行下一个服务。 5 江苏大学硕士学位论文 ( 3 ) 服务机制 服务机制指的是顾客在排队队伍中被选择接受服务的过程。从该顾客开始接 受服务起，到被服务结束的那一刻为止，整个过程所占用的时间称为服务时间。 假设顾客离去时刻点r k ，( k = 1 ，2 ，3 ，) ，如果在t = 0 的时候顾客离开， 我们称这一时刻为初始离去点，记为r o = o ，设s k ，( k - - 1 ，2 ，3 ，) 为第k 个顾客的服务时间分布函数通常记为s ( 砷- p ( s ks 力，o x o ，状态空间e = o ，1 ，2 ， ，如 果对于任意的非负整数r l ，以及任意0 矗 乞 o ，如果其无穷小 生成元有下列三对角形式： 7 江苏大学硕士学位论文 a i 一凡如 一一( a + h )a 心一( 五+ 心) 一( 五+ 以) 五 ，则称 x ( f ) ，t o 是 一个生灭过程， 以，疗0 称为生率， 从，”o ) 称为灭率。 生灭过程的最基本特征是：在充分短的时间内，过程只能转移到相邻的状态 上，即当址一0 时，有 尸 x ( f + 址) = 七i x ( f ) = = 乃，+ d ( 址) j 血+ d ( ，) ( 乃+ ，) a t + o ( a t ) d ( 缸) k | + 1 k i j - 1 , j 芝1 k j 。 i k - j l _ 2 2 、极限定理啪1 ：令p j = ! 骢e ( f ) ，e ， ( 1 ) 对有限状态e = o ，1 ，2 ，k ) 的生灭过程， c ，j = o ，1 ，七) 存在， 与初始条件无关，且弓 o ，j = l ，2 ，( 七，所) ，状态集 ( 后，) ，( 七，聊) ) 称为水平七，k o ， 如果将状态按字典排序后，其生成元可写成下列分块三对角形： 8 江苏大学硕士学位论文 q a a 且 c o aq 岛ac 2 b 。氏 ，则称 x ( f ) ，( f ) ) 是一个拟生灭过程 ( q u a s ib i r t ha n d e a t hp r o c e s s ，简e q b d ) ，其中所有子块是m 阶方阵，a 2o ) 有负的对角线元素，并且行和非正，鼠和g 都是非负阵，满足 ( 4 + c o ) e = ( 4 + 最+ g ) p ，k 1 。 q b d 是经典生灭过程从一维状态空间到二维状态空间的推广。经典生灭过程 的状态空间x ( t ) = k 视为被分解成m 个子状态 ( 尼，z ) ，( 七，所) 。这一结构顺应了 刻画过程在多层次、多相位及变动参数情况下演化的要求。e v a n s ( 1 9 6 7 ) 首先在 排队论分析中使用这类过程，w a l l c a e ( 1 9 6 9 ) 在计算机系统研究中也遇到这类过 程，并由他引入了“拟生灭过程 这一术语。迄今广泛使用的只是一类特殊的q b d ， 即生成元q 中的子块从某一水平开始不再发生变化的情形。这时，过程生成元 如：qn 二十世纪7 0 年代以来，n e u t s ( 1 9 8 1 ) 等系统地发展了处理这种特殊q b d 的矩 阵分析方法，通过求率矩阵来求解。对于一般的q b d ，尚未建立起平行于经典生 灭过程的理论和处理方法。 9 c c a a 口 缸曰 q 艮 g a a 西 江苏大学硕士学位论文 第三章订货带有数量折扣的随机型库存模型 3 1 存储论的基本概念 存储论是专门研究有关存储问题的科学，它是运筹学的一个重要分支。如在 生活中会遇到这样一些问题：工厂生产需用原料，如没有贮存一定数量的原料， 会发生停工待料现象，但原料贮存过多除会积压资金外，还要支付一笔存储保管 费用；在商店里若存储商品的数量不足，会发生缺货现象，从而失去销售机会而 减少利润，但如果存量过多，一时售不出去，会造成商品积压，占用流动资金过 多而且周转不开等等。诸如此类的问题还有很多，这类问题的共同点就是都与存 储量有关，需要人们做出抉择，这些都是存储论研究的范畴。这篇文章要研究的 问题也是存储论的一个很重要的领域，即变质性物品的库存管理问题。 工厂为了生产，必须贮存一些原料，生产时从存储的原料中取出一定数量， 生产不断进行，存储不断减少，到一定时刻必需对存储进行补充，否则存储用完 了，生产无法运行；商店必须贮存一些商品，营业时卖掉一部分商品使存储减少， 到一定时候又必需进货，否则库存售空无法继续营业。 显然，需求和补充是存储论里面两个很重要的基本概念，因而在这里有必要 介绍一下这两个基本概念。 1 需求 存储的目的是为了满足需求。随着需求的发生，存储将减少。根据需求的时 间特征，可将需求分为连续性需求和间断性需求。在连续性需求中，随着时间的 变化，需求连续地发生，因而存储也连续地减少；在间断性需求中，需求发生的 时间很短，可以看作是瞬时发生，因而存储的变化是跳跃式地减少。根据需求的 数量特征，可将需求分为确定性需求和随机性需求。在确定性需求中，需求发生 的时间和数量是确定的。如生产中对各种物料的需求，或在合同环境下对商品的 需求，一般都是确定性需求；在随机性需求中，需求发生的时间和数量是不确定 的。如在非合同环境中对产品或商品的独立性需求，很难在事先知道需求发生的 时间和数量。对于随机性需求，要了解需求发生时间和数量的统计规律性。本文 在建立订货带有数量折扣的库存模型时，假设需求都是连续的和随机的。 1 0 江苏大学硕士学位论文 2 补充 通过补充来弥补因需求而减少的存储。没有补充，或补充不足、不及时，当 存储耗尽时，就无法满足新的需求。从开始订货( 发出内部指令或市场订货合同) 到存储的实现( 入库并处于随时可供输出以满足需求的状态) 需要经历一段时间。 即：开始订货到开始补充( 开始生产或货物到达) 为止的时间。这部分时间如从订 货后何时开始补充的角度看，称为拖后时间：如从为了按时补充需要何时订货的 角度看，称为提前时间。在同一存储问题中，拖后时间和提前时间是一致的，只 是观察的角度不同而已。在实际存储问题中，提前时间可能很短，以致可以忽略， 此时可认为补充能立即开始，提前时间为零。如提前时间较长，则它可能是确定 的，也可能是随机的。本文在建立库存模型时，假设提前时间也是随机的，这就 更为符合实际情形。 3 费用 存储模型中经常考虑的费用有存储费、订货费及缺货费。 ( 1 ) 存储费 存储费包括存储货物占用资金应付利息、保险费及仓库的保管费等，这些费 用一般随存储数量和时间的增加而增加。 ( 2 ) 订货费 本文考虑的是一次订货费，如手续费、通讯费、交通费等，它与订货次数有 关而与订货数量无关。 ( 3 ) 缺货费 缺货费是指由于存储物供不应求时所引起的损失。如失去销售机会的损失以 及不能及时履行所做的赔偿等。 对存储问题进行研究的目的是给出一个存储策略，即决定什么情况下对存储 进行补充，以及补充数量的多少。在存储论研究中，常以费用标准来评价和优选 存储策略。实际计算时，常用一个存储周期内的总费用或单位时间平均总费用来 衡量。本章建立模型时，考虑的费用除了上面提到的几种以外，还包括随订货数 量而变的数量折扣费。另外，在计算费用以确定库存策略时，用单位时间平均总 费用来衡量。 江苏大学硕士学位论文 3 2 系统描述 仓库中存有单一物品。订货策略为( s ，s ) ，即：连续盘点，一旦库存小于 等于s ( s 0 ) ，立即发出订单，使得订货到达时刻的库存水平达到s ；否则，就 不予订货。到达仓库的顾客流是参数为五的p o i s s o n 流，当仓库的库存水平大于 零时，顾客总是能在它到达的瞬间得到物品；而当库存水平小于等于零时，顾客 等待仓库订货的到来才能拿到物品，仓库记录有一个单位的缺货。我们称从订货 时刻起到所订货物到达仓库为止的时间为订货反应时间，这段时间是一随机变 量，假设它服从参数为秒的指数分布。我们约定，当所订货物到达仓库时，系统 中的欠缺物品先予以满足，并使仓库的库存水平达n s 。 为了描述该系统，给出指标i ( t ) ：t 时刻仓库的库存水平，当i ( t ) 0 时 表示仓库中的存货量，当 i ( t ) o 时| i ( t ) l 表示仓库t 时刻的缺货量。 该系统费用考虑以下四种： 1 一次订货费k ； 2 存储费：单位时间单位货物的存储费为h ； 3 缺货费：每个单位的需求缺货在单位时间的损失费为p ； 4 批量折扣费：每个单位货物的折扣费与一次订货的数量成正比，令一次 订货数量为q ，则单位货物的价格降低g q 元，g 为批量折扣率。 3 3 模型的建立与求解 当t = 0 时，假设系统的库存水平是s 个单位，仓库的库存量以参数为力的 p o i s s o n 过程减少，当仓库库存数量减少至s 个单位时，仓库向供货系统订货， 订货反应时间为参数为p 的指数随机变量，记为w ，其均值为矿1 。经过w 后，所 订的货物到达库房，系统的库存水平返回到s 。随后，仓库的库存水平再随顾 客的到达而减少，随所订货物的到达而返回到s 仓库的库存水平是一个周 期运行的更新过程，我们把系统中的库存水平刚到达s 的时刻记为更新点。如 果相邻两个到达的需求间隔时间用t 表示，其均值为a ，那么在一个更新区 间内，当第s s 个需求到达时，仓库开始订货，订货的反应时间为w 。订货的 江苏大学硕士学位论文 反应时间结束时刻，恰是下一个更新区间的起始时刻，我们将两个相邻的更新 点之间称为一个更新循环。因此两个相邻的更新点的间隔时间是( s s ) t + w 。 设在一个更新循环内仓库的的存储配件的消耗总费用函数为c ( s ，s ) ，则由 更新报酬定理可知，在系统达到稳定状态条件下，单位时间产品的平均费用函 数为： - p ( s , s ) = 尚2 而2 而0 c s ) ( 3 1 ) 作为系统中时刻t 的库存量i ( t ) ，是一个连续时间马尔可夫链，其状态空 间为：d = s ，s 一1 ，s ，j 一1 ，0 ，一1 ，埘 ，该过程的状态转移图见图3 1 。 a j ；l丸 ：；l；l丸丸丸 其无穷小生成元是： q = 图3 1 库存系统状态转移图 一是 名 一2五 0 0 一 + 名 00 一( 五+ d 1 p ( 3 2 ) 由于连续时间马尔可夫链i ( t ) 的无穷小生成元亘的所有主对角元素非零， 该连续时间马尔可夫链的所有状态是互通的。因此，这是一个不可约的马尔可 夫链。又由! i m p s s ( t ) = ! i m p 却 0 ，p s s ( t ) = 以，( ，) = s i ，( o ) = s ) ，所以状态s 为 正常返的p 踟。由于i ( t ) 是一个不可约的马尔可夫链，所以它所有的的状态都是 正常返的，则该马尔可夫链具有平稳分布。假设该连续马尔可夫链i ( t ) 的平稳 概率向量为： p = ( b ，b - l ，只，只小，蜀，l ) ， 江苏大学项士学位论文 则p 满足 解得置一 馕二? 翌 s + 1 f s p - s ) o + l 南( 爿劓 ( 3 3 ) p i o ，所以连续时间马尔可夫链i ( t ) 是遍历的。令，= ，1 i r a 。，( f ) ，则i 是系统 达到稳定状态的存储量。 定理1 在一个更新周期内，仓库中存储物品的平均费用函数为 c c 鼬，= ( 刍一g ) s 2 + ( 刍+ 2 伊一2 鲁) s + c s ， c 3 其中： 郇m 一譬一( 篑+ 鲐) 氧笥一( f 2 - f ) 坞2 , 2 ( p 洲笥 证明：在每一个更新循环的结束时刻，对仓库中的存货进行盘点，记在第n 次 更新循环的结束时刻，仓库中的库存量为，。，令尸， = f ) 表示库存水平在小 于等于s 的情况下为i 的平稳概率。则 “斗忡恻= 端= 熙厂 慨5 ， 其中i - - - s ，s - - i ，0 ，一1 如果在一个更新循环的结束时刻仓库的库存l - f 0 ，说明在这个更新循环 内仓库没有缺货。在这样的更新循环内，经营库房的总费用函数为订货费和存储 费的总和减去批量折扣费，即 c j ( 跏) ：厅 s + ( s 一1 ) + 州 于+ 七一g ( s 一沪鲁壹，一g ( s f ) z + 七 ( 3 6 ) 如果第n 次更新循环的结束时刻仓库的库存量l i o ，f i f e s o ( s ) 为极小值。当s o 时， - 一( 。) s 寸o ，此时e ( s ，s ) 呻；当s o o 时，亦有e ( s ，s ) 一。所以s o ( j ) 为s ( o ，o o ) 上的最小值。由于库存量是正整数，所以最优的初始库存水平由式( 3 1 0 ) 确定。 3 5 数值例子 假设仓库需求服从参数为五= 5 0 单位天的指数分布，每次的订货费k 为 2 5 0 元，单位配件的库存费h 为1 元天，单位配件的缺货费p 为2 元天，订 货反应时间服从参数为0 = 0 1 天的指数分布。对应不同的s 和g 值得到的最 优解如表3 1 所示。 从表3 1 的计算结果可以看出，当s 固定，g 由0 0 0 0 t 变化到0 0 0 1 时， 随着批量折扣率的增加，仓库的最优库存有变大的趋势，平均费用也呈递减趋 势，这说明当订货数量有折扣时，平均费用有所降低，仓库的最优库存小幅度 的增大如图3 2 所示。当g 取值固定，s 由5 逐渐增加到3 5 0 时，仓库的最优 存储量的变化如图3 3 所示。 表3 1不同s 和g 值所得的最优解 s g s 。( s ) 酽( s ) + 1 百( ( s ) 弓( s 。( s ) + 1 s 0 0 0 0 13 7 43 7 56 6 2 1 8 5 6 6 1 8 5 0 53 7 5 0 0 0 0 23 7 53 7 66 5 8 1 7 0 16 5 7 8 3 7 43 7 6 50 0 0 0 53 8 03 8 16 4 5 4 8 1 76 4 5 1 5 7 83 8 1 0 0 0 0 83 8 53 8 66 3 2 8 3 3 26 3 2 5 1 7 53 8 6 0 0 0 13 8 83 8 96 2 4 5 2 5 36 2 4 2 1 4 33 8 9 0 0 0 0 1 3 6 83 6 9 6 4 8 5 4 0 56 4 8 1 9 4 13 6 9 0 0 0 0 23 6 93 7 06 4 4 3 6 9 46 4 4 0 2 4 63 7 0 5 00 0 0 0 53 7 33 7 46 3 1 5 2 2 76 3 1 1 8 4 53 7 4 0 0 0 0 8 3 7 73 7 86 1 8 6 9 66 1 8 _ 3 6 4 3 7 8 0 0 0 13 8 03 8 16 1 0 0 4 5 36 0 9 7 1 7 83 8 1 o 0 0 0 13 6 03 6 16 2 5 8 3 0 76 2 5 4 5 13 6 1 0 0 0 0 23 6 13 6 26 2 1 1 4 6 86 2 0 7 6 8 43 6 2 1 5 00 0 0 0 53 6 33 6 46 0 7 4 7 36 0 7 0 9 63 6 4 0 0 0 0 83 6 53 6 65 9 3 7 9 4 95 9 3 4 1 9 1 3 6 6 0 0 0 13 6 73 6 85 8 4 4 2 3 35 8 4 0 4 9 83 6 8 0 0 0 0 13 6 83 6 96 0 1 0 9 5 56 0 0 6 3 4 5 3 6 9 0 0 0 0 23 6 83 6 95 9 4 6 2 2 85 9 4 1 6 0 43 6 9 3 5 00 0 0 0 53 6 83 6 95 7 5 2 0 4 6 5 7 4 7 3 8 13 6 9 0 0 0 0 83 6 93 7 05 5 5 3 1 5 85 5 4 溯 3 7 0 0 0 0 1 3 6 93 7 0 5 4 2 3 6 7 65 4 1 8 9 7 83 7 0 1 6 江苏大学硕士学位论文 图3 2 最优解随g 的变化趋势 3 6 结论 图3 3 最优解随s 的变化趋势 本章在需求和订货反应时间都是随机变量的条件下，建立了带有订货批量 折扣的费用模型，给出了仓库应如何调整自己的库存量以达到使得仓库的经营 费用最低的算法。由于在实际中，供货方采取的时鼓励用户多订货的批量折扣 优惠政策，所以当有多方供货源提供不同的订货优惠时，可以用本模型的最优 解算法制定仓库的订货策略，并对订货方进行选择。 1 7 江苏大学硕士学位论文 第四章考虑在制品( wip ) 库存的库存一生产模型 本章在第三章模型的基础之上建立了由一个仓库和一个加工车间组成的库 存一加工系统模型，仓库用来存放加工车间加工所需的配件，顾客达到仓库拿 到配件到生产车间去加工。考虑仓库的运营时，绝大部分模型都忽略了正在等 待加工的物品的( w o r k i n p r o c e s s ，简记为w l p ) 库存花费问题，b o u c h e r 船曾经 指出：“通过观察大规模的离散生产设备发现库存花费最大的部分是在制品的库 存花费。那些只考虑已成品库存费的模型可能不适合目前的生产系统，所以由 此模型得到的预测可能只是局部最小解或是错误的决策。例如：当用k i m 口2 1 的 基于e p q 的模型预测出收益会减少时，实际的生产系统收益却会增加。本章将 仓库和加工车间作为一个整体研究，考虑了在制品库存问题，给出了该系统模 型的最优解，指出了加工车间的生产水平对最有库存策略的影响。 4 1 系统描述 系统由一个仓库和一个加工车间组成，仓库中存有单一物品。订货策略为 ( s ，s ) ，即：连续盘点，一旦库存小于等于s ( s o ) ，立即发出订单，使得 订货到达时刻的库存水平达到s ；否则，就不予订货。到达仓库的顾客流是参 数为免的p o i s s o n 流，加工车间的服务时间服从参数为z 的指数分布，加工车 间按照先到先服务的原则一次服务一位顾客。当仓库的库存水平大于零时，顾 客总是能在它到达的瞬间得到配件去加工；而当库存水平小于等于零时，顾客 不再等待仓库订货的到来，而是转向其它的仓库，这对仓库造成一定的损失， 这期间加工车间休假。我们称从订货时刻起到所订货物到达仓库为止的时间为 订货反应时间，这段时间是一随机变量，假设它服从参数为乡的指数分布。我 们约定，当所订货物到达仓库时，仓库的库存水平达到s 。 为了描述该系统，给出以下两个指标： 1 l ( t ) ：t 时刻在加工车间排队等待的顾客数； 2 i ( t ) ：t 时刻仓库的库存水平，当i ( t ) o 时表示仓库中的存货量，当 i ( t ) o 时，i i ( 0 i 表示仓库t 时刻的缺货量，以便计算因缺货造成的损失。 1 8 江苏大学硕士学位论文 该系统费用考虑以下三种： i 一次订货费k ； 2 存储费：单位时间单位货物的存储费为h 。这里需要考虑存储费的物品 既包括没有被拿去加工的配件，又包括由于加工车间在忙而在排队等待的配件。 3 缺货费：每个单位的需求缺货的损失费为p ，这种缺货损失费与第三章 中的不同。第三章中的顾客愿意为缺货而等待，在订货到达时刻优先予以满足， 所以仓库的缺货损失费是与时间和数量都相关的；而此章中的缺货损失费只与 缺货的数量有关，因为这时的顾客是不愿意等待缺货的到来的，就不必考虑为 顾客的等待时间而做赔偿的问题，只考虑机会的丧失所带来的损失。 4 2 模型的建立与求解 当t - - o 时，假设系统的库存水平是s 个单位，仓库的库存量以参数为五的 p o i s s o n 过程减少，当仓库库存数量减少至s 个单位时，仓库向供货系统订货， 订货反应时间为参数为秒的指数随机变量，记为w ，其均值为目。经过w 后，所 订的货物到达库房，系统的库存水平返回到s 。随后