（计算数学专业论文）几何造型中自由曲线曲面光顺性研究.pdf

西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘要 曲 线、曲面光顺是c a g d中的重要研究课题之一， 在航空、 宇航、 汽车和船 舶等设计制造行业中有着重要的应用， 因此受到人们的普遍重视。 但是由于光顺 处理的复杂性， 直到现在， 此问 题还没有达到彻底的解决， 对它的研究仍在进行 之中。 本文给出了一种适合于平面参数三次n u r b s曲线只需要进行微弱调整就 可以达到光顺的权因子优化光顺算法， 本算法是采用剪力跃度平方和作为目 标函 数， 通过调整控制顶点权因子来达到光顺目的，目的是使曲 线的曲率变化均匀的 同时， 使光顺后的曲线与原曲线的偏差尽量小; 还给出了一种基于离散曲率的三 次参数样条曲 线的自 动光顺算法， 是通过直接调节型值点的位置来实现曲 线的光 1顷;两种算法都简单易行，计算量较小。 本文的主要研究内容如下: 1 .在综述几何造型原理的基础上，回顾了几何造型技术的发展趋势和现状， 并介绍了曲 线曲 面光顺技术的意义和发展前景; 2 . 介绍了光顺的概念、 光顺准则和一些经典光顺法， 并详细的分析了它们的 优缺点; 3 . 给出了一种适合于平面参数三次n u r b s曲 线只需要进行微弱调整就可以 达到光顺的权因子优化算法; 4 .给出了一种基于离散曲率的三次参数样条曲线的自 动光顺算法。 关键词:n u r b s曲线 曲线光顺 光顺准则 三次参数样条曲线 几 何 造 型 中 自 由 曲 线 曲 面 光 顺 性 酬 究 ab s t r e t t h e f a i r i n g o f c u r v e s a n d s u r f a c e s i s o n e o f t a s k s i n c a g d a n d i s u s e d t o a v i a t i o n , s p a c e n a v i g a t i o n ,a u t o m o b i l e a n d s h i p p i n g ,s o p e o p l e v e r y a t t a c h i m p o r ta n c e t o i t .b u t f a i r in g p r o c e s s i s s o c o m p l i c a t e d t h a t u n t i l n o w i t i s n o t c o m p l e t l y r e s o l v e d a n d t h e r e s e a r c h f o r i t i s g o i n g o n . a n b a s e d - w e i g h t s o p t i m a l f a i r i n g a l g o r i t h m s u i t f o r p l a n a r p a r a m e t r i c c u b i c n u r b s c u r v e s i s p r e s e n t e d , m o r e o v e r c a n a c h i e v e f a i r i n g b y f a i n t a d j u s t . t h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r m a k e s t h e c h a n g e o f c u r v a t u r e o f f a i r e d c u r v e s m o r e g r a d u a l a n d i t s d e v i a t i o n f r o m t h e i n it i a l c u r v e s s m a ll e r .a n g l o b a l f a r in g a l g o r i t h m f o r c u b i c p a r a m e t r i c s p l i n e c u r v e s i s p r e s e n t e d .i t r e a l i z e s f a i r i n g o f c u b i c p a r a m e t r i c s p l i n e c u r v e s b y m o d i f y i n g i n t e r p o l a t i o n p o i n t .t h e s e t w o m e t h o d s a r e s i m p l y f a c i l e a n d n e e d d o a s ma l l e r c a l c u l a t i o n . t h e m a i n r e s u lt s i n t h i s p a p e r a s f o l l o w i n g : 1 .s u m m a r i z e t h e d e v e l o p a n d a c t u a l i t y o f c a g d .i n t r o d u c e t h e m e a n i n g a n d f o r e g r o u n d i n f a i r i n g o f c u r v e s a n d s u r f a c e s ; 2 .i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f f a i r i n g , f a i m e s s i n d i c a t o r s a n d s o m e c l a s s i c a l f a i r i n g m e t h o d s , m o r e o v e r a n a l y z e i t s a d v a n t a g e a n d d i s a d v a n t a g e ; 3 .a n b a s e d - w e i g h t s o p t i m a l f a i r in g a l g o r i t h m s u i t f o r p l a n a r p a r a m e t r i c c u b i c n u r b s c u r v e s i s p r e s e n t e d , m o r e o v e r c a n a c h i e v e f a i r i n g b y f a i n t a d j u s t ; 4 . a n g l o b a l f a r in g a l g o r i t h m f o r c u b i c p a r a m e t r i c s p l i n e c u r v e s i s p r e s e n t e d .i t r e a li z e s f a i r i n g o f c u b i c p a r a m e t r i c s p l i n e c u r v e s b y m o d i f y i n g i n t e r p o l a t i o n p o i n t . k e y w o r d : n u r b s , f a i r i n g o f c u r v e s , f a i rne s s c r i t e r i o n , c u b i c p a r a m e tr i c s p l i n e c u r v e s i i 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 第一章绪论 计算机 辅助几何设计 ( c o m p u t e r a i d e d g e o m e t r i c d e s i g n ， 简写为c a g d ) 是 随着航空、 汽车等现代工业发展与计算机的出 现而产生与发展起来的一门新兴边 缘学科， 这一术语是 1 9 7 4 年由b a r n h i l l 与r i e s e n f e l d 在美国犹太大学的一次国际 会议上提出， 是用于描述计算机辅助设计的数学形式， 它主要研究自由曲 线、 曲 面的表示、设计、显示、 分析及规格处理等问题;它是借助于数学的理论和方法 并融合计算机应用技术解决计算机辅助设计中的种种数学问题，建立数学模型， 使得设计既适合计算机处理， 能有效的满足形状描述与几何要求， 又便于形状信 息传递和产品数据交换， 它己成为c a d / c a m、 计算机图形学、 计算机动画及电 影、 计算机仿真、 计算机视觉等领域的 几何造型基础; 它的 理论研究是微分几何、 数值代数、代数几何、逼近论、 样条函数、拓扑学以及计算机学科的交叉反映。 互 1 . 1概述 计算机辅助几何设计是应现代工业发展的要求，以计算机的出现和发展为条 件， 从而产生和逐步发展起来的， 又对现代工业的发展起着巨大推动作用的一门 新兴学科。它的产生和发展推动了计算机辅助设计与制造的迅猛发展，而 c a d / a c m 技术的发展和应用水平己 经成为衡量一个国家科技现代化水平的重 要标志，因此，c a g d在一个国家的发展水平与该国工业发展水平紧密相关。 c a g d的研究对象是工业产品的几何形状。 工业产品的形状大致可分为两类: 一类是仅由 初等解析曲 面( 例如平面、 圆柱面、 圆锥面、 球面、 圆环面等) 组成， 大多数机械零件属于这一类， 可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和 传递所包含的全部形状信息; 第二类是不能由初等解析曲面组成， 而以复杂方式 自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成， 例如飞机、 汽车、 船舶的外形 零件。显然，后一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。 在制造飞机或船舶的工厂里，传统上采用模线样板法表示和传递自由型曲线 曲面的形状。 模线员与绘图员用均匀的带弹性的细木条、 有机玻璃条或金属条通 过一系列点绘制所需要的曲 线即模线， 依此制成样板作为生产与检验的依据。 在 曲面上没有模线控制的部分取成光滑过渡。 这种采用模拟量传递信息的设计制造 方法所表示与传递的几何形状因人而异， 要求设计与制造人员付出繁重的体力劳 动，设计制造周期长，制造精度低，互换协调性差， 不能适应现代航空、汽车等 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 第一章绪论 计算机 辅助几何设计 ( c o m p u t e r a i d e d g e o m e t r i c d e s i g n ， 简写为c a g d ) 是 随着航空、 汽车等现代工业发展与计算机的出 现而产生与发展起来的一门新兴边 缘学科， 这一术语是 1 9 7 4 年由b a r n h i l l 与r i e s e n f e l d 在美国犹太大学的一次国际 会议上提出， 是用于描述计算机辅助设计的数学形式， 它主要研究自由曲 线、 曲 面的表示、设计、显示、 分析及规格处理等问题;它是借助于数学的理论和方法 并融合计算机应用技术解决计算机辅助设计中的种种数学问题，建立数学模型， 使得设计既适合计算机处理， 能有效的满足形状描述与几何要求， 又便于形状信 息传递和产品数据交换， 它己成为c a d / c a m、 计算机图形学、 计算机动画及电 影、 计算机仿真、 计算机视觉等领域的 几何造型基础; 它的 理论研究是微分几何、 数值代数、代数几何、逼近论、 样条函数、拓扑学以及计算机学科的交叉反映。 互 1 . 1概述 计算机辅助几何设计是应现代工业发展的要求，以计算机的出现和发展为条 件， 从而产生和逐步发展起来的， 又对现代工业的发展起着巨大推动作用的一门 新兴学科。它的产生和发展推动了计算机辅助设计与制造的迅猛发展，而 c a d / a c m 技术的发展和应用水平己 经成为衡量一个国家科技现代化水平的重 要标志，因此，c a g d在一个国家的发展水平与该国工业发展水平紧密相关。 c a g d的研究对象是工业产品的几何形状。 工业产品的形状大致可分为两类: 一类是仅由 初等解析曲 面( 例如平面、 圆柱面、 圆锥面、 球面、 圆环面等) 组成， 大多数机械零件属于这一类， 可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和 传递所包含的全部形状信息; 第二类是不能由初等解析曲面组成， 而以复杂方式 自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成， 例如飞机、 汽车、 船舶的外形 零件。显然，后一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。 在制造飞机或船舶的工厂里，传统上采用模线样板法表示和传递自由型曲线 曲面的形状。 模线员与绘图员用均匀的带弹性的细木条、 有机玻璃条或金属条通 过一系列点绘制所需要的曲 线即模线， 依此制成样板作为生产与检验的依据。 在 曲面上没有模线控制的部分取成光滑过渡。 这种采用模拟量传递信息的设计制造 方法所表示与传递的几何形状因人而异， 要求设计与制造人员付出繁重的体力劳 动，设计制造周期长，制造精度低，互换协调性差， 不能适应现代航空、汽车等 几 何 造 型 中 自 由 曲 线 曲 面 光 顺 性 研 究 工业的发展。 人们一直在寻求用数学方法唯一地定义自由型曲线曲面的形状， 将 形状信息从模拟量改变为数值量。 由 此而来的大量计算工作手工无法完成， 只 能 由 计算机来完成。 随着计算机的出现， 采用数学方法定义自由型曲线曲面才达到 实际应用的地步。 这导致了本学科的产生与发展。 依据定义形状的几何信息， 应 用本学科所提供的方法， 就可建立相应的曲 线曲 面方程即数学模型， 并通过在计 算机上执行计算和处理程序， 计算出曲线曲面上大量的点及其它信息。 其间， 通 过分析和综合就可了 解所定义形状具有的局部和整体的几何特征， 这里实时显示 与交互修改工作几乎同步进行。 在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心的问题是计算机表示，即要 找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求， 又便于形状信息 传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。 关于实体造型的理论的发展落后于曲 线曲面，虽然近几年来已取得很大进展 并进入实际应用，但仍不及曲线曲面理论那样成熟。 既然计算机辅助几何设计是用来描述几何形状的数学方法，我们自 然希望它 能满足一定的要求，主要有以下几条: 1 ) 确定性要求用有限的信息确定的形状是确定的; a ) 几何不变性 曲 线曲 面的 一些特征几何性质在某种几何变换下不变; 3 ) 易于定界 产品的形状是有限的，形状的数学描述应易于定界; 4 ) 统一性能统一表示各种形状及处理各种情况: 5 ) 具有丰富的表达能力 迅速与灵活地响应设计员自由 地绘制任意形状的 能力; 6 ) 易于实 现连接 单段曲 线或曲 面片难以 表达复杂的形状， 通常由 若干曲 线 段或曲面片按照一定的光滑性要求拼接而成，因此，这种数学方法应易于 实现这种光滑连接; 7 ) 易于实现对形状的控制 要求形状的数学描述不仅具有整体的控制能力， 而且具有局部的控制能力; 8 )具有几何直观性几何意义要明显。 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 .2计算机辅助设计的历史与现状 自 由型曲线曲 面因不能由画 法几何与机械制图表 达清楚，成为摆在工程师面 前 首 要解 决的 问 题 。 1 9 6 3 年 美国 波 音飞 机公 司 的 弗 格 森( f e r g u s o n ) 首 先 提出 了 将曲 线曲面表示为参数的矢函数方法。 他最早引入参数三次曲线， 构造了 组合曲 线和由四角点的 位置矢量及两个方向 的切矢定义的弗格森双三次曲面片。 这些方 法由f m i l l系统实现，由它可以 生成数控纸带。在这以 前，曲 线的描述一直是 采用显式的标量函数y = 以 x ) 或隐方程f ( x , 力= 。 的形式，曲 面相应采用 z = z ( z , y ) 或f ( x , y ,z ) = 0 的 形式 。 弗 格 森 所采 用的 曲 线曲 面 的 参 数形 式从 此 成 为形状数学描述的标准形式。 1 9 6 4年，美国麻省理工学院 ( mi t )的孔斯 ( c o o n s )发表了一个具有一般 性的曲 面描述方 法， 给定围成封闭曲 线的四条边界就可定义一块曲面片。1 9 6 7 年，孔斯进一步推广了他的这一思想。在 c a g d 实践中应用广泛的只是它的特 殊形式孔斯双三次曲 面片。 它与弗格森双三次曲 面片的区别， 仅在于将角点 扭矢由 零矢量改 取为非 零矢量。两者都存在形状控制与连接问 题。 由舍恩伯格 ( s c h e n b e r g ) 1 9 6 4 年提出的样条函数 提供了 解决连接问题的一种 技术。 用于形状描述的 样条方法是它的 参数形式， 即参数样条曲 线、曲 面。 样条 方法用于解决插值问题，在构造整体达到某种参数连续阶 ( 指可微性)的插值曲 线、 曲面是很方 便的， 但不存在局部形状调整的自 由 度， 样条曲 线和曲面的形状 难以预测。 法国雷诺 ( r e n a u l t )汽车公司的贝 齐尔 ( b e z i e r ) 1 9 7 1 年发表了一种由控制 多边形定义曲 线的 方法。设计员只要移动控制顶点就可方便地修改曲 线的形状， 而且形状的变化完全在预料之中。 贝齐尔方法简单易用， 又漂亮地解决了 整体形 状控制 问题。它是雷诺公司 u n i s u r f c a d 系统的数学基础 。贝齐尔方法在 c a g d学科中占 有重要的 地位， 它广为人们接受，它为c a g d的进一步发展莫 定了坚实基础。贝齐尔方法仍存在连接问题， 还有个局部修改问题。 稍早于贝齐 尔，在法国另一家汽车公司雪铁龙 ( c i tr o e n ) 汽车公司的德卡斯特里奥 ( d e c a s t e lj a u )也曾独立地研究发展了 同样的 方法， 但结果从未公开发表。 德布尔 ( d e b o o r ) 1 9 7 2 年给出了 关于b样条的 一套标准 算法。 美国通用汽车 几 何 造 型 中 自 由 曲 线 曲 面 光 顺 性 研 究 公司的 戈登 ( g o r d o n ) 和里森费尔德 ( r i e s e n f e l d ) 1 9 7 4 年将b样条理论 应用于 形状描述， 克服了贝 齐尔方法存在的缺点， 较成功地解决了局部控制问题， 又 轻 而易举地在参数连续性基础上解决了 连接问题。与 控制多边形和节点相联系， 1 9 8 0 年分别由 伯姆 ( b o e h m) 和科恩 ( c o h e n ) 等人 给出的节点插入技术是b 样 条方法中最重要的配套技术，其次，有福雷斯特 ( f o r r e s t , 1 9 7 2 )与普劳茨 ( p r a u t z s c h , 1 9 8 4 )等人的升阶技术。 上述各种方法尤其是 b样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的描述 问题。 然而应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的， 都只能给出近似表示， 不能适 应大多数机械产品的要求。 在参数表示范围里， 福雷斯特 ( 1 9 6 8 ) 首先给 出了表达为有理贝齐尔形式的圆锥截线。波尔 ( b a l l , 1 9 7 4 , 1 9 7 5 , 1 9 7 7 )在他的 c o n s u r f 系统中提出 的有理方法在英国飞机公司得到普遍的使用。 然而， 欲在 几何设计系统中引入这些与前 述自 由型曲 线曲 面描述不相容的方法， 将会使得系 统 变得十分庞杂。 唐荣锡教授提到， 工 业界感到最不满意的是系统中需要并存两 种模型。 这违背了 产品几何定义唯一性原则， 容易造成生产管理混乱。 正因为 如 此， 在过去有理曲线曲 面从未像非有理曲 线曲 面那样得到 广泛的接受。 人们希望 找到一种统一的数学方法。美国锡拉丘兹 ( s y r a c u s e )大学的弗斯普里尔 ( v e r s p r i l l e ) 在他的博士论文中首先提出了 有理b样条方法。 以 后， 主 要地由 于 皮格尔 ( p i e g l ) 和蒂勒 ( t i l l e r ) 等人的 功绩，至8 0 年代 后期， 非均匀有理b样 ( 英文缩写n u r b s ) 方法成为用于曲 线曲 面描述的 最广为 流行的技术。 非有理 与有理贝 齐尔和非有理b 样条曲 线曲 面都被统一在n u r b s 标准形式之中， 因而 可以采用统一的数据库。国际标准化组织 ( i s o)继美国的p d e s标准之后，于 1 9 9 1 年颁布了 关于工 业产品 数据交换的s t e p 国际标准， 把n u r b s 作为定义工 业几何形状的唯一数学方法。 此外， g o r d o n 于 1 9 6 9 年给出了c o o n s 曲面的数学基础， 并将之推广 用来插 值在三维空间的曲 线网 格。1 9 7 3 年，巴 恩希尔 ( b a r n h i l l ) 给出了 三角域 上的超 限插值曲 面;1 9 7 6 年， 萨宾 ( s a b i n )的 三角贝齐尔曲 面片是最为流行的 三角曲 面 片: 实 现了 从 矩 形 域曲 面 片向 非 矩形 域 曲 面 片 的 推 广 。 1 9 7 4 年 ， 曼 宁 ( m a n n in g ) 引入的几何连续为局部形状控制 提供了自由 度，并 派生出多 种曲线形式。 随着计算机图形显示对于真实性、实时 性和交互性要求的日 益增强， 随着几 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 何设计对象向着多样性、 特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日 益明显， 随 着图形工 业和制造工业迈向 一体化、 集成化和网 络化步伐加快， 随着激光测距扫 描等三维 数据 采样技术和硬件设 备的日 益完善， 曲 面造型 近几年得到了长足的发 展， 这主要表 现在研究领域的 急剧扩展和表示方法的 开拓创新。 从研究领域来看，曲 面造型 技术己从传统的 研究曲 面表示、曲面求交和曲面 拼接，扩充到曲面变形、曲 面重建、曲面简化、曲 面转换和曲 面等距性。 我们可以 看出，许多年来， 人们不断地探索方便、灵活、实用的曲 线曲面 造 型方法。 尽管从提出 样条函 数至 今的5 0 多年间， 曲 线曲 面经历了参数样条方法、 c o o n s 曲面、 b e z i e r 曲 线曲面 和 b 样条方法， 并取得了 辉煌的 成就， 但人们并不 满足于现状， 仍在继续探索 新的造型方法。 现在，相继出 现了自 由型变形造型、 偏微分方程和能量法造型等 新技术， 并取得了许多研究 成果。 小波技术也应用到 了曲 线曲面造型中。目 前， 这些技术还处于 研究阶段， 相信 在不远的 将来， 它们 会得到广泛的 应用。 1 .3计算机辅助设计的发展趋势 综 观 c a g d近几年的发 展趋势，最值得一提的是: 1 )曲面形式趋向复 杂化、 多样化。 从矩形域上c o o n s 曲 面、 b e z i e : 曲面、 g o r d o n 和r i e s e n f e l d 曲 面、b a r n h i l l , b i r k h o ff , c o r d o n 曲 面到三角域上 s a b i n , p a r i n 曲 面。并逐步向一般多边形区域、任意拓扑上 曲面发展。 2 ) 外型表示和设计的 复杂化。 在曲 面或立体系统中， 经常要遇到诸如多 边形 区 域的非 矩形，三角形拓扑结构， 如飞机、 船舶、 汽车外型设计和表示。 3 ) 交互设计、 修改要求愈来 愈高。 因而对有理曲 线、 曲 面的研究愈来愈重视。 4 ) 有理曲面片之间的 拼接与过渡成为 c a d / c a m 研究 热点，由于设计的需 要， 经常碰到由多块有理曲面组成的复杂曲面， 因而急需研究曲面片之间的拼接 关系。 5 ) 曲面的形态要求 ( 如光顺) 愈来愈高。由于 外形设计等因素及计算机图形 的要求， 对外形的形态要求更加严格， 因而曲 面光 顺等问 题的研究就显得更加重 要 。 6 ) 计 算机图形化，由于 c a g d 中曲线、曲 面的 交互设 计、显示直接与计算 机图形相联系， c a g d与c g是密切相关、 相互渗透的学 科， 近几年的 研究 趋势 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 何设计对象向着多样性、 特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日 益明显， 随 着图形工业和制造工业迈向 一体化、 集成化和网 络化步伐加快， 随着激光测距扫 描等三维数据采样技术和硬件设备的日 益完善， 曲面造型近几年得到了 长足的 发 展，这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。 从研究领域来看，曲 面造型技术己从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面 拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性。 我们可以 看出， 许多年来， 人们不断地探索方便、 灵活、实用的曲 线曲 面造 型方法。 尽管从提出样条函数至今的5 0 多年间， 曲线曲 面经历了参数样条方法、 c o o n s 曲面、 b e z i e r 曲线曲面和b 样条方法，并取得了 辉煌的成就， 但人们并不 满足于现状， 仍在继续探索新的造型方法。 现在，相继出 现了自 由型变形造型、 偏微分方程和能量法造型等新技术， 并取得了许多研究成果。 小波技术也应用到 了曲线曲面造型中。目 前， 这些技术还处于研究阶段， 相信在不远的将来， 它们 会得到广泛的应用。 1 . 3计算机辅助设计的发展趋势 综观c a g d近几年的发展趋势，最值得一提的是: 1 )曲 面形式趋向复杂化、 多样化。 从矩形域上c o o n s 曲 面、 b e z i e : 曲面、 g o r d o n 和r i e s e n f e l d曲 面、b a r n h i l l , b i r k h o ff , c o r d o n 曲面到三角域上s a b i n , p a r in曲 面。并逐步向一般多边形区域、任意拓扑上曲面发展。 2 ) 外型表示和设计的复杂化。 在曲 面或立体系统中， 经常要遇到诸如多边形 区域的非矩形，三角形拓扑结构，如飞机、船舶、 汽车外型设计和表示。 3 ) 交互设计、 修改要求愈来愈高。 因而对有理曲 线、 曲 面的研究愈来愈重视。 4 ) 有理曲面片之间的拼接与过渡成为 c a d / c a m 研究热点，由于设计的需 要， 经常碰到由多块有理曲面组成的复杂曲面， 因而急需研究曲面片之间的拼接 关系。 5 )曲 面的形态要求 ( 如光顺) 愈来愈高。由于外形设计等因素及计算机图 形 的要求， 对外形的形态要求更加严格， 因而曲面光顺等问 题的研究就显得更加重 要。 6 ) 计算机图形化，由 于 c a g d中曲 线、曲面的交互设计、显示直接与计算 机图形相联系， c a g d与c g是密切相关、 相互渗透的学科， 近几年的研究趋势 几 何 造 型 中 自 由 曲 线 曲 面 光 顺 性 研 究 表明c a g d对图形质量和真实感等要求愈来愈高。 7 )曲面和实体的统一。 在实际 应用中的绝大部分设计都是实体造型与曲 面造 型的结合， 传统的将两者严格分开的思想已不能满足设计、 模拟形体复杂程度的 要求， 随着各种相关技术的不断发展， 建立统一几何模型的方法将变得更加重要。 这些新的发展趋势和要求导致了一系列新的研究问题，同时这些问题也推动 着c a g d这一学科的不断发展 1 .4光顺技术的发展 随着现代高科技的发展，不管是在飞机、汽车、船舶还是在家用电器方面， 人们对其都提出了更高的要求， 其中之一就是外形的光顺性， 光顺性的要求也就 是在给定数据点的基础上产生一条光顺的曲线或一个光顺的曲面。 但是在很多情 况下， 如逆向工程，由于测量设备或人为等因素的影响， 使所得数据在一些地方 是不精确的， 从而使所得曲线或曲面的光顺性较差， 在这种情况下， 必须对其进 行光顺处理， 许多科学工作者对此作了研究并给出了 一些好的光顺法， 现对其作 一简单的描述. 对于曲线光顺，六十年代初，国际上船体数学放样刚刚开始兴起的时候， 最 小二乘法是最有影响的一种光顺方法:1 9 6 9 年，h o s a k a .m 10 1 在能量极值原理的 基础上给出了一种包括光顺空间曲线和大挠度曲线在内的光顺方法，称为能量 法; 1 9 7 4 年， 苏步青教授!6 8 1 提出了一种基样条方法， 对原始数据进行局部修改， 并且在实际应用中得到了良好的效果; 同时山东大学和沪东造船厂协作， 在船体 数学放样的实践中首次提出了圆率光顺的概念，本质是曲率变化均匀 1 : 1 9 7 8 年，浙江大学等单位16 8 1 在船体数学放样的实践中提出一种新的曲 线光顺方法， 叫做 “ 回弹法” ，回弹法是手工放样中的 “ 两借借，自 然放”的一种数学模拟， 通过新老两组型值点交替地固定和回弹， 使样条的能量逐次减少， 以达到光顺的 目 的。1 9 7 9 年，吉林大学等单位16 8 1 提出一种强调保凸 性质的数据拟合法，叫做 磨光 法。 1 9 8 3 年k j e l l a n d e r 2 0 1 提出了 一种三次参数样条曲 线局部光 顺方法。 1 9 8 7 年， f a r i n 1 1 等给出了一种人机交互光顺的方法，此方法的本质是利用曲 线的曲 率图 进行人工交互修改，以 使曲 率线的曲 率变化均匀。 在此基础之上，1 9 9 0 年， 几 何 造 型 中 自 由 曲 线 曲 面 光 顺 性 研 究 表明c a g d对图形质量和真实感等要求愈来愈高。 7 )曲面和实体的统一。 在实际 应用中的绝大部分设计都是实体造型与曲 面造 型的结合， 传统的将两者严格分开的思想已不能满足设计、 模拟形体复杂程度的 要求， 随着各种相关技术的不断发展， 建立统一几何模型的方法将变得更加重要。 这些新的发展趋势和要求导致了一系列新的研究问题，同时这些问题也推动 着c a g d这一学科的不断发展 1 .4光顺技术的发展 随着现代高科技的发展，不管是在飞机、汽车、船舶还是在家用电器方面， 人们对其都提出了更高的要求， 其中之一就是外形的光顺性， 光顺性的要求也就 是在给定数据点的基础上产生一条光顺的曲线或一个光顺的曲面。 但是在很多情 况下， 如逆向工程，由于测量设备或人为等因素的影响， 使所得数据在一些地方 是不精确的， 从而使所得曲线或曲面的光顺性较差， 在这种情况下， 必须对其进 行光顺处理， 许多科学工作者对此作了研究并给出了 一些好的光顺法， 现对其作 一简单的描述. 对于曲线光顺，六十年代初，国际上船体数学放样刚刚开始兴起的时候， 最 小二乘法是最有影响的一种光顺方法:1 9 6 9 年，h o s a k a .m 10 1 在能量极值原理的 基础上给出了一种包括光顺空间曲线和大挠度曲线在内的光顺方法，称为能量 法; 1 9 7 4 年， 苏步青教授!6 8 1 提出了一种基样条方法， 对原始数据进行局部修改， 并且在实际应用中得到了良好的效果; 同时山东大学和沪东造船厂协作， 在船体 数学放样的实践中首次提出了圆率光顺的概念，本质是曲率变化均匀 1 : 1 9 7 8 年，浙江大学等单位16 8 1 在船体数学放样的实践中提出一种新的曲 线光顺方法， 叫做 “ 回弹法” ，回弹法是手工放样中的 “ 两借借，自 然放”的一种数学模拟， 通过新老两组型值点交替地固定和回弹， 使样条的能量逐次减少， 以达到光顺的 目 的。1 9 7 9 年，吉林大学等单位16 8 1 提出一种强调保凸 性质的数据拟合法，叫做 磨光 法。 1 9 8 3 年k j e l l a n d e r 2 0 1 提出了 一种三次参数样条曲 线局部光 顺方法。 1 9 8 7 年， f a r i n 1 1 等给出了一种人机交互光顺的方法，此方法的本质是利用曲 线的曲 率图 进行人工交互修改，以 使曲 率线的曲 率变化均匀。 在此基础之上，1 9 9 0 年， 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 s a p id i s 和f a r i n 给出了b 样条曲 线的 一 种自 动光 顺算 法 1 . 1 9 9 1 年， h a n s h a g e n 提出 了一 种b e z i e : 的 变分 光 顺法1 . 1 9 9 5 年， p o l i a k o ff 对k j e l l a n d e : 的 光 顺 方 法进行了 推广，给出了n u r b s 的一种自 动光顺算法 . 2 0 0 0 年，吴强等给出 了五次b样条曲线的光顺。 对于曲面光顺，其光顺准则很难精确给出，早期的一种提法是:用任意一张 平面与曲 面的截口曲线的光顺性作为曲面的光顺性判断根据， 但是这种准则难以 付诸实用。 在实际应用中人们仅仅利用曲面上两族或三族网格线的光顺性作为曲 面的光顺准则。 依照这种思想1 9 6 9 年， h o s a k a .ml 给出一 种网格能量法， 此法 是利用两族弹性线所张成的网格， 要求在两族线的交叉点即型值点处有相同位移 这一协调性约束， 另外利用此方法光顺一个曲面网格必须将所有的点重新计算一 次，计算量大。1 9 7 7 年，忻云龙教授提出了一种网格基样条法6 8 ，这实际上是 基样条法在二维场合的拓广， 是一种 “ 曲 线检查、曲面修改”的方案， 这种方法 明显的缺点是两族线检查和修改的结果不一致， 且光顺修改过程是反复检查， 反 复修改的过程，因而同时存在修改量过大的 缺点。 对此，1 9 8 3年， n o w a c k i 和 r e e s e 13 1 1 提出以 薄 板应 变能 量作为曲 面 光 顺准 则， 此准 则 有明 显的 物理意 义， 也 是当今公认的一个比较合理的准则， 但由此准则构造算法将是比较困难的。 同时 k j e ll a n d e r 1 提出 了 双 三 次 参 数 样 条曲 面 的 局 部 光 顺 方 法。 1 9 8 7 年 ，,l o ft 11 6 1 等 提出 了b 样条曲 面 光 顺的 能 量 法。 1 9 9 0 年， r a n d o 和r o u li e r 3 9 1 改 进了l o tt 等 人的 思 想， 但关键的具体算法还是没有给出来。 特别近年来， 北航等院校在关于小波光 顺方面取得了可喜的成绩。 1 .5本文完成的主要工作及内 容 本文完成的主要工作如下: 1 . 介绍了计算机辅助几何设计的背景及其发展状况， 并详细的介绍了计算机 辅助几何设计中的曲线曲面光顺算法、主要思想以及优缺点。 2 .本文在深入分析了曲线光顺性的准则的基础上，给出了平面参数三次 n u r b s 光顺曲 线的一种权因子优化算法， 目的是使曲 线的曲率变化均匀的同时， 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 s a p id i s 和f a r i n 给出了b 样条曲 线的 一 种自 动光 顺算 法 1 . 1 9 9 1 年， h a n s h a g e n 提出 了一 种b e z i e : 的 变分 光 顺法1 . 1 9 9 5 年， p o l i a k o ff 对k j e l l a n d e : 的 光 顺 方 法进行了 推广，给出了n u r b s 的一种自 动光顺算法 . 2 0 0 0 年，吴强等给出 了五次b样条曲线的光顺。 对于曲面光顺，其光顺准则很难精确给出，早期的一种提法是:用任意一张 平面与曲 面的截口曲线的光顺性作为曲面的光顺性判断根据， 但是这种准则难以 付诸实用。 在实际应用中人们仅仅利用曲面上两族或三族网格线的光顺性作为曲 面的光顺准则。 依照这种思想1 9 6 9 年， h o s a k a .ml 给出一 种网格能量法， 此法 是利用两族弹性线所张成的网格， 要求在两族线的交叉点即型值点处有相同位移 这一协调性约束， 另外利用此方法光顺一个曲面网格必须将所有的点重新计算一 次，计算量大。1 9 7 7 年，忻云龙教授提出了一种网格基样条法6 8 ，这实际上是 基样条法在二维场合的拓广， 是一种 “ 曲 线检查、曲面修改”的方案， 这种方法 明显的缺点是两族线检查和修改的结果不一致， 且光顺修改过程是反复检查， 反 复修改的过程，因而同时存在修改量过大的 缺点。 对此，1 9 8 3年， n o w a c k i 和 r e e s e 13 1 1 提出以 薄 板应 变能 量作为曲 面 光 顺准 则， 此准 则 有明 显的 物理意 义， 也 是当今公认的一个比较合理的准则， 但由此准则构造算法将是比较困难的。 同时 k j e ll a n d e r 1 提出 了 双 三 次 参 数 样 条曲 面 的 局 部 光 顺 方 法。 1 9 8 7 年 ，,l o ft 11 6 1 等 提出 了b 样条曲 面 光 顺的 能 量 法。 1 9 9 0 年， r a n d o 和r o u li e r 3 9 1 改 进了l o tt 等 人的 思 想， 但关键的具体算法还是没有给出来。 特别近年来， 北航等院校在关于小波光 顺方面取得了可喜的成绩。 1 .5本文完成的主要工作及内 容 本文完成的主要工作如下: 1 . 介绍了计算机辅助几何设计的背景及其发展状况， 并详细的介绍了计算机 辅助几何设计中的曲线曲面光顺算法、主要思想以及优缺点。 2 .本文在深入分析了曲线光顺性的准则的基础上，给出了平面参数三次 n u r b s 光顺曲 线的一种权因子优化算法， 目的是使曲 线的曲率变化均匀的同时， 几 何 造 型 中 自 由 曲 线 曲 面 光 顺 性 研 究 使光顺后的曲线与原曲 线的偏差尽量小， 此算法适合于小挠度曲线的光顺: 同时， 给出了一种通过直接调节型值点的 位置对三次参数样条曲 线进行光顺的整体光 顺算法:这两种算法简单易行，计算量较小。 本文共分五章，各章安排如下: 第一章:在综述几何造型原理的基础上，回顾了几何造型技术的发展趋势和 现状，并介绍了曲线曲面光顺技术的意义和发展前景; 第二章:给出了曲线光顺的概念、光顺准则和一些经典光顺法，并详细的分 析了它们的优缺点; 第三章:给出了曲面光顺的概念、光顺准则和一些经典光顺法，并详细的分 析了它们的优缺点; 第四章:给出了一种适合于平面参数三次 n u r b s曲线只需要进行微弱调整 就可以达到光顺的权因子优化光顺算法。 第五章:给出了一种基于离散曲率的三次参数样条曲线的自动光顺算法; 结束语:给出本文所作的工作及得到的结果，提出一些尚待进一步研究的问 题。 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 第二章曲线光顺 计算机辅助几何设计中的 一项重要任务就是如何根据给定的数据点产生一条 光顺的曲线。 但是， 由 于数字化过程中的 误差影响， 使得我们即使运用最有效的 曲 线法， 如b样条曲 线或n u r b s 曲 线， 也无法直接得到令人满意的插值或拟合 曲线，这样， 对曲线进行光顺， 就显得至关重要。由于光顺概念涉及几何外形的 美观性， 因此难免带有浓厚的主观色彩。 但是， 它也有客观的一面。 通常认为， 一条 光顺的曲线应满足下面的几个条件:曲线c z 连续:没有奇点和多余拐点; 曲 率变化比 较均匀; 应变能较小。 在各种不同的光顺方法中， 根据每次修改的型值点个