（计算数学专业论文）柳编艺术品三维真实感数学模型及计算机实现.pdf

摘要柳编，是个传统产业，其历史悠久，品种繁多，工艺精湛，驰名中外。传统的方法设计中，精美外形的设计依赖于艺术家的构思，有了构思，再由相关的柳编编制者生产出样品，最后由艺术家进行修改这种方式，费时费工。而利用我们设计的软件能使艺术家的构思立即实现，便于反复、快速修改，提高工作效率，提高产品对市场的反应速度，适应快速的市场变化。通过对柳编艺术品外形、材质等的分析、归纳，借助b 6 z i e r 曲线、曲面理论及相关知识，以y a + + 为平台，嵌入o 忉e n g 三三维图形软件包，设计出了柳编艺术品仿真软件通过改变该软件中的柳编艺术品的参数，可以得到不同的框架类型，不同的材质等，从而得到不同类型的柳编艺术品仿真图。软件设计过程大致如下：( 1 ) 对柳编艺术品的外形属性进行分析、归纳，得到艺术品的基本单元、材质种类等；( 2 ) 利用b 6 z i e r 曲线理论及相关知识，对基本单元进行设计；( 3 ) 借助b 6 z i e r 曲面理论及相应知识，把基本单元进行组合、拼接，得到柳编艺术品建模设计时使用的连接单元；( 4 ) 确定连接单元的连接、组合方式，在y g + + 平台上，进行编程实现，得到仿真软件关键词：柳编；艺术品；艺术家的构思；外形；软件设计a b s t r a c tw i l l a wi n t 丽n i n gi sa no l d - l i n ea n di n u l t i - v a r i e t yt r a d i t i o n a li n d u s t r yi th a sac o n s u i m n a t et e c h i l i c sa n di sf a m o u sa u 叭r e rt h ew o r l d h o w e v e r ，i nt r a d i t i o n a ld e s i g n n i n gan i c ea n di n g e n i o u ss h a p er e l i e 8o nt h ea r t i s t sn i c ed e s i g n n i n g t h ew i l l o wk n i t t e rw i l lm a k et h es a m p l et h r o u 曲i n t w i n i n gb yt h ea r t i s t sd e s i g l l l l i n g t h e na c c o r d i n gt ot h es 舭n p l et h e8 n i s td e t e r m i n eh o wt om o d i f ya n dp e r f e c th i sd e s i g r l i l i n g t h i 8d e s 培ni n o d ew i l lt a k et i m ea n de n e r g mw h i ku s i i l go u rs o f t w a r ew ec a nc a r r yo u tt h ea r t i s t sd e s i g n n i n gi 1 1as h o r tt i m e ，s ot h ed e s i g n n i n gc a nb em o d i n e dq u i c k l ya n dr e p e a t e d l 矿t h u st h ew o r ke m c i e n c yw i l lb ei m p r o v e d s ot h ep r o d u c tw i l lh a v ear a p i dr e a c t i o ns p e e da b o u tt h em a r k e t ，a c c o r d i n g l ya c c o m m o d a t e st ot h ef i e r c ea n dr 印i dc h a n g eo ft h em a r k e t w bc r e a t et h ew i l l o wi n t w i n i n ga r t w o r ke m l u a t o ra tt h ep l a t f o r mo fv i s u a lc + +w i t ho p e n g l ，u s i n gt h et h e o r i e so fb 6 z i e rc u r v ea n ds u r f a c ea n ds o m er e l a t e d ，t h r o u 吐a n 胡y z i n ga n dg e n e r a l i z i n gt h es h a p ea n dt e x t u r eo ft h ea r t w o r k w h e i lc h a n g i n g 七h ew i l l o wp a r a m e t e r so ft h ee m l u a t o r ，w ec a ng e ts o m ef r a m e sa n dt e x t u r e s ，t h u sg e td i 珏b r e n tw i l l a wi n t w i n i n ga r t w o r k t h eu n d e r m e n t i o n e da r et h em a i ns t e p so fe m l u a t o r ：( 1 ) a c h i e v et h eb a s i ce l e m e n t sa n dt e x t u r e sb ya n a l y s i n ga n dg e n e r a l i z i n gt h ew i l l o wi n t w i n i n ga r t w o r k sp r o p e r t i e s ( 2 ) d e s 培nb a s i ce l e m e n t su s i n gb 6 z i e rc u r v et h e o r i e sa n d s o m er e a l t e d ( 3 ) c o m b i n et h eb a s i ce l e m e n t sb yb 6 z i e rs u r f a c et h e o r i e 8a n ds o m er e a l t e di no r d e rt og e tt h ec o n n e c t t e de l e m e n t s ( 4 ) d e t e r m i n et h el i n k i n ga n dc o i n p o u n d i n gi n o d eo ft ：1 ec o n n e c t t e de l e m e n t s ，t h e nc a r r yi to u ta tt h ev i s u a l lc + + p l a t f o r mb yp r o g r a m m i n g ，t h u sg e tt h ee m l u a t o r 1 ( e yw b r d s ：w i l l o wi i l t w i n i n g ；a r t 、 的r k ；d e s i g n n i n go fa r t i s t ；s h a p e ；d e s i g n n i n go fs o f t w a r eu郑重声明本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃，抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重声明学位论文作者；禹，7 兰痃砑蒯年p 月加第一章概述1 1 柳编产业简介柳编酬，是以柳条为原料加工编织而成的工艺品，其方法是剥去柳条外皮、加工处理、制作而成，产品有筐、篮、箱、盆等，轻便耐用，物美价廉柳编历史悠久、品种繁多、工艺精湛、驰名中外。借助东方睿智和匠心独运的技艺编织出的工艺品形态各异，争妍斗奇，既可观赏，又实用，深受中外客商的青睐柳编不仅使农民致富，也为各个柳乡经济和社会事业发展做出了不小的贡献。1 9 9 6 年以来，仅河南固始县三河尖乡就从柳编行业中提取多达1 5 6 0 多万元的资金用于水利、修路、办电、教育等基础设旖柳编行业每年向该乡财政上交3 8 0 多万元的税费，其中税金3 0 0 万元，运输税费2 0 万元，育林金6 0 多万元。目前，该乡农民种植柳条面积2 1 2 万亩，占滩涂面积的5 0 ，全乡创办2 9 个柳编厂，有1 0 个柳编附属企业，4 个柳编生产基地。这些柳制品企业，内联农户，外联国内外市场，生产品种达2 0 6 0 个，产品远销德、美、挪、荷等5 6 个国家和地区。该乡仅柳制品年营业收入就达9 0 0 0 多万元，占该乡企业总收入的8 6 。全乡有7 0 0 0 多个农户从事柳条种植和柳制品加工生产，每个农户年刨收万余元。柳编这一传统产业正步入产业腾飞的快速发展轨道，小小的柳编业已今非昔比【5 一。1 2 柳编艺术品与真实感图形当今的时代，是个快速、激烈竞争的时代，竞争机制已经渗入社会的各个领域。在这种情况下，对于一个企业，抑或是一种产业，如果其产品不能够准确、快速地适应市场的需求，结局将会很糟。对柳编产业，亦是如此。如果想在激烈的市场竞争中占据一席之地，或者说做大这个产业，毋庸置疑，就需要在产品定位、产品艺术构思上下功夫【1 8 】i 这就需要产品设计师融合艺术家的构思，继而对产品进行设计、检验、修改、完成。那么，如何才能快速了解所设计产品的效果以便确定进行怎样的修改完善，从而缩短设计、修改周期，以适应快速变化的市场需求。鉴于计算机图形学的发展，真实感图形设计技术的成熟【1 6 】，1我们可以设计出一种软件【2 2 | ，实现对柳编艺术品的真实感模拟这样我们就可以将艺术家的构思以一种直观的形式立即显现，从而便于艺术家对其艺术构思进行反复、快速的修改这样，将会使工作效率得到提高，从而使产品对市场有较快的反应速度，最终使产品在激烈的市场竞争中占据一定的市场份额有关真实感图形设计技术的这类应用，已经很广泛【1 6 】，例如，在产品的外形设计中，常常需要制作实物模型来检验设计效果。特别是那些对外形美感要求较高的产品，往往需要根据模型反映的问题不断修改设计方案，以获得最佳造型效果，这就需要反复制作模型，会耗费大量的人力物力。而采用计算机真实感图形设计技术，就可以方便地在计算机屏幕上显示所设计产品在各个角度下的效果，从而依据屏幕上的图形可以很方便地对外形进行交互式的修改，即应用设计技术可以替代实物模型的制作。同样，建筑师在建筑设计时，不必制作精致的模型，只需将他的设计通过各种真实感视图展现即可利用这种技术大大节约了人力和物力，并使设计周期得以缩短，质量得到提高另外，在动画以及影视广告制作中，往往需要模拟真实的场景和画面，甚至包括许多实际上有很大危险性或不可实现的场景和画面，而利用真实感技术，通过计算机就可以很方便地得到除此之外，真实感图形设计技术在虚拟现实、计算机游戏、飞行训练、战斗模拟、分子结构研究、医学等领域都有广阔的应用前景。考虑到这种技术应用的成熟、广泛性，本文便是以此技术为基础设计真实感模拟软件。1 3 本文的主要研究内容本文利用b 6 z i e r 曲线、曲面方面的知识，以一个底部框架形状大致如图1 所示的实物柳框做为参考进行柳编艺术品的真实感设计，继而在嵌入0 寥e 礼g l 的y g + + 6 0 平台上模拟实现，完成真实感模拟软件的设计。对于这一模拟实现过程大体上可分如下几个步骤：对柳编艺术品的外形进行整体与局部分析，建立三维模型框架；利用e a g d 中曲线、曲面设计的有关理论，计算机图形学理论，结合力学等方2图1 参考框架面的知识，完成三维模型的建立；利用基于0 忱札g l 的真实感设计方法对模型进行局部和整体的渲染，得到真实感图形；调试、完善程序，完成软件的设计。这样，我们就可以方便地根据艺术家的构思来调整软件中的相应参数，生成相应的效果图而艺术家也可以方便、快速地根据他所看到的效果图对其构思进行交互式的修改、完善。从而使柳编艺术品的设计、生产周期得以缩短，提高了产品的更新速度，适应了快速、激烈的市场竞争3第二章相关理论在用计算机对柳编艺术品进行真实感模拟时3 剐，我们首先要对柳柳编艺术品进行三维建模f 2 0 2 l i ，这时我们将会用到一些曲线、曲面方面的知识，现将相关理论【1 6 ，2 7 】介绍如下；2 1 曲线、曲面表示的几何不变性曲线、髓面表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标系的选取，或者说在旋转与平移变换下不变的性质然而，曲线、曲面不是在任何情况下都具有几何不变性的。当曲线曲面的基表示中的基函数是规范基或部分规范基时具有几何不变性。而对于非规范基则不具有几何不变性，然而，我们总可以经过处理将非规范基表示转化为等价的部分规范基表示或规范基表示，因而非规范基表示也就具有了几何不变性。曲线、曲面表示的几何不变性质有其理论和实际应用价值。首先，它是形状描述的基本要求。应用几何不变性可以根据需要与方便任意选取合适的坐标系而保证得到的形状不变。其次，应用几何不变性，可以将位于坐标系规范位置的形状很方便的变换到空间的任意位置。再次，还可用于曲线、曲面的几何特征分析。最后，在生成任意方向的投影视图与轴测图时，不必计算并变换所有需绘制或显示的点，而仅需要变换基表示中的那些系数矢量，再计算需绘制或显示的点，从而节省了大量的变换计算，提高了图形的生成速度2 2 曲线、曲面的表示方法曲线、曲面的表示方法主要是指其数学表示方法，可分为参数表示与非参数表示两种。曲线、睦面的非参数表示方法也就是其函数表示法，可细分为显函数和隐函数两种表示法，它们都要依赣于坐标系。而曲线的参数表示可不依赖于坐标系的描述，特定的参数值t 对应了一个几何点r ，所有参数值对应的点的集合构成了曲线。因此曲线的参数表示形式为：尸= p ( t ) 。而对于曲面，可用双参数( “，口) 的向量函数表示为：p ( u ，廿) = 【z ( ，钉) ，可( u ， ) ，。( 札， ) ( “，口) o ，1 ；o ，1 】( 2 2 1 )4并可简记为p = p ( u ， ) 与非参数形式相比，参数表示有其以下优点：( 1 ) 易于表示空间曲线。( 2 ) 能满足几何不变性的要求( 3 ) 便于进行几何变换。( 4 ) 易于处理多值问题和垂直切线等无穷大斜率问题。( 5 ) 易于规定曲线、曲面的范围。( 6 ) 便于曲线、眭i l 面的分段、片描述。( 7 ) 提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度。( 8 ) 易于计算曲线、曲面上的点及其它信息。故我们一般是用参数方程来描述曲线、曲面。2 3b 6 z i e r 曲线、曲面b 6 z i e r 曲线的出发点是利用控制点给出的控制多边形产生曲线，期望得到的曲线的几何形状可以通过控制多边形的形状直观地得以控制。其参数表示形式如下：p ( t ) = 鼠，。( t ) ro 曼f 1 ( 2 3 1 )其中= 万( 1 叫”中忙。，1 ，2 ，n ( 2 - 3 2 )为n 次伯恩斯坦( b e r n s t e i n ) 基多项式。b 6 z i e r 曲线的性质：( 1 ) b 6 z i e r 曲线的首末端点正好是控制多边形的首末端点，即p ( o ) = r ，p ( 1 ) = p n 。( 2 ) b 6 z i e r 曲线在首末端点处的女阶导矢分别与b 6 z i e r 多边形的首末条边有关，与其它边无关。( 3 ) 整条b 6 z i e r 曲线关于参数t 具有对称性。( 4 ) b 6 z i e r 曲线具有几何不变性与仿射不变性。( 5 ) b 6 z i e r 曲线具有凸包性质。5( 6 ) 变差减少( y d ) 性质( 7 ) 移动n 次b 6 z i e r 曲线上的第 个控制点只，将对曲线上参数为t = 二的那点p ( 二) 处发生最大影响直观上，b 6 z i e r 曲面是一条b 6 z i e r 曲线在空间按另一条b 6 z i e r 曲线运动所形成的轨迹故我们是先定义曲线，再通过“线动成面”的方法来定义b 6 z i e r 曲面的用这种方式定义的曲面是张量积曲面或笛卡尔积曲面。所以b 6 z i ”曲面可以有如下表示：p ( “，”) = e 鼠，。( ”) q ；( “) = e b ，。( ”) 马。( 札) 岛2 0z 2 0 j 2 0f 2 3 3 1( u ，口) 【o ，1 ；o ，1 它是一个张量积曲面，两组基函数都是b e r n s t e i n 基函数。类似b 6 z i e r 曲线有一个控制多边形一样，b 6 z i e r 曲面有一个控制多面体，也称为控制网格，控制多面体的形状也大体反映了b 6 z i e r 曲面的形状。b 包i ”曲面片主要性质有如下几条：( 1 ) b 6 z i e r 曲面片的四个角点正好是相应的控制网格的四个角点，即有：p ( o ，o ) = ，p ( 1 ，o 卜p m o ，p ( o ，1 ) = ，p ( 1 ，1 ) = 。( 2 3 4 )( 2 ) b 6 z i e r 曲面片具有几何不变性。( 3 ) b 6 z i e r 曲面片具有凸包性质( 4 ) b 6 z i e r 曲面片在角点处的切平面为由该角点及其相邻的两个点共三个点决定的平面。例如在角点岛。处的切平面为由p 0 。，p 0 ，p 1 0 三个点决定的平面。( 5 ) m n 次b 6 z i e r 曲面片的四条边界曲线分别是m 次和佗次b 6 z i e r 曲线。在这里我们要注意的是，不同于b 6 z j e r 曲线，b 6 z i e r 曲面不具有保凸性质，即当控制多面体为凸时，相应的b 6 z i e r 曲面可以不是凸的曲面。6第三章理论分析及设计要实现柳编艺术品的外形设计，就需要了解其外形，包括局部与整体了解、分析后，就可以进行建模设计。我们可以利用b 6 z i e r 曲线、b 6 z i e r 曲面来进行设计，这样可行的原因如下：( 1 ) b 6 z i e r 曲线的出发点是利用控制点给出的控制多边形产生曲线，期望获得的曲线的几何形状可以通过控制多边形的形状赢观地得以控制。( 2 ) 如同b 6 z i e r 曲线有一个控制多边形一样，类似地，b 6 z i e r 曲面也有个控制多面体，也称控制网络，控制网络的形状大致反映了b 6 z i e r 曲面的形状。3 1 外形的截面单元及设计编织之前的柳条在柳编模型中已经发生了很大的变化，根据对参考框架的分析，我们可以把模型中的柳条分为以下四种类型：( 1 ) 原始柳条，( 2 ) 剖裂柳条，( 3 ) 弯折柳条，( 4 ) 缠绕柳条，如图2 中所示。图2 参考框架分析下面对这些类型的表面形状分别做一说明。( 1 ) 原始柳条：其表面是一个近似的圆柱面。若用圆柱面设计其表面，简单方便，但是可调控性很差，即只有一个半径参数r 和一个长度参数f ，难于表现真实的柳条；而使7用b 6 z i e r 曲面，可调控的参数就丰富多了，包括雌面的长度，宽度，局部凹凸不平性等，能够较真实的模拟自然柳条在这里，我们就是使用b 6 z i e r 曲面来生成一个类圆柱面，对原始柳条进行模拟在此基础上，也就得到了我们建模设计时的第一种，也是最基本的外形曲面一类圆柱面。( 2 ) 剖裂柳条：它是由原始柳条经剖裂而来，从而剖裂柳条的表面可以看作是由圆柱面经中间的张裂而成，于是我们可以称其表面为“变形圆柱面”，也即有了我们建模设计时的第二种曲面单元。( 3 ) 弯折柳条；它是由原始柳条经一定的弯折得到，其表面也就可以认为是由圆柱面经一定的弯折而来，于是可以把弯折柳条表面命名为“弯折圆柱面”，从而得到第三种曲面单元。( 4 ) 缠绕柳条：是由原始柳条在主框架的柱条间经交错缠绕而成。在两根柱条间的形_ 、状与字母x 从左上角到右下角部分很相似，于是我们把这部分缠绕柳条的表面称为“半x 型圆柱面”，由此也就得到了第四种曲面单元。对于上面提及的4 种曲面单元，它们的截面边缘线大都是由一个圆形经过一定的变形得到。我们在用b 6 z i e r 曲面构建这些曲面单元时【8 ，1 5 ，2 “，首先需要使用b 6 z i e r 曲线构建曲面单元自身关键处的截面边缘线对于原始柳条，其截面边缘线近似为一圆形，又考虑到圆形的对和陛，我们只须考虑半圆形，做为它的截面边缘线。对于剖裂柳条，未剖开的部分和原始柳条处理一样，可以用半圆形来做截面边缘线，而剖开的部分中，其上下剖裂面关于剖面对称，这样在每一处的截面线都是两个近似的半圆，从而依然可以用半圆形做为剖裂柳条截面边缘线。对于弯折柳条，在弯折处的截面形状，我们可以用一个变形的圆来表示，并且这个变形的圆沿一特定的方向还是对称的，故我们可以用一变形的半圆弧来做为弯折柳条截面线。有关缠绕柳条部分的截面边缘线，我们在后面有详细说明。下面我们先对已有的三种截面线的设计进行详细说明，在此先做个假定：截面边缘线所对应圆的半径为r 。3 1 1 原始柳条的截面形状原始柳条的截面边缘线大致是个圆形，故在此，我们构造的是与它对应的半圆形。在这里，我们选取的是b 6 z i e r 曲线。在用b 6 z i e r 曲线表示一个近似半圆弧时，b 6 z i e r 曲线的阶数8n 要满足：住3 假定礼阶b 6 z i e r 曲线所对应的n + 1 个控制点为只( = o ，1 ，2 ，n ) 。如果n = 3 ，有4 个控制点蜀，r ，恳，b ，则如若调整近似程度，需要同时调整两个控制点p 1 ，岛，如果想在此基础上再做进一步调整，将无法完成，由此会使近似程度不高，还会导致某些设计上的不便；然而阶数礼的增大将意味着，在一定程度上可以提高近似程度，可以提供更多的自由度，但随之而来的却是计算量加大，故在此我们考虑4 阶的b 6 z i e r 曲线此时b 6 z i e r 曲线共有5 个控制点，5 个控制点扁，p 1 ，b ，r ，尸4 的布局如图3 所示，其中g 点为半圆弧的圆心。这样布局的原因是：考虑到半圆弧的对称性，图3 原始柳条截面形状( 1 ) p 0 ，只是半圆弧直径的两个端点，我们需要使控制点尼位于过中心点g 且垂直于局只的直线上；( 2 ) 控制点p 1 ，p 3 应关于p 2 e 对称。接下来就是在此基础上，确定p 1 ，岛，b 在以上布局图中的具体位置以使由此产生的b 6 z i e r曲线近似地表示出半圆弧。如图3 所示，我们假定p l d i = p 3 d i = n l r ，l d g i = 。2r jp 2 g l = 3 r ，( 3 1 1 )其中0 1 ，0 2 ，0 3 是形状调控因子现在的问题就是如何确定这些因子的一组最优值。当然有很多方法，在这里，我们的思路是先大致定下因子o “2 ，然后调整因子。3 ，最后得到一组最优值。经过我们的分析与实验，再考虑到后面建模的方便，l ，n 2 的值我们分别暂定为o 9 ，1 o ，在这种情况下只需调整因子n 3 就可以改变b 6 z i e r 曲线逼近半圆弧的程度。关于o 。，我们可以来反算下，具体步骤如下：( 1 ) 假定参数t = o 5 的b 6 z i e r 曲线上点为p ，则i p a l r ；9( 2 ) 由讹阶b 6 z i e r 曲线上点的计算公式np ( t ) = b ，。( t ) 只t = 0我们有p ( t ) =从而i p g l = ( 1 o + 4 l d g l + 6 i b g i + 4 i d g i + 1 o ) ( o 5 ) 4=( 4 0 2 r + 6 0 3 r + 4 0 2 r ) ( 0 5 ) 4= ( 8 n 2 + 6 0 3 ) ( 0 5 ) 4 r令上式值为r ，并把o 。值1 0 代入，则我们得到。3 “4 3 ，于是我们取n 3 为n 3 = 1 3 图4 半圆形截面线形状对比图( 3 1 2 )( 3 1 3 )图4 是当0 3 分别取1 2 ，1 。3 ，1 5 时我们得到的对比图，其中，绿色部分为实际半圆弧。从对比图中我们也可以直观看到在o ，= 0 9 ，。z = 1 0 情况下n 3 值对曲线形状的影响及整体逼近半圆弧的程度，同时选取。= 1 3 也是比较合理的。3 1 2弯折柳条在弯折处的截面形状当原始柳条弯折时，折点处的圆形将会变为变形的圆弧，变形后的形状跟柳条本身的质地属性( 例如，柔韧性，抗拉伸性) 及弯折的角度、力度等因素有关。为处理方便，我们将对模型做一定的简化，弯折后的形状只随着弯折角度做一定的变化，并且在折角变化范围内不会断裂，沿一特定方向具有一定的对称性。在这种假定下，我们可以仅对变形圆弧的一半，即变形半圆弧做一构造设计。】0r扣d1暖。：li |。：扛曲南。锄m以。：l图5 弯折柳条在弯折处的截面形状弯折后的变形半圆弧的大致形状及其5 个控制点r ，p 1 ，p 2 ，b ，p 4 的布局如图5 所示在这里我们假定一些量值如下tp 0 e l = a l r ，lp 1 d i = 口2 nl 尸3 d = n 3 r ，i r g i = n 4 r ，l e d l = 6 1 r ，i p 2 e i = 6 2 r( 3 1 4 )其中0 1 ，n 。，n 。，。4 ，“，6 2 为形状调控因子。考虑到现在的形状是由半圆弧经过一定的变形得到的，我们对p l ，p 3 的高度值不用更改，依然采用半圆弧中的设计，也即6 ，一1 0 ；p 2位于直线g d 上，而点p 0 ，p 1 ，b ，只与中心点e 的水平距离i p 0c i ，ip l d i ，i 尼d i ，1 只c i 则分别是由下面的弯折模型确定。基于简单、近似目的，我们选用幂函数模型即可，当然也可以选用其它复杂的模型或者是多种模型的复合。假定在弯折点处的两条折线的夹角为a ，由我们的现实模型及分析，夹角a 的取值有一个范围t( 9 0 。，1 8 0 。) 。我们所采用幂函数模型如下：n ，2o 5 十o 2 兰二竺n 。2o 4 + o 2 三二竺( 3 1 5 )n 3 = o 8 + o 0 5 ( a 一9 0 ) 9 0 ，n 4 = o 9 + o 0 5 ( n 一9 0 ) 9 0 ，采用上述模型后，我们就可以变动唯一一个没有确定的形状调控因子6 。( 对应着i p 2 a i ) ，来调整我们的变形半圆弧的形状。如果没有弯折，则f j p e z1 o r ，弯折后，由于尸点处的圆弧要变形，进而f p c 值要做一定的增加，但其变化范围也是有限的，不应该很大，在此我们暂定l p g i 值为1 1 r ，则此时所对应的i p 2 a i ，也即6 2 r ，我们可以依照公式( 3 1 3 ) 反算出其值i p a i = ( 1 o + 4 l d e i + 6j p 2 a i + 4 l d a l + 1 o ) ( o 5 ) 4=( 8 6 l + 6 6 2 ) ( o 5 ) 4 r1 1 r把6 1 = 1 o 代入上式，我们得到6 2 1 6 0 ，故我们取6 2 为：如= 1 6 图6 弯折柳条弯折处形状对比图图6 是n = 1 2 0 。，b 2 分别取1 5 ，1 6 ，1 7 时的形状对比图。考虑到上下变形程度有且不宜过大，我们选择6 2 = 1 6 也是合适的。3 1 3 缠绕柳条的截面形状有关缠绕柳条部分，我们可以只考虑它在两根柱条闯的半x 型部分，通过这一部分的拼接就可以实现整个缠绕部分。对于这一部分，它可以看作是一个半x 型的圆柱面，其截面边缘线主要分为两种，一是中间部分，近似为一圆形，故这时的截面就是上面所提到的圆形；二是两端部分，变形圆弧，在此还要根据半x 型圆柱面是否在主框架圆弧边缘处细分为两种类型i ( 非圆弧边缘处) 和( 圆弧边缘处) 。对于半x 型中间部分的截面边缘线，可以参考原始柳条中截面线的设计；下面我们重点对半x 戮两端部分的两类变形圆弧做一说明。类型i ( 非圆弧边缘处)由于柳条本身不是刚体，所以当有外力沿一定方向施加在柳条上时，柳条要做一定的形变，并且这种形变会随着外力的增加越发明显，考虑到这一点，我们就不难想像类型i】2的形状首先柳条在缠绕过程中是上下或左右交错进行的，这样落在柱条处的截面部分要经过一定程度的弯折，从而远离柱条处的那一半截面大致有如图7 ( 。) 的形状；其次，截面部分还要经过其前后两段的拉伸作用，所以紧靠在柱条处的那一半截面要与柱条产生挤压，然而由于柱条要比缠绕柳条粗一些，柱条的变形相对微小，而缠绕柳条的变形则相对明显，并且在力的作用下，这一半截面的底部圆弧将会被压平一部分，同时，原有直径将会增加。对于这一半截面大致有如图7 ( b ) 的形状d( 6 )图7 缠绕柳条半x 型部分两端处的截面形状i在考虑这两个半截面的b 6 z i e r 构造时，如图7 所示，我们首先要注意圆心e 处的直径岛局将加大，加大后的距离，如同 中的假定，我们暂定为2 1 1 r = 2 2 r ，考虑到r ，b 仍关于点d 对称，我们需要确定的量有：i g d l ，l p 2 g i ，ip l d l ，对于这些值现假定如下。l c d l = b l ni p 2 a i = 6 2 r ，l 尸1 d i = n l r ( 3 1 6 )同样，这里的系数6 。，6 2 ，n i 仍为形状调控因子。对于n - ，根据实物模型的测量、分析，其值可以暂定为0 9 ，剩下的工作就是在此假定下，获得6 ，6 2 的一组最优值我们的原则是先确定l 尸e l ，l p g i 的合适值，然后再根据b 6 z i e r 曲线上的点反算出控制点考虑到弯折程度不是很大，对于上半截面( a ) ，我们可以暂定i 尸g i = o 8 ，1 ，对于下半截面( b ) ，我们可以暂定l p g l = o 5 r ；再根据实物模型的测量、分析及实验，对于( a )可以使i e i = o 3 5 r ，对于( b ) ，l p e l = o 3 0 r 。接下来我们用公式( 3 1 3 ) 反算出这种情况下的控制点p 1 ，尸2 ，具体过程如下：1 3( 1 ) 首先明确b 6 z i e r 曲线上的点p ，p 所对应的参数，默认整个参数区间是 0 ，1 】，娲，只分别对应着参数域上的0 ，1 ，则p ，p 所对应的参数分别为tt 1 = o 2 2 2 = 1 1 1 ，t 2 = 1 2( 2 ) 根据4 阶b 6 z i e r 点计算公式( 3 1 3 ) 我们得到以下两个等式l p e l= p ( 1 1 1 )= ( 4 1 0 3 l g d i + 6 1 0 2 i p 2 g i + 4 - 1 0 1 g d l ) 1 1 4 ，i p g l= p ( 1 2 )= ( 4 i g d l + 6 1 p 2 g i 十4 l g d l ) 2 4 于是对于( o ) 有方程组：f 4 0 4 0 。篙芝三茏。 ，对于( 6 ) 有方程组： 4 0 4 0 。篙芝纛。，当l p g i 取值为( o ) ：i p g i = o 8 r ( b ) ：i 尸c 1 = o 5 r ，i _ p e i 取不同值时我们得到对比图8 。考虑到上、下半圆部分要有一定的变形，且下半圆还要压平一部分，我们的原( 。) ：i p g i = o 8 r ，l p e i = o 3 5 r ；( 6 ) ：i p c l = o 5 r 。，i p e l = o 3 0 r ；类型h ( 圆弧边缘处)对于圆弧边缘处的截面部分，由于又受到趋向圆弧中心的力作用，故除要发生类型i中的形变外，还要发生新的形变。这种新的形变将会使类型i 中的形状再发生一定的倾旷唰* 1 静 嗣= ( j 扎图8 类型i 截面边缘线形状对比图图9 缠绕柳条半x 型部分两端处的截面形状i i1 5斜，并使下半截面与柱条产生一定的挤压，从而该类型的两部分半截面大致如图9 ( n ) ，( 6 )所示对于图9 ( o ) 我们可以近似认为是类型i 中图7 ( o ) 的简单旋转，而b 6 z i e r 蓝线又具有几何不变性，故在此，我们只须沿用图7 ( n ) 的设计即可，不必重新进行设计。真正要处理的是图9 ( 6 ) 部分，其形状分析和b 6 z i e r 设计具体如下。对于倾斜角哑，其变化范围不应该很大，可以从实物模型中得到其范围，大致为( 1 5 。，3 0 。) ，在此我们暂定为q = 1 8 。，接下来就是确定三个控制点p 1 ，p 2 ，p 3 ，确定的原则依然是：先大致估计出对应b 6 z i e r 曲线上的点，再利用反算的方法计算出控制点。由于图9 ( 6 ) 是由图7 ( b ) 经过倾斜、挤压而来，故靠近局处的圆弧将增大，而r 处的则相应变小，同时底部压平的部分将会向r 处延伸。由于此时的图形已失去对称性，选取b 6 z i e r 曲线上的点就要做相应调整，以便能计算出较好反映该b 6 z i e r 曲线形状的控制点。有关这些控制点的具体计算如下：( 1 ) 如图9 ( 6 ) 所示，我们假定lp 1 e i ，i 岛d i ，i b f i 的值分别为：p 1 e j = 6 r ，j p 2 dj = 6 2 np 3 f i = b r ( 3 1 9 )( 2 ) 如同类型i ，我们首先要确定b 6 z i e r 曲线上关键点所对应的参数，整个参数区间仍默认为【o ，1 】，其中r ，只分别对应着参数域上的o ，1 ，如图9 ( 6 ) 所示，t 1 ，t 2 ，3 分别是控制点p l ，p 2 ，p 3 所对应b 6 z i e r 曲线上点的参数，暂定t 2 = 2 3 ，3 = ( 1 一o 2 2 2 ) = 1 0 1 1 ，这样t 。值的改变就会使曲线做相应变动，在此我们估计，= 2 5 。( 3 ) 考虑到p ( t 1 ) p ( t 3 ) 近似水平，p ( t 2 ) 又在p ( t 1 ) p ( f 3 ) 上，a = 1 8 。，我们不难计算出l p ( t - ) e l ，l p ( 屯) d i ，i p ( 3 ) f i 的值，然后再利用4 阶b 6 z i e r 点计算公式( 31 3 ) ，并加以整理，得到以下方程：方程解为2 1 6 6 1 + 2 1 6 6 2 十9 6 6 3=3 4 2 ，8 1 2 58 6 l + 2 4 6 2 + 3 2 6 3=2 8 4 7 9 6( 3 1 1 0 )4 0 6 1 + 6 0 0 6 2 + 4 0 0 0 6 3=2 5 2 7 0 3 6 66 l = 1 4 5 3 9 ，b 2 = 一0 1 5 1 2 ，b = 0 6 3 9 91 6 = 2 一图1 0 类型i i 截面边缘线下半部分对照图图1 0 是当1 分别取1 3 ，2 5 ，1 2 时的对照图，其中，t 1 = 1 3 时，6 1 = 1 4 7 1 3 ，b 2 = 一o 1 5 8 2 ，6 3 = 0 6 4 0 8 ，l = l 2 时，6 l = 1 5 2 3 9 ，幻= 一o 1 7 9 2 ，6 3 = 0 6 4 3 4 。考虑到这一单元在有倾斜的同时还要有一定的压平部分，我们选择t ，= 2 5 还是合理的。3 2 连接单元的分析与构建有了截面单元( b 6 z i e r 曲线) 后，我们就可以根据模型的实际要求构建所需曲面单元 1 ，”】。构建b 6 z i e r 曲面的原理也很简单：“同时变化着形状的曲线在空间运动的轨迹。”也即，b 6 z i e r 曲面是一条b 6 z i e r 曲线在空间按另一条b 6 z i e r 曲线运动所形成的轨迹。在此，我们构建曲面的原则是；由曲面的大致形状获取其控制多面体，也即控制网格，然后调用b 6 z i e r 曲面程序生成曲面根据构建原理，我们只需要按实际曲面形状找出截面单元( b 6 z i e r 曲线) 的中心点沿曲面运动的轨迹曲线，然后再依据所选b 6 z i e r 曲面的阶数选取相应个关键点( 控制中心点) ，最后由关键点处的形状选取相应截面形状阻3 3 】，生成控制多面体，最终获得曲面。由前面的分析，参考图2 ，我们知道，构建模型所需的曲面单元分为下4 种类型；( 1 ) 类圆柱面( 对应原始柳条) ，( 2 ) 变形圆柱面( 对应剖裂柳条) ，( 3 ) 弯折圆柱面( 对应弯折柳条) ，( 4 ) 半x 型圆柱面( 对应缠绕柳条) 。在此我们先对b 6 z i e r 曲面的阶数做一说明。考虑到有些曲面单元( 如半x 型圆柱面)1 7的表示至少需要5 个关键点，如图1 l 所示，再加上前面所用b 缸i e r 曲线的阶数为4 ，我们在此选用4 4 阶的b 6 z i e r 曲面。图1 1 半x 型5 个关键点这样，我们的主要任务就是确定各种类型中的5 个关键点。下面我们分别说明。3 2 1原始柳条与原始柳条所对应的曲面单元是类圆柱面，这种单元主要用于构建主框架，大致形状如图1 2 所示。图1 2 原始柳条表面它实际上是由两个半圆柱面粘合而成，故我们只须考虑半圆柱面即可。此时半圆柱面是由半圆这一截面单元生成，有两个参数，一个是其半径r ，一个是其长度f ，r 其实就是柳条的半径，而f 的值一般是依据实际需要而确定为说明方便，我们假定岛，c 1 ，岛，g ，q 为该半圆柱面的5 个关键点。根据该单元在模型中的具体位置，我们可以确定其两端点岛，g 4 ，当g ，q 确定后，我们只须在岛，c 41 8图1 3 原始柳条一关键点厂n图1 4 原始柳条一关键点q 处截面边缘线1 9之间任取一种方式( 比如均分) ，如图1 3 所示，来确定a ，g ，凸即可g = g + i ( a 一岛)j = 1 ，2 ，3 ( 3 - 2 1 )然后我们在g 0 = o ，l ，2 ，3 ，4 ) 处计算其5 个控制点0 = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) ，沿用前面半圆的设计参数，参考图1 4 ，采用如下公式计算：p o j = c j r 仉1 ，p 4 j = ( 乃+ r n l ，岛= g + n 3 r n 2 ，( 3 2 2 )r j = d j 一8 1 r 饨l ，p 3 j = d j + 1 r 札1 其中功= 岛+ 0 2 r n 2 ，0 1 = o 9 ，n 2 = 1 o ，n 3 = 1 3 ，n 1 ，n 2 分别是与向量q 只；，q 焉同向的单位法向。这样我们会得到5 5 = 2 5 个控制点，共同构成半圆柱面的控制多面体。有了控制多面体后，我们就可以通过以下公式计算两个方向参数分别为“， 的b 6 z i e r曲面e 的点；p ( “， )如下为其矩阵形式表示其中100004400061 26o041 21 24o1464l( 札， ) o ，1 ；o ，1 卜( 3 2 3 )n 3n 41a p a 7p =p 0 0 娲1p 1 0 p 1 1p 2 0p 2 1b op 3 1局or 11口”2甜3p 0 2 p 0 3 p 0 4p 1 2 尸1 3b 4r 2p 2 3 p 2 4p 3 2b 3 b 4只2p 4 3 p 4 4最后我们调用b 6 z i e r 曲面生成程序，生成曲面。啦面生成程序主要代码如下所示2 0( 3 2 4 )f 3 2 5 1d “岛“&。触。铷f o rr j = o j 3 d i j + 由两个参数方向的相连的微四边形连接而成整个曲面生成一组相互连接的四边形，顶点2 刀一j ，2 n ，2 丑+ 2 1 2 n + j 定义了四边形丑g j b e g j n g l q i 姐s t r p )f o r ( k o ；i 8 ；i + + )b e z i e r p o i n t ( ( n o a t ) i ，8 o ，( f l o a t ) j7 3 0 o ) ；7 最4 n 一3b e z i e r p o i n t ( ( n o a t ) i ? 8 o ，( t l o a t ) i j + 1 ) 3 0 o ) ；f ? 氨4 n _ 2b e z i e r p o i n t ( ( n o a t ) ( i + 1 ) 8 o ，( n o a t ) j ，3 0 o ) ；最4 n _ lb e z i e r p o i n t ( ( n o a t ) ( i + 1 ) 8 o ，( f l o a t ) ( j + 1 ) 3 0 o ) ；，f 氮4 n)g l e n d ( ) ；)3 2 2剖裂柳条与剖裂柳条对应的曲面单元是变形圆柱面，这一单元主要用于主框架的构造，大致形状如图1 5 。图1 5 剖裂柳条2 l图1 61 4 曲面单元考虑到这一曲面单元近似具有对称性，我们只须考虑其l 4 形状。对于该l 4 形状，如图1 6 。假定其5 个关键点为g 0 = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) ，主要的六个重要参数为h l ，h 2 ，f 1 ，f 2 ，r ，z ，其中 l ， 。分别表示关键点岛，g 距离中心轴线的高度，它们反映了剖裂程度，f ，f 2 则分别表示关键点a ，q 与岛的水平距离，这些值是由穿插在该剖裂柳条中的原始柳条的半径确定；nf 则还是表示该1 4 形状的半径与长度。岛g图1 71 4 曲面单元一关键点对于5 个关键点，如图1 7 所示，我们确定的顺序是：根据实物模烈的测景、分析，确定瓯，a ， l ， 。，z 。，f 。的值，继而根据 - 确定g ，由f - 得e i 进而确定g - ，根据睇，f 。得到g ，而对于岛的选取，同上面原始柳条中的说明一样，我们可以在q ，a 之间任取一种方式得到，比如均分。以下是这5 个关键点的具体计算公式：岛= 睇+ l n 2g = ( 毛十f l n l 十 2 n 2g = 瓯+ f 2 n 1 ，q = 暖+ 机1 ，岛= ( 岛+ q ) 2 其中礼。，n 。分别是与向量瓦反，磊磊同向的单位法向。f 3 2 6 1对于q ( j = o ，l ，2 ，3 ，4 ) 处的5 个控制点，依然可以参考半圆形中的设计。类似于类圆柱面中的控制点的计算，我们假定n 。，n 。分别是与刁画，己；再同向的单位法向，则其对应的5 个控制点为：f 岛= c j r n 3 ，只u = ( 乃+ r n 3 ，场= q + 0 3 r n 4 ，( 3 2 7 )p 1 j = 功一0 1 r n 3 ，p 3 j = 功十n l