（材料学专业论文）高分子絮凝剂下泥沙絮体中的分形的理论分析.pdf

摘要 分形理论是描述具有无规结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。在过 去的十多年中，分形学己成功地应用于许多不同学科的研究领域。其应用范围涉及 力学、物理学、化学、生物科学、材料科学、地球科学、工程技术、甚至社会科学 等诸多学科。借助分形几何语言，有可能对传统理论尚未澄清的问题做更深入地理 解。现今，诸如标度不变性、自相似性、自仿射性及多分形测度等概念已经用来更 深刻地理解生长现象、湍流、迭代函数、凝胶化聚集、生物形态的形成、非均匀材 料的结构及复杂油气藏的非均质性等现象。分形学己超越了传统的学科界限，成为 联络各门学科的纽带。它以自相似性的几何观冲破了欧几里德几何学的束缚，并正 在冲击着以欧氏几何和决定论为基础的传统科学。分形学是本世纪后半叶发展起来 的新科学的重要组成部分，是继相对论和量子力学以来，本世纪最重要的科学发现 之一，是人类探索复杂性之强有力的工具。 高分子链一般由大量的重复单元构成，由于聚合方法和单体性质的不同及聚合 反应本身的随机性特点，高分子材料内各个成员之间存在着与其生成机理密切相关 的特定分布。因此，分形的研究，即分形体的形成对应着什么物理或化学过程，它与 高分子材料的微观和宏观状态有什么关系，分形体维数度量了材料的什么性质等能 从本质上更深刻地揭示高分子材料的独有特性，具有重要的意义。 在给水和废水处理系统中，絮凝体的大小、形状、结构，对调节颗粒污染物的 传输与去除有着重要的作用。因此能否形成结构良好的絮凝体，在很大程度上影响 着后续流程的运行状况、最终出水质量和成本费用。许多试验现象及电镜照片研究 表明，絮凝体表面和内部具有高度不规则性，及自相似结构和标度不变性，这表明 絮凝体的结构及其形成过程具有分形特征。分数维概念可用来描述不规则絮凝体中 的无规则程度，很好地描述和分析絮凝体的形成和“生长”。表征絮凝体特性的 参数有絮凝体的密度、孔隙率、粒径分布、絮凝体强度、沉降速度等。本文对分形 理论的基本内容及目前高分子材料中的分形研究做一介绍并就高分子絮凝剂下泥沙 絮体中的分形特征做出讨论。 关健词：分形；自相似；高分子；絮凝剂；泥沙 2 a b s t r a c t f r a c t a lt h e o r yi sd e f i n e d 衣a l le m e r g i n gb o u n d 玉 ys c i e n c et h a td e s c r i b e sar a u d o m l yc o m p l e x s y s t e m i nt h el a s td e c a d e s ，f r a c t a lt h e o r yh a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di nm a n ya r e a so fr e s e a r c h ， c o v e r i n gt h em e c h a n i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g i c a ls c i e n c e s ，m a t e r i a l s c i e n c e s ，e a r t hs c i e n c e s ， e n g i n e e r i n g ，a n do v e nt h es o c i a ls c i e n c e s a n dm a n yo t h e rd i s c i p l i n e s w i t ht h e a i do ft h ef r a c t a l g e o m e t r yt h e o r y , i ti sp o s s i b l et om a k ef u r t h e ru n d e r s t a n d i n go f t h ei s s u e ，w h i c hh a sn o tb e e nc l a r i f i e d b yt h et r a d i t i o n a lt h e o r y t o d a y , s u c hc o n c e p t sa ss c a l ei n v a r i a n c e ，s e l f - s i m i l a r i t y , s e l f - a f f i n i t ya n d m u l t i f r a c t a lh a v eb e e nu s e dt od e e p l yp e r c e i v es o m ep h e n o m e n as u c h 硒t h eg r o w t hp h e n o m e n o n ， t u r b u l e n c e ，i t e r a t i v ef u n c t i o n s ，g e l - b a s e da g g r e g a t i o n ，t h ef o r m a t i o no fb i o l o g i c a lp a r e r n s ，t h e i n h o m o g e n e o u sm a t e r i a ls t r u c t u r ea n dc o m p l e xo i lg a sp o o la n ds o o n f r a c t a lh a sa l r e a d yg o n e b e y o n dt h et r a d i t i o n a lb o u n d a r i e s o fd i s c i p l i n e s ，a n db e e nt h el i n ko fd i f f e r e n ts u b j e c t i ti st h e g e o m e t r i cs e l f - s i m i l a r i t yc o n c e p tt h a tb r e a k st h es h a c k l e so ft h ee u c l i d e a ng e o m e t r ya n di s a ni m p a c t o nt h et r a d i t i o n a ls c i e n c eo nt h eb a s i so fe u c l i d e a ng e o m e t r ya n dd e t e r m i n i s m f r a c t a li st h ei m p o r t a n t c o m p o n e n to fn e ws c i e n c ed e v e l o p i n gi nt h es e c o n dh a l fo ft h el a s tc e n t u r y , i so n eo ft h e m o s t s i g n i f i c a n td i s c o v e r i e se v e rs i n c er e l a t i v i t ya n dq u a n t u mm e c h a n i c s ，a n di st h ep o w e r f u l t o o lf o r e x p l o i t i n go f t h ec o m p l e x i t y p o l y m e rc h a i ng e n e r a l l yc o n s i s t so fal a r g en u m b e ro fr e p e a tu n i t s d u e t ot h ed i f f e r e n c eb e t w e e n p o l y m e r i z a t i o na n dt h en a t u r eo fp o l y m e ra n di t ss t o c h a s t i cc h a r a c t e r i s t i c s ，p o l y m e rm a t e r i a ls h o w st h e s p e c i f i cd i s t r i b u t i o nc l o s e l yr e l a t e dt ot h e i rf o r m a t i o nm e c h a n i s m t h e r e f o r e ，t h es t u d yo ft h ef r a c t a l ， t h a ti s ，t h ec o r r e s p o n d i n gp h y s i c a lo rc h e m i c a lp r o c e s so ft h ef o r m a t i o no ft h ef r a c t a l ，t h er e l a t i o n s h i p o ft h em i c r o a n dm a c r os t a t eo ft h ep o l y m e r , t h en a t u r eo fm a t e r i a l sf r a c t a ld i m e n s i o n ，a n ds oo n ，t h e n w ec a nr e v e a lt h eu n i q u ec h a r a c t e r i s t i c so fp o l y m e rm a t e r i a l sm o r ep r o f o u n d l y , w h i c hi so fg r e a t s i g n i f i c a n c e i nw a t e rs u p p l ya n dw a s t e w a t e rt r e a t m e n ts y s t e m s ，f l o cs i z e ，s h a p e ，s t r u c t u r e ，p l a ya ni m p o r t a n t r o l eo nt h er e g u l a t i o no fp a r t i c l et r a n s p o r ta n dr e m o v a lo fp o l l u t a n t s t h e r e f o r ew h e t h e rag o o df l o c s t r u c t u r ec a nb ef o r m e d ，t oal a r g ee x t e n t ，a f f e c t st h eo p e r a t i o no ft h ec o n s e q u e n tp r o c e s s e s ，a n d u l t i m a t e l yt h ew a t e rq u a l i t ya n dc o s t m a n yt e s tp h e n o m e n aa n ds t u d i e so fe l e c t r o nm i c r o s c o p eh a v e s h o w nt h a tt h es u r f a c ea n di n t e r n a lo ff l o ch a sh i g h l yi r r e g u l a rn a t u r ea n ds e l f - s i m i l a rs t r u c t u r ea n dt h e n a t u r eo fs c a l ei n v a r i a n c e ，w h i c hs u g g e s t st h a tt h es t r u c t u r ea n df o r m a t i o np r o c e s so ff i o ch a sf r a c t a l c h a r a c t e r i s t i c s t h ec o n c e p to ff r a c t a ld i m e n s i o nc a nb eu s e dt od e s c r i b et h ei r r e g u l a rd e g r e ei nt h e f o r t u i t o u sf l o et og i v eg o o dd e s c r i p t i o na n da n a l y s i so ff l o ef o r m a t i o na n d ”g r o w t h ”t h ep a r a m e t e r s o fp r o p e r t i e so ff l o cc h a r a c t e r i z a t i o ni n c l u d e st h ed e n s i t y , p o r o s i t y , p a r t i c l es i z ed i s t r i b u t i o n ，f l o c s t r e n g t h ，s e t t l i n gv e l o c i t ya n ds oo n t h i sp a p e rg i v e sa ni n t r o d u c t i o nt ot h eb a s i cc o n t e n to ff r a c t a l t h e o r ya n dt h ec u r r e n tp o l y m e rm a t e r i a l sr e s e a r c ha n dad i s c u s s i o nt of r a c t a lc h a r a c t e r i s t i c si nt h es a n d f l o cu n d e rp o l y m e rf l o c c u l a t i n ga g e n t k e y w o r d ：f r a e t a l ；s e l f - s i m i l a r i t y ；p o l y m e r ；f l o c c u l a t i n ga g e n t ；s a n d 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均己做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人己用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名：承嘲波 日期：2 研年岁月万日 青岛大学硕上学位论文 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密刚 论文作者签名：黾脯l | 7 良 导师签名：椭) 日期： 日期： 5 2 箩，o 芍“ 月 月 、盯 年 年 沂，了砷1 第一章分形理论简介 引言 分形理论是非线性科学的前沿和重要分支，也是一门新兴的横断学科。作为一种 新的方法论和认识论，他给我们带来的启示是多方面的：分形中整体与局部形态的相 似性，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限：分形揭示了介于整体 与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新的相互关系：分形从另一个角度揭示了世 界普遍联系和统一的新视野。第一，分形形态在自然界是普遍存在的，讨论分形， 是研究自然界的各种事物间客观规律及其内在联系的必然要求，分形提供了新的概 念和方法。第二，分形的应用前景非常广阔，在整个分形的发展史中，许多传统的 科学问题，由于分形的引入而取得意想不到的进展。分形作为一种新的理论概念和 研究方法，已在许多领域开展了应用和探索。从8 0 年代初国外开始的“分形热”再 到现在遍及世界的研究。美国著名物理学家惠勒曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就 不能被称为科学上的文化人。分形几何在几何学的研究上有两种属性。它既属于决 定论混沌的几何学，又可以是描述山峦、云团和星系的几何学。 从表面来看的话，分形艺术就像是魔术。变幻莫测但不会有任何数学家忽略了 解它的结构和形态。许多曾经作为基础的方程式被认为是纯数学的一部分，与现实 生活没有任何关联。但到了现在，据专家分析应用分形最活跃的领域是物理界，它 们已帮助研究处理了相当多的历史遗留问题和由此产生的许多新困境。 分形图的变幻莫测是它对年青人的吸引，从而唤起他们对科学探索的兴趣。曼 德布罗特集和许多分形图现在都已出现在了许多t 血衫和招贴画上，使青年人感受到 了数学的美和数学在科学上的体现，并且深切的感受到它们和现实生活之间联系。 从概念上讲，分形应具有“精细的结构”、“无限不规则”、“自相似”、 “分形维数大于拓扑维数”、“可迭代产生”等性质。分形几何学建立以后，很快 就引起了许多学科的关注，这是因为它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价 值。目前已经达成共识的是，在物理学、化学、地质学、生物学等领域内，分形理 论具有重要的应用价值和广阔的发展前景。目前分形理论的应用研究是具有广阔应 用前景的。 一 在给水和废水处理系统中，絮凝体的大小、形状、结构，对调节颗粒污染物 的传输与去除有着重要的作用。因此能否形成结构良好的絮凝体，在很大程度上影 响着后续流程的运行状况、最终出水质量和成本费用。许多试验现象及电镜照片研 究表明，絮凝体表面和内部具有高度不规则性，及自相似结构和标度不变性，这表 明絮凝体的结构及其形成过程具有分形特征。分数维概念可用来描述不规则絮凝体 中的无规则程度，很好地描述和分析絮凝体的形成和“生长”。表征絮凝体特性 青岛大学硕士学位论文 的参数有絮凝体的密度、孔隙率、粒径分布、絮凝体强度、沉降速度等。 将分形理论应用于混凝领域，为混凝微观结构和过程的研究开辟了新的途径， 并将混凝研究推向一个新阶段。并随之触动、启发着研究人员对混凝机理与动力学 过程的更新的认识；国内将分形理论用于絮凝体形态学的研究尚处于起步阶段，关 于分形絮凝体生长机制与絮凝体构造模型结合计算机技术在水处理方面的研究，国 内还未见报道。 在本文中，作者就对分形理论所了解的知识进行阐述，并就分形理论在材料学 乃至高分子材料中的应用进行描述，着重就对高分子絮凝剂下泥沙絮体中的分形所 做的工作做一概述。 2 第一章分形理论简介 1 1 分形理论的提出 第一章分形理论简介 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在 自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为最接近大自然的几何学。分形( f r a c t a l ) 几何，是新时代数学专业的一门新学科，但其实质上表现的却是一种世界观和方法 论。主要表现是与动力系统的混沌理论相辅相成。首先分形理论承认世界的某个部 分在一定条件下，会在在某一特殊方面( 形态，结构，信息，功能，时间，能量等 特性) 表现出与整体的相似性，其次分形理论承认空问维数的变化既可以是离散的 也可以是连续的，因而拓展了科学发展的新视野【7 引。 分形几何的概念最早是美籍法国数学家曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 1 9 7 5 年提出的，但最早的起源工作开始于1 8 7 5 年，德国数学家维尔斯特拉斯 ( k w e i e r e s t r a s s ) 构造出了处处连续但又处处不可微的新函数，之后集合论创始人 康托( g c a n t o r ，德国数学家) 构造出了含许多特殊性质的三分康托集。1 8 9 0 年时， 意大利数学家皮亚诺( g p e a n o ) 创造出了填充的空间曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家 科赫( h v o nk o c h ) 给出了雪花和岛屿边缘曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家谢尔宾斯基 ( w s i e r p i n s k i ) 给出了像地毯和海绵一类的图形。这些曲线的提出都给解决分析与 拓朴学中的问题背道而驰，但正是它们的提出，给分形几何的发展创造了新的思路。 有了前人的研究发展做铺垫，1 9 1 0 年，德国数学家豪斯道夫( f h a u s d o r f f ) 研究出 了奇异集合性质与量，重新提出分数维概念。1 9 2 8 年布利干( g b o u l i g a n d ) 首先将 闵可夫斯基容度应用于非整数维。1 9 3 2 年庞特里亚金( l s p o n t r y a g i n ) 等引入盒维 数。1 9 3 4 年，贝塞考维奇( a s b e s i c o v i t c h ) 更深刻地揭示了豪斯道夫测度的性质 和奇异集的分数维，从而有了豪斯道夫贝塞考维奇维数等概念。在这之后，分形理 论这一领域的研究工作趋于平静，没有太大的发展，前人的工作只是找到了分析与 拓扑学教材中的反例，并没有进行更深去的研究【7 8 1 。 一1 9 7 5 年冬曼德尔布罗特创造了f r a c t a l 一词。著作分形：形状、机遇和维数 法文版于同年出版。这是一本漫谈式的书，插图丰富，才思横溢，博学而古怪，引 起许多议论。1 9 8 2 年经扩展和加工的另一本书，英文版的大自然的分形几何学 又与读者见面。此书文字艰涩，幽默转折，引经据典，旁征博引，他自称是一本“宣 言书”又是一本“个案记录”，但被分形界的学者视为“圣经”。该书将分形定义为局部 以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是 稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为了完善这个部分，1 9 8 2 年特里科特 青岛大学硕士学位论文 ( c t r i c o t ) 重新引入并完善了填充维数，之后的1 9 8 3 年格拉斯伯格( p g r a s s b e r g e r ) 和普罗克西娅( i p r o c a c c i a ) 计算动力系统吸引子维数的算法。再后来1 9 8 5 年，曼 德尔布罗特研究并提出自然界中普遍存在的自仿射集，自仿射集包括自相似集，并 可进行严格定义。自1 9 8 2 年德金( f m d e k k i n g ) 研究递归集后得出结论，分形集 由迭代过程和嵌入方法生成，但范围比之应用的更广泛，不过维数研究进行的有相 当难度。自此以后，分形理论的应用便逐渐涉及很多领域并越来越广泛【l 】。但是， 建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 1 2 分形理论的基本概念 几个世纪以来，欧氏几何奠定了整个科学的基础，为人类认识和探索自然提 供了强有力的工具，欧氏几何是整数维空间的几何学。科学家对整数维空间的客体 己进行了相当广泛深入地研究，下至微小的基本粒子，上至广延的宇宙。建立在整 数维空间基础上的物理学成果不断地推动着科学技术和生产力的发展。蒸汽机的发 明、电磁能的利用、晶体管和集成电路技术的发展、计算机技术的发展、超导技术 的应用、核能的利用和航天事业的进步等等，都是物理学不断发展的产物。然而， 物理学所能精确描述的问题无外乎是库仑势，谐振子等一类“简单”问题。无论关 于物质结构的理论多么美妙，关于天体物理的方程多么雄伟。但是，对于我们日常 举目可及的一些现象，诸如海岸线的形貌和长度、云彩的形状、树枝的结构、山川 与河流的景色、闪电的形貌、岩石的结构形态、以及复杂流体的流动等等问题，物 理学，乃至整个科学，却理解甚少。这类现象的共同特点就是其结构的复杂性。1 9 7 5 年，独具慧眼的美籍法国科学家b b m a n d e l b r o t 为人们描述这类复杂现象提供了 一个有力工具一分形几何( f r a c t a l g e o m e t r y ) 。8 0 年代初，他揭示了分形几 何与物理学的关系之后，其理论研究和应用研究取得了许多重要进展，从而掀起了 世界范围的“分形热”。分形几何学己在力学、物理学、化学、生物科学、地质科 学、社会科学、人文科学以及艺术等各个领域得到极为广泛的应用。关于分形几何 的理论及应用研究，可以说方兴未艾。中国的海岸线有多长? 这个问题恐怕很难精 确回答。我们知道，由于地质演化过程中非常复杂的原因及自然作用的冲击、腐蚀， 海岸线呈现极其蜿蜒复杂的变化。当我们乘着小舟沿海岸线飘流时，随处可看见破 碎的岩石、小岛、海湾、裂隙和山峡等景象。它们几乎一样的复杂和不规则，不能 从形状和结构上区分这一部分海岸与那一部分海岸有什么本质的不同，即海岸线在 形貌上是自相似的，对于这种复杂的结构，很难用欧氏几何学精确描述。因此，海 岸线长度的测量绝无准确可言。 4 第一章分形理论简介 1 9 6 7 年曼德布罗特( b b m a n d e l b o r t ) 在美国权威的科学杂志上发表了题为 英国的海岸线有多长? 的著名论文。指出我们不能从形状和结构上区分这部分 海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明 海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其 他东西作为参照物时，在空中拍摄的i 0 0 公里长的海岸线与放大了的1 0 公里长海岸 线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界 中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花 菜、大脑皮层曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 ( f r a c t a l ) 。并在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论 ( f r a c t a l t h e o r y ) ，自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则n 1 。 分形一般有以下特质： l 、分形有无限精细的结构，即有任意小比例的细节 2 、分形从传统的几何观点看如此不规则，以至于难以用传统的几何语言来描述 3 、分形有统计的或近似的自相似的形式 4 、分形的维数( 可以有多种定义) 大于其拓扑维数 5 、分形可以由简单的方法定义，例如迭代m a n d e l b r o t 集合是分形几何中的经 典集合，其他著名的图形还有k o c h 岛和谢尔宾斯基三角形。 6 、由于需要大量的数学运算，研究分形必须借助于计算机。 7 、分形算法可以用来生成山脉、树木等自然界中的场景口1 。 分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上， 而且在实用上都具有重要价值。分形几何与传统几何相比有如下特点：( 1 ) 从整体上 看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其 形状是极不规则的。( 2 ) 在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和 山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都 是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些 是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。什么是分 维? 在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线 或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间j 但通 常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究 混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则” 程度，1 9 1 9 年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数， 从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。分维的概念我们可以从两方面建立起来： 一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1 。将它们的边 长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1 2 ，而将原图等分为若干个相似的图 要些茎兰墅圭兰丝堡皇 形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2 。、2 2 和2 个相似的子图形其中的指 数l 、2 、3 ，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图 缩小为1 ，a 的相似的b 个图形所组成，有：a 。= b ，d = l o g b i o g a 的关系成立，则指 数d 称为相似性维数，d 可以是整数，也可以是分数。另一方面当我们画一根直 线，如果我们用0 维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点； 如果我们用一块平面来量它，其结果是0 ，因为直线中不包含平面。那么，用怎样 的尺度来量它才会得到有限值呢? 看来只有用与其嗣维数的小线段来量它才会得到 有限值，而这里直线的维数为1 ( 大干0 、小于2 ) 。与此类似，如果我们画一个k o c h 曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大， 而用平面量，其结果是o ( 此曲线中不包含平面) ，那么只有找一个与k o c h 曲线维 数相同的尺于量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1 、小干2 ，那么只能是小 数( 即分数) 了，所以存在分维。其实，k o c h 曲线的维数是l2 6 1 8 。 图1l 2 h i1 3 图l 14 第一章分形理论简介 图1 1 分形图欣赏 同时，在分形理论的不断发展下，在多种概念和方法相互冲击和融合下，分形 在音乐、艺术方面也产生了一定的影响分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学 与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受； 不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁。如 图1 1 的分形图片就体现了分形的艺术美。 1 3 分形的自相似性与分形维数 分形理论的基本观点是维数的变化可以是连续的，处理的对象总是具有非均匀 性和自相似性。自相似性简单地说，就是局部是整体成比例缩小的性质，即与放大 倍数标度无关。分维是描述物体形态及物理现象的重要参数。 1 3 1 自相似性 m a n d e l b o r t 在其1 9 7 6 年和1 9 8 2 年的著作中提出了分形概念的一个尝试性定义， 定义如下：分形为h a u s d o r f f - b e s i c o v i t c h 维数小于其拓扑维数的集合。这一定义 引入了集合、h a u s d o r f f b e s i c o v i t c h 维数及拓扑维数等概念。对于大多数从事非 数学专业的读者来讲，使用起来很不方便。1 9 8 6 年，m a n d e l b o r t 给出了另已较为实 用的定义：即部分与整体以某种方式相似的图形称为分形。 这一定义突出了相似性的概念，反映的自然界中很广泛一类物质的基本属性： 局部与局部、局部与整体在形态、功能、性质等方面相似的性质，这类相似性称为 自相似性。从这种意义上讲，分形是具有自相似性结构的体系。例如海岸线的长度、 k o c h 曲线、s i e r p i n s k i 垫圈等。 1 3 2 分形维数测定 空间维数是凡何学的基本概念，长期以来人们对此只有非常简单的直观概念， 即欧几里德维数。例如我们讲一点定义为“零”维，一个平面定义为二维，一个立 方体定义为三维等等。欧氏几何具体有确定的整数维数，它可以看做是嵌入空间中 点的集合。但如果将所研究的几何对象扩大一些，即讲点集推广到更为抽象的集合 时，长度、面积与体积这样的几何量不再适用，人们还要设法赋予某种特定测度来 描述集合的性质。要测量几何体的长度。 7 青岛大学硕士学位论文 分维有多种定义方法，常用的定义方法是下面三类：( 1 ) 用改变标尺来确定豪 斯道夫维数d 。：这个方法的基本点是用线段、正方形或圆、立方体或球等有特征长 度的图形去近似测量分形图形。如用长度为r 的线段集合去测定不规则的海岸线， 这实际上是用一条每段长度为r 的折线去代替待测的不规则曲线，将所需的线段总 记为n ( r ) ，若不断改变标尺r 的大小，n ( r ) 也会随着发生变化，则 d h ：l i m i n n ( r ) 1 一( 1 ) r - - o i n ( 1 厂) 义为 ( 2 ) 用测度关系求出容量维数d 。：当用半径为 哦= l 枷i mi l n n ( n 1 ( ) ) - 1 一( 2 ) 的d 维小球去填充该物体时，假定n ( ) 是所需球的最小值，则容量维数定 臻= l 删i r ai h l n ( n l ( e ) ) _ 1 一( 3 ) 这个方法与改变标尺法的区别点是的大小是固定的； ( 3 ) 用相关函数求分形维数d c ：在许多物理、化学的凝聚生长问题中，密度一 密度相关函数是经常计算的一个统计量。因此，我们可以利用相关函数来求分形维 数。一个在空间作随机分布的物理量p ( x ) ，它的相关函数定义为： c ( ，) = ( p ( x ) p ( x + 1 ) ) 此外，还有信息维数、李雅普诺夫维数、谱维数等乜1 。 1 4 分形理论的发展现状 l 一( 4 ) 分形理论诞生不过仅仅十余年的时间，但其发展相当迅速，并已取得许多重要成 果。例如，有关电解沉积、电解质击穿、固体薄膜中非晶态到晶态的相变过程、凝胶 等分形现象的研究报道日益增多。分数维几何学在诸如晶体表面、晶界形貌、催化 剂结构、材料断裂机理分析、凝聚体结构等涉及物体表面几何形貌的研究中都有重 要应用。还被广泛地应用于哲学、自然科学和社会科学的许多领域，材料中若干分 第一章分形理论简介 形凝聚模型，包括扩散限制凝聚功模型、动力学集团凝聚模型和扩散与反应凝聚模 型等。现在分形理论穿透于现实生活的方方面面，特别是在科技高速发展的今天， 通过计 算机模拟操作来完成大量的数据运算，使得分形理论的应用更加普及和广泛， 其效果也是好的让人震惊。 目前，分形理论及其应用正在深入发展。它在数学、物理、地理、电影艺术、经 济研究及计算机模拟等方面，都己进行了很多有益的探索：甚至，对于肿瘤的生长、细 胞的变异、基因的排列组合、人体的穴位分布等，分形的概念也在逐渐渗入，人们期 待着某些自然界之谜和科学技术之难题通过分形得以化解。 当然，分形理论真正发展起来才十余年，分形学还是一门很年轻的科学，并且 正处在不断发展之中，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分 形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高 的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便， 可操作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。尽管其应用研究己涉及几乎 所有学科领域，但其公理化的数学体系尚未建立，其物理基础还不十分牢靠。然而， 我们必须以科学的态度对待这一新兴学科。在理论研究上，维数的理论计算、估计、 分形重构( 即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集) 、j 集和m 集及其推广形 式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多 重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们 广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。目前， 分形理论的主战场已从简单分形转向多分形，而热力学类比、相变现象、子波变换、 自组织临界性、胖分形与重正化混沌等等将是其中的几个热点。 尽管分形理论的优势己慢慢显露出来，让仍要说明的是，目前全球对于分形理 论应用的研究还有很多缺陷，其主要表现形式是：第一分形理论的应用普遍集中在 分形h a u s d o r f f 维数、计盒维数和统计分维等维数的计算上，而对于分形插值、分 数布朗运动、分形测度等分支的应用就少很多，更不用说诸如多重分形谱的计算和 分形动力学等更有深度的问题的研究；第二应该非常关注统计分形和随机分形的理 论研究和应用。因为今后分形理论应用研究的新热点很可能就是围绕这几个理论环 节进行。m a n d e l b r o t 提出“其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形”。许 多学者认为：分形是“看”出来的，而无法严格证明“什么是分形”。因此要给分形 一个好的定义还需努力，在没有公认的定义之前，要判断分形与非分形是有困难的， 但自仿射性应是分形的本质特征。对于实际问题中出现的分形图象的判断，仍是一个 尚待解决的问题，至今仍缺乏一种公认的客观判断标准和判定方法。目前国内外学者 所采用的方法大致有：( 1 ) 人工判定法：( 2 ) 相关系数检验法：( 3 ) 强化系数法：( 4 ) 9 青岛大学硕士学位论文 拟合误差法：( 5 ) 分维值误差法：( 6 ) 总体拟合法等。但现有的这些方法都不同程 度地存在缺陷，仍有必要探索一种更好的方法。 1 5 当前分形理论研究的问题 1 5 1 分形中的插值问题 分形插值是一种构造分形曲线的方法，是由m f b a r n s l e y 在迭代函数系统基础 上提出来的。原理是对一组给定的插值点构造相应的i f s ，使i f s 的吸引子为通过 这组插值点的函数图。 分形插值函数为拟合实验数据提供了新的手段。自e u c l i d 几何创立以来， 人们就试图把几何体写成数学语言。随着基本初等函数如幂函数、指数函数、对数 函数和三解函数等的陆续出现，传统数学基本解决了几何体的描述问题。但对大量 存在的离散数据，这些基本初等函数又变得无可奈何。尽管有n e w t o n 插值、l a g r a n g e 插值和s t r i n g 插值等方法面世，但都难以解决几何体的低阶全局光滑问题，直到 2 0 世纪6 0 年代“样条函数插值 的提出与应用，一个用低次多项式解决全局光滑 性的问题才算有了一个圆满的解决。可见几百年来，数学家对插值问题的解决是朝 着愈来愈光滑的方向发展的。也就是说，大家熟知的传统插值方法，通常把实验数 据点画在图纸上，然后用“直线段”连接各测量值，或用多项式插值和样条插值来 拟合这组数据。不管用什么方法，它们都是强调光滑性，即当图充分放大后局部看 上去仍呈直线段，这用来描绘极不规则的曲线就很不理想了。如同e u c l i d 几何中的 圆、椭圆、双曲线一样，尽管迭代函数系统等数学语言可描述出分形几何的基本图 形，如k o c h 曲线、c a n t o r 集、s i e r p i n s k i 三角形等，但对山脉、云彩、森林的轮 廓等这些大自然几何体以及每分种都在变化的股票市场是非常难以得到它们的数学 语言表达式的。分形几何实际上是大自然几何，分形插值函数则利用大自然中呈现 出来的许多现象具有精细的自相似结构这个特性来拟合波动性很强的曲线，现已证 明这是一个十分有效的工具。 分形插值函数与初等函数一样也具有其本身的几何特征，它也能用“公式”来 表示，能快速地被计算出来。它们之间的主要差别是分形插值函数的分形特征，如 它有非整的维数，并且是针对集合而非针对点的。 l o 第一章分形理论简介 1 5 2 分形压缩 分形压缩特别适合压缩自然景观的图片，依赖于特定的图像及同一副图像的 一部分与其他部分的相似程度。m i c h a e lb a r n s l e y 在1 9 8 7 年提出分形压缩技术， 最广为人知的具有实际用处的分形压缩算法是由b a r n s l e y 和a l a ns l o a n 提出的。 所有的这些算法都是基于使用叠函数系统的分形变换。 分形压缩没有被广泛的使用，这是因为分形压缩的压缩和解压速度远比j p e g 慢，此外，它的专利也不允许被广泛使用。 对于低质量的图象，分形压缩比j p e g 优越，另一个优于j p e g 的方面是当图像 被放大时，采用分形压缩的图像比j p e g 图像质量要高。分形压缩最大能达到1 0 0 0 0 ：1 的压缩率，但是还不够成熟。 1 9 8 7 年，m i c h a e lb a r n s l e y 创建了分形压缩的概念和方法，他因此而持有多 个技术专利b a r n s l e y 和a l a ns l o a n 发明了可用于实践的分形压缩算法1 9 9 2 年，b a r n s l e y 的研究生a r n a u dj a c q u i n 开发了第一个应用于图形压缩的分形压缩 软件所有这些方法都是基于使用迭代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s ) 的分 形变换( f r a c t a lt r a n s f o r m ) m i c h a e lb a r n s l e y 口1 和a l a ns l o a n 31 9 8 7 年发明 的迭代函数系统已经被授予了与分形压缩相关的2 0 多个专利 自从i n t e r w o v e n 公司收购了m e d i a b i n 公司( 曾名i t e r a t e ds y s t e m si n c ) 后， 分形压缩算法的主要专利权就为i n t e r w o v e n 公司所有，它们包括u s 专利4 9 4 11 9 3 ， 5 0 6 5 4 4 7 ，5 3 8 4 8 6 7 ，5 4 1 6 8 5 6 和5 4 3 0 8 1 2 这些专利限制了分形压缩的广泛应用 分形压缩的缺点就是因为要查找图形内自相似部分而导致压缩时间过长，但是 解压缩过程却非常快，这种压缩算法通常被称为不对称压缩算法过长的压缩时间 使得分形压缩不可能应用于实时压缩但对于某些领域，如提供文件下载，视频文 件等只需要解压缩时间快的应用，分形压缩就很有竞争力 通常分形压缩算法可以达到5 0 ：l 的压缩比，这和基于小波理论的压缩算法例 如j p e g 是相似的，高压缩比的分形压缩算法甚至能提供比j p e g 更好的解压质量 卫星图的压缩比超过1 7 0 ：1 但仍保持较高的可接受的图像质量应用于视频的分形 压缩通常有2 5 ：1 到2 4 4 ：1 的压缩比，对应于时间上就是2 4 到6 6 秒帧。 1 6 颗粒堆积的计算机模拟 使用随机迭代算法绘制分形图，原理清晰，程序操作简单，机时少，它可以得出 吸引子集上的不变测度，并可以根据这个不变测度，在分形集上着色而绘制出极其 丰富多采的彩色分形图。 1 l 青岛大学硕士学位论文 1 6 1 计算机模拟背景 ； 颗粒堆积体的基本结构特征是颗粒几何特性和堆积状态的综合反映。颗粒的几 何特性是指颗粒形状特性和颗粒粒径分布；堆积状态是指颗粒在堆积体中的几何关 系，是不同的颗粒物理特性和外界物理条件对颗粒堆积体结构所产生的影响。颗粒 堆积体因以上两种因素的变化而呈现