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电子科技大学硕士学位论文 逆m一 矩阵及其完成问题和非负矩阵研究 摘要 特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、 经济学、物理学、生物学、应用数学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的 研究所取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用。 本文研究了逆m- 矩阵的性质和完成，并且讨论了 有关逆m - 矩阵h a d a m a r d 积的 封闭性， 不可约逆m- 矩阵的广义p e r r o n 补， h - 矩阵的f a n 积不等式以及非负矩阵 的p e r r o n 根的 估计。 本文分五章:第一章为引言，主要介绍了本选题背景与本文有关的一些定 义和记号。 第二章讨论了逆m - 矩阵的一些性质。 第三章研究了逆m - 矩阵的完成 和在h a d a m a r d 积的封闭性问 题。 第四章介绍了 不可约逆m - 矩阵的 广义p e r r o n 补的性质， 以及h - 矩阵的f a n 积不等式。 第五章借助已 有的非负矩阵a 的p e r r o n 根的结果， 通过对厂的p e r r o n 根估计，得到了非负矩阵a的p e r r o n 根的更优 的上下界。 关键词:h - 矩阵:m - ， 矩阵:逆m - 矩阵;h a d a m a r d 积;p e r r o n 根;f a n 积 电子科技大学硕士学位论文 ab s t r act s p e c i a l m a t r i c e s p l a y a n i m p o r ta n t r o l e i n m a t r i x a n a l y s i s a n d m a t r i x c o m p u t a t i o n a n d h a v e w i d e a p p l i c a t i o n s i n c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s , e c o n o m ic s , p h y s i c s , b i o l o g y , a p p l i e d m a t h e m a t i c s a n d e t c . g r e a t p r o g r e s s o b t a i n e d i n t h e r e s e a r c h e s o n s p e c i a l m a t r i c e s w i l l g i v e i m p r o v e m e n t s i n c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s . t h i s d i s s e rt a t i o n p r e s e n t s i n v e r s e m- m a t r i c e s a n d a d -m a t r i x , t h e p r o p e rt i e s a n d c o m p l e t io n o f i n v e r s e m - m a t r i c e s . a n d t h e c l o s u r e p r o p e rt y o f i n v e r s e a d m a t r i c e s u n d e r h a d a m a r d p r o d u c t a r e a n a l y z e d , t h e p r o p e rt i e s o f g e n e r a l i z e d p e r r o n c o m p l e m e n t o f i n v e r s e a d -m a t r ic e s , i n e q u a l i t y o f f a n p r o d u c t o f h - m a t r i c e s a n d p e r r o n r o o t e s t i m a t i o n o f n o n n e g a t i v e m a t r i x a r e s t u d i e d . t h i s d i s s e r t a t i o n i s d i v i d e d i n t o f i v e c h a p t e r s : c h a p t e r o n e i s d e v o t e d t o i n t r o d u c i n g t h e b a c k g r o u n d a n d s o m e r e l a t e d d e f i n i t i o n a n d n a t i o n .i n c h a p t e r 2 w e d i s c u s s t h e p r o p e r t i e s o f i n v e r s e m- m a t r i c e s . c h a p t e r 3 c o n s i d e r s c o m p l e t i o n o f i n v e r s e m- m a t r i c e s a n d i t s c l o s u r e p r o p e r ty u n d e r h a d a m a r d p ro d u c t . i n c h a p t e r 4 w e o b t a i n e d t h e p r o p e r t i e s o f t h e g e n e r a l i z e d p e r r o n c o m p l e m e n t o f i n v e r s e m- m a t r i c e s a n d i n e q u a l i t y o f f a n p r o d u c t o f h - m a t r i c e s . c h a p t e r 5 , w e g e t s h a p e r u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o f p e r r o n r o o t o f t h e m a t r i x b y t h e p e r r o n r o o t o f a z u n d e r s o m e c o n d i t i o n s . s o m e e x a m p l e s a r e g i v e n t o s h o w t h e n e w e s t i m a t i o n m e t h o d i s e ff e c t i v e . k e y wo r d s : h - m a t r i x ; m - m a t r i x ; i n v e r s e m - m a t r i x ; h a d a m a r d p r o d u c t ; p e r r o n r o o t ; f a n p r o d u c t . 电子科技大学硕士学位论文 独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 签名: 日期:年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位 论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以 将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名:导师签名: _ 日期:年月日 电子科技大学硕士学位论文 第一章引 言 1选题背景 随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普遍运用， 数学的独特魅力在解 决科技生产中的重大实际问 题的过程中都得到了 充分的体现。随着数学理论的 日 趋完善和成熟，数学的思想和新的数学方法都在各个都得到了广泛的应用。 矩阵是数学上的一个重要概念，由 于它描述问 题表达简洁，实质刻画深刻等优 点，因此是近年来数学建模中解决实际问题常用的一种方法。许多著名的数学 学者参与又为矩阵理论的发展提供了有力的智力支持，而工程技术人员和科技 人员的加入为矩阵理论的应用开辟了 广阔的前景。矩阵计算的理论和方法与方 程组的求解是矩阵理论的一个重要方向，己 经成为经济学、生物学、现代物理 学等领域处理数学问 题的不可缺少的强大工具， 成为计算数学的一个重要分支。 众所周知，许多实际问题最后常常归结为一个或一些大型系数矩阵为特殊 矩阵的线性方程组的求解问 题， 如在生物学、 物理学、数学和社会科学、偏微 分方程中的有限元方法、经济学中的投入产出分析和增长模型、 运筹学中 的线性互补问题、概率统计中的马尔科夫的m矩阵; 在控制论及神经网络大系 统的稳定性、线性时滞系统的稳定性研究中需要h矩阵和正稳定阵。 逆m- 矩阵是近年来计算数学研究的较为热门的一类特殊矩阵，目 前对它 的研究主要集中在两个方面:一是研究它本身的数学性质;二是研究与它有关 逆m一 矩阵。1 9 7 2 年，, t . l . m a r k h a m首先提出了 逆m- 矩阵的概念并对它作了 研究d ， 随后著名的 矩阵理论专家m . n e u m a n n 等作了 进一步的 研究， 但是它和 m 矩阵众多的等价条件和性质相比 还处在较为初级的阶段，还有学多工作待 于进一步的完善和发展。r . h o rn和c . r . j o h n s o n 指出m一 矩阵类和逆m一矩 阵 类在h a d a m a r d 积下是m一 矩阵 类， 同时给出 此两类矩阵在h a d a m a r d 积下的 某些不等式 12 1 ，同 时c . r . j o h n s o n给出 了 一 般的的 逆m一 矩阵 类在h a d a m a r d 积下 是 不 封闭 的 结 论 3 。 在此 基 础m . n e u m a n n 提出 一个 猜 想: 设 矩阵a 是 逆m 一 矩阵，则矩阵a- a是逆 m一 矩阵，同时在文中给出了几类特殊的逆 m-矩 阵 类在h a d a m a r d积下是 封闭， 它 们是a 一 矩阵类， m m a - 矩阵 类1 . 2 0 0 0年 b o - y m g w a n g 也 给出 了 几 类 逆m - 矩阵 : w il lo u g h b y 逆m - 矩阵、 上三 角 逆m 一矩阵，指出它们在 h a d a m a r d积下是封闭，同时在文中给出关于 m一矩阵和 第 1页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 其s c h u r 补矩阵在f a n 积下的 几个不等式15 1 最近著名的美国矩阵理论专家c . r . j o h n s o n 等给出m-矩阵和逆m-矩阵 的 许 多 优 美的 结 构性 质2 ,3 ,6 ,7 1和 一 般的 逆m - 矩阵 类 在h a d a m a r d 积下 是 不 封闭 得结论3 ) 。 关于逆m- 矩阵类的 很热门 的 研究方向 为以 下 三个: ( 1 ) 判断一个矩阵是不是逆m- 矩阵。 ( 2 ) 不定矩阵的完成问 题。 ( 3 ) 逆m- 矩阵的在h a d a m a r d 积下的封闭问 题。 1 .2 主要符号表 = : l , 2 . . . 时 c ( r ) : c ( r ) : m ( c ) ( m ( r ) ) 2 仙 ” : a 7 : a . : d e t a: 狱a ) : p ( a ) : a z0: a0: a 0: d : a j ( a ) : a ( i i i ) e i : s ( a ) : 1 ( a ) 自 然数集合 复 ( 实)数集合 n 维复 ( 实)向 量集合 。 阶复 ( 实) 矩阵集合 a . ) e 城( r ) : a u - 0 , 则 当: p ( b ) 时， 称a 非奇 异的m矩阵 ， 简记为a e m. 定义1 .3 .3 1 8 1 设a z 0 ， 若a - e z 则称a 为 逆m一 矩阵， 记为a e w a 定 义1 .3 .4 19 1 设 ， = (a ) ， 若 i a , 1 1a i j x i , j e ， 则 称 ， 的 第 i 行 为 行 元 素严格占优。 若 a , i i a j 1 j # i , i, j e ， 则 称a 为 行 元素 严 格 对角占 优 矩阵 。 同理也可以定义列元素严格对角占 优矩阵。 定义 1 .3 .5 19 1 若a = tl - b , b 非负 ， 1 _ p 协) ( t p ( b ) ) ，这里p 但 ) 表示b 的 谱半 径 . 则 称a 为m - 矩阵 ( 非 奇m - 矩阵 ) ， 记 为a e 城 。 定 义1 .3 . 6 19 1 若a e c . ，满 足条 件: ia i; i 习a . i, i 。 则称a为严格对角占优矩阵。 定 义1 .3 .7 9 1 若a 。 c , ， 存 在 正 数 试 ， 姚 么， 使 得 d i ! a , 卜 i呜 i a ，i e j = 1j m i 则 称a 为h - 矩阵 ， 记为从。 定 义1 .3 .8 19 1 若a e r ， 设 m ( a 卜( m # ) ， 其 中 一 i 丐i a y 卜 , i e 矛1ee、 - 礼 则称m( a ) 为a的比 较矩阵。 定义1 .3 .9 1 1 0 - 1 2 ,3 9 1 若a r ,b e r 0 ， 设 f ( a b ) 一 ( 儿 ) ， 其 中 、 = 一 a,b , i s j t a , v . , - .i i 任 则称f ( a b ) 为a 与b 的f a n 积， 记a b 。 定 义1 .3 . 1 0 1 13 若a e r ，b e r ， 设 a o b = ( a , 气 户 ” ， vi ， j 。 第 3页 共 4 3页 电 子科技大学硕士学位论文 则称a o b为a与b的h a d a m a r d 积记a o b。 定义1 . 3 . 1 1 f a s 设a e r ，o a x e r ， 如 果纯量a 满 足方程:a x = a j x， 则称r 为a 的次特征值。 记p ( a ) = m a x . ; , i e 。 设招表 示数 域r 上 所 有n 元 数 组x = x , x , , ， 二 ， x 了 构成 的n 维向 量 空 间 。 r ” 中x 向量成为非负向量，如果向量x 的每个分量都是非负的，记为x ? 0 ; 如 果向量x 的每个分量都大于零， 则称x 维正向量，记为x 0 ;设r m , 表示数域 r 上 所 有 m x 。 阶 矩 阵 a = 马 的 集 合 。 设 矩 阵 a = a e r ， 如 果 矩 阵 a 的 所 有 元 素 马之 。 则 称 矩 阵 a 是 非 负 矩 阵 ， 记 为 a _ )如 果a 2 0 且 a # 。 ， 则 称 a 为 半正矩阵， 记为a 0 ; 如果非负矩阵a的所有元素都大于零， 则称矩阵a 为正 矩阵，记为a 0 :设两个矩阵a , b e r -， 如果a - b ? 0 ， 定义a _? b;如果 a 一 b ;0 ， 定义a b 。 称” x n 阶矩阵a 为z 一 矩阵， 如a = t i 一 b , b ? 0 ; 矩阵a 是m一 矩阵。 如果 矩阵a 是z 一 矩阵， 且t p ( b ) 是非负 矩阵b 的 谱半 径; 矩阵a 为逆m一 矩阵， 如果a - ， 为m一 矩阵; 矩阵a 为p - 矩阵， 如果a的 所有主子式全 为 正 ; 设 矩 阵a = a l j e r x 是。 阶实矩阵，如果对任意的i e ，有 i a , 1 y 7 = ,j , i a j i ， 则 矩 阵 称 “ 为 严 格 行 对 角 占 优 矩 阵 ; 矩 阵 a 是 严 格 列 对 角 占 优 矩阵， 如果其转置 矩阵a ， 是 严格行对角占 优矩阵。 集合 1 , 2 , . . , n 记为 ; 对 的 任 意子 集a , ,6 ， 用a a i /j 记a 的 行 属 于a 和 列 属于,6 所 组 成的 子 矩 阵 ; 用a ( i i 力记 矩阵a 删去的i 行 和 第1 列 后 所 得 到的 子 矩阵 ; 当 i = j 时 ， 用a ( i) 代替a ( i i j ) 。 一个 有向图d是 指一 个有序二 元组( v ( d ) , e ( d ) ) ， 其中v ( d ) 是非空的 定点 集，e ( d ) 是 弧 集， 分 别 记 为v , e ;。 阶 方 阵a = a 的 伴随 有向 图d ( a ) 是以 v = 为 顶 点 集， e = ( i , j ) i a j x 0 为 弧 集 的 一 个。 阶 有 向 图 ; 有 向 图 d 的 传 递闭 包万由d 按下列 规则 添加弧 而得到 得: 如果d中 有一 条从.1 到k 的 有向 路， 而在d中 加一条弧( l , k ) 。 第 4页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 第二章逆m- 矩阵的性质 本章主要研究了 逆m一 矩阵的性质。首先给出了三对角矩阵、正矩阵的 逆 m - 矩阵的一些性质， 基于这些性质， 得到了一个逆m - 矩阵可约的充分必要条件， 从而得到了逆m- 矩阵的一个判定定理。 最后又探讨了一些关于次逆m一 矩阵的 性质。 逆m- 矩阵 是一个非负矩阵 1 , 1 4 1 ， 然而确定一 个矩阵是否为 逆m一 矩阵 是一 个长期存在的公开问题，至今还没有一个令人满意的答案。经典的矩阵分析问 题主要采用数值分析的方法， 而此方法在对一些特殊矩阵类( 如逆一m矩阵类) 问题的研究中受到了限制，要改变这一僵局就必须寻找新的方法。利用图的性 质和组合矩阵的知识便改变了 这一僵局并且使在这一方面的研究进入了新的发 展阶段，从而带动了矩阵论的进一步完善。 定 义2 . 1 如 果 矩 阵a 满 足a _ 鸟 = o , h i - j - 2 ， 则 称a 为 三 对 角 矩 阵 。 引理2 . 1如果a 是一个可约矩阵，则a - ， 也是一个可约矩阵。 定 理2 . 1 若a e m - ， 则a 是 可 约 矩 阵 的 充 要 条 件 是 存 在 某 个 元 素 a , = 0 o 证 必要性: 若a是可约矩阵， 则根据可约矩阵的定义必有某个元素 a= 。 。 充分性: 由a e m- ， 知a - e m。 假设a - ， 是不可约矩阵， 则a o f , 。这 与 存 在马= 。 矛 盾， 从 而a - ， 是 可 约 矩 阵 . 又 因 为 a - ， 与a 有 相同 的 可 约 性 11 1所 以a是可约矩阵。证毕 推 论2 . 1 若a e m ， 则a 是 不 可 约 矩 阵 的 充 要 条 件 对 任 意 的 元 素a y # 0 o 推论2 .2 7 1 若a 是不可约逆m - 矩阵，则a 是一个正矩阵，即a 0 。 现在考虑一类特殊的逆m一矩阵 三对角逆m一 矩阵， 由 定理2 . 1 可以 得到下面的定理。 定理2 .2若a e m- ， 且是三对角矩阵， 则一定存在置换矩阵p，使得矩阵 、十.tj了 00内 o人 尸 a 尸 7 0 0 鸿。:0 2.lesee、 一一 其中凡 i i e 为 一 阶 或二 阶 不 可 约 方阵 。 证 不妨设 第 5页 共 4 3页 电 子科技大学硕士学位论文 0 气_ 1。 _ : 气一 、 0气_ .a， n0 八曰n 0气气 a=气气: nun曰 al气。00 21111.we.!、 - a 因为三对角矩阵每一行都有0 元素， 而且尸 心 ， 仍为三对角矩阵， 则存在置换矩 阵p , 使得 00卜:丸 君 a p ,t = 气 . 凡。0 厂lesesweweeseslleswe、 易 知 人 , , i e ， 仍 为 三 对 角 矩 阵 ， 若呱是 大 于 三 阶 的 矩 阵 ， 由 三 对 角 矩 阵 的 本 身 性 质 可 得 人 、 为 可 约 矩 阵 。 由 定 理2 .1 知 ， 存 在 置 换 矩 阵 只 ， 使 得 p ,a p ,t 中 的a b 、 化 为 。;.际 0嘛二 编?二 bro=一 0 0 的 形 式 ， 其 中 a ,., 的 每 一 小 块 都 是 小 于3 阶 的 不 可 约 矩 阵 。 同 理 ， 存 在 置 换 矩 阵 p , 可 使 得 p a p t 中 的 每 一 块 大 于 等 于3 阶 的 矩 阵 都 化 为 入 、 中 的 形 式 。 令 尸 = p k p - , 君 00人 0 a , a.o 0 0 - p pa 且a ; 为 一 阶 或二 阶 不 可约 矩阵。 定理2 .3若a是三对角矩阵，且两条次对角线元素均非零，则a 0 m- a 证 ( 反证法) 假设ae m- ，因三对角矩阵每一行都有零元素，由定理2 . 1 知，a 是一个可约矩阵。有因为两条次对角线元素均非零的三对角矩阵是不可 约的，则a不可约，由此得出矛盾，故a0 m- o 第 6页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 下面给出逆m一矩阵的几个重要性质。 定理2 . 4若ae m- ，则至少存在一行，为行元素严格占 优。 证假 设 a ir ，织 黔 沐 a , , i e ， 由 a e m -， 知 存 在 正 对 角 矩 阵 d = 使得方 = a d为 行元素严格占 优。 d i a g ( dd z , - - - , d ) 设 a = ( a , ) p , ， d = m in ( d )p ,.- 考 察月 的 第p 行 有 舀 pp = d p a . 5 d , m a x ( a % ) 峨m a x a j 从而有 a :5 a .y r ，j e 这 与 a = a d 为 行 元 素 严 格占 优 矛 盾 ， 从 而 必 存 在ip e 使 得 a 、 ， m a x 、 ( a ， )b b je - j siy b j 同理用定理2 .4 的方法我们可以 得到下面的推论。 推论2 .2若a e m- ，则至少存在一列，为列元素严格占 优。 1 9 7 7 年r . a . w i l l o u g h b y 给出了 一 个 判断非 负 矩阵 是否为 逆m一 矩阵的 充 分条件 1 5 1 ， 即下面的引理: 引 理2 .2 1 s 设a 具有形状 、一j尹 即” 乌气1 且 a ;, e ! x , 川, i $ j ， 其 中 x y 满 足 1 ) 0 x _ 。 成 立 ; d ( c ) = d ( c ) 且 d ( ( c + a i ) 一 ， ) = d ( c ) , a _ 0 第 7页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 引理2 . 4 l , ) 设有向图d为n 的唯一有向图，ce r 0 ， 则下面的条件等价: 1 ) c - 是m_ 矩阵， 且d ( c - ) = 。 2 ) c ? 0 且满 足 ( a ) c ;, o , i e ; ( b )对 所 有j x k , ( j , k ) e e ( d ) 有 c u c kk c jk c jg ; ( c )如 果 在d 中 没 有 从 顶点 k 的 有向 路， 则 有c j k = 0 ; ( d )如果对不同的 顶点i , j , k 在d中有从顶点j 到顶点k 的 有向 路， 但 在 “ 中 没 有 从 顶 “ l 到 顶 点 的 有 向 路 ， 则- cjicikcjk - ch 定 义2 .2 i 6 非负 矩阵a 与 它的 一 切a k ( k e ) 有 相同的 零位模式时， 称a 具有幂不变零位模式。 i 理2 . 5 1 6 设a 为对角元均为正的非负矩阵， 则存在非负对角矩阵d 使得 a + de m- ， 当且仅当a 具有幂不变零位模式。 下面考虑引理2 .5 1 6 的特殊形式，当a o 时，可得下面两个结论。 定理2 . 5若a 0 ，则存在a 0 使得a 十 a l e m- 。 证令a 十 a i = d b ， 其 中 d = d ia g ( a : 十 a , a 二 十 a , . . - , a . + a ) ， 显 然b 具 有 引 理2 .2 中a 的 形 式 ， 且气 = a . +a， 易 知 ， 当 a 一+ 0 o 时 ， 有0 n 一 y一z 显然 ， 当a = a . 时，b 满 足引 理2 . 2 的 条 件， 但b e m- ， 故 db=a+a l e m 证毕 定理2 . 6设a o ， 则存在正对角矩阵d使得a 十 刀任 m- 。 证 假设 c= a + d= a + 凡1 其中 或= m i n 试 , i e a= a 十 d i a g ( d , 一 d . , d , 一 d o ， . . . ， d . 一 d n ) 易验证，a o 。当d o - + + -0 o 时，由引 理2 .2 知 a + 风 i e m - 则 c= a + d= a + d o l e m- 下面介绍关于次逆m一 矩阵的定义及其性质，在给出定义之前先给出单位 矩阵、次单位矩阵和次对角矩阵 、llesesesesesl了 试0 0戈 2口十月.、 - d 、，lesllj月 ，.二。0 八u呼心月1 2沙一 - j ， 、十2 0。1孟 电.人。，。n 2一、 e = 其中试 o , i e 。 定 义2 .3 4 8 1 设j a e z , ( j a ) - _ 0 ， 则 称a 为次m一 矩阵， 记为a e m 。 设 j a _ 0 ， 若( j a ) - e z 则 称a 为 次 逆m一 矩阵， 记为a e m - e 定义2 矛 4 8 设a r , 0 # xe r mx ， 如 果 纯 量a 满 足方 程: a x= a j x， 则 称a 为a的次特征值。 记声 ( a ) = m a x 认 , j e o 容易验证尹= e , j - = e 。 非奇异次逆m一 矩阵a 具有如下的性质: 1 ) a 可 逆， 且a - e m ; 2 ) a的 任意次主子阵都是次逆m一 矩阵; 3 ) a ， 的 任 意次 主 子阵 都 是 次m一 矩 阵。 4 ) a t 是次 逆m一 矩阵; 5 ) p a p t 次逆m一 矩阵; 6 ) d a 次逆m一 矩阵。 第 9页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 引 理2 . 6 a1 设 a = a y 是 。 阶 实 方 阵 ， 且 当 i + j $ n + l 时 a , 0 , 1 二 1 ， 2 ， . . . . b 二 ( 付 ， )，x 。 若弓 = 0 ， 则由 ( 2 .2 ) 式 知 ， 必 有 呵 = o , r 一 1 , 2 ， 一 再 由 ( 2 . 1 ) 知 c = 0 . 反 之 ， 若 c ,.= 0 ， 则 由 (2 .1 ) 知 有 呵 = o , r = 1 , 2 ， 一 故 由 (2 .2 ) 有 弓 = 0 0 又 因 为 j a = c 所 以 a = j c ， 而 j 不 改 变 c 的 元 素 大 小 ， 故 a , 与 c 的 零 元素相同。证毕 定理2 . 9 若a e 甘一 ， ， 则a 十 d e m- ， 的充要条件是矛与a的 零元素位置相 同。 证 若a 十 d e m- ，有定理2 .8 知a + d 与( a 十 d ) ， 具有相同位置的零元 素，但a + d 与a有相同的零元素。( a + d ) = a + a d 十 d a + d ， 与a 有相同位 置的零元素，故a 与a具有相同位置的零元素。 反夕.a 与a具有相同位置的零元素，则a的零元素是幂不变的，只需证 第 1 1页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 明可以选择a ? 0 使得 j ( a j + a ) 一 ， e z 假设a ? p ( a ) ，于是a j + a 可逆， 且可表示为 ( a j 十 、 一生 ( e 一 生 j a + 典( j a ) 一 奥( j a ) 、 ， 二 ) j a a a-“- 当a充分大时有 d ia g (生 j a 一 共 j a 十 共 一、 : ( 2 . 3 ) (ja 一 奋 (ja ) 十 奋 (ja ) 一 ， 之 。 ( 2 .4 ) 从而有 j ( a j 十 a ) 一 z 由 ( 2 .3 ) 等价与 d i a g j a ( a j + a ) 一 ， 0 同时成立。 次逆 m 一 矩阵也是一类重要的矩阵类，它在物理学、信息论、矩阵方程等 领域中有着广泛的应用价值。但有关次逆 m ， 矩阵的文章不是太多，主要是因 为任何一个次逆m一 矩阵a左乘一个次单位矩阵j 就是一个逆m一 矩阵， 因而几 乎所有逆m一 矩阵的相关结论都可以 推广到次 逆m 矩阵， 所以 本节就不再过多 介绍了。 第 1 2页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 第三章 逆m- 矩阵的完成及h a d a m a r d 积的封闭性 本章主要讨论了一类特殊模式的逆m- 矩阵的有关完成问 题，然后又验证 了 这一类特殊模式的 逆m- 矩阵的h a d a m a r d 积的封闭性，并给出了一些数值 例子。 3 . 1 逆m一 矩阵的完成 1 9 6 5 年h a r a r y ,n o r m a n , c a r tw r i g h t 17 1 ) 构 造图 的 结 构 模 型， 提出 唯 一 路 有 向 图 。 m a y b e e ll $ l对 此 有向 图 进行了 进 一 步 的 研 究， 指出 唯 一 路有向 图 是 基 础 无 向图是树或森林的有向图的推广，也是基础无向图是树或森林的有向图和有向 圈 在理论上的结合，并且强调唯一路有向图有可能成为组合矩阵分析的一个新 的 研究方向，这使得对唯一路有向图的研究具有很强的理论和实践意义口 在逆 m一矩阵的完成问 题上就借助了图论的知识。逆m一 矩阵的完成问 题 是 一 个的 研究 热点。 1 9 %年c .r . j o h n s o n a n d r .l . s m it h 119 1 ， 给出 了 完 成的 的 逆 m-矩阵中的的零元素与部分矩阵中的不确定元素具有相同的位置的这一个性 质 ， 1 9 9 8 年l . h o g b e n 给出 了 一 类 特 殊 逆m - 矩阵 完 成的 简 单定 理 1 .u 1 2 0 0 2 年 c . j o r d a n , j . r .t o r r e g r o s a a n d a . m . u r b a n 。 在中 又 进 一 步 讨 论了 块 逆m 一 矩阵 的 完 成问 题 12 3 1通过 对 逆m一 矩阵 性 质的 研 究， 给出 了 一 类 特 殊m - 矩阵 的 完 成 。 1 9 9 8 年l . h o g b e n 2 1,2 2 1给出 了 一 个 逆m 一 矩 阵 完 成 的 简 单 定 理。 设矩阵a为如下模式: 、一1口尹 00;bnl 一 一 电0 0 1 俄 二 0 0 00 100-b. 2口1十es、 - 月 易知 第 1 3页 共 4 3页 电子科技大学硕士学位论文 d e t a 二 1 一 a , a = tib , ，若d e t a # 0 、.! 2刁| 九气 、口 a- = b ,b , b d e t a b , _ b b ,b , 1 b b ,b , b” ，白 1，介川b ，口，口 ，口 厂了lesesesesesl、 显然a是可以完成的。进一步得到了下面的定理: 如果n 3 ，部分矩阵 、!lj ，.?.b卜d. 石ld，二 试?二 一 ，9 月 9， 能够被完成的充分必要条件是 nb ; 0 , b ; 0 . j _) t 司 l . h o g b e n 2 0 1还 运 用了 有向 图 来 刻 画 逆m 一 矩 阵 的 完 成问 题， 并 给出 了 许 多 好的 性 质。 2 0 0 2 年c . j o r d a n , j . r .t o r r e g r o s a a n d a . m . u r b a n o 12 3 1又进 一 步 讨 论了 块逆m-矩阵的 完成问 题。 在文献【 2 4 ,2 5 ,4 4 4 6 中也都讨论的矩阵的 完成问 题。 由于对主对角元素非零的非负矩阵a，总存在正对角矩阵d使得a d的对 角元素为 1 ，为了便于讨论问题， 本节只研究主对角元为 i 的非负矩阵。 下面 给出 所要研究的一类特殊部分矩阵的 模式。当a的阶数为偶数时，其模式为 ( 3 .1 .1 ) ， 当a 的 阶 数为 偶 数时， 其 模式 为 ( 3 . 1 .2 ) 。 对 于具 有 模式 ( 3 . 1 .3 ) 的 矩阵 称 为单箭型矩阵。具有模式( 3 . 1 .4 ) 的 矩阵 称为下单箭型矩阵。 ( 3 . 1 . 1 ) 0。，!1。q 八u。1，。0 . :，.，: :，. 1。，n0.-。，。 厂rllllsewecaesesessees -一 a 第 1 4页 共 4 3页 电 子科技大学硕士学位论文 一 ?0 000 ( 3 . 1 . 2 ) nun 一 ; a 一 : l 7 ?0 ( 3 . 1 . 3 ) nun ( 3 . 1 .4 ) 引 理3 . 1 . 1 若 矩阵a具 有 ( 3 . 1 . 1 ) 的 模式， 设 ( 3 . 1 . 5 ) 、j!一!1一!/ a。:001 0 0 几1 :1 :q , 100气 /.十，.份11毛，.几 -一 a 则存在置换矩阵尸使得 0000气1 nu八u 卜卜nu nn卜 a1l a ( 3 . 1 .6 ) 。八日n。，且 马100 ul.1卜n户 a 0 0 0 0 a , 卜卜奋nu pap一 0 0 0 0 证 下面对k 分两种情况证明。 1 ) 当 k 为 偶 数 时 。 易 知 ， 置 换 阵 p 2 .,， 使 得 第 1 5页 共 4 3页 电 子科技大学 硕士学位论文 、十les.eseese.sej产 000000嵘1 nu卜11叶 n0 八钊八u 二 a , 0 a.l八” a k 0 0 a k 0 0 ( 3 . 1 . 7 ) tn八曰. o0 0 a , 1 0 1吼 八曰n 。.nuc们 .。们n 0 0 ncu n0 同 理 依 次 取 置 换 矩 阵 凡 n - 2 ， 凡 。 一 。 ， 二 ， p k - 2,o- k + 4 ， 若 令 p = p 4 .- 2 - p 6 .n - 4 一 p k - 2 ,n - k + 4 ， 则p a p 为 ( 3 .1 .6 ) 式的 形式。 2 ) 当 k 为 奇 数 时 ， 取 p 一 p 2 ,n 凡 - 4 . . . . . p k - 1,u - k d ， 有 ( 3 . 1 .6 ) 式 成 立 。 推论3 . 1 . 1 若矩阵a具有( 3 . 1 .2 ) 的 模式， 则存在置换矩阵p使得 证毕 只1 日n 尸 a p = a , ,- , , , 0 0 0 0 0 a , - , 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 a , - , n介n nu11 八“0 no。 nn。 n八11 ( 3 . 1 . 8 ) 一.了 0000000a，-1 n一日 a . - k . 2 0n .。n们nij 0o 。00 门门 1吼0000000 厂厂lj.illweleseeeeeewe毛 引 理3 . 1 沙1 若a e m - ， 对任意的 置换 矩阵p 则 有p a 厂e m- 1 . 定 理3 . 1 . 1 若非 奇异 矩阵a为 ( 3 . 1 .5 ) ，则a e m- ， 的 充分必 要条 件是 ， o ,i s ; 0 _ 0 ; 0 :5 a a , - , , 1 则矩阵 、leseses，j 乌1 ( a , , . , 为逆m一阵矩阵。