（金融学专业论文）寿险精算中生命表函数的插值形式研究.pdf

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d e g r e ep o l y n o m i a lf o r m ag e n e r a l i z e di n t e g r a l i n t e r p o l a t i o nm e t h o di su s e dt og e tt h ev a l u eo fl i f et a b l ef u n c t i o n sa ta n ya g ei n t e r v a l f r o mt h es u r v i v a lv a l u ei nl i f et a b l e t h ep r e m i u mu n d e rt h i sa s s u m p t i o ni sc a l c u l a t e d a n dc o m p a r e dw i t ht h ep r e m i u mu n d e rc o n v e n t i o n a la s s u m p t i o n t h ep a p e ri so r g a n i z e di n t of i v ec h a p t e r s c h a p t e ro n e g i v e st h eb a c k g r o u n d , s t r u c t u r ea n di n n o v a t i o no f t h ew h o l e p a p e r c h a p t e rt w om a k e sar e v i e wo fr e l a t e d s t u d i e so nt h ef o r mo fl i f et a b l ef u n c t i o n s c h a p t e rt h r e ei n t r o d u c e st h ef a m i l i a rl i f e t a b l ef u n c t i o n si nl i f ec o n t i n g e n c i e s ，t h et h r e ec o n v e n t i o n a la s s u m p t i o n so nf r a c t i o n a l a g e ，a n dt h ec a l c u l a t i o no fl i f ei n s u r a n c ep r e m i u ma n dp r e s e n tv a l u eo fa n n u i t i e s ， c o n v e n t i o n a li n t e r p o l a t i o nm e t h o da n dag e n e r a l i z e di n t e g r a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d w h i c hi su s e di nt h i sp a p e r c h a p t e rf o u rc o m p a r e sd i f f e r e n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d s a n da s s u m p t i o n s ，a n ds h o w st h eo p t i m a lf o r mo fl i f et a b l ef u n c t i o n s 3 山东大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：l i f ec o n t i n g e n c i e s ；l i f et a b l ef u n c t i o n s ；i n t e g r a li n t e r p o l a t i o n ； f r a c t i o n a la g ea s s u m p t i o n s 山东大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 研究背景及研究意义 保险精算学是使用数学和统计学技巧对未来可能发生的不确定性进行估计， 并用这些估计来分析和解决保险经营中的基本问题的一门学科。随着保险作为一 个特殊金融行业的诞生并日益发展，精算已成为保险业在激烈的市场竞争中赖以 生存和发展的重要因素之一。 生命表函数是指寿险精算中的一些描述生存分布的函数，包括生存函数，死 力函数，死亡年龄的概率密度函数，死亡率，生存概率，生存人年数，累积生存 人年数，平均余命等。在寿险精算中，对生命表函数的形式进行假设是一个基本 的问题。由于生命表中往往只包含整数年龄处的生存函数值或死亡率( 见表3 1 ) ， 非整数年龄时刻的保险金支付或生存年金支付的评估需要对非整数年龄的生命 表函数形式进行假设。如果非整数年龄的假设不同，支付又不是按整年进行时， 人寿保险保费和年金精算现值的计算也会不同。 ， 使用非整数年龄的三个传统假设计算某年龄上的死力函数值时，只需要知道 其所在年龄区间的死亡率值。由于其计算上的简便，传统的三个假设已经被精算 师广泛地运用，但它们具有死力函数和死亡年龄的概率密度函数在整数年龄时刻 跳跃太大的缺点，这与实际情况相差很远这两个源自于人口统计、理应连续 可导的函数，没有理由在某个年龄突然跳跃到另一个值。传统的三种假设不能精 确反映非整数年龄处死力的真实情况，影响到人寿保险和年金精算现值的精确计 算。 因此，在生命表给定各整数年龄处死亡率值的约束下，如何通过对生命表函 数做出更合理的假设，得到连续或者间断处跳跃极小的函数形式，进而得到数学 性质较好的生命表函数值，是一个值得探讨的问题。在这方面的研究中，使用拟 合方法或者普通插值方法研究生存函数和死亡率函数的文献较多，而对死力函数 和死亡年龄概率密度函数的研究较少。本文使用一种新的积分插值方法得到了死 力函数和死亡年龄概率密度函数的最优的多项式形式，进而通过数值积分方法得 到了用于计算保费、年金精算现值的换算函数表。 5 山东大学硕士学位论文 1 2 内容结构安排 全文一共分为五章。 第一章介绍了本文的研究背景及研究意义，内容结构和主要创新。 第二章对生命表函数形式的研究文献做了回顾，依次介绍了非整数部分独立 性假设、p o w e rf a m i l y 假设和样条插值方法在生命表函数中的应用。 第三章评价了非整数年龄生存函数的三种传统假设，讨论了人寿保险的保费 计算和生存年金精算现值的计算，并对插值方法和数值积分方法作了阐述。 第四章对生命表使用不同插值方法和假设进行分析并进行了比较，得到了最 优的死力函数和死亡年龄的概率密度函数的形式不连续的6 次多项式积分 插值形式，给出了这种假设下换算函数表和生命表函数值列表，进而将这种假设 下的保费与传统假设下的保费进行了比较。 本文中的计算和作图使用e x c e l 2 0 0 3 软件。 1 3 主要创新 本文的主要创新之处在于： ( 1 ) 以往研究中使用的传统插值方法不能使用于死力函数和死亡年龄的概 率密度函数，本文首次将积分插值方法应用于确定生命表函数的形式，并使用积 分插值方法得到了性质较好的生命表函数形式。 ( 2 ) 与以往对死亡率、生存函数进行插值和对死力函数进行拟合的研究不 同，本文对死力函数和死亡年龄的概率密度函数进行了插值方式的研究。与死亡 率函数和生存函数属于区间概念相比，死力函数和死亡年龄的概率密度函数为时 点上的概念，在数学上讲更为微观，对它们的研究更能接近生命表的本质特征。 由于研究死力函数和死亡年龄的概率密度函数需要非整数年龄假设，在三种传统 假设的局限性下，现有研究对死力函数和死亡年龄的概率密度函数进行插值研究 的文献极少。从这一意义上讲，本文拓展了现有的研究。 ( 3 ) 将积分插值法的思想、放弃函数连续性的思想和样条插值中非扭结边 界条件的思想融合在一起，得到了放弃连续性多项式积分插值形式的死力函数和 死亡年龄的概率密度函数，进而得到了用于计算人寿保险保费和生存年金精算现 值的换算函数表。 6 山东大学硕士学位论文 第二章生命表函数形式的相关研究述评 生存函数和死亡率模型的假设在计算人寿保险和年金的整个发展历史中占 有核心的地位。很大一部分研究集中在用来拟合整个年龄段上死力函数的参数生 存模型，比如d em o i v r e 形式：以= 二( 0 s x o ，刀 o ) 等等。 f o r f a r ( 1 9 8 8 ) 1 、r e n s h a w ( 1 9 9 1 ) 2 提出了死力函数的“g o m p e r t z - m a k e h a m 形 式，此形式与本文中提出的多项式形式较为类似： 以= g m ( r ，j ) - - a o + a t x + a 2 x 2 + + 口，一l x 7 1 + e x p ( b 0 + 6 l x + 6 2 x 2 + + 以一l x 5 1 ) h a b e r m a n 和r e n s h a w ( 1 9 9 9 ) 3 提出了一个基于三次样条函数拟合的图形方法， 用来比较两个一致的死亡率经验生命表4 ，他们在p 川，2 = + a l x + e x p ( 3 0 + 届曲 的死力函数形式下分别对比了c m l 5 1 9 7 9 1 9 8 2 年的男性和女性生命表。 p i t a c c o ( 2 0 0 4 ) 6 对人1 2 1 统计学中的参数模型研究进行了整理，这些研究采用了 各种参数模型来拟合死亡率函数吼或生存函数值乙，进而在死亡率变化趋势、死 亡率预测、高龄死亡率等方面进行了研究。 这些研究都使用了拟合方法，通过某种最优条件得到最接近真实的函数形 式。与插值方法相比，通过拟合得到的以、吼或t 不必在每个整数年龄处受到 生命表的严格约束，只需要达到某个最优标准，因而不可避免地会在整数年龄处 产生误差，在计算换算函数时则会得到有偏的结果。而插值方法由于必须要求生 命表函数形式满足插值条件在整数年龄处对吼或l 的约束，因而可以避免整数年 1 f o r f a r , d ，m c c u t c h e o n , j a n dw i l k i e , d ，1 9 8 8 o ng r 缸u a t i o nb ym a t h e m a t i c a lf o r m u l a j 1 n s t a c t ，1 1 5 ， 2 8 1 2 8 6 2 r e n s h a w , a ( 1 9 9 1 ) a c t u a r i a lg r a d u a t i o np m c t i a n dg e n e r a l i s e dl i n e a ra n dn o n - l i n e a rm o d e l s j 1 i l s t a c t ，“8 ， 2 9 5 - 31 2 h a b e r m a n ，s a n dr e n s h a w , a e ( 1 9 9 9 ) as i m p i eg r a p h i c a lm e t h o df o r t h ec o m p a r i s o no f t w om o r t a l i t y e x p e r i e n c e s ，a p p l i e ds t o c h a s t i cm o d e l si nb u s i n e s sa n di n d u s t r y , 1 5 3 3 3 3 5 2 4 比如，相同的调查、不同的年龄段分组，或相同的调查、不同的观察周期，或两个不同的调查 5c o n t i n u o u sm o r t a l i t y i n v e s t i g a t i o nb u r e a u ，荚国官方的死亡率研究机构。 。e r m a n n op i t a c c o ，2 0 0 4 s u r v i v a lm o d e l si na d y n a m i cc o n t e x t ：as u r v e y , i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s 3 5 ，2 7 9 - 2 9 8 7 山乐大学坝士学位论文 ! i l l 皇曼舅量曼曼皇皇皇皇曼曼黑暑舅舅鲁喜舅蔓量皇量鼍曼曼曼曼曼曼曼罾置量量皇蔓置皇曼曼舅舅舅舅| 量量蔓寰邑鼍皇量量皇曼皇皇寞置量_ 龄处的计算误差，但是非整数年龄处生命表函数值的计算仍然取决于非整数年龄 假设的形式。本文使用了插值方法探讨非整数年龄上生命表函数的形式。 非整数年龄生命表函数值的传统估计方法在经典的教科书中都有提及，如 b o w e r s 等( 1 9 8 6 ) 7 。近年来，对非整数部分生命表函数形式的研究主要集中在非 整数部分独立性假设、p o w e rf a m i l y 假设和对生命表函数进行样条插值上。 2 1 非整数部分独立性假设 由于非整数年龄部分与整数年龄部分的生存概率计算相互独立的情况会给 精算现值的计算带来很大方便，w i l l m o t ( 1 9 9 7 ) 8 对“非整数部分独立性假设 ( t h e f r a c t i o n a li n d e p e n d e n c e a s s u m p t i o n ，f i ) 进行了系统的研究。文章对于“非整数部 分独立性 做出了定义： p r ( k = 七，s 5 ) = p r ( k = 七) p r ( s j ) ，其中k = o ，1 ，2 ，0 墨 力( 工0 )( 3 1 2 ) 式( 1 3 1 1 。) 表示新生儿在x 岁或之前死亡的概率，式( 3 1 2 ) 表示新生儿能活 到x 岁 f ) = 等。特别地，当f - l 时， l g ，和。p ，可简写为g ，和p ，。 当工【x ) 表示为x 和其他参数的函数形式时，称s ( x ) 为参数生存模型。单参数 山乐大字碘士学位论文 分布( 如均匀分布或指数分布) 不能很好地描述精算生存模型，一般用两参数的 g o m p c r t z 分布或w e i b u l l 分布，甚至三参数的m a k e h a m 分布拟合s ( x ) 更好。在 实际应用中，常见的是用表格描述的生存模型，但是表格只给出了r - o ，l ，时 j ( 对的值或吼的值，而当x 不是整数时，就需要假设s ( x ) 为某种形式的表达式， 如线性假设，常数死力假设，b a l d u c c i 假设等( 见3 2 节非整数年龄生存函数的 三种传统假设) 。 生命表定义为对应于某些x ( x 0 ，表示年龄) 的s ( x ) 的数值表，一般由人 口普查数据整理获得。生命表的传统形式不使用j ( 功，而是将s ( x ) 的概率值乘以 1 0 0 0 0 0 0 ，使之显示为整数，取t o = 1 0 0 0 0 0 0 ，令= l o s ( x ) 。称乇= 1 0 0 0 0 0 0 为生 命表的基数，乞则表示x 岁仍然生存的人数。如下表所示： 表3 1 生命表 x l x 01 0 0 0 0 0 0 19 9 9 2 7 8 29 9 8 6 7 5 39 9 8 1 7 7 4 9 9 7 7 6 2 1 0 41 1 8 1 0 54 2 本文中使用的生命表为中国保险监督管理委员会公布的中国人寿保险业经 验生命表( 2 0 0 0 - 2 0 0 3 ) ) ) 中的男性非养老金业务表2 0 。 此外，定义生存人年数= c t + ，衍，累积生存人年数 = 丘+ k ，+ k ：+ = f o ，国，平均余命巳= = f ，p i t = e t ( x ) 】。 中国保监会网站，2 0 0 5 1 1 2 2 3 ，关于颁布 的通知 ， h t t p - l w w w c i r c g o v c n p o r m l o i n f o m o d u l e 一7 6 7 6 2 2 4 9 5 h t m 该生命表由保监会于2 0 0 5 年1 2 月发布，2 0 0 6 年1 月1 日正式投入使用，生命表数据来源于国内经营时间较长、数据量较大的六家寿险公司：中国人寿、 平安、太平洋、新华、泰康、友邦提供的l 亿多条保单记录 1 4 山东大学硬士学位论文 3 1 2 死力函数 死力是指在到达x 岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，又称瞬间死 亡率、死亡力度或终止力，通常在x 岁时的死力用符号以表示，其基本关系式 是： 以：l i m s ( x ) - s ( x + a x ) 上= 一盟：盟 。a ，一0 +a x j ( x )s ( 功s ( x ) 上式变化可得一咖= 去警叫m ( y ) 1 对上式从x 到x + t 进行积分，得 一f 7 y 砂= r 村讲l n j ( 删= l n ( 芝警) = 1 1 1 ( ，以) 即，见= e x p ( 一r w 以方) 或 ，热= e x p ( - f 凼) ( 3 1 3 ) 当f = 1 时，见；e x p ( 一f 幽) ) ，即吼= 1 - e x p ( 一r 卢川a s ) ， 印 f 纵，d s = 一1 n ( 1 一致) ( 3 1 4 ) 也就是谩，在生命表给定吼的情况下，式( 3 1 4 ) 对死力函数以进行了约束。 特别地，当z = o ，r = x 时，式( 3 1 3 ) 转化为j ( 工) = 。p o = e x p ( - j ：f u d s ) 3 1 3 死亡年龄的概率密度函数 随机变量x 的分布函数与概率密度函数分别为： n 目( 曲= 1 一s ( x ) = l e x p ( 一【z , d s ) 厶( x ) = 一s o ) = 以e x p ( 一j c r 心出) = ，p o 以= s ( x ) 以 所以 r + 1 厶( x ) 出= r + 1 ，风心出= f t + ! - - s t ( x ) d x = s ( 七) 一s ( 七+ 1 ) = s ( k ) q k ( 3 1 5 ) 也就是说，在生命表给定吼的情况下，式( 3 1 5 ) 对死亡年龄x 的概率密度 函数厂( x ) 进行了约束。 山东大学硕士学位论文 3 2 非整数年龄生存函数的三种传统假设 生命表中只给出了对应于整数x 的t 值，为了计算所有x + s ( 0 s 1 ) 对 应的0 ，的值，需要假设在x 与x + l 之间乞+ ，为某一数学形式来得到，这称作非整 数年龄假设( f r a c t i o n a la g ea s s u m p t i o n s ，f a a ) 。另外，从生命表中可以直接得到 的生命表函数值只有吼，见和s ( 功，而死力函数以，死亡年龄的概率密度函数 厂( 工) ，生存人年数厶，累积生存人年数t ，平均余命巳等均需要非整数年龄假 设才能求得。 3 2 1i x h 的线性形式 当乙为线性形式时，在区间( x ，x + l 】上的死亡密度函数为常数，乙在此区 间上均匀减少。因此，l + ，的线性形式传统上又称为死亡均匀分布假设，缩写为 u d d 。l x + i 满足： 乞“= o - s ) l ，+ 哎“ 此时， ， 以 脚：一直：j l ( 3 2 1 ) ” 乙l - i p x l t + t2 q l 上式两端乘以s ( 功可得：f ( x + t ) = j o + f ) 以州= s o ) 以( 3 2 2 ) 3 2 2i 内的指数形式 当之+ ，为指数形式时，死力纵，在z + l 】上为常数，因此，乞+ ，的指数形式 传统上称为常数死力假设，缩写为c f m ( c o n s t a n tf o r c eo f m o r t a l i t y ) 。乞满足： 0 ，= 2 ：叶e 。 此时， 硪m j u ? = 一手= 一l n ( 1 一吼) ：3 2 3 ) n i lp l p i 。| = l le x p ( 一z ，t ) 1 6 山不大事焉士学位论文 上式两端乘以s ( x ) n - l 得：八j + 磅= 鼬+ 力= 文x ) 以e 冲卜以d 3 2 3l 螂的双曲线形式 意大利的精算学家g a e t a n ob a l d u c c i 在他的许多论文中使用了这一形式。由 于是对l 】的倒数进行线性插值，这种形式又称为k 的双曲线形式。k ，满足： l1 一占s 一= ：一 l k乞k 此时， m h s p ，一k d s = 上l - o - s ) q 一l n x 疗 i x 见于正丽 ( 3 2 4 ) 上式两端乘以蝴得： 八x + o = s ( x + t ) = 嵩 3 2 4 其他 除了的三种传统假设外，对d l = 1 的线性插值假设也比较常用。严格说来， 这种假设不能被称为非整数年龄假设，因为皿会随着利率的变化而变化，然而 这种假设仍在广泛使用，因为它可以导出计算一年分1 1 1 次支付生存年金精算现 值常用的近似式：矽每一( m 1 ) ，2 j ， 3 3 人寿保险保费与生存年金精算现值的计算 3 3 1 离散型死亡保险 人寿保险是指以人的生命为保险标的，当被保险人在保险期限内因疾病或其 他原因导致死亡或在保险期届满时仍生存，按照保险合同预先的规定，保险人向 保单指定受益人支付保险金的一种保险。 所谓离散型人寿保险模型，是指保险金是在被保险人死亡所处的保单年度末 支付的人寿保险模型。 假设被保险人在投保( 或签单) 时的年龄为x 岁，其未来寿命整年数为x ( 曲， 假设保险金额在k ( x ) + l 处给付，给付数额为瓯+ 。元，记唯+ 。为在k ( 工) + l 处给付l 1 7 山东大学硬士学位论文 个单位保险金在签单时的利息贴现系数，z 为给付保险金额在签单时的现值。则 z = k + i 气+ l ( 足= 0 , 1 ，2 ) 因此，在离散型人寿保险模型下。现值随机变量z 的期望值e ( z ) 的一般表 达式是 占( z ) = 唯+ 。以+ l 埘吼 ( 3 3 1 ) i i o 对于人寿保险，现值随机变量z 的期望值e ( z ) 称为趸缴纯保费。 设年龄为x 岁的人，投保或签约保险金额为1 个单位的n 年定期寿险，其趸 缴纯保费用符号如表示根据( 3 3 1 ) ，则 如= 扩_ 以= 扩争= 艺鲁c 3 3 2 k * 0 ， 如= ，埘以= 矿+ 1 竺芦= 二 ( i o量罩o 譬y r 记 c = t皿= 旷己 坂= c o l o l = 见娃 i 霉o x = o l z ，国) 其中，c ，皿，m ，虬o = 0 ，l ，2 ，c a ) 称为换算符号或换算函数。 在式( 3 3 2 ) 中，用c ，d i ，以代替，可得 如：毕 ( 3 3 3 3 )d 口 ”7 对于( x ) 投保离散型的保险金额为1 个单位的终身寿险，其趸缴纯保费( 用 符号4 表示) 可在式( 3 3 2 ) 中令刀哼得到： 4 = 1 ，m 钿g j ( 3 3 4 ) 在式( 3 3 4 ) 中用换算符号替代，可得： 4 = 等 ( 3 3 5 ) 3 3 2 连续型人寿保险模型 所谓连续型人寿保险模型，是指保险金在被保险人的未来寿命t = 丁( x ) 时给 1 8 山东大掌硕士学位论文 付，即在被保险人死亡时立即给付。 假设被保险人在投保( 或签单) 时的年龄为x 岁，保险金在被保险人未来寿 命丁= r ( x ) 时的给付金额为6 ，而_ 是在时刻t 时给付1 个单位金额在签单时的 利息贴现系数，z r 是给付金额在签单时的现值，则现值随机变量乙= v r 。 对于( x ) 投保连续型的保险金额为l 单位的n 年期定期寿险，其有关函数是 匆= 胎： m = 1 ，( f o ) 砧嚣三： 则其趸缴纯保费( 用符号码表示) 是 码= 五( 乙) = r v ，p x 弘x + ，瘢= r e x p ( 习f ) ，见毋 ( 3 3 。6 ) 其中1 ，= e 一，其中6 称为利力。 一 对于( x ) 投保连续型的保险金额为1 个单位的终身寿险，其趸缴纯保费( 用 符号互表示) ，可在式( 3 3 6 ) 中令刀得到 五= v i 俄k | d t = i ，e x p ( - s t ) a t d t n 3 l 、 与离散型寿险模型类似，这里引入连续的换算函数来表示连续型寿险的趸缴 纯保费。记 己= f 皿+ ，以+ ，d t ，厦= f 皿+ ，d t 皿= 己= 己+ 文。+ ， y = l 雨。= 皂西y = d d t = d | d t 其中，见卅= 1 ，斛+ ，( f o ) 对于( x ) 投保连续型的保险金额为1 单位的n 年定期寿险，其趸缴纯保费 码= n 肌胪警 ( 3 3 8 ) 类似地，有互= 等 1 9 3 3 3 离散型生存年金 生存年金是指按预先约定的金额，以一定的时间为周期绵延不断地进行一系 列的给付，且这些给付必须以原指定的领取人的生存为前提条件，一旦原指定的 领取人死亡，或预先约定给付期届满时，给付即宣告结束。离散型生存年金是指 年金的领取人每次领取年金的时间间隔是离散的，如按每年、每半年、每季度、 每月来进行的。 按年付生存年金是以年为时间间隔，每年支付一次，每次支付的金额均相等 的生存年金。设年龄为x 岁的生存者在每个年度初期领取年金额为1 个单位的终 身生存年金( 即期初付终身生存年金) 的精算现值，用符号吃表示，预定年利率 为i ，则 聋= ，i 见 ( 3 3 9 ) 若在式( 3 3 9 ) 中引入换算函数，则可以得 吃= 筹( 3 3 1 0 ) 对于期初付的年金额为1 个单位的n 年定期生存年金，其精算现值用符号 石j 表示，则 j ：- ：m - i 1 ，t 。见：等竽 ( 3 3 1 1 ) k-,o上一 3 3 4 连续型生存年金 连续型生存年金是指每时每刻连续不断地进行支付的生存年金。这类生存年 金一般地分为定期生存年金、终身生存年金、延期生存年金和延期终身生存年金 等。 假设( 功按连续方式支付年金额为1 元的终身生存年金，其精算现值用符号 瓦表示，( 功未来寿命r = z ( x ) ，则t = r ( x ) 的密度函数是再( f ) = ，见j l l 州，其支 付年金的现值记作歹，则 罗= 嘞= d t 瓦= 研砀】= r 砀，见k ，西 ( 3 3 1 2 ) 或 山东大学硕士学位论文 瓦= f 矿，以出 ( 3 3 1 33 ) 在( 3 3 1 2 ) 中使用分部积分法，则式( 3 3 1 2 ) 转化为式( 3 3 1 3 ) 。 容易得出连续型生存年金精算现值的换算函数表达式，为： 碥：等粤 ( 3 1 3 1 4 )驯 n r 一 类似地，有瓦= 参 3 4 插值方法 插值方法是数值分析中的一种常用方法，本文将使用插值方法寻找生命表函 数的多项式形式。 已知函数y = 厂o ) 的一批数据( 毛，m ) ，( 而，y 2 ) ，e e e( 毛，儿) ，而函数表达 式未知，要从某函数类( 如多项式函数、样条函数等) 中求得一个函数9 ( x ) 作 为( x ) f i x ) 的近似，这类数值计算问题称为数据建模。有时尽管y = ( x ) 有表达 式，但比较复杂，我们也利用该方法建立一个近似模型。数据建模有两大类方法： 一类是插值方法，要求所求函数妒( x ) 严格遵从数据( 墨，咒) ，( 艺，坎) ，e e e9 ( 毛，儿) ； 另一类是拟合方法，允许函数妒( x ) 在数据点上有误差，但要求达到某种误差指 标最小化。一般地说，插值方法比较适合数据准确或数据量小的情形，而拟合方 法比较适合数据有误差而数据量大的情形。目前在生命表函数的研究文献中，使 用拟合方法的占了绝大多数，而使用插值方法的较少。 3 4 1l a g r a n g e 插值 设函数f 在n + 1 个相异点而，毛，毛上的值( 而) ，( 毛) ，( ) 是已知的， 记z = 厂( 而) ，i = o ，l ，刀。在次数不超过n 的多项式集合p n 中求厶使得 厶( 薯) = z ，i = o ，l ，刀( 3 4 1 ) 一般情况下，l a 鲫g e 插值可以通过基函数法求解( 见附录一) 。 另外，问题( 3 4 1 ) 实际上给出了一个未知量为多项式系数的n + 1 元一次方 程组，在系数矩阵非奇异时，可以直接求得满足条件的多项式系数。 2 1 山东大学硕士学位论文 3 4 2 三阶样条插值 节点数的增加有利于提高插值函数的精度，但当阶数增高时，节点两端的振 荡也更为严重，这种现象首先是由c r u n g e ( 1 9 0 1 ) 研究的，出现这种不收敛的 现象称为r u n g e 现象。为了克服高次插值的不足，采用分段低次插值是理论和实 际应用中的一个较好的插值方法。 分段线性插值就是通过相邻插值节点之间作线性插值来构成的： 设在区间【口，刎上取定n + 1 个节点a = x o 五 = 6 ，并在节点上给定函 数值 五= f ( x k ) ，k = 0 ，l ，力 如果函数9 满足条件： ( 1 ) 9 c a ，刎， ( 2 ) 满足插值条件：9 瓴) - a ，k = o ，l ，刀。 ( 3 ) 在每个小区间k ，毛一。】，k = , 1 , - - - , n - i 上9 是线性多项式， 则称9 为f 的分段线性插值函数。 线性插值函数计算较为简单，但在节点处一阶导数不连续。三阶样条插值可 以对这种情况进行改进： 设已知而 五 而及片= ( 薯) ( j = 0 9 1 ，1 9 帕，插值函数s ( 功在每个小区 间k ，毛q 】上是不超过3 次的多项式且具有二阶连续导数，则称s ( 力为三阶样条 插值。具体地，三阶样条插值是满足下列条件的分段3 次多项式： ( 1 ) 插值条件：s ( 毛) = 只( f = 0 ，一) ： ( 2 ) 连接条件：s ( 毛一0 = s ( 五4 - 0 ) ，s ( 毛一0 ) = s ( 五+ 0 ) ， s 。( 毛- o ) = s 。( 而+ o ) ，i = o ，l ，n l 这里，s ( 力为n 个不超过3 次的多项式，共含4 n 个待定参数，插值条件给 出了n + 1 个约束，连接条件给出了3 ( n 1 ) 个约束，从而插值条件与连接条件共给 出了4 n - 2 个约束，与待定参数相比尚少2 个约束，为此可按实际需要添加2 个 山东大字硕士学位论文 边界条件。常用的边界条件有下列4 类条件： ( 1 ) 一阶导数：f ( x o ) = ，s ( ) = 一； ( 2 ) 二阶导数：s 。( 而) = y o ，( ) 一，特别地，自然样条为 s 。( 而) = s 。( 毛) = 0 ； ( 3 ) 周期样条：s ( 而) = y ( ) ，r ( x o ) = s 。( 毛) ( 其前提条件s ( x o ) = s ( ) ) ， 当被插值函数为周期函数或封闭取消，宜用周期样条； ( 4 ) 非扭结：第一、第二段多项式三次项系数相同，最后一段和倒数第二段 的系数与倒数第三段的三次项系数相同。 本文第四章的计算使用了第四类边界条件。 3 4 3 积分插值问题 在本文第四章提出的问题中，死力函数和死亡年龄概率密度函数在年龄区间 上的积分值可以获得，而它们即使在整数年龄上的函数值也需要非整数年龄假 设，在这种情况下，传统的插值方法无法应用。为了解决这种问题，需要使用积 分插值。康传刚和贺国强( 2 0 0 6 ) 2 1 提出了一种广义插值问题( 积分插值问题) 。 给定 而) 二( 而 毛 ，应用数学与计算数学学报 第2 期，第2 8 3 6 页 山乐大字碘士字位论文 但是，与l a g r a n g e 插值法类似，当n 较大时，这种n 次多项式形式的解同 样会产生高阶不收敛的r u n g e 现象。 3 5 数值积分方法 由n e w t o n l e i b n i z 公式，若在b b 】上f ( x ) = 厂( 曲。则有 c 厂( x ) 出= f ( 6 ) 一f ( 口) 但是，对诸如f ( x ) = 1 i n x ，s i n x x , e x p ( - x z ) 之类的函数无法找到，( 曲的原 函数f o ) 使得，( x ) = f ( x ) 。因此，解决实际问题中定积分的计算问题主要还是 依靠数值计算方法。下面简要介绍机械求积方法： 考虑广厂( 曲出，由定积分中值定理，当厂( 功在随b 】上连续时，存在考随b 】 使e ) 出= ( 6 - a ) ( 考) 。因此，积分计算问题转化为对厂( 考) 进行估计的问题。 采用数值计算中常用的加权平均法，即取节点x o x i x n ( eh b 】，由f ( x ) 在 毛( 汪o ，l ，刀) 处的加权平均值c , f ( x j ) ( g = 1 ) 作为厂( 考) 的近似值，由此 得到机械求积公式q (