（理论物理专业论文）量子退相干的理论研究.pdf

摘要 在量子力学中相干性占有极为重要的地位。可以这样说，相干性是量子力学不同于 经典力学的根本特征，几乎所有违反经典世界物理直觉的量子现象都是量子相干性的直 接或间接的后果。量子退相干在量子测量领域中具有重要的意义，在测量过程中，不可 避免地引入测量仪器，系统与测量仪器的相互作用导致纠缠。另一方面，在量子信息与 量子计算的研究领域需要稳定的相干量子态，而退相干是实现它们的障碍。因此，为了 获得稳定的相干量子态，寻找减小退相干的方法成为量子信息研究领域的重要课题。 本文通过量子退相干的一般理论，以一个存在相位退相干的动力学模型为研究对 象，主要研究了该模型的量子退相干动力学演化过程。简要介绍了量子退相干的概念、 研究量子退相干的意义。详细研究了该量子退相干动力学模型的退相干机制。首先，应 用w e i n o r m a n 代数方法和密度算符的有关性质研究该模型的退相干因子及其随时间的 演化。并在此基础上研究发现在宏观极限下该体系存在完全量子退相干。然后，又通过 计算研究表明：该体系的量子熵在量子退相干过程中是增加的，也可以作为对量子相干 程度的一个量度。最后，研究了该体系的相位退相干因子对量子信息保真度的影响。通 过研究表明：在b o r n - o p p e n h e i m e r 近似下，任何形式的相互作用都会导致理想的量子 纠缠，实现理想的量子测量。当环境或测量仪器的运动满足某种经典极限时，量子系统 的不同绝热态分支之间将发生量子退相干。论文还应用位移算符的性质和相干态的性质 很方便的推导了量子动力学模型的退相干因子。 关键词：量子退相干密度算符绝热近似位移算符b o r n o p p e n h e i m e r 近似 w e i n o r m a n 代数方法。 a b s t r a c t q u a n t u mc o r r e l a t i o ni sv e r yi m p o r t a n ti nq u a n t u mm e c h a n i c s i tc a nb es a i dt h a t ， q u a n t u mc o r r e l a t i o ni st h eb a s i cf e a t u r e si nw h i c hq u a n t u mm e c h a n i c si sd i f f e r e n tf r o m c l a s s i c a lm e c h a n i c s a l m o s ta l lt h eq u a n t u mp h e n o m e n aw h i c ha r ei nc o n f l i c tw i t hc l a s s i c a l p h y s i c si st h ed i r e c to ri n d i r e c tc o n s e q u e n c eo fq u a n t u mc o r r e l a t i o n q u a n t u md e c o h e r e n c ei s s oi m p o r t a n ti nt h ef i e l do fq u a n t u mm e a s u r e m e n t a n di ti su n a v o i d a b l et oi n t r o d u c e c l a s s i c a lm e t e r sw h i c hc o m ei n t ob e i n ge n t a n g l e dw i t ht h em e a s u r e ds y s t e mt h r o u g ht h e i n t e r a c t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n ga n dq u a n t u m c o m p u t i n gn e e d s t a b l ec o h e r e n ts u p e r p o s e ds t a t e t h e nd e c o h e r e n c ei sad i 街c u l t yf o rt h er e a l i z a t i o no fs u c h s t a t e s t h e r e f o r e a ni m p o r t a n ti s s u ei st of i n dt h es c h e m e st or e d u c et h ee f f e c to f d e c o h e r e n c ei no r d e rt os t a b i l i z et h ec o h e r e n ts u p e r p o s i t i o n si nt h ef i e l do fq u a n t u m i n f o r m a t i o n i nt h i sp a p e r , w eu s eam o d e li nw h i c ht h eq u a n t u md e p h a s ew o u l do c c u rt os h o wt h e d y n a m i c a le v o l u t i o no fd e c o h e r e n c e t h ec o n c e p t sa n dp h y s i c a lm e a n i n g sa r ei n t r o d u c e d b r i e f l yi nt h ef i r s tp a r t b yt h ec o m m o n l yt h e o r yo fq u a n t u md e c o h e r e n c e ，w es t u d yi t s d y n a m i cp r o c e s s i n go fq u a n t u md e c o h e r e n c e t h ed y n a m i c a lm e c h a n i s mf o rt h ea b o v e s y s t e mi sd e s c r i b e da l s o t h ed e c o h e r e n c ef a c t o ra n di t st i m e d e p e n d e n c ea r es t u d i e db y u s i n gw e i n o r m a na l g e b r a i cm e t h o d sa n dt h er e l a t e dp r o p e r t i e so fd e n s i t yo p e r a t o r i tc a nb e f o u n dt h a tt h e 如ud e c o h e r e n c ew i l lo c c u ri nt h ec o n d i t i o no fm a c r o s c o p i cl i m i t t h e d e r i v a t i o ns h o w st h a tt h eq u a n t u me n t r o p yw i l li n c r e a s ed u r i n gt h ep e r i o do fd e c o h e r e n c e ， a n di tc a nb er e g a r d e da so n ep a r a m e t e rt ow e i g ht h ep r o c e s so fd e p h a s e f i n a l l y , t h e d e p e n d e n c eo ff i d e l i t yo nt h ed e c o h e r e n c ef a c t o r si ss t u d i e d t h ei n f l u e n c e so ft h es l o w v a r i a b l e so ft h ee n v i r o n m e n to rt h ed e t e c t o ro nt h ec o h e r e n c ep r o p e r t i e so ft h eq u a n t u m s y s t e md e s c r i b e db yf a s tv a r i a b l ea r es t u d i e di nd e t a i lw i t hb o r n - o p p e n h e i m e ra p p r o x i m a t i o n t h eg e n e r a lc o n c l u s i o nr e s u l t e df r o mo u rr e s e a r c ha r et h a tt h ef a s tm o t i o no ft h es y s t e mc a n b es e p a r a t e df r o mt h es l o wm o t i o no ft h ee n v i r o n m e n to rt h ed e t e c t o r w h e nt h em o t i o no f t h ee n v i r o n m e n to rt h ed e t e c t o rs a t i s f y i n gt h ec l a s s i c a ll i m i tc o n d i t i o n t h ea d i a b a t i cs t a t eo f t h es y s t e r nw i l ll o s ti t sq u a n t u mc o h e r e n c e t h ed e c o h e r e n c ef a c t o rw a sf o u n dd e p e n d i n go n t h ec h a r a c t e ro fd i s p l a c eo p e r a t o ra n dc o h e r e n ts t a t e s k e y w o r d s ：q u a n t u md e c o h e r e n c e ；d e n s i t yo p e r a t o r ；a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o n ；d i s p l a c e o p e r a t o r ；b o r n o p p e n h e i m e ra p p r o x i m a t i o n ；w e i - n o r m a n sa l g e b r a i cm e t h o d 1 1 独创性声- 明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：乏聱 日期： 至! 呈翌：查： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 日期： 电话： 邮编： 缝 东北师范大学硕士学位论文 引言 在二十世纪科学发展过程中，物理学的革命是建立了相对论和量子力学1 26 1 ，从根 本上改变了人们关于时间、空间、物质和运动的概念。没有量子力学，就没有当代物理 学，也就没有与当代物理学联系在一起的当代技术。它不仅代表了人类对微观物质世界 基本规律的深入认识，而且它带来的技术创新直接推动了社会生产力的发展，从根本上 影响了人类的物质生活。如五六十年代半导体和激光器的发明是量子力学应用于固体特 性和光辐射过程的直接硕果。目前关于量子信息的前沿研究工作有迹象表明，量子力学 的基本概念有可能改变人们对信息存储、提取和传输过程的理解，从而加速信息科学的 发展。 然而，量子力学从它刚刚诞生时起，关于如何理解它的基本概念、基本图像和基本 规律? 它是不是一个完备的物理理论? 就一直存在深刻的、剧烈的争论，量子力学过去 的成功和目前巨大的发展潜力并不意味着它是一个彻底的、完善的物理理论。事实上， 自量子力学诞生以来，关于量子力学的思想基础和基本问题的争论从来就没有停止过 l l - 6 】。人们对量子力学本身的完备性及其一些基本观念的理解，甚至持有不同的观点。 比如，物理学家e i n s t e i n 和b o h r 之间关于量子力学最基本的问题有长达几十年的争论 【7 j 。早期这些争论一般停留在哲学意义下。但是，今年来由于实验技术的发展，使得人 们能够在现代实验室中精确检验这些基本问题，并进而把这些观念直接应用于信息科 学。 在这些基本理论问题和潜在的应用中，其核心的问题是量子测量和与其相关的量子 退相干问题。量子世界的根本特征就是它的量子相干性。然而，一旦要观察量子世界是 怎样运动的，就必须有宏观或者是经典的物体与之发生相互作用，它们之间进而形成关 联和纠缠，所以不可避免的引起量子退相干的发生。 量子退相干在量子理论中有举足轻重的作用，但它是一个相对比较新的科学，在二 十世纪七十年代，量子退相干这个理论首次由h d z e h 和w z u r e k 提出。从那时起， 宏观世界和微观量子世界的相互作用才真正的开始被科学家们关注。然而，在当时，这 方面的理论被认为是难以用任何物理理论来解释的纯哲学的理论。随着科学的发展，人 们逐渐认识到量子力学能够解释一切宏观现象，关于量子退相干的研究才真正开始。但 当时，关于这方面的研究仅局限在开体系中，也就是说环境是不可控制的。随后人们开 始考虑热效应对量子退相干的影响，这个过程也经历了相当长的时间。这些传统的量子 退相干的理论不能很好的解释退相干效应，更确切的说传统的关于开体系的量子退相干 理论更多的强调子系统是怎样影响和干扰环境的。 东北9 币范大学硕士学位论文 近十年来，由于实验技术方面的发展1 8 , 9 , 1 0 , 1 i , 1 2 , 1 3 , 1 4 ，使量子退相干的研究变得越来越 热门，其代表性的实验有以下五个：第一个实验是原子干涉仪的单光子弹性散射导致原 子退相干的实验( 1 9 9 5 ) i s j ：在这个实验中，单光子与通过原子干涉仪的已经分束的原 子束弹性散射，导致原子干涉仪中的干涉条纹消失。更具体的说，当限定单光子的出射 方向时，干涉条纹仅仅发生了相移；只有当单光子的出射方向不加限制时，干涉条纹才 消失。其原因是因为当不限制单光子的出射方向时，相当于不同的相移的干涉条纹非相 干的叠加在一起，干涉条纹相互抵消而不再显现。第二个实验是在量子测量中测量仪器 的退相干实验( 1 9 9 6 ) 1 0 l ：在实验中，通过腔场的相干态和原子态之间的量子纠缠实 现了一个薛定谔猫态。更重要的是，在这个实验中，研究了这个薛定谔猫态的量子退相 干。实验证实了：薛定谔猫态相干态量子退相干的速度反比于活猫和死猫的区别，也就 是说反比于代表死猫和活猫的两相干态之间的距离。当两个相干态之间的距离足够大 时，薛定谔猫态相干态量子退相干的速度远小于量子耗散的速度。这样，在某种意义上， 这个实验有助于理解量子和经典之间的联系。第三个实验是原子干涉仪的“w h i c h - w a y 实验( 1 9 9 8 ) 1 2 j ：在这个实验中，实现了通过原子的内部态来标志不同的路径信息， 从数学上说，就是实现了内部态和空间态的量子纠缠，导致了空间态相干性的消失。事 实上，量子纠缠是量子测量过程的必然要求，量子测量的操作只不过是从仪器的状态读 出被测系统的状态。要用量子力学描述这种读出的过程，就必须有被测系统和测量仪器 之间的关联。也有人认为，“w h i c h w a y 测量所导致的干涉条纹的消逝是来源于波粒二 象性的互补原理，按照通常的h e i s e n b e r g 坐标一动量测不准关系，这个问题通常可以描 述为测量对粒子动量不可控制的扰动。第四个实验是分子的波粒二项性实验( 1 9 9 9 ) 【1 3 】：在这个实验中，能观察到e 6 0 分子的双缝干涉条纹，显示了c 砷分子的物质波特性。 由于分子具有复杂的内部结构，它很接近于一个经典的物体，因此关于它的物质波 特性的研究有助于研究量子向经典的过渡问题。第五个实验是关于可控环境导致的量子 退相干的实验( 2 0 0 0 ) 1 4 j ：在这个实验中，环境是可以控制的，通过对环境的状态及 其于系统的相互作用进行了操纵，导致了可以更系统的研究量子退相干。虽然分子 还远远不是一个宏观系统，但这是迄今为止人们所能看到的最大的单粒子量子干涉。特 别是具有复杂的内部结构，在不同的情况下，会为量子相干和退相干的研究提供丰 富的实验现象和定量的检验。值得注意的是c 砷物质波波长比的尺度小4 0 0 倍，这样 的干涉现象是十分有趣的，尺度大于双缝尺度的粒子可以干涉，这预示着要对通常的量 子干涉概念重新理解。在目前的实验条件下，分子内部自由度的激发不足以于质心 2 东北师范大学硕士学位论文 运动产生有效的耦合。因而，内部状态并不记录c 砷质心运动的“w h i c h w a y 信息，量 子相干性得到了很好的保持。换句话说，虽然c 砷分子通过实验装置时有可能辐射几个 红外光子，但由于光子的光波波长远远大于双缝的距离，辐射的光子并不能有效的记录 通过哪个缝的“w h i c h - w a y 信息，从而单光子辐射不会引起的退相干。 同时，推动量子退相干理论的另一个重要因素是量子信息方面的发展1 2 6 。量子信 息学利用量子力学中相干叠加的特点和纠缠态，能够完成经典计算和经典通信完全不能 胜任的工作，如大数因子化和巨数据库搜索。然而，量子信息的研究并不是一帆风顺的， 由于量子态对于环境的效应是相当敏感的，环境的作用会破坏量子相干性。这种环境引 起的量子退相干效应是相当致命的。它不仅会大大降低计算效率，使有效计算变成无效 计算，在一些特殊情况下，由于退相干的影响，量子计算甚至会变得连经典计算机都不 如。由于环境是随机的，通常很难控制量子系统，使之避免退相干的发生。它涉及到物 质深层的复杂性质以及物理学和信息科学的根本性问题信息提取宏观过程的不可 逆性。正是从图灵理论计算机到第一台电子计算机诞生的过程一样，从目前的基础研究 到最终实现有实际用途的量子计算机和量子通讯，还需要相当长的时间和更艰巨的努 力。最终实现的量子计算机和量子通信也许会于今天的量子信息问题的设想有很大的差 别，但目前关于量子信息的研究至少可以从基本物理学的角度加深人们对信息本质的认 识。 在理论上，量子退相干理论也得到了很大的发展。h e p p 于1 9 7 7 年通过与c o l e m a n 的通信讨论，提出了一个量子的动力学模型( h c 模型) 【1 5 1 。他们假定仪器是一个f hn 个 自旋粒子组成的阵列。一个极端相对论粒子通过这个阵列并与之相互作用。仪器具 ，厶 有宏观属性意味着组成仪器的粒子数目很大。当趋近于无穷大时，极端相对论粒子 将自动产生波包塌缩。接着，c i n i 提出了另一个类似的模型1 16 j ，其中隐含了经典极限 的讨论。1 9 9 1 年，n a m i k ，n a k a z a t o 和p a s c a z i o 引入了能量项描述仪器和被测系统，它 使得最后一个仪器产生波包塌缩，从而依次实现被测系统的量子退相干【1 7 1 引。几乎与此 同时，孙昌璞进一步把自旋阵列中粒子自旋推广为任意半整数，明显地考虑，j 一的 经典极限。从而证明了，即使对于有限，j _ 的经典极限也会导致波包塌缩 1 9 - 2 5 】。 1 9 9 2 年，孙昌璞等人提出了量子退相干的宏观极限和经典极限量子动力学模型，他们通 过推广上述h c 模型发现，退相干因子的因子化结构对于实现量子退相干起着重要作用。 通过因子化的方法他们还解释了量子跳跃现象，同时得出：随着时间趋向无穷，约化密 东北师范大学硕士学位论文 度矩阵的非对角项会逐步变成零。波包塌缩不再是一个瞬间过程，而是由特征时间表征 的动力学衰减过程。考虑到仪器不仅有宏观特性，还有经典属性，所以他们又提出了退 相干的经典极限的量子动力学模型，证明了在所谓的经典极限下，量子仪器的经典行为 也会导致与之相互作用的被测系统出现波包塌缩。然而我们日常所见的宏观物体为什么 没有表现出波粒二象性? 为什么总是空间局域化的? 是什么机制使得宏观物体叠加的 各态间的相干性消失，从而这些态不再相干而只贡献独立的几率呢? 人们曾经尝试从各 种角度去回答这个问题，也经历了各种各样的争论，但最终发现量子退相干理论能对这 一问题给出正确的解释，关于量子退相干的机制，人们曾提出了许多个模型理论，也进 行了许多相关的实验研究来演示量子退相干的动力学过程，量子退相干的消失和恢复。 几十年来量子退相干的机制始终是集中研究和争论的课题，物理学家用模型演示这种机 制，逐渐取得共识的是退相干的根源是环境的影响。 目前人们研究了各种各样环境诱导退相干的模型理论，试图在量子力学的框架中理 解量子退相干问题。许多针对具体的物体系统如何退相干的研究也进行了很多。如一系 列的外部散射会导致两粒子间相对位置局域化，测量诱导物体空间局域化，局域退相干 与退纠缠之间的关系以及粒子的运动自由度诱导量子退相干等。 本文通过量子退相干的一般理论，以一个存在相位退相干的动力学模型为研究对 象，主要研究了该模型的量子退相干动力学演化过程。本文主要分四章。 第一章简要的介绍了量子退相干的概念、研究量子退相干的意义、以及量子退相干 的动力学描述。在关于量子退相干的概念和研究量子退相干的意义的介绍中，我们强调 了量子相干性的概念以及它在量子现象中的重要地位。在关于量子退相干的动力学描述 中，我们重点介绍了量子退相干的密度矩阵描述、宏观极限下的量子退相干以及量子退 相干和量子耗散的关系。 第二章详细研究了量子退相干动力学模型的退相干机制。首先，该章以一个存在相 位退相干的动力学模型为研究对象，应用w e i - n o r m a n 代数方法和密度算符的有关性质 研究该模型的退相干因子及其随时间的演化。并在此基础上研究发现在宏观极限下该体 系存在完全量子退相干。然后，又通过计算研究表明：该体系的量子熵在量子退相干过 程中是增加的，也可以作为对量子相干程度的一个量度。最后，研究了该体系的相位退 相干因子对量子信息保真度的影响。 第三章主要分为两部分：第一部分详细研究了慢变的环境或测量仪器对快变的量子 系统的量子相干性的影响。通过研究表明：在b o r n - o p p e n h e i m e r 近似下，任何形式的 相互作用都会导致理想的量子纠缠，实现理想的量子测量。当环境或测量仪器的运动满 足某种经典极限时，量子系统的不同绝热态分支之间将发生量子退相干。第二部分主要 应用位移算符的性质和相干态的性质推导了量子动力学模型的退相干因子。 第四章总结。 4 东北师范大学硕士学位论文 第一章量子退相干问题的研究背景 1 1 量子退相干的基本概念和研究意义 由于测量或其他影响导致相干性消失的现象称之为量子退相干( q u a n t u m d e c o h e r e n c e ) 2 6 , 2 7 l 。仅就量子测量而言，人们称之为波包塌缩( w a v e - p a c k e t c o l l a p s e ) 。 以双缝干涉实验为例 2 8 , 2 9 , 5 7 】，如果测量粒子通过了哪一个缝，便强调了波粒二象性 的粒子特性，与粒子性互补的波动性便被排斥了，干涉条纹便不再存在了。也就是说， 量子相干性是指两条量子路径之间的相互影响，这纯粹是量子力学的特征，因为在经典 力学中，路径是唯一确定的，不存在相干的问题。实际上在量子力学中，对一条路径而 言，也无所谓量子相干。再者，量子退相干是针对两条具体路径而言的，它是指两条路 径之间量子相干性的消失。两条路径之间量子退相干的关键在于如何区分这两条路径， 一旦两条路径变得可区分，则这两条路径之间的量子相干性会消失。在量子退相干的研 究中，不同的路径的区分是通过考虑测量仪器或环境与系统的相互作用来实现的。因此， 量子退相干问题的研究对象是一个量子开体系，它包含两个子量子系统：要研究的系统 和环境( 或测量仪器) 。值得指出的是，体系中系统和环境的区分是人为的：如果只对 体系中的某一个子系统的物理性质感兴趣，则这个子系统可以被看作系统；体系中除子 系统之外的部分简称环境( 或者测量仪器) 。实际上这是把体系划分为系统和环境( 或 测量仪器) 的唯一依据。 研究量子退相干的主要动机是，在量子现象中量子相干性占有极为重要的地位。可 以这样说，量子相干性是量子力学不同于经典力学的根本特征，几乎所有违反经典世界 物理直觉的量子现象都是量子相干性的直接或间接的后果。自量子力学诞生以来，关于 量子力学的思想基础和基本问题的争论，从来就没有停止过。人们对于量子力学本身的 完备性及其一些基本观念的理解，甚至持有截然不同的观点。比如：b o h r e i n s t e i n 关 于波粒二象性和测不准原理的争论、s c h r 6 & n g e r 的死猫一活猫佯谬( 1 9 3 5 ) 1 3 0 1 、 e i n s t e i n p o d o ls k y - r o s e n 的e p r 佯谬1 3 。这些争论与量子测量及其相关的量子退相干 问题有密切的联系。 再者，所谓的宏观量子现象，譬如玻色一爱因斯坦凝聚【3 引、激光、超导、超流等， 它们的共同特点就是把量子相干性放大到宏观层次。因而，也应该看作是量子相干性的 一种具体体现。值得一提的还有，在当前十分活跃的量子信息和量子计算领域，在理论 东北师范大学硕士学位论文 上最重要的特征就是利用了量子相干性。可见，量子相干性是量子系统的特性。因此， 环境( 或测量仪器) 对体统相干性的影响是一个十分值得考虑的问题。 1 2 量子退相干的密度矩阵描述 量子力学的基本特征之一是在运用波函数代表的概率幅描述微观物理体系状态原 则上，通过基于波函数进行的量子测量 5 7 】，而密度矩阵与波函数在描述物理体系状态 方面是等价的，用密度矩阵进行量子测量，人们也可以得到微观系统运动规律的全部信 息【3 3 1 。 以双缝干涉实验为例，现在从量子态的观念看一看量子相干性的描述问题。当没有 做任何测量时，系统的量子态用密度矩阵表示为： 、p = f 虬) ( 甄| + l ) ( i + i 甄) ( i + i ) ( 虬i ( 1 1 ) 此时，探测物理量i x ) ( x i ，发现了空间干涉条纹，显示了量子相干性。当可以探测 到粒子通过哪一个缝时，系统的量子态为 p = i 、王，一) ( 甲i + j 、壬，口) ( 甲口l ( 1 2 ) 此时，探测物理量i 砖( z i ，发现了干涉条纹消失，没有显示量子相干性。可见，在 上面这种情况下，量子相干性是由密度矩阵的非对角项所描述。 设研究的对象为一哈密顿系统，总哈密顿量分三部分： z - ? = 或+ 息+ 童 ( 1 3 ) 其中，宜为系统的自由哈密顿量，反为环境的哈密顿量，毫为系统与环境的相 互作用。系统自由哈密顿量疗。的本征解为：， 也= k 溉( ，z i ( 1 4 ) 一 其中，态 h ) ) 是系统自由哈密顿的能量本征态矢的完全集，相应的能量本征值为 e ) 。当不考虑系统能量的耗散时，要求环境的哈密顿量与系统与环境之间的相互作 用对易，即，【峨，v 】- 0 。于是，系统与环境之间的相互作用可以写成如下形式： 矿= h ) ( 刀l 吃，其中，l ；：1 只是环境的算符。 整个体系的初态i y ( o ) ) 为系统和环境的直积态，其中系统的初态为相干叠加态 i 喀( o ) ) = 巳i 门) ；环境的初态为l 像( o ) ) 。因此，初始时刻系统的约化密度矩阵为： 6 东北师范大学硕士学位论文 a ( o ) = ( 1 y ( o ) ) ( j f ，( o ) 1 ) = q 露( o ) ) ( 喀( o ) i ) = 巳q l 咒) ( 咒l + 巳l ，z ) ( 聊 h卅一 ( 1 5 ) 在系统的约化密度矩阵中，对角部分是系统处于单个能量本征态的几率，非对角部 分显示了这些能量本征态之间的量子相干效应。 如果系统的演化算符可以因子化【1 9 , 2 6 ，且同时具备量子纠缠的动力学特征，便可以 通过系统和仪器的相互作用，自动实现量子测量的退相干过程。让因子化的演化算符 u ( f ) 表示为 u ( o = u o ( o z l 甩) ( 以i 圆n 乩( s ，f ) ( 1 6 ) 其中u 。作用于被测系统的状态上，而乩( s ，f ) 代表仪器中的第个粒子与系统状 态i 珂) 相关联的演化。从因子初态 i y ( o ) ) ：巳l 玎) 。卉) ) ( 1 7 ) 出发，经俐的作用，总系统将演化到一个量子纠缠态 i y ( f ) ) = u ( 圳沙( o ) ) = 砜( f ) q l 刀) o i 乞) = q l 刀o ) ) m o ，) i p o ) ) ( 1 8 ) 其中l ，z ( f ) ) = 砜( f ) i 刀) 代表被测系统的自由演化。相应的约化密度矩阵是 户= 屹i 纵f ) ) ( y ( f ) i = ( p ( 尼) f y ( f ) ) ( 纵f ) i p ( 尼) ) 七 = z i c m ( f ) ) ( 玎( f ) | + 巳i - ( m l f _ ( - v ，f ) ( 1 9 ) 退相干因子( ，f ) = ( i 巳) 可以写成因子化的形式 c 。( ，f ) = n n 厶。( ，f ) = 血传k ( ，f ) u ( ，) i 巳) ，= l，= l 当巴。( ，f ) 一0 时导致完全的退相干的混合态。 ( 1 1 0 ) 1 3 量子退相干的动力学描述 对于一个封闭的量子系统而言，如果初态是纯态，则随着时间的演化仍然保持为纯 7 东北师范大学硕士学位论文 态，这意味着它的各个分量之间都是完全相干的，所以，欲使量子相干性随着时间变化， 必须考虑另一个量子系统( 环境或测量仪器) 对它的影响。在某些特殊条件下，随着演 化时间趋于无穷大，系统所有给定态矢之间的量子相干程度趋于零，这种动力学过程称 为环境( 或测量仪器) 诱导系统量子退相干过程，简称量子退相干。 1 3 1 时间演化算符的因子化 1 2 节中提到过，如果总系统的演化矩阵是因子化的【1 7 2 3 | ，并且同时具备量子纠缠 的动力学特征，便可以通过系统和仪器的相互作用，自动实现量子测量的退相干过程。 本节介绍一种使时间演化算符因子化的方法。 设皿( q ) 是被测系统的哈密顿量，q 为其动力学变量，测量仪器是由n 个粒子组成， 第个粒子动力学变量是( _ ) ，它与系统的相互作用为巧( g ，z ) ，总体系的哈密顿量 为 h = 只( g ) + v j ( q ，石) + q ( _ ) 】 y = l 、 = 皿( g ) + h ( g ，石，h )( 1 1 1 ) 为了能实现理想的量子测量，在形成测量的动力学演化过程中，相互作用不得改变 被测系统的状态，即要求 【皿( g ) ，巧( g ，x ) 】2 0 ， j 2 1 ，2 ，n ， ( 1 1 2 ) 这种测量就是所谓的非破坏测量【3 4 】。设只( g ) 的本征值为乜，本征态为i 玎) ，即 圮( q ) i ，z ) = 疋i 刀) ( 1 1 3 ) i ，z ) 为皿( g ) 和巧( g ，x ) 共同的本征函数。且( _ ) 为v y ( q ，x ) 的相应本征值。 显然，演化矩阵 v ( t ) - - e 栅 ( 1 1 4 ) 对因子化态h ) 1 0 的作用为u ( f ) k ) o l 力：e 即i n ) 8 - i 莩勺卜乃删。i d l p ) 为仪器任意初态，由此可以求得 u ( f ) ：p 珊，i 玎) ( 刀l o n n 口- i 莩+ 吩一h 7 ( 1 1 5 ) 其中u o ( t ) = p 喝7 ，巩( ，f ) = p 。勺卜乃耶，根据上述的一般讨论，很容易对各种 东北师范大学硕士学位论文 系统写下具体的量子退相干模型。下面我们以具体的模型为例， 日= 印+ 兰五 鲜+ 反 十羔7 l 喊龟 ( 1 1 6 ) 仪器是一个由n 个频率为w 的谐振子组成的多粒子系统。耦合系数五( x ) = q x 只与 坐标有关。在相互作用表象中，其有效哈密顿量为： 以( f ) ：羔( 六( x + c f ) 露+ 反 + 壳w 磊幺) ( 1 1 7 ) 此有效哈密顿量是完全可分解的，并且其演化算符玑是可因子化的， 玑= 兀。u 川( f ) 现在应用w e i n o r m a n 代数方法 3 5 , 3 6 】去计算相应的退相干因子，首先，把演化算符 写成因子化的形式： u m ( f ) = p 一魄筇和沙7 e 4 i t p ；7 隐， 带入薛定谔方程 国，( t ) = 皿眈( t ) 。 可以得到待定系数气( ，) ( ，) b k ( ，y 所满足的方程 a t ( ，) 2 一气( ，) = 一毒k x + c t + i c l w t ) e “ t 峨一j ( 1 1 8 ) 帕) = f ) 掣凼 ( 1 1 9 ) 设仪器的初态为l o ) = 1 0 。) p i o ：) o i o ) ( 即所有的谐振子在于印时刻全部处在真空 态上 通过有效演化矩阵，可掣由下式算出退相干因子 c 。( ，f ) = n n 厶( ，f ) ：n n 传k ( _ ，f ) 虬( j f ，f ) l 勺) ( 1 2 0 ) 1 3 2 宏观极限下的量子退相干 通常情况下，环境有宏观个自由度，有时环境的自由度的宏观特征，导致系统发生 量子退相 1 5 , 1 7 , 3 7 1 。例如对于1 3 1 节的例子，如果考虑组成仪器的粒子是全同的，即 w k - - w ，于是有厶。( 歹，r ) = i l ( ，f ) l ，在大多数情况下，n 一时，量子相干程度 ( ，f ) 鸟o ，出现完全的退相干。我们称为宏观极限下的量子退相干。 要实现宏观极限下的量子退相干，环境必须满足一定的近似条件： o 东北师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 、环境的各个自由度之间的相互作用可以忽略，也就是说环境的自由哈密顿量 ， 可以分解成这些独立自由度的哈密顿量之和，也= 疗：。 k = l ( 2 ) 、环境的每个自由度都独立的与系统相互作用。于是，系统与环境之间的相互 作用可以写成：童= k ) ( ，z i 彰，其中 七，n 】标志的项代表环境的k 个自由度和系统的 k , n 态i 玎) 之间的相互作用。 ( 3 ) 、环境的初态可以写成各个独立自由度初态的直积的形式： i 织( o ) ) = 1 - i j 纪，。( o ) ) ( 1 2 1 ) 七 1 3 3 量子耗散和量子退相干的关系 环境( 或测量仪器) 除了引起量子退相干效应以外，还会引起系统能量的损耗，即 量子耗散【3 8 , 3 9 , 删。一般的，存在量子耗散的系统，同时会伴随着量子退相干；但量子耗 散的存在并不是量子退相干的必要条件。没有量子耗散的系统的量子退相干被称为纯粹 的量子退相干；在量子测量理论中，又称为非破坏测量。即求环境的哈密顿量与系统与 环境之间的相互作用对易，即，【风，y 】- o 。 实际上，量子相干性是由密度矩阵的非对角元来描述，而量子耗散则是由密度矩阵 的对角元来描述。 一般地，如果一个量子系统的状态用密度矩阵表示为： a = k k ( 聊i ( 1 2 2 ) 式中， k ) ) 为系统态空间的一组完备的基矢，那么，对于量子态a 而言，定义基 矢l 咒) 和i m ) ( 刀m ) 之间的量子相干性由该密度矩阵中基矢i 以) 和l m ) 之间的相干程度定 义为： 哦。：掉 ( 1 2 3 ) q p m m p 一 它反应了密度矩阵a 中非对角项与对角项的相对大小。根据密度矩阵的正定性要求， 相干程度满足：o 。o i o ) 2 i o 。) 时，退相干因子可以写为： c 。羔。( o 1 0 2 ( r ) 丸( ，) i o ) 七：兰厶 其中， 厶。= 。( 0 1 0 2 ( 0 丸( 0 1 0 ) 。 因为时间演化算符o e n ( f ) 作用在真空态上为： 吒( f ) l o ) 。= n p 一帆旗f e 础d ( ) 陬 = = h 。e h i ( t ) i a 。t e 一“。) 。 把( 2 2 4 ) 代入( 2 2 3 ) 式可以得到： 1 4 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 东北师范大学硕士学位论文 其中， f m l l = 少o p o a m k e i w df e 嘶。) = 矽( f ) z ( f ) 刁( f ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 巾) = e x p 研2s i n 2 丁w k t ( g 破+ g m k ) 2 ) 汜2 7 ) 北，= e 冲高s m 2 了w k t g + 撅) 汜2 8 ， 我们定义矽( f ) 为兰姆( i a m b ) 相移因子，定义刁( f ) 为相位阻尼因子，矽( f ) 和7 7 ( f ) 对退相干都有贡献，在高温下，退相干主要来源于相位阻尼因子，在低温下矽( f ) 和7 7 ( f ) 对退相干都有影响，这里就讨论刁( f ) 对量子退相干的影响。在该系统中也就是平移算符 对系统的影响。 经过计算该系统的退相干因子可以写为： 、 巴。= 厶= n p 删= n e x p k = okk 。薹荨础叫亿 ( 2 ) 、当环境的初态是热态( t h e r m a ls t a t e ) 时【4 i 】，并处于温度t 时，环境的密度 算符可以写为： 虞2 ；彳三兰筹笔节2 i 丁( 一矿慨b r ) 薹e - 地 k s r 刀) ( ，z l ( 2 3 。) 则在这中情况下子系统二能级原子的约化密度算符可以写为： a = 吃( d ( ，) 口缈( o ) ) ( 缈( o ) i 。忽 d ( 纠 = 矿1 0 ) o l + 21 1 ) ( 1 i + 够i o ) ( 1 i 。加( d + l ( f ) 虞眈。( f ) ) 。+ 复共轭项 ( 2 3 1 ) 则退相干因子可以写为： ， f 脚= z i 删= n 护( d 二( f ) a 丸( f ) ) 。= 护( d ( q ) a ) 。 k = 0k i 1 5 东北师范大学硕士学位论文 = 兀e x p k善* m k g n kc o t h m i 壳w k 一茎丽扣m ， 让我们定义真空态时的相位阻尼因子为： ，；、1 f u s i n 2 w 2 k t 。 ( f ) = 4 k = o 丽i t , 扣+ 械 7 热态时的相位阻尼因子为： 卅4 薹荨 _ c o t h ( l ( 2 h 驯w k 一巩( 归4 荟丽扣。v 一j 由上式可以看出：f 。= p 一( ) p 一( ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 2 4 宏观极限下的量子退相干 从该模型的哈密顿量( 2 1 ) 可以看出，此系统满足实现宏观极限下的量子退相干 的所有近似条件。下面我们分两种情况来具体分析： 当环境的初态为真空态时，系统的退相干因子为： 咖r l e x p 陲荨+ 舨 ( 1 ) 、若考虑组成环境( 测量仪器) 的粒子为全同的并且由n 个粒子组成， 因子变为： 聃h 卜等叫 ( 2 3 6 ) 退相干 ( 2 3 7 ) 由于退相干因子中项s i n 2 孚的最大值为1 ，所以退相干因子的最小值可以写为： ( z 。( 后，f ) ) 础= e x p _ 4 壳。2 比- 2 9 * 械g 破】 由( 2 3 8 ) 可以看出： l ( ，f ) l - f i ( 厶( 尼，f ) ) 耐。与。 由上式可以看出，该系统实现了宏观极限下的量子退相干。如下图所示： 1 6 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 东北师范大学硕士学位论文 n = 1 0 n - - 2 0 n - - 1 0 0 o 9 0 8 0 7 o 6 0 5 o 4 z 0 0 0 o 0 0 0 0 z z 图2 1 宏观极限下的量子退相干 一是 f 一33 由上图可以看出当n - 一时，退相干因子趋近于零。除了个别的时间点厶= ( 2 n + 1 ) l r m 上，厶一( 屯f ) = 1 ，在其他任意时刻l ( ，f ) l - 1 捌- i ( i ( k ，f ) ) 血。耸o ，出现完全的 1 7 东北