（应用数学专业论文）半线性双温度热传导方程柯西问题.pdf

哈尔滨工程大学硕十学位论文 摘要 本文研究以下半线性双温度热传导方程 i ，f a u 一2 + 甜= ( 甜) ，苫r ”， 0 ， u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，x r 疗 的柯西问题( 初值问题) 半线性双温度热传导方程是在物理学中提出的一类 非线性拟抛物方程 本文采取的研究方法主要是位势井及位势井族理论 。首先，| 立用位势井族理论研究了解的不变集色得到了解的真空隔离现象 其次，研究了该问题的整体弱解的存在性与解的b l o w u p ，得到了解的整体 存在性与不存在性的门槛结果 再次，运用g a l e r k i n 方法并且结合了位势井族理论研究了在临界条件 ，) = d - f , 问题的整体弱解的存在性 最后讨论了问题解的渐近性 关键词：半线性双温度黼方程；位势井；柯西问题；整饵解；爆破 哈尔滨1 ：程人学硕十学位论文 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mf o rac l a s so f s e m ilin e a rd o u b let e m p e r a t u r eh e a te q u a tio n - a u - a u , + 甜= f ( u ) ，x r ”， 0 ， u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，z 尺” s e m i l i n e a rd o u b l et e m p e r a t u r eh e a te q u a t i o ni so n eo fn o n l i n e a r p s e u d o p a r a b o l i ce q u a t i o n sa r i s e df r o mp h y s i c s t h isp a p e ra d o p t st h em e t h o do fp o t e n ti a lw e lla n dt h ef a m il yo f p o t e n t i a lw e ll s f i r s t l y ，w es t u d yt h ei n v a r i a n ts e t so fs o l u t i o n sb yu s i n gt h e f a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l sa n do b t a i nv a c u u mi s o l a t i n gb e h a v i o ro f s o l u ti o n s s e c o n d l y ，w es t u d yt h et h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a lw e a ks o l u t i o n s a n db l o w - u po fs o l u t i o n s w eo b t a i nat h r e s h o l d r e s u l to fg l o b a l e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s t h i r d l y ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a lw e a ks o l u t i o n so f t h ep r o b l e mw i t hc r i t i c a li n i t i a lc o n d i t i o nj ( u o ) = db yu s i n gt h e m e t h o do fg a l e r k i na n dt h ef a m il yo fp o t e n t i a lw e ll s f i n a l l y ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so ft h e p r o b l e m k e y w o r d s ： s e m i l i n e a rd o u b l et e m p e r a t u r eh e a te q u a t i o n ：p o t e n t i a l w e l l ：c a u c h yp r o b l e m ；g l o b a ls o l u t i o n ；b l o w u p 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：羽明岩 日期： 卯年历月0 旧 哈尔滨t 程人学硕七学位论文 1 1 概述 第1 章绪论 在自然科学或生产实践中存在着许多物理问题，为了描述或解决这些 问题，往往需要根据相关的物理定律建立相应的数学模型，当物理过程和 状态只由一个因素决定时，其数学模型往往是常微分方程；而当物理过程 是由多个因素决定时，则其数学模型往往表示为偏微分方程 关于偏微分方程的发展概况及已经取得相关的结果在很多著作中都 有详细的介绍，在本文中不再赘述 本文研究的方程在偏微分理论上属于抛物方程，因此，本章介绍抛物方 程研究工作的相关情况及本文所做工作的概况 1 2 非线性拟抛物方程的研究现状 非线性拟抛物方程是在上个世纪7 0 年代初从大量的实际问题中提出 的一类新型非线性发展方程f 引，其主部为 “r a u f ， 其典型方程为从浅水波运动中提出的b b m 方程i 虬一“捌= ( 厂( 甜) ) 。， 及其在多维的推广g b b m 方程m 9 j 【4 9 1 1 5 0 j “，一a u ，= 讲矿 ) 1 哈尔滨下程大学硕士学位论文 另一类非线性拟抛物方程是s o b o l e v g a l p e r n 型方程【4 1 旷他= 喜毒q ( ) ， 及粘性扩散方程 u ，- a u ，= 厂( 甜) 下面就目前该方面的文献研究情况做简单叙述 文 3 研究了一类半线性热方程的初值问题 一a u = u 7 ， 1 ， u ( x ，0 ) = 缈( ，一) ， 非负古典解与p 解的整体存在性，非存在性与b l o w u p 首先，利用归一 化的高斯函数得到了一些新的解的非整体存在的充分条件，这些条件对古 典解与解是普遍适用的；然后又讨论了某些非负整体解的存在性 文 4 中，刘亚成用g a l e r k i n 方法研究了多维非线性s o b l e v g a l p e r n 方程的初边值问题 材。- a u ，= z o f ( 甜而) 而， j = l 掰i 脚= u 0 ( z ) ， 甜1 0 f l - - - - - 0 ， 及相应的初值问题，并做了假设，而当盯：( s ) ( 1 i n ) 有界时，存在唯一 整体强解还证明了非负初边值解的非负性，讨论了解的渐近性质及 郭柏灵与苗长兴在文献 5 中研究了方程 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 u ，一a u ，= f ( u ) + d i v 擘o ( u ) ， 的初边值问题，为了得到此问题的整体2 p 强解的存在性，他们要求f ( u ) 满足如下增长条件 i f ( u ) l - o ， ( 卜3 ) 的初边值问题在文 7 - 1 0 中，通过对( “) 及厂( “) 的合理假设条件分 别得到该方程的整体形1 ”，形2 , 2w z , p ，w k , p 解，及其经典解的存在性与唯一 性 在文 11 中刘亚成，杜鹃研究了无界域上问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的初边值问 题及对应的柯西问题 在文 1 2 中杜鹃，钱妍研究了问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 古典解的b l o w u p i 6 题 在文 1 3 杨海鸥，刘亚成用g a l e r k i n 方法研究了有界域上任意维数半 线性拟抛物方程u t - a u t = 厂( 材) 的初边值问题 徐润章，刘亚成在文 1 4 中研究了一类非线性拟抛物方程的初边值问 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 题 坼一= ( 甜) + 坊印( “) + 坊甲( v 甜) + 船( z ，) ，x e q ， 0 ， u ( x ，0 ) = 甜o ( x ) ，x q ， u l 铀= 0 ，f o ， 其中q 尺”为有界域，作者利用积分估计方法和特征函数法证明了解的长 时间行为与有限时间爆破 尚亚东，郭柏灵在文 1 5 研究如下一类非线性拟抛物型积分微分方程 u , - p ( 虬) 。一厂“删+ p ( f jq ( u xx , s ) ) 础= 厂( 硝，“，虬) ， 其中7 0 为实常数，当五= 0 时该方程为非线性拟抛物方程或 s o b o l e v g a l p e r n 型方程，它含有数学物理方程中著名的 b e n j a m i n b o n a m o h o m y b u r g e r s 型方程为特例：当y = 0 而五0 时，该方程 为描述粘性介质中声波传播的模型或模拟热流的运动方程作者考虑了该 方程的初边值问题 周期初值问题 材( 一d ，f ) = 甜( d ，) = o ，f o ， u ( x ，o ) = “。( x ) ，x 【一d ，d 】， u ( x + 2 d ，) = 甜( x ，f ) ，t o ， u ( x ，0 ) = ( x ) ，x - d ，d 】， 4 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 和初值问题 u ( x ，0 ) = “o ( x ) ，x r ， 整体强解的存在唯一性运用g a l e r k i n 方法结合能量型先验估计证明了初 边值问题整体强解的存在唯一性；对周期初值问题及初值问题也给出相应 结果；在一定条件下讨论了初边值问题整体解不存在性和爆破问题 雷沛东在文 1 6 中研究了拟线性退缩抛物方程 尝= 丢( 口( 甜 ，) 罢) + 昙6 ( 甜 ，) + c ( “ 班 在p ( s ，x ，f ) 幽关于甜严格单调增加的条件下，c a u c h y 问题广义解的稳定性 和唯一性 张新华在文 1 7 中研究了非自治系统的非线性抛物方程 u t a u = 厂( f ，x ) u + t 口”“， 具有d i r i c h l e t 边界条件的初值问题，重点讨论了该问题解的爆破的性质； 进一步讨论了更一般的方程 u t a u = f ( t ，x ) 甜+ g ( ，x ) 1 i ，“， 具有d i r i c h l e t 边界条件的初值问题解的爆破的性质 陈义安在文 1 8 中用能量估计法研究了非线性抛物方程 旷善孙 ) 吁3 u _ a u , 叫x , t , u , d u ， 初边值问题解的爆破性质，得到解发生爆破的条件 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 总的来说，对抛物方程的初边值问题和古典解的研究已取得一些较好 的结果【4 】【7 】_ 【l o 】f 1 4 】【1 5 】【1 9 】一【2 5 1 【4 3 】【4 7 】【5 2 】，也得到一些好的处理方法 f 6 】f 1 4 】【1 5 】【3 7 】【3 8 】f 4 6 】【4 8 】1 5 3 】，如g a le r k i n 方法，能量估计法，积分估计方法和特征函 数法等等目前虽然对抛物方程c a u c h y 问题的研究结果【1 6 】【2 6 】- 【3 2 】【5 l 】也不少 见，但研究结果还显得比较零碎，远未形成一个相当一般的理论这方面 的研究比较难，但正因为如此，这一领域也是大有可为的 1 3 本文要做的工作 本文研究下面这个半线性拟抛物方程的柯西问题 - a u - a u t + 扰= f ( u ) ，x r ”， 0 ， ( 1 4 ) u ( x ，0 ) = 甜o ( x ) ，x r ”， ( 1 5 ) 该方程是由t i n g 于1 9 7 1 年提出的，其中( 甜) 为热源，“表示随时间，空间变 化的温度方程的名称为双温度热传导方程【3 3 】【3 4 】，为热传导方程的一种，热 传导方程作为三大典型数学物理方程之一，在偏微分方程理论上属于抛物方 程虽然，目前对各种热传导方程的研究较多【2 l 】【3 5 】_ 【3 7 】f 4 0 】一【4 2 】【4 5 】f 5 4 】，但对双温度 热传导方程各种问题的研究很少见，而本文给出了很多好的结果 在本文中，利用位势井方法研究了该方程的柯西问题我们定义 f ( “) = ，厂( s ) 出，并且总假设厂( 材) 满足 ( ) ：( i ) 厂c 且 矿7 ( “) 一厂( 甜) 甜o 其中“= ”只对“= o 成立； ( i i ) i 厂( “) i 口i “ 7 ，a 0 ； 6 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( i i i ) ( p + 1 ) f ( 甜) 矿( 甜) ，i 矿( “) 怿l f ( “) | ，其中当n = l ，2 时， 2 p + l 厂+ 1 o o ； 当刀3 时， 2 p + l y + l 兰 h l 本文中首先引进一族位势井，并证明了这族位势井的某些性质，接着 讨论了问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的解的不变集合与真空隔离现象，应用位势井族 得到整体解存在的门槛结果，证明在临界初始条件j ( u o ) = d 下问题 ( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的解的存在性，最后讨论了解的渐近性 下面就本文使用的主要研究方法位势井理论作简单介绍 位势井理论是s a t t i n g e r 于1 9 6 8 年在国际上首次提出的，该理论的提 出完全解决了能量非正定的这类方程的整体解的存在性问题现在，位势 井理论已成为研究非线性发展方程解的整体存在性与不存在性的一个重 要的方法，被很多数学家应用和推广 长时间以来，人们对位势井理论作了很多有益的尝试，但是一些重要 问题一直没有解决如：位势井形的结构，位势井深度d 的值的求法或估计 及具有临界初始条件i ( u 。) = 0 或e ( o ) = d ( 或j ( u 。) = d ) 的问题是否存在 整体解2 0 0 3 年，刘亚成教授在文 1 中首次在国际上引进了一族位势井， 才使上述问题得到解决特别是，利用这一位势井族理论，在国际上首次发 现了非线性发展方程解的真空隔离现象，这是几十年来对位势井理论的重 大创新和突破 目前在国内，哈尔滨工程大学的刘亚成，郑州大学的张宏伟，厦门大学 的谭忠等一批学者活跃于研究用位势井理论来解决非线性发展方程解的 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 存在性和不存在性这一领域 本文中，用| i p 表示f ( 尺”) 模，r ( r ”) 又简记为i | ，h 彤) 记为 “峙，形却模用”k p 表示，( “，v ) = f v d x o 1 4 几个常用引理 定义1 1 ( w ( q ) 的紧嵌入) 设q 是r ”中的一个区域，q 。是q 的有 界子区域，q 。是q 与r ”中的一个k 维超平面的交，工m 是整数， 0 ，m 1 ， p 是实数，l p - t - 0 0 ，则 ( i ) 如果q 具有锥性质且m p n ，则下列嵌入是紧的，记为c c ： w p m ，p ( q ) c c 矿。9 ( q ：) ，o n - ，印 七，z ，1 g r t ， w j + m , p ( q ) c cc j ，8 ( 一f 2 。) ，m p ，z ( 聊一1 ) p ，0 o l m 一一n p 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( i v ) 若用吲” p ( q ) 代替形卜帆p ，则对r ”中任意区域q ，上述嵌入 都是紧的 引理1 1 ( s o b oie v 嵌入定理) 设q 具有锥性质，q 表示q 与r ”中一 个k 维平面的交集，l k ，z ，m 为正整数，_ ，为非负整数，1 p + 0 0 ，则 有下列嵌入关系： ( i ) 如果m p n ，且n m p k ，z ，贝0 w ( q ) c 口( q ) ，p g ! l ，( 卜6 ) w j + m , p ( q ) cw j ，9 ( q ) ，p q 坠， n m p 形p m ，p ( q ) cw j ，9 ( q ) ，p 邪j 坠 n m p ( 1 - 7 ) ( 1 - 8 ) 如果p = l ，则m n ，这时当刀一m = k 时，( 卜8 ) 式仍成立即 形7 ”，1 ( q ) cw 7 1 ( q ”) ( ii ) 女口果m p = n ，贝0 对1 k 疗，有 形”，( q ) cw 7 9 ( q ) ，p q ( m 一1 ) p ，贝0 形7 + m ，p ( q ) cc j = ( 五) ，0 a 聊一旦； p ( ii ) 假定甩= ( m 一1 ) p ，则 形7 ” ，( q ) cc 肛( q ) ，0 口 1 如果p = 1 ，z = m 一1 ，则上式对口= 1 也成立 引理1 3 对甜h 2 ( q ) ，u + a u l 为i u ：的等价模，对于甜喇( q ) ， v u i i 为m 的等价模 引理1 4 若g ( x ，f ) l q ( q ) ，k 。( x ，硝于l q ( q ) 有界，其中1 q ，并且 g 。( x ，f ) 一g ( x ，f ) 于q 几乎处处收敛，则g 。( x ，f ) 一g ( x ，t ) 于l q ( q ) 弱收敛 引理1 5 假设f e c ，u j ( x ，f ) r ( o ，t ；w p ( q ) nr ( q ) ) ，其中k 1 ， 1 p 0 0 ，_ ，= 1 , 2 ，j 则f ( u l ，甜2 ，u ，) r ( o ，t ；w ，p ( q ) ) 则有 引理1 6 ( g r o n w a l l 不等式) 设y ( t ) l 1 ( o ，t ) 且存在常数a 与b ，使得 少( f ) 口+ b l y ( z ) a z ，o f 丁， y ( t 1 a e b t0 f t 引理1 7 ( 历眦，不等式) 如果l p ，g o ，( 材) d ) u o ) ， 矿= 甜h 1 ( 月”) i ，( 甜) - ( p + 1 ) b l u l p ”， 引理2 2 设厂( “) 满足( 日) ，ueh 1 ( r ”) ，俐1 日。o ，并且 1 2 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 缈( 五) = 去矿( 允扰) 出， 则 ( i ) 伊( 兄) 于0 五 0 及( h ) ，可得 缈( 五) 2 万1 妒2 厂川一矿( 砌) ) 出 = 专矽( 砌) 一m “) p 0 ， 从而缈( 五) 于0 兄 上单调增加 从而 又 ( i i ) 因为 酬2 刘1 矿( 砌) 雠却五矿( 旯材) i 出 万1 抄扰似= a , 复y - j l 川y + l ， 嘞妒( 兄) = 0 ； 名_ 0 、7 删= 嘉弘( 砌) 出嘉( 砌) 出 1 3 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 其中 从而 嘉p ) b im = ( 川) 删一1 + 1 出， 群= x i x e r n , 鸭) ， 五1 i m 。妒( 旯) = + o 。 引理2 3 设“h 1r ”) ，i l u l l h 。o 贝j j ( i ) 烛，( 兄甜) = 0 ，。1 i m 。，( 勉) = 一o 。； ( i i ) 于0 2 o o 存在唯一眦卅。) 使得面d 私l _ 0 ； ( ii i ) ，以甜) 于0 五z 单调增加，于z 力 o 。单调减少，并且在 z = z 取得最大值； ( i v ) 当0 2 o ，当z 兄 ，( 砌) 0 ，i ( 2 * u ) - - o 证明：( i ) 由，( 五甜) = 吾i 甜睡。一，f ( 旯甜) d x 可得l 。i ，m 。j ( 2 “) ：o 另一方面，由 m “) = 扣n f ( 砌) 出别1 矶一寿矿( 砌) 出 1 22 2 ：- 一并+ 1 出= 却坼一等川y + l ， 可得j i 婴j ( 2 u ) = 棚 1 4 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( i i ) 由引理2 2 及 瓦dm “) = 州卜矿( 砌) 出 = 兄( i i 材8 ：。一去矿( 兄甜) 出) = 力( 0 “0 ：。一缈( 兄) ) 可得 ( i i i ) 由( ii ) 的证明过程可得，当0 见 z 有 当z 五 o ， 万d ，( 砌) 0 我们定义 厶( “) - - 8 甜略一，矿( “) 出， 胪 d ( 8 ) = i n f j ( u ) ， “n a 虬= p h 1 ( r “) l 厶( “) = 0 ，。 1 5 o ) 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 令r ( 6 ) - ( a c t + 1 l y - l ，其中c 是从日1 乜”) 到。川) 伍”) 的嵌入常数 引理2 4 若ue h 1 ( r ”) ，o 。 0 特别，若 o 1 “1 。 o 及 可得 证明：若0 。 ，( 万) 哈尔滨工稗大学硕十学位论文 翱巳 “ 吉矿( 甜) 出 吉“口i 甜1 7 出 ， u1 d x = ：掣绷甜睡 引理2 6 若“日1 ( 尺”) ，厶( 甜) = o ，n u ，厂( 万) 或1 日。= o 特别， 若i ( u ) = 0 ，贝, jl l u l l 片。厂( 1 ) i , f n ：若忙k 。= o ，则厶( 甜) = o 若厶( 甜) = o ，0 u 忆0 ，则由 删扣，u s ( “) 出喇暇( 口硼“眩 可得日。厂( 万) 引理2 7 若扰日1 ( 尺“) ，厶( 甜) = o ，且恤1 1 日。o ，若o 孚，则m ) 。 证明：由引理2 6 及 可得 m ) 寺卜f ( “) 出净击矿( “) 出 = 寿灿i ：。+ 币l 脚) = 卜1p 等1 i 川i 引理2 8 作为万的函数d ( 万) 在区间0 万1 有如下性质 ( i ) d ( 万) 口( 万) ，2 ( 万) ，其中口( 万) = 三一寿，0 万 孚； 1 7 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 ( i i ) l 。i ，m 。d ( 8 ) = 。，存在唯一6 ，使得d ( 6 ) = o ，其中孚6 考，且若 0 o 存在唯一的 满足式( 2 1 ) ，即 万慨略= ，旯矿( 砌) 出， 五( 占) = 缈_ 1 ( 万i | 甜0 ：。) ， i a ( t u ) = 0 1 8 ( 2 - 1 ) 嗡刀i 浜1 程大宁坝卡宁何论文 由引理2 2 得l i m 允( 5 ) = 0 ，l i m 五( 万) = + o o ， d u 7 占斗伸 、7 从而由引理2 3 得 娥，( 勉) = l m i m ，( 力“) = 0 ， 扣l i m 。，( 勉) 。m l i m 。，( 砌) = 瑚， 从而 烛d ( 万) = 0 ，j 1 i m 。d ( j ) = 一 由本引理( i ) 得到存在一个6 等笋，使得 d ( b 1 = 0 ， 并且当0 万 0 另一方面，u s ( “) o ，( “) o ，从而由l 矿( “) i y i f ( “) i 有 ，( 甜) ( 三一事弘圳乙。+ 专厶( 甜) = 睇m ， 从而6 上 ( ii i ) 我们首先证明，对于0 万 万” 1 或1 万” 万 b ，有 d ( 8 ) d ( 8 ”) 显然我们只需证明，对于o 万7 l 或1 矿 万7 o 使得 j ( v ) ，( “) 一s ( 万，万”) 事实上，对上述甜我们由式( 2 1 ) 定义旯( 万) ，则 设g ( 兄) = ，( 旯“) ，贝0 厶( 五( 万) 甜) = 0 ，兄( 万”) = 1 丢m ) 锄砩。一p 似) 出 = 去( ( t 一6 ) o a “o 乙，+ 厶( 兄“) ) = ( 1 一万) 旯：。， 取1 ，= 兄( 万7u ，则厶，( v ) = o 且h 。0 若0 万 万” ( 1 - d ”) ，2 ( 万”) 旯( 万7 ) ( 1 一五( 万7 ) ) 兰s ( ，万”) ； 若1 万” 万7 ( 万”- 1 ) r 2 ( 万”) 五( 万”) ( 兄( 万) - 1 ) 兰s ( 万，万。) 引理 2 9 设o o ，则巴。 訾d 证明：由 寺灿艮+ 上p + l 砸) 叫小巾) ， 即 口( 徘阶六厶( 甜) d ( 万) ( 2 _ 2 ) 可得 又由式( 2 - 2 ) 可获得引理2 1 0 和引理2 1 1 引理2 1 。设 丁p + l ，ej ( 班m ) 并且肛胁鬻，则 厶( 甜) 掣枷。砸) 。 引理2 1 1 设。 万 譬，训小邢) 且砷) _ o 刚忙胁鬻 矧，训班d 叫垆咖叫圳：。警d 对o 艿 0 ，( “) d ( 万) ) u o ， = p 日1 ( r ”) 1 i 占( “) 0 ，j ( “) d ( 万) ) ， b = 甜日1 ( 尺圳山 ，( 艿) 卜 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 引理2 1 2 - 设0 万 譬，则吃( j ) c c ( 矿k c 彰，其中 = 卜日1 ( 尺砷崛 面n ，2 ( 万) ，2 d ( 纠) ， 种p ，艮 鬻 证明：首先，由引理2 4 ，l 。 0 另一方面，由，( “) 兰恻巳和m 巳 2 d ( 6 ) ，我们能得到，( “) d ( 万) ， 因此，e ( j ) c 剩余部分由引理2 5 和引理2 9 可得 由引理2 8 与，圪的定义可得引理2 。1 3 引理2 13 ( i ) 看0 万 万”1 ，见u ，c ； ( i i ) 若l 趴孚例，c 引理2 14 设对某一“日1 ( r ”) ，有o ，( 材) d ，且4 疋是方程 d ( 万) = ，( “) 的两根，则厶( 甜) 在区间螽 万 o _ 可得何。o 如果乞( “) 在磊 万 乏内变号， 那么一定存在一个分( 4 ，龟) ，使得厶( 甜) = o 因此可得，( 甜) d ( 否) 这与 ( “) = d ( 磊) = d ( 岛) d ( 否) 矛盾 哈尔滨下程大学硕士学位论文 暑b i i i i ；i i i i i i i i ；i ；i ；罱i i i ；i i ；宣；i i ；i ；i i i ；i i ；宣暑； 2 3 本章小结 本章首先给出了位势井及位势井族的定义，列举并证明了相关的一些 性质其中，位势井族的引进对本文的研究工作至关重要，它的引进可以解 决很多原来只用位势井方法无法解决的问题后面各部分所得到的结论都 是在本章工作的基础上得出的 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 第3 章解的真空隔离现象和不变集合 3 1 解的不变集合 首先，给出弱解定义 定义3 1 甜= “( x ，f ) 称为问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 于r ” o ，丁) 上的弱解若 “r ( o ，t ；h 1 ( r ”) ) ，r ( o ，t ；l 2 ( r ”) ) ，对几乎所有的，【o ，丁) 成立 ( i ) ( “，v ) + ( v 甜，v v ) + ( v “，v v ) + ( “，v ) = ( ( 甜) ，v ) ，v vh 1 ( 尺”) ，( 3 一1 ) ( i i ) “( 石，o ) = ( x ) 于h 1 ( 尺”) ， ( i i i ) j 1 i 甜，l l 乙，d f + ，( “) ，( “。) 定义3 2 设“( f ) 是问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的弱解，定义甜( f ) 的最大存在时间 丁= 丁( 甜) ( i ) 如果对o f o o ，“( f ) 存在，那么t = 佃， ( ii ) 如果存在一个t o ( o ，0 0 ) 使得对0 r t o ，“( f ) 存在，但当f = 时 “( ，) 不存在，那么t = t o 定理3 1 设厂( “) 满足( 日) ，h 1 ( r ”) ，i 漫0 e 0 及引理2 1 4 可得 下面往证 厶( “。) 0 2 ，( ) d ( 万) ， u o ( x ) ，v 8 ( 8 1 ，盈) “( f ) ，v 万( 匹，龟) ，f o ，丁) 用反证法，若不然，则必存在某一磊( 磊，啶) 及某一岛( o ，丁) ，使得 甜( ) a ， ( “( ) ) = o ，愀训o ， 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 或 由 其中， o ，丁) ， 易知 ，( 掰( 岛) ) = d ( 磊) 肌略d f + j ( “) ，( ) d ( 万) ，v 万( 4 ，疋) ，( 3 - 3 ) 0 ，( 甜( 岛) ) d ( 磊) 5 善1 6 0 ( “( ) ) = o ，恤( ) 峙o ，则由d ( 万) 定义有 此式与式( 3 - 3 ) 矛盾 ，( “( ) ) d ( 剐， ( ii ) 设“( ，) 是满足，( ) = p ，( ) o 的任一弱解，u ( t ) 的最大存在 时间为丁 即 首先，由j ( u 。) = e ，i ( u 。) o 及引理2 1 4 可得 氏( u o ) o 及，( ) d ( 万) ， n o ( x ) ，v 万( 4 ，色) 下面证明u ( t ) ，v 万( 4 ，龟) ，f o ，丁) 哈尔滨t 程大学硕士学传论文 即 及 若不然，则必存在某一皖( 匹，4 ) 及某一岛( o ，丁) ，使得 u ( t o ) a ， 由式( 3 - 3 ) 知 k ( “( 乇) ) = o ， ( “( 气) ) = d ( 皖) ，( 材( 岛) ) d ( 磊) ， 故，( “( 乇) ) = d ( 哦) 是不可能的 若( 甜( 岛) ) = o 及f o 是第一个使得厶( “( f ) ) = o 的时间，则有 由引理2 4 可得 厶( “( f ) ) o ，o t ，( 磊) ，o _ t ，( 磊) 及，( “( 乇) ) d ( 磊) ，此式与( 3 3 ) 矛盾 定理3 2 在定理3 1 中，将假设，( ) = p 改为o j ( u 。) p ，那么定理 3 1 的结论仍然成立 由定理3 1 及引理2 8 可得下面结论 2 7 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 定理3 3 设( 甜) 满足( h ) ，日1 ( r ”) ，i 发0 e d ，4 8 2 是方程 d ( 8 ) = e 的两个根，若o d ( u o ) - e ，则对v 万( 点，最) ，与巧在问题 ( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的流之下是不变的从而，下面两个集合 岛= u ，如= u ， 西 j 愿点 j 也 在问题( i - 4 ) 一( i - 5 ) 的流之下也是不变的 3 2 解的真空隔离现象 前面三个定理的结论表明，如果o j ( u o ) e ，则j ( u o ) d ( 万) 于 磊 艿 乏，再借助式( 3 3 ) ，我们理解对v 万( 点，盈) ，必有都萑因此，对 具有条件0 j ( u o ) e 的问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的解的集合，存在一个真空区域 配= 如= u - - u h 1 ( r ”) 乞( 掰) = o ，8 掰8 何。o ，磊 拶 色 ， 而 占 易 其中e ( o ，d ) ，使得问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 在这个真空区域没有弱解，该问题的 所有解被这个区域隔离为两个部分这个现象对非线性发展方程的解是普 遍成立的，被称之为真空隔离现象。显然真空区域u e 随着e 的减小而增大， 当e = 0 时u 。达到最大 = 卜日1 ( r 岫炉o ，l 川b 地 孚) 进一步，有下面的定理 定理3 4 设厂( “) 满足( h ) ，甜。1 ( r ”) ，假设j ( u 。) - - o ，则问题 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 ( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的所有非半凡解“【f ) 属于 或+ 州叫卜。午出科 于“( f ) 的存在时间x e i n 上 证明：设“( f ) 是( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的任一弱解，若，( ) = o ，t 是甜( f ) 的 由，( ) = o 及式( 3 3 ) 可得 ，( “) 0 ， 扣私f ( 甜胁寿矿( “炒 带r 、1 霄 者务寿口+ 1 ；1 5 南q + 1 u 乙一 日。= o ， h 。 若片。2 t o ，m l l “l l 。2r o 亍：0 t r 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 若不然，存在一个岛( o ，t ) ，使得 o 1 1 “( 训圩。 ， 类似于上面的讨论可证得慨峙= o ，则 日= o 于o ， 丁 推论3 5 设厂( 甜) 满足( ) ，e h 1r ”) ，则问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的所有 满足恢峙= o 的弱解是平凡的 定理3 6 设厂( “) 满足( 日) ，n o h 1 ( 尺”) ，假设，( ) = o ，0 h o 峙o ， 则问题( 1 - 4 ) 一( 卜5 ) 的所有弱解“，o 万 导 ，o ， 丁其中 丁= t ( u 1 是u 的最大存在时间 证明：此定理由定理3 4 及 陪南灿巳+ 上p + l 砷p 姚) 可得 在定理3 4 的基础上还可得 定理3 7 设s ( u ) 满足( h ) ，u o 日1 ( r ”) ，假设j ( u o ) o ，则问题 ( 1 - 4 ) 一( 1 5 ) 的所有弱解甜，o 万 皇笋，o ， r 其中，丁= r ( “) 是 u 的最大存存时间 3 0 哈尔滨工稗大学硕十学位论文 3 3 本章小结 本章首先给出了弱解的定义，再此基础上利用位势井族的方法证明了 整体弱解在该问题的流之下的不变性关于不变集合的三个定理所给出的 结论表明，当0 ，( ) e 时，该问题的解的集合存在一个真空区域，该问 题在此真空区域没有弱解，该问题的所有解被这个区域隔离为两个部分 这个现象对非线性发展方程的解是普遍成立的，被称之为真空隔离现象 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 第4 章整体解的存在性与有限时间b io w u p 4 1 整体解的存在性定理 定义4 1 设甜( f ) 是问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的一个弱解，称“( f ) 在有限时间内 爆破，若u ( t 1 的最大存在时间是丁且 l i mj 1 。办= + o 。 定理4 1 设厂( 材) 满足( ) ，u o 日1 ( r ”) ，假设，( ) o ， 则问题( 1 - 4 ) 一( 卜5 ) 存在一个整体弱解 “( f ) r ( o ，o o ；h 1 ( 尺”) ) ， 并且 坼( f ) r ( o ，；r ( r ”) ) ， 甜( f ) w ，t 【o ，o o ) 证明：设 _ ( x ) ) 为h 1r ”) 的一个基函数系，构造问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的 近似解 ( x ，f ) = g ，。( f ) m ( x ) ，( m = 1 州2 ) ， j = i 满足如下常微分方程组的初值问题 3 2 哈尔滨工挥大学硕士学位论文 ( “删，w s ) - ( v u m ，v 比) + ( v “删，v 比) + ( ，心) = ( 厂( ) ，心) ，( 4 1 ) ( x ，o ) = ( x ) 专( x ) 于日1 ( r ”) ， ( 4 2 ) j = l 将式( 4 1 ) 乘以盛( ，) ，再对s 求和，对f 积分，得 由式( 4 - 2 ) 得 从而 f f l l u m = 0 d r a t - j ( u m ) - - 4 ( o ) ) ，0 _ t m ， 0 h l j ( u ，( o ) ) 寸( ) ， 由式( 4