（应用数学专业论文）关于非线性算子方程解的若干问题的研究.pdf

摘要 摘要 算子方程和不动点问题是迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分， 它们在解决各类微分方程、积分方程解的存在性和唯一性问题中起着重要的作 用因此对它们的研究就具有重要的意义本文主要研究概率度量空间及半序 b a n a n c h 空间中非线性算子方程解的几个问题全文分为四章 第一章，介绍了概率度量空间和半序b a n a n c h 空间中非线性算子方程解的 历史背景、现状以及一些预备知识 第二章，在概率度量空间和z p s 空间中，主要利用拓扑度方法，分别研究 了两类算子方程t x = l e g ( j u 1 ) 和t x = x 解的存在性问题，得到了一些新的结论 第三章，在z p s 空问中，利用拓扑度方法，研究了非线性算子的固有值和固 有元的存在性问题，并获得了若干新的结果 第四章在半序b a n a n c h 空间中，利用迭代方法，研究了单调算子方程的解的 存在性问题，并得到一些新的定理 关键词：固有值；固有元；算子方程；拓扑度；迭代 i i a b s t r a c t a b s t p a c t o p e r a t o re q u a t i o na n dt h ef i x e dp o h np r o b l e ma rea ni m p o r t a n tc o m p o n e n to f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i st h e o r y t h e ya l ep l a y i n gi m p o r t a n tr o l ei ns o l v i n gn a t u r e a n du n i q u e n e s sp r o b l e m sa b o u ta l lk i n d so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n di n t e g r a l e q u a t i o n s c o n s e q u e n t l y , t h er e s e a r c ho fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o na n dt h ef i x e d p o i n ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c e i nt h i st h e s i s ，s o m ep r o b l e m sa b o u tt h es o l u t i o no f n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si np r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c ea n dp a r t i a lo r d e rb a n a n c h s p a c ea l es t u d i e d i ti sd i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gf o u rs e c t i o n s i n c h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n d sa n dc u r r e n ts i t u a t i o na b o u tt h es o l u t i o no f n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si n p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e sa r ei n t r o d u c e da n dt h e p r e l i m i n a r i e sa l eg i v e n i nc h a p t e rt w o ，w ew i l lu s et h em e t h o do ft o p o l o g yd e g r e em a i n l yt os t u d yt w o o p e r a t o re q u a t i o n sa b o u t ( t x = 雕( 1 ) a n dt x = x ) i np r o b a b i l i t ym e t r i cs p a c ea n d z p ss p a c e ，a n dg e taf e wn e wc o n c l u s i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w ew i l lu s et h em e t h o do ft o p o l o g yd e g r e em a i n l yt os t u d yt h e e x i s t e n c eo fi n t r i n s i cv a l u ea n di n t r i n s i ce l e m e n ti nt h ez p ss p a c e ，a n dg e ts o m e n e wr e s u l t s i n c h a p t e rf o 峨w ew i l lu s et h em e t h o do fi t e r a t i o nt os t u d yt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o no fm o n o t o n eo p e r a t o re q u a t i o ni np a r t i a lo r d e rb a n a c hs p a c e ，a n dg e taf e w n e wt h e o r e m s k e yw o r d s ：i n t r i n s i cv a l u e ；i n t r i n s i ce l e m e n t ；o p e r a t o re q u a t i o n , t o p o l o g i c a ld e g r e e ； i t e r a t i o n i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特n , d n 以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌盔堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：豸k 签字日期：碑，明名日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：来分 签字日期：形年7 明磊 导师签名： 签字日期：篓 第1 章引论 第1 章引论 本章主要介绍概率度量空间和半序b a n a c h 空间理论的历史背景与现状以 及相关的预备知识 1 1 非线性算子方程解的历史背景与现状 为了更好地描述度量的随机性，也为了给出数学与物理之间某些基本论题 一个更合理的数学解释，著名的几何与拓扑学家k m e n g e r 在1 9 4 2 年【1 】首次提 出统计度量的概念，将两点之间的距离定义为一个分布函数( 即一个非负随机 度量的分布函数) 1 9 5 6 年，b s c h w e i z e r 和a s k l a r 开始了在概率度量空间理 论方面的合作研究，正式提出了p m 空间的概念并利用t 一范数( t r i a n g u l a rn o r m ) 定义了m e n g e rp m 空间【2 捌类似的思想应用到赋范空间的概率推广上， a n s e r s t n e v 在1 9 6 2 年提出了概率赋范空间二十世纪六、七十年代以来，概 率度量空间理论蓬勃发展，1 9 8 3 年b s c h w e i z e r 和a s k l a r 在该领域的最有影响 力的著作【4 】就是一个重要标志此后，b s c h w e i z e r 等人将概率度量空间的思想 与信息论、聚点分析、统计力学、数理统计及混沌动力系统相结合，做出了一 系列开创性的工作 在我国，西安交通大学游兆永教授最先注意到这一方向1 9 7 9 年，游先生 发表了国内第一篇关于概率度量空间的论文他与朱林户关于p m 空间等距度 量化的工作【5 6 】至今仍是我国关于p m 空问理论最有代表性的工作之一随后， 我国有一批学者介入该领域经过二十多年的努力，我国学者在该领域取得了不 少深刻而独具特色的成果同时随着随机分析理论的进一步发展，概率度量空间 中的理论和应用也有很大的发展，国际上s e h g m 和b h a r u c h a r e i d 7 1 ，b o c s a n 8 1 ， i s t r 蕴t e s c u 9 - 10 1 ，h a d 之i 6 和p a p ， 1 1 - 1 4 】及国内的林熙【15 1 、张石生【1 6 - 2 0 1 、方锦暄 2 1 乏2 1 、 朱传喜【2 3 3 0 】等对概率度量空间中算子方程和微分方程的解、映象的不动点及其 迭代逼近等问题均作过较为深入的研究 概率度量空间中的非线性算子理论是概率度量空间理论的一个重要的研究 分支，自八十年代以来，受到众多学者的广泛关注1 9 9 4 年，张石生出版了这 一方面的专剥1 9 】，系统总结了概率度量空间的基本理论及概率度量空间中非线 性算子的重要研究成果，对于概率度量空间中的压缩映象的不动点定理，单值 映象及多值映象的不动点定理与重合点定理，非线性算子方程解及拓扑度理论 第1 章引论 等问题方面的研究进行了汇总此后，诸多学者对此类方面的问题进行了深入 的讨论和研究 自八十年代初以来，郭大钧和他的学生孙经先，杜一宏等利用半序方法来 研究缺乏紧性或缺乏连续性条件的非线性问题，并获得一系列新的结果，主要 有：( ) 在完全不考虑紧性的条件下，仅使用有关序的某种不等式，获得了增 算予，减算子以及混合单调算子的不动点的存在唯一性以及迭代序列的收敛性， 并应用于无界区域上的非线性积分方程( 二) 在完全不考虑连续性的条件下， 仅使用弱紧性条件，获得了增算子的若干新的不动点定理，并应用于右端有间 断项的非线性微分方程( 三) 将半序方法系统地应用于b a n a c h 空间非线性积 分一微分方程( 包括脉冲型方程) 近十几年来张志涛，张宪等人都在研究带有 混合单调算子的不动点的存在性和迭代序列收敛问题，并且获得了不少很好的 结果 本文主要利用拓扑度方法研究了概率度量空间中非线性算子方程及不动 点、固有值和固有元的若干问题：利用迭代方法研究了半序b a n a c h 空间中单调 算子解的问题 1 2 预备知识 在本章中我们处处用尺表示一切实数之集合，尺+ 为一切非负实数之集合 定义1 2 1 t , g j 映射厂：r 专r + 称为分布函数，如果它是非减的，左连续的， 又满足下面条件：i n f f ( t ) = 0 ，s u p f ( t ) = 1 r e 尺 用c d 表示一切分布函数的集合，h ( t ) 表示一特殊的分布函数，其定义如下： 即) ：丁1 ， o ， “ 【0 ，r 0 定义1 2 2 t , 9 概率度量空间( 简称为p m 空间) 是一有序对( e ，f ) ，其中e 是 一抽象集，f 是e e 到。的映象( 记分布函数f ( x ，j ，) 为只，y ，又e ，y ( f ) 表示e ， 在，r 的值) ，并且假定c ，y ，x , y e 满足下面的条件： ( p m 一1 ) 只，y ( 0 ) = 0 ； 2 第1 章引论 ( p m 一2 ) t ，j ，( f ) = h ( f ) ，v t r ，当且仅当x = y ； ( p m 一3 ) c y = e j ； ( p m 一4 ) 对任意的x ，y ，z e ，l ，2 r ，若e ，j ，( f 1 ) = 1 ，c ，：( f 2 ) = 1 ，则有： e ：( ，l + r 2 ) = 1 ； 定义1 2 3 n 们如果： s u pi n f 六，o ) = 1 ，则集ac ( e ，f ) 称为e 的概率有界 t 0 ，j ，e 一 子集 为了研究肼一空间的性质，k m e n g e r 引入了三角范数，并提出了 m e n g e r 肼一空间的概念 定义1 2 4 e i 9 j 映像： 0 ，1 】【0 ，1 】寸 0 ，1 称为三角范数( 简称为卜范数或，一 模) ，如果满足下面的条件，对一切的口，b ，c ，d “o ，1 】： ( 一1 )a ( a ，1 ) = a ，( 0 ，o ) = 0 ； ( 一2 )a ( a ，6 ) = a ( b ，口) ； ( 一3 )z x ( c ，d ) ( 口，b ) ，当c 口，d b 时； ( 一4 ) a ( 6 ( a ，6 ) ，c ) = a ( a ，a ( b ，c ) ) ： 文中处处假设卜范数是连续的 定义1 2 5 n 钔m e n g e r 概率度量空间( 简称m e n g e rp m 空间) 是一三元组 ( e ，f ，) ，其中( e ，f ) 是一删空间，是t 一范数，而且满足下面的m e n g e r 广义不等式： ( p m 一5 ) 对任意的x ，y ，z e ，l ，f 2 尺，有：六，：( f l + ，2 ) ( 六，y ( r 1 ) ，兀，：( f 2 ) ) ； s c h w e i z e r ，s k l a r 在他们的工作 1 】中研究了m e n g e r p m 空间中的某些拓扑 性质 定义1 2 6 t , o 设( e ，f ，) 是具有连续，一范数a 的m e n g e r 肼空间，则 3 第l 章引论 ( e ，f ，) 是由邻域系 【，。( 占，力) ：y e ，f o ，a o ) 所导出的h a u s d o r f f 空间，其 中u y ( 占，a ) = x e ：只，j ，( ) l 一名) 按照这一拓扑可以在( e ，f ，) 中引入以下概念： 定义1 2 7 t o l 设( e f ，) 是具有连续r 一范数的m e n g e r p m 空间， x 。 是 e 中的任意一点列， x 。) 被称为t - t 惭x e ，如果对v 占 0 ，五 0 ，存在正 整数= ( g ，允) ，当刀时，都有只拍( 占) 1 一五 定义1 2 8r l o 设( e ，f ，) 是具有连续卜范数的m e n g e r p m 空间， x 。) 被 称为e 中的 t - c a u c h y 列，如果对v s 0 ，旯 0 存在正整数n = n ( e ，旯) ，当 m ，n n 时，都有e ，p ) 1 一见 ， 定义1 2 9 t 9 m e n g e r 尸m 空间( e ，f ，) 称为是完备的，如果对e 中的每一 t a u c h y 列都昏收敛于e 中的某一点 1 9 6 3 年，a n s e r s t n e r 提出了概宰线性赋范空间，为概率度量空间的进一 步研究开辟了广阔的天地1 9 6 5 年，m j s e n e c h a u e 定义了概率内积空间，此后 还出现了多种形式的删空间和刚空间 定义1 2 1 0 n 町m e n g e r 概率线性赋范空间( 简称为m 一州空间) 是一三元 组( e ，f ，) ，其中e 是一实线性空间，是e 到。的映象( 记分布函数f ( x ) 为 六，又六( ，) 表示正在，r 的值) ，并且假定六，x e 满足下面的条件： ( p n 1 ) 正( o ) = 0 ； ( p n 一2 ) 六( ，) = h ( ，) ，v t r ，当且仅当x = 0 ； ( p n 一3 ) 对任一实数口0 ，厶( f ) = 六( ，! 口j ) ； ( p n 一4 ) 对任意的x ，y e ，t if 2 r ，若正( f i ) = 1 ，l ( t 2 ) = l ，则有： 4 第1 章引论 六+ j ，( ，l + ，2 ) = 1 ： ( p n - 5 ) 对任意的x ，y e ，及一切的t lt 2 r + ， 则有： 六+ y ( ，l + ，2 ) ( 六( ，1 ) ，乃( f 2 ) ) ； 定义1 2 1 1 m 1 设e 为实b a n a c h 空间，0 表示e 中的零元，非空凸闭集p 为 e 中的锥是指p 满足下列条件： ( 1 ) v x p ，名0ja x p ； ( 2 ) x 尸，一x p = ，石= 0 ； 用p o 表p 的内点集；如果p o 非空，则称尸是一个体锥 定义1 2 1 2 “3 给定e 中一个锥p 后，则可在e 中的元素间引入半序：x y ， 其中x ，y e ，女口果y x p 定义1 2 1 3 删若x y ，x y ，则记为x 0 使得当 秒x y 时。 i x l l n y ( 此性质称为范数关于p 是半单调的，满足此式的最 小的称为尸的正规常数) 定义1 2 1 5 6 4 1 算子a ：肜c e 专e 称为减( 增) 算子，如果任意x ，y w 且 x y 都有a y a x ( a y a x ) 定义1 2 1 6 算子a ：d e ( 其中d 是e 中一个凸集) 称为凹( 凸) 算子， 如果：彳( 红+ o - t ) y ) 厶缸+ ( 1 一t ) a y ( a ( t x + ( 1 一f ) 力“x + ( 1 一，) a y ) v x , y e p y l _ y x ， v t o ，l 】 定义1 2 1 7 嘲1 算子a ：形c e e 称为( 一伊) 一凸算子，如果存在函数 5 第1 章引论 缈：( 0 ，1 】r ye ( 0 l 】满足当。 ， 0 ，都存在口= 口( z ) 矽，= 觑x ) 0 使t t l u o 出伽o3 i i ) 对于任何满足口l 甜o 4 x 局甜。的x p ( 口l = 嘶( 功 秒，局= p l ( x ) 0 ) 以及0 t 0 存在，使a ( t x ) ( 1 + r 1 ) t a x 成立 第2 章概率度量空间中两类算子方程的解 第2 章概率度量空间中两类算子方程解的问题 本章我们主要利用拓扑度的方法，研究了m p n 空间中算子方程t x = x ( 1 ) 及z - p s 空间中算子方程戤= x 解的问题，并通过改变算子所满足的 边界条件，得到了一些新的定理 2 1 m - p n 空间中算子方程t x = g x ( 1 ) 解的问题 设x 是域k ( 实数域或复数域) 上的线性空间，称1 1 1 | 是x 上的一个范数， 若i i | | ：x r 满足条件： ( 1 ) 对任意x x ，i i x l l 0 ；且删= 0 ，当且仅当x = 秒； ( 2 ) 对任意x x 及口k ，0 锨= 例； ( 3 ) 对任意x ，y x ，l i x + y l lx l l + l y l l 定义2 1 1 4 2 】设d 是月中的一个区间，妒：d 一月，称缈是d 上的严格凸函 数，如果缈满足：妒慨+ ( 1 - t ) y ) 1 则非线性算子方程t x = 雄( a 1 ) 在d 中必有解 证明 令a ( t ) = ，”，v ，r + ，则，a ：r + 一r + 为增的严格凸函数且a ( 0 ) = 0 ， 故由定理2 1 1 可知推论2 1 1 的结论成立 推论2 1 2 设d 是m p n 空间( e ，f ，a ) 的开子集，( ，) ，v t o ，1 】， 又设t ：d 专e 紧连续，0 d ，如果存在一个满足a ( 0 ) = 0 及v r ，s 0 ，有 a ( ，( s + 1 ) ) 一彳( r s ) 0 的可导严格增函数a ：r + 一r + ，使得 粕孜一班( f ) x 0 ，令 j = y x ，f = 三，贝ux = s t ，y = s ( t + 1 ) ，于是 j a ( y ) = a ( j o + 1 ) ) a ( s t ) = a ( x ) ， 则可知彳( ，) ，f 0 是严格增函数由a ( t ) 是严格凸函数的一个充分必要条件是 a ( ，) 为严格增函数，可得彳( ，) ， 0 为严格凸函数又知a ( t ) 是增函数，于是由 定理2 1 1 可知非线性算子方程t x = 彤( 1 ) 在d 中必有解 注2 1 1 在推论2 1 1 中令n = 2 ，我们可以把它看作是文献 6 5 】中的a l t m a n 定理在m p n 空间中的推广，由此定理2 1 1 也可看成是文献 6 5 中的a l t m a n 定理在m p n 空间中的进一步推广 利用定理2 1 1 的证明方法，我们同样可得到下面的两个定理 定理2 1 2 设d 是m p n 空间( e ，f ，a ) 的开子集，a ( t ，f ) ，v t 【0 ，l 】， 又设t ：d - - e 紧连续，0 d ，如果存在严格凸函数a ：r + 哼足+ ，a ( o ) = 0 ，使得 1 0 第2 章概率度量空间中两类算子方程的解 n 一枷州批( ，) 厶( i i 纠) x ( r ) ，v x 扣 则非线性算子方程t x = , a x ( 1 ) 在d 中必有解 定理2 1 3 设d 是m p n 空间( e ，f ，a ) 的开子集，a ( t ，) f ，v t 【0 ，1 】， 又设t ：d e 紧连续，o d ，如果存在严格凸泛函a ：e - - r + ，a ( o ) = 0 ，使得 ( 孤一，) ，+ 一( ，no ) 厶( t x ) x ( ，) ，v x a d 。 则非线性算子方程戤= 厣( 1 ) 在d 中必有解 注2 1 2 定理2 1 2 和定理2 1 3 中对函数a ( 或泛涵a ) 不再要求其严格 增的条件，定理2 1 2 中彳为r + 专r + 的函数，定理2 1 3 中把a 推广为一般泛 函。 第2 章概率度量空间中两类算子方程的解 2 2 z - p - s 空间中算子方程a ：x 解的问题 引理2 2 1 1 3 0 设d 是m p n 空间( e ，f ，a ) 中的有界开子集，e 是无限维 空间，a ( t ，f ) f ，v t 【0 ，1 】，设t ：d e 是一个紧连续算子，若t x = x o ，觇历， 那么有 。e g ( 1 - t , d , o ) = 0 , x o 仨d 引理2 2 2 设d 是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的有界开子集，e 是一个无限维 空间，a ( t ，t ) ，v t 0 , 1 】，设t ：d 专e 是一个紧连续算子，若存在一个元素 口e 历，使得下列条件满足 聃r ( ，) f ( r ( ，) ， x o d ，j o ，佃) ，f o ，疗1 则d e g ( i r ，d ，乡) = 0 证明令 以( j ) = x 一( 1 一：o t x a a ，五 o ，1 】，x d 一 下面我们证明0 仨以( 劬) ，五 0 , 1 】 事实上，假设0 ( o d ) ，即：存在) t o o ，1 】，x 。o d ，使得0 = 九( x o ) ，也就是 x o 一( 1 3 o ) 戤。一厶口= 0 ( 2 2 1 ) 因此可知厶1 ( 否贝j j ；t o = l ，有= 口e 西，这与x o o d 矛盾) 1 t t ( 2 2 1 2 ) 可知t x 0 - - x 0 - - 南o 。吲) ，其中高加， 则可得 2 劬州( 晚 吲高肛o ， 这与引理2 2 2 中所给的条件矛盾 因此可得0 盛h z ( o d ) ，五【0 ，1 】 故由拓扑度的同伦不变性及引理2 2 1 ，我们得到 d e g ( i 一丁，d ，0 ) = d e g ( i 一口，d ，0 ) = 0 定理2 2 1 设d 是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的有界开子集，e 是一个无限 维空间，a ( t ，f ) ，v t o ，1 ，设t ：d e 是一个紧连续算子，若存在一个元素 a d ，使得下列条件满足 聃r ( ，) 厂( ) ( ，) ，x o d ，s o ，+ o o ) ，t o ，门1 则t x = x 在d 中有解 证明 令h 五( x ) = x 一( 1 一旯) z k 一五口，见 0 ，1 】，x 乃 1 2 第2 章概率度量空间中两类算子方程的解 下面我们证明0 叠h x ( a d ) ，旯【o ，1 】 事实上，假设9 h a ( o d ) ，即：存在厶 0 ，1 】，0 1 ) ，使得秒= h 厶( x o ) ，也就是 x o 一( 1 一厶) t x o 一厶口，= 0 ( 2 2 2 ) 因此可知厶1 ( 否则厶= 1 ，有= a d ，这与x o 扣矛盾) 由( 2 2 2 ) 可知t x 。一= # 导( x o 一日) ，其中# 等0 ， l 一l 一 ， 则可得 f ( t x o - x 。) ( 忙告九州”劬，高2 o ， 这与定理2 2 1 中所给的条件矛盾 因此可得 秒萑h 五( 0 1 9 ) ，名 o ，1 】 故由拓扑度的同伦不变性可得d e g ( h 。，d ，0 ) = d e g ( h l ，d ，臼) ，即 d e g ( i 一丁，d ，9 ) = d e g ( i a ，d ，秒) 由引理2 2 1 ，我们得到 d e g ( i 一丁，d ，秒) = d e g ( i a ，d ，秒) = 1 这样由拓扑度的知识，我们得到丁在d 中有不动点，即t x = x 在d 中有解 定理2 2 2 设d 是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的有界开子集，e 是一个无限维 空间，( f ，f ) f ，v t o ，1 】，设t ：d 寸e 是一个紧连续算子，若存在一个元素 a d ，使得下列条件满足 酬一，( f ) 厂h ( f ) ，x 劬，s 【o ，佃) ，f o ，刀1 则t x = x 在d 中有解 。 证明令h z ( x ) = x 一( 1 一z ) t x a a ，a 【o ，1 】，x d 下面我们证明0 垡h a ( 0 1 9 ) ，旯【o ，1 】 事实上，假设伊h a ( s d ) ，即：存在2 0 【0 ，1 】，0 1 9 ，使得秒= h 如( ) ，也就是 x o 一( 1 2 0 ) t x o 一厶口，= 0 ( 2 2 3 ) 因此可知厶l ( 否则；t o = 1 ，有= 口d ，这与扣矛盾) 由( 2 2 3 ) 可知t x o 一= l 斗( - a ) ，其中# 0 ， l 一 i 一伽 ， 婀得 f u - o - o l ；( 垆劬州峋( 吐扣，奇硷o ， 这与定理2 2 2 中所给的条件矛盾 因此可得0 仨h a ( 0 d ) ，旯【0 ，1 】 故由拓扑度的同伦不变性可得d e g ( h o ，d ，0 ) = d e g ( 1 气，d ，0 ) ，即 d e g ( 1 一丁，d ，0 ) = d e g ( i a ，d ，9 ) 1 3 第2 章概率度量空间中两类算子方程的解 因为a d ，由引理2 2 1 ，我们得到 d e g ( i l 口秒) = d e g ( i 一口，d ，秒) = 1 这样由拓扑度的知识，我们得到r 在d 中有不动点，即t x = x 在d 中有解 由定理2 2 1 的证明过程及引理2 2 2 的结论，我们可以容易证明出下面两个 定理2 2 3 和定理2 2 4 定理2 2 3 设d 1 ，d ，是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的两个有界开子集，e 是一 个无限维空间，( f ，t ) f ，v t o ，l 】，巨n 巨= ，设t ：ej e 是一个紧连续算子， 若存在一个元素a d ，使得下列条件满足 ( 1 0 ) n 叫。o ) f ( ，训。( f ) ，v x 0 1 9 l ，f o ，s o ，+ o o ) n ； ( 2 0 ) 彳取叫( f ) o ，s o , + o o ) n ； ( 3 0 ) 0 萑( ，一r ) ( e qud 2 ) 则t x = x 在d 中有解 定理2 2 4 设n ，d ，是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的两个有界开子集，e 是一 个无限维空间，a ( t ，f ) f ，v t 【o ，1 】，巨r 、压= 矽，设t ：e 磅e 是一个紧连续算子， 若存在一个元素口d 1 ，使得下列条件满足 ( 1 0 ) 脚r ( ，) o ，s 0 , + o o ) n n ； ( 2 0 ) 豫叫。( f ) f ( r ( f ) ，v x o d 2 , f o ，s 0 , + o o ) n n ； ( 3 0 ) 秒萑( ，一丁) ( e qud 2 ) 则t x = x 在d 中有解 定理2 2 5 设d 是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的有界开子集，e 是一个无限维 空间，a ( t ，f ) ，v t 【0 ，1 】，设t ：d e 是一个紧连续算子，若存在一个元素 a d ，t o = 0 且4 在0 1 9 上没有不动点，使得下列条件满足 m 尸) o ，刀n ( 2 。2 4 ) 则t x = x 在d 中有解 证明令h z ( x ) = x 一( 1 一g ) t x 一2 a ，五【o ，l 】，x d 下面我们证明0 叠h z ( o d ) ，见 o ，1 】 事实上，假设0 h a ( 扣) ，即：存在厶【o ，1 】，加，使得0 = h 厶( ) ，也就是 x 0 一( 1 一, t o ) t x o 一, z o a ，= 0 ( 2 2 5 ) 因此可知厶l ( 否则厶= l ，有x o = a d ，这与a d 矛盾) ，且厶o ( 否则 1 4 第2 章概率度量空间中两类算子方程的解 九= o ，有t x o = x 0 这与定理2 2 5 中丁在扣没有不动点矛盾) 故0 厶 1 ，从而 e h ( 2 2 5 ) 式得到 a o x o = 斗( - a ) (22xo 6 ) l x o 一2 = l x o l z o j l 一 将( 2 2 6 ) 代x ( 2 2 4 ) 中得到 扣洲。卜c 州一征以p 0 胙m 因此 f ( x - - a ) n ( ( 等n h 焉等吐 ( 2 2 7 ) 因为( e ，f ，a ) 是一个z p s 空间，故由x o - a 9 ( 否则x o - a = 秒，则有x o = a ，这 与x 。o d 矛盾) ，于是( 一口) ”0 这样由分布函数的不减性及( 2 2 7 ) 式可得 ( 导卜斋等棚1 + ( 1 _ 训砜”这与1 - w 嘲 因此有0 诺h 五( 8 1 ) ) ，v 兄【0 , i 】 故由拓扑度的同伦不变性的性质可知， d e g ( i 一丁，d ，0 ) = d e g ( i 一口，d ，p ) ( 2 2 8 ) 由于口d ，故由引理2 2 1 及( 2 2 8 ) 式可得 d e g ( i 一丁，d ，秒) = d e g ( i a ，d ，乡) = 1 ( 2 2 9 ) 这样由拓扑度的知识及( 2 2 9 ) 式，我们得到丁在d 中有不动点，即t x = x 在d 中有解 定理2 2 6 设d 是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的一个有界开子集，e 是一个 无限维空间，a ( t ，f ) r ，v t o ，1 】，设t ：d 专e 是一个紧连续算子，若存在一个 元素a d ，t o = 乡且么在如上没有不动点，使得下列条件满足 o 一，( r ) o ，珂n ( 2 2 1 0 ) 则t x = x 在d 中有解 证明 令办五( x ) = x 一( 1 一无) 戤一勉，名【0 ，1 】，x 历 下面我们证明0 仨以( 0 d ) ，旯 o ，1 】 事实上，假设0 以( 扣) ，即：存在厶 0 ，1 】，x o a d ，使得秒= h 厶( x o ) ，也就是 x o 一( 1 一厶) a o 一厶口，= 0 ( 2 2 1 1 ) 因此可知厶1 ( 否则气= 1 ，有x 。= a d ，这与x o 扣矛盾) ，且厶0 ( 否则 气= 0 ，有i x 。= ，这与定理2 2 6 中丁在8 1 ) 没有不动点矛盾) 故0 厶 n 叫。+ ( ，- 口) ( ，) ， v x 0 1 ) ， o ，1 1 ( 2 2 1 6 ) 则t x = x 在d 中有解 证明 令h a ( x ) = x 一( 1 一a ) t x 一砌，旯【o ，1 】，x d 下面我们证明0 正h z ( 0 1 9 ) ，五 0 ，1 】 事实上，假设0 h a ( 扣) ，即：存在厶【o ，1 】，0 d ，使得0 = h 矗( ) ，也就是 x o 一( 1 一厶) 戤。一厶口，= 0 ( 2 2 1 7 ) 因此可知九1 ( 否则厶= 1 ，有= a d ，这与x o 扣矛盾) ，且厶o ( 否则 2 0 = 0 ，有a x 。= ，这与定理2 2 7 中a 在扣没有不动点矛盾) 故0 0,n(2219) 因为( e ，f ，) 是一个z - p s 空间，故由x o - a 乡( 否则一a = 0 ，则有x o = a ， 这与x o o d 矛盾) ，于是( x o 一口) ”目这样由分布函数的不减性及( 2 2 1 9 ) 式可得 ”纠 等，( 2 2 2 0 ) 因为(1一厶)”1，等1，厶【o，l】，故与(222。)式矛盾因此有 0 萑h 五( 0 d ) ，v 旯【0 , 1 】 故由拓扑度的同伦不变性可知， d e g ( 1 一t ，d ，秒) = d e g ( i a ，d ，口) ( 2 2 2 1 ) 由于a d ，故由引理2 2 1 及( 2 2 2 1 ) 式可得 d e g ( i t ，d ，9 ) = d e g ( i a ，d ，0 ) = 1 ( 2 2 2 2 ) 这样由拓扑度的知识及( 2 2 2 2 ) 式，我们得到t 在d 中有不动点，即t x = x 在 d 中有解 类似定理2 2 6 和定理2 2 7 的证明，我们可得下面定理2 2 8 定理2 2 8 设d 是z p s 空间( e ，f ，a ) 中的一个有界开子集，e 是一个无 限维空间，( ，) f ，v t 【0 , 1 】，设t ：d 寸e 是一个紧连续算子，若存在一个元 素a d ，阳= 秒且丁在上没有不动点，使得下列条件满足 r * - a l l 一。( f ) 石触m ，( r ) ，垤扣，f o ，b e 则t x = x 在d 中有解 第3 章概率度量空间中同有值和固有元问题 第3 章概率度量空间中固有值和固有元问题 本章主要研究算子的固有值和固有元的存在性问题，通过改变算子所满足 的边界条件，利用拓扑度的方法，得到了算子丁具有大于1 的固有值兄，且在o d 上存在对应于五的固有元的些新的定理 3 1相关知识及定义 为方便起见，我们首先回顾一些定义 定义3 1 1 【2 8 】设( e ，f ，) 是一个m p n 空间，dce ，0 d 又设a ：d 一一e 是一个紧连续算子，且a 0 = 0 ，若名是某实数，x 。d 满足x 。乡且 厶。( f ) = 氏( ，) ，v t 0 ， 则称见是丁在d 中的固有值，x 。是丁的属于兄的固有元 定义3 1 2 【2 8 】如果m p n 空间( e ，f ，a ) 满足下列