（电力电子与电力传动专业论文）电磁层析成像图像重建的仿真研究.pdf

上海海事大学顿十学位论文 电磁层析威像图像重建的仿真研究 a b s t r a c t e l e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y ( e m t ) ，w h i c hd e v e l o p e ds i n c et h ee a r l y1 9 9 0 ，s ，i s an o v e lp r o c e s st o m o g r a p h y ( 啊t e c h n i q u e i th a sm a n yp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si n i n d u s t r i a lf i e l d s , s u c ha sm i n e r a l p r o c e s s i n g , f o r e i g nb o d yd e t e c t i o ni n f o o d p r o c e s s i n ga n dt h r e e - p h a s ef l o wm e a s u r e m e n ti ns e ao i lf i e l d n o w a d a y s e m t t e c h n i q u ei ss t i l lo nd e v e l o p i n g f o r w a r dp r o b l e ma n di n v e r s ep r o b l e mw e r et w om a i nr e s e a r c ha s p e c t so fe m t t e c h n i q u e i nt h i sp a p e r , t h es o l u t i o n so ft h et w op r o b l e m sw c r cs t u d i e do nt h eb a s i so f t h ef u n d a m e n t a l so f t e m t - i is y s t e m ，w h i c hw a sd e v e l o p e db yt h ep tl a bo f t i a n j i n u n i v e r s i t y , a n ds o m ea c h i e v e m e n t sh a v e b e e nm a d ea sf o l l o w s ( t ) t h i st h e s i s i n t r o d u c e dt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h mo fe l e c t r i c a l t o m o g r a p h yt e c h n i q u e ，a n dh a sas p e c i a l t ya n a l y s i sf o rt h em a i na l g o r i t h mo fe m t s u c ha sl i n e a rb a c kp r o j e c t i o na l g o r i t h mb a s e do nt h ec o e f f i c i e n t so fs e n s i t i v i t y , t d d a o n o vr e g n l a r i z a t i o n ，l a n d w e b e ri t e r a t i o n a l g o r i t h ma n dn e w t o n r a p h s o n a l g o r i t h mf o re m t a n di th a sac o m p a r i s o ni nt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o ne f f e c tf o r t h e a l g o r i t h m sa b o v e ( 2 ) ，1 1 1 ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) w a su s e dt os o l v e dt h ee m tf o r w a r d p r o b l e mn u m e r i c a l l y , t h ed i g i t i z e ds o l u t i o nt ot h ee m tf o r w a r dp r o b l e mu s i n gf i n i t e e l e m e n tm e t h o d ( f e m ) w a sc o n d u c e d a n df i n i t ee l e m e n td i v i s i o ni s u s e di n d s c r e t z a t i o no ft h em a t h e m a t i c a li n t e g r a le q u a t i o n sw h i c hi st r a n s f o r m e dt oam a t r i x e q u a t i o nu l t i m a t e l y o ) i n t h ep r o c e s so ft h ei m a g er e c o n s t r u c t i o n ，an e wk i n do fi m a g er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h mi sp r o p o s e db a s e do nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df n i t ee l e m e n tm e t h o d a n dt h i sp a p e re x p o u n d st h et h e o r ya n dt h ea p p r o a c ho ft h ei m a g er e c o n s t r u c t i o no f e m tb a s e d0 1 1t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d b e s i d e s ，t h i sp a p e rh a st h es i m u l a t i o n e x p e r i m e n tf o rt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o no fe m tb a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d c o u p l e dw i t ht h ea n a l y s i so ft h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t a lr e s u l t so f i m a g e r e c o n s t r u c t i o n f ：海海事大学硕士学位论文 电磁层析成像图像重建的仿真研究 f i n a l l y , s u g g e s t i o nf o rf u r t h e ri m p r o v e m e n tf o rt h es i m u l a t i o ns t u d yo ft h ee m t w a sg i v e ni nt h el a s tp a r t k e yw o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y i n v e r s ep r o b l e m f o r w a r dp r o b l e mf i n i t ee l e m e n tm e t h o d i m a g er e c o n s t r u c t i o n y u a n s h e n gh e ( p o w e re l e c t r o n i c sa n de l e c t r i cd r i v e s ) h i 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究：【：作及取得的研究成果。 论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包括其他人或其他机构已 经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 作耆签名：4 互丑膛日期：丝呸z ：z 论文使用授权声明 本人同意上海海事大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以上网公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名幅姚导师签名 上海海事大学硕士学位论文电磁层析成像图像莺建的仿真研究 1 绪论 1 1x 射线计算机层析成像技术( x - c t ) c t 是c o m p u t e r i z e dt o m o 伊a p h y 的简称，即计算机层析成像技术，最早就是 指x c t 。以平移旋转方式的c t 装置为例( 见图1 - 1 ) ，基本检测过程如下i l j ： 取一理想的x 射线源，发出笔束x 射线，在其对面设一检测器，测出x 射 线源发出的强度如，以及经过物体( 例如头颅) 衰减以后到达检测器的x 射线 强度，再将x 射线源与检测器同步平移相同的步数，每平移一步均作同样测量。 如此得到一组数据。然后旋转一个小角度，再同步平移，取得新角度下的另一组 数据，如此重复直至旋转n 次，得到n 组数据。 图1 - 1x - c t 原理示意图 假设物体对于x 射线的线性衰减系数为( x ，y ) ，则x 射线沿某条路径工 的总衰减为： r 脚ii n ( o t ) ( 1 - 1 ) t 此即射线投影。r ，趔称为投影( 详细定义见第二章) ，而如果从一系列的投影 r 脚推求被积函数，就是从投影重建图像。 c t 的数理基础则要追溯到1 9 1 7 年德国数学家r a d o n 的贡献【。r a d o n 证明 了以下的定理：设，为极变量，和毋的函数，并满足当d e 时，( ，妒) 1 0 ，假设， 是平方可积的，即积分f 公( ，( ，庐) ) 2 耐磁矿存在；定义r a d 衄算子【i i ，】( l 矽) ， 则r a d o n 交换为。 上海海事大学硕t 学位论文电磁层析成像图像蘑建的仿真研究 即，口) 。 r i l l , o ) 。，畸，口+ t a n 一1 g ，她 ( 1 2 ) 定义r a d o n 逆交换算子为r - 1 ( ，夺) ，满足r 1e - - f ，则r a d o n 逆变换为： ，( r ，妒) 一k 4 尸1 ，妒) - 石1 小j - 。i 聂万1 = 两= 了毋o ，日 l i d 口( 1 - 3 ) r a d o n 变换和r a d o n 逆变换分别见示意图1 - 2 、1 - 3 。马f f ，功为p ( ，口) 关于第 一变量z 的偏导数，式( 1 - 2 ) 、( 1 - 3 ) 中各量的意义见图1 2 。 y j f 蕊 k y 之 弑以钟 f铭熊 0 图1 - 2r a d o n 变换几何示意图 图1 - 3r a d o n 逆变换几何示意图 以算子形式表示r a d o n 逆变换为： m 纠= 1 ( 2 ) 盘础d p ( 1 - 4 ) 其中，毋、卯、d 分别是反投影算子、希尔伯特算子和微分算子。式( 1 - 2 ) 实 际上就是射线投影，式( 1 - 3 ) 则是根据投影尸重建图像月i 纠。r a d o n 变换的实 质是沿直线积分，也被称为古典r a d o n 变换。 2 0 世纪7 0 年代初r a d o n 的论文被发现作为c t 的基础，在此基础上第一台 临床用的c t 装置于1 9 7 2 年由英国e m i 公司的工程师h o u n s f i e l d 研制成功，并 应用于临床诊断，目前己在医学工程中得到了广泛应用。 1 2 电学层析成象技术 过程层析成象技术( p d 是2 0 世纪八十年代中期正式形成和发展起来的一种 将计算机断层扫描技术应用于工业过程参数分布状况的在线实时检测技术1 4 l 。它 的基本原理与医用c t 相同，但在信息的获取方式、处理方法、结果的应用上， 和医用c t 有显著的不同之处。 p t 发展中引人注目的是基于电学敏感原理的电学层析成象技术，主要包括 电容层析成象( e c r ) 、电阻抗层析成象( e r t ) 和电磁感应层析成象( e m t ) 。 2 上海海事人学硕士学位论文电磁层析成像图像重建的仿真研究 电学层析成象系统由以下三个主要部分构成， 1 ) 。获取被测物场信息的空间敏感阵列，在电压，电流激励下，形成一个可从 不同观测角度扫掠被测物场的空间敏感场，物场内部组分分布或结构的运动变化 对敏感场产生调制作用，使传感阵列输出相应的信号。 劲数据采集预处理单元，它的任务是快速实时地采集空间敏感阵列输出的 反映被测物场二维三维分布状态的大量的瞬变信号，并完成相应的解调，滤波 处理，以获得直接反映物场变化的信息( 包括实部，虚部以及模与相位等) ； 3 ) 图象重建与物场参数提取单元，它的任务是运用图象重建算法，根据处 理后的数据获得被测物场的二维或三维图像及其变化的时问历程使他们直接看 到过程设备或装置内部某个截面上组分的分布，同时又可运用相应的基于知识 工程的软件库，提取出被测物场的特征信息，如相含率，相速度等。 电容成像技术作为最早发展起来的电成像技术，目前已出现了商业化的e c t 系统。目前e c t 已被应用于粉体材料的输送过程、流化床的检测、油气两相流、 燃烧过程成像等。1 9 9 5 年英国p r o c e s st o m o g r a p h yl t d 推出了商品化的e c t 系 统( p t l 2 0 0 ) 。已有小型仪器公司在生产、销售电容层析成象系统。该系统可在 实验室中应用，在线辨识两相管流流型和检测相含率及其分布l 习。 电阻成像技术也有较快的发展1 6 j ，英国u m l s t 的p t 小组在搅拌器和旋流器 等实验装置上进行了e r t 的应用性研究。中国浙江工学院开发出应用于土壤环 境监测的e r t 系统，北京航空航天大学等单位也在e r t 实验系统和图象重建算 法方面做了不少工作。天津大学徐苓安教授领导的p t 小组不仅开发用于国家重 点实验室精镏塔的实时观测的e r t 系统，也正与中科院力学所合作进行e r t 用 于气腋两相管流在线监测的研究。 1 3 电磁层析成象技术( e m i ) 的发展及现状 在电成像技术中最新和研究最不充分的可能就是电磁层析成象技术了。电磁 层析成象技术( e m t ) 是一种基于电磁感应原理的电成像层析技术，通过获取反映 被测物场空间导磁率。和导电率的分布信息的边界测量值，通过一定的图象重 建算法得到物场分布的信息，进而得到物场的特征参数。它的工作过程与其他电 成像技术相似，大致可以分为四个部分1 8 】： 1 ) 被测场域受电流激励形成敏感场； 2 ) 被测物场内导电或导磁媒质的存在使敏感场分布发生变化； ，测量边界电压； 钔图象重建( 等价于逆问题的求解) ，由测量值得到场域内的媒质分布。 3 上海海事丈学硕上学位论文 电融层析成像图像章建的仿真研究 一个典型的e m t 系统结构见图1 4 。 翻1 4 e m t 系统结构图 e m t 技术于2 0 世纪9 0 年代发展起来，目前仍在进一步探索中。e m t 的研 究主要包括正问题和逆问题，在已知o 和l i 的分布时，求解磁场的空间分布和检 测线圈的输出信号称为j 下问题，它包括传感器结构的研究，敏感场的分析及数据 采集和处理电路的设计。而已知检测信号，寻找o 和1 1 的分布则被称为逆问题， 它是e m t 图象重建的关键，它包括图象重建算法的设计和实现。此外e m t 的 研究还包括e m t 的应用研究，以解决e m t 的工程化中出现的问题，并探索e m t 在实际问题中应用的可能性。 e m t 正问题的描述可由m a x w e l l 方程组来描述。在文献【5 】中得到了在平行 场e m t 系统中，当一个圆柱物体处在管道中时检测信号的解析解。通过对解的 表达式的分析，获得了不同电磁特性分布下检测信号的变化特征，此外还提出了 测量极限的概念，这对硬件系统的设计，如激励频率的选择和硬件电路的性能要 求确定有一定的指导意义；而对于物场分布比较复杂的情况则需要将有限元方法 应用于正问题的求解中。 电学层析成像中的逆问题的求解即图像重建面临巨大困难，至今还没有一个 完全的严格的理论上的阐述和求解方法嗍，目前大部分e m t 的图象重建算法都 来自医学c t ，详细阐述见第三章。 由于e m t 在许多领域如异物检测及定位，海上油田输油管道油气，水三相流 中水的测量，食品监测等许多领域中都有应用的潜力，因此它是一种极有发展前 途的过程在线检测技术。欧洲联盟科技委员会拨款支持英国l a n c a s t e r 和葡萄牙 a v e i r o 大学合作完善和发展这种新的成像技术，目的在于得到一种高频的用于海 上油田开发和高速旋转机械在线安全监测的e m t 系统。中国天津大学p t 小组 于1 9 9 6 年1 月1 9 9 9 年1 2 月在中国国家自然科学基金委员会资助下完成了一种 新型e m t 系统的开发，获得国家专利，并于1 9 9 9 年1 月起又一次获得国家科 委的资助进行e m t 系统逆问题的专项研究。 4 上海海事大学硕士学位论文 电磁层析成像图像重建的仿真研究 在国外，英国的l a n c a s t e r 大学和葡萄亚的a v e r i a o 大学在e m t 的研究中占 领先地位。 a l b r e c h t s e n 等进行了e m t 应用于多相流测量的初步的静态实验，通过对不 同流型的海水分布的实验表明，e m t 有可能应用于多相流检测中i l ”。 l a u 等研究了e m t 技术与b p 神经网络结合进行金属物体的缺陷检测l ”。首 先确定了描述被测物体的特性参数，然后利用样本集对神经网络进行训练。最后 将训练好的神经网络应用到实际问题中，直接由检测信号得到被测物体的状态， 在该系统中不需要对被测物体进行重建。 英国的p e y t o n 、b o r g e s 等目前在e m t 研究方面处于领先地位，他们做了 大量工作，总结了e m t 系统传感器阵列的优化设计、调节电路、重建算法等1 9 】， 并形成了模块化的硬件系统和软件框架结构。为了得到垂直于测量截面的图象， p e y t o n 等还从仿真角度证明了一种新型的平面阵列的e m t 系统的可行性嗍，平 面阵列是指检测线圈和激励电极位于一个平面上( 如位于被测物场的同一侧) ， 依次激励电极得到各个投影下的数据。 1 4 电磁层析成象技术( e m t ) 测量系统 在e m t 发展的初期，曾出现了一种生物实验用的e m t 系统1 1 0 l ( 见图1 5 ) ， 该系统的激励和检测部分各由一个线圈构成，也就是两线圈的e m t 系统。在激 励线圈中通以一定频率的正弦交流电，检测线圈与连接导线的电容和调制激励频 率的检测电路构成共振电路。待成像的物体放在转盘上，它可以在水平面内沿着 两个线圈间的轴线转动，从而产生所需的投影数。将投影数据传至计算机进行图 象重建，两线圈形成的场与硬场相似，因此可用硬场的重建算法。这种系统被用 于矩形盐水罐中铝圆柱体的图象重建。 巨叵画叵司 图1 5 生物实验用的两电极e m t 系统 1 4 1e m t 两电极系统 俄罗斯的科学家a v k o r z h e n e v s k i ia n dv a c h e r e p e n i n 设计出了一种电 5 上海海事人学硕士学位论文电磁层析成像图像荤建的仿真研究 磁层析成像的系统【1 5 】【1 6 【1 7 1 1 1 8 】，为两个相同电导率的转子对( 图1 6 ) 。其中一个 作为感应线圈连接到一个频率为的交流电压源u ；，另一个作为检测线圈连接到 测量感应电动势的测量仪器，中间放置待检测物体。为了集齐图像重建必要的数 据，一个层析成像必须包含放置在模版中感应线圈和检测线圈。以最简单的结构 来说，电感器线圈和检测器线圈将围绕物体放置成一个圆圈( 图1 7 ) ，1 为感应 线圈和检测线圈，2 为磁屏蔽层。一般来说，相同的线圈能轮流地作为感应线圈 或检测线圈。然而，特定线圈的使用仅是为了去除切换问题和确保必须的阻抗匹 配，并且，更重要的是，感应线圈和检测线圈还可能有不同的转子数。在一个测 量系统中，一个感应线圈被激励并且所有的检测线圈将感应到这个激励。这个过 程将对所有的感应线圈重复。初始相位角取决于信号处理中的延迟、位于感应电 场结构组成的影响和层析成像和储存在记忆中的运行区域内部测试物体的测量 类型。装有同种性质或非同种性质得到电介质的测试空间的初始相位角也能被测 量出来或被计算出来。因此，可视化质量能通过抵消背景的电导率而改进，或者 得到动态图像( 电导率改变的可视化) 。 图1 6e m t 测量系统图1 7e m t 系统的线圈结构图 1 4 2 具有似平行场的e m t 激励系统 在本课题的研究中，作者采用了可产生空间似平行场的多激励方式的e m t 系纠1 2 l f l 3 1 1 4 j ，其激励与检测分离，截面图见图1 8 。在一个投影方向下，在激励 线圈上施加呈正弦分布的交流电流，可以实现平行场激励，而如果在此基础上在 某些激励上施加标记电流，那么空场时磁场分布接近平行场。研究证明，这两种 激励方式都能增加投影独立数。本文所做大部分工作是基于该种系统的。 6 上海海事大学硕上学位论文 电磁层析成像图像重建的仿真研究 矿 蕊衫 心掺晔圈 弦 j 少屏；、每 图1 8 具有似平行场的e m t 激励系统截面图 1 5 本课题主要研究内容及本论文组织 本课题作为国家自然科学基金项目“电磁层析成像技术逆问题的数理特性研 究及图像重建( 批准号6 0 5 0 2 0 0 7 ) 的一个组成部分，作者利用有限元法解e m t 系统的正问题，研究了e m t 系统的图象重建。 本文详细阐述了有限元解e m t 正问题的计算机实现过程；通过有限元剖分 将表征系统的数学方程离散化，并转化成为矩阵方程组求解正问题；在图像重建 过程中，从系统的数学模型出发，结合有限元法的计算原理，形成一种新的基于 微分方程和有限元法的图像重建算法。 本文共分五章。 第一章为绪论，介绍了电学过程层析成象技术和电磁层析成象( e m t ) 技 术的发展历史和研究现状。 第二章阐述了e m t 系统正问题和你问题的一般原理以及有限元法的一般原 理，并将有限元法用了e m t 系统正问题求解原理。 第三章介绍了e m t 系统的图像重建的仿真研究。主要介绍了e m t 系统图 像重建的一些算法，并对几个常用的算法基于灵敏度系数的反投影法、 t i k h o n o v 正则化法、l a n d w e b e r 迭代法、n e w t o n r a p h s o n 迭代法，作了详细的描 述。 第四章给出了基于有限元法的e m t 图像重建算法构建原理和步骤。从系统 的数学模型出发，详细推导了系统矩阵方程的集成原理及各关键矩阵的计算机求 解步骤，并给出具体的计算e m t 正问题和逆问题的思想和步骤，进行了基于有 限元法的e m t 图像重建的仿真试验。 第五章为总结和结论，并提出了对e m t 下阶段工作的建议和初步设想。 7 上海海事大学硕士学位论文电磁层析成像图像重建的仿真研究 2 有限元法解电磁层析成像正问题 2 1 正阎题和逆问题综述 正问题和逆问题总是成对出现的，它们是普遍存在于科学技术领域的公共性 问题，如在地球物理研究、无损检测、遥感、图像识别、飞机翼型设计、医学成 像、层析成像等领域f ”1 1 2 0 l 。 对于某个物理过程或现象，它的正问题研究是在表示该物理过程的数学方程 的基础上，根据系统的状态变量的某些特定条件( 如初始条件、边界条件等) 来 确定整个系统的状态变量的变化规律，即研究状态的数学表达式。而如果某些已 知条件变成未知条件，而原来的未知函数仍然是未知的，或者只知道与这些未知 函数的一些有关信息，需要通过方程、定解条件等来确定这些未知量，这就称为 逆问题i 刎。 2 1 1e t 正问题 电层析成像技术的正问题研究是必不可少的一部分，它可以概述为：已知被 测物场分布、敏感场的初始及边界条件，求电磁场的分布。不同的电层析成像技 术作用机理不同，但其正问题求解方法是基本一致的，可分为解析计算法和数值 分析法【2 1 h e e l 。 解析计算法首先要建立正确的场模型，然后利用数理方法经理论推导，求得 物场内电磁场的分布，从而求得物场边界上的测量量( 一般为电势) 的解析结果。 这种方法推导过程复杂，一般只适用于二维的均匀场或简单非均匀场分布的情 况，对于二维复杂非均匀场和三维场则很难求得解析解。 数值分析的方法主要有边晃元素法( b e m ) 、有限差分法( f d m ) 和有限单 元法( f e m ) 等三种。有限差分法比较简单，通过在场域中取有限个点，用有限 差分方程来近似代替偏微分方程，求取场函数在各离散点的值。这种方法适用于 静态场和时变场问题的求解。 边界元素法是形成比较晚的一种方法，它是边界积分法和有限元法的离散方 程式结合的产物。它把描述场的微分方程通过加权余量法归结为边界上的积分方 程，然后把这个积分方程像有限元那样进行边界分割与插值，从而求出微分方程 的近似解。这种方法兼有边界积分法和有限元法的优点，但不足之处是计算量大。 有限元法是一种近似求解某些工程问题的方法，它从变分原理出发，通过区 8 上海海事丈学硕上学位论文电磁层析成像图像重建的仿真研究 域剖分和分片插值，把二次泛函的极值问题简化为普通多元二次函数的极值问 题，后者等价于一组线性方程组的求解，从而简化连续场的分析。有限元法可用 于任何微分方程所描述的各类物理场，同样适用于时变场、非线性场以及分层介 质中的电磁场求解等。 2 1 2e m t 的正问题研究 e m t 系统的正问题可以简述为：在已知被测物场分布函数f ( 即导电率。或 导磁率i l 分布) 时，求解电磁场的空间分布和检测线圈的输出信号y 。 对e m t 系统的正问题进行研究，不仅有助于我们更好的了解系统机理，同 时，也能对系统敏感阵列的设计和优化起指导作用，还对图像重建算法的设计和 改进以及图像质量的评判等也都有借鉴作用1 2 1 笠1 1 2 3 1 ： 1 ) 正问题的求解为传感器设计提供了理论基础和有效依据。例如，可以通 过正问题的数值计算考察各个参数对系统性能的影响，从而既为系统设 计提供了有效依据，也提高了设计效率； 2 ) 通过正问题的解析求解获得系统的响应特性，定量地表征了系统的内部 作用机制，有助于我们了解系统内部敏感场与物场空间的相互作用； 3 1 正问题的求解可以为未知物场测量( 图像重建) 提供先验知识和研究基 础。例如，灵敏度分布的获得是一般图像重建算法的基础和条件，而它 可以通过正问题的解析求解或数值求解得到。 e m t 正问题的研究主要采用以下两种方法：一是利用解析计算法【矧，即 m a x w e l l 电磁场方程解e m t 的数学模型。它可以精确地求解e m t 的正问题，通 过对解的表达式的分析，可以了解到e m t 敏感场与被测物场相互作用的般规 律，但这种方法目前还仅适用于物场中单媒质分布的简单情况。二是利用有限元 法求解电磁场问题，在物场分布较复杂时，将被测域离散化，将e m t 的非线性 问题线性化，得到有关系统的大型线性方程组，从而得到系统输出的近似解，即 正问题的数值解。由于被测物场的复杂性，我们在e m t 正问题的求解中也主要 采用有限元法。 2 2 有限元法解e m t 正问题 2 2 1 物理方程1 1 4 3 e l 一般e m t 系统采用某个频率m 下的正弦波激励，电磁场强度矢量的各个分 量都随时间t 以相同的频率m 作简谐变化，以j 向的电场强度层。为例， 9 上海海事大学硕士学位论文 电磁层析成像图像重建的仿真研究 e ，一e m e “ ( 以为相位) 。 首先我们假设e m t 电磁敏感场遵循稳态场的规律且符合二维场分布，且认 为被测物体是线性的和各向同性的，那么在正弦波激励条件下，e m t 系统的无 源区电磁场满足如下谐变形式的m a x w e l l 方程组： i v h j + j w d 三；j 棚( 2 - 1 ) i v b _ o 【v d 。o 假设被测物体是线性的和各项同性的，即满足： b 一，l ，d 一出，j o e ( 2 - 2 ) h 、e 、口、d 分别为磁场强度矢量、电场强度矢量、磁感应强度矢量和电位 移矢量，为传导电流密度矢量，“、盯、f 分别为导磁率、导电率和介电常数。 定义矢量磁位a ，满足v x a1 口，当导磁率i i 的为常数时，利用矢量恒等式 v x v x az v ( v 爿) 一v 铂，方程组( 2 1 ) 可以化简为 z 。1 v 2 a - j n 舡4 然后根据不同系统中激励线圈的分布情况， 统完整的数学描述。 ( 2 3 ) 确定相应的边界条件，得到e m t 系 在平行场激励方式下，激励电流在管道圆周上成正弦分布，此时敏感场满足 方程和边界条件： p 4 幻軎+ 争一j o , o ( x 彬 剿墙；n ： p o n k 2 + y z r 2 其中：由为激励极板所在的相对空间角度。r 是激励极板所在的圆周半径，为 检测线圈上流过的电流。 2 2 2 有限元法的般原理 有限元法的原理在数学上首先由r c o u r a n t 提出，早期在力学中用于结构分 析。这一名称在2 0 世纪6 0 年代正式出席出现在r w c l o u g h 得著作中，直到1 9 6 8 年才开始用于求解电磁场问题。 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m ) 与求解某些数学或物理问题 相关联，这些问题通常在一个连续区域内，通过局部的微分方程或与其等价的整 1 0 上海海事大学颐上学位论文电磁层析成像图像重建的仿真研究 体阐述子以定义。为了使问题变得适合于数值处理，与其他近似方法在实践上所 做的一样，具有无穷多个自由度的系统被离散化，即代之以有限个未知参数。 “有限元”的原始概念是：用若干个子区域( 或单元) 去代替整个连续区域， 这些区域的性质可用有限个自由度来恰当地予以描述，再用离散系统分析中熟知 的方法将其汇集在一起。在有限元法发展的初期，单元性质的模型常常是从避免 数学阐述的简单物理推断得出的。正如某些人认为这种方法和微分形式的阐述 ( 这意味着物质的无限可分割性) 同样现实一样，这里给出一个包含更广泛的普 遍定义1 3 3 l 。 如同其他近似方法一样，我们把有限元定义为： 1 ) 整个系统的性质通过n 个有限参数h ，( j = 1 2 n ) 来近似描述； 2 ) 支配着整个系统性质的n 个方程： e j ) 一0( i = 1 ，2 n )( 2 5 ) 由所有子区域( 或单元) 的贡献项通过简单的叠加过程汇集而得，这个子区域把 整个系统分成许多实际可识别的实体( 既不交叠又无遗漏) 。于是： 只- 耳 ( 2 6 ) 式中，f 为各个单元对所考察量的贡献。 这个广泛的定义使我们可以把物理和数学上的近似都包括在内。并且，如果 这个系统的“单元”是简单和重复性的，则由此即可导出对系统方程贡献的计算 规则，这些方程通常是可以得到的。另外，由于这一过程非常类似于离散系统中 的汇集过程，因此处理离散系统时所积累的经验和计算机程序，都可以应用。 有限元近似的一个实际优点，就是来自各个单元的贡献常常是高度集中的， 每个单元仅贡献几个非零项。实际上，这种高度集中就形成了稀疏矩阵，从而降 低了对计算机内存的要求，这种特性显然是实用上最需要的。然而对于有限元法 的定义来说，却并不是主要的。 那么，有限元近似是通过哪些过程来实现的呢? 我们研究任何一个可以用数学阐述的问题，即可以通过区域q 中的一个( 或 一组) 微分方程： d 和砂一0( 2 - 7 ) 及其在区域边界r 的有关边界条件： 口o 砂一0( 2 8 ) 1 1 上海海事大学硕e 学位论文 电磁层析成像图像重建的仿真研究 来表述的问题，或者用变分原理要求某个标量泛函， ) 达到稳定( 极大、极小 或“鞍点”) 来表述的问题： m i n j ( u ) 吒g ( u ) d q + c g ( u ) d r ( 2 - 9 ) 在这两种表达式中，“既可以是一个未知函数，也可以是一组位置函数。 为了得到由式( 2 - 7 ) 或式( 2 9 ) 所定义的一般问题的一个有限元近似，可以按如 下步骤进行： 1 ) 将未知函数用一组有限个假定的、已知的试探函数，和未知参数u ，展开， 即： 砧一矗一产= n u ( = 1 ，2 ，n ) ( 2 - 1 0 ) 2 ) 必须把近似形式改写成n 个方程的形式，这些方程都是作为q 和r 上的 积分来定义，即： e 。正e 佤埘q + 正e f l 轨f r ( i = l 2 n )( 2 。1 1 ) 我们注意到，前面所给的有限元法的基本定义是适用的，因为对于可积函数， 有： 正( 弦q t l ( p q ( 2 - 1 2 ) 及： 正( 如- 正( 如 ( 2 1 3 ) 式中，q 。和r 表示各个“单元”子区域。 于是，这些近似积分如何形成，将成为把一个实际问题转而成有限元形式表 示是的首要和关键问题。形成上述近似积分通常有两种方法，一类是应用变分原 理，另一类是加权积分方法。本文中主要讲述基于变分原理的有限元法。 2 3 有限元在e m t 系统正问题求解中的应用 有限元法从变分原理出发，通过区域剖分和分片插值，把二次泛函的极值问 题简化为普通多元二次函数的极值问题，可用于任何微分方程所描述的各类物理 场，同样适用于时变场、非线性场以及分层介质中的电磁场求解等。 相当长时期以来，用解析手段求解复杂的电磁场问题，难以获得令人满意的 分析结果。1 9 6 5 年，a m w i n s l o w 首先将有限元法应用于电气工程中，之后 有限元法在电磁场问题求解中日益得到发展。 上海海事大学硕士学位论文电磁层析成像图像重建的仿真研究 e m t 的正问题也是电磁场问题，尤其对于复杂物场分布，有限元法更是一 种求解的有效手段。 采用有限元法进行e m t 正问题的计算机计算过程可以简述为： 1 确定e m t 系统的等价变分问题； 2 实现被测场域的离散化即剖分为若干有限单元，将等价变分问题离散化，即 在各单元节点上进行函数值展开； 3 解变分问题，得到有关场域特性的系统方程； 4 解系统方程。 2 3 1 场域离散化 主要任务是将场域分割成有限个单元体的集合。单元体形状原则上是任意 的，一般取有规则形体，有三角形、四边形、矩形、正方形、正方体、四面体、 六面体。在这个流程中需要确定单元体的形状、个数、表达式。在实际上有限元 法对场域离散化方法和几何形状的选择没有许多限制。 在进行场域离散化时，一般要注意如下事项： 各单元只能在顶点处相交。 不同单元在边界处相连，既不能相互分离又不能相互重叠。 各单元结点编号顺序应一致，一律按逆时钟方向，从最小结点号开始。 因为四边形单元比三角形单元有更高的精度，所以本文选用四边形单元。 在四边形推导中，利用两套坐标系，一套是总体坐标o x y ，它适用于被分析 结构的现实单元；另一套是局部坐标系d 勃，它是标准化的正方形单元，在单元 分析中又称为母单元，母单元在边界上有亭一4 - 1 和叩- 1 ，见图2 1 。四个节 点按逆时针编号为1 、2 、3 、4 。显然在正方形单元上建立位移插值函数是很方 便的，并且很容易满足完备及边界位移的连续要求。 jl 开 4 1 一1 0 1 ；一 l 一1 2 图2 1 四节点等参单元 一1 ：一一叁 y 一 上海海事人学硕士学位论文 电磁层析成像图像莺建的仿真研究 现在的关键问题是如何建立两种单元间的一一对应关系，这可以通过图像变 换中映射的方法解决，如取实际单元中任一点，它的坐标与节点坐标有如下关系： 工- m ( 亭，叩k ： ( 2 1 4 ) ) ，。善m ( 亭，7 ) ) ，t 其中，墨，y i ( i = 1 、2 、3 、4 ) 为节点坐标； n 。一o 2 5 0 一亭) ( 1 一，7 ) n 2 0 2 5 ( 1 + 亭x 1 一叮) n 3 0 2 5 0 + 亭x 1 + 叩) n 4 0 2 5 ( 1 一亭x 1 + ，7 ) 是售，叩) 的函数，称为形函数。 ( 2 - 1 5 ) 2 3 2 部分插值和基函数 有限单元法通过有限单元的剖分和分片插值的方法找到基函数，以此构成有 限元子空间，将变分问题转化为有限元子空间的多元函数极值问题。 设待求函数近似展开为： 球一五一艺m 吩 ( 2 - 1 6 ) 或写成如下矩阵形式； h-五-u7n-n7u(2-10 式中，为下面基函数组成的列阵： n n 1 n t ： n w 【，为下列待求函数值组成的矩阵： u - ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 们 将求解区域剖分为有限数量的单元，对于平面域采用四边形单元，每个单元 1 4 上海海事大学硕上学位论文电磁层折成像图像重建的仿真研究 的顶点成为节点。全域共剖分个有限单元和h 个节点。 设单元e 上的待求函数露。为单元节点函数值h 。的线性插值函数为： 拈荟孵? 写成矩阵形式为： 。【吖彤孵 l ： i 【n 】，u 。 ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) 式中，h ；，u ；，o eo ，t “；为单元p 上的节点函数值；七为单元p 的节点数；n 为 单元e 上的基函数，其维数与单元p 上节点个数相同，n - i x ；x ； 誓】。单元 基函数有如下的性质。 孵。影；嚣 动 孵眇茹：；二； 以此可求出每个单元上的形函数： n 8i 【；le = 1 ，2 ，押 在四边形单元的情况下，七- - 4 。 且有： ( 2 - 2 4 ) n i - 0 2 5 0 一亭) ( 1 一叩) n2-0250+亭刚x1-,7：(2-25)n0 3 - 2 5 04 - 亭) ( 1 + 叩) n 4 0 2 5 0 - 亭) ( 1 + 叩) 若用，h ：，“表示全域上一个节点处的待求函数值，用虚表示解函数 的近似值，则： “_ 五。荟帆 或写作： ( 2 2 6 ) 上海海事大学硕 学位论文电敲层析成像图像蕈建的仿真研究 。五。u 7 n - n 7 u ( 2 - 2 7 ) 这就是有限元子空间中用基函数n 一【n 1 n ：。】来组成的近似解。 把式( 2 2 6 ) 代入到泛函表达式j 0 , ) 中。就把变分问题转化为有限元子空间的 多元函数的极值问题，l i p ： m i n i ) ，埘西1 ，筒m i n j ( u j ，“2 ，球。)( 2 - 2 8 ) 式中，“，如，“。) 是待求变量“，弹。的函数。 有限元子空间的基函数ni 【n 。n ：n 。】是坐标的函数，它仅取决于各单元 体的几何形状，所以在有限元法中又称为形状函数。 首先将每一个单元上的基函数都求出来，然后将所有公共节点的相邻单元上 的基函数合在一起，就可以得到全域上的基函数。 2 3 3e m t 系统的等价变分问题的构造 区域离散化子区域形状一单元结点坐标一插值函数一单元形函数。有了单元 形函数之后，只要确定了各单元结点处的矢量磁位群，爿；，群，群就可以求 得单元内( 子域上) 任意点的矢量磁位彳。，这是在平均意义下的值。下面将讨 论如何求取群，a ；，群，群( e = l ，2 ，) 。 与有限差分法中采用差分近似的方法不同，此处采用泛函变分的积分方法。 这种方法充分地考虑了各个单元作为整体( 同一插值函数) 对整个区域上电磁场 的贡献。此时不直接求解该区域上的微分方程，而是求解与该微分方程对应的泛 函变分问题。而是问题就可以转化为多元函数的极值问题，再由极值条件就可以 确定群，群，群，群 在e m t 系统中，待求的未知函数为： a j j a ，一 n j 4 1 ( 2 2 9 ) j 待求微分方程的数学模型为式子( 2 4 ) ： 飞) ，) 磐+ 0 2 a 一j a 盯( x 州 到。j s i n ： 仁3 o n i ，；+ ，d 2 。 上海海事大学硕i ：学位论文 电磁层析成像图像重建的仿真研究 对式子( 2 - 3 0 ) 其等价变分问题为： ，似) 一p 。1 【a 2 a + 面a 2 a a + i o 叮( x ，y p 2 p 叻，一尸7 s i n 缈一m j l i ( 2 3 1 ) 其中5 是检测敏感场域，工是边界条件不为0 的圆周边。 本文中记m 暑i i 型系统的传感子系统的二维截面分布及有限元剖分见图 2 2 、2 3 ，整个敏感场域被剖分为若干个四边形单元。 图2 2 传感子系统二维结构示意图图2 3 剖分的管道截面 将其离散化，把前面求得的单元形函数表达式的插值函数代入式( 2 3 1 ) q h ， 求出每一个小单元上的泛函，的单元表达式i ，。- j m 。】，即： 堋) 。以y ) ( 学+ 学+ j 幻脚下蚴一尸噍喇 ( 2 - 3 2 ) 再把，。】合起来便求得总体的泛函j 。- j i a 】，