（教育技术学专业论文）促进小学生数学问题解决的教学设计研究.pdf

摘要 人类社会迅猛发展，知识经济和信息化社会扑面而来。迎接新时代的挑战，世界各 国纷纷提出各自的人才素质标准，问题解决能力作为其中重要的组成部分受到越来越多 的重视。与此同时，各国竞相加快基础教育课程与教学改革步伐，强化知识的生活应用 价值，重构基础教育课程体系、加强知识间的联系与整合，强调学生的主动参与、积极 探究。在此背景下，强调问题解决、学习有价值的数学已成为数学教育界的共识。 在此背景下，我国教育部相继颁布的基础教育课程改革纲要( 试行) 和全日 制义务教育数学课程标准( 实验稿) 都强调了“培养学生问题解决能力”。为培养学生 的问题解决能力，数学课程标准还专设“实践与综合应用”模块。有证据表明：我国小 学生数学问题解决意识与能力不容乐观。文章主要包括四部分内容。首先对数学问题解 决相关问题进行了梳理，主要从“数学问题”的界定、“数学问题解决”、“数学问题解 决教育研究的发展”等方面进行了分析，对诸如数学问题的概念、分类、好问题的标准、 数学问题的概念与特征以及关于数学问题解决研究的发展进行了梳理。 在文章第二部分，先是通过对问题解决与数学问题解决的典型模式进行分析得出数 学问题解决的一般过程；然后以此为线索，具体分析了数学问题解决的过程及其影响因 素。文章第三部分针对影响小学生数学问题解决的因素及现实情况，提出一些设计思路。 在提升小学生数学问题意识的设计中，提出创设数学问题情境，使学生“有问题”：创 设民主平等的人文氛围，使学生“敢于提问”；进行“质疑”教学，使学生“善于提问”。 在优化小学生问题表征设计中提出利用概念图这一工具来提升数学知识质量，以及打破 表征定势、引导小学生进行表征方式适用条件的辨别等设计思路。在策略训练设计中提 出教给条件化的知识、使用“出声思维”策略、科学安排“变式练习”、引导学生评价 训练的有效性等具体策略。在提高小学生问题解决监控与反思的设计中提出可引导探究 反思、培养反思意识和反思习惯，渗透教学思想、培养反思策略，巧设数学活动、培养 学生反思性数学学习能力等思路。文章最后一部分为两个问题解决教学的案例，分别为 小学数学常规课堂设计案例与基于丰富资源的案例设计，通过这两个案例的介绍与分析 旨在说明小学数学问题解决教学的基本教学模式。文章结论部分认为，数学问题解决的 核心就是学习者积极、主动、高质量地认知参与与情感投入，这应作为问题解决设计的 突破口和考虑的中心议题。 关键词：小学生：数学；问题解决；设计 a b s t r a c t o u r s o c i e t yi sd e v e l o p i n gr a p i d l y , e c o n o m yb a s e dk n o w l e d g ea n ds o c i e t yo fi n f o r m a t i o n i sc o m i n g u n d e rt h ec h a l l e n g e so fn e we r a ，a l lc o u n t r i e si nt h ew o r l dm a k eo u tt h ec r i t e r i ao f ap e r s o no fa b i l i t ya n dt h ea b i l i t yt os o l v ep r o b l e m sa so n ei m p o r t a n tp a r to ft h ec r i t e r i ai s v a l u e dm o r ea n dm o r e a n da tt h es a m et i m e ，a l lc o u n t r i e sa r em a k i n gr a p i dr e f o r m so ft h e c u r r i c u l aa n di n s t r u c t i o na m o n gt h eb a s i ce d u c a t i o n ，s t r e n g t h e n i n gt h ev a l u eo fk n o w l e d g et o t h e l i f e ，r e c o n s t r u c t i n g t h e s y s t e mo ft h e c u r r i c u l ao fb a s i c e d u c a t i o n ，s t r e n g t h e n i n gt h e c o n n e c t i o na n di n t e g r a t i o na m o n gk n o w l e d g e ，a n de n c o u r a g i n g p u p i l s t a k i n ga c t i v ep a r ta n d e n q u i r y u n d e r t h eb a c k g r o u n d s ，p e o p l eb e i n ge n g a g e di nm a t he d u c a t i o nc o m m o n l y s t r e n g t h t h ev a l u eo f p r o b l e ms o l v i n g u n d e rt h eb a c k g r o u n d ，m i n i s t r yo fe d u c a t i o no fo u rc o u n t r yh a sp r o m u l g a t e d ”s c h e m a o nb a s i ce d u c a t i o nc u r r i c u l ar e f o r m s ( t r i a l ) ”a n d ”c r i t e r i o no fm a t h e m a t i c a lc u r r i c u l aa b o u t p a n d a yc o m p u l s o r ye d u c a t i o n ( e x p e r i m e n t e d ) ”i nt h e m ，c u l t i v a t i o nt op u p i l s a b i l i t y t os o l v e p r o b l e m sh a sb e e ne m p h a s i z e d t og e tt h eg o a l ，t h em o d u l eo fp r a c t i c ea n da p p l i c a t i o no f s y n t h e s i si sd e s i g n e d i nt h ec r i t e r i o n i th a sb e e n p r o v e dt h a tt h ec o n s c i o u s n e s sa n da b i l i t yo f p r o b l e m ss o l v i n gi no u rp r i m a r ys t u d e n t s i sn o to p t i m i s m t h ea r t i c l em a i n l yc o n s i s t sf o u r p a r t s f i r s t l y , t h e a r t i c l ea n a l y z e ss o m et h i n g sa b o u tp r o b l e m ss o l v i n g ，i n c l u d i n gw h a ti s m a t h e m a t i c a lp r o b l e m s ，h o wt os o r tt h e m ，w h a ti s g o o dp r o b l e mo fm a t h ，w h a t sm a t h p r o b l e ms o l v i n g ，w h a t si tc h a r a c t e r i s t i c sa n ds o m e t h i n g a b o u td e v e l o p i n go ft h er e s e a r c ho n m a t h p r o b l e m ss o l v i n g i ne d u c a t i o n i np a r tt w o ，t h ea r t i c l eg a i n st h eg e n e r a lp r o c e d u r eo fp r o b l e m ss o l v i n ga b o u tm a t hb y a n a l y z i n gt h et y p i c a lm o d e l sa b o u tp r o b l e m ss o l v i n ga n dp r o b l e m ss o l v i n g o fm a t h t h e nt h e a r t i c l er e g a r d si ta st h ec l u ea n da n a l y s e st h ep r o c e s sa n di m p o r t a n tf a c t o r so v e rp r o b l e m s s o l v i n go fm a t h i np a r tt h r e e ，t h ea r t i c l ei s a b o u th o wt od e s i g nt of a c i l i t a t em a t h e m a t i c a l p r o b l e m ss o l v i n go fp r i m a r ys t u d e n t si n c l u d i n gh o w t ou p g r a d et h ep r o b l e m sc o n s c i o u s n e s s o fs t u d e n t s ，h o wt o o p t i m i z et h em a t h e m a t i c a lp r o b l e m sr e p r e s e n t a t i o n ，h o w t ot r a i nt h e p r i m a r y s t u d e n t sw i t h s t r a t e g i e s t os o l v e p r o b l e m s ，h o w t oa d v a n c e p u p i l s a b i l i t y o f r e g u l a t i n ga n dr e t h i n k i n gi np r o b l e ms o l v i n g t h ea r t i c l et h i n k st h a tw es h o u l dc r e a t ep r o b l e ms i t u a t i o n st om a k e p u p i l sh a v ep r o b l e m s ， s h o u l dc r e a t eh u m a nc u l t u r es u r r o u n d i n g so fd e m o c r a c ya n d e q u a l i t yt om a k ep u p i l sp r e s u m e t oa s ks o m e t h i n g ，a n ds h o u l dt e a c ht h e mt oh o wt oq u e s t i o n t oo p t i m i z et h em a t h e m a t i c a l p r o b l e m sr e p r e s e n t a t i o n ，t h e a r t i c l et h i n k sw ec a ni m p r o v et h e q u a l i t yo fm a t h e m a t i c a l k n o w l e d g eo ft h e mw i t hc o n c e p tm a p s a n dt h ea r t i c l et e l l su st oh o wt ob r e a kd o w nt h e i l l - a t t i t u d e so fr e p r e s e n t a t i o na n dg r a s ph o wt ou t i l i z ea l lk i n d so fm o d e l so fr e p r e s e n t a t i o n p r o p e r l y a n dt h ea r t i c l et h i n k st h a tw e c a nt e a c hp u p i l st h ec o n d i t i o n a lk n o w l e d g e ，u s et h e i l s t r a t e g yo fs o n i c t h i n k i n g , a n da r r a n g et h ev a r i a n te x e r c i s e sp r o p e r l y a n dt h e nt h ea r t i c l e g i v e ss o m e t h i n ga b o u th o wt o c u l t i v a t et h ec o n s c i o u s n e s sa n dh a b i to fr e t h i n k i n g m a k e p u p i l sg r a s pt h es t r a t e g i e so fr e t h i n k i n g a n dh o wt os e t t l et h ea c t i v i t i e so fr e t h i n k i n g i np a r t f o u r , t h ea r t i c l ea n a l y z e st w o c a s e so nm a t h e m a t i c a lp r o b l e ms o l v i n gt ot e l lu sh o wt oh a v ea l e s s o no fm a t h e m a t i c a lp r o b l e ms o l v i n g a tl a s tt h ea r t i c l ed r a w sac o n c l u s i o nt h a tt h ec o r eo f m a t h e m a t i c a l p r o b l e ms o l v i n g i s p u p i l s 。a c t i v ep a r t i c i p a t i o n a n da d v a n c e d c o g n i t i o n p a r t i c i p a t i o nt h a ti so n eo fh o ts p o t si ne d u c a t i o nr e f o r m sa n ds h o u l db ec e n t r et h i n g sw h e n w em a k e s y s t e m a t i cd e s i g na b o u tp r o b l e ms o l v i n g k e yw o r d s ：p r i m a r yp u p i l s ；m a t h e m a t i c s ；p r o b l e ms o l v i n g ；d e s i g n n l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东 北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位论文作者签名 妊亟! 奎 日期：厶，i ：i ：z 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 电话 邮编 引言 人类社会迅猛发展，知识经济和信息化社会扑面而来。迎接新时代的挑战，世界各 国纷纷提出各自的人才素质标准，问题解决能力作为其中重要的组成部分受到越来越多 的重视。与此同时，各国竞相加快基础教育课程与教学改革步伐，强化知识的生活应用 价值，重构基础教育课程体系、加强知识间的联系与整合，强调学生的主动参与、积极 探究。在此背景下，强调问题解决、学习有价值的数学已成为数学教育界的共识。 自上世纪8 0 年代初美国数学教师委员会( n a t i o n a lc o u n c i lo ft e a c h e r so f m a t h e m a t i c s ，n c t m ) 提出问题解决应作为数学教育的核心以来，问题解决牢固地确立 了在数学教育中的地位，成为整个8 0 年代美国数学教育改革与研究关注的焦点。在其 后的2 0 余年中，美国历次数学教育改革的重要文件中都非常强调问题解决地位，并逐 渐演化为世界性的数学课程与教育的改革。作为指导新世纪美国数学教育改革的纲领性 文件，由美国数学教师委员会2 0 0 0 年出版的学校数学的原则与标准提出了五个数 学学习的过程标准，包括“问题解决”、“推理与证明”、“交流”、“联系”、“表示”，并对“学 前到二年级”、“三到五年级”、“六到八年级”、“九到十二年级”四个学段做出具体说明， 而问题解决又始终在说明中占据主要位置。1 1 1 日本在刚公布的学习指导要领中，将数学活动全部纳入“问题解决”的视野中。德国 在数学的跨学科目标中，将“促进解决问题的能力和创造能力”列为五大目标之一，并指 出，促进这两种能力的首要条件是安排以解决问题为方向的教学。在教学中向学生提供 最佳的可能，让学生自己去寻找发现和推测答案。英国在教学计划与评价中特别强 调5 14 岁各阶段中应把大量注意力放在发展学生探究和解决问题的技能上，并指出 发展这种技能对数学与其他内容的学习具有重大作用。【2 】新加坡小学数学教育重视问题 解决，其小学数学课程是紧紧围绕问题解决设计的，这在新修订的小学数学教学大纲中 反映得尤为明显。在课程处理上，新加坡除了将问题解决思想融入教村中，另外还单独 成册，编制训练问题解决的问题集。p j 在我国，教育部于2 0 0 1 年颁布的基础教育课程改革纲要( 试行) 明确提出培养 学生的“分析问题和解决问题的能力”。全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ( 简 称数学标准) 把“解决问题”和知识与技能”、“数学思考”、“情感与态度起作为 义务教育阶段数学的四大课程目标，著提出应在数学教学中培养学生“应用意识”，即让 学生认识到现实生活蕴含着大量的数学信息，能够积极主动地利用所学数学知识解决现 实生活中的问题，充分发挥数学的工具的价值。【4 】数学标准中使用“问题解决”一词 高达1 6 2 处，遍布基本理念、课程目标和课程建议的各个部分，成为数学标准的 核心概念之。为培养学生的问题解决能力，数学标准还专设“实践与综合应用”模 块。 我国小学生数学问题解决能力现状如何呢，我们来看一个数学测试题的测试结果； 一艘船上载了7 5 头牛，3 2 头羊，问船长几岁? 这是一个古老的欧洲笑话，一个具有正常思考能力的人，都认为这道题是不能做的。 但在我国的一些测试资料结果( 见表1 ) 却叫人惊讶。 表1 ：某小学四年级测验结果【5 】 答案( 船长年4 3 1 0 75 3 5其他 题目不能总计 龄)做 甲班 1 481 21 53 5 2 乙班1 4791 555 0 合计2 81 5 2 13 0 81 0 2 百分率2 7 1 5 2 1 2 9 8 我们最近在一所小学，对四年级一个班进行了一次问卷调查，测试了同一道题，结 果是答对的比率为4 5 。测试结果表明：我们在同常数学教学中无意中培养了学生的“盲 从”意识和“定式”思维，学生往往认为“数学题都有答案”、“只有一个答案”，而不注意进 行独立思考，缺乏全方位多角度地分析与判断。我们的数学教学过分追求严谨性、答案 唯一性，不注意联系生活实际，忽视书本以外的问题，造成“数学知识越多、年龄越大 越没问题”的尴尬局面。梳理数学问题解决，提出促进小学生数学问题解决的设计思路 是本文的基本任务。 2 第一部分问题与数学问题解决 著名科技哲学家波普尔认为，知识并非源于观察，也非源于理论，而是起源于问题。 1 6 】著名数学家希尔伯特强调数学问题在数学科学研究中的地位，他指出，只要门科学 分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，问题的缺乏则预示着发展的衰亡或终止； 正是通过这些问题的解决，数学研究者才能锻炼其钢铁意志，发现新方法与新观点，达 到更为广阔和自由的境界。【7 】回顾数学发展史，贯穿其问的是矛盾的斗争与解决。矛盾 的出现引发了人们要思考的问题，从某种意义上讲，数学就是要解决一些问题，问题不 过是矛盾的一种形式。美国数学家哈尔莫斯( p r h a l m o s ) 也认为，问题是数学的心脏， 数学的真正组成部分是问题及其解决。其实，不论是对于数学科学，还是对学校数学教 育来说，问题都是心脏。问题是数学教学活动不可或缺的要素。 一、“数学问题”的界定 ( 一) 概念 我们可以从两种视角认识“数学问题”这一概念。 一方面，教育心理学界关于问题较公认的定义是美国心理学家纽威尔与西蒙 ( n e w e l l & s i m o n ) 提出的，即问题是这样一种情境，个体想做某件事，但不能即刻知 道做这件事所需采取的一系列行动。由这一定义可看出，问题与主体同时存在，是否构 成问题在一定程度上取决于主体当前的认知状态。现代心理学的研究表明：一个问题包 括一个既定的状态( 即对现存情境的描述) 和一套运算子( 即从一种状态转移到另一种 状态的规则或程序) 。当情境处于某状态而问题解决者希望该情境进入另一状态，而 这时又存在着某些障碍阻碍着情境间的顺利转换，问题就产生了。 另一方面，从系统论的角度看，数学问题是一种人题系统：若s 代表某个主体 ( 即人”) ，r 代表某个抽象的或具体的系统的集合，则系统( s ，r ) 中集合r 称之为题 系统。如果主体s 接触系统r 后，认为其全部元素、性质及关系都是他所知道的，就称 r 对于主体s 为稳定系统，记作，否则便称为问题性系统，用r x 表示。如果主体s 由于内部的或外部的动因，需要从r 中确定他所不了解的元素、性质或关系时，集合r 对该主体s 就构成问题。解决问题就是将问题性系统r x 转化为稳定系统r 0 。 所以，数学问题并不是纯客观的孤立的题系统r ，它依赖于主体而存在，具有相对 意义。一个系统r 是否成为问题，首先是系统r 对于主体s 原有的知识和技能是否成 为问题性系统；其次是主体s 是否有解决r 的意向或要求。 ( 二) 数学问题分类 研究者从不同的视角提出了各自的数学问题分类方式，归纳起来大致如下。 根据问题的复杂性，美国数学教育家波利亚( g p o l y a ) 曾对问题区分为：( 1 ) 只需机 械应用刚学过的法则就可解决的问题；( 2 ) 需要应用课堂上先前讲过的某一法则来解决的 问题，面究竟用哪一条却不是一目了然，需要学生本人做出判断；( 3 ) 需要应用讲过的两 个或更多的法则进行组合才能解决的问题；( 4 ) 接近研究水平的问题，这类问题也要对法 则或例子进行组合，但需要更多的创造性，如必要的改进，合情推理。【8 】 根据问题诸要素是否清晰，心理学家雷特曼( r e i t m a n ) 将问题分为定义良好的问 题( w e l l d e f i n e dp r o b l e m s ) 的和定义不良的问题( i l l d e f i n e dp r o b l e m s ) 。前者是指问题 的起点、目标、允许的操作( 运算) 都明确，又称常规性问题；后者是指问题的三个要 素有部分不明确，也称非常规性问题。p j 根据答案( 即允许的操作) 的性质，可把问题分为答案开放的问题( o p e n - - - e n d e d p r o b l e m s ) 和证实答案的问题( s o l u t i o n c o n f i r m i n g p r o b l e m s ) 。前一类主要需要发散性思 维方式，后一类主要需要辐合性思维方式。1 1 0 根据问题提出的主体，格泽尔斯( g e t z e l s ) 把问题分为他人提出的问题( p r e s e n t e d p r o b l e m s ) 和自己发现的问题( d i s c o v e r e dp r o b l e m s ) 。他认为，越是需要自己发现的问 题，越有创新的机会。【1 1 j 根据问题与主体生活的关系，还可分为纯数学问题与生活数学问题，前者与主体日 常生活联系不甚紧密，后者是从学习者日常生活中抽取出来的数学问题。 综合上述分类，我们可以发现，问题分类不可避免地涉及到问题、问题解决主体及 其关系。从这条主线出发，我们可以得出更多的分类。在小学数学教育中，根据问题的 性质可大致归为五类问题1 12 j ：一是建构概念的问题。如一个量不能用整数表示时，怎样 创造出一种新的数来表示。二是探寻规律的问题。如被除数和除数怎样变化才能保持商 不变，能被3 整除的数有什么样的特征等。三是探寻关系的问题。小学数学中的关系常 常可以用一个关系式( 等式) 来表示，所以探寻公式的问题都可属于这一类。四是探寻方 法的问题。小学数学中的许多计算法则实际上都是说明某一种运算的计算方法，所以都 可以属于这一类。五是有关如何运用学过的数学知识解决实际生活中的简单问题的问 题。如怎样编制一次春游的经费预算，使开支既合理又节省等。 ( 三) “好问题”的标准 我匡i 数学教育学者( 如张奠宙) 认为“问题”区别“习题”和“考题”，具有下述特点： ( 1 ) 非常规。即不是教材内容的简单模仿，不是靠熟练操作就能完成的，需要较多的创造 性；( 2 ) 重视情景应用。即给出的问题往往不是解数学的“已知”“求证”模式，而是给 出一种情景，一种实际需求，以克服一种现实困难为标准；( 3 ) 探究性。问题不一定有解， 答案不必唯一，条件可以冗余，模型可以自己设计，这往往需要动手操作、试验，与别人 讨沦，不必艰时限地要求个人独立完成。【13 1 日本学者提出问题的“人本性”，强调问题应 由学生本人提出。美国学者提出问题的“技巧性”、“代表性”、“探索性”等标准。 其实，不论我们如何看待构成好问题的尺度，有一点是需要注意的，那就是问题的 价值和意义何在，是训练学生的数学思维能力，抑或是发挥数学知识的“工具”价值， 抑或只是利用问题激发学习者的数学学习“兴趣”，或三者兼而有之。由于目标不一、 4 价值定位不同，标准自然难于一致。不过既然是数学教育问题，瞪女学性”、“教育性”是 不得不考虑的问题；主体的“探索性”、“兴趣性”也不可忽视。 二、数学问题解决 由于研究者学术背景不同、看问题的角度有别，对问题解决与数学问题解决的认识 存在着较大的分歧。我们可把对问题解决的看法梳理为六类：把问题解决视为教学目的， 认为“学习数学的重要目的在于问题解决”( 美国2 1 世纪的数学基础，1 9 8 8 ) ；把问 题解决视为教学过程，认为“问题解决是把学到的知识运_ e = j 到新的和不熟悉的情景中去 的过程”f 同上) ；把问题解决作为一种基本技能，“把数学用之于各种情况的能力，叫做 问题解决”f 英国科克科罗福特报告，1 9 8 2 ) ；把问题解决看作一种心理活动，认为问题 解决是“人们面临新情景、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策 时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动”( g g 瑞珍，1 9 9 7 ) ；认为问题解决即教 学内容，主张“数学课程应当包括大量的多样的问题解决的经验”( 美国课程评估标 准，1 9 8 9 ) ；把问题解决看作一种教学方式，主张“应将问题解决作为课程论的重要组 成部分”( 英国科克科罗福特报告，1 9 8 2 ) ，我国学者认为“问题解决的教学方式和学习 操作是当前数学教学改革的重要组成部分”( 游铭钧，1 9 9 2 ) 。1 1 4 j 在众多研究中，当代认知心理学有关论述较深刻地阐释了问题解决的实质。 当代著名心理学家安德森( a n d e r s o n ，1 9 8 9 年) 把问题解决定义为任何受目标指引的 认知性操作序列，其中包括三方面的因素：目标的指引性、操作序列及认知性的操作， 认知成分是问题解决活动的一个本质的特点。安德森认为，问题解决可以分为常规的和 创造性的二种。需要开发出新的步骤的称为创造性的问题解决，而使用现成步骤的称为 常规性的问题解决。心理学家梅耶( m a y e r ，1 9 8 3 ) 认为“问题解决思维”和“认知” 三个术语可以交营使用。 华东师大高文老师也指出，问题解决是一种一般的、深刻的思维类型，即可指导性 的思维( 高文，1 9 9 9 ) 。在进行思维时，思考着并尝试去达到若干目标；反之，非指导 性思维则意味着，在进行思维时，思考着并不试图去达到目标。这种思维包括白日做梦 以及自我中心主义者与精神分裂症患者的反常思维。如果将非指导性的思维排除在外的 话，那么，“问题解决”与思维是可以互换的。f l5 j 前苏联心理学家鲁宾斯坦及其后继者 从辩证唯物主义的决定论原则和思维的过程是心理研究的基本对象出发，深刻地揭示了 心理和思维的本质，阐明了人的思维的“过程性”、“创新性”和“问题性”以及“主体 活动性”等特征。而研究表明，最鲜明的能动的思维过程表现为人提出并解决生活中遇 到的各种问题。 由此，我们可以把数学问题解决界定为，一系列有目的指向的认知操作过程，是以 思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动或心理过程。具体来说，它是指主体在面临 数学问题时，新的问题情境用已有的知识经验不能直接解决，并且自己又没有现成的对 策、答案或解决方法时，所引起的寻求处理问题的一种紧张的心理活动。问题解决是一 个“探求的过程”，即从问题的初始状态开始，寻求恰当的路径和方法达到终结状态的 过程。这是一种高级的思维活动，具有某种程度的创造性。数学问题解决是学生在数学 学习中思维活动最普遍、最重要的形式，问题解决能力是学生智慧和创造性的集中体现， 它具有如下特征。 1 目标指向性 所有的数学问题解决都必须具有明确的目的性，在数学问题解决进程中，问题解决 者必须朝向某一心理目标，形成解决问题的目标认识。这一目标是数学问题解决的终结 状态。数学问题解决必然是目标指向性的活动，只有这样，数学问题解决才具有可控性 和有效性。 2 操作序列性 数学问题解决必须由重要的认知操作来进行。没有认知操作的参与，就无所谓数学 问题解决。与此同时，数学问题解决必须包括心理过程的序列性，也就是说，数学问题 解决中包括一系列的认知操作阶段，大体可划分为：( 1 ) 激活阶段，即数学问题与数学认 知结构中“相似块”的耦合、接通和活化阶段；( 2 ) 寻求阶段，即利用大脑中数学认知结 构寻求数学问题解决的途径；( 3 ) 评价阶段，即利用数学认知结构评价解法的合理性，这 一阶段应贯穿于数学问题解决过程的始终。这些认知操作序列具有明显的策略性，即路 径可直可曲，而直与曲的分野常常在于策略的区别。 3 内隐性 数学问题具有明显的障碍性和探究性，即解决者不能一眼看出和利用现成的方法直 接解决。因此，数学问题解决是认知性的，它发生在问题解决者的认知系统内部。数学 问题解决实际上是解决者对数学问题的心理表征，即解决者把数学问题转换成自己能够 理解的语言，然后接通认知结构，寻求并建立符合期望的联想链条，最后达到心理目标 终结状态。 4 整合性 在数学问题解决中，问题解决者必须重新组织已知的规则或原理，以形成相应的高 级规则，并用它来解决当前的问题。新的高级规则是若干规则的重新组合。先前习得的 简单规则，是解决问题过程中的思维素材，但一般不能简单应用于问题的解决，必须进 行规则的优化组合、合理建构、和谐协同，其核心特征是“整体大于部分之和”。 5 迁移性 在数学问题解决中，产生的高级规则以及相应的思维策略，不仅是学生的“知识宝 库”和智慧技能的一个组成部分，而且还可应用到类似的情境中，从而提高后续问题解 决的效益与质量。迁移过程体现着新知识与原有认知结构的同化和顺应机制。 三、数学问题解决教育研究的发展 ( 一) 起步阶段的波利亚的研究 说到数学问题解决，不能不提到波利豫( g p o l y a ) 。作为研究数学问题解决的先驱 6 波利亚提出的“怎样解题表”，或者说波利亚关于数学启发法的研究，可以看成现代数 学问题解决研究的直接先驱，为后继者的研究提供了必要的理论基础。波利亚在其专著 怎样解题中强调了“问题解决”的重要性，波利亚指出，解决问题是人类的本性、 是智力的特殊成就。关于“问题解决”与数学教育的关系，他指出“数学教师的首要责 任是尽其一切可能来发展学生的解决问题的能力”。u6 l 他认为，“问题解决”的研究集中 在启发法( h e u r i s t i c ) 上，即其目标并不是要发现可以机械地用来解决一切问题的“万 能方法”( 波利亚指出，这样的万能方法也是不存在的) ，而是希望能通过对于解决问题 过程的深入研究，特别是已有的成功的实践，总结出一般的方法或模式，这些方法或模 式在以后的解决问题的活动中可以起到启发和指导的作用。 波利亚在“问题解决”方面的工作主要集中在启发法的研究上。波利亚在其著作中 曾先后给出了一些启发性的模式或方法，如分解与组合、递归模式、叠加模式、特殊化 方法、一般化方法、从后向前推、设立次日标、合情推理的模式( 归纳与类比) 、画图 法、对问题进行变形等。把这些模式或方法按照解决问题过程的四个阶段( “弄清问题”、 “制定计划”、“实现计划”及“回顾”) 组织起来，则构成“怎样解题表”。【1 7 】波利亚 说：“了解问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；引发之后，我们实 现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它。”波利亚认为，解题过程就是 不断变更问题的过程。“怎样解题”表中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的 的”。波利亚反对让学生做大量的习题去熟悉题型的做法。他认为，与其穷于应付繁琐 的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生深 入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天 地。 ( 二) 复苏后的全面发展阶段 经过强调现代数学内容的引进、重视抽象分析、注重数学知识内在的逻辑结构的2 0 世纪6 0 年代“新数运动”( n e wm a t h ) 和“机械练习的1 0 年”的7 0 年代，美国教育界 又重新寻回“问题解决”，对波利亚“重新发现”。这种趋势非但没有消退的迹象，反而 越来越受到重视，并引发“问题解决”世界性潮流( 见引言) 。 上个世纪8 0 年代以来，信息加工理论的兴起，以及数学教育改革的转向方面使 问题解决成为数学教育关注的焦点，同时也赋予问题解决研究以时代特色。此时，问题 解决研究一般是在信息加工理论层面展开的，更多关注问题类型、问题解决过程与问题 解决能力的分析，这些研究主要着力理清数学问题解决过程、规律，在很大程度上为回 答“解题过程、方法怎样，哪些因素影响解题，如何教学生学会解题”提供定的借鉴， 从而增强教学的针对性，在某种程度上希望通过教学帮助学生掌握解决数学问题的技 能、方法、策略，其主要方法是教数学问题解决，舍恩费尔德( s c h o e n f e l d ) 是其中优 秀代表。 美籍匈牙利数学家舍恩费尔德在总结前人研究的基础上提出了分析问题解决的一 个框架，即影响数学问题解决的关键要素：认识资源、启发法、调控、态度与信念。【1 8 1 尤其是调控、信念与态度的强调明显超越了原有的研究范围，引起了国内外广泛的关注。 7 舍恩费尔德认为影响问题解决的认知资源有：关于问题所在领域的非正式的知识与直觉 的知识：关于事实与概念的知识；运用常用算法的技能：对常规程序的熟悉程度；相关 领域的表述规则等。并通过对“有缺陷的资源”的解剖，强调了类型、程序与知识的表述 方式在资源中的重要地位，特别是知识的表述方式，他认为，很可能是决定问题解决成 功与否的关键之一。 对于启发法策略的教学，舍恩费尔德指出，许多对启发法策略的典型描述，如“考 虑特殊情形”，都包含几个更为具体的策略，要掌握一个策略，就必须对所有相应的步 骤进行训练。同时，他还指出，虽然探索策略可以作为不熟悉的相关领域的向导，但它 们不能代替学科知识，也不能用来补偿学科知识的不足。他认为可以通过问题解决训练 来提高学生的策略掌握水平，他通过教学实验发现：在解决问题教学之前，学生往往关 注问题陈述中的表面信息，经过解决问题的教学之后，他们往往更加关注问题背后的“深 层结构”；在解决问题过程中，学生的控制过程表现出明显的差异；在解决问题教学之 后，学生比接受教学之前更注意在分析问题方面投入更多的时间，在选择还是放弃某些 解决问题策略方面表现出更强的系统性。 通过对数学问题解决的口语记录进行分析、对比，舍恩费尔德发现学生与数学家在 数学问题解决中的最大差别就是信念，学生往往认为数学“只有一个答案”、解决问题 “靠个人力量”、解决数学问题“一般需要五分钟”、“学校中的数学在生活中没什么用” 等。 此外，莱斯特( l e s t e r ) 认为“好的问题解决教学应包括具体的启发法策略、一般启 发法策略以及培养工具技能等多个方面的结合”，“指导力量也非常重要”；赫勒( h e l l e r ) 与亨盖特( h u n g a t e ) 运用专家、新手比较研究的方法，在观察、分析、研究的基础上， 认为教师可通过“默会知识显性化”、提供有指导的实践、让学生讲述过程、确保程序 性知识事先习得、测验要突出理解与推理等来提高学生问题解决能力。【2 0 】 ( 三) 争鸣及转型阶段 从2 0 世纪八十年代后期开始，受认知心理学的影响，原有的许多研究得以深化， 如问题解决的迁移、样例的作用、问题解决的影响因素、问题解决的策略及其训练、元 认知与问题解决、以及对于问题解决心理机制与元认知机制的研究，问题解决能力性别 差异的研究等受到研究者关注的问题。1 2 1 】 同时，受建构主义哲学思潮的影响，再加上人类学家、社会学家、教育技术人员的 加入，使对问题解决与问题解决活动的研究突破了学校数学的范围。由于学术背景的差 异，在许多观点上存在分歧、冲突，在问题解决的问题上出现了信息加工学派，以m a y e r 、 d a v i s 、a n d e r s o n 、s c h o e n f e l d 为代表；强调数学现实应用的现实主义教育派( l a n g e ， 1 9 9 6 ) 以及强调数学的人文性的人文学派( w h i t e ，1 9 8 6 ) 等。【2 2 】不过，研究者也越来 越趋于认同，数学课堂应是包括知识的社会建构以及社会分布的问题解决等方面的情境 化的集体实践，数学课堂应是这样的场所：学生在教师的指导下，合作进行学习，参与 “傲数学”( d om a t h e m a t i c s ) 的过程而不是接受现成的东西。f 2 3 不仅要考虑教材中提供 的问题，而且要考虑非学校场景中的问题任务，研究突出了丰富资源、现代信息技术在 8 问题解决中的支持性。一个共同的主题就是让学生参与到他们能够提出与自己解决问 题，能够产主假设的问题及问题情境中。在下文的分析中，我们将主要借鉴当代认知心 理学的观点，并结合建构主义的新主张。 9 第二部分数学问题解决思维模式与过程分析 一、数学问题解决思维模式分析 ( 一) 早期问题解决模式 问题解决模式的雏形是美国心理学家桑代克( e t h o m d i k ) 的试误说和格式塔派心 理学家苛勒( h k o h l e r ) 的顿悟说。试误说认为问题解决是由刺激情境与适当反应之间 形成的联结构成的；顿悟学说认为问题解决最突出的特点是对问题情境的突然领悟。由 于早期的研究是以动物为被试完成的，虽然在人类问题解决和学生数学问题解决中也可 以观察到这两种现象，但毕竟动物简单的解决问题过程和人的复杂的高级思维活动具有 重大差异，如果仅停留在表面的“试误”或“顿悟”，则未免把人的心理过程简单化了。 在学校领域影响比较大的问题解决模式，是美国教育哲学家约翰杜威( j d e w e y ) 提出的。1 9 1 0 年，杜威在其著作怎样思维一书中提到问题解决的一些思想，认为问 题解决可以分五步： 第一，困惑、挫折或意识到困难的状态；第二，确定疑难何在，包括刁；太具体地指 出所追求的目的，需要填补的缺口或要达到的目标；第三，提出问题的种种假设：第四， 如有必要，连续检验假设，并对问题重新加以阐述；第五，进行验证，证实、驳斥或改 正这个假设。 杜威从其经验哲学出发，对问题解决过程的描述可以说涵盖了人们解决问题的基本 过程，但这种描述仅停留在经验描述层面，难以深入揭示问题解决的内部机制和影响因 素。 ( 二) 舆苏伯尔和鲁宾逊问题解决模式 美国著名教育心理学家奥苏伯尔( d a v i dp a u s u b e l ) 和鲁宾逊( f g r o b i n s o n ) 以几何问题的解决为原型，在1 9 6 9 年提出了一个问题解决模式，如图2 - 1 。 根据奥苏伯尔和鲁宾逊的模式，问题解决经历四个阶段： ( 1 ) 呈现问题情命题阶段奥苏伯尔认为，问题由有