（电力电子与电力传动专业论文）基于自适应陷波滤波器的电力信号时频分析.pdf

值和相角。通过仿真验证了算法性能。 最后，研究了算法在非仿真环境或嵌入式系统中的实现。针对离散时间信号，用四阶龙 格- 库塔方法实现本文所提出的新算法，证明离散算法的收敛性和稳定性。推导了离散算法的 计算公式，通过了仿真验证公式的正确性。 关键词：自适应陷波滤波器概周期信号梳状滤波器频率估计正弦跟踪时频分析 a bs t r a c t t h ev o l t a g ea n dt h ec u r r e n ti nap o w e rs y s t e mi sc o m m o n l yr e g a r d e da sa na l m o s tp e r i o d i c s i g n a lo fw h i c ht h et i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sm a i n l yc o n c e r n st h ed i f f e r e n ts i n u s o i d a lc o m p o n e n t s t h a ta r et r a c k e da n de s t i m a t e df o re x a c ta m p l i t u d e s ，i n i t i a lp h a s e sa sw e l la st h ef r e q u e n c i e s ，a n dt h u s f o r m sp a r to ft h eb a s i so ft h ee v a l u a t i o na n dp r o t e c t i o no fp o w e rs y s t e m i nt h i sd i s s e r t a t i o n , an e w m e t h o df o rt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i st h a ti si nn a t u r ean o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ld y n a m i cs y s t e mi n c o n t r a r yt ot h et r a d i t i o n a li n t e g r a lm e t h o d si sp u tf o r w a r da n dm a yb ec a l l e da sf r e q u e n c ya d a p t i v e c o m bf i l t e r al i n c a rs i n u s o i dl l - a c e rt h a ti sat w o d i m e n s i o n a ll i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e d u c e d b yu s i n gl e a s ts q u a r ee r r o rp r i n c i p l e ，g r a d i e n td e s c e n tm e t h o da n dr o t a t i o nt r a n s f o r m a t i o nc a ny i e l d t h ee s t i m a t e so fa m p l i t u d ea n di n i t i a lp h a s e n 圮t r a n s i e n ta n ds t e a d ys t a t er e s p o n s e sa r es t u d i e dw i t h d e s c r i p t i o n so f t h ep h y s i c a ls i g n i f i c a n c e so f t h ep a r a m e t e r ss u c ha sf r e q u e n c ya n db a n d w i d t ha sw e l l a st h e i re f f e c t so nt h et r a n s i e n ta n ds t e a d ys t a t ep e r f o r m a n c e t h ec o m p a r i s o no ft h es i m u l a t i o n r e s u l t sv a l i d a t e dt h es u p e r i o rp e r f o r m a n c eo f t h i sa l g o r i t h mt od f ta n dn o n l i n e a rs i n u s o i dt r i e r s n l ec o n c e p to fa na d j u s t a b l e b a n d w i d t hm u l t i f r e q u e n c yl i n e a rc o m bf i l t e rc o m p o s e do fa n u m b e ro f t w o d i m e n s i o n a ll i n e a rs i n u s o i dt r a t r sc o n n e c t e di np a r a l l e li st h e np u tf o r w a r da n dw i t h i t sa s y m p t o t i cs t a b i l i t yp r o v e d t h ee x p r e s s i o no ft h ef r e q u e n c yr e s p o n s ea n dt h ee f f e c to ft h e b a n d w i d t ho nt r a n s i e n ta n ds t e a d ys t a t ep e r f o r m a n c ea r ep r o v i d e d i ts h o w st h a tt h ei n s t a n t a n e o u s v a l u ea sw e l la st h ea m p l i t u d ea n dt h ep h a s ea n g l eo fe a c hs i n u s o i d a lc o m p o n e n tc a nb ea c c u r a t e l y e s t i m a t e dw h i l et h ef r e q u e n c i e so fa l lt h ec o m p o n e n t sw h e t h e rh a r m o n i co ri n t e r - h a r m o n i co fi n p u t s i 髓a 1a r el o c a t e do nt h ed i v i s i o no ft h ef i l t e r 1 1 l eb e t t e rp e r f o r m a n c et h a nf f ta n dn o n l i n e a rc o m b f i l t e ri sv a l i d a t e db ys i m u l a t i o nr e s u l t sc o m p a r i s o n t h em e t h o do fv o l t a g ef l i c k e rm e a s u r e m e n tr e c o m m e n d e db ym cb r i n g st h e o r e t i c a le r r o rw h i l e t h ev o l t a g es i g n a lc o n s i s t so fh a r m o n i c sa n di n t e r - h a r m o n i c s s oat w o - s t a g el i n e a rc o m bf i l t e ri s n e dt od e t e c tt h ef u n d a m e n t a lv o l t a g ef l i c k e r t h ef i r s ts t a g ei su s e dt od e c o m p o s et h ei n p u tv o l t a g e t oo b t a i nt h ef l u c t u a t i n gf u n d a m e n t a ls i g n a lw i t ht h ed e l e t i o no ft h eh a r m o n i c sa n di n t e r - h a r m o n i c s 1 1 1 es e c o n ds t a g ei su s e dt oa n a l y z es u c hs i g n a lt og e tt h ef u n d a m e n t a la m p l i t u d ea n di t sf l u c t u a t i o n t h e nt h ei n s t a n t a n e o u sf l i c k e rl e v e lc a l lb eo b t a i n e db yw e i g h t e df i l t e r i n g , s q u a r i n ga n ds m o o t h i n g s i m u l a t i o nv e r i f i e dt h a tt h en e wm e t h o dc a ne f f e c t i v e l yr e s t r a i nt h ef l i c k e re r r o rc a u s e db y i n t e r - h a r m o n i c sa n d p r o v i d eg o o da b i l i t vo fa n t i - j a m m i n g b a s e do nt w o - d i m e n s i o n a ll i n e a rs i n u s o i dt r a c e r , t w oa l g o r i t h m sf o rf r e q u e n c ye s t i m a t i o n , i e t h en o r m a l i z e da n dt h en o n - n o r m a l i z e d , a r ep r e s e n t e d b e i n gat h r e e d i m e n s i o n a la d a p t i v en o t c h f i l t e r , t h e s et w oe s t i m a t o r sf o r ms l o wi n t e g r a lm a n i f o l do fw h i c ht h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i c s t a b i l i t ya r ep r o v e d t h em _ f l u e n c eo ft h eb a n d w i d t ha n dt h ef r e q u e n c ya d a p t i v eg a i no nt r a n s i e n ta n d s t e a d ys t a t ep e r f o r m a n c ea r ed i s c u s s e d t h ef r e q u e n c y , a m p l i t u d ea n dp h a s ea n g l eo fa nu n k n o w n s i n u s o i ds i g n a lc a nb ee x a c t l ye s t i m a t e d 1 1 1 ed e c r e a s e da m p l i t u d er e s u l t st h es l o wt r a n s i e n tr e s p o n s e o ft h en o n - n o r m a l i z e de s t i m a t o rw h i l et h es p e e do ft h en o r m a l i z e da l g o r i t h mi sh a r d l yi n f l u e n c e db y i n p u ta m p l i t u d ed u et ot h eb e t t e rr o b u s t n e s s al i n e a rc o m bf i l t e rb a s e dn o n n o r m a l z e df u n d a m e n t a lf r e q u e n c ye s t i m a t o ri sa l s op r o p o s e d t 1 1 em e t h o df o r m ss l o wa d a p t i v ei n t e g r a lm a n i f o l do fw h i c ht h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t ya r ep r o v e db y l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r e ma n da v e r a g i n gm e t h o d w i 也t h ef r e q u e n c yp a r a m e t e r so ft h ef i l t e r a d j u s t e dt ot h es a m eo r d e r so ft h eh a r m o n i c sa n di n t e r - h a r m o n i c si nt h ei n p u ts i g n a l ，t h e nt h e i n t e g r a lm a n i f o l di su n i f o r m l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dt h ef u n d a m e n t a lf r e q u e n c ya sw e l la st h e a m p l i t u d e so fa l lt h eh a r m o n i c sa n di n t e r - h a r m o n i c sc a l lb ep r e c i s e l yt r a c e di ne x p o n e n t i a l c o n v e r g e n c e t 1 1 ev a l i d i t yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h mi sv e r i f i e db ys i m u l a t i o na n di t i sp o i n t e do u t t h a tb e t t e rn o i s ec h a r a c t e r i s t i cc a nb ea c h i e v e db yd e c r e a s i n gb a n d w i d t ha n da d a p t i v eg a i n i ti sp u tf o r w a r da tl a s t 锄a l g o r i t h mo ff r e q u e n c ya d a p t i v ec o m bf i l t e r t h ea l g o r i t h mi n c l u d e s t w oc o u p l e dn o n i i i l e 盯d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sr e s p e c t i v e l yf o rs t a t ee s t i m a t ea n df r e q u e n c yu p d a t i n g , a n dt h ed e c o u p l i n gi sc a r r i e do u tb ys l o wi n t e g r a lm a n i f o l d st or e a c h 觚a l m o s tp e r i o d i cn o n l i n e a r d y n a m i cs y s t e mf o rm u l t if r e q u e n c i e se s t i m a t i o n , t h e nt h en o i l l i n e a ra u t o n o m o u se q u a t i o nf o rt h e f r e q u e n c ye s t i m a t i o nd e d u c e db ya v e r a g i n g w i t h t h ef r e q u e n c ye s t i m a t es p a c eo v e n , t h e e q u i l i b r i u mo ft h ea v e r a g es y s t e mc a l lb e 锄i s o l a t e de q u i l i b r i u m , ac o n t i n u u mo fe q u i l i b r i u m s ，o r n o n - s t r i c te q u i l i b r i u m 1 1 圯e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ei s o l a t e de q u i l i b r i u m , t h es e m i s t a b i l i t yo f t h e c o n t i n u u mo fe q u i l i b r i u m s ，a n dt h er o b u s t n e s so fs y s t e mw i t hn oe q u i l i b r i u ma r ei n v e s t i g a t e d r e s p e c t i v e l y 1 1 坞c o n v e r g e n c es p e e do ft h ef r e q u e n c i e sa n dt h ea m p l i t u d e s i s g o v e r n e db yt h e a d a p t i v eg a i na n dt h eb a n d w i d t hp a r a m e t e rr e s p e c t i v e l y t h ef r e q u e n c y a x i si sd i v i d e di n t oan u m b e r o fz o n e sc o r r e s p o n d i n gt ot i l el l i g ha n dl o wi i m i t so ft h ef r e q u e n c ye s t i m a t e ss e t u pb e f o r e h a n d 1 1 l e f r e q u e n c y ，a m p l i t u d ea n dp h a s ea n g l eo fe a c hs i n u s o i d a lc o m p o n e n t c a nb ee x a c t l ye s t i m a t e di fi ti s i no n eo f t h ez o r l e s n 他a l g o r i t h mi sv a l i d a t e db ys i m u l a t i o n s f i n a l l y , t h ei m p l e m e n t a t i o no fn l ep r o p o s e da l g o r i t h m sw i t h o u ts i m u l a t i o nt o o l s o ri n e m b e d d e ds y s t e m si sd i s c u s s e d t h en e wa l g o r i t h mc a nb ei m p l e m e n t e db yf o r t ho r d e rr u n g e - k u t t a m e t h o df o rd i s c r e t et i m es i g n a lw i t ht h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yv e r i f i e d k e y w o r d s ：a d a p t i v en o t c hf i l t e r ：a l m o s tp e r i o d i cs i g n a l ；c o m bf i l t e r ；f r e q u e n c ye s t i m a t e ：s i n u s o i d 柏c e r ：t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s 图表清单 图1 1 三相瞬时无功功率f 。屯运算方式7 图2 - ld f t 算法幅值跟踪曲线1 3 图2 2d f t 算法相角跟踪曲线。1 3 图2 3d f t 算法跟随误差曲线1 4 图2 - 4d f t 算法频谱泄露幅值曲线1 5 图2 5e p l l 算法结构图1 5 图2 - 6e p l l 算法幅值跟踪曲线。17 图2 7e p l l 算法相角跟踪曲线1 7 图2 8e p l l 算法跟踪误差曲线1 7 图2 - 9a p m 估计幅值曲线。18 图2 10a p m 估计相角曲线1 9 图2 11a p m 跟踪误差曲线1 9 图2 1 2 输入幅值不同时e p l l 的幅值跟踪性能2 0 图2 13 输入幅值不同时e p l l 的相位跟踪性能。2 0 图2 1 4 输入幅值不同时e p l l 的信号跟踪性能2 0 图2 15 当，严1 时l s t 算法暂态响应2 3 图2 1 6 参数，7 变化时l s t 的频率响应( ，f o 1 ) 。2 5 图2 1 7 参数j c 废化时l s t 的频率响应( 矿- 4 ) 2 6 图2 1 8l s t 估计幅值曲线2 6 图2 1 9l s t 估计相角曲线2 7 图2 2 0l s t 跟随误差曲线2 7 图2 2 1 半幅值时l s t 估计幅值曲线2 7 图2 2 2 半幅值时l s t 估计相角曲线2 7 图2 2 3 半幅值时l s t 跟随误差曲线2 7 图2 2 4 锯齿波跟随性能2 8 图2 2 5 基波提取与谐波分析2 8 图2 2 6 间谐波检测2 9 图2 2 7 峰值检测。2 9 图2 - 2 8 幅值闪变检测。3 0 图3 - 1 线性梳状滤波器结构3 3 图3 - 2 线性梳状滤波器的频率特性3 6 图3 - 3 线性梳状滤波器与并联e p l l 跟随误差曲线( 频率已知) 3 9 图3 4 线性梳状滤波器与并联e p l l 精确分析时幅值曲线3 9 图3 5d f t 算法格栅效应时幅值曲线。4 0 图3 - 6d f t 算法格栅效应时误差曲线4 0 图3 - 7 线性梳状滤波器格栅效应时误差曲线。4 l 图3 8 线性梳状滤波器格栅效应时幅值曲线。4 1 图3 9e p l l 算法格栅效应时误差曲线。4 2 图3 1 0e p l l 算法格栅效应时误差曲线4 3 图3 1 1 基波电压波动检测并行算法4 3 图3 1 2 无间谐波单调幅波时瞬时视感度4 4 图3 1 3 无间谐波双调幅波时瞬时视感度4 4 图3 1 4 有阊谐波双调幅波的4 5 图3 - 1 5 随机噪声下无间谐波单调幅波的4 5 图4 - 1a p f m 算法性能5 3 图4 - 2 本文非归一化算法性能5 3 图4 - 3 幅值改变时非归一化估计频率。5 3 图4 4 幅值改变时归一化估计频率5 3 图4 - 5 - f 改变时的归一化估计频率5 3 图4 - 6 归一化算法暂态幅值5 3 图4 - 7 归一化算法稳态频率噪声特性5 4 图4 8 归一化算法稳态幅值噪声特性。5 4 图4 9 基波频率估计与多谐波分析算法_ 5 5 图4 1 0 各成份的幅值5 9 图4 - 11 实际估计基波频率5 9 图4 1 2 总跟随误差5 9 图4 - 1 3g = 5 0 尢时基波频率6 0 图4 - 1 4i , = 2 0 时基波幅值6 0 图4 - 1 5 噪声下实际估计基波频率。6 0 图4 1 6 噪声下实际估计基波幅值。6 0 图4 - 1 7 噪声下基波跟随误差曲线一6 1 图5 1 时频分析算法结构6 3 图5 2 频率跟随曲线( 实际值，一一估计值) 7 6 图5 - 3 幅值跟随曲线( 实际值，估计值) 7 7 图5 - 4 相角跟随曲线( 实际值，一一估计值) 7 8 图5 5 跟随误差曲线。7 9 图5 - 6 = 2 0 冗跟随性能8 0 图5 7 尸4 兀跟随性能8 0 图6 1 离散时间算法的频率跟踪曲线8 9 图6 2 离散时间算法的幅值跟踪曲线9 0 图6 3 离散时间算法的跟随误差曲线9 l 表5 1 指数稳定鲁棒性8 l 表5 2 半稳定鲁棒性8 1 表6 1 常用常微分方程数值方法8 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得金魍王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 糊文作：锄鹏碧签字魄岬嘲伽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权业 工些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 坶一妣简够碧 签g e t s 1 年名其伽 工作姚铂莎步缈缸 通讯地址：房j 5 7 彩争之彳军莎争肛够 导师签名： 签字日期：岬年6 月f 细 乙 7 嚣曩帮哆叩 邮编： 少 致谢 在导师张崇巍教授的悉心指导下，经过近三年的努力，终于完成了本文。多年来，张老 师宽厚的为人、开阔的心胸、渊博的知识、严谨的治学与平易近人的风格，使我深深获益。 在此表示真诚的感谢和美好祝福! 在学习和工作中，一直得到电气与自动化工程学院丁明院长、杜少武书记、王建平副院 长、方敏副院长、张兴副院长的关心和鼓励，在此表示衷心感谢。 感谢自动化系领导温阳东教授、鲁照权教授、陈梅副教授、葛所良副教授多年来的关照 和鼓励，他们的大力支持使本文得以较快完成。 感谢徐科军教授、苏建徽教授、李生虎教授，与他们的学术讨论，开阔了我的思维，获 得多方面的启发。感谢李鑫等给予作者帮助、关心和支持的其他同事们。 电气与自动化工程学院学位委员会的老师们在百忙之中审阅本文，并提出宝贵了意见， 作者对此表示衷心感谢。 感谢博士班同学何庆领、朱代祥、鲍伟、汪令祥、杨向真等的大力帮助，使课堂学习具 有更多的快乐元素。 感谢合肥工业大学提供攻读博士学位的机会。 感谢父母的支持和养育之恩。感谢岳父母多年的支持和帮助。多年来，对家庭照顾较少， 在此向家人尤其是妻子冯小英表示歉意，感谢她长期的广泛的支持和鼓励，感谢她为辅导养 女儿的学习付出巨大努力。感谢可爱的女儿琪琪，她的天真童趣常在枯燥的学习过程中增添 快乐的火花。 男 钐b 日日 豇倡侈 n 们月 者作年 叩 f ，d 合肥工业大学博士论文 第1 章绪论 1 1 研究的背景和意义 电压和电流作为电力系统的基本信号，其精确分析是电力系统的设计、保护、计量、评 价的基础。通过对电压( 电流) 信号的分析，可以：计算有功功率和无功功率，计量有功 电能、无功电能，提供用电和供电双方经济结算的依据n 1 。诊断电力系统的状态，确定故障 位置，切除故障元件，保证未故障部分的正常运行嘲。 评价电力设备的工作状态，合理安排 设备检修，提高设备寿命，优化经济效益1 。分析电压波形，评价供电企业供电质量，监测 电流波形，评价用电单位的用电质量h 1 。 人们对电力信号复杂性的认识开始于谐波的研究哺1 。早在1 8 9 3 年，美国康涅狄格州哈特福 德市的工程师们就发现了后来证明由谐波产生的电机的发热问题。1 9 世纪末2 0 世纪初，美国 电工学的先驱者cps t e i n m e t z 研究了传输线的谐振，从而把交流电的频率从1 2 5 1 3 3 h z 降低 到5 0 6 0 h z 。1 9 1 0 年，人们发现了发电机并联运行时，中性点出现额外的电流，其实这是三 次谐波的零序电流。电压和电流的谐波分量基本是随电力工业的开创而出现。1 9 1 9 年，谐波 导致的电话干扰促使人们展开信号波形的研究，所提出的一些概念( 如畸变因子) 今天仍然 在使用。鉴于谐波的重要意义，许多国际性学术组织，如国际电工委员会( i e c ) 、国际大电网 会议( c i g r e ) 、国际供电会议( c i r e d ) 、国际电气电子工程师学会( i e e e ) 以及欧洲电工标准委 员会( c e n e l e c ) ，相继成立了专门的谐波工作组，致力于谐波检测与治理方法的研究和制定相 关的谐波限制标准旧1 。 随着工业经济与电力系统本身的发展，电网中的谐波问题日益严重口捌。非线性电力电子 设备在铁道、化工、冶金、煤炭等工业领域的大量应用，以及直流输电和柔性交流输电技术 的广泛采用，产生了大量的间谐波，这种非整数次谐波信号大大恶化了电力系统的供电质量。 谐波和间谐波污染已经成为电能质量中最为突出的问题，成为限制电力系统自身发展以及制 造业水平提高的重大阻力。 谐波- 与f 7 谐波的危害主要表现在以下几个方面田：消耗电力系统的无功储备；增加输电 线损耗；引起电机、电容器、电缆等设备附加损耗，使局部过热，绝缘老化、寿命缩短；引 起公用电网中局部的并联谐振和串联谐振，从而使谐波放大，引起严重事故：导致继电器保 护和自动装置的误动作，并使测量仪表计量不准确；谐波会对邻近的通信系统产生干扰，降 低通信质量，导致信息丢失。 随着技术经济的发展，高科技的制造业对电能质量提出了更高的要求。除谐波与间谐波 外，电能质量还包括电压波动与闪变。射、电压凹陷、电压暂降和突升几个方面“1 。电压波动 的危害主要表现在：照明灯光闪烁引起人的视觉不适和疲劳，进而影响视力，试验表明，当 电源电压变化1 时，稳态时各种白炽灯可见光变化为3 2 - 一3 8 ，各种荧光灯可见光输出 变化范围为0 8 - 一i 8 ：电视机与显示器画面亮度变化，图像垂直和水平摆动；电动机转速 不均匀，不仅危害电机、电器正常运行及寿命，而且影响产品质量；电子仪器、电子计算机、 自动控制设备等工作不正常：影响对电压波动敏感的工艺或实验结果，如示波器波形跳动， 大功率稳流管的电流不稳定，导致实验无法进行。 考虑到谐波、间谐波、电压闪变下，电压电流信号可表示为概周期模型 2第1 章绪论 u ( t ) = ( r ) + u ，( f ) + w ( f ) o l l f 1 1 、 =s + + 童m ) s i n u o i n ( c o o t8 0 ) ini( r ( 啪) 机叫卜d一-i =s+ + ( u ( r ) if ( q ( f ) 如+ 刚1 ) + w ( r 、 、 ， 其中w ( t ) 表示随机噪声。、磊分别是基波分l u o ( t ) 的幅值、角频率、相角，第i 个 正弦分t u ，o ) 的幅值u ( r ) 、角频率t o _ i ( t ) 、相角4 的变化规律或数值可能都是未知的。只要 o ) 或c o _ f ( t ) 中有一个不等于恒值，“o ) 就是时变电力信号，常把c o _ f ( t ) 不等于恒值的分量称 为时变谐波。把q o ) = 与q o ) = q 都等于恒值的分量称为平稳信号，如q 等于基波角频 率c o o 的整数倍则( f ) 称为谐波，若不是整数倍则称( f ) 为间谐波。 电力信号时频分析的主要目标是把概周期的u ( t ) 分解为多个正弦成分之和的形式，并估 计每个正弦分量的频率、幅值、相角。而传统的离散傅立叶变换方法难以准确分析间谐波与 电压闪变，促使我们寻找新算法以更加准确、全面、可靠地分析电力信号，从而准确掌握电 力系统的实际状态，为消除谐波和间谐波成分、抑制电压闪变、提高电能质量提供基础，更 好地为国民经济服务。 1 2常用的电力信号分析方法 1 2 1 基于离散傅立叶变换( d f t ) 的分析方法 离散傅立叶变换来源于傅立叶级数。若厂( f ) 是能量有限信号，并且关于t 的周期等于2 r t ， 即厂( f ) = f ( t + 2 万) ，其傅立叶级数厂( f ) 定义为 凡) = 夕( 七) 扩 其中傅立叶系数厂( 七) 为 衲= 去r 膏俐p 曲出 傅立叶级数于( f ) p af ( t ) 为极限，可用夕( f ) 作为厂( r ) 的近似，通过对于( r ) 的分析来获取厂( r ) 的信能特征。由于函数族 p 埘 七。z 是周期为2 万的能量有限信号的规范正交基，所以任何能量 有限的周期函数都可以写成傅立叶级数形式。 若以采样周期t 对厂( f ) 进行等间隔采样，把连续时间信号厂( r ) 离散化为时间序列 厂 甩】= f ( n t ) ( = 0 ，1 ，) ，如果一个周期采样个点，离散傅立叶变换f k 】为 腓弘嗽p ( 芋) ) 及其及离散傅立叶级数f n 】为 m 】= 丙1n 烈- i 缸】o x p ( 丁j 2 n - k n ) ) 1 9 6 5 年，j w c o o l e y 和j w t u k e y 基于时域等间隔采样提出了快速傅里叶变换( f f t ) 算法， 合肥工业大学博士论文 3 大大简化离散傅立叶变换的计算，促使f f t 成为主要的信号分析算法，在电力系统信号分析 中也获得的广泛应用 1 4 - 1 6 j 在1 8 9 3 年，s t e i n m e t z 就绘出了线路电压的傅立叶变换系数刚5 1 。在早期的电力系统中， 没有大量的电气化铁路和电力电子设备，电力信号中的非基波分量以整数次的谐波分量为主， 因此选择一个基波周期的时间窗，基本能满足工程需要。随着电力电子非线性设备的广泛应 用，间谐波与时变谐波成分越来越显著，d f t 算法的缺点越来越突出。d f t 算法的主要缺点 是混叠和频谱泄露。 为减小频谱泄露导致的理论测量误差，许多学者提出了多种改进方法。文献 1 7 3 采用余 弦窗，文献 1 8 1 采用汉宁( h a n n i n g ) 窗，文献 1 9 采用自卷积窗，都结合插值算法，其目的 都是减小频谱泄露的影响，提高了谐波幅值和相位检测精度。文献 2 0 采用四阶系数的余弦 窗- r i f e _ v i n c e n t ( i i i ) 窗，分析间谐波信号。窗函数不能解决主瓣处偏离零值点而导致的 误差，所以加窗方法对减少泄漏的作用也是有限，内插技术虽然有效消除泄漏影响，但该算 法数据处理量大实时性差。文献【2 1 】提出并证明了离散傅里叶变换的基相量循环移位性质，根据 该性质很容易确定每一步的等角度误差以调整采样率，该算法具有递推特性，不必每一步都作f 下t 运算，减小了确定采样时刻的计算量。 由于d f t 算法是有限支集算法，不论采取何种窗函数，都会对信号进行强行截断。如果时间窗 长度不能不等于谐波和间谐波周期的整数倍，即不满足同步采样要求，则必然存在频谱泄露，导致 理论测量误差。傅立叶系数f k 】不包含时间信息，不能描述频率信息随时间的变化。 1 2 2 基于短时傅立叶变换( s t f r ) 的方法 1 9 4 6 年，物理学家g a b o r 把基本的时频原子定义为时频平面上有最小跨度的波形函数。 为了测量时频信息成分，他提出将信号在这些基本的波形原子下进行分解。o a b o r 原子是在时 间轴和频率轴同时平移一个窗函数g 而得到，毋f o ) = g ( t - r ) e k ，其中f 与孝是两个参变 量，分别代表时间与频率。g a b o r 原子晶z 的能量在时间轴上集中在以f 为中心、宽度为q 的 区间上，其宽度由度量h 的标准差而得到。g a b o r 原子的傅立叶变换是将窗口函数g 的傅立 叶变换宫做平移而得到，垂，f ( o d = g ( c o - 孝) e 一3 7 加。因此，雪，f 的能量集中在以孝为中心、 宽度为的区间上度量了营( 国) 的较大值区域的大小。在时频平面( f ，缈) 上，原子& ，f 的 能量分布通常以h e i s e n b e r g 矩形表示。此矩形的中心在 ，f ) ，时间宽度为q ，而频率宽度 为。根据测不准原理，该矩形的面积满足q 1 2 。当g 为高斯函数时，该矩形面积为 最小，此时毋，f 称为g a b o r 函数。 g a b o r 把函数f ( t ) 的短时傅立叶变换定义为： s f ( r , 善) = e 厂( 嘁f ( t ) d t = f 5f ( t ) g ( t f ) e - j o d t 根据帕斯瓦尔( p a r s e v a l ) 恒等式，把时域积分改写为频域积分，有 s f ( r , 孝) = 去c 夕( 彩) 茁删d 彩 4 第1 章绪论 变换矽0 ，孝) 仅仅