（系统工程专业论文）随机模糊环境下的破产风险模型.pdf

中文摘要 破产论是风险理论中最为热点的研究课题之一，破产问题的不确定性主要体 现在索赔时间间隔和索赔额度等方面随机情形下的破产问题已得到深入的研究 并取得了丰硕的成果，然而在现实的破产问题中，不确定性不单纯表现为随机性 同时还具有模糊性目前关于这方面的研究还处于起步阶段因此，研究如何建 立随机模糊双重不确定环境下的破产风险模型，将具有重大的应用价值和理论意 义 研究了随机模糊环境下的破产问题，在假设索赔时间间隔和个体索赔额均为 随机模糊变量的情形下，建立了随机模糊环境下的破产风险模型给出了最终破 产平均机会的定义及其满足的不等式关系，得出了当个体索赔额服从指数分布时 保险公司最终破产平均机会的解析表达式，并给出了数值例子以说明计算随机模 糊最终破产平均机会的具体方法 研究了随机模糊环境下个体索赔额服从混合指数分布时的破产问题，建立了 随机模糊环境下的破产风险模型给出了最终破产平均机会的定义，得出了当个 体索赔额服从混合指数分布时保险公司最终破产平均机会的解析表达式，并给出 了数值例子以说明如何计算个体索赔额服从混合指数分布的随机模糊最终破产 平均机会 研究了随机模糊环境下的风险序问题，给出了一阶随机模糊停止损失序和 礼阶随机模糊停止损失序的定义及性质在此基础上，在随机模糊复合p o i 8 s o n 破产风险模型中讨论了最终破产平均机会的比较关系并给出了数值例子 研究了随机模糊环境下的离散风险序问题，给出了随机模糊环境下的离散随 机模糊序，离散随机模糊停止损失序在此基础上，在随机模糊复合二项破产 风险模型中讨论了最终破产平均机会的比较关系 关键词：模糊变量；随机模糊变量；破产风险模型；破产平均机会；停止一损失 序 a b s t r a c t 王沁i nt h e o r yi so n eo fh o tt o p i ci nr i s kt h e o 够u n c e r t a i n 蚵i nr l l i np r o b l e i 瑚i s m a j n l y 仞以n gt ot h ei n t e r a r r i 、诎t i i i l eo fc l a i ma n dt h e 锄o u n to fc l a i m t h er 1 1 i n p r o b l e mi ns t o c h a s t i ce n 啊r o n m e n t sh a sb e e nt h o r o u 曲l y8 t u d i e da n da c h i e v r 甜 行u i t f u lr e s l l l t s b u ti nt h er e a lr u i np r o b l e m s ，t h e r e 盯e 小r a ，y so t h 艇u n c e r t a i n p h e n o m e n a ，s u c ha u s 勉z yr a n d o mp h e n o m e n o n ，o rr a n d o mf u z z yp h e n o m e n o n t i un o w ，t h er e s e a r c hi nt h i sa l r e ai ss t mi ni t si n f a n c ys t a g e h o wt oe s t a b h s ht h er l l i nr i s km o d e lu n d e rr a n d o mf u z z ye n 、，i r o n 】叽e n t s ，w o l l l db e a 黟e a tv a l u e 舡l d 让l e o r e t i c a l ls i g i l i 丘c a n c e 7 i l h er u i np r o b l e mi nr a n d o mf i l z z ye n 啊r o n m e n t si 8t ob e 缸s tr e s e a r c h e d t h er u i nr i s km o d e l i nr a n d o mf u z z ye n 、，i r o n m e n t si se s t a b l i s h e dw h e nt h ei n t e r - 唧i v a lt i m eo fc l a i ma i l dt h e 锄o u n to fc l a i m 盯ec h a r a c t e r i z e d 嬲r a n d o mf u z z y 、，a r i a b l e s t h em e a ne h a n c eo ft h eu l t i m a t em i ni sr e s e a u r c h e d t h e 唧r e s s i o n s o ft h em e a nc h a n c eo ft h eu l t i m a t em i ni so b t a i n e di fi n d i 、，i d u 8 lc l a i ma l o u n t i sa ne 印o n e n t i a u y 拙t r i b u t e dr a n d o mf l l z z y 谢a b l e n r t h e r i n o r e ，u m e r i c a l e ) 【龇n p l e sa 舱p r e s e i l t e dt os h a wk wt oc a l c u l a t et h em e a nc h a n c eo ft h eu l t i i n a t e r u l n f o rt h em i np r o b l e mi nr a n d o mf u z z ye n v i r o n m e n t s ，t h er u i nr i s km o d e li n r a n d o mf u z z ye 嘶r o n m e n t si se s t a b h s h e di ft h ea m o u n to fc l a i mi sc h a r a c t e r i z e d 嬲a 面x e de x p o n e n t i a u yd i s t r i b u t e dr a j l d o mf t l z z yv a r i a b l e t h em e a nc h a n c e o ft h eu l t i m a t er u i ni sr e s e a r c h 甜t h e 唧r e s s i o n so ft h em e a nc h a n c eo ft h e 1 l l t i m a t em i ni so b t a i n e di fi n d i 、r i d u a lc l a i ma m o u n ti sam i ) 【e d 唧o n e n t i a l l yd 珏 t r i b u t e dr a n d o mf u z z yv 甜i a b l e f u r t h e m o r e ，肌m e r i c a l 黝p l e sa r ep r e s e n t e d t os h o wh o wt oc a l l c u l a t et h em e a nc h a n c eo ft h eu l t i m a t er u i n f o rt h er i s ko r d e ri nr a n d o mf u z z ye n 、，i r o n 1 e n t s ，t h ec o n c e p t sa n ds o m e u s e f u lp r o p e r t i e so ft h er a n d o mf u z z ys t o p l o s so r d e ra n dt h en t hr a n d o mf u z z y 8 t o p l o s so r d e ra r e 酉v e n b a s e do nt h ea hr a n d o mf u z z yo r d e r sm e n t i o n e da b o v e ， h o wt h ei n d i v i d u a lc l 莳m 硝i b c t st h e 帕a nc b a 皿c eo ft h eu l t i m a t er l l i na r e ( p l o r e d i nr a n d o mf u z z yc o m p o u n dp o i s 8 0 nr u i nr i s km o d e l f i n a l l y jn u m e r i c a le x a m p l e i s 舀v e n f b rt h ed i s c r e t er i s ko r d e ri nr a n d o mn z z yen _ v i r o n l e r l t 8 ，t h ec o n c e p t sa n d s o m eu s e f u lp r o p e r t i e so ft h e 出s c r e t er a n d o mf u z z yo r d e r ，d i s c r e t er a n d o mf u z z y s t o p - l o s so r d e ra r eg i v e n b a 8 e do nt h ea ur a n d o mf 忱z yo r d e r sm e n t i o n e da b a v e ， h a wt h ei i l d m d u 出c l 池a 珏砒st h em e a nc h a n c eo ft h eu l t 曲矗t er u i na r e 唧l o r e d i nr a n d o mf u z z ye o m p o u 】1 db i n o m i a lr u i nr i s km o d e l k e ”旧r d s ：f u z z y i a b l e ；舶n d o mf u z z yv a r i a b l e ；r u i nm s km o d e l ； t h e m e a nc h a n c eo ft h eu l t i m a t e ；s t o p - l o s so r d e r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：l 乒i 鸯签字日期：叫年，月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规 定特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借 阅同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：茜、f 奄 签字日期：吲年，月7 日 导师签名； 签字日期：叫年月7 日 1 1 选题的背景和意义 第一章绪论 风险就是不确定性，人类最大的风险，就是不能知道自己的将来，就是在其 决策和行为过程中，造成实际结果与预期目标的差异性及其发生的概率风险的 差异性包括损失的不确定性和收益的不确定性一般对风险的应对策略是风险自 留和风险转移两种对于风险发生产生的损失比较低，自己容易克服的风险采取 自留的方式而对于自身的承受能力无法承担时，就将风险转嫁给他方，以降低 风险损失，保险是转嫁风险的有效手段于是保险公司应运而生，保险公司是经 营风险的特殊金融服务机构，其风险也具有多样性：利率风险、市场风险、汇率 风险、定价风险、通货膨胀风险，无偿付力风险( 即信用风险) 等等而最根本的 风险是保险公司资不抵债，无偿付能力风险通过保险业务，一是在损失发生后 可以得到经济补偿保险是一种经济保障活动，投保人交纳保费，与保险人签订 保险合同，保险人承担风险；二是可以得到风险管理服务，保险人承担风险后， 利用自身风险管理的经验，借助社会有关力量，为被保险人提供防灾防损服务， 减少事故的发生；三是保险保障安全性高，保险是一种法律契约关系，它以数理 计算为依据经营风险，避免了盲目性，最大限度地保障了被保险人的经济利益 我国的保险事业起步较晚，目前，保险业可能采用的金融投资工具有限，投资增 值能力较差，因此更加需要加强保险公司的经营管理保险公司一方面应采取各 种措施增加保单数额，稳定风险波动另一方面合理地厘定保险费率，科学地预 测未来的风险与收益，这已经成为我国保险业必不可少的经营手段风险理论作 为精算界与数学界研究的热门课题，主要应用于保险、金融、证券投资以及风险 管理等涉及风险分析和决策的领域它借助于概率论与随机过程理论构造数学模 型，来描述各种风险业务过程 所谓风险理论，是经营者或者决策者对风险进行定量分析和预测的一般的理 论。已被广泛的运用于保险和投资领域，投资者需要选择那些投资少，利润高的 项目；而对于保险公司来说，获得投保人缴纳的保费收益，同时承担投保人所面 临的相关风险，保险公司的财务状况和偿付能力是保险人和投保人都十分关心的 问题，而破产概率作为评价保险公司偿付能力的一个重要指标已成为风险理论的 l 第一章绪论 核心内容 现已公认破产论的研究追溯于瑞典精算师f i h pl u n d b e r g 【石j 于1 9 0 3 年发 表的博士论文，至今已经有一百多年的历史在他的这篇论文里，首次提出了 一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程但是，l u n d b e r g 的工作并不符合现 代数学的严格标准，后c r 锄白将其严格化，从此奠定了破产论坚实的理论基 础他们所建立的数学模型也被公认为是经典的风险模型对风险理论的系统 论述当属于g e r b e r 和g r a i l d e u 近年来，国内外的学者们已对经典风险模型进 行了透彻的研究现在对保险风险理论的研究基本上就是对古典风险模型进行 改造和推广，使模型更接近实际，结果更具有可操作性相关的更多文献参见 【6 ，7 ，1 7 ，1 9 ，2 1 ，2 7 ，3 4 ，3 9 ，8 6 ，9 9 】 风险理论中另一活跃的研究课题是风险排序风险序作为风险理论的重要工 具之一，在研究风险的优劣性及保险的决策问题方面都起着重要的作用保险公 司可能接到不同的若干风险业务，公司决策者希望利用这些风险的已知信息估 计出对各种风险所收取保费的相对大小，并可根据自身经营状况等各种因素综合 分析后决定选取何种风险进行投保，从而获得最大赢利或降低损失至最小这引 起了保险专业人士和相关学者的高度重视很多著名学者，如g e r b e r ，k a a s 和 g o o v a u e r t s 等，都曾在自己的著作中对风险理论经典的序进行了系统的讨论和研 究较为常见的风险序有：随机控制序、停止损失序、凸序、指数序等等目前， 序的理论基础已发展得比较完善，许多学者为其作出了重要贡献 经典的风险模型及其推广模型的焦点是索赔时间间隔和个体索赔额，而在 其模型中都被设成了随机变量而保险业的特点是：保险公司先收取一定数额的 保费，当损失发生时保险公司将支付一定数额的赔款给投保人以弥补损失即， 收取保费在先，理赔在后，保险公司并不能准确的预知未来一段时间内的索赔额 度理赔时间和数额都是不确定的，其赢利的不确定性主要由索赔额决定在风 险理论中还存在着大量客观的或人为的不确定性，如随机性、模糊性，模糊随机 性、随机模糊性等在以往风险理论的研究中，不确定的量被假设为服从某一概 率分布的随机变量，而由于历史数据的缺乏及不准确性，许多不确定现象并不能 给出其所服从的精确的概率分布 l i u 【b b ，吖】于2 0 0 4 年提出的可信性理论，为 解决不确定环境下的风险问题提供了理论基础和有力的工具 2 第一章 绪论 现实生活中，各种不确定信息往往是交织在一起出现的例如，随机模糊现 象、模糊随机现象等等在保险公司的实际运营中，也大量存在着这种不确定因 素但是，目前关于风险理论的文献几乎没有考虑到多重不确定因素混合情形下 的破产风险模型因此，本文在随机模糊环境下讨论的破产问题及停止- 损失序 问题具有其实用背景及现实意义 1 2 国内外研究现状 1 2 1 经典风险模型 破产理论的研究最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，下面给出 ( l u n d b e r g e r - c r 姐1 6 r ) 经典风险模型1 3 1 1 ( 简称i 广c 模型) 的介绍、假设和主要结 果 设 正，i 1 ) 是一串独立同指数分布且参数为入的正的随机变量，其中正 表示第( z 一1 ) 次和第z 次索赔发生的时间间隔 定义岛= 0 且 & = 噩+ 乃+ + 死，1 ，( 1 1 ) 则是第佗次索赔发生的时间 保险公司至时刻亡为止所发生的索赔次数定义为 ( t ) 2 瓣川o o ，称作相对安全负载 c 入p 1 意味着每单位时间内收到的保险费超过单位时间内所支付的理赔 额的期望值，此时有正的相对安全负载 保险公司最终破产概率为 皿( 让) = p r t t 正) ( 1 1 3 ) 此外，极大损失变量l 亦可表示为表为 r rr l 一乙l m n = 1 其中三1 表示盈余过程首次低于初始盈余乱的落差( 即赤字额度) ，如，l 3 ，表 示赤字发生时，相邻两次赤字之间的落差为盈余过程 r ( t ) ，亡o ) 中赤字 发生的次数 6 第章绪论 图1 3 中所示的是初始盈余钆= 0 时，厶的样本轨道示意图 u m一 w 图1 3 ：t = 0 时，厶的样本轨道示意图 7 第一章绪论 图1 4 中所示的是初始盈余让 0 时，厶的样本轨道示意图 一 二y 一 南 图l - 4 ：乱 0 时，厶的样本轨道示意图 t 风险理论发展到今天，经典风险模型的理论已趋于成熟，经典风险模型的研 究日趋完善它是由瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 【缁】于1 9 0 3 年首次提出的，其 后，f i pl u n d b e r g 和h 盯a l dc r a l e r 给出了初始盈余为0 时，经典风险模型 的破产概率、当个体索赔额为指数分布时的破产概率以及破产概率的l u n b d e g r 界和c r a m e r - l u n b d g e r 逼近为了更精确的描述破产的严重程度，g b e r b e r 等 【m 】引入了破产时的盈余，给出了破产发生时破产赤字的分布函数满足的一个积 分方程，并且当个体索赔额为混合指数分布和混合g 锄m a 分布时分别得到了 积分方程的解之后d u 丘e s n e 和g e r b e r 【z b 】又在此基础上引入了破产前瞬间盈 余，并对个体索赔额为指数分布和混合指数分布的情形给出了破产前瞬间盈余的 分布函数的解析表达式d i c k s o ni 上冽继续考虑了破产前瞬间盈余的分布，利用 破产时各事件之间的关系，将破产前瞬间盈余的分布函数用破产赤字的分布函数 和破产概率表示出来d i c l ( s n o n 和d o sr e i s 【z u 】进一步将此方法进行了推广， 借助对偶原理导出了破产发生时破产前瞬间盈余、破产赤字的联合分布表达式 8 第一章绪论 g e r b e r 和s h i u 【j 切借助鞅方法，利用模型的马氏性和对偶原理，得到了三个重 要精算量；破产时间、破产前瞬间盈余和破产赤字的联合分布满足的更新方程 1 2 2 经典风险模型的推广 近年来，保险风险理论的研究基本上是对经典风险模型的改造和推广，以使 模型贴近于实际，结果更具有操作性，并使得风险理论的研究内容和结果更加丰 富多彩经典风险模型的重要结果为破产理论的发展奠定了坚实的基础，但由于 经典风险模型本身有着很多缺陷，例如，忽略了利率和其它除保费和理赔之外因 素对风险模型的影响，对保费收入的描述不够合理，理赔次数的描述有待于改进 等，于是很多学者对经典风险模型进行了推广 在以往的大量工作中，常见的模型推广有以下几个方面： ( 1 ) 更新风险模型 根据保险公司的实际运营情况及各险种之间的差异，将( 1 4 ) 式中的齐次 p o i 鹃o n 过程 ( 亡) ，t o ) 推广为：非齐次p o i 帑o n 过程、混合p o 矗舯n 过程、 e r l a n g ( n ) 过程、c 呶过程和更新过程等使索赔时间间隔不仅仅局限于服从指数 分布，而是用其它的分布代替，甚至是更一般的分布来描述索赔过程a m m e t e r 川 是第一个把索赔计数过程推广到了非齐次p o i 豁o n 过程混合p o 豳o n 过程和c 似 过程的人 d i c l 【s o n 和h i i p p 【2 2 ，2 3 】讨论了索赔计数过程为e r l a n g ( 2 ) 的风险 模型，并进行了比较系统的研究，得到了关于破产概率一些重要的结论 l i 和 g a r r i d o 【5 1 1 ，s u n 【9 2 ，9 3 】等人考虑了索赔计数过程为更一般e r l a n g ( n ) 过程的风 险模型a n d e r s e n 【4 和w i u m o t 【1 0 0 】假设了索赔的发生遵循更一般的更新过 程 c o x 过程又称重随机p o 硫o n 过程，是p o i 蹈o n 过程在强度方面进行推广得 到的，在给定过程 a ( t ) ：t 之o ) 的轨道的情况下，( t ) 服从以该轨道为强度 的p o i s 8 0 n 过程这样的推广有其实际的背景和意义：在保险公司实际运营中， 由于经济形式的变化、生活环境的变化、气候的变化及其他因素的影响，任意时 刻的投保人和退保人都带有随机性的例如在机动车辆保险中，车辆发生事故就 会受突发的恶劣天气的影响，有时还可能发生一些特大事故( 如发生地震或水灾 等) 因此，索赔次数的强度是随机改变的，用强度恒定不变的齐次p o i s s o n 过程 来描述索赔次数存在着很大的局限性，用c 呶模型研究索赔次数及考虑相对于 9 第一章绪论 保费的影响，更符合保险公司实际运营的情况，其结果也更有实际的指导意义 相关文献可参看【1 ，1 2 1 1 等 ( 2 ) 利率风险模型 在保险公司日常的收入中，除了收取保费还有一部分收入是不可忽视的，那 就是银行利息从保险公司内部运作来讲，仅靠收取投保人的保费是不足以获得 高额的利润的，为了取得更多的收益，它会将多余的准备金用于投资，如存入银 行、购买国库券或者购买其他风险基金由此可见，利息是影响保险公司资产和 负债不容忽视的重要因素在这类扩展模型中又可以分为常利率风险模型和随机 利率风险模型下以常利率为例对模型进行说明 设利率为常数j ，在m 时间内保费变化为c d t ，利息收入为占( t ) 出发生索 赔额d c ( t ) ，故出时间内盈余变化为。 u ) d 亡= o d t + 6 u ) d t d c ( 亡) ， b r m e 阉首先研究了这个问题，它在假设风险过程服从布朗运动的情况下对破 产概率做了研究，p a u l s e n 等【8 1 】在假设保险公司将全部盈余用于购买风险资产 的情况下的破产问题j i n m a 等1 7 9 】和c a i 等【n ，12 】在随机利率的情况下对古 典风险模型的破产问题进行了研究其他相关文献可参看【9 0 ，9 1 ，9 7 ，1 0 1 】等 ( 3 ) 带扩散扰动项的风险模型： 经典风险模型中，保费是保险公司的唯一收入，但在实际中，保险公司有多 种保险业务，收入的来源是多种多样的保险公司可以先科学地预测公司的未来 情况，将多余的盈余投入其它的项目进行盈利由于理赔情况多种多样，还有保 险基金面临的通货膨胀，利率变化等一系列情况，导致保险公司有一些不确定的 收支，于是在经典风险模型中添加了一个干扰项简言之，干扰可以被视为保险 公司管理或者经营的偏差对其财务的影响 设盈余过程由下式给出： u ( 亡) = 让+ d c ) + w ( 亡) ，忱0 ， 其中w ( ) 为标准的布朗运动，且 w ( t ) ，亡o ) 和 c ( 亡) ，t o ) 相互独立 显然，破产概率皿( 乱) 可分解为 皿( 缸) = 皿d ( 让) + 皿c ( 让) ， 】o 第一章 绪论 其中( 让) 表示因随机扰动而引起的破产，皿c ( 乱) 表示因索赔而引起的破产 图1 5 所示是因索赔而引起破产的盈余过程的样本轨道 u ( t ) l 一1 一 ，i t 图1 5 ：因索赔而引起破产的盈余过程的样本轨道 g e r b e r 【3 n 】第一个给出了这个模型，此后许多学者对此模型进行了研究，得到 了破产概率及破产问题的众多结果( 见文献d u 矗e s n e 和g e r b e r 【n 8 】v e r a v e r b e k e 9 5 1 ，f h r e r 和s c h i i l i d l i 【2 9 1 ，s c h i i l i d l i 【8 6 1 ，z h a n g 【1 1 1 】和w 抽g 【9 6 】等) ( 3 ) 分红风险模型 随着金融业的蓬勃发展，保险业也得到了迅猛的发展由于保险业的竞争日 益激烈化和人们对保险产品的认知程度逐渐提高，保险公司为了激励股东和投保 人而派发红利，因此带有分红的保险产品已经进入大家的实际生活中，同时也引 起了一些学者的关注和研究 分红风险模型是假定当盈余资本超过某个预先给定的红利界时，将超过的 部分作为红利派送给股东或投保人分红问题的研究可以追溯到1 9 5 7 年在纽约 召开的国际精算学大会上，b r u n od ef i n e t t i 首次提出了这个模型，此后吸引了 更多专家、学者在这一领域进行探讨，研究，包括分红策略的研究也成为热门话 题其相关文献有：j e a n b l a n c p i c q u e 和s h i r y s e v 【4 孑! ，a s 肌l s s e n 和t a b 盯【5 】， a l b r e c h e r 和k a i n h o f e r 【2 1 ，g e r b e r 【3 3 1 ，g e r b e r 和s h i n 【37 】，l i 和c a u r r i d o 【5 2 】，l i n 和w i l h n o t 【5 6 】，s i e 9 1 和t i c h y 【8 7 】等 1 1 第一章绪论 ( 4 ) 可变保费的风险模型 经典风险模型几乎都蕴含着这样一个假定：即保险费率为一常数但是在实 际中，由于竞争、利率等经济环境的影响，保险费率往往不是常数，不同单位时 间所收取的保费常常不一样假设保费收入是随机的，则经典的风险模型又可推 广为以下三种模型： ( a ) 双复合p o i s s o n 风险模型 假设保费的收入服从p o i s s o n 分布，则 被称为是双复合p o i s s o n 风险模型 ( b ) 复合更新风险模型 假设保费收入过程为更一般的更新过程，则 ( 1 - 1 4 ) ( t ) 矿( t ) = 札+ c 舰一五 ( 1 1 5 ) t = 1 被称为是保费到达为更新过程的复合更新风险模型【1 2 9 ，1 3 4 】 ( c ) 随机保费风险模型【1 1 7 】 此模型是将保险费率推广为任意的随机变量，则 ( t ) u ( 右) = u + ( u ) 一k ， ( 1 一1 6 ) t = l 其中) 是任意正的随机变量，表示单位时间内保费收入 图l 一6 和图1 7 是) 取两个不同值时盈余过程的样本轨道 1 2 鼍 汹 一 k 澍 +u = u 第一章绪论 u 1 ? 。 t n7 一 图1 6 ：随机保费风险模型中) 取其中一值时盈余过程的样本轨道 ( 5 ) 离散的风险模型 在保险公司各险种业务中，有一些是按照某个时间段来收取保费和支付索赔 的，这个时间段通常为一年例如，在人寿保险中，保险公司以年为单位向投保 人收取一定数量的保费和支付索赔讨论得最多的离散时间经典风险模型是复合 二项风险模型，复合二项风险模型是假定在每一单位区间内索赔或者不发生，或 者只发生一次，它与经典风险模型的区别就在于相邻两索赔到达的时间间隔的分 布是不同的，前者是几何分布而后者是指数分布复合二项风险模型由下式给出 ( n ) 矿( 礼) = 缸+ 佗一乏二k ，扎= o ，l ，2 ( 1 1 7 ) i = l 礼表示至时刻n 保险公司已征收的累积保费额，( 佗) 表示至时间佗所发生的 索赔次数，假设( n ) 服从以p ( 0 p 1 ) 为参数的二项分布 对于复合二项风险模型也有不少文章论及g e r b e r 【3 5 】在初始盈余为零的情 况下，给出了最终破产概率、破产前刻的盈余和破产时赤字的概率规律的显式 解；成世学等【儿9 l 则对任意的初始盈余与任意的个体索赔额给出了破产概率和 1 3 第一章绪论 u 鳓 图l 一7 ：随机保费风险模型中荨p ) 取另一值时盈余过程的样本轨道 概率律的递推解、变换解与显式解；此外，c h e n g 和w u 【1 4 l 还首次提出了保险 公司生存至任一有限时刻七，并在时刻后的盈余恰等于o ( z 1 ) 的概率这一概 念，并得出了它的显式解在s h i u 的关于破产时刻的定义下，文献 8 8 】与【9 8 】 给出了最终破产概率与有限时间的生存概率的显式解 ( 6 ) 多险种风险模型 随着保险公司经营规模的日益扩大，新险种的不断开发，险种趋于多元化 经典的模型只考虑一种险种的情况，这种单个险种的风险模型对于研究整个公司 的破产概率就无能为力了多险种的风险模型，用不同分布的随机序列来描述不 同险种的索赔额，既能反映各个险种对公司总业绩的影响，也能反映保险公司总 体的经营业绩因此，采用多险种风险模型，对保险公司的经营及监管部门的监 管更具有实际意义 多险种风险模型可以表示为 u ，= 仳+ 骞卜t 一攀叉夕 ， c 1 1 8 ， 其中佗表示保险公司向市场投放险种的数量，常数勺( 勺o ) 表示单位时间收取 第一章绪论 第j 险种的保费，( t ) 表示第歹种险种在时间( o ，t 】内的索赔次数， 也( t ) ，t o ) 是参数为的p o i s 8 0 n 过程，斟，表示第歹种险种的第z 次的索赔额， 斗，z = 1 ，2 ，佗) 是佗列独立同分布的正的随机变量序列 ( t ) ，亡o ) 和 础，t = 1 ，2 ，佗) 也相互独立 y i l e n 等【l u 铆讨论了两类索赔的情形，其中的计数过程分别为p o i s s o n 过 程和e r l a n g ( 2 ) 过程，而“等p 明把文献 1 0 3 中的e r l a n g ( 2 ) 过程推广到了 e r l a n g ( n ) 过程 为了更进一步贴近保险公司的实际运营情况，一些学者在上述推广模型的 基础上建立了混合风险模型，即含有两类或两类以上推广模型c a j 【l u l 讨论了 利率条件下的离散风险模型y u e n 【l0 4 】等研究了带扰动的e r l a n g ( 2 ) 模型国 内的众多学者在这方面也做了大量的研究：y a n g f l 【j n 】考虑了随机利率下的离散 风险模型的破产问题韦晓等【1 3 3 】考虑了变保费率的扰动风险模型杨善兵等 【1 3 5 】给出了常利率下两险种风险模型的破产概率唐国强【1 3 1 】在双二项风险模 型的基础上，考虑了常数利率下的破产问题郭东林等【ln 4 】对索赔计数过程是 e r l a n g ( 2 ) 过程，保费收入为复合p o i 潞o n 过程的风险模型进行了讨论。值得一 提的是，成世学【l l 蝴对风险理论近百年的研究进展作了综述性的回顾，阐述了 当代研究破产论的权威学者g e r b e r 及其合作者的主要研究成果，还介绍了当代 破产论研究中其他的主要进展和理论研究热点 1 2 3 随机序理论 最早的有关随机序概念的研究工作始于h a r d y ，l i t t l e w o o d 与p o b r a 于1 9 3 4 年发表的关于不等式的名著1 4 0 】文章在停止损失费率的基础上研究了各风险 之间的停止损失序关系此后，随机变量的随机序在许多领域有着广泛的应 用，特别是在金融学、可靠性系统、精算与风险变量等领域关于随机序的一般 理论及其在各领域的应用已有较为丰富的研究结果【8 9 】g o o v a e r t 8 与k a a u s 等 发表的专著 3 8 与 4 4 】系统地介绍了随机序在精算领域中的应用在保险精算 中，停止一损失序是最常用的一种，它与保险中常见的保单即停止损失保单是 密切联系在一起的，而其个体索赔额依停止损失序的排序对保险公司最终破产 概率也有着决定性的影响保险公司通过风险比序的结果，制定出相应的保险费 率及最优再保险合同在文献【4 3 】中，k a a s 讨论了一阶停止一损失序及性质， 1 5 第一章绪论 并讨论了风险序关系对保险公司最终破产概率的影响k a a s 和h e s s e l a g e r l 4 6 】 考虑了高阶停止一损失序及连续分布的各种序关系t s a 4 】讨论了停止一损失 变换及带有扩散扰动的盈余过程的序关系 c h e n g 和p a l i i j b ，l b 】将停止损失 变换扩展到了礼阶停止一损失变换，给出了佗阶停止损失序的一些重要的性 质及保险公司最终破产概率在仇阶停止- 损失序下的序关系文献【1 3 讨论了 佗阶停止一损失序在带有扩散扰动的风险模型中的应用y l l e n 等i l u 5 】把经典 的风险模型扩展到了双变量复合p o i s s o n 模型，并在此基础之上讨论了风险序的 应用李明明和成世学i “训则重点研究了离散的停止损失序及其在复合二项 破产模型中的应用 1 2 4 可信性理论 1 9 6 5 年， z a d e h 【上uo 】第一次提出了模糊集的概念，并把这种非随机的不 确定性称为模糊性从此，模糊集理论广泛用于各种领域并在应用中得到进一 步的发展许多研究人员致力于对其作更深入的研究，陆续得到了一些有代表 性的成果，例如k a 咖a n n 【4 6 】首先提出了模糊变量的概念，然后n a h 面a s f 8 0 】 提出了模式空间的概念， z a d e h 【1 0 9 ，1 10 】定义了可能性测度和必要性测度并提 出了可能性理论d u b 豳和p r a d e 【25 1 ，k 1 i r f 47 1 ，s 加1 8 5 1 ，e n i n l l 0 6 1 ，和 l i u 【5 8 ，5 9 ，6 3 ，6 4 ，6 6 ，6 7 l 进一步发展了模糊理论特别是l i u 【6 6 】提出了一套完 善的类似于概率论的、研究模糊性的公理体系，称之为可信性理论 模糊随机变量是对模糊随机现象的一种数学描述，k w a k e m a a k 【4 9 5 u l 首先 给出了模糊随机变量的定义，此后根据各自理论的需要，p u r i 和r a l e s c u 【酌】， k r u s e 和m e y e r 【4 8 1 ，以及l i u 和l i u i l 72 】给出了不同的可测性，从而产生了不同 的模糊随机变量的数学定义 不同于模糊随机变量，l i u 【m 】提出了随机模糊变量的概念，将其定义为从 可信性空间到随机变量集合的映射，并将其平均机会定义为从区间( o ，1 到 o ，1 的一个函数 l i u 和l i u 【，4 】定义了随机模糊变量的期望值算子，分析了期望值 算子的一些性质，并设计了随机模糊模拟技术估计随机模糊变量的期望值关于 可信性理论的其他相关文献可参看 5 7 ，6 0 ，6 2 ，6 8 ，6 9 ，7 1 ，7 5 ，1 2 6 ，1 2 7 ，1 3 0 】等 近年来，对于不确定环境下更新过程的研究已有涉及：p 叩a 、，a 和w u 瞄胡讨 论了点间间隔和报酬均为模糊随机变量的模糊随机报酬更新过程h 加g 【4 上】考 1 6 第一章绪论 虑了具有模糊强度的模糊随机报酬更新过程z h a 0 和t a n g 1 1 1 2 ，1 1 4 ，1 1 5 ，1 16 】 考虑了不确定环境下的更新过程和报酬更新过程及其性质作为报酬更新过程的 应用，本文借助于可信性理论【6 6 ，6 7 】、模糊随机理论1 7 2 】和随机模糊理论【7 4 】 的最新研究成果对不确定环境下的风险模型进行了研究，以期能够丰富不确定理 论以及在风险理论中的应用 1 3 本文的主要工作和创新点 1 3 1 本文的主要工作 迄今为止，从经典风险模型的诞生到发展，风险理论历经百余年国内外一 些专家学者从不同的角度对风险理论进行了深入的探讨，随机环境下的风险理论 的研究几近完美但是，不确定环境下的风险模型却罕有涉及本文首次应用最 新的理论成果：可信性理论、随机模糊理论、不确定过程理论与风险理论的研究 相结合，建立了随机模糊双重不确定环境下的破产风险模型，使其更加贴近保险 公司的实际运营情况，也为风险理论的研究开创了新的思路本文的主要研究内 容共分为六章 第一章，分析了论文选题的依据和研究的意义，并对经典的风险模型、模型 的推广、国内外研究现状作了简要的介绍 第二章，介绍了本文所涉及的相关理论知识，包括模糊变量、随机模糊变量、 随机序等内容 第三章，运用可信性理论的知识，将索赔时间间隔和个体索赔额设为随机模 糊变量，建立了随机模糊环境下的破产风险模型给出了随机模糊环境下评判保 险公司优劣的重要指标：最终破产平均机会的定义，并得出了最终破产平均机会 所满足的性质得到了当个体索赔额服从随机模糊指数分布时最终破产平均机会 的解析表达式讨论了当索赔时间间隔和个体索赔额退化成随机变量时，所得结 论均与随机环境下的经典风险模型的结论相吻合表明随机模糊环境下的破产风 险模型是经典的风险模型的推广，并给出了数值例子以说明当个体索赔额服从指 数分布时如何计算随机模糊最终破产平均机会 第四章，运用可信性理论的知识，建立了个体索赔额是服从混合指数分布的 随机模糊变量时的破产风险模型得出了当个体索赔额服从混合指数分布时最终 1 7 第一章绪论 破产平均机会的解析表达式讨论了当索赔时间间隔和个体索赔额退化成随机变 量时，所得结论均与随机环境下的经典风险模型的结论相吻合表明随机模糊环 境下个体索赔额服从混合指数分布的破产风险模型是经典的风险模型的又一推 广，并给出了数值例子以说明怎样计算当个体索赔额服从混合指数分布时的随机 模糊最终破产平均机会 第五章，运用可信性理论的知识，在随机模糊环境下给出了一阶随机模糊 停止一损失序和n 阶随机模糊停止损失序的概念及性质，并在随机模糊复合 p o i 鹤o n 破产风险模型中讨论了随机模糊风险序对保险公司最终破产平均机会的 影响，最后给出了数值例子 第六章，运用可信性理论的知识，在随机模糊环境下给出了离散随机模糊 序，离散随机模糊停止一损失序的概念及性质，并在随机模糊复合二项破产风险 模型中讨论了随机模糊风险序对保险公司最终破产平均机会的影响 最后总结了全文的工作 1 3 2 本文的主要创新点 本文从一个崭新的角度对风险理论中的破产问题进行了研究运用可信性理 论、不确定过程理论等最新的研究成果，建立了更接近于实际的破产风险模型 这不仅丰富了风险理论的内容，也促进了破产风险模型的实际