（材料物理与化学专业论文）声子晶体中声波或弹性波带隙的研究.pdf

摘要 摘要 本 文主要研究了声波或弹性波在弹性系数周期性排 列的复合介质 即声子晶体中传播时产生的声波或弹性波带隙的属性。 在带隙频率范围 内，振动和声传播 都不被许可 。 我们通过改变声子晶体的结构、组元的 属性等方面获得 了宽带隙， 同时 ， 本文对声子晶体的线缺陷也做 了研究。 首先，我们从弹性波波动方程 出发，详细介绍 了计算声子晶体带结 构的两种方法: 平面波展开方法和多重散射方法。 分别对二维和三维情 况的二组元和三组元系统的弹性波或声波带结构进行了研究， 验证 了带 隙产生的条件 ，同时阐明了两种方法各 自的优越性。 接着，我们研 究了具有 两种结构单元的三维声子 晶体的弹性波带 隙， 文中引入 了三种构形 : a . 在球形散射体组成简立方结构的兀胞 ， 心 插入另一球形散射体; b . 在球形散射体组成简立方结构的元胞 中心插 入方形散射体 ; c ， 在方形散射体组成简立方结构的兀胞 中心插入另一 方形散射体。计算发现，在钢和塑料系统 中， 前两种结构 的带隙比原始 简立方的情形下的带隙大，而后种的带隙却 比原始情况的带隙小。 我 们再次证明了系统的排列结构和散射体形状对带隙有着很大的影响， 同 时对某些特定构形也找到了增大带隙宽度的有效方法 。 第三，我们利i l l 超元胞方法对由水/ 水银构成的_维声子 晶体 i 的 线缺陷进行了研究， 讨论了直线形线缺陷和弯形线缺陷的缺 陷态 ， 通过 分析缺陷态场分布可以发现 ， 声波在二维缺陷系统中传播时， 将沿着线 形缺陷位置处传播 ， 这为我们在工程应用 中设计出了直线形和弯形波导 提供了理论依据 。 第四，我们对以粘滞液体为基体的二维系统的声波带隙进行了研 究。 介绍了在粘滞介质中的波动方程及其平面波展开， 其色散关系中最 大的特点就是具有复本征频率， 其虚部表 明了粘滞引起的衰减。当粘滞 参量与弹性模量在 同一数量级时，粘滞 的大小对带隙属性 具有较大影 响。并且我们还发现，在硅/ 液体系统中，液体 中的粘滞可以增加带隙 宽度 ，而且调整粘滞参最，可以得到我们所需要 的频率带i v e 摘要 最后， 我们采用平面波方法和多重散射 的方法分别对 二维和三维系 统的三组元声子晶体的弹性波带隙进行 了优化。 对基于局域共振结构 的 三组元声子晶体 ( 较软较轻材料包裹着重核 ， 其包层 比核和基体两种材 料软)，我们通过调整内核与包层的半径 比例 ，使带隙达到最优。在我 们所讨论的系统 中，均找到了最优带隙。计算证明这是一种简单、可行 而理想的优化方式 。 通过研究散射体填充率对带隙的影响还发现，以局 域共振为主的带隙属性和以布拉格散射为主 的带隙属性之间存在较大 差异 。 关键词: 声子 晶体;声波带隙;弹性波带隙:缺陷态 abs t ra ct abs tract i n t h i s p a p e r , w e i n v e s t i g a t e d t h e a b s o lu t e e l a s t i c w a v e ( e l ) a n d a c o u s t i c ( a c ) b a n d g a p s i n p h o n o n i c c rys t a l s , a k i n d o f p e r i o d i c e l a s t i c c o m p o s i t e m a t e r i a l s i n w h i c h t h e a c o u s t i c o r e l a s t i c w a v e p r o p a g a t e . i n t h e b a n d g a p fr e q u e n c i e s , s o u n d a n d v i b r a t i o n a r e a l l f o r b i d d e n . we f i n d t h e w a y s i n c l u d i n g c h a n g i n g t h e s t r u c t u r e a n d p r o p e r t i e s t o o b t a i n t h e r a t h e r b i g b a n d g a p s . t h e l i n e a r d e f e c t s a r e a l s o s t u d i e d i n t h i s p a p e r . s ta r t i n g w i t h t h e e l a s t i c w a v e e q u a t i o n , w e f i r s t i n t r o d u c e t w o k i n d s o f m e t h o d t o c a l c u l a t e t h e b a n d s t r u c t u re : o n e i s t h e p l a n e w a v e e x p a n s i o n . t h e o th e r i s mu l t i p l e - s c a t te r i n g t h e o ry. u s i n g t h e s e m e t h o d , w e c a l c u l a t i o n t h e b a n d s tr u c t u r e o f t w o - d ime n s i o n a l s y s t e m a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l s y s t e m . we v e r i f i e d t h e c o n d i t i o n o f b a n d g a p e x i s t i n g i n d e t a i l . t h e n , w e i n v e s t i g a t e d t h e a b s o l u t e e l a s t i c w a v e b a n d g a p s in t h r e e - d i m e n s i o n a l s y s t e m s c o n s i s t i n g o f s t e e l i n c l u s i o n s e m b e d d e d i n p l a s t i c m a t r i x . n u m e r i c a l r e s u l t s s h o w t h a t t h e c o n f i g u r a t i o n s f o r m e d 勿 i n s e r t i n g a n a d d i ti o n a l s t e e l o b j e c t ( e i t h e r a s p h e r e o f d i f f e r e n t s i z e o r a c u b e ) i n t o e a c h u n i t c e l l o f a s i m p l e c u b i c s t r u c t u r e w i t h s p h e r ic a l s t e e l i n c lu s i o n s , e x h i b i t l a r g e r a b s o l u t e e l a s t i c w a v e b a n d g a p s c o m p a re d w i t h t h e o r i g i n a l s i m p l e c u b i c s t r u c t u re . h o w e v e r , f o r s i m p l e c u b i c s t r u c t u re s o r i g i n a l ly c o n s i s t i n g o f s t e e l c u b e s e m b e d d e d i n p l a s t i c m a t r i x , i t s h o w s i n s e r t i n g a d d i t i o n a l c u b e s r e s u l t s i n s m a l l e r b a n d g a p s . n e x t , u s i n g s u p e r c e l l p l a n e w a v e m e t h o d , w e i n v e s t i g a t e d d e f e c t m o d e s c r e a t e d b y i n t r o d u c i n g a l i n e a n d a b e n d - s h a p e d l i n e a r d e f e c t in a t w o - d i m e n s i o n a l a c o u s t i c b a n d - g a p m a t e r i a l c o n s i s t i n g o f w a t e r c y l i n d e r s i n m e r c u ry b a c k g r o u n d . t h e l in e a r d e f e c t i s m a d e u p o f t h e w a t e r c y l i n d e r s w i t h d i f f e re n t s i z e , a n d t h e s i z e o f t h e d e f e c t c y l i n d e r s a r e s h o w n t o s t r o n g l y in fl u e n c e t h e d e f e c t m o d e s e x i s t in g i n t h e fr e q u e n c y r e g i m e o f t h e g a p . b y a n a l y z i n g t h e p r e s s u r e f i e l d o f d e f e c t m o d e s , w e f o u n d t h e w a v e s a r e l o c a l i z e d i n t h e l i n e a r d e f e c t . i t p rov i d e s u s a f o u n d a t io n i n t h e o ry t o d e s i g n i i i abs tr act a l i n e a n d a b e n t - s h a p e d w a v e g u i d e i n e n g in e e r i n g a p p l i c a t i o n . i n t h i s p a p e r , w e a l s o i n v e s t i g a t e d t h e a b s o l u t e a c o u s t i c b a n d g a p s i n t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m s c o n s i s t i n g o f s i l i c a c y l i n d e r s i n l i q u i d w i t h v i s c o u s d a m p i n g a n a c o u s t i c b a n d s t r u c t u r e w i t h c o m p l e x e i g e n - fr e q u e n c y i s s h o w n i n t h i s p a p e r . n u m e r i c a l r e s u l t s s h o w t h a t w h e n t h e v i s c o u s p e n e t r a t i o n d e p t h i s c o m p a r a b l e t o t h e s t ru c t u r a l l e n g t h s c a l e , t h e 2 d s o l i d - v i s c o u s l i q u i d c o m p o s i t e e x h i b i t s l a r g e r c o m p l e t e a c o u s t i c b a n d g a p s c o m p a r i n g w i t h t h e s o l i d - p u r e l i q u i d s y s t e m . we a l s o f o u n d t h a t t h e m a g n i t u d e o f t h e v i s c o s i t y i n t h e l i q u i d h a v e a n i n fl u e n c e o n t h e g a p p r o p e r ti e s . f i n a l l y , b y u s i n g o f t h e p l a n e w a v e e x p a n s i o n me t h o d a n d m u l t i p l e - s c a t t e r i n g t h e o ry , w e p r e s e n t t h e l a r g e c o m p l e t e e l a s t i c w a v e b a n d g a p i n t h e t w o - d i m e n s i o n a l a n d t h r e e - c o m p o n e n t p h o n o n i c c ry s t a l s r e s p e c t i v e l y . b a s e d o n t h e l o c a l i z e d r e s o n a n c e s t r u c t u r e , t h e o p t i m u m g a p i s o b t a i n e d 勿 t u n i n g t h e t h i c k n e s s r a t i o o f t h e c o a t i n g la y e r . t h e c a l c u l a t i o n s o f t h e a c o u s t i c b a n d g a p s v a r i e d w i t h t h e f i l l i n g fr a c t i o n o f t h e c o a t i n g s c a tt e r i n g a l s o d i s p l a y a d i f f e ren t c h a r a c t e r fr o m t h e b a n d g a p b a s e d o n b r a g g s c a tt e r i n g . k e y w o r d s : p h o n o n i c c ry s t a l s , a c o u s t i c / e l a s t i c w a v e b a n d g a p , d e f e c t s t a t e s i v 华南理工理学大学博士学位论文 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中 特别加以 标注引用的内容 外， 本论文不 包含任 何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人 和集体，均已 在文中以明 确方 式标明。本 人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作 者 签 名 :众 k 日 期汉 那华 年华月2 ,3 11 学位论文版权使用授权书 本学 位论文 作者完全了 解学校有关保留、 使用学位论文的 规定， 同意 学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的 复印 件和电 子版， 允许论文 被查阅和借阅。本人授权华南理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 保密口， 在_ 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口因此，对声子晶体的研究具有更丰富的物理内涵。研究弹性波和 第一章绪 论 声波在不同的周期性结构的复合介质 中的传播及其能带结构，可 以使我们掌 握不同材料 的组元及其结构对能带结构及带隙的影 响，有助于我们拓宽和加 深对周期性复合介质物理性质的了解， 发现一些新现象和新规律。 实际的应用方面，它具有很大的应用价值。我们知道噪声是一种环境 公 害，与下业 “ 三废 ”一样都会影响和 危害人体健康 。人耳能感受到 的声音的 频率在 2 0 h z到 2 0 k h z 之间。在整个声音频谱上，这是一个很低 的频率区问， 令人难 以忍受的噪音也在这个区间上。如何有效地控制噪声，是一项长期以 来广大科技 l作者欲解决的问题。一般根据噪声传播 的具体情况，分别在噪 声源部位，噪声传播途径或噪声接收部位采取措施 。传统的隔振技术是在设 备与基础之 间采用弹性支承或弹性联接 ( 隔振器)来实现的;而传统的隔声 技术，则通过做得很厚、很重 、较软 ( 重和软可 以减小声音在物体中的波长 ， 较好地阻隔声音，这就是著名的质量 定律 )的材料来实现。但是这种传统的 隔振隔声技术在有些场合下不是很适用 的。根据声波 ( 弹性波)在声子晶体 中的能带理论可知，当声波 ( 弹性波 )的频率处于禁带范围 内时，声波 ( 弹 性波)及振动是不允许通过 的，我们 可以设计和制造 出来 一 种基于这种新思 想和新理论的一种全新的隔音隔振材料 。将普通的、常见的材料通过 一 定的 排列和组合在 一起就能隔离噪声和振动， 而不需另加隔音或隔振设备，是这种 材料的最大优点 。这种材料既可 以在噪声 的传播途 中隔离噪声，又可 以在噪 声源处控制噪声和振动，例如 ，我们可 以根据实际情况的需要，设计出一定 结构的复合材料 出来，给某些精密仪器提供在一定频率范围内无振动的环境 ; 也可 以设计出又薄、又轻、又硬的新型隔声材料。基于声子晶体的这一特性， 声子 晶体 ( 材料)可望在环保和建筑工业中得到广泛应用。正如许 多传媒在 其报道中所提及的那样 ，这种材料将首先在机场 、公路及娱乐场所等产生噪 声污染严重的场所得到应用 。 据调查，交通噪声 已占城市噪声的 7 0 %以上 ， 广州市 2 0 0 0年噪音投诉就 占了所有环保投诉的将近 半 ( 羊城晚报， 2 0 0 1 年2 月 2 2日) ， 而路面质量的 好坏将对交通噪声 的大小有直接 的影响。在我 国目前的道路、高速公路、桥 梁和房屋 建设中大量使用水泥和混凝土材料，若在水泥和混凝 土中添加高性 能纤维以及 s ma纤维，并进行特殊的混杂布置，同时配以高阻尼的聚合物作 为添加材料，不仅可以改善水泥和混凝土的力学性能( 增强、增韧、防裂、抗 疲劳、抗冲击) ，同时，还可以增加材料的声波能量的耗散能力，实现消音降 噪的 目的。从而使城市中的大量水泥制品与混凝土建筑物 、道路都具有 一定 的降低噪声和消除振动的作用 ，减少噪声对人体的危害，这将会开辟纤维水 泥和纤维混凝土 的一个全新的应用领域。 另外，研究声 子晶体中缺陷也有实际的应用价值。缺陷的引入会在周 期 j性结构的带隙范围内产 生所谓的缺陷态 。利用这种现 象，可 以设计出一类新 华南理工大学博士学位论文 型声波滤波器或一类新型声波波导器。 近来， 根据光子晶 体中 具有负 折射系数的 属性， 设计出了 光学 超棱镜3 9 1 同样 ，在光子晶体中也发现了负弹性常数，根据 同样的原理，我们可 设计 出 弹性波或声波超棱镜、超透镜等 ，这将具有重大的意义。 研究弹性波和声波在不同的周期性结构 的复合介质 中的传播及其波带结 构，可以使我们掌握材料 的不同组元及其 结构对带结构及其传播性质的影响， 有助于我们加深与拓宽对复合介质物理性质 的了解，发现 一些新现象和新规 律，从而利用这些新规律设计 出满足我们需要的新型功 能材料。 1 . 2 . 3 . 2 声波 / 弹 性 波带 隙产 生 的 物理 机 理 引起弹性波 ( 声波)带隙 的产生的物理机制主要有两种: 一种是在周期系统中布拉格散射 的作用 ，这种布拉格带隙会在布里渊 区 边缘打开，而完全带隙则要求带隙在所有 的方向上都有交叠，并且布拉格 带 隙的属性 与系统的周期性 ，对称性以及散射体的结构排列有很大关系，带隙 频率的数量级和 c / a 的数量级相 同，其 中 c是波速，a是晶格常数。 另一种产生带隙的原因是共振散射作用 ，最近，在声子带结构 的研究中 ， 一个新的研究课题被逐渐打开，它的思想核心在于引入了局域共振机制单元 ， 而带隙也是由此而产生的 ” 一 “ o f 局域共振机制要求川较软较轻材料包裹着较 重核，包裹层 比核和基体两种材料软 。如果带隙是共振带隙，则它的带隙属 性应该独立于周期性、对称性 。除非共振单元的浓度特 别大而使他们强烈的 相 互祸 合 。 1 . 2 . 3 . 3影响声波/ 弹性波带隙宽度的因素 大多数声子带隙是以上两种物理机制综合作用 的结果 ，并且只有在一定 的条件下才能产生。在二组元系统中，布拉格散射起主导作用时，影响其带 隙 的 因 素 有 以 下 几 利 x 4 8 - 5 4 , 6 5 -7 5 1 . a .两种物质的排列 结构; b .两种物质的密度之比; c .物质的纵波波速 与横波波速之比: d .散射体的填充率和散射体的拓扑结构。 而且两种介质的密度比和速度 比相比较，密度 比更有利于带隙的出现。可以 看出二组元系统带隙的产生 比较困难 ，而且条件 比较苛刻 。 当局域共振起主导作用时 ( 这种机制可在三组元系统 中构造) ，带隙主要 与组元的密度和弹性模 量有关，而与物质 的排列结构是没有关系的。 第一章绪 论 3 声 子 晶体 的研 究现 状 弹性波和声波在层状 ( 一维 )介质中传播的研究己有三十多年的历史 ， 近年来的研究热点是二维和三维系统 4 7 - 1 2 0 1 研究声波或弹性波在二组元周期性系统 中传播主要包括球型材料放在主 体材料 ( 3 d)和 圆柱体材料放入主体背景材料 中 ( 2 d? 。对 于二维系统，用 无限长的圆柱体平行排列成各种结构 ( 包括正方形、三角形、正六边形等排 列)放入主体元 中，理论和实验研究都发现 了在 二维周期性复合介质 中带结 构的存在， m . s i g a l a s和 e . n . e c o n o m o u 等人发现，铜圆柱子以正方形排列放 入 b e体中、钢圆柱子以正方形排列放入空气中，以及金 圆柱子放入 b e体中 都有完全弹性波带隙的存在 5 1 ) 。 而 r . m a r t i n e z - s a l a 等人从实验上研究了固体 柱子在空气中的周期性排列可以使得声音得到减弱 4 7 1 . j . o . v a s s e u r等人在实 验和理论上证明了中空的铜柱放在空气中能有效滤过噪声频率 1 0 6 1 。同时， m. s . k u s h w a h a和 p . h a l e v i等人也从理论上研究了二维周期性多种复合材料 和排列结构中的带结构 6 9 , 7 4 1 。这些带隙的产生都来自于布拉格散射的结果。 而在对复合介质 mo , a 1 2 0 3 , f e 或钢柱子放在合成树脂主体材料的研究中发 现了较宽带隙的存在 5 5 1 。在三维周期性复合介质中，在理论上，研究发现金 球和铅球以面心立方排列放在 b e , s 3 和 s i 0 : 基体中实现了完全带隙 4 8 , 4 9 ) 这也是由布拉格散射引起的。后来，k a f e s a k i , m . s i g a l a s和 e . n . e c o n o m o u 等人研究了以高密度 的材料 ( 例如 s t e e l , n i , p b , c u等 )做成球体 正方 体)以 f c c , b c c 和 s c 三种排列形式放入 e p o x y( 环氧树脂)基体中，结果在 较大的填充频率范围内，发现了较宽的完全带隙( 5 2 1 ，并且他们利用散射截面 的计算结果分析解释 了带隙产生的原因，发现这种高密度材料放入低密度背 景中产生宽带隙主要是 由于共振机制的结果，同时，根据散射截面的信息可 以预计带隙产生的频率范围 5 3 ) . m. s . k u s h w a h a和 p . h a l e v i 等人也研究了弹 性波 ( 声波)在液体一液体，气体一气体系统中传播时的能带结构6 8 ,7 3 1 。文 献研究 了立方排列的氢气 一空气系统和立方体排列的汞 一水系统，在一定填 充 的 f c c , b c c结构排列中，均有较大的完全带隙出现。研究弹性波带结构时 发现，对于包含两种 组元的复合介质，无论是二维还是三维情况，只有在一 定的条件下才能产生弹性波或声波带隙。影响带结构的因素有:两种物质的 排列结构、两种物质 的密度之 比、物质的纵波波速 与横波波速之 比、散射体 的填充率和散射体的拓扑结构。而且两种介质的密度比和速度 比相比较 ，密 度比更有利于带隙的 出现 。相应于打开和增大带隙宽度方 面的工作也在积极 的进行，对于二维情形 ，对圆柱子以各种排列方式放入主体元 的研究中发现， 六角形格子排列最有利于带隙的出现 ，d . c a b a l l e r o等人从对称性方面对此做 了解释 ， 川，一般来说，对称性高的结构更有利于带隙产生，因为对称性增加 华南理工大学博士学位论文 就提 高了本征频率 的简并度 ，当然 ，这也不是绝对 的，这也包括散射加强使 得带 宽压缩，从而增大带 隙宽度。据此 ，近来，对于弹性波或声波在一些非 圆形或者非球形散射体放入主体材料的二组元系统 的研究也有很大进展 ，研 究发现，通过旋转圆柱体的角度能够有效的调制与优化带隙宽度 8 1 1 另外 ，关于声子晶体中缺陷态 的研究也有很大发展，它们利用晶体中的 缺陷设计制造 出了声波或弹性波波导，并对缺 陷所引起 的波的局域化作了深 刻的研究和讨论，得出了一些重要结论。 以上情况都是基 于两种组元系统 ，二组元系统的带隙比较窄，而且不易 调节 。最近 ，在声子带结构的研究 中，一个新的研究领域被刘正酞等人逐渐 打开 7 7 ， 它的思想核心在于引入了局域共振单元， 而带隙也是由此而产生的。 他们制造 的声子晶体 中存在带隙，并且此晶体的晶格常数 比相关波长小两个 数量级，它使整 个波 的反射在一个特定的可调整频率范 围内。用一个两厘米 的厚的这种材料就能阻隔 4 0 0赫兹频率的弹性波或声波，从而打破了传统 的 声音传播中的质量密度定律 。 传 统所需用到的材料 比它大一个或更多数量级。 局域 共振机制要求用较软材较轻材料包裹着较重核，包裹层比核和基体两种 材料 软。研究发现 ，带隙在这种情况下也很容易的打开 ，它的频率范围与体 积填充率有关，并且带隙宽度会随填充率增大而增大 。对于基于这种机制 的 三维周期系统，他们利用多重散射方法对带结构研究结果表明，这种带隙与 系统 的周期性，对称性以及散射体 的排列结构无关 ，这对研究引入无序起 了 很大帮助，通过对包层物质的改变 ，实现了从布拉格散射带隙到共振带隙的 转变。在二维系统中，c . g o f f a u x , j . s a n c h e z - d e h e s a 等人用有限差分时域方 法计算 了带结构和透射谱 9 7 1 4 本研究课题的来源、研究 内容及意义 1 . 4 . 1 本课题的来源 声子晶体既是对传统晶体 ( 也可称电子晶体 )的延伸 ，同时又超越 了传 统 晶体 的概念 。声子晶体的研究是在传统晶体和光学晶体研究的基础上提出 的新课题。综观复合介质领域的研 究现状，我们发现虽然研究弹性波和声波 在层状 ( 一维 )介质中的传播已有近 四十年的历史 ，但复合介质力学性质及 声学性质研究极其欠缺。国际上 关于二维和三维声子晶体的研究也还有很多 空白 4 7 - 1 2 0 ，目 前仅局限于理论和实验室阶段的初步工作。 而在国内，这方面 的研究更少 。这主要是因为这方面 的研究涉及矢量、张量描述 和运算，所 以 复杂得 多、困难 得多。目前国际上研究声波或弹性波在二组元 周期性系统 中 传播主要包括球型材料放在主体材料 ( 3 d)和圆柱体材料放入主体背景材料 第一 章绪 论 i i i ( 2 d )。 国 外 也 只 有 由 m. s i g a l a s 和e . n . e c o n o m o u 4 7 - 6 4 1 , r . m a r t i n e z - s a l a ( 4 7 , 9 7 , n 4 , 1 ; 1 ， j .o . v a s s e u r 1 0 0 - 1 0 8 ， m . s . k u s h w a h a和 p . h a l e v i 6 s - 7 e l 等几个为数不多的研究团队。 由于声子晶体具有广阔的应用前景 和可设计性，加上有清晰的理论框架，因此 ，我们提出对声子晶体进行研究。 本研究课题 的主要研究经费来源于 由刘正酞教授负责的广东省 自然科 学 基 金重点课题 ( 项 n编 号是 :0 1 3 0 0 9 )和 阔家 自然科学 基金 ( 项 n编 号: 1 0 1 7 4 0 5 4 )以及国家教育部博十后科研基金 ( 项 i i 编号:2 0 0 2 0 4 8 6 0 1 3 )。 1 . 4 . 2 本课题的研究内容和意义 首先 ，介绍 了声子晶体带结构的计算，我们从弹性波波动方程 出发，详 细介绍了求解声子带结构 的平面波展开方法和 多重散射 方法 。分别对二维和 三维情况的二组元和三组元系统的声子带结构进行了计算研究，验证了带隙 产 生的条件 ，同时表明了两种方法各 自的优越性。 其次，我们对具有两种结构 单元的三维声子晶体的弹性波带隙进行 了研 究 ，具体讨论 了三 种构形:a在球形散射 体组成简立 方结构的元胞中心插入 另一球形散射体; b . 在球形散射 体组成简立方结构的元胞中心插入方形散射 体; c . 在方形散射体组成简立 方结构的元胞 中心插入 另 一 方形散射体。在钢 散射体和塑料基体系统中，我们发现前两种结构的带隙比原始简立方的情形 下 的带隙增大 了，而后一种结构中的带隙却比原始情况的带隙小。我们再次 证 明了系统的排列结构对带隙有着很大的影响，同时对某些特定构形也找到 了增大带隙宽度的有效方法。 第三，我们利 !j 超 元胞方法对以平行水柱子放入水银 背景 ， ! ， 的二维声子 晶体的线缺陷进行 了研究，讨论 了简单的直线形线缺陷和弯形线缺陷的缺陷 态，通过 分析缺陷态场 分布可 以发现 ，声波在二维缺陷系统 中传播时，将沿 着线 形缺陷传播，这为我们在工程应用中设针 出了直线形和弯形波导提供 了 理论依据。 第四，我们研究 了以粘滞液体为基体的声子晶体带结构，首先 介绍 了在 粘滞介质 中的弹性波波动方程及其平面波展开，其带结构最 大的特点就是具 有复本征频率 ，其虚部表 明粘滞引起的衰减 。当粘滞 参量与弹性模量在同 一 数量级时，粘滞大小对 带隙 的具有较大影响，液体中的粘滞可 以增加带隙宽 度，并且 调整粘滞参量，可以使带隙得到优化。 最后，我们讨论了三组元 声子晶体的弹性波 带隙的优化问题 。虽然带隙 华南理工大学博士学位论文 能够产生，但我们总希望带隙能够越宽越好。带隙的优化就成为了大家感兴 趣的问题。本文研究了基于局域共振结构的三组元声子晶体的优化问题，它 是由较软较轻材料包裹着较重核，包层 比核和基体两种材料软的材料构成。 我们通过调整包层与内核散射体的半径比例，相当于弹簧振子系统中调节弹 簧的弹性系数，使带隙达到最优。我们采用平面波方法对二维情况的带隙进 行了优化 ，而) i 多重散射的方法对三维弹性波带隙进行了优化 ，二者均达到 了预期的效果 。计算表 明，这种优化方法简单、可行，是一种理想的优化方 法 。 第二章声子晶体带结构的计算 第二章声子晶体带结构的计算 2 . 1引言 为了使理论更好的指导实践，我们可从多种方面去研究和计算弹性波在 周期性复合介质中的传播特性，包括带结构、透射系数、态密度等等。其中 声子晶体带结构的地位尤其显得重要。目前，已有许多方法用来计算声子晶 体带结构， 如平面波方法 5 2 , 5 5 ,6 5 - 7 5 , 8 1 - 8 4 , 1 1 9 - 1 2 0 1 、 有限差分时域方法 6 2 ,6 3 1 、多重 散射方法 7 8 - 8 0 和变分方法 1 0 9 等。它们在处) ? j! 实际问 题i i ， 各有利弊。 平面波展开法 ( p l a n e w a v e e x p a n s i o n me t h o d ,简写为p we )在概念上 简单明了，在方法上又 能给出物理意义明显的结果，无论是在 电子能带 的计 算 ，还是在光子晶体和声子晶体 带结构的计算上应用都最为广泛 。它首 先将 波动方程中的位移 、弹性参数等物理量在倒格子空间以平 面波叠加的形式展 开 ，将波动方程化成一个本征方程 ，再求解本征值便可得到声子 的本征频率。 平面波方法具有很大 的适应性 ，能处理各种形状的问题。这种方法在计算 固 体一固体、液体 ( 气体 )一液体 ( 气体)等组成的各种结构 的声子晶体时是 相 当成功的。缺点在于它存在收敛性 问题，当填充率很高或很低时，我们必 须采用足够量的平面波数来保证收敛性，这样 以来，对计算机要求也特别高。 另外，用这种方法计算 由固体一液体 ( 气体)组成 的声子 晶体时，由于在液 体 ( 气体)中的横 向模量为零 ，必须忽略固体中的切 向模量的作用，计算才 能收敛，从而使得计算结果不够精确。在处理无序系统时，也显得无力。 有 限差分 时域方法 较适 用于平直 形界 面。时 域有 限差 分法( t h e f i n i t e - d i f f e r e n c e t i m e - d o m a i n m e t h o d ，简写为f d t d ) 是从定义的初始时问的 一组位移出发 ，根据布里渊区的边界条件，利用波动方程可以求得位移随时 间的变化， 从而最终解得系统的能带结构。具体作法是通过傅立叶变换先将波 动方程变换到倒格 矢空间，用差分形式约简方程 ，然后再作傅立叶变换，又 将其变换回实空间，得到 一 组被简化 了的时间域 的有限差 分方程 ，这样 ，原 力 一 程可 以通过一 系列在空问和时间上都离散 的格点之 间的关系来描述 ，计算 量大大降低 ，只与组成系统的独立分量的数 目n 成正比。这种 方法不光 能够 训算带结构，还可计算透射系数。但用它来处理复杂形状时.需要较 多的网 格点，计算量很大。 华南理工大学博士学位论文 五+年代， 人们还成功的应用了多重散射理论( mu l t i p l e - s c a t t e r i n g t h e o r y , 简写为ms t ) 也即 k k r 方法计算无序和有序电子系统的能带结构， 尽管它起源 于经典波的研究 。而后，多重散射理论又发展到对 电磁波 的研究、光子 晶体 的带结构也可相应求出。不久前，此理论应用到了弹性波或声波的研究中， 准确地计算了声子晶体带结构。在计算中，波函数是以球函数 ( 三维)或柱 函数 ( 二维)为基展开的，对于像球形或柱形的散射体，多重散射方法自 然 显示 出了无法比拟 的优越性。主要表现在快的收敛性和更便于揭示物理机制 上。另外 ，它提高了计算速度。它可计算固体、液体 、气体系统，还可以计 算 固体一液体 ，固体一 气体混合系统;可以计算透射系数和反射系数;它不 仅适用于有序介质 ，还可以用此方法研究弹 性波在无序介质中的传播和散射 问题等等 。它的缺 点在于只能计算球形和柱形散射体的情况 。 下面我们将着重介绍平面波方法和多重散射方法。 2 . 2弹性 波 波 动方程 对于 一 个局域各向同性的介质而言，弹性波波动方程 1 2 1 , 1 2 2 为: a l u 1 a . ou 、 a_a u o u r - 1 一 万万 一二- i二 一t 凡二 丁 一少 十二 厂 一【 产长 二 钾 一十二一) i t, d l 一p ( a x ; 嘶嘶嘶x;j (2一 1 ) 式 i i u ( r ) 是位移矢量，,1 ( r ) 和ar ) 是l a m e 系数，p ( r ) 是介质的质量密度。 ( 纵 波波速c i = v ( a 十 2 p ) / p ， 横波波速c , = 办l p ) e 2 . 3平 面 波展 开 方 法 2 . 3 . 1 二维 情况 对于由平行于z 轴 ( a ( r ) , u ( r ) , p ( r ) 一与z轴坐标无关)的无限长柱体 ( 散射 体)放入基体， 】 ， 组成的二维结构，假 设弹性波在 x, y平面内传播 ( 即 u ( r ) = u ( x , y ) ) ，此时方程 ( 2 -1 )可以分解成两个互相独立的波动方程。 第一个是描述沿 z轴方向位 移的标量方程: 一 。 z u , _ 生 v ( ,u v u , ) , ( 2 - 2 ) 第二章声子晶体带结构的计算 第止个是描述在 xy平面内的位移矢量 ，是包含纵波模和横波模的混合方程 : 黔 日 2 u 1 a t e p a ， ( 沁 a x ;-a u l -) a x , a， 十声 万 一l 户 a x , ( a n , a x , (2一 3) 式中 i 1 = x y o 由于系数 双r ) , 其 ， i i r= n , a , + n 2 a 2 ， p ( r ) 和p ( r ) 都是位置r 的周期性函数: f ( r + r ) = f ( r ) ， n , , n 2 为整数，a , = a i , a 2 = a j 为x和y轴方向的基矢， a 是晶格常数。 ar ) 表示a ( r ) , ,u ( r ) 和 1 / p ( r ) 。由于二维空间的周期性， f ( r ) 可 以展开成三维 f o u r i e r 级数: f ( r ) 一 艺j o e ig .r , ( 2 - 4 ) c 式 中求和为对所有的倒格基矢 g求和，倒格基矢 g定义为: g= m , b , + m 2 b 2 ， 、 .一 。2 7 c ._2 兀、 :，二二 卜 卜， _ 式，d i m , , m 2 为 整数，b ， 二 -i , b 2 = -j 为 倒格基矢 aa 由于方程 ( 2 -1 )式， ! ， 的所有系数都具有相同的周期性，因此根据 b l o c h 理论 1 2 3 ，其本征值u ( r ) 可写成以下形式: u ( r ) = e k u x ( r ) ，( 2 一 5 ) 式， 1 ， 波矢 k 被限制于第一布里渊区( b r i l l o u i n z o n e ) ， 而u . ( r ) 是3 a ( r ) . p ( r ) . 1 / p ( r ) 相同的函数周期，也可以按 ( 2 - 4 )式展开为f o u r i e r 级数的形式。因 此 ，我们可以得到 u ( r ) 一 万u k+ c, e (k + g )v ,. ( 2 - 6 ) g 把 ( 2 -4 ) , ( 2 -6 )式代入 ( 2 -2 )式，我们得到 一 。 2 u k + 。 一艺p g u g _ g , ( k + g ) ( k + g ) u zk + g ， (2一 7) g ,g ，. 而方程 ( 2 -3 )变 为; w 2uk+g 一 艺 艺 p 二 .。 。、 (k + g ),(k + g ); 甘l , ， g . . + 9 g 。 一 。 ( k + g ), ( k + g ) , u ;二 。 . + j : p a m 1a g 1 , j ( k + g ), ( k + g ) j u k + g ) ( 2一 9) 华南理工大学博士学位论文 式 ( 2 -7 ) ( 2 -8 )分别对无限多个倒格 矢求和。如果这无限求和) i i n个倒格 矢的和来代替。 这样两个方程就变成了含有 n x n和 2 n x 2 n个矩阵元的本征 值方程，我们可 以采用数值计算的方法求解，n 的取值增大到满足预 定的收 敛要求为止 ，在第一布里渊 区 ( b z) ，对于一个给 定的 k值 ，就可