（应用数学专业论文）具有小参数扰动的van+der+pol方程的周期解.pdf

摘要 本文通过引入周期函数空间上的若干算子，利用b a n a c h 空间的压缩映象原理 及v a nd e rp o l 方程有关结果，具体讨论了具有小参数扰动的v a nd e rp o l 方程周 期解的存在性、稳定性，以及其周期与未被扰动的v a nd e rp o l 方程极限环周期之 间的关系，从而某种程度上刻画了具有非线性扰动的非线性微分方程的类似性态 关键词t v a nd e r p o l 方程；周期解；存在性；稳定性；算子；不动点 a b s t r a c t t h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fv a nd e rp o le q u a t i o nw i t has m a l lp a - r a m e t e rp e r t u r b a t i o na r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r ，w h o s ee x i s t e n c e ，s t a r b i l i t ya n dp e r i o dr e l a t i o n s h i pw i t ht h o s eo ft h el i m i tc y c l e so ft h eu n p e r t u r b e de q u a t i o na r ep r e s e n t e ds p e c i f i c a l l y t h i sp a p e rm a i n l y m a k e s u s eo ft h eb a n a c hc o n t r a t i v em a p p i n gt h e o r e ma n dr e l e v a n tr e s u l t s o fv a nd e rp o le q u a t i o n ，b yi n t r o d u c i n gs e v e r a lo p e r a t o r si nt h ep e r i - o d i cf u n c t i o ns p a c e i tt h u sd e p i c t st h es i m i l a rp r o p e r t i e so fn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n st os o m ee x t e n t k e yw o r d s ：v a nd e rp o le q u a t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；e x i s - t e n c e ；s t a b i l i t y ；o p e r a t o r ；f i x e dp o i n t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名j 垒盆在日期t 呈竺五圭! 塑 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即。 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名。i 至歪芝指导教师签名。鏖蔓! i ；兰身 日 期，2 瘟。点：丛： 日 期。：! ：竺! z ：三 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 引言 数学模型在许多应用学科中，包括力学、流体动力学连续粒子射线的电动力 学、空间技术、天体动力学等现代科学技术领域，其研究问题往往归结为对非线性 微分方程的研究特别地，当考虑若干扰动因素时，问题将转化成研究扰动非线性 方程，其中最为复杂的便是非线性方程的非线性扰动大量的关于非线性方程的非 线性扰动方面的研究结果已经比较清楚，主要体现在物理学问题转化成的数学模型 中常微分形式的v a nd e rp o l 方程， 矿+ u ( z 2 1 ) z 7 + $ = 0 ( 0 ) 作为非线性微分方程理论中的一个重要研究课题，其周期解的研究从上世纪二十年 代至今，已经取得了丰富的成果当考虑一些诸如负阻元件，讯号电源、周期外力 等的影响时，通过进行平面定性分析，利用平均法或构造辅助函数，以及借助数学 软件，对扰动v a nd e rp o l 方程可以得到殊途同归的处理结果 本文依据上述物理背景，将实际问题中出现的诸多扰动因素抽象化，研究含小 参数扰动的两类v a nd e rp o l 方程； 自治扰动情形 + p ( 护一1 ) x + 。= e f ( x ，一，) ( 1 ) 非自治扰动情形t + p ( 一1 ) 一+ z = s ，( ，茹，0 ( 2 ) 首先回顾v a nd e rp o l 方程周期解的存在性与稳定性结果，文 2 ，3 ，4 】用 不同的方法对v a nd e rp o l 方程周期解的存在性和稳定性做出判断，并分析了当参 数趋于无穷大时，相轨线的形态大部分文章将v a nd e rp o l 方程视为线性常系数 方程的非线性扰动，通过构遣外境界线或构造李雅普诺夫露致来应用b e n d i x s o n 环 域定理，或采用极坐标变换，做出平均方程，绘出频率响应曲线，得出其近似周期 解，且判断出稳定性和周期估计文【5 】讨论了非线性方程组 笔 = ，( t ，) + p 函( t ，z l ，) ， i f , 。r ，厶g ( f k 驴，r ) ；吼c ( r + r “1 r ，r ) l 卢( 0 ，g o 】为小参数，给出了稳定与不稳定的条件，其理论依据是李雅普诺夫函数 与比较原理文 2 系统地给出了判断扰动微分方程周期解存在性和稳定性的方法 本文在此基础上研究v a nd e rp o l 方程的小扰动，即非线性方程的非线性扰 动首先，利用b a n a c h 空间的压缩映象原理及变分方程，讨论了自治扰动的v a n d e rp o l 方程周期解的存在性与稳定性；其次，类似地讨论了非自治周期扰动情形， 给出任意周期扰动后得到的周期解周期与原极限环周期之间的微妙联系最后，用 m a t l a b 绘出以“，为参数的具体扰动方程闭轨的形态，从而验证了本文的有关结 论 2 1 预备知识 为便于后文阅读，现给出本文证明中涉及的若干算子及一些必备结论 岛= 扛：r 一舻iz 连续，。0 + t ) = x c t ) 1 i x l l 曲= s u p l l x ( t ) l l ，t 【o ，明 一= a ( t ) x ( 1 1 ) 矿= 一a c t ) y ( 1 , 2 ) a + t ) = a ( t ) ，a ：r r 一，a 连续 方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的线性独立t 周期解分别为 垂1 ，垂。；皿l ，雪。；0s8 n 其中 = ； = 幻；1 l ，j 8 ：c 国_ r ( z ，) - + = ；z r z ( t ) 。) d r 垆：_ 国，旦：国一岛 zh 垂，z 一 皿 1 s 1s t s c t l p = 茹c ：z = t 尹z ，c r , a = ( z c ：z = 2 z ) 洼伊，2 为c 中的投影算子 命题1 1 假设a ( t ) b ( t ) 连续，且为t 周期的，则方程一= a ( t ) x + b ( t ) 有个t 周期解的充要条件是j 船= 0 ，特别地，若2 6 = 0 ，则一= a ( t ) x + b ( t ) 有且只有一 个满足汐z = 0 的r 周期解z 其中l ? t ，一尹= z 1 0 1 尹z = 0 ，c r , s 一旦= z 1 0 1 2 z = 0 ) 定义1 1 ：c r , s o _ c r , t 一伊，毋一2 ：c _ c r , s 一旦 夕3 ：c r , a z = 奶 1 l 董 _ c t 。伊 垂，i iz o ；p 较大时，h e 0 ，所以v a nd e r p o l 方程在相平面上有接近于口 + 嵋= 4 的稳定极限环 2 2j a c k k h a l e ，n r o u c h e 和j m a w h i n 的方法 文献【2 】通过计算 眦) = 去f ( 1 一p 2 c o s 2 0 ) p s i n 2 0 d o = 1 以一互1 以2 矿= 2 ，百d r ( 2 ) = - - 1 p 2 。2 = 一1 o ，为扰动参数，化为方程组t ；三：一p ( 。一。) 暑，+ 。，( z ，。) ( 。- ) 记 x = ( ；) ，a c x ，= ( 一。一p ：。一，) ， ( 3 1 ) 化为； g c 如，= ( m ) x = b ( x ) + c c ( x ，e ) ( 3 2 ) 注( 3 2 ) 。= 0 即为v a nd e rp o l 方程( 0 ) 3 1 方程( 1 ) 周期解的存在性 作变量变换t = ( 1 + a ) s a r ，a 为常数，( 3 2 ) 化为t 西d x = ( 1 + a ) ( 6 ( x ) + g ( x ，e ) ) ( 3 2 ) ， 则( 3 2 ) 的r 周期解对应于( 3 2 ) 的r = ( 1 + a ) t 周期解，事实上，若托( s ) 为 ( 3 2 ) 7 的t 周期解，则瓦( t ) = j 【( 1 + a ) - 1 司为( 3 2 ) 的解，且 瓦肛+ ( 1 + a ) 司= 剐( 1 + a ) _ 1 t + 卅= 耳【( 1 + a ) - 1 司= 瓦( t ) 着j 0 ( t ) 为( 3 2 ) 的? 周期解，则瓦( s ) ：= j 0 ( 1 + a ) 翻为( 3 2 ) 7 的解，且 瓦( s + t ) = j ( ( 1 + a ) s + ( 1 + ) t ) = j 0 ( 1 + a ) 司= 瓦( s ) y ( s ) ：= x ( s ) 一y ( s ) ，其中v ( t ) = v ( t ，p ) 为方程( 0 ) 的t 周期解， t = 2 r + d ( 卢2 ) 7 d yd _ x d y d s2 丽一丽 = ( 1 + a ) ( 6 ( x ) + e e ( x ，) 一6 ( y ) ) = 箬y 州y m - 6 ( 吩百o b ( v ) y 】 + e c ( y + ve ) + a 6 ( y + v ) + e c ( y + k e ) = o a b ( x v ) y 一+ f ( y , a ，) ：= a ( s ) y + ，( y i a ，e ) 丽d y = a ( s ) y + ，a ，) ( 3 2 ) ” 引理3 1 若g = a ( s ) y 的伴随方程慧= - a ( s ) 7 z 的唯一周期解皿1 满足 = 1 ，其中圣1 为g = a ( s ) y 的唯一周期解，满足 = 1 ，即 垂l = 一 鬈，则 西i ( t ) 皿l ( t ) = m 0 证明否则m = o ，方程g = a ( s ) y + 西- ( s ) 满足， 2 圣t = 雪- = ( ；z t w i 。( t ) 皿，( t ) 出) 虫。= o 由预备知识中命题1 1 知，方程丽d y = a ( s ) y + 圣l ( s ) 至少存在一个t 周期解，由 于x 7 = b ( x ) 为自治方程，所以g = a ( s ) y 至少有一个特征乘数为1 ，从而特征 乘数是单的，因为 陋西l ( t ) 7 = a 0 ) p 西1 ( t ) + 圣1 ( t ) ， 所以只有形如t o 垂l ( t ) 的解，因而方程器= a ( s ) y + 壬l ( s ) 的通解为g 西l ( t ) + 锄l ( t ) 而棚- ( t ) 不是? 周期的，所以此方程无t 周期解，产生矛盾，证毕 引理3 2k 为( 3 2 ) ”的t 周期解当且仅当，a ) 是算子。 磁：c r _ 岛r ( z ，a ) 一( 兹( 茁，a ) ，以( z ，a ) ) 的不动点其中 兹：巧r 一巧 ( z ，a ) - + 。；旷( 椤一窖) 。纪( z ，a ) ：爵r r ( z 一一m - 1 一 爵= p c t l 汐x = o ) ，伊：国一国 zh 圣l g ：c t _ c t ， 夕盆：c t _ c t z 卜 雪l ， zh 西1 夕旦：岛一国，颤：国r 一岛 $ - - + 西1 ，忙，a )h ，( z ( ) ，a ，e ) 证明由预备知识中命题1 2 知，y 为( 3 2 ) 的t 周期解， 当且仅当 y = 护y + 2 最( y a ) + 汐一旦) 攻a ) ：= 磁， y 兹， b 一凸 当且仅当 护( 夕旦织( y ，a ) ) = 0 从而 a = a 二 ；安 ；示 = m - l 尝，争- l 0 ，s t v ( 0 ，8 】，( 3 2 ) 有唯一t 周期解 五b r 】cc t ，t = t ( p ，) 相应地，( 3 2 ) 有唯一r = ( 1 + k 妒周期解 挺( t ) = 芷【( 1 + k ) - 1 圳k l 1 五，k 连续依赖于e ，且 0 五一y 0 曲一0 ，忙一0 ) ，l a 。i 一0 忙一0 ) 9 ( 五，九) = ( y + 砭，k ) 2 i 墨( y + 站，a ：) ( p ，a ：) = ( 0 ，0 ) 硭+ 1 = 彤( 芎一2 ) 玩( 玲，a ：) a p l = - m 1 g ，争一i m = 西i ( t ) m 1 ( t ) ，i l ( y ，a ) i i 曲。r = i i y l l c ，+ a i 证明往证兹是b 0 ，r 】【一z ，l 】c 石；r 上的压缩映射 ( 1 ) 任取( a ) b o ，r 】【一1 ，! 】， 0 兹( y j 圳西。r = j j 兹酬曲+ j 以a ) j = | | 汐一2 ) 关( y ，x ) l l c , + i m - l 尝，争咴舅( 一a b ( v ( ) ) ，吣i = f i m r ( g 一2 ) ，( y ( ) ，a ，e ) | | c ， + i m | - 1 一 i d v 一 i 州俐，吣 = i m l 。i i = f m f _ 1 f f = | m | - 1 f a l l m i = i a i 由预备知识中性质1 1 知 j 州甜，s t 1 l m r ( * 吲z 1 1 岛- k l l 0 ，s t i i c w , e ) l l c t ，i i c ( v + y e ) l l c s l s j1 4 0 ，s t i i b ( v + y ) 0 曲1 4 0 6 ( y + y ) 一扫( y ) 一百o 又h 【y ) y l l c ，= 1 1 。1 姒0 2 5 ( y ) y 2 + o ( y 3 ) l i e , 选取充分小的r 0 ，s t i 睦是( y ) y 2 + 。( y 3 ) l l c ， 0 ，( 0 ，s o 】，8 t ( + z 1 ) 协。( 1 4 + 比) + “a 。+ e l z r + 比】r 则兹映b 0 ，r 】【- l ，目到b 0 ，r 】x 【一z ，司 ( 2 ) 任取( m ，a 1 ) ，( k ，沁) b 0 ，r 】i - l ，毋， 0 二兹( m ，a 1 ) 一兹( m ，沁) 8 卿。置 = 0 ( 兹( k ，a 1 ) 一兹( 硷，沁) ，( k ，a t ) 一( 砼，a z ) ) 0 = 0 况( m ，a 1 ) 一兹( 砼，圳l 曲圳形( m ，a ) 一以( 配，圳i = i l 汐一2 ) 限( m ，a 1 ) 一反阢，a 2 ) 川国 + m _ 1 i 一 ( k + 1 1 ) j j - 艘b - 2 - i i 臼i i y l 圳o 等- 咄j 】+ m 也i 选取充分小的e 和a ，s ；t ( 川，圳等峙i i y , 一y 2 1 1 臼制等，咄 0 ，l p 0 ，s t p “ 0 ，s t # k ( l 1 + l 2 + l 3 ) 1 ， 则 l i 鲵p l 一繇恳i i 毋妒 0 ，( “0 ) = 0 ，n ( u ，) 关于e 是单调递 增的，8 t 1 f g ( t ，o ，e ) 0 听( p ，) 由于，c 1 ，所以 v0 ，x ，) rx x r 2 ：1 1 x | | c ，p o x 【0 ，研，( i = 1 ，2 ) jm ( p o ，6 ) 0 ，s t 1 1 9 ( t ，x x ，s ) 一9 ( t ，恐，) i i 曲m ( p 0 ，酬五一恐0 曲 m ( 0 ，0 ) = 0 ，m ( p o ，6 ) 关于d 单调递增 定理4 1jr o 0 ，s l 0 ，翮】，vs 【o ，e 1 方程( 4 2 ) 有唯一t 周期解k b o ，伯 ，t = t ( u ，) ，且k 连续依赖于e ， 0 k 0 一o 一o ) k 是 玲 的极限 f 昭= 0 i 硭+ 1 = 够g 世 = 0 ，1 ，2 ) 够是格林算子 汐：c y 岛一 y 一9 ( ，y ( ) ，e ) 证明由于a ( t ，p ) 非奇异，由预备知识中的推论1 2 知，方程( 4 2 ) 有一个t 周 期解当且仅当够 有个不动点仍然只需证明够g 。是b 0 ，r 0 】上的压缩映射 事实上，vy n o ，r 0 】cc ，| 0 ，s t 1 | 留y 0 西鲍0 y 0 曲 f l 够g 。( y ) i i =i l 够g 。( y ) 一够( 乏( o ) + f i g 。( 0 ) 0 = i 矽 【g ( y ) 一g ( o ) 】+ 仅( o ) 川 = 0 够t b ( t ，y 0 9 ( t ，o ，s ) 】+ 9 ( t ，0 ，0 ) 玛 肘，e 1 ) r o + e a n ( u ，1 ) 】 1 8 g dy下g f 1 - h vm ，y 2 b 0 ，r 0 】，i l e g 。( m ) 一箩( 矗( 蚝) 0 = 由于m ( 0 ，0 ) = 0 ，n c v ，0 ) ；0 ，可选取充分小的 0 ，e l 0 ，1 ( 0 ，s o j ，8 t 玛阻( r o ，e t ) r o + e l n ( i 工，1 ) 】 1 0 此时恰有m ( r o ，e 1 ) o ，0 o ，v e 【o ，8 0 】非自治扰动的v a n d e rp o l 方程 矿+ p ( 矿一1 ) z 7 + $ = 冗t ，一，e ) ，：r r r r _ r ，g 1 其中广关于t 是周期的，有轨道渐近稳定的2 w ( “) 周期解茏( t ，p ) 且 = l i x 。( t ，p ) 一v ( t ，p ) 0 曲一o ( e o ) 2 ”( “，e ) = ( 1 + a t e ) t , t = 亍( p ，) ，i k l o 仁一0 ) 5 扰动v a nd e rp o l 方程轨线的运动趋势 在含负阻元件的振荡电路中，如下图 记r 为电阻，l 为电感，g 为电容，n 为负阻元件，七为流入c 的电流，屯 为流出l 的电流。i 为流入n 的电流，则由基尔霍夫定律及隧道二级管特性曲线 关系式t j = - a v + 6 y 3 其中n ，b 为常数，得到 l i j c + r l c + v = 0 ， 利用如= c v 7 ，i l = 昆+ j ，得出 + ( 苦俨+ 兰一秒+ ( 等) y + 茄r b 儿o ( 5 1 ) 令 z = 舢= ( 盎) i p = 气笋= 害，扛可a r l - r 2 c 则( 5 1 ) 化为 + p ( z 2 1 ) 一- i - u 2 写+ 。3 = 0 若u 2 = 1 则 z 2 + 芦( z 2 1 ) x + z = ( 一z 3 ) 现考虑 舻+ p ( 。2 1 ) 。+ 茁= s ( 一z 3 ) ( 5 2 ) 下面让参数p ，e 分别取不同的数值，得到不同的从奇点出发的逼近子v a nd e rp o l 方程之极限环的轨线的运动方式其中横轴为x ( ) ，纵轴为x 他) 肛= 0 1 ，= 0 “= 0 1 ，e = 1 p = 0 1 ，= 1 0 p = 0 5 ，e = 0 0 1 p = 0 i ，= 0 0 1 “= 0 1 = 5 p 。0 5 ，e = 0 p = 0 5 ，= 1 肛20 5 ，5 = 1 0 p = 0 5 ，慧5 0 0 p 2 1 ，e = 1 0 j = i e = 1 0 0 0 p = 1 0 ，= 1 0 j = 0 5 5 = 2 5 0 p = 1 ，s = 0 p z l ，s = 1 0 0 p = 1 0 ，= 0 p = 1 0 ，f = 1 0 0 p = 1 0 ，e = 1 0 0 0 0“