（概率论与数理统计专业论文）完全区组设计下基于aligned+ranks的有方向检验问题.pdf

摘要 在完全区组设计中，为了比较不同处理间处理效应的大小问题，需要解决这样 的有方向假设检验问题： 凰：以= 如= = 以h 研：口1 如巩，且p 1 口k 目前用来解决这种有方向检验问题的非参数统计方法是尸0 9 e 检验，该检验 方法中样本观察值的秩( 凡口礼七) 是通过对每一个区组中的样本各自排序得到的本 文首次基于a l 遮n e d 秩( a 玩夕竹e d 砌札s ) 提出了用于解决上述完全区组设计下有方 向检验问题的一个检验方法，在本文中称这个方法为w 检验这里样本观察值 的a l i g n e d 秩是在去除处理效应后通过排序得到的，不同于我们熟知的如p 口9 e 检 验方法中样本观察值秩( r 口n 南) 的获取方法。 全文共分七部分第一部分首先介绍了完全区组设计下无方向和有方向两 种假设检验问题的研究情况，然后简要介绍了解决这两种检验问题的目前已有 的方法，并对本文中涉及的重要概念：秩( r 口扎七) 和a l i g n e d 秩( a 2 咖1 e d m n 七s ) 以及 结( “e ) 统计量的有关性质做了较为详细的分析；第二部分是检验的提出过程 通过计算成对数据的相关系数，提出了检验统计量；第三部分研究了一般情形 ( 即完全区组设计中每个试验单元仅有一个观察值) 下的w 检验，对于实际情况 的区组试验数据，由于a l 逗n e d0 b s e r 、，a t i o n s 中可能有相等值出现，所以分别计算 了a l 培n e do b s e n ，撕0 n s 中不存在结和存在结这两种情形下当原假设矾成立时 检验统计量的数学期望和方差在实际中，完全区组设计下每个试验单元有重复观 测的情形大量存在，故第四部分和第五部分分别详细研究了等重复观测情形和不等 重复观测情形下的检验，同时分别计算了a l i g l l e do b s e r v a t i o 璐中不存在结和存 在结这两种情形下当原假设凰成立时w 检验统计量的数学期望和方差由于w 检验统计量的分布与样本观察值的大小有关，故其零分布表是无法给出的第六部 分证明了w 检验统计量的渐近分布为正态分布，对于实际问题，可以用正态近似 得到检验的p 值，据此做出最终的统计决策第七部分给出了应用w 检验方法求 解完全区组设计下有方向检验问题的具体步骤，并对一个具体的实例进行了分析 关键词： 完全区组设计，a 1 i 聃e dr a n l ( s ，检验，结 a b s t r a c t i nc o m p l e t eb l o c kd e s 培n ，w em u s tt os o l v et h eo r d e r e da l t e r n a t i v e st e s tp r o b l e m i no r d e rt oc o m p 盯et h et r e a t m e n te 如咖 凰：日1 = 目2 = 一靠h 日1 ：口1 如巩，a n d 口1 巩 a tp r e s e n t ，w em o s to 托e nu s e dt h ep 口g et e 8 tt os o l 、圯t h a tp r o b l e m i nt h e p a g et e 8 t ，t h er a l l k sf r o ms a i i l p l e s 盯ed r a w nb ys o r t i n gt h eo b s e r v a t i o n si ne a c h b l o c k i t h i sp a p e r ，w e 百v eat 豁tn 锄e d t e 8 tb 8 8 e do na h g n e dr a n k sf o r t h ef l r s tt i m et os o l v et h eo r d e r e da l t e r n a t i v e 8t e s tp r o b k m ，t h e “i g n e dr a n l 【sf r o m a u g n e d0 b s e n 僦i o n s 盯ed r a w nb ys o r t i n gt h ea l i g n e do b s e r v a t i o n s 峨e rw i p i n go 仔 t h et r e a t m e n te f f e c t s i ti sd 诳b r e n tt ot h er a m 【ss u c l la si nt h ep 0 9 et e s t t h i 8p 8 p e rha _ 、，e7p a r t 8 i np a r t1 ，w ei t r o d u c e dt h et w oh y p o t h e s i st e s t p r o b l e mi nc o m p l e t eb l o c kd e s i g ，a 丑di n t r o d u c e dt h em 0 8 tm e t h o d st os o l v et h e t w 0p r o b l e m ，t h e na n a l y 8 e dt h eh l k ，a l i g l l e dr 眦ka n dt i e s i np 盯t2 ，w eg a v e t h ew t e s ts t a t i s t i cb yc o m p u t i n gt h ep r o d u c t m o l e n tc o r r e l a t i o nc o e m d e n to n t h ep a j r e d - w i s ed a t a i np a r t3 ，w ed i s c u s s e dt h ew 7t e s ti 1 1c o m p l e t eb l o c l ( d e s i 9 1 1 w i t he 锄巴he x p e r i m e n tu n i tha _ v eo n l y0 n eo b s e r v a t i o n ，b e c a u s et h e r ew i l le x i s tt i e s i na l i g n e do b s e r v a t i o i l s ，w eg a et h ee x p e c t a t i o na n dv a r i a n c eo ft h ew8 t a t i s t i ci n t h e s ec o n d i t i o n su n d e rt h en u l lh y p o t h e s i s i np a r t4a n d5 ，w ed i s c u 8 s e dt h ew t e s ti nc o m p l e t eb l o c kd e s i g nw i t he a c he x p e r i m e n tu n i th a er e p e a to b s e n r 砒i o n 8 ， b e c a u s et h e r ew i ue x i 8 tt i e s i na l i g l l e do b 8 e r 、，a t i o 璐，w eg a 鹏t h ee x p e c t a t i o na n d v 打i a n c eo ft h e s t a t i s t i ci 1 1t h e s ec o n d i t i o i l su n d e rt h en u h y p o t h e s i s i np a r t6 ， w ep r o o f e dt h a tt h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h ew 。s t a t i s t i ci sn o r m 甜d i 8 t r i b u t i o n u n d e rl a r g e8 啪p l ea s 8 u m p t i o n ，i np r a c t i s e ，w ec o u l dm a k ed e c i s i o nb ya s y m p t o t i c m 柚u e i np a n7 ，w eg a et h ep a r t i c u l a rp r o c e 鹤t os o l v et h eo r d e r e da l t e m a t i v e s t e 8 tp r o b l e mb ya p p l y i n gn i ew t e s t ，a 丑da i l a l y s e dae x 帆p k k e y 、0 r d s ：c o m p l e t eb l o c kd e s i g i l ，a 1 i g n e dr a n k s ，t e s t ， t i e s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意。 学位论文作者签名：李弓l 鼍， 加年岁月够日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 雠季盼铆铭乏爿彩 加- f 年岁月工j 日乙舻6 年广月2 歹日 华东师范大学硕士学位论文 1 1 完全区组设计 1 预备知识 在有些情况下，考虑数据的来源是很有必要的，举例来说，假设要比较三种不 同的药物a ，b ，g 的疗效，于是分配给九个病人服用，观察其药效，然而病人本身也 有老中青之分，如果忽略了年龄差异这个事实，就很可能造成最终的判断错误比 如说，偶然地把青年人都分到了用a 药物的一组，而把老年人都分到了用g 药物的 一组，最后判断结果为a 药物最好，显然这个答案是不合适的，因为无法区分是年龄 还是药物对结果起作用常识告诉我们，最好把不同年龄的三组人均匀的分配到三 种药物处理之下，也就是要进行区组试验设计，下面主要介绍完全区组设计 完全区组设计，是相应于每个处理( t r e a t m e n t ) 及每个区组( b l o c k ) ，每个试验单 元都有观察值的一种试验设计方法以下我们总假定有南个处理及6 个区组，在此， 说明以下几个相关概念 ( 1 ) 因子( f a c t o r ) ：在试验设计中，试验者感兴趣的对试验结果有影响的因素， 如药物的剂量 ( 2 ) 试验单元：用于进行试验的实体，如病人 ( 3 ) 处理：因子在试验中所处的状态或水平，如药物a ，b ，g ( 4 ) 区组：是一组试验单元，它们彼此之间的相似性远远大于其他试验单元，比 如青年这个年龄段的病人 1 2 完全区组设计下两种假设检验问题的研究 一般来说，对于有后个处理及6 个区组的完全区组设计，假定样本观察值。d ( = 1 ，砖j = 1 ，6 ) 来自分布为b 一吼) 的总体，这里的乃是第j 个区组下 观察值的分布，以为第i 个处理的效应，同时假设所有的观察值都相互独立，下面以 表格的形式给出样本的分布情况 一一 些奎堕蔓奎堂堡主堂垡堡壅 女个处理6 个区组的试验数据 区组 处理l2 6 1 z 1 10 1 20 1 b 2 z 2 lz 2 2z 2 6 七 z k lz 2o 女6 通常我们需要解决无方向和有方向两种假设检验问题 1 2 1 完全区组设计下的无方向检验问题 为了比较各个处理间是否有差异，我们要检验 凰：口1 = 如- - - = 巩一日l ：不是所有的仇都相等 这样的检验问题就是无方向假设检验问题，解决这种问题已经有很多成熟的方 法，这里主要简要介绍三种 ( 1 ) 方差分析的方法 这是一种比较经典的方法，主要采用偏差平方和分解来构造f 检验统计量，根 据方差分析表得到f 值，然后做出统计决策然而这个方法要求数据必须满足正态 分布假设，对于实际问题而言，这一假设大都难以满足，所以也有下面两种非参数 统计的解决方法，他们都是基于观察值的秩的假设检验方法 ( 2 ) n i e d m 龇l 检验 设兄巧为z 甜在同一区组( 第j 个区组) 中的秩，它是通过对每一个区组中的样本 观察值排序而得到的，与一般熟知的秩的获取方法没有本质的区别，需要注意的是 这里的秩不是通过对所有的样本混合后排序得到的在这里，我们检验的数据是秩， 给定所有的样本观察值，并对每一区组的观察值分配秩，也就是说，如果我们研究岛 种处理，任意一区组的秩就是从1 到七的一种排列，在凰成立时，如果用r 表示 第i 个处理下的平均秩，直观上看，r 离其在区组内的均值e ( 忍) = 芋越远，说 2 华东师范大学硕士学位论文 明对原假设的偏离越大，基于这个想法，f r i e d m a n 于1 9 3 7 年提出了检验统计量 q 2 鼎扣一半，2 它称为n i e d m a n 检验统计量，凰的拒绝域为其取较大值 对于某些和6 已有临界值表可查，同时，已经证明：当k 固定，b o o 时， q x 2 ( 一1 ) ，检验的p 值为p ( ) ( 2 ( 七一1 ) q ) ( 3 ) h o d g e _ l e h m a n n 检验 这是一种基于a u g n e df 汹咄的方法，考虑到各个区组间的差异，不同区组间处 理的直接比较是没有意义的，通过这种方法，就可以很好的去除掉区组效应 设忍j 为z 订一在全样本( a l i g n e d o b 8 e r v a t i o n s ) z l j g j ：i = 1 ，2 ，七；j = 1 ，2 ，6 ) 中的秩，在岛即处理效应不存在的假设下，所有的一zj 都只受到 随机误差的影响，于是每个处理下的越i g n e d 戤m k 应该差不多，用昆表示第i 个 处理下的平均a l l g n e dm m k ，甄= r f ，则r l 一，风应该与它们的平均值 r = 8 学差不多基于这种想法，h o d g e _ l e h m a n n 于1 9 6 2 年提出检验统计量 q ：r 型l 圭( 皿一半) 。 ( r i j r ，) 24 1 “ l = 1 = 1 它称为h o d g e - l e h m a n n 检验统计量，凰的拒绝域为其取较大值 由于h o d g e _ l e h m 8 j 1 n 检验统计量的分布与样本观察值的大小有关，故其零分 布表是无法给出的，但当样本容量较大时，l e h m a n n 已经证明了如下的极限分布： q 上x 2 ( 女一1 ) 1 2 2 完全区组设计下的有方向检验问题 在有些情况下，我们感兴趣的不仅仅是各个处理间是否存在显著性差异的问 题，更感兴趣的是各个处理间处理效应的大小问题，于是便要解决这样的假设检验 问题： 风：日l = 日2 = 一瓯h 肌：p l 8 2 巩，且日1 ： 忍+ t = 1 称为p a g e 检验统计量，凰的拒绝域为其取较大值 p a g e 在1 9 6 3 年的工作中，还给出了p a g e 检验统计量的零分布表，对于零分布， 已经证明当七固定，6 一o 。时，有 其中 禚蛳( 0 ) y n 7 h 0 ( p ) 一7 ( p ) _ 警掣， 哳舯) = 幽学 因此在大样本时可以用正态近似来得到检验的p 值 1 3 秩( r a n k ) 、a l i g i l e dr a n k 以及结( t i e ) 从前文中可以看出，运用非参数统计的方法对于总体分布不作过于严苛的假 设，正因为如此，这种方法受到人们愈来愈大的重视，像n i e d m a n 检验，h o d g e _ l e h m a n n 检验等其它的检验方法都是建立在秩以及与秩相关的一些概念基础 上的本文正是基于a u g n e dm m k 提出了一种非参数检验方法，故有必要说明与 秩、a l i g n e dr a n k 以及结等相关的性质 1 3 1 秩 假设有样本。1 ，z 2 ，z 。，将它们由小到大排列成z ( 1 ) 。( 2 ) 2 ( 。) ，若 茁。= ( r 小则称r 为她的秩显然，r 的取值范围为 1 ，2 ，n ) ，忍服从离散均 4 华东师范大学硕士学位论文 匀分布 事实上，对于大多数秩检验方法，样本观察值的秩是通过对样本排序按照上面 的方法得到的，在完全区组设计中，观察值的秩就是通过对每一个区组中的样本各 自排序得到的，譬如n i e d m a n 检验和p a g e 检验中，由于每个区组下有k 个样本， 所以各个区组下样本的秩是从1 到k 的一种排列举例说明，设得到一组完全区组 设计数据如下表： 区组 处理 12 345678 a2 2 55 2 71 0 82 0 11 2 7 3 9 21 3 7 1 6 3 b2 2 85 3 10 8 32 1 61 3 3 3 7 01 4 8 1 4 8 c2 2 7 5 3 20 9 71 9 61 3 8 4 7 11 3 6 2 3 6 d2 3 1 5 7 6 1 0 52 3 6 1 1 95 4 62 1 0 2 0 3 对第一个区组的样本 2 2 5 ，2 2 8 ，2 2 7 ，2 3 1 ) ，按照由小到大的顺序排列：2 2 5 2 2 7 2 2 8 2 3 1 ，于是得到样本各自相应的秩为1 ，3 ，2 ，4 ，依次类推，得到全体试 验数据的秩的分布： 处理 秩昆+ a1142 22 2 21 6 b3 2l331311 7 g2 3 2l43142 0 d4 4 3414 4 32 7 1 3 2a l i g n e di l a n k 1 9 6 2 年，h o d g e s 和l e h m a n n 在他们的论文r 龇1 km e t h o d sf o rc o m b i n a t i o no f i n d e p e n d e n te x p e r i m e n t si na n 出y s i so f v 打i a n c e 中，首次提出了一种基于a 1 i g n e d r a n k 的非参数统计检验方法一h o d g e - l e h m a n n 检验，使得关于a 1 i g n e dr a n k 的研 究受到统计学界的广泛关注与重视，后来由m l p u r i 和p k s e n j n 等学者做了进 一步的研究和推广本文也是基于a u g n e dr a n k 提出了用于解决完全区组设计中有 5 华东师范大学硕士学位论文 方向假设检验问题的检验 a 1 蟾n e d ，中文是使一致的意思，通过对h o d g e - l e h m a n n 检验的介绍，已经知道 每一个样本观察值的a l i g n e d 胁1 k 是在去除处理效应后，通过对所有的a l i g n e d o b s e r 、吼i o n s 排序后得到的，与我们熟知的秩的获取方法是不同的 ( 1 ) a h g m dr a n k 的获取 对随机变量x 的一组样本观察值z 1 ，茁2 ，z 。，按照下面的方法得到各自 对应的a l i g i l e d 如n k ：首先每一个样本分别减去它们的某个效应，比如说平均效 应，我们用样本均值圣作为它的估计，于是得到。1 一牙，。2 一牙，z 。一孟，称为 a l i g n e do b b e r v a t i o n s ，然后将全体a l i g n e do b 8 e 】懈i o n s 按照由小到大的顺序排列得 到a l 谵n e do b 8 e m t i o n s 各自相应的秩，这些a l i g n e do b s e r v 8 t i o n s 的秩就是样本各 自相应的a l i g n e dm m k 显然，对于一组样本茁1 z 2 ，z 。，其a l i g n e dm m k 和秩 是一致的 设有两个随机变量x ，y ，分别得到样本1 ，茁2 ，茁。和玑，可2 ，为了去 除平均效应，首先计算随机变量x ，y 的平均效应估计蕾，雪，然后对全体a l i g n e d o b s e r v a t i o n s z 1 一雪，z 2 一牙，- ，z 。一孟，s ，1 一雪，抛一雪，- ，3 h 一雪 由，j 、至0 大扫 歹0 得到相应的秩，这些秩就是样本 z 1 ，z 2 ，z 。，饥，抛，蜘) 各自相应的a 1 i g n e d r 加k ，可以看出，样本的a l i g n e dr 舢i k 的取值范围是从1 到m + n 对于由完全区组试验得到的样本数据，运用同样的方法可以得到样本各自 的a l i g n e dm m k ，像h o d 扩l e h m a n n 检验和本文提出的w 检验就是基于a l i g n e d r a n k 的非参数方法，运用上面例子中的试验数据，首先说明a l i g n e dr 龇1 k 的获取过 程，下表是试验数据 区组 处理 12345678 a2 2 55 2 71 0 82 0 11 2 7 3 9 21 3 71 6 3 b2 2 85 3 10 8 32 1 61 3 3 3 7 01 4 81 4 8 g2 2 75 3 2 0 9 71 9 61 3 8 4 7 11 3 ，62 3 6 d2 3 1 5 7 61 0 52 3 。61 1 9 5 4 ，62 1 0 2 0 3 6 华东师范大学硕士学位论文 对上面的试验数据，首先计算这8 个区组效应的估计值分别为：2 2 7 3 5 ，5 4 1 5 7 5 7 5 ，2 1 2 2 5 ，1 2 9 2 5 ，4 4 4 7 5 ，1 5 7 7 5 ，1 8 7 5 ，由此得到全体a 1 i g l l e d0 b s e r v a t i o n s ： 区组 处理 123456 78 a o 2 3 51 4 53 2 2 51 1 2 5 0 2 2 55 2 7 52 0 7 52 4 5 b0 0 0 6 5 1 0 50 7 2 50 0 3 7 5 0 0 3 7 5 7 4 7 5 一o 9 7 5 3 9 5 c0 0 3 50 9 52 1 2 51 6 2 50 0 8 7 50 2 6 2 52 1 7 50 4 8 5 d0 0 3 6 50 3 4 52 9 2 50 2 3 7 51 0 2 51 0 1 2 50 5 2 2 50 1 5 5 然后将上表中的全体数据按照由小到大的顺序排列，得到全体a 1 i g n e d o b s e r v a t i o n s 的秩，也即是得到了全体样本对应的a l i g n e dr a i l l ( s ： 处理 a 1 i g n e d r a n l 【s a1 592 51 01 6264 日1 91 182 12 111 33 e1 8 1 4 1 7 72 42 853 0 d2 02 92 32 71 23 23 12 6 显然这样得到的秩与运用n i e d m a n 检验时样本得到的秩是不同的 一般的，在詹个处理6 个区组的完全区组设计中，假设得到没有重复观察值的 试验数据如下表1 3 1 ： 表1 3 1 个处理6 个区组的试验数据 区组 处理12 6 1 1 1z 1 20 1 b 2 茁2 1z 2 2z 2 6 七 z 1z k 2 。 茁k b 均值z 1 z 2 z6 7 华东师范大学硕士学位论文 对上面区组设计下的样本观察值，现给出其a 1 i g n e dr 肌k 的获取过程如下： 为去除区组效应，首先求出各个区组的观察值的均值( 上表中最后一行) 作 为区组效应的估计： 七 z j = 茁玎七，j = 1 ，2 ，- ，6 i = 1 对样本观察值进行调整，得到a i i g n e do b s e r v a t i o n 8z 0 ，即 z ；= z 甜一z j ， = 1 ，2 ，南；j = 1 ，2 ，6 将所有的a h g n e do b s e r v a t i o i l sz ；a = 1 ，2 ，七；j = 1 ，2 ，一，6 ) 由小到大 排列，求出每一个z ；的秩r ，即为的a l i g n e dr a n k 这一步骤将表1 3 1 变换 成下表： 表1 3 2 样本观察值。巧的a u g n e dm m k 区组 处理12 6 1 r 1 1r 1 2r 1 6 2 忌l飓2兄6 七 凡1凤2风6 ( 2 ) a l i g n e dr a i l k 的分布 通过1 3 1 我们知道，样本的秩( r a i l k ) 服从离散均匀分布，那么a 1 i g n e dr a n k 的 分布是怎样的呢? 接下来将主要讨论在完全区组设计中，当原假设凰成立，即处 理效应不存在的前提下，样本观察值的a l i 鲷e d m k 的分布情况 由样本的a l 自g n e d 1 1 1 k 的获取过程知道，每一个样本观察值的a l i g l l e dr 且n k r ，是在去除区组效应后，通过对所有的a l i g n e do b s e n r 砒i o n s 排序后得到的，所以 原假设凰成立时，即处理效应不存在的前提下，在区组1 下的忌个a l i g n e dr a n k r 1 1 ，r 1 2 ，r 1 女，区组2 下的七个a l i g l l e d r a n k 冗1 2 ，恐2 ，几2 ，以及区组 6 下的七个a 1 蟾n e dr a i l kr 1 6 ，兄2 一，风b 都观察到的条件下，同一区组下样本的 a l i g n e dr a n k 可以认为服从均匀分布 8 华东师范大学硕士学位论文 在这里，我们用表示第 个处理第j 个区组的样本值的a 1 i g n e dr a n k 兄 的观察值，则在原假设成立时，由于处理效应不存在，对第j 个区组下的样本 观察值茁1 j ，茹2 j ，。幻的a l i g n e dr a n k r l j ，翰，而言，( r 1 j ，r 幻) 服从均匀分布，即 1 p ( 兄1 j = 口1 j ，r = n ，一，r 可= 口螂) = 云 其中( 0 1 j ，o ，o 幻) 是( r l j ，7 巧，酊) 的任意一个排列 对第j 个区组下的样本z 玎0 = 1 ，后) ，其a l i 鲷e dr a n k 嘞的分布律为： 所以，在区组1 下七个a l i g n e d m l l 【r 1 1 ，r 1 2 ，r 1 的观察值为r 1 1 ，r 1 2 ， ，r 1 ，区组2 下七个a l i g n e dr 舡i l 【只1 2 ，总2 ，r k 2 的观察值为r 1 2 ，r 2 2 ， ”k 2 ，以及区组6 下个a l 遮n e d r a i l k 冗1 6 ，r 2 6 ，r 的观察值为r l b ，r 2 b ， ，“6 的条件下，表1 3 2 中全部柚个a n g n e d u l l ( 总共有( 南! ) 6 种不同的分配方 法，取每一种分配的概率都等于l ( 削) 6 1 3 3 结( t i e 8 ) 统计量 对于连续性分布总体，样本取相同值的概率为o ，但实际情况是样本中可能有 相等值出现，此时，我们说样本中存在着结这种情况下通常采用平均秩法来分配 秩 一般地，设样本z 1 ，z 2 ，茹。由小到大如下排列：。( 1 ) = 。( 2 ) = z ( f 1 ) z ( n + 1 ) = = z ( n + 吨) 茹( n + + 1 j l + 1 ) = = z ( n + n + + 勺) ， 口 其中机，吩) 是9 个整数，且n 一扎，称( 丁1 ，勺) 为结统计量 对于上面的定义，我们应注意到： ( 1 ) g 是样本中结的个数，它是随机的； ( 2 ) 露是第i 个结的长度，也是随机的； ( 3 ) 对于样本z 1 ，z 2 ，z 。，上述结统计量将其分成9 个组，按照平均秩法分配 秩，其第i 组的样本的秩都为佻= 击( 丁1 + + t 一1 + ) = n + + n 一1 + 警 = l ，i = 1 ，2 ，g 9 华东师范大学硕士学位论文 这时，可以看出样本取唯一i g 个不同的秩 在此，为了更好的理解平均秩的获取方法，引入计分函数的概念设有计分 函数o ( r ) ，r = 1 ，2 ，礼，如果甄0 = 1 ，n ) 在样本z 1 ，。2 ，z 。中的秩为 r 时，我们就将就的得分定义为o ( r ) ，在结的长度为1 时，即没有结的情况下， n ( 忍) = 昆，而在结的长度大于1 时，口( 忍) = m i 即取秩的平均 首先我们分析7 - 个样本在相等和互不相等的情况下，它们秩的和与平 方和产生的变化假设有丁个样本观察值，在它们互不相等时，其秩分别为 r + 1 ，r + 2 ，r + _ r ，由于这7 - 个秩的平均为 ( r + 1 ) + p + 2 ) + + p + 丁) 一7 _ + 1 了一一7 + t ， 所以当这丁个样本相等时，即形成一个长度为r 的结时，这7 _ 个样本的秩都是平均 秩r + 二挚由此可见，在这7 - 个样本相等时，它们秩的和与平方和分别为： ( 时半) + + ( r + 孚) 叫r + 孚) ( h 孚) 2 + + ( r + 孚) 2 叫r + 半) 2 而在这7 - 个样本互不相等时，它们秩的和与平方和分别为： ( 件1 ) + ( h2 ) + + ( hr ) = 丁( r + 孚) ( r + 1 ) 2 + ( r + 2 ) 2 + + p + 7 ) 2 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ：7 - 一+ 7 ( ，+ 1 ) r + 二生二l 掣 ( 1 3 4 ) 由( 1 3 1 ) 和( 1 3 3 ) 式可以看出，当这r 个样本相等和互不相等时，它们秩的和 是相等的，没有差别；而由( 1 3 2 ) 和( 1 3 4 ) 式可以看出，当这7 _ 个样本相等和互不相 等时，它们秩的平方和是有差别的，由于 丁”孚) 2 _ ( r + 1 ) 2 + ( r + 2 ) 2 + + ( r + r ) 2 一鲁 ( 1 3 5 ) 这说明秩平均之后其平方和发生了变化，减少了二，不难发现其减少的量仅与样 本观察值的个数r ，也就是结的长度有关，而与结所在的秩的起点r + 1 无关 由于在样本观察值相等和互不相等时，它们秩的和没有差别，所以秩平均之后 其和保持不变， 壹嘶) ：1 + 2 + + n ：坐掣 ( 1 3 6 ) l o 华东师范大学硕士学位论文 同时，由于当样本观察值相等和互不相等时，它们秩的平方有差别，其差别 见( 1 3 5 ) 式，所以秩平均之后其平方和有变化， 如h 。彬以学一掣。刃 i = 1 一 一 其中9 为样本观察值中结的个数，勺是第j 个结的长度，j = 1 ，2 ，g ，口( ) 为计分 函数 华东师范大学硕士学位论文 2w 检验的提出 在有七个处理6 个区组的完全区组设计中，假设样本观察值戤f “= 1 ，；j = 1 ，6 ) 来自分布为乃( x 一的总体，这里的马是第j 个区组下样本观察值的分 布，晚为第i 个处理的平均效应，同时假设所有的样本观察值相互独立 这里，我们感兴趣的是七个处理间处理效应的大小问题，于是需要解决这样的 假设检验问题： 凰：目l = 如= = 疗kh 皿：日1 疗2 巩，且口1 巩 它是一个有方向检验问题，考虑到不同区组间的差异是各式各样的，因此不 同区组间处理的直接比较是没有什么意义的，为了去除区组效应，我们借助于 a l i g n e dr a n k 的非参数统计方法，首先用区组中样本处理值的平均值作为区组 效应的估计值，即用z j = z 玎，j = 1 ，2 ，6 来估计区组效应，这样就可以 用 一z o ，i = l ，2 ，七；j = 1 ，2 ，6 ) 间的比较来反映不同处理间的差异 茁“一z 称为a l i g i l e do b s e r v a t i 0 1 l s ，它们相应的秩称为的a l i g n e dr 龇1 k 基于a l i g n e dr a n k ，我们提出了用于解决该检验问题的检验，下表首先给 出区组设计表中相应的a l i g e dr 舢妇予于说明 区组 处理 12 6 1 兄1 1冗1 2 r 1 b 2 岛1r 2 2恐b - 七 吼l玩2风6 在上面的表格中，以r j 表示一。j 在全体样本( a 1 i g n e d0 b s e r 、r a t i o i l s ) 一 z = 1 ，j = 1 ，6 ) 中的a l i g n e dr a n k ，当原假设点如成立时，即处理效 应不存在的前提下，所有的 z 玎一z j ) 都只受随机误差的影响而在历：p 1 墨如 s 巩成立时，处理效应随着 的增大而呈单调上升的趋势，显然，有单调上升趋 势时的“理想”情况为：z 1 1 一z 1 = 。1 2 一z 2 一z 1 6 一。6 z 2 1 一。1 = z 2 2 一茁2 = 1 2 华东师范大学硕士学位论文 = z 2 6 一z 6 z l z 1 = z 七2 一z2 = = 茁肪一z6 所以，有单调上升趋势时，相应的a l i g l l e dr a n k 的“理想”情况是：r j = ( i 一1 ) 6 + 警，i = 1 ，岛，j = 1 ，6 ，接下来分析观察到的a l 远n e dr a n l ( s 和“理 想”情况的a l i g n e dr 肋b 是否相吻合，即是否正相关，如果正相关，则认为处理效 应随着t 的增大而呈单调上升的趋势，为此计算下列成对数据的相关系数： ( 羔) ，( 羔) ，( 一等字) ，( 一等半) 它们的相关系数为 ( 一r ) ( 0 1 ) 6 + 半一些尹) p = 币寺些厅f _ f 膏6k6 、三e ( 一r ) 2 ，( a 一1 ) 6 + 半一2 宁) 2 v t = 1 = 1v = 1 ，= 1 舯屁：挚：学，学：丝竺掣其中，r = 三苎 = 丛笋，盟产= ! 三望兰二丽二二 显然，这个相关系数p 可以作为该检验问题的检验统计量，我们在| 口比较大的 时候拒绝原假设凰，认为从日1 到口2 ，一直到靠越来越大，有单调上升的趋势 6 令兄+ = r ，它表示第i 个处理下的a l i g n e d m m l 【s 之和，对p 的分子分母 ，= 1 进行化简，可以得到如下结果： 娄妻( 一亿) ( ( i 一- ) 。+ 半一竿) ( 一r ) ( ( i 一1 ) 6 + 字一竿) 忙l = 1 一一 划妻妻i 一坐掣 i = 1j = 1 一 划磐+ 一坚学型 1 3 华东师范大学硕士学位论文 圭圭( 嘞一见) z ：型坐掣 t = 1j = l 圭圭( ( ) 6 + 字一竿) 2 = 竺 r 1k 1 。 可以看出，由于七和6 都是常数，故取相关系数j 9 作为该检验问题的检验统计 七 量等价于取t r + 作为检验统计量，我们把它记做检验统计量， t = 1 据此可以做出相应的统计决策 由前面所说的a l i g i l e d 鼬的分布知道，在a 1 i g n e dm m k s 下，检验统计量 的分布与样本值的大小有关，故其零分布表时无法给出的，但当样本容量大时，如 果可以给出w 检验统计量的渐近分布，就可以得到检验的p 值基于这个想法，我 们考察了w 检验统计量的一、二阶矩，在完全区组设计中，由于重复观测的情形 经常可以遇到，我们又考虑了这种情形下w 检验 1 4 +r 。斟 = 缈 华东师范大学硕士学位论文 3 一般情形下的彬检验 这里所说的一般情形，是指完全区组设计中每个试验单元仅有一个观察值的情 形，上文中检验统计量的导出就是在这种情形下进行的，下面将主要推导在原 假设凰下检验统计量的数学期望和方差，并以定理的形式给出 3 1 a 1 i g n e do b s e r v a t i o n 8 中不存在结的情况 定理3 1 在有女个处理6 个区组的完全区组设计下，每个试验单元仅有一个 样本观察值，且观察值互不相等当原假设凰成立，且当第j 个区组下样本z d 的 a l i g n e dr 舟皿k sr t ，0 = 1 ，七) 给定观察值的条件下，j = 1 ，6 ，w 检验统计量 的条件期望和方差分别为 ( ) = 型掣 蚓卟掣喜妾c 扩 其中表示样本的a u g n e d 瞅的观察值，q = 查为第j 个区 组下所有a l i g n e dr a n l 【s 的平均 证明对有个处理b 个区组的完全区组设计，用q ( i = 1 ，；j = 1 ，6 ) 表示样本z 玎的a l i g n e d 胁l kr ，的观察值，区组设计下，全体a l i g n e d r a n k sr j 的给定值列于下表中： 华东师范大学硕士学位论文 表3 1a l i g n e dr a n kr j 给定为勺后的分配表 区组 处理1 j 6 n + 1 r l l r 玎 。r 1 6r 1 + r t l 。r t 6n + - 七“l r 幻 。r 的r 扛 其中，n + 表示第i 个处理下的a l i g n e dr 8 i l l 【s 之和 原假设凰成立时，所有的 z 玎一z j ；i = 1 ，忌；j = 1 ， 都只受随机误 差的影响，同时，已知每一个样本z 订的a l i g n e dr a n kr j 的观察值为的情况下， 给出其分布律 这里，不妨以第1 个区组下样本的a u g n e dr 且n k 为例，记区组1 下南个 样本的a 1 i g n e dm m kr 1 1 ，岛1 ，风1 的观察值分别为r 1 1 ，r 2 1 ，1 ，而将 r 。，忌1 ，风1 看作随机变量由于 p ( 兄1 l = r ：1 ，岛1 = 1 ，- 一，r k = r ：1 ) = 吉 其中( r ：。，r ：，吒1 ) 是( m m t ，- ，) 的任意一个排列，所以 从而 p ( r ，。= r ，。) = p ( 只。，= r 。，) = 一p ( r ，。= “。) = ； 给出其分布律为 1 1 p r a = 一 1 订 n p 。：i。试。 l 一 1 一七 l | | | i r r e 吖y 华东师范大学硕士学位论文 一般的，当原假设凰成立时，对于第j 个区组下样本z 玎) ( b l ，k ) 来说，当其 a l i g n e dr a n k sr j 给定为时，其a u g n e dr a n i c sr j 的分布律为： 所以有 e ( ) 2 垒r j 哳( ) 2 ( 1 ) 2 由于r + = ，故 e c 忍+ ，= 骞e c ，= ；妻妾= 坐掣 考虑到各个区组间的相互独立性，有 讹“风卜讹“若卜若讹“翰) _ 善吾_ r 。2 于是对任意的i ，有 y 口r ( 忍+ ) = y n r ( r 1 + ) ，i = 1 ，一，七 同时，注意到 芝：足+ = r 1 + + 飓+ + + r + + + r + + + r 女十 亡亡， 肋( 拍+ 1 ) = = 掣 所以，y o r ( 昆+ ) = 七y n r ( r 1 + ) + 七( 七一1 ) g 删( 忍+ ，局+ ) = o a 州酬= 一掣= 一志妻缸刊2 “z 在原假设凰下，c o ( r + ，r f + ) = e 删( r 1 + ，r 2 + ) ，1 i 2s 七 1 7 华东师范大学硕士学位论文 有了上面的充分准备，由于= t r + ，可以方便的推导出在原假设风成 立以及每一个样本的a l 逗n e dr 舳l 【sr i ，的观察值为的条件下，w 检验统计量的 数学期望和方差分别为： (