（概率论与数理统计专业论文）对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型.pdf

摘要 破产问题是保险公司十分关心的问题，通常刻画保险公司破产 相关的特征量主要有破产时刻、破产前盈余、破产时刻的赤字、最 终破产概率等保险公司的破产与否直接取决于公司的盈余，当保 险公司的盈余资产小于或等于零时，我们认为保险公司破产因而 在精算领域展开了对保险公司盈余变化过程进行建模的大量研究， 我们将这些模型称为风险模型通过风险模型的分析来研究破产问 题g e r b e r 于1 9 8 8 年给出在离散时间的风险模型( 即复合二项模型) 下，并对其破产概率进行讨论，这一结果掀起了对破产问题研究的 热潮 在刻画保险公司盈余变化的模型中，复合二项模型作为最经典 的风险模型被大量研究发展复合二项模型是一种很理想化的的模 型，但它非常形象的刻画了保险公司在固定的初始资产和保费收入 以及赔付随机变化的条件下盈余的变化，利用此模型可以分析保险 公司所面临的风险在复合二项风险模型下，我们可以方便的得到 与破产相关的特征量的一些性质关于破产的特征量的性质大部分 可以通过折罚函数来得到相应的结论，因而折罚函数的计算方式显 得非常重要 随着保险业的不断发展，分红保险越来越受到青睐，从事风险理 论研究的工作者在复合二项模型的基础上，考虑了保险公司在盈余 大于或等于个门限值时，将随机分发红利，得到了一种带随机地 红利支付的复合二项模型本文在此基础上进一步发展了复合二项 风险模型 本文的创新工作主要有如下几个方面： 1 通过考虑股份保险公司存在两次随机的支付，一方面需要向 持有分红保险的顾客分红，一方面需要考虑给股东分红；建立了一 种对股东和投保人均随机分红的复合二项模型 2 在此模型下，得到折罚函数妒( u ) 的递推计算公式，而且通过 建立线性方程组唯一确定了( o ) 3 利用新模型下的折罚函数的递推公式，得到了新模型下与破 产相关的特征量的计算公式 关键词： 复合二项模型，折罚函数，破产，分红 i i a b s t r a c t n er u i np r o b l e mi so n eo ft h es i g n i f i c a n tt h ep r o b l e m st h a ti n s u r a n c e c o m p a n yc o n c e r n t h ec h a r a c t e r i s t i co fr u i ni n c l u d et h et i m eo fr u i n ，t h e s u r p l u sb e f o r er u i n ，t h ed e f i c i ta tr u i n ，p r o b a b i l i t yo ff i n a lr u i n ，a n ds oo n 。i h es u r p l u so fc o m p a n yd e c i d ew h e t h e rt h ec o m p a n yi sr u i no rn o t w h e nt h e s u r p l u si sl e s st h a nz e r o ，t h ec o m p a n y i sc o n s i d e r e da sb a n k c r u p t c y s om a n y r e s e r c h e r sa r ei n t e r e s t e di ni ta n dm a k ea g r e a tn u m b e ro fm o d e l sa b o u tt h e s u r p l u so fi n s u r a n c ei na c t u r i a l 1 d t h e s em o d e l sa r ec a l l e da st h er i s km o d e l w ec a ns t u d yt h er u i np r o b l e mt h r o u g ha n a l y s i s i n gt h er i s km o d e l g e r b e r h a v ep r e s e n t e dt h em o d e la td i s c r e t et i m ea n dd i s c u s s e dt h ep r o b a b i l i t yo fr u i n i n1 9 8 8 t h o s ei n t e r e s t i n gr e s u l ta r o s et h ec l i m a xo fs t u d y i n gr u i np r o b l e m a m o n gt h er i s km o d e l s ，t h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e li sc l a s s i c a l o n e i th a v eb e e nd e v e l o p e dl a r g e l y t h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l i sai d e a lm o d e l ，b u ti ti m a g i n a u yd e s c r i b et h ec h a n g eo fs u r p l u su n d e rt h e c o n d i t i o n st h a tt h ei n i t i a la s s e ta n dp r e m i u ma tu n i tt i m ea r ec o n s t a n t ，a n d t h ec l a i mc h a n g er a n d o m l y u n d e rt h er i s km o d e l ，i t 8c o n v e n i e n tt oo b t i a n t h ec h a r a c t e r i s t i co fi n s u r a n c ec o m p a n y 8r u i n t h ee x p e c t e dd i s c o u n tp e n a l t y f u n c t i o ni sau s u a lt o o lu s e dt os t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i c s oi t sv e r yi m p o r t a n t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi n s u r a n c e ，t h ed i v i d e n di n s u r a n c ei sm o r ea n d m o r ep r e v a l e n t c o n s i d e r i n gt h es u r p l u so fc o m p a n yi sn ol e s st h a nac e r t a i n t h r e h o l d ，t h ed i v i d e n dw i l lb ep a i d t h er e s e a r c h e r so fr i s kt h e o r yb u i l dan e w m o d e lb a s e do nc o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l t h i sp a p e rw i l ld e v e l o pt h e c o m p o u n db i n o m i a lm o d e lw i t hr a n d o m l yp a y i n gd i v i d e n d s t h ec r e a t i v ec o n t e n ti nt h i sp a p e ri n c l u d et h ef o l l o w i n g ： 1 c o n s i d e r i n gj o i n ti n s u r a n c ec o m p a n ym a yp a yd i v i d e n d st h a ti n c l u d e t h ed i v i d e n dp a i dt op o l i c y h o l d e r sa n ds h a r e h o l d e r s 2 u n d e rt h en e wm o d e l w eh a v eo b t a i n e dt h er e c u r s i o nf o r m a t i o no ft h e e x p e c t e dd i s c o u n tp e n a l t yf u n c t i o n ( t ) i td e c i d e si n i t i a lt e r m 咖( o ) i i i 3 w eh a v eo b t a i n e dt h ef o r m a t i o na b o u tt h ec h a r a c t e r i s t i co fr u i n k e yw o r d s ：c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ，e x p e c t e dd i s c o u n tp e n a l t y i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作 品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：勿石卅口年争月和日 。处彩 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权 书。 2 、不保密a “ ( 请在以上相应方框内打。、一) 作者签名： 一各铹铆尹 日期：年月日 日期：年月 日 对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型 第一章绪论 1 1 研究背景与意义 近几年，自从我国保险市场上分红保险热销全国以来，分红保险 基本上已成为目前中国甚至国外保险市场上最热门的字眼，也成为 当前人们经济生活中最抢眼的字眼之一分红保险是一种保单持有 人参与分享保险公司可以分配的盈余，保险公司共同分享经营成果 的险种保户在按照缴纳保费以后不仅可以享受一般的保险功能 还可以定期获得保险公司资金运用后所得到的利润分红由于分红 保险保险的利润分红直接影响了保险公司的盈余变化，从而间接的 影响了保险公司将来是否破产，因而许多学者在经典的复合二项风 险过程中考虑随机支付红利情形得到了关于分红对保险公司破产 影响的一些结论如g e r b e r ( 1 9 9 7 ) 第九章第4 节给出了支付红利的模 型t a n 和y a n g ( 2 0 0 6 ) 给出了随机支付红利的模型 破产是所有保险公司都关心的问题，因而研究保险公司在将来 所面临的风险显得十分必要为了更充分的描述保险公司所面临的 风险我们通常考虑几个与保险公司破产相关的特征量，如破产时 刻、破产前盈余、破产概率、破产时赤字等而这些破产相关的特 征量大部分可以利用折罚函数( 最初由g e r b e r 引入) 来分析，从而在 各种风险模型下计算折罚函数对于风险研究者而言，是一个必不可 少的步骤因此折罚函数的就是本文的主要结论之一 在风险模型中，复合二项模型作为一种理想化模型被大量研究 复合二项模型中，考虑的时间变量是离散情形t = 0 ，1 ，2 ，而且在单 位时间区间( t 一1 ，t 】上收取个单位的保费在这个区间上索赔发生 的次数服从b ( 1 ，p ) ，0 p 1 即至多只发生一次索赔，发生一次索 赔的概率为p 在索赔发生的条件下，每次索赔额是独立同分布的， 并且索赔额与索赔次数相互独立在这一系列的假设下，得到了保 险公司盈余变化的风险模型这个模型考虑了初始资产、保费、索 赔额三个基本要素对保险公司盈余的影响为了进一步接近现实， 考虑到分红保险这一现实背景，t a n 和y a n g ( 2 0 0 6 ) 在经典的复合二 硕士学位论文 项风险模型的基础上，建立了随机红利支付的复合二项模型，更具 体、更实际的描绘了保险公司所面临的风险 1 2 本文主要研究工作和论文结构 本文其余部分结构如下； 第二章介绍复合二项风险模型的严格定义以及t a n 和y s n g ( 2 0 0 6 ) 提出的支付红利的复合二项模型 第三章考虑股份制保险公司在不同的盈余水平上将会有不同的 随机性支付在随机红利支付的复合二次风险模型的基础上，定义 了对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型，并在该模型下 计算得到折罚函数咖( u ) 的递推方程以一个线性方程组来确定砂( o ) ( 即在初始资产为零时折罚函数的取值) ，并且在第三节证明了线性方 程组解的唯一性 第四章将在新的模型下得到的折罚函数的递推方程应用于求与 破产相关的特征量 2 对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型 2 随机支付红利的复合二项模型 经典的复合二项模型在分红保险的实际背景下被推广，得到了 支付红利的复合二项模型考虑了在保险公司的盈余大于或等于给 定的门限值时，将随机给分红保险的持有人分发红利在复合二项 模型的基础上引入分红变量，得到了一种考虑实际背景的新模型 此结论由t a n 和y a n g 于2 0 0 6 年提出 2 1 复合二项风险模型 在保险风险模型的研究中，复合二项模型通常具有如下结构： 1 假设在任意一个时间时间区间( t 一1 ，明，t = 1 ，2 中，仅可能 出现两种索赔情况，或有一次索赔发生，用随机变量6 = 1 表示； 或没有索赔发生，用& = 0 表示，从而毛为服从两点分布的随机变 量，并假设t ，已，已，独立同分布( i i d ) 不妨设一b ( 1 ，p ) ，0 p 1 , t = 1 ，2 定义 y ( t ) = 1 + 巳+ + 6 ，t = 1 ，2 并定义n ( o ) = 0 ，则n c t ) 是一个参数为p 的二项随机过程即 y ( t ) 表示到时间t 末为止，保险公司所发生赔付的累积次数 2 个体索赔量序列x ，i = 1 ，2 ，是独立同分布的取值于正整数 的随机序列，五表示( i 1 ，i 】时间区间上，如果发生索赔，保险公 司将在该时段需要支付置大小的赔付额，则在( t 一1 ，胡上，保险公 司需要支付的赔付额可用随机变量矗五表示若定义 s t = l x l + 已+ + 已x t ，t = 1 ，2 ，( 2 2 ) 并约定岛= 0 ，则最表示到t 时刻为止，保险公司支付的累积赔付总 额 3 为了维持保险业务的正常运作，假定单位时间内收取的保费 为c ，不失一般性，本文假设c = 1 3 硕士学位论文 4 保险公司在时刻0 具有初始资产t ，牡n = 0 ，1 ，2 ，并且 假设 t ，t = 0 ，1 ，2 ，和 五，t = 1 ，2 ，) 相互独立，即赔付的次数 过程与每次赔付额独立 从而保险公司在t 时刻的盈余u ( t ) 可表示成 t u c t ) = u + t - 靠虬 ( 2 3 ) k - - o 通常也写成 ( t ) u ( t ) = u + t - 虬 k = o 则我们将上述模型称为复合二项模型 建立关于公司的盈余的风险模型最终目的是研究破产问题为 了充分描述破产前后的盈余变化信息，在复合二项模型的基础下， 关于破产的特征量( 破产时刻，最终破产的概率，破产前盈余，破产 赤字等) 被大量研究关于破产的定义存在两种不同的的说法，一种 是认为当保险公司的盈余小于零就认为是破产，而另一种说法是认 为当保险公司盈余小于或等于零就认为破产本文将采取第一种看 法定义破产时刻为 t = i n f 【t 1 ：u ( t ) o ( i n f g = + o o ) 当t = + o o 时，意味着保险公司永不破产，定义最终破产概率为 妒( 让) = p r ( t o l u ( o ) = t ) 破产前的盈余记为一= u ( t 一1 ) ，破产时刻的赤字记为i l = i u ( 丁) i 在研究保险公司所面临的风险时，特征量的分布相当重要，而这些 分布大多可以由折罚函数得到我们定义折罚函数为 九( u ) = e p ( 一1 ，i u ( t ) i ) v t i ( t 。) 讯，则互为到t 时刻为止的累积分红，约 定磊= 0 从而考虑随机分红的复合二项模型可写成 u ( t ) = t + t 一邑一s t( 2 4 ) 并且有 u ( t ) = u ( t 一1 ) + 1 一仇，( u 0 1 ) 2z )( 2 5 ) 由( 2 4 ) 确定的返回红利的模型是经典模型( 2 3 ) 的推广，在模型 ( 2 4 ) 中令q o = 0 就得到经典风险模型( 2 3 ) 5 硕士学位论文 3 对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型 对于股份制保险公司而言，如果该保险公司发行了分红保险， 那么它将面临着该公司的股东和分红保险的持有者在公司盈余大于 一定门限值时，向其发出分红请求由于是否决定分红由董事会共 同商议决定，所以即使保险公司接到了股东和被保险的分红请求， 考虑到种种因素，分红请求未必一定得到批准分红保险是为了吸 引更多的顾客前来投保，因而为了使公司具有竞争力，保险公司规 定的分红保险持有人可以向公司发送分红请求的盈余门限就不能过 高当公司盈余达到一定水平时，股东也有权力向公司提交分红请 求，但公司规定的股东可以向公司提交分红请求的盈余门限值不能 低于分红保险持有人对应的盈余门限，否则分红保险会失去吸引力 3 1 模型 给定下列要素： 1 三个非负整数u ，a ，a 2 ；不失一般性，我们假设眈a l ；进一步假设 a 2 a 1 2 概率空间( q ，p ) 上四个随机过程，7 ( 1 1 ，7 ( ，x ( a ) = 豫，t = 1 ，2 ，) 是独立同分布一族随机变量，共同分布是二 项分布b ( p ) ，p ( 0 ，1 ) ，q = 1 一p ( b ) 叼( ) = 彬，t = 1 ，2 ，) 独立同分布一族随机变量，分布为口( 岱) ， g t ( 0 ，1 ) ，p i = 1 一俄；i = 1 ，2 ( c ) x = 托，t = 1 ，2 ，) 是独立同分布取正整数值的一族随机变量， 分布列为f = ，( 七) = p ( x = 七) ，七= l ，2 ，) ( d ) ，刀( ，琅射，x 相互独立 我们称五元组u = ( 仳，( a 。，眈) ，f ，( 7 ( ，r ( 2 ) ) ，x ) 为对股东和投保人 均随机分红的复合二项风险模型，的= ( u ，( a l ，n 2 ) ，p ，( q ，啦) ，f ) 为模 型u 的数字特征， u ( t ) ，t = 0 ，1 ，) 为模型u 的盈余过程其中， v ( 0 ) = t ，( 3 1 ) tt u ( t ) = u + t - 鼠一【7 7 1 1 t ( u ( k - 1 ) 口1 ) + 拶i ( u ( k 一1 ) 口2 ) 】， k = lk = l 6 对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型 t = 1 ，2 ，( 3 2 ) i ( b ) 表示集合b 的示性函数 这个模型可以做如下理解：v ( t ) 表示股份制保险公司在t 时刻 的盈余，初始盈余是u ( o ) = 牡，在时间( t 一1 ，t 】内，接收的保费为1 ，赔 付次数为& 如果( t 一1 ，t 】中发生赔付，则赔付额为五r l ( ，r l ( 1 ) 表 示( t 一1 ，司中两次随机的红利支付保险公司在各个时刻( 离散时间) 的盈余是随机变化的，若保险公司的盈余大于或等于可考虑给分红 保险的持有人分红的盈余门限值，则分红险的持有者将以一定的概 率获得一个单位的红利，否则分红被取消若公司在某时刻的盈余 大于或等于可考虑给股东分红的的门限值，则股东以一定的概率获 得个单位的红利也就是对于保险公司而言，当公司盈余大于或 等于a t 且小于o , 2 时，保险公司只以一定概率给分红险的持有人分发 红利当公司的盈余大于或等于啦时，将以概率q l 匏分发两个单位 的红利( 股东和保户同时获得一个单位的红利) ，将以概率q l l r z + p l q 2 分发一个单位的红利，即只给股东和保户的其中之一分发红利的情 形：将以概率p l p 2 的概率不分发红利考虑到存在许多随机性因素 影响保险公司，例如自然灾害等，将红利发放随机化是合理的，这 也与t a n 和y a n g ( 2 0 0 6 ) 一致 显然，给定满足要素1 的u ，a l ，a 2 p q l ，q 2 ( 0 ，1 ) ，以及概率分布 f = ，( 七) ，k = 1 ，2 ，) ，则存在以的= ( t ，( a l ，n 2 ) ，p ，( q l ，q 2 ) ，f ) 为数字 特征的风险模型u = ( t ，( a 1 ，口2 ) ，f ，( r ( ，r ( 2 ) ) ，x ) 注1 因为股东与保户不同，作为风险承担者，它对应的分红性 质也不一样，因而本文不考虑a t = a 2 的参数情形， 注2 u ( t ) 是t a n 和y a n g ( 2 0 0 6 ) 提出的模型的扩充，当啦= 0 时， 为t a n 和y a n g ( 2 0 0 6 ) 模型 定义破产时刻为t = i n f t 1 ：u ( t ) o ) ，最终破产概率为妒( t t ) = p r ( t + o o i u ( o ) = t ) ，一l = u ( t 一1 ) 表示破产前盈余，l u r i = i ( 丁) l 表示破产赤字令t ，= 1 ，记( 札) = t ( 钍) ，则折罚函数为 ( t ) = e p ( v r 一1 ，i v r i ) i ( t + o 。) l u ( o ) = u 】， 其中，u ( z ，y ) ，z 0 ，y 0 ，为非负有界函数首先我们的目的是计算 7 硕士学位论文 砂( o ) ，( 1 ) ， 3 2 折罚函数的递推公式 令p ( 0 ) = 0 ，p ( n ) = e ：l ，( 七) ，1 2 = 1 ，2 ，( n ) = 1 一p ( 佗) ，n = 0 ，1 ，2 ， + + p = e x = en ，( n ) = ( n ) + o o n = on = 0 本文中，我们假设e ( l 五+ 硝1 + 叩p ) = 掣+ q l + 啦 o p 弘 注3 在定理3 1 的证明中将用到下面事实： p i p 2 + q l p 2 + p l q 2 + q l q 2 = ( q l + p 1 ) ( 9 2 + p 2 ) = 1 引理3 2 1 若 tt u u ( t ) = u + t - & 凰一皤i ( u u ( 七一1 ) 口1 ) + 裾t ( u ( k 一1 ) 眈) 】 k = lk = l t - 1t - 1 _ a ( t 一1 ) = a + t 一1 一l - z k 一雕i ( - u a ( k 1 ) 口1 ) + 於，( 矿( 七一1 ) n 2 ) 】 k - - 1k = l 其中a = 俨( 1 ) ，瓦= 扎+ l 己= 氟。，耀= 叩：l ，裙= 椴。则 u u ( ) ，( 尹 + o o ) 跨一。 昂 ：伊( 一1 ) = ，( p + o o ) = 眯- 1 = 其中u 2 ( t ) 表示初始资产为z 的盈余过程p 表示在该模型下的破 产时刻，r 为在初始资产z ，盈余过程为矿( t ) 下的破产时刻 8 对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型 证明：首先证明俨( t ) = - 驴a ( t 一1 ) ，t ：1 ，2 ， 数学归纳法，当t = 1 时， u u ( 1 ) = u + 1 一f 1 噩一 r l i i ( u u ( o ) n 1 + 1 7 1 2 i ( u ( 0 ) 口2 ) 】= a ：_ a ( o ) 假设当t n 时成立，l l p x 寸= i ：k n 时有u 铒( t ) = - a ( t 1 ) 下证t ：n + l 时上述等式成立 u “( 佗+ 1 ) t i + ln + l = u + t - 溉一【槿，( u ”( k - 1 ) n 1 ) + 槿，( u u ( 七一1 ) 0 2 ) 】 = t + 1 一f l 墨一切 1 1 ( v ( o ) 口i + 刀 2 ，( 汐( o ) 眈) 】 + n - 溉一【7 7 ：1 j ( 沪( 七一1 ) 口1 ) + 稚，( ( ，u ( 七一1 ) 口2 ) 】 k = 2k = 2 = c ，u ( 1 ) + n - + - x k + l 一【嘏。j ( u 缸( 七) a 1 ) + 椴1 j ( u 札( 七) n 2 ) 】 k = lk = l = ( ，u ( 1 ) + n - 邑瓦一睽，( - a ( 七一1 ) b ) + 於，( 矿( 七一1 ) 口z ) 】 k = lk = l = 俨( n ) 接下来证明，( 严 + o o ) = ，( p o l v u ( t ) o i 矿1 一1 ) o l 矿+ 1 ( ，) o ) = 尹 从而，( 尹 + o o ) = ，( p + 。o ) 成立 再证昂一l = 眯一。 一l = _ a ( 一一1 1 ) = 矿( 尹+ 1 1 1 ) = 矿( 严一1 ) ：雉一。 同理可证昂= 眯 定理3 2 2 在模型( 3 - 2 ) 下，记 日( z ) = p l p 2 f ( x ) + ( q l p 2 + p l 口2 ) ，扛一1 ) + q l q 2 f ( x 一2 ) g ( z ) = p i 仇- f ( x ) + ( q l p 2 + p l q 2 ) f ( z 一1 ) + q , q 2 - f ( x 一2 ) 丁( z ) = p , f ( z ) + q , f ( x 一1 ) ， l ( z ) = p , - f ( ：r ) + q , p ( x 一1 ) 9 硕士学位论文 当a e u 时，砂( ) 满足 西( u + 1 ) ：三二丛生竺生型( 札) 一丝咖( 牡一1 ) q p 2 p lp i p 2 一赤善m 州u + l - k ) 一去三- i - 0 0 u ( u , k - u + l 坝) ( 3 5 ) 和 。 嘶+ 1 ) 2 面q l q 2 卅) + 赤篆m ) g ( u + l - k ) + 赤七三，u ( k , i - - k + 1 网m ) ( 3 - 6 ) 当a 1 1 ，则( o ) ，( 1 ) ，( 眈) 满足下面a 2 + 1 个线性方程： 口多( 0 ) 一q 2 0 ( a 2 1 ) 一q l 矽( a 1 1 ) ：( 3 7 ) g ( u + 1 ) + o ，( 1 ) 一1 ) ( t 1 ) + p 芝二( 七) ，( 钍+ 1 一七) = z 、l ( u - i - 1 ) ，u = 0 ，1 ，2 ，a l - - 1 ( 3 8 ) a p s e ( u + 1 ) + 【口口l + 即1 ，( 1 ) 一1 】砂( t ) + p 芝二( 七) t ( u + 1 一七) = a 2 ( u + 1 ) ， k = o 牡= a l ，a l + 1 ，a 2 1 ( 3 9 ) 其中 + a l ( u + 1 ) = 呻u ( t ，七一u 一1 ) ，( 七) k = u + 2 + 仰1 w ( a l l ，i 一口l + 1 ) 巾+ 1 ) i = a l a 2 - 2 + + p u ( 忌，t 一七) 丁( 件1 ) k = a l i = k + 1 d + 艮tu 一 七珏u 佃1 1 f 七 p 一 = d + u 2+ “” 日+七一七u 佃雠 佃 p = d + 0 r d + 眈 一一 眈 u 佃f 印 +d+0 ， ” 一 u 佃斟脚 印 对股东和投保人均随机分红的复合二项风险模型 当a l = 0 ，则( o ) ，妒( 1 ) ，( n 2 ) 满足下面o 2 + 1 个线性方程： q p l 咖( o ) 一q 2 咖( 口2 1 ) = ，( 3 1 0 ) l g - - l q p l 矽( t l + 1 ) + 【9 9 1 + 即l ，( 1 ) 一1 】( t ) + p 咖( 七) 丁( 牡+ 1 一七) = a 2 ( u + 1 ) ， k - - - - 0 u = 0 ，1 ，a 2 1 ( 3 1 1 ) w h e r e a 2 - - 1 + c oa 2 - - 2 + c o = m u ( 让，七一u ) t ( 七十1 ) + 弛u ( 让，k 一1 ) t ( k + 1 ) u = 0k - - - u + lu = 0k = u + l + c o + 却u ( t ，k - l t + 1 ) 日( 七+ 2 ) u = a 2k = u 证明：我们考虑时间区间( 0 ，1 】，u ( t ) 的变化情形可以分为下面9 种 情形：1 无赔付不分红 2 无赔付分红一个单位( 缸 0 ( 1