（应用数学专业论文）几类脉冲微分系统零解的稳定性研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文以三阶、四阶脉冲微分系统为研究对象，通过构造等价系统 和l y a p u n o v 函数，研究了几类三阶、四阶脉冲微分系统零解的一致 稳定性，并通过l y a p u n o v 直接方法，得到了使脉冲微分系统零解一 致稳定的充分性条件或判定准则，当p ( t ) = 1 时得出一般推论，并给出 了相关例子进行数值仿真。本文主要包括以下几方面内容 1 对脉冲微分系统的稳定性的研究背景进行了介绍，并叙述了 三阶、四阶脉冲微分系统零解稳定性的研究现状，在此基础上给出了 本文的研究内容。 2 简要介绍了脉冲微分系统的概念、稳定性的定义、l y a p u n o v 函数构造和非自治系统的稳定性，这些构成了本文的理论基础。 3 在已有的文献基础上进一步研究了一类三阶脉冲微分系统， 通过构造等价系统和l y a p u n o v 函数，利用l y a p u n o v 直接方法，得到 了系统零解一致稳定的充分性条件，并利用m a t l a b 进行数值仿真， 说明了主要结论的有效性。 4 研究了一类四阶脉冲微分系统，通过构造等价系统和 l y a p u n o v 函数，利用l y a p u n o v 直接方法，同样也得到了它的零解一 致稳定的判定准则，适用于更高阶的脉冲微分系统的稳定性分析，最 后也利用了m a t l a b 进行数值模拟，最后说明了主要结果的有效性。 关键词：脉冲微分系统，l y a p u n o v 函数，稳定性，零解一致稳定 江苏大学硕士学位论文 t h ep a p e rf o c u s e so nt h et t l i r d o r d e ra n dt h ef o r t l l - o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m ，b yt h em e t h o do fc o n s t r u c t i n ge q u i v a l e n ts y s t e ma n dl y a p u n o vf u n c t i o n ，t h e s t a b i l i t yf o rak i n do ft h i r d - o r d e ra n df o r t l l - o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e ma tf i x e d t i m e si si n v e s t i g a t e d ，s t a b i l i 哆i so b t a i n e df o rak i n do fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e ma t f i x e dt i m e sb yt h em e t h o d si n v o l v i n gc o n s t r u c t i o no fl y a p u n o vf u n c t i o n ，s ot h e d r a w i n go fad e d u c t i o nw h e np ( t ) = 1i st h a tt h ef u l lc o n d i t i o no fu n i f o r ms t a b i l i t yf o ra g e n e t i ci m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e ma tf i x e dt i m e s ，f u r t h e rs t u d yt h ei m p u l s i v ee f f e c t o nt h es t a b i l i t yo ft h es y s t e mo fc r u c i a li m p a c t ，f m a l l yt h ea p p l i c a t i o no ft h i sm e t h o d i si l l u s t r a t e dw i t hs o m ee x a m p l e s t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： 1 w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c h h i s t o r yo f t h e s t a b i l i 哆o f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e ma n dt h et h i r d - o r d e ra n dt h ef o r t h - o r d e ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e ma n dg e n e r a l i z et h ec o n t e n t so ft h ep a p e r 2 w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ，t h ed e f i n i t i o no f s t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o n ，t h ec o n s t i t u t i o no fl y a p u n o vf u n c t i o na n dt h es t a b i l i t yo f n o n a u t o n o m o u ss y s t e mw h i c hc o n s t i t u t et h eb a s i so ft h i st h e o r y 3 o nt h eb a s i so ft h e e x i s t i n gl i t e r a t u r e w ef u r t h e rs t u d yak i n do ft 1 1 i r d o r d e r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ，b yt h em e t h o do fc o n s t r u c t i n ge q u i v a l e n ts y s t e ma n d l y a p u n o vf u n c t i o n ，a n de s t a b l i s hs o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r ms t a b i l i t yo f t h ez e r os o l u t i o no ft h es y s t e m t h e nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s b ym a t l a ba r eg i v e n t ov a l i d a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h eo b t a i n e dr e s u l t s 4 w es t u d yak i n do ff o r t h o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ，b yt h em e t h o do f c o n s t r u c t i n ge q u i v a l e n ts y s t e ma n dl y a p u n o vf u n c t i o n ，a n da l s oe s t a b l i s hs o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r ms t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o no ft h es y s t e m ， a p p l i c a b l et ot h ea n a l y s i so fs t a b i l i t yo fm o r eh i 曲e n di m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m t h e nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sb ym a t l a ba l eg i v e nt ov a l i d a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h eo b t a i l l e dr e s u l t s k e y w o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ，l y a p u n o vf u n c t i o n ，s t a b i l i t y , u n i f o r m s t a b i l i t yo ft h ez e r o 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密匠r 。 穿痛绣 谚日 轹叩 獬功 礁冱 教年导髫 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集 体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 辟滔 日期：阳鼎年l 功 听日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 本课题研究的背景和意义 脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的，例如，药剂学中的 定时给药的过程，种群生态系统的定时捕捞或补给，电路系统中开关的闭合，通 信中的调频系统，经济学中的一些最优控制模型，机械运动过程或其它振动过程 突然遭受的外加强迫力( 如打击或碰撞) ，等等，都可能导致脉冲现象的发生。脉 冲现象的数学模型往往可归结为脉冲微分系统脉冲微分系统最突出的特点是 能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻、更精确地反映事物的 变化规律。因而，脉冲微分系统研究有着广泛的实际背景，并受到了国内外工程 和理论界的广泛重视。 在理论上，它综合了连续和离散系统的特征，但又超出了连续和离散系统的 范围。在应用上，脉冲微分系统源于实践，在科技领域及工程技术中层出不穷，近 年最新科技成果表明，这类系统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命 科学、医学、经济领域均得到重要应用。譬如。可应用于大型空间航天器的减振 装置、卫星轨道的转换技术；可应用于机器人的研制；还可应用于神经网络、混 沌控制、机密通讯的研究。从研究的角度来说，脉冲的存在对系统的控制无论在 理论方面还是在工程实践方面都带来了很大的方便，通常情况下脉冲能使系统的 性能变好，使系统更加稳定，但有时也能使系统的特性发生一些不好的改变，所 以系统的稳定性取决于脉冲的控制。 因此，对脉冲微分方程的稳定性的研究无论在理论上还是在应用上都具有非 常重要的意义。开展这方面的研究，一方面将丰富和发展脉冲微分方程的理论， 另一方面也为_ 些问题的实际应用提供了必要的理论基础。目前，关于脉冲微分 系统的研究成果也很多，文1 7 1 中都有很多的介绍 至今，研究微分方程解的稳定性的有效方法，仍是l y a p u n o v 直接法f 即 l y a p u n o v 第s - - t y 法) 。其主要优点在于，不需要预先知道解的情况，就可确定 其解的稳定性。在过去的四十多年里，已有很多学者利用构造l y a p u n o v 函数的 方法，研究了脉冲微分方程解的稳定性，得到了许多不错的结果，例如8 1 3 1 。但 是，如何构造合适、有效的l y a p u n o v 函数? 这是一个难题，没有学者给出一个 江苏大学硕士学位论文 明确的方法。这样的难题在高阶常微分方程中一样存在，例如【1 4 】显然，对于 高阶脉冲微分系统构造l y a p u n o v 函数将是更加地困难。 本文将利用类比法构造合适的l y a p u n o v 函数研究几类三阶四阶脉冲微分 系统零解的一致稳定性，给出其零解一致稳定的充分性条件，最后进行数值仿真。 1 2 本课题的研究现状 脉冲微分方程的研究始于六十年代，近年来，脉冲微分方程的理论已经得到 了较大的发展脉冲微分方程按脉冲时间划分为：在固定时刻的脉冲微分方程和在 非固定时刻的脉冲微分方程。对于在固定时刻的脉冲微分方程的解的稳定已有一 些文章讨论，如刘新芝 1 5 】在1 9 9 5 年发表的文章脉冲镇定在人口增长模型中的 应用。对于在非固定时刻的脉冲微分方程的解的稳定也有一些文章讨论，如窦家 维，李开泰【1 6 】在2 0 0 4 年发表的一类脉冲微分方程零解的稳定性该文获得了在 脉冲作用下系统仍保持其基础系统( 无脉冲时的相应系统) 零解的稳定性的一组 充分条件。 本课题主要研究二阶、三阶、四阶脉冲微分系统的稳定性，在此我就这一类 脉冲微分系统的稳定性研究现状作介绍。 2 0 0 0 年，陈永劭，冯伟贞【1 7 】 研究得到了二阶脉冲微分方程解有界的充 分条件 l x ”+ 口o ) x = o ，t t o ，t 气，k = 1 ，2 【x ( f j ) = g 。( z ( 气) ) ，x 7 ( 砖) = 办( z ( 气) ) ，k = 1 ，2 定理1 1 设条件( 1 ) ( 2 ) 成立，又口( f ) o ，口( f ) o ， g n ) 有界，则方程的一 切解有界，这里= 彳靠。 ( 1 ) a ( t ) o 在 t o ，删上连续可微。 ( 2 ) h k ( x ) ，g 。( 功在( o 。，栩) 上连续且存在以 o 使i 魂( x ) i 或h ，f g k ( x ) l 哦h 。 2 0 0 1 年，宋淑红，丁玮，蔡果兰【1 8 】研究得n - 阶脉冲微分方程解趋于零 的充分条件 f ( p o ) x ( f ) ) + 口o ) f ) = o ，t t o ，t t k ，k = 1 2 【z ( ) = g 。( x ( 如) ) ，x o ) = h ( x ( 砝) ) ，k = 1 ，2 2 一一兰茎荃堂堡主兰堡垒查一 定理1 2 设条件( 1 ) ( 2 ) 成立，( 口o 功( f ) ) 7 o ，且兀刃有界，则方程的一切 t o 0 ； ( 2 ) 存在以 o ，使l 魄( x ) l 矾h ，l 既( x ) l 矾。 2 0 0 4 年，窦家维，李开泰【1 6 】建立了非固定时刻脉冲微分方程零解稳定、 渐进稳定及不稳定的判别准则 警= m 力， 纷， i l 血k 圹以( x ) ，i e = 1 ，2 ，3 ) ， 定理1 3 假设 ( 1 ) v ( t ，功，v ( t ，力在g 上正定的，即存在口忌，使得对所有的o ，x ) e g ， y ( f ，x ) 口( 0 x 0 ) ； ( 2 ) 存在c 后和p 粥，使得对所有的( f ，力仨g u q d w ( t ，功p ( t ) c ( v ( t ，砌5 ( 3 ) 存在痧七，对所有的( f ，力u q d + v ( t ，力( f ，砌； ( 4 ) 对某些，所有的x s p 以及f n ， y ( 包( 功，x + j ，) ( y ( 谚( 力，砌； ( 5 ) 存在一个三 0 ，使得i 谚( x ) 一谚( y ) l 圳x y 0 对所有的而y s p ，i 成立， 并且m l 0 ，使得如果z ( 0 ，) 或如果z = y ( 谚( 力，功 最西+ r 而d 丽s - t o ( t o 0 ) 时的连续可微函数，p ( t ) 是有正的下界的有界 函数，n i p7 ( f ) 0 ； ( 2 ) j l ( f ) 有上界，且璐 办( f ) 一p ( f ) ) o ； ( 3 ) 庇7 0 ) 一p7 ( f ) 一2 【j 7 l ( f ) 一p ( f ) 】，t t o ； 从l a y p u n o v 以后，稳定性的研究沿着两个方向进行，一方面是在方法上， 一方面是在对象上。在方法上，数学家们不断改进旧的方法并提出新的方法，比 如，l a y p u n o v 函数法，比较方法等。在对象上，数学家们研究了脉冲微分方程， 差分方程等新的模型，并提出了实用稳定性，局部稳定性等新的概念。另外，与 时滞结合起来考虑，即研究脉冲时滞微分方程的稳定性也是发展趋势。 根据研究现状我们知道，现有的文献中主要研究了常微分方程和低阶脉冲微 分系统零解的稳定性，且研究的系统是比较简单的，很少有文章研究高阶复杂系 统的稳定性。本文正是基于这些展开了一些研究工作。 1 3 本课题研究的内容与思路 本文主要研究了一类三阶四阶脉冲微分系统零解的一致稳定性。文章的具体 结构如下： 第一章：主要介绍了本课题的研究背景、研究现状以及研究的内容与思路 第二章：介绍了本文用到的基本概念和基本理论 第三章：在文献 2 0 和文献 2 1 研究的基础上，通过构造等价系统和 l y a p u n o v 函数，主要研究了一类三阶脉冲微分系统零解的一致稳定性，并通过 4 江苏大学硕士学位论文 l y a p u n o v 直接方法得出了系统零解一致稳定的充分性条件。当p ( t ) = 1 时得出一 般推论，并利用m a t l a b 进行数值仿真，说明了主要结论的有效性。 第四章：在文献 2 1 和文献 2 2 研究的基础上，通过构造等价系统和 l y a p u n o v 函数，主要研究了一类四阶脉冲微分系统零解的一致稳定性，也通过 l y a p u n o v 直接方法得出了其零解一致稳定的判定准则。同样当p ( t ) = 1 时也得出 一般推论，也利用了m a t l a b 进行数值模拟，最后说明了主要结果的有效性 5 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本理论 本章主要介绍在以后各章用到的基本概念以及基本理论： 2 1 脉冲微分系统的概述 脉冲微分系统的研究始于1 9 6 0 年v d m i l m a i l 和a d m y s h k i s 的工作【1 】 自2 0 世纪8 0 年代，逐渐引起微分系统学者、专家的关注并致力于从理论上对其 进行研究2 1 。到8 0 年代末对其研究已有一些重要成果发表譬如，关于依赖于状 态的脉冲微分系统解的基本理论已建立，关于脉冲微分不等式的一些重要结果已 出现，关于脉冲微分系统稳定性理论的基本定理已得到等。这些结果已被 v l a k s h i m i k a n t h a m 等进行了系统总结f 3 1 ，其特点是所考虑的系统只含脉冲而 不含时滞，所得结果属该研究领域9 0 年代前初始而基本的成果。自9 0 年代以 来脉冲微分系统更加引起微分系统学者专家的重视与兴趣，对其研究r 益活跃，已 逐渐形成非线性微分系统研究领域的国际新热点。作为非线性微分系统领域的一 个分支，已获得一批新的重要研究成果，特别是9 0 年代末至本世纪初具有界滞 量的脉冲微分系统解的存在性研究取得重要研究结果【4 5 1 以来，具无穷延滞的脉 冲泛函微分系统解的存在性定理相继建立f 6 7 1 。 脉冲现象：随着科学技术的飞速发展，人们发现许多实际问题的发展过程往 往有这样的特征：在发展的某些阶段，会出现快速的变化。为方便起见，在这些过 程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的持续期间而假设这个过程是通过瞬 时突变来完成的这种瞬时突变现象通常称之为脉冲现象( 瞬时突变的时刻称作 脉冲时刻) 。 脉冲微分方程：脉冲微分方程描述的是在某些时刻以跳跃形式改变其状态的 演化过程，它也成为联系连续和离散的桥梁。由于脉冲现在的存在，微分方程难 以描述这一现象，而脉冲微分方程则能很好的描述这类现象。由于微分方程理论 在研究许多变化过程或系统中的规律时，起着非常重要的作用。在此基础上，可 以建立脉冲微分方程模型来很好地描述这些具有脉冲现象的变化过程。 6 江苏大学硕士学位论文 2 2 脉冲微分系统零解稳定性的定义 由于脉冲微分方程是建立在常微分方程的基础之上，因此我在此只需考虑常 微分方程即可。 2 2 1 稳定性的定义 考虑微分万) | 茔： 鲁= m 咖( f ；d ) = 妒彤彤 ( 2 1 ) 定义2 1 若对任意给定的占 o ，都能找到万= 万( s ，t o ) ，使得当妒| l o ，存在x o v x o ，虽然妒i i t o ，使得 忙 ，f o ，x 。) 忙岛。 定义2 2 若任意给定s o ，存在万( s ) ，v x 。，当妒j | 万时，对一切f 岛f ， 有l i x ( f ，气，p ) i i 占，则称( 2 1 ) 的零解是一致稳定的。 2 2 2 稳定性定理 考虑一般的n 维非自治微分方程组： 瓦d x = 肌，力， ( 2 2 ) x = c o l ( x 1 ，x 2 ，毛) 。厂= c o l ( ，f n ) ：c i x r , r ”】，保证( 2 2 ) 式解的唯一性， 且厂( f ，0 ) 暑0 。 定理2 1 阱1 ( l y a p u n o v 稳定性定理) 若在某区域q = ( f ，力：f 训x i i 日) 上存 在正定函数y p ，功，使 缸z ，= 百o v + 蔷 o v 。 7 江苏大学硕士学位论文 则( 2 2 ) 式的半凡解x = 0 是稳定的。 定理2 2 若存在具有无穷小上界的正定函数y ( f ，力和负定函数k ( f ，功，使在任何 固定域0 a xi 0 ，存在广( o o ，当f f 时有 石d vb ) t ox i h ) 上存在正定的有无穷小上界的函 骜x v ( t ，功，使d vb ) o ，则( 2 2 ) 式的平凡解一致稳定。 定理2 4 若存在函数y o ，功，矽( f ) ，w ( 砷，使y ( f ，功一目( f ) ( 力全u ( f ，功。有 百d vb ) o ，百d uk ) o 其中( 功是正定可微函数，秒o ) 为f 的单调增函数，j | - 0 ( t o ) = l ，1 i m 。伊o ) = + 。 则( 2 2 ) 式平凡解一致稳定且吸引。 定理2 5 【2 4 】令。在肚有定义。丽1 ，g ( 蚋为可积函数，且砷破收敛。 若存在y o ，功c i x ，r + 】，q - - x l l x f i ， ，v ( t ，0 ) - 0 ，且当r 1 有仍k 使 得v ( t ，x ) 仍( ) 且对任意的a ( 0 ，力。( o - t o 庇) ，( t ，的在g 连续。关于x 满足枷幽娩条件。令 x ( t ) = e ( t ，t o ，p ) 是( 2 3 ) 满足q ( t o ) - - - - x o 的解。 定理2 6 若( 2 3 ) 的零解是稳定的，则有正定函数y ( f ，力，使得y ( f ，功半负定。 证明的思路是根据( 2 3 ) 的解构造出正定函数v ( t ，功，再验h t _ v ( t ，功半负定。 定理2 7 设( 2 3 ) 中的函数厂p ，砷在g 内有连续有界的偏导数。若( 2 3 ) 的解 x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) 满足 x ( f ) 讹1 0 嘞蚓i ，a o ，m o ， 则必有函数v ( t ，功满足 c , l l x l l 2 y o ，x ) c ：0 x l l 2 ， y & ) 飞2 ， 其中，c l ，c 2 ，c s ，c 4 为正常数。 2 3 3l y a p u n o v 函数的构造 q x 线性类比法就是将一些非线性系统形式当作线性系统，用类比的方法构造出 需要的l y a p u n o v 函数。本文正是采用线性类比法，在原有文献基础上，针对更 加复杂的高阶的脉冲微分系统，先构造等价系统，再通过类比法构造出更好的 l y a p u n o v 函数，从而去判定系统的稳定性。 1 0 江苏大学硕士学位论文 2 4 非自治系统的稳定性 考虑非自治系统： 石d x = 厂( f ，砷，( f ，0 ) = o ( 2 4 ) i 发z = t o ，佃) ，u 是尺”中包含闭球境= x i l i x i _ _ h ) 的一个邻域，v ( t ，力是，u 上 定义的连续可微函数，( 功是u 上定义的连续可微函数 定义2 8 设认，) 是r + - - ) r + 的连续函数( 尺+ = ，i ，o ) ) ，且缈( = o ，畎，) 严格 单调递增，则称烈，) 是后类函数，记为以，) k ，若烈r ) 还满足l ，i m 认，) = o 。，则 称叹，) 为无穷大k 类函数。 定理2 81 ) ( 力是正定函数的充分必要条件是仍( r ) ，仍( r ) e k ，使得 仍( 0 x i i ) 形( x ) 仍( 0 x 0 ) ， 2 ) 若仍( ，) k ，使得y ( f ，x ) 仍( ) ，贝, l j v ( t ，力必是正定函数； 3 ) 若仍( r ) k ，使得陟o ，x ) i 仍( 恻i ) ，贝i j v ( t ，力具有无穷小上界； 4 ) 若有无穷大七类函数烈r ) ，i 吏得v ( t ，x ) 缈( ) ，贝l j v ( t ，功是具有无 穷大下界的函数。 设y ( f ，功是，u 上定义的连续可微函数，x ( t ) = x ( f ，t o ，x o ) 是( 2 4 ) 的解。定 义v ( t ，曲沿着( 2 4 ) 解的全导数为 了d v ( t , x ) | ( 2 力= 掣嘻掣胁) = y ( f ，力 定理2 9 ( 1 ) 若有正定函数y ( f ，砷，使得y ( f ，力半负定，则( 2 2 ) 的零解稳定； ( 2 ) 若v ( t ，功正定且有无穷小上界，v ( t ，力半负定，则( 2 2 ) 的零解 是一致稳定的 证明思路是利用七类函数的性质：当妒( ，) 吸力时必定有， 0 ，都能找到万= 万( s ，t o ) ，使得当l i x o l i 万时，( 2 5 ) 的解 m ，t o ，x ) 满足l l x ( t ，t o ，x o ) l l 占，则称( 2 5 ) 的零解是稳定的。若万与岛无关，则 称( 2 5 ) 的零解是一致稳定的； 引理2 2 【2 5 1 假设下列条件成立： 1 ) o - t o 毛 t o “ - t o 。( t o 0 ) 时的连续可微函数，p ( f ) 是有界函数，下界大于 1 4 江苏大学硕士学位论文 零，且p ( f ) 0 ； ( 2 ) l ( f ) 在f f o 上有上界，且i ，n f 办( f ) 一p ( f ) ) o ； - 2 p ( t ) h ( t ) 一p o ) 】【 o ) 一p ( t ) l 7 。 ( 3 ) 巩，g ，q 是定义在( 硼，佃) 上的连续函数，且存在d l 【 0 l ，使 i h 后( x ) l 以l x l ，i g 。 0 ，m ， o ，l = 1 ，2 ，使 得，l l p ( t ) m ，1 2 q ( t ) m z ，若取m = 蚴x 去，去) ，m = 武n 壶，击) ，则 江苏大学硕士学位论文 有聊v ( t ，x ) - o ， 使a = 兀仇 o ，岛o ，即万= 一1 1 m a 渡( _ s ) 】，下证：当l x o l l o ，g ( f ) - 0 ， h - 2 p ( t ) h ( t ) 一p o ) 】【办( f ) 一p o ) 】即2 p ( t ) q ( t ) + q 7 0 ) 0 ，易知 淼妯一警虬故秒乩s ) _ 鬻， 6 ， 又当t = 气时， 1 6 江苏大学硕士学位论文 y ( 巧，而( 筇) ，x d t l ) ，x 3 ( 砭) ) ：塑盟+ 塑盟+ 塑盟 q ( t 1 ) p ( t t ) p ( t t ) ：鲤! 兰煎灶堡! 兰鳇灶堡! 苎亟塑 q ( t i ) p q t ) p q t ) ( 3 7 ) ：堕21 兰2 亟塑+ 益! 蔓亟! ! + 丝! 蔓亟塑 q ( t t ) p ( t dp ( t i ) ：d “塑2 盟+ x ；( t t _ 2 + 塑鹞 8 q ( t t ) p ( t d p ( t t ) 1 = 2 y 瓴，五瓴) ，x 2 ( t t ) ，x 3 瓴” 由( 3 6 ) ( 3 7 ) 式及以上讨论，利用引理2 2 ， 即取m o ) = y o ，而o ) ，x 2 ( t ) ，x 3 ( t ) ) ，q ( t ) = 0 ， 瓯= 0 ，f 0 时有 啡脚( 惦m ( ，。) 恩露e x p ( f o 地p ( s ) 酬帅思，彰e x p ( j ! o 蛾p ( s ) ) ( ) c e x p 衄鬻】( ) c e x p ( 1 1 1 = 詈( ) c 朋mf l ( 8 ) t o ( t o o ) 上可导，且i n f o h ( t ) 1 ； 2 ) 厅( f ) - 2 h ( t ) + 2 ，f f o ； 3 ) h 。( 砂，伉( 力，o k ( 矽是定义在( 嘲，佃) 上的连续函数，且存在d 。 0 ，使 i h i ( x ) i 盔l x i ，1 6 1 ( x ) i 以i x l ，i q t ( x ) i 吨l x l ，k = 1 ，2 ，； 1 7 江苏大学硕士学位论文 4 ) 数列他 有界，其中a = 兀，k = 1 2 ，；以= 1 ，2 ， k = l 3 2 2 数值仿真 为了说明本章主要结论的应用， 推论可得以下扰动系统： 我们在此仅举一例，取庇( f ) = 口一丽b ，则由 具甲仕葸圈a - b b l o 这里 ( f ) 韧一乏备，由乃( f ) 在【o ，佃】上连续可导( 取岛= o ) ，且显然有 0 a - b - 1 _ 6 ，显然成立。以上每步逆 推， 7 0 ) - 2 j l ( f ) + 2 ，f 岛成立，易证4 = 戛n 2 = 丽k 2 - t o ( t o 0 ) 时的连续可微函数，p ( f ) 是有界函数，下界大于 零，_ r p ( f ) 0 ； ( 2 ) j l l o ) 在f 岛上有上界，_ r i ，n f j l z ( f ) 一p ( f ) ) o ； 【p ( t ) - 2 p 2 ( f ) 】【i i z ( f ) 一p o ) 】【p ( f ) j l ( f ) 一p 2o ) 】7 。 ( 3 ) g ，巩，q w 是定义在( ，+ ) 上的连续函数，且存在嚷 q ，使 l g , c x ) 0 ，i = 1 2 ，使得 铂p ( t ) m l ，g ( f ) m 2 ，若取 m = m a x 土铂，去 ，历= i i l i n 击，壶) ，则有聊i x 忙y ( 毛力m 。从而y ( r ，z ( r ” 是正定函数，且具有无穷小上界，即了口，pek ，有口( ) v ( t ，x ) ( ) 。由 条件( 4 ) 知数列以) 有界，故 c o ，使a = 兀q o ，f o o ，即艿= 一1 弓爰 】，下证：i x o 万时，i i i i ，t f 0 。 兰茎垄堂塑主堂堡垒查 一 一 当f 瓴小t k ) 时， 。眦砒) = p ，( 骈瑚地写+ 砬+ 型甓产 2 矗而t p l f j q k f ，一工止2 里! ! 竺丛t p 2 0 ) q 2 ( 1 ) = p o ) 薪+ 2 p ( t ) x l x 2 + 2 x 2 【酏h + x 3 】 + 2 x 3 - p ( t ) x z - x 4 p ( t ) q 2 ( t ) - x 2 q 2 ( t ) p ( t ) p 2 0 ) 日2 0 ) + p 2 ( t ) 口2 ( f ) = p g t ) a 2 + 2 p ( t ) x l x 2 2 p ( t ) x l x 2 + 2 屯玛一2 x 2 x 3 一等一鬻斋+ 裔一南一踹p 器p ( ，)，o ) p o ) p ( ，)g ( ，) ( ，) g ( f ， 叫饼一鬻丢一而2 _ 2 一揣 训一鬻m m 序一志卜而2 _ 2 一鬻黠 = 一鬻) + 2 p v 蚺p ( t ) x 2 + 淼一而2 一端】