（应用数学专业论文）凸域与矩形网格交点的分布问题.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 积分几何( i n t e g r a lg e o m e t r y ) ，几何概率( g e o m e t r i cp r o b a b i l i t y ) 起源于1 7 3 3 年著名 的b u f f o n 投针问题。以w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系统的工作使得积分几 何在2 0 世纪3 0 年代正式成为独立的数学分支。c r o f t o n ，c z u e r ，p o i n c a r e ，d e l t h e i 等相继 作出了很多贡献。很多年来s a n t a l o 一直是积分几何的领袖。中国积分几何的前辈有陈省 身、严志达、吴大任、任德麟等。 1 7 3 3 年，b u f f o n 在他的一份研究报告的附录中讨论了著名的b u f f o n 投针问题。此后 关于b u f f o n 问题的推广应用层出不穷。s a n t a l o 将平行线网格推广到平行带域网格同时将 小针推广到凸域1 1 2 】。但他只研究了凸域直径不超过带域间距离的情况。任德麟作了进一步 推广，即取消凸域直径不超过带域间距离这一限制。 本文在前辈卓有成效的研究基础之上，借鉴讨论凸域与平行带网的交点分布问题的方 法，讨论凸域与矩形网格交点的分布问题，进而得出长针与矩形网格交点的分布问题是本文 的特例。 关键词：凸域；矩形域；运动测度；几何概率；分布 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n t e g r a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i cp r o b a b i l i t ya r eo r i g i n a t e df r o mt h ew e l l k n o w nb u f f o n p r o b l e mi n l 7 3 3 f r o mt h e no n c r o f t o n 、c z u e r 、p o i n c a r e 、d d l t h e ih a dm a d eg r e a tc o n t r i b u t i o n s r e s p e c t i v e l y f o rm a n yy e a r ss a n t a l ow a st h ef a t h e rf i g u r ei ni n t e g r a lg e o m e t r y , a n dr e l a t e d r e s e a r c hw o r kh a dd o n eb yc h e nx i n s h e n 、y a nz h i d a 、w ud a r e n 、r e nd e l i n gi nc h i n a b u f f o nh a dd i s c u s s e dt h ef a m o u sb u f f o nn e e d l ep r o b l e mi nt h ea p p e n d i xo fh i sr e s e a r c h r e p o r ti n1 7 3 3 t h e nt h ee x t e n d e da p p l i c a t i o n so fb u f f o np r o b l e mh a v eb e e nd i s c u s s e dq u i t e o f t e ns a n t a l oh a de x t e n d e dt h en e e d l et oac o n v e xd o m a i n l l 2 ，( t h ed i a m e t e ro ft h ec o n v e x d o m a i ni sl e s st h a nt h ed i s t a n c eo ft h eg r i do fp a r a l l e ll i n e s ) r e nd e l i nh a de x t e n d e di tt ol o n g n e e d l ep r o b l e m w h oc a n c e l l e dt h el i m i t a t i o n ( t h ed i a m e t e ro ft h ec o n v e xd o m a i ni sl e s st h a nt h e d i s t a n c eo ft h eg r i do fp a r a l l e ll i n e s ) i nt h i sp a p e r , t h en u m b e r so ft h ed i s t r i b u t i o n so fc o n v e xd o m a i na n dt w ol i n e a ro r t h o g o n a l p a r a l l e ll i n e sw i l lb ed i s c u s s e do nt h eb a s i so ft h eb u f f o n sp r o b l e mw i t hc o n v e xd o m a i ni n r e c t a n g l el a t t i c e sa c h i e v e db yf o r m e rr e s e a r c h e r s k e yw o r d s ：c o n v e xd o m a i n ；r e c t a n g l e ；k i n e m a t i cm e a s u r e ；g e o m e t r i cp r o b a b i l i t y ；d i s t r i b u t i o n 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：趟塑竺堕 日期： 砒i2 f 研究生学位论文版权使用授权书 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和。巳- y - 版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索。 论文作者签名：叠塑坠堕 指导教师签名：趟 日 期：趟：! 兰：兰： 武汉科技大学硕士学位论文 第1 页 1 1 综述 第一章绪论 积分几何起源于“几何概率，最早的几何概率命题远在十八世纪即已出现。例如： b u f f o n ( 1 7 0 7 一1 7 8 8 ) 于1 7 3 3 年在一份研究报告的附录中就讨论了如今很著名的投针问 题。“积分几何”一名是德国数学家w b l a s c h k e 所起的，它其中的度量往往表示为积分。 1 8 6 9 年，英国数学家w c r o f t o n 找到了这些积分之间的许多巧妙的关系，讨论了各种几何 元素集的测度。1 8 9 6 年，法国大数学家h p o i n c a r e 引进了运动密度的观念，把积分几何 建立在群论的基础上。这些著名数学家的工作都为积分几何的出现准备了条件。 1 9 3 5 年到1 9 3 9 年w b l a s c h k e 及其学派在h a m b u r g 大学的讨论班上探讨了一系列问题。 这些问题大都来自于古典的几何概率。他们研究这些问题的主要目的在于：探索概率思想 能否有助于揭示一些几何事实，特别是有关凸体论和整体几何方面的一些结论。他们取得 了很大的成功，获得了许多令人惊羡的成果，其中包括吴大任教授在椭圆几何方面的重要 工作。在此期间，w b l a s c h k e 学派以积分几何为总标题发表了一系列论文。积分几何 从此作为一门独立的数学分支被世人所公认。 到1 9 4 0 年前后，陈省身教授和a w e l l 教授将局部紧群上不变测度的观念引入积分几 何，从而形成齐性空间积分几何，对这门学科的进一步发展作出了极其卓越的贡献。 积分几何的研究和几何概率的问题始终密切相关，并且积分几何的研究理论运用到凸 对象中特别有效，积分几何是探讨凸性的有力工具，而凸性是积分几何的有效实证领域。 因此积分几何法在凸几何和几何概率中的应用具有十分重要的作用n 儿2 儿引。我国前辈数学家 苏步青在凸几何研究领域作出卓越贡献，他于1 9 2 7 年关于s t e i n e r 曲率重心的成果至今 仍被国外凸几何方面的著作所引用。苏步青先生所著微分几何五讲中的第一讲和第二 讲所论述的正是凸几何中最精彩的内容。陈省身、吴大任、严志达、吴光磊等前辈数学家 对凸几何的发展也都有重要贡献嘲n 4 1 8 1 。凸体的包含测度问题是积分几何中相当重要的课 题之一。任德麟在8 0 年代建立了二维和n 维含于凸体内定长线段的运动测度的系统理论， 推导出n 维欧氏空间中凸体的弦幂积分不等式，提出并解决了一系列极其复杂的几何概率 课题。 o d o j i l s a n t a l o 将平行线网格推广到平行带域网格同时将小针推广到凸域【l 引。但他只 研究了凸域直径不超过带域间距离的情况。任德麟作了进一步推广，即取消凸域直径不超 过带域问距离这一限制【9 1 。而后其学生黎荣泽、张高勇等讨论了相交的两组平行线网上的 b u f f o n 概率。 本文在前人的研究基础上，借鉴讨论凸域与平行带网的交点分布问题的方法，讨论凸 域与矩形网格交点的分布问题，进而得出长针与矩形网格交点的分布问题是本文的特例。 1 2 研究意义 积分几何学与凸体理论是数学中非常重要的分支。4 0 至5 0 年代，特别是在优化中发 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 现了凸集的许多应用以后，便进一步促进了这一理论的发展。因此，这些问题的研究至今 依然具有顽强的生命力，国内外的一批学者积极参与其中，此类文章层出不穷，有着重要 的研究意义。本文主借助于积分几何的方法，通过求几何体的运动测度的比值来研究凸域 与矩形网格交点的分布问题。我们还可以进一步研究其它多边形的b u f f o n 概率问题。 1 3 研究现状 b u f f o n 投针问题是几何概率中的一个经典问题，最初是研究在间距为1 的平行线中 投入长度为z e ( o ，1 ) 的针时，针与平行线的交点个数的分布，继而研究了针长为任意实数 的情况，而且s t a n f o r d 大学的p e r s i 给出了此时交点个数与针长的比值在针长趋于无 穷大时的极限分布后来人们又研究了在间距为1 的方格子线系统中投入长度为ze ( o ，1 ) 的 针与方格子的交点个数的分布，并给出了针长为任意实数时交点个数的数学期望。 s a n t a l o 将平行线网格推广到平行带域网格同时将小针推广到凸域【1 2 】。但他只研究了凸 域直径不超过带域间距离的情况。任德麟作了进一步推广，即取消凸域直径不超过带域间 距离这一限制。 1 4 本论文所作的工作 本文运用支持函数和宽度函数两个概念，借鉴讨论凸域与平行带网的交点分布问题的 方法，讨论凸域与矩形网格交点的分布问题。进而得出长针与矩形网格交点的分布问题是本 文的特例。 1 5 研究目标 利用凸域与两组平行线网的交点数的分布问题的研究结果，来研究长针与两组正交平 行线网的交点数的分布问题。 1 6 本论文解决的关键问题 找到适当的方法定义新的宽度函数，以此来解决凸域与两组正交平行线网的交点数的 分布问题。 1 7 本论文的创新之处 本文利用有界凸域的宽度函数定义了新的宽度函数。用新的宽度函数推导出凸域与两 组正交平行线网的交点个数分布概率公式。再将有界凸域退化为线段，从而得到长针与两 组币交平行线网的交点数的分布问题的结果。 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 第二章基础知识简介 几何以图形为研究对象，研究图形在各种意义下的度量、不同图形之间的差异、图形 的内部特征及图形在变换下的性质等等。几何作为数学的一个分支可以称得上是最直观 的。因为大多数数学家和非数学家将会同意：数学不是一门经验的科学，或者至少可以说 她不是以某种来自经验技术的方法实现的，但她的发展却和自然科学紧密相联；而几何实 际上是自然科学和经验科学的完美结合。它使数学的抽象性得以直观的解释，同时又使直 观显示的科学得以与数学联系起来。而积分几何学与凸体理论是数学中非常重要的分支。 2 1 凸体及其性质 凸几何是以凸集或凸性作为研究对象的几何学分支。1 9 世纪下半叶h e r m a n nb r u n n 和 h e r m a n nm i n k o w s k i 对凸几何的早期发展做了大量开创性的工作。b r u n n - m i n k o w s k i 理论 是凸几何学的经典内容，其核心部分是b r u n n m i n k o w s k i 基本不等式和混合体积理论。它 与许多重要数学分支都有深刻联系。2 0 世纪3 0 年代，前苏联数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 独立地引入了混合面积测度的概念。2 0 世纪8 0 年代，e l u t w a k 引入了对偶混合体积的概念，这些都进一步丰富了凸体理论，并由此解决了许多 长期未能取得进展的重要课题。目前它依然是凸几何中最为活跃的研究方向 1 3 1 【1 5 】 1 6 】【2 2 【2 6 捌 鹪】 s h 陆3 】 5 4 儿5 5 】 凸几何所研究的内容涉及面很广。它既是一种基础理论，又与实际紧密相连，极具应 用价值。它既可用另外的数学理论作为其研究工具，又能以它的理论、方法和结果反过来 服务于其它分支乃至于实际。以下三方面充分说明了这一点。 凸几何与分析。h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e 级数的 证法，并在后继的论文中运用球面调和分析方法证明出一些几何结果。稍后m i n k o w s k i 运 用球面调和分析获得三维常宽凸体的一个特征。由此开辟了运用f o u r i e r 级数和球面调和 分析研究几何( 包括凸几何) 的一个研究方向。此方向至今仍然有很强的生命力。p r g o o d e y ，e l g r i n b e r g ，h g r o e m e r ，p m g r u b e r ，e l u t w a k 等做了大量的工作h ”n 。 此外r a d o n 变换也是研究凸几何的另一个重要分析工具畸引。 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 。这是凸几何与医学c t 及体视学( s t e r e o l o g y ) 的一个交叉学科，研究由几何对象的低维信息( 投影、截面积、平行x 射线、点源x 射线) 重构该几何对象或对该几何对象的性质作出推断。这是凸几何中一个有重要应用前景的研 究领域，同时有许多十分深刻的理论研究课题嗨儿町呻5 1 5 2 m 胸儿5 5 1 。 积分几何、凸几何与几何概率。积分几何渊源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表 的h a m b u r g 几何学派的系统的工作，在2 0 世纪3 0 年代积分几何正式成为独立的数学分支。 积分几何的研究与几何概率问题始终紧密相关，积分几何中的普遍结论运用到凸的对象特 别有效。于是积分几何方法在凸几何与几何概率的研究中具有十分重要的作用 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 7 8 】 9 】 1 i 1 8 】 2 1 儿2 5 】 3 i 】 3 5 】【3 8 4 4 】 4 5 o 我国前辈数学家苏步青在凸几何研究领域作出卓越贡献，他于1 9 2 7 年关于s t e i n e r 曲率重心的成果至今仍被国外凸几何方面的众多著作所引用。其中苏步青先生所著的微 分几何五讲中的第一讲和第二讲所论述的j 下是凸几何中最精彩的内容。陈省身、吴大任、 严志达、吴光磊等前辈数学家对凸几何的发展也都有重要贡献瞳3 ”h 儿别。 2 1 i 凸集的基本概念 定义1 ：任给e ”中的点x ，y ，连接x 和y 的线段匆是指： b l 何阿；似+ 缈，口0 ，苫0 ，口+ 卢；1 f 定义2 ：设k 为欧氏平面e ”上一子集。如果当ae k 且be k 时，连结a ，b 二点的线段 也属于k ，则称k 为凸集。具有内点之凸集的边界称为凸曲线。凸集k 的边界和内部分别 记为o k ，i n k 。 定义3 ：k 是一非空凸集，x e k 。如果k 中不存在非退化线段包含x 在其相对内部， 则x 称为k 的极端点。k 中所有的极端点构成的点集称为k 的轮廓。它的轮廓记为p k 。 定义4 ：k 为e ”中的一个子集，所有包含k 的凸集的交称为k 的凸包，记为c o n v k 。 定义5 ：任给a ie r ( i 一1 ，k ) ， 0 ，则称 y = z 1 + a 2 2 2 + + 九以 为x 1 ，x 2 ，x t 的仿射组合。 定义6 ：e ”的线性子空间的平移称为平坦。 定义7 ：任给 e r ( i ；1 ，七) ， 0 ，若九+ 九：+ + 九= 1 ，则称 y 一九x l + a 2 x 2 + + a k x t 为x 1 ，x 2 ，x 的凸组合。 定义8 ：有限个点z ，x ：，x 。称为是仿射无关的，如果存在不全为零的数，a ：，九 使得 + a 2 + + 九一0 且九而+ a 2 x 2 + + a k x i = 0 。否则，称为仿射相关。 2 1 2 凸集的基本性质 定理l ：k 是凸集当且仅当k 中任意有限个点的凸组合仍在k 中。 证明：充分性由凸集的定义可知成立。 必要性：对k 中任取出的点的个数k 进行数学归纳。 当k = 2 ( 此处k 为k 中点的个数) 时，由定义知结论成立。 假设ksm 时，结论成立。下证当k = m + 1 时，结论成立。考虑k 中m + 1 个点的凸组 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 v x 一九z 1 + 九x 2 + + 九z 。+ 九+ 1 x m + l 厶+ a 2 + + 九+ 九+ l = 1 ， 芑o ，x fe k 如果九+ 1 1 ，则工= 工。+ 1 ，此时z k ，结论成立。 如果九+ ，s1 ，此时厶+ a 2 + + 九- 1 一九+ 。 0 ，我们有 x = ( , , 1 1 + z 2 + - - - + 九) ( j i j 靠工，+ + 石靠) + k ， + a 2 + + 九”j ”“ 由假设可知： y2 j i j _ 南z - + + j 了二_ 靠工m k yl l 一z ，+ + 一= l 一工一k 。 + a 2 + + 九1 + 如+ + 九” 因此x 一( 1 一九+ 。陟+ 丸+ 。x 。+ 。是k 中两个点的凸组合，所以x k 。 证毕 定理2 ：任给一集合k ，k 的凸包由k 的所有元素的凸组合构成。 证明：记丁为k 的所有凸组合所构成的集合。由于c o n v k 是凸的，且kcc o n v k ，由 定理1 知fcc o n v k 。 另一方面， v x 置口l x l + + 口r x r ，yi 卢1 y l + + 卢，y j 则对任意的实数a ：0sas1 z 暑缸+ ( 1 一a ) y a a l z l + + 2 a ，x r + ( 1 一a 扮l y l + + ( 1 一x ) z ，y ， 因为每一个系数都介于0 ，1 之间，且 耋a q + 塞( 1 一a 溉一a g 。+ + a ，) + ( 1 一a x 展+ + 成) 一a 1 + ( 1 一a ) 1 1 所以丁是包含k 的凸集，因此c o n v kct ，故c o n v k ：t 。 证毕 定理3 ：由至少，l + 1 个不同的点的构成的e “的子集是线性相关的。由至少，l + 2 个不 同的点的构成的e ”的子集是仿射相关的。 证明：由于e ”的维数是门，线性无关的点的最大个数为忍。所以至少刀+ 1 个不同的点 的构成的e ”的子集是线性相关的。 为证明定理的第二个部分，假设x l ，一，以是e “中不同的点，这罩七n + 2 。则由定理 的第一部分，k 一1 个向量x ：一z l ，一，吒一z 。是线性相关的。于是存在不全为零的数 a 2 ，吼，使得 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 口：g ：一x 1 ) ，口。g 。一z ，) 一0 即： 一( 口2 + + 口女b l + t 2 1 2 x 2 + + 口t 一0 令a 1z 一( 口2 + + 口t ) ，则： a l z l + 口2 2 2 + + 口女工= 0 且口1 + 口2 + + 口t = 0 。从而点_ ，x t 仿射无关。 证毕 定理4 ( c a r a t h e o d o r y l l ，1 3 2 9 ，3 3 】) ：设k 为e ”中的非空子集，贝, i v x e c o n v k ，x 可表示为 k 中至多_ ，l + 1 个点的凸组合。 证明：v x c o n v k ，由定理2 知x 可表示为 z 一九x 1 + + a r z ， + + a r = l 苫0 ，z ie k 我们要证明当，n + 1 时这一表达式中仍然成立。 如果) ， 以+ 1 ，则由定理3 可知，点工1 ，一，x ，是仿射相关的，存在不全为零的数 a l ， , t t l r 使得著嘶2o ，善c l i x i 2 口。 因此，3 i ( a ，o ) ，使得： z j = 一h x l + + 一1 z f l + + 1 x i + 1 + + a r 工r ) 因此可以消去点鼍，得到x 在k 中) ，一1 个点的凸组合。 这一过程可重复进行，直到把x 表示成k 中至多n + 1 个点的凸组合。 证毕 2 1 3 凸集的支持函数与宽度函数 定义1 ：设x o y 为平面上的直角坐标系，o r 为自原点引出的射线，由m 轴到射线o r 的角记为矽。g 为垂直于射线o r 的任意一条直线。若g 与o r 交于h ，规定p = l o h i ( o 到 h 的距离) 。特别的，如果h 与原点0 重合则p = 0 ；如果g 与o r 的反向延长线交于h ， 则p = 一i o 卅。在这样的规定下，g 的方程为x c o s 驴+ y s i n l 5 b - p ；0 。我们称此方程为直线 g 的广义法式方程，简记为g ( p ，矽) 。 定义2 ：设k 为有界闭凸域，在平面上任意选取坐标系x o y 自原点o 引射线o r 作 垂直于o r 且与k 相遇的任一直线g 。( p 。，妒) 集切。 之上确界为p ，即 p = s u p p l ：g l ( p l ，垆) nk ， 函数p ( c p ) 称为凸域k 的支持函数。又，引进函数( 妒) = p ( 妒) + p o p + 玎) ，则显然可见，甜( 妒) 是对应于方向妒，驴+ 刀的二平行支持线之间的距离，称之为凸集k 沿t p 方向的宽度函数称 t o ( 9 ) 为凸集k 的宽度函数 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 2 2 积分几何简介 积分几何起源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系统工作， 在2 0 世纪3 0 年代积分几何正式成为独立的分支。 积分几何借助于积分作为工具，以群论作为理论基础，其解决问题的能力不容忽视， 关于它的更多介绍，参见嘲n 0 邮2 3n 8 9 瑚3 矧3 1 1 4 4 1 4 钔。 首先，简单介绍一下本文即将用到的一部分积分几何的基础知识。 2 2 1 运动测度 2 2 1 1 平面运动群 平面上欧氏运动群( 在不致引起混淆的地方，一律简称为平面运动群，或运动群) 以 m 表示。元素ue m 称为运动，设平面已取定直角坐标系，若运动u 将点e ( x ，y ) 变到 p l o ，y ) ，则“可表示为 “：e = ；二裟麓 仁1 ， 其中a , b ，称为运动u 的参数，并将u 记作u ( a ，6 ；) 。将( 2 1 ) 与通常的坐标变换公式相 对照，不难解释具有参数a ，b ，的运动u 的几何意义：在平面上取定坐标系x o y ，设想另有 一透明薄纸覆盖与平面上，并在薄纸上取坐标系x 0y 。倘开初x o y 与x 0y 重叠，且此时 平面x 0y 上p 点与平面x o y 上p 点重合。现将薄纸紧贴原平面作运动，致0 关于x o y 的坐 标为 ，b ) ，b o x 到d x 的角为驴。这时p 和p 关于关于x o y 的坐标为 ，y ) ，o ，y ) 间的联系 正好是( 2 1 ) 式，基于这样的解释，我们称a ，b 为运动u 的平移分量，而驴称为运动u 的旋 转分量。 运动u ( a ，6 ；) 的参数的变域为 一0 0 a + ，一 b ， 可见x 2 是集x t u ：u kn k o 乒以经右推移r ，。的结果，x ：ir ，一。x 。由运动密度的 右不变性，可知m ( x ：) 一所僻) 。亦即在求上述测度时，运动密度的右不变性体现了与k 起 始位置选取无关这一几何事实。至此，我们已经看出，不论蚝置于何处，也不论k 的起 始位置如何，运动集x - - - u ：u knk 。驴 的运动测度总是一样的。如是，现在这种求运 动集的测度的观念与原先求几何元素集的测度的说法就一致起来了。由刚才的讨论还可看 出，置放固定图形的平面上的坐标系( 固定标架) ，以及与动图形附着在一起的坐标系( 活 动标架) ，都可以任意选取。最后我们来考虑运动密度的反演不变性。由于条件u k n k o 乒妒 等价于kn “k o 乒妒，故知运动集x ，；扣：v k onk 乒甜是由集x - - u ：u knk o 妒) 取运 动的反演而来( 即对x 中每个运动取其逆，便得集x ，) 。由运动密度的反演不变性可知 m ( x 。) = 聊( x ) 。此式表明，当着交换可知k 。与k 的地位，即视k 为位置固定的区域，k o 为位置可变动的区域，把k 。带到与k 相交的运动的集之测度与原先所求的测度相等。 运动密度的其他形式若不用参数a , b ，矿来确定运动，而以其它适当的参数确定运动， 则运动密度d k 将取另外的形式。 2 3 积分几何的一些基本公式 1 周长公式 定义9 ：设k 为凸体，v e s ”1 ，定义k 的支持函数p k ，) 为： p ( k ，) = s u ( x ，) k k ( 2 2 9 ) u g 9 4 1 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 k 的宽度函数伍，) 为： ( k ，) = p ( k ，) 一p ( k ，一u )( 2 3 0 ) 定义1 0 ：设kc e 2 为凸体，方向= ( c o s t p ，s i n 够) 上的支持线定义为： x c o s 驴+ y s i n t p p ( k ，) = 0 为： 定理5 9 ，1 1 ，1 2 1 ：设kc e 2 为凸体，支持函数为p ) ，宽度函数为) ，则k 的周长 工一f ”p ( 驴弦舻 一r ( 伊9 ( 2 3 1 ) 2 点集的测度 设b ，y ) 表示点的直角坐标。点集x 的测度聊( x ) 按如下方式定义： 微分形式一厂b ，y ) d xad y 中的函数，b ，y ) 关于平面运动群不变时，此微分形式的 l e b e s g u e 积分即为点集x 的测度，记为m ( x ) 。 不难验证，函数厂g ，y ) 是常函数。因此，不妨令，仁，y ) = 1 ，从而，点集x 的测度聊伍) 就是它的元素的直角坐标的l e b e s g u e 积分。 3 直线集的测度 直线集的测度也可采用类似于点集的测度的方式定义。为此，考察直线的微分的表示。 由定义1 0 ，直线l 可用方程表示为： x c o s p + y s i n q ) - p = 0 其中p 为直线l 到原点的距离，妒为法向量与x 轴的夹角。 从而，直线被参数( p ，驴) 确定，故直线的微分形式可表示为： ；d ，驴肋ad 妒 ( 2 3 2 ) 同理，要求厂( p ，驴) 满足运动不变，故，0 ，驴) 也为常函数。令f ( p ，伊) ：1 ，从而直线集 的的测度可定义为微分形式1 0 = d pad 驴的l e b e s g u e 积分。 3 带域的密度 设平面上有二平行线，平行线之间的距离为a 。这两平行线间的闭域称为宽度为a 的 带域。对于具有给定宽度为a 的带域b ，其位置由它的中平行线的参数p ，矽完全确定。因 此当a 固定时，带域口的密度为柏= 勿人d 。 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 3 1 引言 第三章矩形网格中投掷长针的b u f f o n 问题 1 7 3 3 年，b u f f o n 在他的一份研究报告的附录中讨论了著名的b u f f o n 投针问题。此后 关于b u f f o n 问题的推广应用层出不穷。s a n t a l o 将平行线网格推广到平行带域网格同时将 小针推广到凸域【1 2 】。但他只研究了凸域直径不超过带域间距离的情况。任德麟作了进一步 推广，即取消凸域直径不超过带域间距离这一限制【9 j 。本文借鉴讨论凸域与平行带网的交 点分布问题的方法，讨论凸域与矩形网格交点的分布问题，进而得出长针与矩形网格交点的 分布问题是本文的特例。 3 2 凸域与平行线网相交的交点分布 以下我们来讨论凸域恰好与网中h 条带域相遇的概率关于平行带网及凸域k 。之假定 同前 令s 。= 舾+ 一1 ) a 引入函数( 。) ( 驴) 如下： 嗷b ) ) 一 当 ( 妒) 瓯- 1 当s 一。s ) 瓯， ) ，当瓯s ( 驴) 瓯巾 当 ( 缈) 乏s h + 1 ( 3 1 ) 我们有下列结论： 定理 平面上有间隔为d 的平行带网，带域的宽度为a k 。为有界闭凸域，宽度函数为 ) 又函数( 。) ( 驴) 如上式所定义随机地将k ，投掷于平面上，则k 。恰好与网中j l 条带域相 遇的概率为 只= 而b r 膨) d 伊 ( 3 2 ) 特款 设凸域k 。退化为长度等于l 的线段s 。之意义同f i i ，即s 。一k d + 伍一1 k 假定s 。s s 剃n 的宽度函数为) = 上s i n 伊，0s 驴s 万对于h = 1 ，2 ，j 1 记作 n 一一a r c s i ns _ l l 又，规定口槲= 詈按( 3 2 1 ) 式规定( 一) ( 驴) 如下： 啦。) ) = 0 ，当0s 妒 o f h - 1 ， 三s i n 驴一s 一1 ， 当 o f h ls 缈 口 ， s + 1 一ls i n 驴， 当 口 s 伊 口。+ l ， ( 3 3 ) o ， 当 - s 妒s 詈 缈 一 笕趴叫 一 口 、-，一、办哪 + q o q 第1 6 页 武汉科技大学硕士学位论文 h = 1 , 2 ，n 上式仅给出o s 妒s 至2 时甜( 一) ) 之定义当三驴g 万时，t o ( h ) ) = ( n ) 一万) 将( 3 3 ) 代入( 3 2 ) ，得 只= 石1 。s i nq ，- s h _ 1 ) d 妒+ h ( s h + 1 - - l s i n q ，) d 叫 一：；i ：；：；：i ；了【s h + l a h + 1 - - ( s h + l + s h - 1 ) c z 。- s 一一- ( z 一一t 】- ：；i ：( c 。s ( z 一+ ，一2 c 。sc z 一+ c 。sc z 一一- ) ， ( 3 4 ) 对于矗= ，l + 1 ，这时。) ) 取如下形式： r 0 当o 驴 0 为某正实数f 为正整数，函数t o 。o ，驴) 定 义如下： t o h o ，垆) = 0 ， ) ( f 一1 ) j i l ， ：(+co)-(一i-(1缈)h),，o-s1)h(驴)to(“p)ih,1)a h 4 - 1 ) h ， ( 3 1 1 ) “+一( 驴) ，s ( 驴) ( f ， 、7 0 ，缈( 驴) 乏o + 1 ) h 我们有f = 。列结论： 定理1 设尺是以边长为a 和b 的矩形为基本区域的矩形网格，如自 所述，k 是宽度函 数为( 驴) 的平面凸域函数o ，驴) 由( 3 1 1 ) 式定义则k 恰好与最的f 条平行线相遇且同 时与鼻i 的条平行线相遇的概率p ( i ，) 为 p ( i = 封o a ( i , c p ) w b ( j 舭伊 ( 3 1 2 ) 证明以m 。表示k 的一切可能的位置的运动测度，以m ：表示k 与只的f 条线相遇、与鼻i 的，条线相遇的一切可能的位置的运动测度贝u 所求概率p ( i ，) 应为 第1 8 页武汉科技大学硕士学位论文 p ( i ，_ ) ；一m 2 ( 3 1 3 ) 现在我们本别来求m ，和m ： 设想在k 上取一点m 当驴选定时，考虑到网格r 的周期性，这时k 一切可能的位置对 于m 属于某个基本区域因此 m 。= f ”删驴= 2 z a b ( 3 “) 为了计算聊：，仍然先选取固定的驴，这时由g ，驴) 之定义可知，k 与置的f 条线相交且 与舅i 的，条线相交一切可能的位置与测度o ，妒) + 要) 相对应因此 妒nm 舰+ 一2 r 0q ) 。o ，驴) 。( _ ，驴+ 三矽妒 将( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 代入( 3 1 3 ) 式即得( 3 1 2 ) 式证毕 3 4 线段与矩形网格交点的分布问题 现在考虑一特款，即k 退化为线段情形 设线段的长度为l 线段可以看作是退化的凸域，其宽度函数为 ( 伊) = lsin驴，0s 驴s 玎 这时定义4 所定义的函数( f ，驴) 可具体的表示出来 取h = a 设 s r = r 。，s 。s 上 s 月+ l ，a r = a r c s i n ! c 则有 ! j ! u 有 取h = b ，设 。g ，驴) = 0 ， l s i n 驴一s j l ， s f + 1 一ls i n 伊， 0 ， 0s 妒 口j 一1 ， 口j 一1s 驴 口f ， a fs 驴 口f + l ， ( 3 1 6 ) 3 i a f + 1 驴s 虿 f t = 肋，f 。sl f 。+ l ，反= a r c s i n t _ l l 武汉科技大学硕士学位论文 t o b ( 歹，驴) = 0 ， l s i n o t 卜l ， t + l l s i n 驴， 0 0 s 驴 j l ， 卢，一1s 伊 卢j ， p js 驴 卢，+ l 艮，s 驴s 考 第1 9 页 ( 3 1 7 ) 根据口“，口。，口与卢一，声j ，f l j + l 之间的具体的大小关系，利用公式( 3 1 5 ) 计算肌： 例如，当a b 且歹。i 时，由( 3 1 2 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 式得： p ( f ，j ) ；i 1 。( b i n 驴一s t 一。) ( l c o s c p - s i _ 1 矽妒+ + f ( & ，幽i n 驴) ( s i + 1 - l c o s 驴矽垆】 = 去k 1 - s 。) a ，- s 三l t z i _ l - 4 - s 飘，】+ 册l 2 。( s i n 2a i + l - s i n 2 a i _ 1 ) + 羔+ 1 一s i - 1x s i na j c o s a j ) + s i _ l ( s i na “一c o s t z “) 一s f + 1 ( s i na j + l c o s 1 ) 】 刀砑d 一 ( 3 1 8 ) 第2 0 页武汉科技大学硕士学位论文 4 1 问题的提出 第四章结论及展望 设平面上有两组互相正交的平行线网，一组的间隔为a ，另一组的间隔为b 。如此形 成的网格称为矩形网格。以a 和b 为边的矩形叫做此网格的基本区域。设bga ，今有小针 ，其长度，不超过矩形较短边之长( 即zs b ) ，随机地投掷于平面上。则小针与该矩 形网格相遇的概率p 称为b u f f o n 问题的l a p l a c e 推广。这一问题的经典解法( 见 u s p e n s k y t 3 2 1 ) 是：以( x ，y ) 表示小针的中点坐标，0sxs 口，0 ysb ；矽表示与o x 轴之间的角，一要妒s 等。从而小针的一切可能的位置对应于边长为口，b 及万的长方 体中均匀分布的点( x ，y ，矽) 。此长方体的体积为v = 万a b 。含于长方形内的小针的 位置集的测度v 可按照下述步骤求出：v 。也可看作是 ，y ，矽) 空间一立体的体积。固 定，一等s s 等，此立体的截面面积为： f ( 矽) ；( 口一zc o s 矽) ( 6 一zis i n 矽i ) 1 = a b b lc o s 一a lls i n 矽l + z 2 l s i n2 i 么 于是有 v + = r2 。f ( 矽) d = 万口6 2 ( a - i - 6 ) z + z 2 ，一- f 最后得到与矩形网格相遇的概率p ： p ；1 一旦；1 一j r a b - 2 ( a + b ) l + 1 2 ：丝型 1 v死n b冗n b 以上解法中最关键的一步是求体积y + 。在刚才的问题中，网格的基本区域是矩形，且 限制针长不超过矩形的较短边，因而解法并不显得十分复杂。倘若基本区域是另外的多边 形，且针长不受限制( 即允许针长取不超过基本区域直径的一切正值) ，此时如果利用类 似求y 的办法去解决相应的推广的b u f f o n 问题，其繁复的程度将令人难以忍受。而文献 【1 】【1 2 1 中讲的求运动测度m ( t ) 的一般公式，为解决这一类问题提供了统一而有效的方法。 由于我们已经建立了包含在凸域内的矩形的运动测度公式，很自然的我们可以将小针 推广到长宽都确定的小矩形，即求小矩形与矩形网格相遇的概率。 4 2 已有结论 所谓区域格( 1 a t t i c eo fr e g i o n s ) 是指满足下列条件的一种全等区域序列口o ，a l ， 武汉科技大学硕士学位论文 第2 1 页 一_ ( i ) 平面上任一点p 属于且仅属于某一个区域口，； ( i i ) 对于任意指定的，存在运动“。e m 致“。吒重合于口o ，与此同时“。使得序列中每 个区域重合于序列中另外的区域。诸口，称为此区域格的基本区域。这些基本区域的边界组 成的图形称为此区域格的网格。 文献m 2 1 中以矩形网格为例讨论了推广的b u f f o n 的问题，即：设平面上有两组间隔分 别为a , b 的互相正交的平行线网形成一些矩形网格，将长度为z 的小针随机投掷于平面上， 求得小针与该网格相遇的概率p 为： 2 1 ( a + b 了) - 一1 2 oszs6 万a d p：一2abarccosb+21a-2a(12-b2)；+b2 6szsa 昙a 一争去【f _ ( f 2 ) _ 】1 a l d 文献m 1 中讨论了基本区域分别为平行四边形，正三角形，正六边形的推广的b u f f o n 的问 题。其结果如下： ( 1 ) 对于以长、宽分别为a , b 的平行四边形作为基本区域所构成的平行四边形网格， 令五= b s i n o ，d = a s i n o ，将长度为，的小针随机投掷于平面上，则小针与该网格相遇的概 率为： 。2 ( a + 6 ) 一，2 【1 + ( 等一a ) c t 9 0 当0 s ，s h 时，只= 互一 万口6 s i n 0 当矗s ，s 6 时， 只昌1 一l - 防口h 一2 a h a r c c o s h 2 a l 2 a 圻z 万一拍z 一石口6 s i n 0 。1 ” + b l c o s 0 瓜( m r c c o s 垒l 一三) 唧 当矗szs6 时，只；1 一1 _ 防口h 一2 a h a r c c o s 了h 一2 a l + 物撕f 万一h z 】a r “ a b s i n 0 一， 一一 ( 2 ) 将长度为珀勺小针投入边长为口的正三角形栅栏，小针与栅栏相碰的概率为 p = 仰睁一番肛知 osl h 陬，一嘉一詈厨+ c 妇2 + 竽口2 m