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硕士论文 新型并联机床运动与控制的相关技术研究 摘要 i 嬲删 本文以c 形并联式数控龙门铣床的基础结构，即附加冗余驱动的3 - ( 2 s p s ) 并联机构 为研究对象，为顺利实现驱动与实时控制，就相关的奇异位形避开与迁移、传动动力学、 运动学反解实时定解、实时性能评价与寻优及虚实结合插补方法等开展了研究。 首先针对3 - ( 2 s p s ) 并联机构的结构特点、几何关系及相关约束，构建运动学方程。 并以对运动学方程的分析为基础，研究机构的奇异位形分布及冗余驱动对奇异位形的影 响；其次，对运动支链进行传动动力学研究，导出相关传递函数，并根据传递函数分析 系统稳定性、误差等，确定动态性能影响因子；在定义了机构灵活性、承载能力及刚度 性能指标之后，对冗余滑块固定及自由滑动两种情况下，研究冗余对这些性能的影响， 给出对比性能指标图谱，并总结了保证性能指标相对优化的运动反解定解的优化条件。 最后根据该并联机构运动特点与实时控制流程需要，对动平台路径控制的插补算法 及关节空间轨迹规划的插补进行了研究。采用粗、精插补相结合的方案，分别在笛卡尔 和关节空间进行。在笛卡尔空间研究了空间直线、圆弧及曲线的插补算法，以适用于不 同的3 n q - 要求，而在关节空间则介绍了p v t 插补。同时分析了各算法所引起的理论误 差，有效满足机床轨迹精度要求。本机床对轨迹的优化实质为运动学逆解的定解问题， 融合上述各项研究进行仿真，结果表明在动平台规定路径下，通过冗余滑块的调节，可 使机床的性能始终保持良好。 关键词：并联机床传动动力插补轨迹优化 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t b a s e do nt h ei n f r a s t r u c t u r eo fc - t y p ep a r a l l e lc n cm i l l i n gm a c h i n e ，t h e3 - ( 2 s p s ) p a r a l l e lm e c h a n i s m 谢t l lr e d u n d a n ta c t u a t i o n ，t h ep r o b l e mo fa v o i d i n gs i n g u l a r i t ya n dt h e s i n g u l a rt r a n s p o r t ，d r i v ed y n a m i c ，t h ed e f i n i t es o l u t i o no fk i n e m a t i c si n v e r s ei nr e a lt i m e ， r e a l t i m ee v a l u a t i o na n do p t i m i z a t i o n ，i n t e r p o l a t i o ns t r a t e g ya r es t u d i e dt os u p p o r td r i v ea n d r e a l t i m ec o n t r o ls y s t e m f i r s t l y , i n t r o d u c et h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ep a r a l l e lm e c h a n i s m ，a n a l y z et h eg e o m e t r y s 仇l c t u r ea n dc o n s t r a i n t s ，a n de s t a b l i s ht h ek i n e m a t i c se q u a t i o n b a s e do nt h ee q u a t i o n ，t h e d i s t r i b u t i o no fs i n g u l a rc o n f i g u r a t i o na n dt h ei n f l u e n c eo fr e d u n d a n ta c t u a t i o no ns i n g u l a r i t y a r ea n a l y z e d ；t h e nb u i l tt h et r a n s f e rf u n c t i o no fb r a n c h e dc h a i nd r i v es y s t e m ，a n a l y z et h e s t a b i l i t ya n de r r o rp r o b l e m ，a n dc o n f i r mt h ei m p a c tf a c t o ro fd y n a m i cp e r f o r m a n c e t h e p e r f o r m a n c ei n d e x e so ft h ef l e x i b i l i t y , b e a r i n ga b i l i t ya n da n g u l a rr i g i d i t ya r ed e f i n e d a n a l y z et h ep e r f o r m a n c e so ft h ep a r a l l e lm a n i p u l a t o rw i t ha d d i t i o n a lr e d u n d a n ts l i d i n ga n d t h em a n i p u l a t o rw i t hs l i p p e rb l o c kf i x e d a c c o r d i n gt h ec o m p a r i s o no fp e r f o r m a n c ea t l a s ，t h e n o r m su s e df o ro p t i m i z a t i o na r ee s t a b l i s h e dt ok e e pt h er e l a t i v e l yo p t i m a lp e r f o r m a n c e s a tl a s t ，a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e ro fp a r a l l e lm e c h a n i s ma n dt h en e e d so fr e a l - t i m e c o n t r o l ，i n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mu s e di nt h ep a t hc o n t r o lo ft h em o v a b l ep l a t f o r ma n dj o i n t m o t i o na r es t u d i e d at w o s t e pi n t e r p o l a t i o ns t r a t e g yi s p r o p o s e d ，i n c l u d i n gt h er o u g h i n t e r p o l a t i o na n dt h ep r e c i s ei n t e r p o l a t i o n i nc a r t e s i a ns p a c e ，t h ea l g o r i t h mo fl i n e i n t e r p o l a t i o n 、c i r c l ei n t e r p o l a t i o na n dn u r b si n t e r p o l a t i o na r es t u d i e dt om e e tv a r i o u s r e q u i r e m e n t so fm a c h i n i n gp r e c i s i o n i na c t u a t o r , p v ti n t e r p o l a t i o nm o d ei si n t r o d u c e d a t t h es a m et i m e ，t h ep r i n c i p l ee r r o r si nd i f f e r e n tm o d ea r ea n a l y z e d a sam a t t e ro ff a c t ， t r a j e c t o r yo p t i m i z a t i o na n dt h eo p t i m i z a t i o no fk i n e m a t i c si n v e r s ea r es a m ei ne s s e n c e c o m b i n ew i t ht h es u i t a b l en o r m s ，t h es i m u l a t i o n so ft r a je c t o r yp l a n n i n ga r ed o n e t h er e s u l t s h o w st h a tu n d e rt h es i t u a t i o no far e g u l a t e dp a t ho fm o v a b l ep l a t f o r m ，t h ep e r f o r m a n c e sc a n b ek e p tw e l lb ya d j u s t i n gt h em o v e m e n to f s l i p p e rb l o c k k e yw o r d s ：p a r a l l e lm a c h i n et o o l s d r i v ed y n a m i c i n t e r p o l a t i o nt r a j e c t o r yo p t i m i z a t i o n i i 硕士论文 新型并联机床运动与控制的相关技术研究 目录 摘墨耍。i a b s t r a c t i i 1 绪论1 1 1 引言l 1 2 并联机床1 1 3 冗余并联机构概述3 1 4 冗余对机构性能的影响4 1 5 冗余并联机构的发展应用一4 1 6 轨迹优化_ 7 1 7 研究目的及意义7 1 8 主要研究内容一9 2 运动学分析1 0 2 1 引言1 0 2 2 机构描述1 0 2 3 位置分析1 1 2 4 机构奇异性分析1 4 2 5 速度雅克比矩阵1 7 2 6 本章小结18 3 支链传动动力学分析1 9 3 1 引言1 9 3 2 支链系统数学模型1 9 3 2 1 与动平台相连的传动支链1 9 3 2 2 冗余滑块传动支链2 2 3 3 系统稳定性分析2 3 3 3 1 与动平台相连的传动支链2 4 3 3 2 冗余滑块传动支链2 5 3 4 误差分析2 5 3 4 1 与动平台相连的传动支链2 6 i i i 目录 硕士论文 3 4 2 冗余滑块传动支链2 7 3 5 本章小结2 7 4 机构性能分析2 9 4 1引言2 9 4 2灵巧度分析2 9 4 3 承载能力分析3 2 4 4 刚度分析3 6 4 5 本章小结4 1 5 运动控制中的轨迹规划4 2 5 1 引言4 2 5 2 插补概念及原理4 2 5 2 1 定距与定时插补4 3 5 2 2 脉冲与数字增量插补4 3 5 2 3 笛卡尔空间插补4 4 5 3 关节空间插补5 3 5 4 轨迹优化5 4 5 4 1 优化准则5 4 5 4 2 优化仿真5 5 5 5 本章小结5 7 6总结与展望5 8 6 1 结论5 8 6 2 工作展望5 8 致谢6 0 参考文献6 1 附录6 5 i v 硕士论文新型并联机床运动与控制的相关技术研究 1 绪论 1 1 引言 串联机构在性能上存在灵活的操作性及拥有较大工作空间等特点，但也有因为累积 而造成的末端输出误差大、结构总体刚度低等缺点。而并联机构虽工作空间相对较小、 灵活性稍有不足，但精度相对较高、刚性较好。根据两者的性能对比，可发现串联机构 与并联机构之间在性能上存在互补关系。由于这些性能特征，并联机构得到了世界各国 研究机构及学者的关注。 并联机构总体可分为三个部分：定平台、动平台及连接两平台的独立开环运动链， 其中运动链至少有两条，机构最终实现的运动输出至少为两个自由度。并联机构出现于 上世纪3 0 年代，此后逐渐被应用于各种实用的装置【1 】【2 】。到6 0 年代【3 1 ，工程师s t e w a r t 在论文中提出一种机构，该机构被得到广泛关注，被称为s t e w a r t 平台。其具体构造为 通过6 根可独立运动的杆将上下两平台通过球铰及虎克铰连接起来，最终实现机构的六 自由度的空间转动和移动。7 0 年代，澳大利亚教授h u n t 在机器人领域应用该平台，同 时指出这种平台机构具有刚度精度等方面的优势。而h m a c c a l l i o n 则将该机构用于工业 生产线4 1 。 此后，并联机构逐渐成为研究的热点，经过多年来的发展，并联机构演变出多种不 同的结构，如少自由度并联机构、混联机构及冗余并联机构等。对机构的研究内容涉及 机构学、控制、轨迹规划等，其中机构学是进行机构研究的基础。这些机构被应用到许 多领域，如模拟系统、机器人、加工中心等。 1 2 并联机床 并联机床在2 0 世纪9 0 年代产生，结合了并联机器人、计算机控制等技术。并联机 床从结构到理论分析都与传统机床不同：传统机床的控制概念是建立在笛卡尔空间坐标 系基础上，而并联机床的轨迹的完成是由各杆件综合运动完成的，其可控对象是关节空 间的关节运动，通过关节与笛卡尔空间两坐标系之间的转换实现所需的运动轨迹。 1 9 9 4 年，并联机床v a r i a x 首次推出，并得到广泛关注。此后，世界各国投入大 量物力人力对虚拟轴机床进行研究，如美国i n g e r s o l l 公司( 图1 1 a ) 、德国m i k r o m a t 公 司( 图1 1 - b ) 、瑞典n e o sr o b o t i c s 公司( 图1 1 - c 、1 1 d ) 、瑞士联邦技术学院( 图1 1 e ) 、 日本t o y o d a 公司( 图1 1 - f ) 等都研制了各种实用的并联机床。首个并联机床的问世，也 得到了国内各科研单位的关注。1 9 9 8 年，在北京机床展上展出了清华大学与天津大学共 同研制的v a m t l y 。此后许多高校也纷纷研制了构型各异的并联机床样机，可应用到各 1 绪论 硕士论文 加工领域。并联机床的理论研究涉及多方面，包括构型尺寸、运动学、动力学、运动控 制算法及数控系统等。对机床理论的深入研究，促进了并联机床的快速发展。2 0 0 7 年， 清华大学与齐二机床共同研制了混联机床x n z 2 4 3 0 ( 图1 1 一g ) ，并获得了工业博览会金 奖。2 0 0 8 年，哈量引进e x e c h o n 公司的专利技术，推出l i n k s 7 0 0 ( 图1 1 - h ) ，使我国并 联机床有了进一步发展。 并联机床的独特性在于机床刀具的空间运动是经过驱动副空间运动进行非线性映 射共同完成的，因此在实际控制中，运动学逆解是实现输入关节换算至空间输出的关键 步骤，是控制中必不可少的环节。目前，并联机床的数控系统几乎都是采用开放式结构， 首先因为其在运动传递原理上的特殊性，构型及尺寸的不同会导致虚实映射的参数及结 构不同，其次开放式的机构有益于适用于并联机床的相关算法的不断改进，避免再次开 发带来的困难。 ( a ) 美国i n g e r s o l l 公司的h o h 一6 0 0 ( c ) 5 3 典- n e o sr o b o t i c s 公司的t r i c e p t 8 4 5 ( d ) 瑞典n e o sr o b o t i c s 公司的t r i c e p 6 0 0 ( e ) 瑞士联邦技术学院的h e x a g l i d e ( 0 t o y o d a 公司的h e x am 硕士论文 新型并联机床运动与控制的相关技术研究 ( g ) 混联机床x n z 2 4 3 0( h ) 哈量l i n k s 一7 0 0 图1 1 各种并联机床 1 3 冗余并联机构概述 并联机构与串联机构相比，具有更大的刚度、更高的精度、更大的负载能力等良好 的机构性能，因而引起了国内外众多学者的关注。众学者对并联机构所涉及的各方面技 术进行了研究，并取得了很大的进展。但是，在实际应用和控制过程中，并联机构表现 得却不如预期的性能好，存在运动不灵活的现象，当任务轨迹确定后，机构可能会运行 到工作空间内的奇异点或性能较差的区域，而这是机构没有足够的灵活性避开这些位 置，造成性能表现较差的情况。 通常解决奇异性问题方法主要有两种。一种是初始设计时，尽量使工作区域处于非 奇异位置。另一种则是加入冗余，冗余的引入有益于改善机构的刚度、精度、奇异性能 和载荷分布等，当给定运行轨迹后，各运动副的运行组合有无穷多种，通过各运动副运 行情况的调整，可使机构成功避开性能较差的区域。但由于冗余的加入，机构的设计和 运动学逆解变得更为复杂，同时控制也会有一定的困难。 与串联机构的冗余情况相比，并联机构的冗余更为复杂，但目前还没有统一明确的 定义。n a k 锄u r a 【5j 依据并联机构的特点，将冗余分为机构冗余和传感器冗余。机构冗余 又可被进一步分为驱动冗余和运动学冗余。运动学冗余一般被国内学者称为冗余自由 度，在机构的冗余研究中占了很大比例。他还在书中对机构的操作度及奇异进行了研究。 c o n k u r 6 详细研究了运动学冗余定义问题，阐述运动学冗余与多解、过度冗余、任务空 间冗余间的区别。k o c k 和s c h u m a c h e r 7 对这三种冗余类型的定义和性质进行了研究。 设定一个机构的任务自由度为n 1 ，机构的自由度n 2 ，驱动关节的数目为n 3 。机构驱 动冗余时，三者的关系为n 3 n 2 = n 1 ；而运动学冗余时，n 3 = n 2 n 1 。吴烈宇等【8 】认为， 传感冗余严格意义上并不属于冗余，并将冗余归为3 类：驱动冗余、位形空间冗余和末 端执行器冗余。这种分类方式具有明确数学意义，分类界限非常清晰，容易理解。在这 1 绪论硕士论文 三种冗余类型中，驱动冗余可以消除机构的奇异位形，使机构的整体刚度、精度得到很 大提高，由于作用成果明显，常被应用于各并联机构。末端执行器冗余即为通常所说的 运动学冗余。而位形空间冗余则常与其他两种冗余方式相结合，共同提高机构的各项性 能。同时，也对冗余机构的刚度、精度及动力学性能等进行分析，并研究了控制方法。 运动冗余与驱动冗余都能改善机构性能，但两者分析的角度有所区别，运动冗余的 分析基于机构运动学正解，而驱动冗余则是基于运动学反解。 冗余驱动方式主要有三种 9 1 。一种是关节型冗余驱动，这种方式构造简单，只需在 机构原型上加入驱动关节，但会造成机构不对称，对机构会有一定影响；另一种是在不 改变机构整体自由度的前提下，增加相同的驱动支链，这种方式由于增加了一条支链， 会造成系统控制的复杂性，同时会提高机构的成本；还有一种方式则较为复杂，被称为 混合式冗余驱动，需将以上方式相结合，一般采用较少。 1 4 冗余对机构性能的影响 机构冗余的添加，不仅可以避开甚至消除奇异位形，还可对机构的精度、刚度及动 力学等性能有很大影响，使这些性能比非冗余机构得到提高。 n a k a m u r a 5 j 对冗余机构的奇异问题及可操作度进行了研究。j p m e r l e t 5 6 j 则对冗余 并联机构的多方面性能进行了分析，涉及奇异位形、关节速度、关节驱动力、自动标定 及刚度等方面。b j 【1 0 j 对冗余驱动对机构刚度的影响进行了分析。j e ob r i e n 1 1 】等指 出冗余驱动可改善并联机器人的动力学性能，提高机构可操作度。h y u n gw o o kk i m 1 3 】 通过仿真及实验，证明冗余驱动可使机构实现避奇异。高掣1 4 以5 】等采用了自均力驱动的 方式设计了一种1 0 个输入6 自由度输出的冗余并联机器人和8 - p s s 冗余并联机构构型 的地震模拟器，并对机构进行了运动学及动力学分析。王勇等【1 6 r 7 】对平面二自由度冗余 并联机器人进行运动学分析，建立动力学模型并设计控制器。张立杰等【l 踮2 0 】对球面 2 - d o f 冗余并联机器人研究了机构工作空间面积、灵巧度、承载能力等性能指标，并提 出了百分位性能指标，绘出性能图谱。 1 5 冗余并联机构的发展应用 近年来，含冗余驱动的并联机构的相关理论日趋完善成熟，许多学者开发了各种样 机。韩国首尔大学k i mj 等人开发研制了e c l i p s e 系列并联机床。e c l i p s e ( 图1 2 ) 动平 台操作空间为6 个自由度，其驱动关节数为8 ，具体如图中箭头所示，机床工作台能实 现9 0 0 转动，最终可以实现工件五面的加工【2 1 1 。基于e c l i p s e 的研究及经验之上，e c l i p s e i i ( 图1 3 ) 由3 个能在固定圆导轨上独立运动的p p r s 支链组成，可消除工作空间内的奇 异位形，能使动平台实现3 6 0 。转动【2 引。 硕士论文 新型并联机床运动与控制的相关技术研究 ( a ) 实物图 ( a ) 实物图 j o i n t 一 ( b ) 机构简图 图1 2 e c l i p s e ( b ) 机构简图 r e v o i u t e j o i n t c i r c u l a r c o l u m n c i r c u l a r p r i s m a t i c j o i n i 图1 3 e c l i p s e i i f m a r q u e t 陋2 4 1 等研制了三自由度冗余驱动并联机构a r c h i ( 图1 4 ) ，该机构由四条 支链组成：3 条p u s 及1 条p r r 。该机构由于自身特性，无法承载重载荷。文献对该机 床的控制、速度指标等进行了分析。 ( a ) 实物图 ( b ) 机构简图 图1 4a r c h i 国内学者也对冗余驱动并联机构进行了研究，并取得了一定的成果。燕山大学赵永 生陋2 6 等在5 - u p s p r p u 非冗余并联机构基础上将原本的p r p u 约束分支的被动关节 ( 支链中与导轨相连的移动副) 改为驱动关节，通过控制5 个运动副相同的u p s 支链 1 绪论 硕士论文 中的移动副及新增的驱动关节，实现动平台的5 自由度运动( 图1 5 ) 。文献对该机床运 动学、静力学、动力学进行了分析仿真，提出力位置混合控制，并开发控制系统。 ( a ) 实物图( b ) 机构简图 图1 55 - u p s p r p u 并联机床 清华大学汪劲松2 7 瑚1 等通过增加冗余支链构建3 自由度冗余并联机构，4 个主动运 动部件为滑块e 。e 、e ：e 和可伸缩支链e 。b ，、e ：b ：( 图1 6 ) 。并将该机构运用至4 自由 度混联机床中，刀具姿态角的范围得到增大，机构的动力学性能也得到了提高。 ( a ) 实物图( b ) 机构简图 图1 6 清华大学的混联机床及并联机构运动简图 香港科技大学2 9 1 研制了平面二自由度并联机构样机( 图1 7 ) ，通过增加一条运动支 链形成冗余驱动，并对该机构进行理论与试验的研究。 图1 72 一d o f 冗余驱动并联机构 硕士论文 新型并联机床运动与控制的相关技术研究 1 6 轨迹优化 轨迹优化是优化控制中主要的两大问题之一，另一个则为轨迹的跟踪及控制。轨迹 优化主要涉及位置、速度、加速度的控制优化问题，因为涉及动力学、运动学多方面的 性能约束，优化显得比较复杂。 轨迹优化的优化指标根据不同的机构要求可有多种形式，如有些机器对“力或力矩 比较敏感 ，则可以减小机器所受力或力矩为优化的目标，使机构运行时各关节力或力 矩处于合适的状态，提高机构动态性能；有些机器进行作业时会有障碍物，为此，机构 要以避障为目标，通过调整运行轨迹进行优化。d u b e y 等【3 2 j 研究了机构灵活性指标，并 采用梯度投影法进行灵活度最优轨迹规划，提高冗余度机器人操作性能。y u n 3 3 】运用遗 传算法在关节空间内进行轨迹优化。s a r a m a g o 3 4 】同时考虑系统动能和运动时间，进行多 项式插值，最终完成规划，使时间和动能组成的综合指标达到最优。m i r o s t a wg a l i c k i 3 5 】 运用极大值原理进行时间最优轨迹规划，以确定最优控制输入。郭立新等【3 6 】以关节力矩 最小为目标进行轨迹规划，取得了良好效果。钱东海【37 】应用三次b 样条对离散点所组成 的路径进行逼近，对轨迹进行了时间最优规划的研究。任敬轶【3 8 】提出“虚拟关节”的概 念，提出了一种新颖的任务空间规划方法。 无论是进行运动学优化还是动力学优化，运动学反解及插值都是必不可少的关键技 术。轨迹优化中涉及的优化算法有多种，包括神经网络算法、遗传算法、黄金分割法等。 这些优化算法各有特点，能有效实现相应约束下对目标性能的优化，但各算法也存在不 同缺点，目前还没有通用的算法。一般都是针对不同的结构特点及优化目标选用合适的 优化算法。 1 7 研究目的及意义 并联机构的构型是c 形机床研究的首要环节。本文的研究对象就为机床的重要结构 基础三平动并联机构，该机构在一种非冗余并联机构的基础上进行改进并增加冗余滑 块，属于关节型冗余驱动。原非冗余机构的设计是为了解决并联机构工作空间较小的问 题，实现大空间工作，其构型如图1 8 所示【56 | 。由于机构构型的特点，其运动学正、反 解均能根据运动的连续性唯一确定。本文研究的机构在该构型上进行改进，将固定平台 对称的六边形改为非对称的c 形，并进一步改进铰链分布( 如图1 9 所示) 。同时，为 了克服奇异问题，可引入冗余。冗余添加到不同的位置，可有不同的效果，本文为了加 工到靠近工作台的空间位置，将冗余滑块加入到靠近工作台的支链中，使该支链可在定 平台上横向滑动，此时正解仍能唯一确定，但运动学反解却出现多解问题，当末端空间 任务确定后，存在于一条支链上的滑块和驱动杆的运动状况可有无数种。在无数种运行 状态中，有的会导致机构性能不良，有的会使机构性能保持良好，因此运动配合的选取 1 绪论硕士论文 很重要。 转台 图1 83 - ( 2 s p s ) 三维模型 伸 图1 9 非冗余c 型机床 在机构控制的过程中，各个运动支链共同驱动完成任务，因此需对各传动支链进行 传动动力分析，了解各支链在总体控制中的作用，每个传动支链的良好性能是实现整个 机构有效运行的保证。给定机构轨迹任务后，要实现任务的精确完成，需注重控制的各 个环节。其中插补是数控系统的关键技术之一，插补算法的优劣是评价一个数控系统的 重要指标，因此本文根据并联机床的运行特点，介绍了二次插补的策略。而连接粗插补 和精插补的关键环节，则为机床运动学逆解。由于本机床逆解的多解性，为确定合适的 解，以特定性能指标为准则，进行优化，使机床在工作的过程中保持良好的性能。研究 该课题可为机床精确有效的控制奠定基础。 硕士论文新型并联机床运动与控制的相关技术研究 1 8 主要研究内容 本文以3 - ( 2 s p s ) 并联机构为研究对象，对机构的运动学位置、奇异性、插补算法及 轨迹优化等进行分析。 ( 1 ) 对机构的结构特点进行介绍，根据动、定两平台及铰链分布，建立两个空间 坐标系，并在此基础上运用解析法构建位置方程，解决机构位置正、逆解问题。根据对 运动学方程的分析，得到该机构的奇异位形分布情况，并推导出雅克比矩阵。为传动动 力学及性能分析奠定基础。 ( 2 ) 支链传动动力学建模。分析机构中的支链组成，将传动支链分为两类：丝杆 传动支链和冗余滑块支链。分别对各支链驱动结构进行分析，建立数学模型，再对支链 方程进行拉普拉斯变换，构建机构传递函数。根据传递函数，分析系统稳定性及误差， 确定机构动态性能的影响因子。 ( 3 ) 根据性能指标，分别计算滑块固定和滑块冗余情况下，特定区域内该并联机 构结构的灵巧度、承载性能及刚度，并对两种情况下的性能进行比较分析，为确定运动 学逆解的定解提供一定理论依据。 ( 4 ) 对轨迹控制中的重要环节进行规划，分析研究了插补及轨迹优化。由于并联 机构运动耦合的特点，对该并联机床采用粗插补和精插补结合的插补方式，分别介绍操 作空间及关节空间的插补算法。在粗、精插补过程中，运动学逆解承担着承上启下的作 用。鉴于机床运动学反解多解的问题，本文的轨迹优化实质为逆解的优化，以灵巧度、 承载性能及刚度的性能指标为优化准则，对逆解进行综合优化。 9 2 运动学分析 硕士论文 2 运动学分析 2 1 引言 运动学分析是机构分析中的重要问题，是进行精度分析的基础，主要涉及各构件位 移、速度、加速度间的关系及规律，具体内容包括机构正反解及奇异性分析等【3 9 1 。运动 学分析虽不涉及运动的力和力矩，却是动力学建模的基础。 奇异性作为并联机构所固有的特性，会严重影响机构的精度、刚度等特性，使机构 无法正常工作。为了避开奇异位形并增大其工作空间，本机构采用了在正常少自由度并 联机构的适当部位添加冗余驱动的方法。增加冗余驱动可改善并联机构的运动性能，如 增强机构灵活性、避开奇异位形或使奇异位形发生迁移、防止关节发生干涉；改善刚度、 动态精度、提高承载能力【4 0 j 【4 l j 。然而由于添加了冗余运动，滑块与原运动支链形成串联 运动关系，导致运动学分析变得更为复杂，增加了机构控制的难度。 2 2 机构描述 3 - ( 2 s p s ) 冗余并联机构由动平台、定平台及六条伸缩杆组成，将六根伸缩杆分为三 组，两两平行，且分别按组调节，其结构模型图如图2 1 所示，它是在非冗余并联机构 的基础上，在一条支链上添加一个滑块，通过该移动副连接滚珠丝杠与定平台，即一组 杆的一端用复合铰链与动平台连接，另一端用球铰连接到一个移动滑块，定平台上设有 导轨，滑块可在导轨上作直线滑动。由于冗余机构的加入不改变整个机构的结构，所以 不会改变整个机构的自由度。通过合适的铰链布置及三个双轴同步驱动装置共同限制末 端执行器的三个自由度的转动，最终实现动平台三维空间平动。机构的结构简图如图2 2 所示。固定平台端a l 、a 2 、a 5 、氏在铅直平面内，a 3 a 4 可沿水平导轨，( y = o ，z = 常数) 滑动，滑块到x = 0 平台的距离为g ，且保持与平台x = 0 平行。 硕士论文 新型并联机床运动与控制的相关技术研究 炉 朱4 、 2 3 位置分析 芦瓴 c 图2 2 结构简图 z 并联机构的运动学研究的是驱动输入与末端输出之间位移、速度及加速度的关系， 是进行机构控制的基础。因此要开发机构的控制系统，首先就要研究机构的运动模型， 而位置正解和反解是其核心内容之一。 位置反解在机构的实时控制中具有很重要的作用，需频繁使用。一般地，确定平台 位置后，根据计算公式计算各个电机的位移量，从而控制电机。不断重复，使平台按照 2 运动学分析硕士论文 轨迹要求运行。对并联机构，由于存在闭链约束，运动学反解的求解相对较容易，往往 可根据解析表达式来表述反向运动学的关系。 并联机构的位置正解一般比较复杂，是位移分析的主要部分，也是并联机构机构学 经久不衰的研究热点。并联机构的运动学正解求解一般较为困难，给定关节坐标后，会 有多组可能的动平台动作。求解位置正解的方法主要是两种：数值法及解析法。其中解 析法是按一定技巧运用消元法构建仅含基本变量和常数的多项式。数值法则可有多种分 析方法，如不动点算法、区间分析法等。这些方法对正解分析都有一定作用，但不能求 出所有正解，求解速度也慢。而延拓法等可虽可求出全部正解，但计算量较大且实时性 也不好。 本文通过解析法求出3 - 2 ( s p s ) 并联机构的反解。 在两个平台上分别建立相应坐标系( 图2 2 ) 。固定坐标系o x y z 固联于定平台( 图 2 3 ) ，o y 轴在o c , 的延长线上，正方向与o c l 方向相反，仇轴垂直于固定平台向上， o z 按右手定则确定。动坐标系o a x y z 与动平台固联( 图2 4 ) ，o a y 轴正向与o a c l 反 向，o , z 按右手定则确定。动、定两坐标系相应坐标轴两两平行。在固定平台上，三组 铰链中心点q q q 组成等腰直角三角形，其外接圆半径为r ，支链球铰安装距离为d ， a 5 a 6 延线与a 3 延线交角及b 5 8 6 延线与b 4 8 3 延线交角均为6 0 0 。在动平台上，b 6 、 b l 点重合，b 2 、b 3 点重合，即采用复合铰链，b 1 ( 6 ) b 2 ( 3 1 8 4 8 5 四点组成的梯形的外接圆半 径为，= 色吃= 岛局= 局垦= d 。 结构的具体参数的值为： 定平台半径r = 1 0 0 0 m m ，动平台半径r = 3 5 0 m m ， 滑块位置的最小值= - 4 0 0 m m ，滑块位置的最大值g 一= 4 0 0 m m 伸缩杆最短杆长l m i 。，= 1 0 0 0 m m ( f _ 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 与冗余滑块相连的伸缩杆的最长杆长t m 戤，= 2 1 0 0 m m ( = 3 ，4 ) 正常伸缩杆的最长杆长0 酞女= 1 9 0 0 m m ( k = 1 ，2 ，5 ，6 ) a 1 c 1 a a 、， 一 图2 3 定平台简图图2 4 动平台简图 硕士论文 新型并联机床运动与控制的相关技术研究 定平台铰链点及坐标系如图2 3 所示，各铰链点4 ( f - 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 及组杆的铰链中 点q ( = 1 ，2 ，3 ) 在定坐标系中的坐标为： 4 = 卜一妒4 = ( 铲扣( g 一孚尺一铲4 = ( g 孚r + 钉 4 = ( 。掣瑚一妒以= ( 。一孚m 钉 c l = ( o j ro ) 7 ，c 2 = ( g 0 r ) 7 c ，= ( o0 一尺) 7 动平台铰链点及坐标系如图2 4 所示，各铰链点e ( f - 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 及相邻铰链点的 中点c ，( ，= 1 ，2 ，3 ) 在定坐标系中的坐标为： 马2 ( 。一等。一圭。 t ，垦2 ( 。一等。三。 7 ，色= ( 。每。 7 ，b = ( 。等。一。) 7 q = ( 。一孚小2 ( 。爿，巳2 ( 。 其中g 为冗余支链定平台上的铰链点在x 轴上的投影坐标值。 已知动平台位姿为( x p ，y p ，z p ) ，利用空间几何关系，可得支链分支驱动杆杆长 石= 彳瓦一瓦产尺b 届，+ - p s o - p 一， 式中4 尼，为动平台上的球铰中心e 在定平台坐标系中的坐标值 尸彳，为定平台上的球铰中心a ，在定平台坐标系中的坐标值 r 为动平台上的坐标系对定平台上的坐标系的方向余弦 占b ，为动平台球铰中心在动平台上的坐标系中的位置 p b o 为动平台上的坐标系原点在定平台上的坐标系中的位置 由于本文研究对象为三自由度平动并联机构，其r 为三阶单位矩阵，则各伸缩杆杆 矢量f f ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 可表示为： 云= 爿磊一瓦f 研1 f + 碣2 y b f + 4 3 z b i + 一以 吐。毛，+ 盔：y 0 + 攻。z 0 + 昂一鸣 喀。毛，+ 幺：豌，+ 喀。z - - z p - 4 f + 一凡 2 iy 6 f + 蚱一4 z 加+ 乙一4 ( 2 1 ) 其中x b 。、y b ，、z b ，及，、y b ，、分别为动平台铰链点e 对定坐标系及动坐标系的位置 向量。 t = 厄巧可( f - 1 2 34 ，5 ，6 ) ( 2 2 ) 根据上式，可得 2 运动学分析 硕士论文 = 乞= 历可f 孑而7 1 3 = 4 = 4 ( x p ，_ g ；) 2 + ；y p 2 + ( z p - c y o ) 2 其忆r 一仃2 半( 2 3 ) 毛= 名= 2 + 2 + ( z p + 缈) 2 。 本机构动平台输出要求只有三个自由度，却对应着连接动、定两平台的四个驱动输 入，因此存在冗余，机构逆运动学存在无穷多组位置解。 一般地，并联机构位置正解难度较大，但由于本机构是三平动机构，位置正解可由 反解方程组通过代数结算求得。 当g = 0 时， ，一4 甭砰砑一0 2 ) + 彩( 6 2 + 毋+ 0 2 赠4 2 ) 名孵) 2 彬( 4 2 + 毋) 孑蜉_ f 5 2 ) 2 q & 玎 昂塑甓掣 l ； 弓- 2 才 当g 0 时， 乃：竺型i 萼票一4 c 0 2 c 0 2 22 2 ( 1 + 掌 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 式中彳：二生生：1 2 二哇b ：竺，c ：量：二刍：堑，f ：丝 2 0 -仃 2 9g 由式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 可知，位置正解存在两组解，即当各驱动输入的运动确定时， 动平台参考点会有两个不同位置。但由于运动的连续性，机构可确定唯一合适的解。 2 4 机构奇异性分析 奇异是许多机构会出现的不可避免的问题，不同的机构，其奇异位形也不相同。串 联机构的奇异问题较简单，一般只会发生于机构工作空间边界处，此时反映运动输入与 末端输出速度关系的雅克比矩阵会出现退化，在奇异点处，末端执行器的自由度将减少。 类似的，并联机构奇异性研究也是基于反映输入输出速度关系的雅克比矩阵，但由于并 1 4 硕士论文新型并联机床运动与控制的相关技术研究 联机构的构型比较复杂，通过多个运动链共同驱动，因此其奇异性问题也很复杂。 奇异位形是并联机构非常重要的运动学属性。机构正常运行时，实际自由度等于理 论自由度。当机构处于奇异位形时，机构实际的自由度就大于或小于理论自由度。当实 际自由度小于理论自由度时，机构会丧失该有的自由度，同时也会丧失某种功能；当实 际自由度大于理论自由度时，机构会获得额外自由度，这会导致机构发生失控。 奇异位形对机构刚度、运动灵活性、有效工作空间及稳定性等性能有一定影响。对 机构奇异的研究主要为确定具体的奇异位形和避免机构奇异的有效方式。研究方法主要 有代数法和几何法。代数法利用雅克比矩阵行列式分析奇异位形，当d e t (