（应用数学专业论文）粘性流的非线性动力性态.pdf

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1 4 ) ) ，妒属于l o o ( a q ) 以及在边界a q 上妒竹= 0 则方程( o o 1 ， 0 0 2 ) 相应于昂( 或相应于f = ( f ，夕) 冗( f o ) ) 存在一个一致吸引子凡。这个吸 引子在d ( a ) 中紧且一致相应于f 咒( 晶) ( 或f 心( 昂) ) 吸引7 - l 中有界集。 进一步，凡与方程( o o 1 ，o o 2 ) 的一致( 相应于f 咒u ( 局) ) 吸引子如。( f 0 ) 一 致，也就是说 凡= 如( f 0 ) = 如。( f 0 ) = 0 2 0 ，西。( f o ) ( 聩) =u 瓦f ( o ) ， f 乱( f o ) 这里b 1 是d ( a 1 4 ) 中一致( 相应于f u ( f o ) ，f 元( r ) ) 吸收集，i c f 是过 程 ( t ，丁) ) 的核。对于所有的f 咒u ( r ) ，核瓦f 是非空的。 在第一章第四节，我们关注二维齐次非自治微极流体。我们证明，当外力项在 函数空间三妒( r ；咒) 中平移有界时，方程( o o 4 ) 存在h 1 ( q ) 3 紧拉后吸引子。主 要结果如下： 定理o o 3设伽相应于咒是平移有界的，= p o ( t + 允) ；h r ) ，巩( p ) ：= p ( 亡+ ) ，且咖( t ，p ，乱( o ) ) = u ( t ) 是方程( 0 0 1 ) 的解。则相应于问题( 0 0 1 ) 的上循 环 ( ，p ，乱( o ) ) ) 在下面意义下有一个拉后吸引子a ： a 在空间y 中紧， 4 = t 4 ，p e = t c b ，p = 。 这里b 是一致吸收集，bc7 - 1 f jp 第二章，我们研究一类随机非牛顿流体在三维有界光滑区域p 中解的存在唯 一性和稳定性。这一流体由随机速度场u = ( u l ，u 2 ，u 3 ) 和随机标量压力丌描述为 功 以 烈 u 鼢n 嘶 如下随机初值边值问题： v 钆= 0 豢札v 让+ v 丌小丁( e ( 乱) ) = 邢州细、) - 挑- - & - ， u i a 。：0 ，钆= 。 u i t ：0 = 伽 i i i ( 0 0 3 ) 这里夕( t ，u ) 警是给定的随机外力项。毗定义为柱w i e n e r 过程，7 ( e ( u ) ) = ( ( e ( u ) ) ) 2 2 为关于速度场i t 的应力张量，它是流体运动的非牛顿描述， 砒( 乱) ) _ 2 胁+ i e l 2 ) i 叫2 e 巧唧，崛，铲吲乱) = 三( 筹+ 差) 在第二章第二节，基于应用i t 6 公式和b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式，我们 证明了随机非牛顿流体方程解的存在性和唯一性。结果如下： 定理0 0 4假设p 3 ，u o 上尸( q ，甄，p ；日) ，且 ，( ，0 ) 汐( q ，莎，p ；l 2 ( o ，t ；v 4 ) ) ，9 ( ，0 ) 护( q ，莎，p ；l 2 ( o ，f ；l h s ( u ；日) ) ) 则随机微分方程系统( 0 0 3 ) 存在一个唯一的解 u l 2 ( q ，莎，尸；l 2 ( o ，丁；y ) ) n 汐( q ，莎，p ；l ( o ，t ；日) ) 满足以下估计式 e8 u pi l u ( t ) l l 艺。+ e 石2 i l u ( s ) l l 移d 8 8 e o ，卅 o c e ( 1 l u o i l 呈。) + c e ( o tl i ，( s ，。) i i 移。d s ) 呈+ c e ( o ti l 夕( s ，。) i i 至h s ( u ；h ) d s ) 暑， 这里s u p 定义本质上确界，常数c 仅依赖于t ，p ，k ，o ，肋，卢1 和l i p s c h i t z 系 数c ，c g 在第二章第三节，我们研究随机非牛顿流体运动模型( 0 0 3 ) 的稳定性。主要 结果如下： 定理0 0 5 假设u o 。v 是( o 0 3 ) 的确定性方程( 或者说g = 0 ) 唯一的定态解。任 给p 2 ，如果 2 驴壳” 4 + 等k a 2 + 孺c + p 酉- 1 i v 且对于一些常数5 0 ，岛 0 e i b ( 亡，乱o o ) i 陉日s ( u ；日) 岛e 一& 则存在常数0 ( 0 ，6 ) ，使得对随机方程( 0 0 3 ) 的任何解u ( t ) 满足 e i i 乱( ) 一u o 。l 瞪：( e l i u 。一u o 。l 瞪。+ 两c ) e 一眦，v 亡o 其中常数c 0 仅依赖于岛，p 而且，还存在，y 0 ，随机时间7 - = 7 - ( 让o ，u ) 0 以及一个p ( f i ) = 1 的子 集壳莎，使得 i l u ( t ，u ) 一让。i i l ：e - 竹， v t 7 - ， v w q 定理0 0 6 任给p 2 ，假设存在正常数6 ，母，岛，使得 2 ”去+ 杀弓， e i g ( t ，o ) 1 1 2 日s ( u ；日) 岛e 一乳， e l l f ( t ，o l l ：。6 ，e 一乳 则随机方程( 0 0 3 ) 的任何解u ( t ) 在p 阶矩和几乎处处意义下均指数收敛于零。 关键词：微极流体；非牛顿流体；吸引子；非自治系统；随机微分方程；存在性；稳定 性；w i e n e r 过程；i t 5 积分 s u m m a r y i nt h es t u d yo fv i s c o u sf l u i dm o t i o n s ，h y d r o d y n a m i ct u r b u l e n c ei sw i d e l yr e g a r d e d a so n eo ft h em o s tf a s c i n a t i n gp r o b l e mo fn o n l i n e a rs c i e n c e s av a r i e t yo fm a t h e - m a t i c a lm o d e l sa n dt h e o r i e sh a v eb e e nd e v e l o p e dt oe l u c i d a t et h ep h e n o m e n o na n d m e c h a n i s m sr e l a t i n gt u r b u l e n c e a m o n gt h e m ，t h eg l o b a la t t r a c t o r so fv i s c o u sf l u i d f l o w sh a sn o wb e c o m eac r u c i a lt e c h n i q u ei nt h eu n d e r s t a n d i n go ft h et u r b u l e n c e m e ! c h a n i s m sb a s e do nt h eu n i v e r s a la t t r a c t i o n ，f l o wi n v a r i a n c ea n df i n i t ed i m e n s i o n p r o p e r t i e s o nt h eo t h e rh a n d ，f o r mt h ev i e w p o i n to fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，t u r b u l e n c e i sac o m b i n a t i o no fs l o wo s c i l l a t i n g ( d e t e r m i n i s t i c ) a n df a s to s c i l l a t i n g ( s t o c h a s t i c ) c o m p o n e n t s t h i si sa l s od e s c r i b e da saw h i t en o i s ep e r t u r b a t i o no fd e t e r m i n i s t i c f l u i df l o w s u n d e rt h i sp e r t u r b a t i o n ，ag o v e r n i n gf l u i dm o t i o ne q u a t i o ns y s t e mi s t r a n s f o r m e di n t oas t o c h a s t i cf l u i dm o t i o ne q u a t i o ns y s t e m t h es t u d yd e s c r i b e d i nt h ep r e s e n tt h e s i s c o n s i s t so ft w op a r t s t h ef i r s to n ed i s p l a y e di nc h a p t e r1 f o c l l s e so nt h ee x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t yo fg l o b a la t t r a c t o r so fad e t e r m i n i s t i cf l u i d m o t i o ne q u a t i o ns y s t e m ，w h e r e a st h es e c o n do n ei l l u s t r a t e di nc h a p t e r2i sd e v o t e d t ot h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo fas t o c h a s t i cf l u i df l o w t h ea p p r o a c ht o t h es t u d yi sd e v e l o p e df r o mt h et h e o r i e so nn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sa n ds t o c h a s t i c n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s 。 t h em a i nf i n d i n g so b t a i n e da r el i s t e da sf o l l o w s t h ef l u i dm o t i o ne q u a t i o ns y s t e md i s c u s s e di nc h a p t e r1i st h et w o - d i m e n s i o n a l m i c r o p o l a rf l u i dm o t i o nm o d e l v 口 裳钉一( z + a ) a v 一2 a v w + v t r + u v 口 晏加一t a w + 4 圪训一2 n v u + 秽v 叫 i nab o u n d e dd o m a i nq ( 0 0 4 ) i ti ss h o w n ，i ns e c t i o n1 2 ，t h a tt h ea u t o n o m o u sm i c r o p o l a rf l u i de q u a t i o n sa d m i t s ag l o b a la t t r a c t o r ，w h i c hi sc o m p a c ti nt h es p a c eh 2 ( q ) 3 m o r ep r e c i s e l y , w eo b t a i n t h et h e o r e m 、-，j 仉 9 2 t h e o r e m0 0 1 s u p p o s e a q t h e n ，f o rf = ( f ，g ) f o l l o w i n gs e n s e ： 冼8 qcr 2i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y 7 - l ，e q u a t i o n ( o 0 ，4 ) a d m i t sag l o b a la t t r a c t o rai nt h e 4i s c d 唧。c 。溉d ( a ) ，s ( 亡) 4 = 4 。钆d 些娶嚣吕妒i n a fl a s ( 亡) u o - a 妒i = o 扣ra n yb o u n d e ds e tbc ? - i ，p r o v i d e dt h a ts ( t ) u ( o ) = u ( t ) i st h es o l u t i o no f 徊0 彳7 i ns e c t i o n1 3 ，t h et w o - d i m e n s i o n a ln o n - a u t o n o m o u sm i c r o p o l a rf l u i df l o ws a t i s f y i n gt h en o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n v = 妒( z ) ，w = 0 o na q ( 0 0 5 ) i si n v e s t i g a t e d au n i f o r ma t t r a c t o ri nd ( a 1 4 1i sd e r i v e dw h e nt h ee x t e r n a lf u n c t i o n i sn o r m a li n 三妒( 足d ( a - 1 4 ) ) t h ea p p r o a c ht ot h i sr e s u l ti sd e v e l o p e df r o mt h e n o n - h o m o g e n e o u sa n a l y s i so fb r o w ne ta 1 1 9 a n dm i r a n v i l l ea n dw a n g s 8 ，t h e u n i f o r ma t t r a c t o rt e c h n i q u e so fl ue ta 1 8 1 a n dm ae ta 1 8 5 t h i sr e s u l ti ss t a t e d i nt h ef o l l o w i n g 。 t h e o r e m0 0 2 l e tt h ed o m a i nqb eb o u n d e d s i m p l yc o n n e c t e da n dl i p s c h i t z a s s u m et h a t r = ( ，g o ) l o r ( 冗；d ( a 一1 4 ) ) a n d 妒l o 。( a q ) w i t h 妒- 几i a q = 0 t h e ne q u a t i o n s ( o 0 4 ，o 0 5 ) w i t hr e s p e c tt ot h ee x t e r n a lf u n c t i o nf op o s s e s sau n i 一 ，d 彻f ，w i t hr e s p e c tt of = ( ，g ) 霄( 局) ) a t t r a c t o ra o ，w h i c hi sc o m p a c ti nd ( a 1 4 ) t h ea t t r a c t o r - ，4 0 碱m c 亡sb o u n d e ds e t si nhu n i f o r m l yw i t hr e s p e c tt of “( f o ) a n d f 冗。( f o ) m o r e o v e r , a oc o i n c i d e sw i t ht h eu n i f o 册细i t hr e s p e c tt of 7 - 1 u ( f o ) ) a t t r a c t o r 如。( f 0 ) o fe q u a t i o n sf d 0 名，d 0 纠，沈， a = 如( 厢) = 如。( f 0 ) = u 。，元。( f 0 ) ( 1 3 1 ) =u 咒f ( o ) ， f 袁。( f 0 ) w h e r e 召1i st h e 乱礼 r m l y ( w n t f 霄( 蜀) ，f 壳u ( 昂) ，) a b s o r b i n gs e ti nd ( a 1 4 ) a n d 瓦fi sk e r n e lo ft h ep r o c e s s u _ ( t ，7 ) ) m o r e o v e r , 瓦fi sn o n e m p t yi o r 口z zf 心( r ) i ti sd e r i v e d ，i ns e c t i o n1 4 ，t h a ta c o m p a c tp u l l b a c ka t t r a c t o ro ft h em i c r o p o l a r f l u i df l o wi nh 1 ( q ) 3e x i s t s ，w h e ni t se x t e r n a ld r i v e nf u n c t i o ni st r a n s l a t i o nb o u n d e d w i t hr e s p e c tt ol 2 ( a ) 3 s 【f m 2 互4 r y 3 t h e o r e m0 0 3l e tp ob et r a n s l a t i o nb o u n d e dw i t hr e s p e c tt o7 - 1 ，= 伽( 亡+ 危) ；h r ) ，以) ：= p ( 亡+ ) ，a n d ( ，p ，钆( o ) ) = u ( t ) b et h es o l u t i o no f 徊0 t h e n 忱e c o c y c l e ( 亡，p ，札( o ) ) ) c o r r e s p o n d i n gt op r o b l e m 徊0 纠a d m i t sap u l l b a c ka t t r a c t o ra 溉搋ef o l l o w i n gs e n s e ： ai sc o m p a c ti nv 4 = 4 ) p = a n d e i i g ( t ，让o 。) 1 1 2 日s ( 【，；日) 岛e 酏f o rs o m e5 0 ，毛 0 h o l dt r u e1 0 r 吼l o 甲t h ek i n e t i cv i s c o s i t yc o e f f i c i e n to f ( o 0 6 ) t h e nt h e r ee x i s t sa c o n s t a n t0 ( 0 ，5 ) s u c ht h a t e l l 戡( 亡) 一嵫( e l i 珏。一让嵫+ 而c ) e 础，v t _ 0 ， a n dt h e r ee x i s tac o n s t a n t7 0 ，ar a n d o mt i m e7 - = 7 - ( 咖，u ) 0a n das u b s e t q 罗w i t h 尸( q ) ：1s u c ht h a t 让( 亡，u ) 一钆o o i f l 2 e - ， v t 7 - ， v 叫q 如ra n ys o l u t i o nu ( t )o ( 0 0 6 ) t h e o r e m0 0 6 l e tp 2 ， 2 ”去+ 杀弓， e i l g ( t ，o ) t 1 7 , h s ( u ；日) 岛e 一酏， e i i f ( t ，o 协5 y e “。， 如rs o m ec o n s t a n t5 0 ，毛 0 ，a n d l 钾s o m ec o n s t a n t 琶f 0 t h e na n ys o l u t i o nu ( t 、o f ( o 。0 。6 ) c o n v e r g e st oz e r oe x p o n e n t i a l l yi np t hm e a na n d p a t h w i s ea l m o s ts u r e l y c h a p t e r1 m i c r o p o l a rf l u i df l o w s 1 1i n t r o d u c t i o n m i c r o p o l a rf l u i dm o t i o nm o d e l ，i n t r o d u c e db ye r i n g e n 5 5 ，5 6 】，e x h i b i t sac l a s so f f l u i dm o t i o n si n v o l v i n gc e r t a i nm i c r o s c o p i ce f f e c t sa r i s i n gf r o mt h el o c a ls t r u c t u r ea n d m i c r o - r o t a t i o no ft h ef l u i de l e m e n t s p h y s i c a l l y , t h e yr e p r e s e n tc e r t a i n a n i s o t r o p i cf l u - i d sc o n s i s t i n go fo r i e n t e dp a r t i c l e ss u s p e n d e di nav i s c o u s m e d i u m ，e g ，a n i m a lb l o o d s ， e x o t i cl u b r i c a n t sl i q u i dc r y s t a l se t c ( s e el u k a s z e w i c z 8 2 ) t h et h r e e d i m e n s i o n a l m a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h ei n c o m p r e s s i b l e ( 4 1 5 ，6 9 ，6 1 0 ) ) i se x p r e s s e da s m i c r o p o l a rf l u i dm o t i o n ( s e ef 5 6 ，e q s v 秽= a u 一( z + 圪) 秽一2 a v w + v t r + v v v = b 凹一t a w 一( q + z ) v v w + 4 9 w 一2 n v v + v v w = ( 1 1 1 ) t h i sm o t i o ni sd e s c r i b e db yt h eu n k n o w n v e l o c i t yv e c t o rf i e l dv ，t h es c a l a rp r e s s u r e f i e l dma n dg y r a t i o nv e c t o rf i e l dwf o rg i v e ne x t e r n a lb o d y f o r c e a n de x t e r n a lb o d y m o m e n tg t h et w o - d i m e n s i o n a lm a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h ei n c o m p r e s s i b l em i c r o p o l a rf l u i d m o t i o nd e f i n e db yv e l o c i t yv e c t o rf i e l dv = ( v l ，v 2 ) ，p r e s s u r es c a l a rf i e l d7 ra n dm i c r o - r o t a t i o ns c a l a rf i e l dwi sd e s c r i b e da s 5 、-、，-一、 n ， 9 6( 硝r a p t e rlm i c r o p o l a rf l 研df l o w s ( 1 1 2 ) w h e r e 厂= ( ，f 2 ) d e n o t e sag i v e ne x t e r n a lb o d yf o r c ea n dgr e p r e s e n t sag i v e n e x t e r n a ls c a l a rb o d ye l e m e n t ， 0i st h en e w t o n i a nk i n e t i cv i s c o s i t ya n d 仡0a n d 1 0a r eg y r a t i o nv i s c o s i t yc o e f f i c i e n t s h e r e vx v = 豢一差， 0 茁、o z 。 vx w = ( 丝o x 2 ，名) f o rs i m p l i c i t y , l e tt h ee x t e r n a lv e c t o rf i e l df = ( f ，g ) = ( ，厶，g ) l e tu sm e n t i o nt h a ti fk=0a n d 切= 0t h em i c r o p l o a rf l u i dm o t i o ne q u a t i o n ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 2 ) b e c o m et h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ( s e e ，f o re x a m p l e ， 2 0 ，3 7 ，3 8 ， 3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，6 1 ，6 4 ，7 5 ，7 7 ，7 8 ，1 0 3 】a n dr e f e r e n c e st h e r e i nf o rt h em a t h e m a t i c a l a n a l y s i so ft h i se q u a t i o n s ) m a t h e m a t i c a lt h e o r yo fm i c r o p o l a rf l u i df l o w sh a sn o we x t e n s i v e l ys t u d i e d f o r e x a m p l e ，o n em a yc o n s u l tw i t h 3 6 ，4 7 ，5 4 ，6 3 ，7 6 ，8 2 ，9 0 ，9 l ，9 2 ，9 5 ，9 6 ，9 7 f o r e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t yo fs o l u t i o n s f o rt h et w o - d i m e n s i o n a lp r o b l e m w i t ha u t o n o m o u ss i t u a t i o nf = f ( x ) ，t h ee x i s t e n c eo fal 2g l o b a la t t r a c t o ro f ( 1 1 2 ) w i t ht h eb o u n d e dd o m i a nqh a sb e e no b t a i n e db yb o u k r o u c h ea n dl u k a s z e w i c zf 1 5 1 a n dl u k a s z e w i c z s 3 d o n ga n dc h e n 5 3 1o b t a i n e dt h ee x i s t e n c eo fa nl 2g l o b a l a t t r a c t o ri na nu n b o u n d e dd o m a i n o nt h eo t h e rh a n d ，f o rt h en o n - a u t o n o m o u s m i c r o p o l a rf l u i de q u a t i o n s ，o n em a yc o n s u l tl u k a s z e w i c za n ds a d o w s l 【if 8 4 1f o rt h e e x i s t e n c eo fa nl 2u n i f o r ma t t r a c t o rw i t ht h et r a n s l a t i o nc o m p a c ta s s u m p t i o no nt h e f u n c t i o nf l 铲( 冗；咒) t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c eo fa t t r a c t o r so ft h em i c r o p o l a rf l u i df l o w ( 1 1 2 ) s e c t i o n1 2f o c u s e so nt h et w o - d i m e n s i o n a la u t o n o m o u sm i c r o p o l a rf l u i df l o w b o u n d e db yh a r dw a l l s t h ee x i s t e n c eo fa nl 2g l o b a la t t r a c t o ro ft h es y s t e m ( 1 1 2 ) i nab o u n d e dd o m a i nh a sb e e no b t a i n e di n 1 5 ，8 3 1 i ti sp u r p o s e so ft h i ss e c t i o nt o p r o v et h ee x i s t e n c eo fa l lh 2g l o b a la t t r a c t o rb a s e do nm e a s u r i n gn o n c o m p a c t n e s s a r g u m e n to fm ae ta 1 8 5 1 t h i sr e s u l ti m p l i e st h a tt h el 2g l o b a la t t r a c t o rd e r i v e d i n 1 5 ，8 3 1i sc o m p a c ti nt h e 日2s p a c e i ns e c t i o n1 3 ，t w o - d i m e n s i o n a ln o n - a u t o n o m o u sm i c r o p o l a rf l u i df l o w si nal i p - s c h i t zb o u n d e dd o m a i nqw i t hn o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n si si n v e s t i g a t e d t h em a i no b j e c t i v eo ft h i ss e c t i o ni st os h o wt h ee x i s t e n c eo fad ( a 1 4 、u n i f o r ma t t r a c t o ro f ( 1 1 2 ) s u b j e c t e dt ot h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ： 可 可 w 胁 协 【亨 仃 u 勖 灿 【耋 ， 弘 k 刚 2 蚺： m 啦恤 工】州z r o d u ct 的n ( i )qi sas i m p l yc o n n e c t e dl i p s c h i t zd o m a i n ； ( i i ) v = 妒( z ) ， u = 0o na q ； ( i i i ) ( i v ) 7 t h ef u n c t i o n 妒f r o mt h en o n - h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n ( i i ) i si nt h ec l a s s 妒l o o ( a q ) ，妒n = 0o na q f o r 死t h eo u t w a r du n i tn o r m a lt oa q ； t h et i m ed e p e n d e n te x t e r n a lf u n c t i o nf = f ( t ，z ) s a t i s f i e st h en o r m a lc o n d i t i o n f 三；卵( 兄；9 ( a 一1 4 ) ) ， w h i c hi sd e f i n e di nd e f i n i t i o n1 3 1 i ts h o u l db en o t e dt h a tt h em a i nr e s u l to ft h i ss e c t i o ni sn o tc o m p a t i b l ew i t h 8 4 ，w h i c hd e a l sw i t hn o n a u t o n o m o u sm i c r o p o l a rm o t i o ni na nu n b o u n d e dd o m a i n ， a l t h o u g hw es h o wt h ee x i s t e n c eo ft h ea t t r a c t o ra 0cd ( a 1 4 1c7 - 1 u n d e rt h e c o n d i t i o nf l 呈卯( 冗；d ( a 一1 4 ) ) t h i sn o n - a u t o n o m o u sa n dn o n - h o m o g e n e o u sp r o b l e mi se x a m i n e di nt h ef r a m e - w o r ko ff 4 4 ，4 5 ，4 6 1 h o w e v e r ，t h ea p p r o a c ho f 【4 4 ，4 5 ，4 6 ，b a s e do nt r a n s l a t i o n c o m p a c tf u n c t i o na s s u m p t i o n 。i sn o ta p p l i c a b l et ot h ep r e s e n ts t u d yu n d e rt h en o r - m a lc o n d i t i o na s s u m p t i o nf 呈钟( 冗；d ( a - 1 4 ) ) m o r e o v e r ，d u et ot h ea s s u m p t i o n f 咒u ( f 0 ) ，t h eu n i f o r ma t t r a c t o rd e r i v e di n 【4 4 ，4 5 ，4 6 i si naw e a k e rs e n s ec o m - p a r i n gw i t ht h ea t t r a c t o r so b t a i n e di nt h i ss e c t i o n t h em a i nr e s u l to ft h i ss e c t i o ni sd e r i v e dt h r o u g hac o m b i n a t i o no ft h en o n - h o m o g e n e o u sa n a l y s i s 1 9 ，s s ，au