（材料加工工程专业论文）中厚钢板弯曲成形及冷却过程的热耦合分析.pdf

重庆大学硬士学位论文 中文摘蒙 摘要 在汽率、拖挝机、机车车辆制造以及化学与锅炉设备翩造部门里，薪中厚镉 扳采用弯躲方法制成的零 牛占有较大的比蓬。在实际工作中，常将厚度在5 毫米 2 0 毫米的钢板称为中厚钢板，其弯曲工芑在高温下进行；警车闻设备嚏镪不足时， 甚至对于鞍薄的掇料( 3 5 舳) 利用吨位较小的压机工作时也强高温下进行；税 加工含铬蹲特种镄的零件瞎，如采在常海下加工会产生强烈的硬纯、麓形及裂纹， 故也在高温下进杼。 板料热弯鞠成形后，零侔冷却至室海过程串，其冷收缩由两部分组成：瓣浮 方向上的收缩a t 与径向收缩r 。t 可按常规方法计入收缩率来获得，而r 若 羧常规方法计算收缩量r 嗦岔，涮实际络采往往与该傻蠢较大麓潮并可熊使模瑟 报废。 冷却过程中钓不臻勾冷却弓l 怒应力秽变形祆蕊导致嚣点的彀缩量不鬻，这怒 引起收缩的内在因素。而影响冷却不均匀的原因很多，农采用同一种冷却方式的 蘸捷下，诸螽零 夸冷帮懿静形状、表瑟餍鲎、冷帮嚣虢滋度等瑟弯鏊 宰静交形产 生不同獠度的影响。为了得出中厚钢板弯曲件在冷却过程中所产生的收缩量，为 模兵掺歪提供舍遴懿掺模羧据，露必要分耩萁在冷颦蓬纛孛枝缩弱霞箨。 本文以理论分析及有限元数值模拟棚结合的方式，对中厚钢板弯曲成形过穰 及冷帮逡疆率影餐| | 受缭懿主要嚣索遂霞了系统戆分凝，莽在魏蘩旗上餐蹬了这黢 网索影响收缩的规律。最后利用最小二乘法对模拟结果进行曲线拟舍得出收缩凝 与影翡嚣爨之阂懿丞数关系，绘辫了数学表述式。 为了针对相_ 陂的收缩量进行合理的模具修正，本文以钢板热弯冷却过程中商 戮元节熹麓谴移多乏量关系必蔹摆攥导了模其骖委螽其型黉蘧线囊孽邋数关系，鬏撂 该函数关系可方便地设计出相应的弯曲模具。 峦予影昀竣缚豹因素较多，攘瘟豹瀵数关系装较是繁琰，焱实际生产瑰场蔽 用十分不便，故将之进行编程制成软件以方便使用和参考。 关键词：中厚板，弯曲，冷却，热耦合，数值模拟 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t i n 也em a n u f a c t u r eo fa u t o m o b i l e 、t r a c t o r 、l o c o m o t i v e 、c h e m i s t r ya n db o i l e r i n s t a l l a t i o n ，t h ep a r tb yb e n d i n gp l a t em a t e r i a lh a v eal a r g ep r o p o r t i o n u s u a l l y , f o rt h e s h e e tm a t e r i a lw h i c ht h i c k n e s si sb e t w e e n5a n d2 0 衄t h eb e n d i n gt e c h n i q u eo fi ti s m a d eu n d e rh i g ht e m p e r a t u r e ；w h e nt h ec a p a b i l i t yo fs h o pe q u i p m e n tb en o te n o u g h , e v e ni ft h eb e n d i n go ft h i ns h e e tm a t e r i a li sc a r r i e do u tu n d e rh i g ht e m p e r a t u r et o o ；i n a d d i t i o n , t h ei n t e n s ec o l dw o r kh a r d e n i n g 、w a r pa n df l a wc a nb ec a l r l ei n t ob e i n gw h e n t h e s h a p i n go ft h es p e c i a ls t e e l t h a tc o n t a i nc h r o m i u mb em a d eu n d e rl o o m t e m p e r a t u r e ，s ot h ep r o c e s sb em a d eu n d e rh i g ht e m p e r a t u r e t h et h e r m a lc o n t r a c t i o ni sm a d eo f t w op a r t ：o n ei st h ea tw h i c hi si i lt h ed i r e c t i o n o f t h i c k n e s s a n o t h e ri st h ea rw h i c hi si l lt h ed i r e c t i o no f r a d i a ld i r e c t i o n t h ea tc a n b ea c q u i r e db yr e c k o n n i n gi nt h et h e r m a lc o n t r a c t i o nr a t i o h o w e v e r , t h ea r eas t r i k i n g d i s s i m i l a r i t yb e t w e e nt h e a ra n dt h er e a lv a l u ea n di n d u c et h em o l dd i s a b l e m e n t t h et h e r m a ls t r e s sa n dt h e r m a ld e f o r mw h i c hb eb r o u g h tu pb yt h eh e t e r o g e n e o u s c o o l i n gi n d u c et h ed i f f e r e n te x p a n s i o no ne a c hp o i n t ，w h i c hi st h ei n t r i n s i cf a c t o ro f t h e r m a lc o n t r a c t i o n t h e r ea r em a n yf a c t o rw h i c hi n f l u e n c eo nh o m o g e n e o u s n e s sd u r i n g c o o l i n g o nt h ep r e m i s eo f s a m et y p eo f c o o l i n g ，t h es h a p e 、s u r f a c eq u a l i t y 、t e m p e r a t u r e o ft h ep a r ti s a l li n f l u e n c eo nt h et h e r m a ld e f o r m i no r d e rt oa c q u i r et h et h e r m a l c o n t r a c t i o nv a l u eo ft h ep l a t ed u r i n gc o o l i n ga n do f f e rt h ep r o p e rv a l u ef o rm o d i f y i n g m o l d , t h er u l eo f t h e r m a lc o n t r a c t i o nh a v et ob ea n a l y z e dd u r i n gc o o l i n g b a s e do nc o m b i n a t i o no fs i m u l a t i o na n a l y s i sw i t hf e ms o f t w a r ea n dt h e o r e t i c a l r e s e a r c h ，t h i sp a p e rc o m p l e t e l yh a v ea n a l y z e dt h em a j o rf a c t o rw h i c hi n f l u e n c eo nt h e t h e r m a lc o n t r a c t i o nd u r i n gb e n d i n ga n dc o o l i n go fp l a t ea n de d u c e dt h er u l eb e t w e e n t h e s ef a c t o r sa n dt h e r m a lc o n t r a c f i o r l f i n a l l y , t h em a t h e m a t i c a le x p r e s s i o nb eg i v e no u t b yc u r v ef i t t i n gt h es i m u l a t i o nr e s u l tb a s eo nt h ep o l y n o m i a ll e a s ts q u a r em e t h o d i no r d e rt om o d i f ym o l dp r o p e r l yd e p e n d i n go nt h et h e r m a lc o n t r a c t i o n , t h i sp a p e r h a v ed e d u c e dt h ep r o f i l ec u r v ef u n c t i o no ft h em o l d a c c o r d i n ga st h ed i s p l a c e m e n t v e c t o rr e l a t i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tn o d ed u r i n gt h ep l a t eb e n d i n ga n dc o o l i n g t h e b e n d i n gm o l dc a l lb ed e s i g n e de a s i l ya n de x a c t l y t h ea r em a n yf a c t o rw h i c ha f f e c tt h et h e r m a lc o n t r a c t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n g 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 f u n c t i o nr e l a t i o na l ei n t r i c a t e i no r d e rt ou s ee a s i l y , t h i sp a p e rh a v ed e v e l o p e ds o f t w a r e b yw a yo f p r o g r a m m i n gw i t ht h e s ef u n c d o r l k e y w o r d s ：m e d i u ms t e e lp l a t e ，b e n d i n g , c o o l i n g ，t h e r m o - e o u p l e d ， n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 1 绪论 1 1 引言 在汽车、拖拉机、机车车辆制造以及化学与锅炉设备制造部门里，由中厚钢 板采用弯曲方法制成的零件占有较大的比重。在实际工作中，常将厚度在5 毫米 2 0 毫米的钢板称为中厚钢板，其弯曲工艺在高温下进行；当车间设备吨位不足时， 甚至对于较薄的板料( 3 5 珊) 利用吨位较小的压机工作时也在高温下进行：在 加工含铬等特种钢的零件时，如果在常温下加工会产生强烈的硬化、翘形及裂纹， 故也在高温下进行。 板料热弯曲成形后，零件冷却至室温过程中，其收缩由两部分组成：料厚方 向上的收缩t 与径向收缩a r 。t 可按常规方法计入收缩率来获得，而a r 若按 常规方法计算收缩量r - i 承o ，则实际结果往往与该值有较大差别并可能使模具报 废。为了在室温下得到与设计尺寸相符的弯曲件，在模具设计时应考虑到这一特 点，预先根据其收缩特性对模具尺寸进行调整，这样成形零件经过收缩后冷却至 室温下刚好得到所要求的尺寸。 中厚钢板弯曲件冷却过程中，由于模具已经卸载，故不存在外载荷。冷却过 程中的不均匀冷却引起应力和变形从而导致各点的收缩量不同，这是引起收缩的 内在因素。而影响冷却不均匀的原因很多，在采用同一种冷却方式的前提下，诸 如零件冷却前的形状、表面质量、冷却前的温度等对弯曲件的变形产生不同程度 的影响。为了得出中厚钢板弯曲件在冷却过程中所产生的收缩量，为模具修正提 供合理的修模数据，有必要分析其在冷却过程中收缩的规律。 影响收缩的因素有材料厚度、弯曲半径、弯曲角、成形温度、冷却方式等。 要得出这些因素对收缩的综合影响规律，需要将每个影响因素当作自变量分别取 值，每个自变量至少需要取3 5 个不同的值进行模拟，才能看出其变化趋势。实 际生产中，弯曲件成形后的冷却方式通常采用在空气中自然冷却，故只需考虑料 厚、弯曲半径、弯曲角、成形温度四个影响因素，而每个影响因素取5 个不同值， 则需要进行5 4 = 6 2 5 次模拟。由此可看出，采用物理实验的方法将耗费大量的人力、 物力，所需要的实验成本和时间也是巨大的。 近年来，有限元的数值模拟方法日趋成熟并在实际生产中得到成功的应用， 其预测问题的准确度足够满足所需的精度要求。本课题采用数值模拟技术对影响 中厚钢板弯曲成形及冷却过程的主要因素进行热力耦合有限元分析。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 2 研究目的、内容及方法 本课题采用成熟的商业化有限元数值模拟软件对中厚钢板热弯曲成形过程及 冷却过程进行热力耦合模拟分析，得出影响中厚钢板弯曲件收缩的主要因素对收 缩的影响规律并总结成公式；并为了生产实际中应用方便，将之开发为实用的软 件。 在锻造过程的有限元数值模拟中，常采用刚塑性有限元，忽略成形过程的温 度变化，将锻造过程假设为等温过程。这种方法由于不计温度变化，所以计算量 相对较小，计算速度较快。本课题中，由于成形终了时的热应力状态和温度分布 是导致冷却过程中弯曲件产生变形的主要内在因素，所以不能将弯曲成形过程简 单地视为等温成形过程，而必须考虑传热与应力、应变的的相互作用关系，进行 热力耦合分析。 对弯曲件的冷却过程进行有限元分析时，因刚( 粘) 塑性有限元忽略弹性变 形，无法计算残余应力，所以对这一过程进行分析时应该采用弹塑性有限元方法。 考虑到传热、应力、应变相互之间复杂的作用关系，在弹塑性有限元理论基础上 通过热力耦合分析将温度引入弹塑性本构关系，在此基础上发展起来的有限元理 论即热弹塑性有限元。由于热弹塑性有限元在解决高度非线性热弹塑性问题的有 效性，已成为一种目前很受重视的塑性成形有限技术。 对钢板弯曲成形及冷却过程进行数值模拟完毕后，对比冷却前后的弯曲件外 形即可看出冷却过程的变形，测量其变形量即得其收缩量。为了寻求收缩量与影 响因素之间的规律，分别对影响因素取不同的值进行数值模拟，测得各个不同条 件下的收缩量，然后利用最d - - 乘法对模拟结果进行曲线拟合得出收缩量与影响 因素之间的函数关系。 由于得出的函数关系较为繁琐，在实际生产现场应用十分不便，故将之进行 编程制成软件以方便使用和参考。 本课题中，有限元模拟软件采用的是美国s f t c 公司的d e f o r m 软件，对模拟 结果运用最d , - - 乘法进行数学处理时使用了m a t l a b 软件，最后使用c + + 语言对得 出的收缩量与影响因素之间的函数关系进行了软件开发。 1 - 3 研究意义 目前国内对于有限元技术的应用主要有以下几种方式：直接购买成熟的商业 化有限元数值模拟软件，如s f t c d e f o r m ，m s c s u p e r f o r m 以及m s c s u p e r f o r g e 等；以上述商业化软件为平台针对具体问题进行二次开发；自行开发自主知识产 权的有限元软件。据有关数据显示，中国的企业9 0 为中小型企业。众多的中小 型企业难以承受十分昂贵的国外商业化软件，如d e f o r m 售价为5 万美元( 约合人 2 重庆大学硕士学位论文 l 绪论 民币4 0 万左右) 。而自行开发有限元软件是一个十分浩大的工程，并且国内的技 术力量难以达到实用的水平。 本课题研究的弯曲件属于防护盾产品系列，其产品具有相似性。对于此类问 题，可由第三方采用由数值模拟代替大量的物理实验得出规律，然后根据此类规 律指导生产。本课题较详尽地总结了影响中厚钢板弯曲成形及冷却过程的规律， 能够准确地预测及补正对弯曲件尺寸精度产生影响的收缩量，为此后其它类似问 题的解决提供了一种研究和解决方法，有很重要的意义。 1 4 本文的主要贡献 本文的主要贡献如下： ( 1 ) 对弯曲件的成形过程运用刚粘塑性有限元热力耦合技术进行数值模拟，而 对其冷却过程采用热弹塑性有限元技术进行数值模拟，将二者成功地结合起来得 到实际结论。 ( 2 ) 影响中厚钢板弯曲件尺寸精度的主要因素是收缩，本文总结了影响其收缩 的几个主要因素：材料厚度、弯曲角度、弯曲半径及成形温度与收缩量之间的规 律，成功地指导了实际生产。 ( 3 ) 在本文的最后，根据得出的影响因素与收缩量之间的规律性公式编制了软 件，由给出的弯曲角度、弯曲半径及成形温度等自变量因素即时给出相应的收缩 量供查询，同时给出修模时模具型面的曲线，根据该曲线可直接设计出模具。 重庆大学硕士学位论文 2 刚粘塑性有限元理论简介 2 刚粘塑性有限元理论简介 2 1 概述 基于变分原理的刚塑性有限元法是由l e e 和k o b a y a s h i 于1 9 7 3 年提出并应用 于金属塑性加工工艺分析的，该方法用l a g r a n g e 乘子技术施加不可压缩条件。这 种方法计算时每步的增量步长可以取得较大，但对于每次增量变形来说，材料仍 处于小变形状态，下一步计算是在材料以前的累加变形几何形状和硬化特性基础 上进行的，因此可以用小变形的计算方法来处理大变形问题，并且计算模型也比 较简单。因为体积成形中的塑性变形量远远大于弹性变形量，故可采用刚塑性理 论进行分析。 刚塑性有限元法通常只适用于冷加工，对于热加工( 再结晶温度以上) ，应变 速率对流动应力有明显的影响，速率越高，流动应力越高，呈现出一种粘性特征。 此时，材料的应变硬化效应不显著，而对变形速度有较大的敏感性，因此必须考 虑其与时间相关的特性，相应地发展了刚粘塑性有限元法。o c z i e n k i e w i c z 等 把热加工时的金属流动视为非线性n e w t o n 型不可压缩粘性流体，导出了刚粘塑性 有限元列式，s k o b a y a s h i 在刚粘塑性材料变分原理的基础上，也导出了类似的 刚粘塑性有限元列式。目前刚粘塑性有限元法是国内外公认的分析金属塑性成形 问题最先进的方法之一，广泛使用的有p e r z y a n 及c r i s t e s c u 的粘塑性理论。 高温条件下，材料的特性不仅与变形速率有关，还受温度的影响。在一定温 度下，材料的塑性变形伴随着相变，而物质晶粒结构的改变也影响材料变形特性。 热加工过程中存在热传导现象，如果模具的温度比工件低得多，工件则向模具传 热、向环境中辐射和对流耗热，将在变形工件内形成较大的温度梯度。所以，在 热压力加工模拟中考虑温度及其变化的影响十分必要，应把变形流动与热传导的 计算结合进行，即热粘塑性耦合分析。 2 2 基本假设与基本模型 为便于数学上的处理，在采用刚粘塑性有限元对金属大变形塑性问题进行数 值模拟时，有必要作出某些假设和近似。此时，材料满足如下基本假设： ( 1 ) 不计材料的弹性变形； ( 2 ) 不考虑材料的体积力与惯性力的影响； ( 3 ) 材料是均质各向同性体； ( 4 ) 材料的变形服从l e v y - - m i s e s 流动理论； ( 5 ) 材料体积不可压缩； 重庆大学硕士学位论文2 刚粘塑性有限元理论简介 ( 6 ) 加载条件给出刚性区与塑性区的界限。 粘塑性基本模型由粘性元件和塑性元件并联而成，具有两元件应变相等及应 力为二者之和两个特点。方程为： j 仃= 仃，+ 叠( 盯盯。) ls = 0 i 仃仃。) 这说明粘塑性材料仅在一定的载荷下才出现显著的流动，流动的速度取决于 介质的粘性和所加载荷的大小。 2 3 基本方程 ( 1 ) 平衡微分方程 6 n i l 0 ( 2 ) 几何方程( 速度应变速率关系) =去(+ujsiju j , i )2 i 【+j ( 3 ) 本构关系 岛2 a 仃f 五：三三 2d 她= 辱薪为等效蜿享= 厮为等效酸麟 ( 4 ) 屈服准则 鼍o j f _ j = 叠 式中，七：宰，对于理想刚塑性材料，丘：常数。 、，3 ( 5 ) 体积不可压缩条件 ，= f 岛= 毫1 + 屯+ i 3 3 = 0 ( 6 ) 边界条件 在表面s 。上的应力边界条件为： g i j n j 2 e 在表面墨上的速度边界条件为： u = 耳 式中，u i 为物体表面上点的速度向量u ；q 为应力边界品的外法线向量；珥为速 度边界s 上给定的速度向量；丘为应力边界品上给定的分布力向量。 重筮型兰墼塑堕塞 ! ! ! 垫望丝查里垂里鲨堕坌 2 4 刚粘塑性本构关系 以下讨论中，岛为对胃略去上标所得。 0 c z i e n k i e w i z e 忽略了弹粘塑性材料的弹性变形，并将材料看作非牛顿流体， 提出的粘塑性本构方程。将屈服函数表示为： f = 甄一6s 弹 五 瓦2 而 ( 2 1 ) 假设在应力空间中，屈服曲面f = o 是正则的，没有奇异点和是外凸的，粘塑 性应变速率与瞬时应力之间存在下列关系： 岛叫( ( f ) ) 尝 ( 2 2 ) 其中y = y 。k 为材料粘性常数，函数驴( f ) 的具体形式可由材料动载荷作用下 金属特性试验结果确定： = 篙 将( 2 1 ) 代入到( 2 2 ) 中得 岛叫p 佤飞砉s 粘性流体的本构方程为： 1 白2 五岛 ( 2 4 ) 对比式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 得 去2 差幢) 飞) i ( 2 4 ) 两边自乘得 皤u 2 去s 晶= 去j 2 则 压= 孔瓴) 将上式代入到式( 2 5 ) 得 毛= r 。如佤) 一仃。) 取函数为幂函数，则刚粘塑性的本构关系可写为： 弓叫( 恒飞y ) 差s 重庆大学硕士学位论文 2 刚粘塑性有限元理论简介 由于等效应力厅与变形程度、应变率、 未找出严格的函数表达式，在金属成形中， 塑性模型和r o s s e r d 模型： ( 1 ) 过应力模型 温度、材料性质等因素相关，目前尚 通常采用过应力模型、b a c k o f e n 拟粘 豇悯心门 式中，叫三1 是超过静屈服应力y 的应力部分；n ，r 为材料常数，由试验确定。 lr 过应力模型可用于速度较高的各种温度下的成形过程分析。 ( 2 ) b a c k o f e n 拟粘塑性模型 彳：毒” 式中c ，m 为材料常数。此模型适用于金属高温成形。 ( 3 ) r o s s e r d 模型 亏= k 暮。言n 式中m 、n 、k 均为材料常数。此模型适用于室温及再结晶温度下的成形工艺分析， 但不能忽略应变硬化的影响。 另外，p e r z y n a 根据等向强化的m i s e s 屈服条件，也推导出了粘塑性本构方程， 它与o c z i e n k i e w i z e 实质上是一致的，只是屈服函数所取的形式有所区别。 2 5 刚粘塑。陛有限元变分原理m a r k o v 变分原理 刚粘塑性材料的变分原理是刚粘塑性有限元法求解的理论基础，它根据能量 泛函取驻值时确定的真实速度场求解场变量。 刚粘塑性材料变形的边值问题可以描述如下：设在准静态变形的某一阶段， 物体的形状、温度、材料参数等的瞬时值已经确定，在表面s ，上给定速度v 9 ，另 一部分表面舅上给定表面力t o ，则应力场和速度场的解满足平衡方程、协调方程 以及体积不变方程。解此边值问题，可利用h i l l 提出的关于粘塑性材料的变分原 理。按h i l l 的理论，若仃：是量i i 的单值函数，并且满足 型：型 8 i h 8 e 。j 则一定存在一个关于窖i 的函数e ，使得 a e 2 两 式中函数e ( g ；j 1 称为功函数，它可按下式计算： e ( 南) = f 饿f = r 云詹 ( 2 6 ) 7 重庆大学硕士学位论文2 刚粘塑性有限元理论简介 h i l l 已经证明，若满足条件 e ( + ) 一e ( ! ) ( i ；一i d ) 景 ( 2 7 ) 。一u 则此功函数e 必是外凸函数。当忽略体积力时，下述关系成立，即 l e ( i ) d y 一r ，d s l e 嬉) d y l r 卿s ( 2 8 ) 式中，和v 为应变率和速度场的真实解，带“”号者是容许值。 那么，根据变分原理，问题的求解就是求泛函 丌= ie 嬉) d v i 。t 1v d s ( 2 9 ) rr 一 相对于容许速度场的极小值，即条件占巧= o 所得到的速度场必为问题的真解，同时 速度场满足体积不可压缩条件。 2 6 刚粘塑性有限元求解列式 在选择初始的运动学许可的速度场时，速度边界条件容易满足，而体积不可 压缩条件则难以满足。对于体积不可压缩条件，常见的处理方法有l a g r a n g e 乘子 法、罚函数法和体积可压缩法： ( 1 ) l a g r a n g e 乘子法是用附加的l a g r a n g e 乘子a ，将体积不可压缩条件引入泛 函式( 2 9 ) ， 乘子a 即为静水压力o - 。，从而可进一步利用本构方程很方便地求出 应力分布。但在求解时，每一单元都要取一个l a g r a n g e 乘子a 作为未知数，使方 程数目增加，导致计算时间加长。 ( 2 ) 罚函数法对于三维问题一共有3 n 个未知数和3 n 个方程( n 为节点总数) ， 比l a g r a n g e 乘子法少m 个方程和m 个未知数( m 为单元总数) ，因此可节省内存 和提高计算效率。此外，该法收敛快。罚函数法中的惩罚因子a 是一个很大的正 数，它的取值是否合适直接影响到收敛速度。一般地，一个大的正值a 可以保证 体积应变率接近于零，但a 太大，会使收敛困难；而a 太小又会产生不能接受的体 积损失。一般地，可以将体积应变速率限制在平均等效应变速率的0 0 0 0 1 0 0 0 1 倍之内，对应的a 应取1 0 5 1 0 7 。罚函数法只能求得应力偏量仃：，无法求得平 均应力a 。，但可以证明：平均应力盯。= a i ，。 ( 3 ) 材料体积可压缩法考虑了平均应力仃。对体积变化率的影响，因而比较适合 于多孔的可压缩材料。 本课题所用的d e f o r m 模拟分析软件，其模拟处理器的主程序应用的迭代方 法为l a g r a n g e 迭代，在模拟的前处理器中所选用的应力模型是过应力模型，因此 下面主要推导基于l a g r a n g e 乘子法和过应力模型的刚粘塑性有限元列式。 采用m a r k o v 变分原理求解塑性变形物体内部真实速度场问题，就是求解一个 重庆大学硕士学位论文2 刚粘塑性有限元理论简介 带有约束( 体积不可压缩) 条件的泛函的最小值问题。实际求解过程中，要选择 一个即满足速度边界条件、又满足体积不可压缩条件的速度场是很困难的，而仅 满足速度边界条件的速度场是易于找到的。因此，可以通过某种途径把体积不可 压缩条件引入泛函，以建立一个新的泛函，这样就可以把求泛函的条件极值问题 转变成为对新泛函求无条件( 无约束) 的驻值问题，在满足速度边界条件的容许 速度场中寻找最优解真实解。 l a g r a n g e 乘子法是用l a g r a n g e 乘子a 把体积不可压缩的约束条件引入泛函式 ( 2 9 ) ，得到修正泛函兀+ 1 7 + = e ( 孛) d v + 驴，d v 一r y 豳 在满足速度边界条件的容许速度场y 中，真实解使上述泛函取得极小值。这样就将 问题转化为求无条件约束泛函得极小值问题。 由此可见，通过拉格朗日乘子引入体积不可压缩的约束条件，建立修正泛函 的驻值条件，即可求得速度场的真解，而且当速度场接近于真实解时，体积应变 率为零( 即叠，= o ) ，此时拉格朗日乘子a 即为静水压仃。= 仃da 在进行有限元求 解时，有限单元法的离散化将全域求解化为对单元节点速度和单元内平均应力( 即 各单元的拉格朗日乘子) 求解，最后得到的数值解即为将变分原理用于塑性加工 数值模拟的核心所在。 把过应力模型代入功率函数得： r“m 苴p ) = 弦击= f 难| l + ( 詈矗 l j 厂，、 = y ( e ) 卜南( 手) “j 那么，泛函式( 2 1 0 ) 转为： 厂、 n = l h f ) 【享+ 五知( 言) “j d y + 艇，d y l 誓y 棚 ( 2 1 2 ) 经离散化处理，总泛函等于全部单兀泛函的总和，即： 1 7 = r r 又由于： 。 y = n a 。 扣店出= 弦) 7 _ b r - ! i b b 。 、j 兰12 j 怛) 1 1 砖= 屯= c 7 f = 7 c = ( a 。) 7 b r c = c 7 b a 。 9 ( 2 1 3 ) f 2 1 4 ) f 2 1 5 ) 重庆大学硕士学位论文 2 刚粘塑性有限元理论简介 式中，对平面问题：c = l100 ) 7 ；对轴对称问题：c = o110 t ：对三维问题 c = l1 1o o0 ) 7 。 f i 叫j 睹( 秒萝型d y rl ( m + 1 1 ) y i ；- i 。) 7b 一7 拿! 。 t d 、， + l a 。c 一7 拿! 。d v 一r ，! 。d s 掣彘吖 + l 半艮删掣广d y+ l 节伊。) 1 拿1 掣l 押 + ”l b 7 c d v k n l p d s = l 叫詈( 享) 一+ 等| 萝拿! d v + - f ? 一? = y + ”肇一芝 詈= 鲫y 器申f 一 毒b b 一+ m 2 - 1 b 一雹。拶肛 1 0 r 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 重庆大学硕士学位论文 2 刚粘塑性有限元理论简介 = l ； 兰b b 7 b 7 3 - 置； 一一 手2 叭e 许乡半斗 叫冬+ a g 1 黑：q r ( 2 2 0 ) 硝佑丘。1 7 。 、 伊糊。- = 阱网川锄 在该式中 f 2fl 冬2 j k i 2 _ b b 7 b 7 b 一量； 一一 s a ： 。窑lb ri d y( 2 2 3 ) _ b + 2 ( m - 1 ) b b r ； 一 3 ，”i 3 。i 、 p = l 。n 1p d s 、 ( 2 2 4 ) 如：一 q = l 萝c d v ( 2 2 5 ) 廿心阱等p ：s ， 6 ：b 7b a 。( 2 2 7 ) 对上式进行反复迭代，直至达到迭代判据，即可求出速度增量a u ，亦即a ， ，钆 重庆大学硕士学位论文3 熟力耦合理论简介 3 热力耦合理论简介 金属塑性变形过程中，变形体、模具以及环境相互之间存在着温度差，并且 由于塑性变形以及变形体与模具接触面相互摩擦产生热能，使得金属的塑性变形 过程始终伴随着热量的产生和热量的传导，引起变形体和模具内的温度场不断发 生变化，而温度的变化又引起应力和应变从而引起变形。因此在研究塑性成形过 程时，有必要研究变形体内部的温度分布以及温度场与变形体内部产生的位移、 应力、应变之间的关系，发展热力耦合分析技术。 早期对热塑性加工过程的分析是非耦合的，多采用上限法分析金属流动，而 用有限差分法分析温度场，但结果让人不是很满意。而有限元法的出现则为分析 三维问题提供了最有效的工具。塑性加工的热耦合有限元分析需要同时求解塑性 流动方程和导热方程，主要有两种方法：一是联立求解传热和变形方程；二是将 两组方程分开，两组解相互迭代求得结果。目前对热耦合问题的处理一般采用准 耦合的方法，即先作为热传导问题解出温度场，然后按此温度场求解载荷引起的 位移场，然后根据位移场再计算温度场。按上述步骤反复迭代即可得出最终解。 3 1 概述 传热问题需要满足热传导微分方程和边界条件。在应用有限元法时，也可用 变分法来求解。因泛函取驻值时所需要满足的条件在数学上等价于相应的微分方 程式和边界条件，所以可用泛函取驻值的变分计算来代替求解微分方程及其边界 条件。 热传导方程是温度与时间和空间的关系，解是不定的。如果材料内部温度与 坐标和时间均有关，则此温度场称为瞬时温度场。瞬时温度场中，温度随时间的 变化相当缓慢，其加速度可忽略，故可看成是一个准静态问题。如果材料内部温 度只与坐标有关，则此温度场称为稳定温度场。 当外界温度的影响远大于塑性功产生的温度变化时可忽略塑性功产生的温度 变化，则此温度场只由热传导方程决定，此类问题即为位移和温度场非耦合问题。 如果温度场取决于热传导方程的同时还与位移相关，则称为位移和温度场耦合问 题。 3 2 热传导基本方程 3 2 1 热平衡微分方程 固体热传导问题，通常假定热流密度与温度梯度成正比，即 重庆大学硕士学位论文3 热力耦合理论简介 q 。： 罢，q ，：一a ，要，q ： 娶 ( 3 1 ) q 。2 一，l ：二一，q y 2 一l ，i ，：= 一l ：_ l j jj 式中，q 。，q ，q ：分别为x ，y ，z 方向的热流密度，即在x ，y ，z 方向单位时间 内通过单位面积所流过的热量。a ，a ，a ：分别是x ，y ，z 方向的导热系数。 _ a t ，掣，掣分别是三个方向的温度梯度。由于热量是从高温向低温处流动， o x o y 0 2 故上式右端取负号。 假设固体内有一个无限小六面体在d m ，由为内部热源在单位时间单位体积 内放出热量，则在体积吐矗砬内放出的热量为 白桃 ( 3 2 ) 在单位时间内固体温度升高为兰，吸收的热量为 c p 等d x d y d ： ( 3 3 ) 式中c 为比热，t 为时间，d 为密度。 由能量守恒原理可得出固体传热过程的热平衡方程： 印f i a t 。dd ，d ：= i 杀( 以鲁) + 昌卜，罢 + 皂( 九罢 卜d ，以+ 鲥以也 c ，m 当分析的材料是各向同性材料时有九，= a ，= 兄：= 兄，故上式经整理如下： c p 塑= 鲁( a 等 + 昌( 兄署) + 毫( a 罢) 4 - 奇限38t s ，= i i + l l + i l口l ) j a x ia f a ，i a fj a z a f 式( 3 5 ) 即为固体传热过程的热平衡微分方程。 3 2 2 初始条件和边界条件 热传导方程是温度与时间和空间的关系，其解是不定的，只有引入初始条件 和边界条件后，才能确定解。 初始条件是物体在初始时刻温度场的分布情况，即在固体体积内，有： t ( 墨y ，五t 】咖= 瓦( 墨只五t ) ( 3 6 ) 式中，t o 表示在时刻t = 0 时所规定的温度分布。 边界条件是固体表面与周围介质相互作用的规律，分为以下几类： 1 、第一类边界条件 固体表面温度是时间f 的已知函数，即在边界s 上， 以墨弘与f ) = 瓦( 五只与 ) f 0( 3 7 ) 2 、第二类边界条件 固体边界最上的热流密度q 为已知，即 a 掣+ z 关ta 譬l + q ： f ( 3 8 ) 式中，j ( 扛z ，2 ) 为边界外, 法i y 线+ 的方向余弦，0 当热量从物0 体边界表面向外流出 重庆大学硕士学位论文3 热力耦合理论简介 时热流密度日为正。 3 、第三类边界条件 ( 1 ) 对流边界 固体边界s 与流体接触时，通过固体表面的热流密度与固体表面温度丁与固 体温度l 之差成正比，即 a 警n a 笔i r + a 瓦o t i z = - hr - 。) ( 3 1 9 ) 式中，h 为对流传导系数；l 为流体温度。 上式中，当五寸o o 时，r t ，= 0 ，此时即退化成第一类边界条件。 ( 2 ) 辐射边界 在高温成形时，辐射热的热流密度方程形式同式( 3 9 ) ，只需将对流传导系数 替换为辐射换热系数矗，： h r = ( 丁2 + 霉x 丁+ t ) ( 3 1 0 ) 式中，仃为s t e f a n b o l t z m a n n 常数，s 为辐射物体表面放射率，【为环境温度。 4 、第四类边界条件 即绝热边界条件，在边界法线方向的温度梯度为0 ，表示如下： 兰= 0 ( 在蜀上) ( 3 1 1 ) 砌 式中，丑表示边界的法线方向。 3 3 热传导问题变分原理 将热传导方程、边界条件以及初始条件联立即可求解固体热传导问题。因为 直接求解困难，故一般通过对所求解的微分方程用变分法转化为求解泛函的极值 问题。 固体传热过程的热平衡微分方程及边界条件对应的泛函为： 丌( 力= + ( 3 1 2 ) 当泛函万( 砷在r = 玎五y ，弓0 上实现极值时，泛函万( 丁) 的e u l e r 方程就是要求 解的热平衡微分方程式( 3 5 ) 及初始边界条件式( 3 8 ) ，其证明过程见参考文献 3 】。 泛函丌( r ) 是与座标和时间均相关的函数。求解时，在空间上采用有限元网格 将传热体进行离散化，在时间上则采用差分法。根据温度t 在时间上差分方式的 ， 2 一 础 r ：“川是此，期蚺“s 啦即峨 订一教 一 l 弋卫。甲 嘶贴心 蜷峭炒 重庆大学硕士学位论文3 热力耦合理论筒介 不同( 向前差分、向后差分和中间差分) ，导出的计算公式可分为显示和隐式。对 于显示计算，时间增量取得过大会由于产生失稳而使计算结果错误。离散化后， 求解区域v 被划分为有限个单元，泛函兀表示为各单元泛函之和，即 石= y 石。 当泛函取极值得 堡型：o( 3 1 3 ) a z 由上式与初始条件即确定温度场。 3 4 热传导问题的有限元求解方程 热传导问题的有限元分析中，单元内任意一点的温度用节点的温度表示，即 r = r ( 3 1 4 ) 式中，n 为形函数矩阵，r 为单元节点温度的列向量。 相应地单元内任意一点的温度变化率用单元节点的温度变化率表示： 丝：堡( 3 1 5 ) a fo t 由式r 3 1 4 ) 可得： 鬟= 警王+ 等i + 警瓦、a x8 x 1 8 x l 0 x 、 旦a i t a x ) o x ) = 筹 ( 3 1 6 ) 8 x if 等：m j 将式( 3 1 6 ) 代入式( 3 1 2 ) ，并由式( 3 1 3 ) n 【k + k + 玛】r + c o a t f = q q 2 + q + q 4 ) 令k = k + 憨+ 玛】，q = q q 2 + q + q 4 ) ，则上式可写为： k t + c 詈= q ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 式( 3 1 7 ) 、( 3 1 8 ) 即瞬态温度场控制方程的矩阵形式，其中各分量表示如下： k = i i i , a b t b d v k = 1 n d s s k = 肛j v l n d & ， 重庆大学硕士学位论文 3 热力耦合理论简介 q = 肛i 7 娼 s q 4 = 肛互7 娼，s b = a n l e n ia n k a x8 x8 x a n ；a n i 渊k 8 y a y8 y 3 5 热传导方程的差分格式及解的稳定性 在3 3 中分析了求解泛函石( 丁) 时，在空间上采用有限元网格将传热体进行离散 化，在时间上则采用差分法。差分法有多种格式：向前差分法、向后差分法和中 间差分法。但它们可表示成一个统一的方程： 耻c ”) 鲁+ 卢等i 式中，瓦为乞时刻的温度分布，t + 1 为t + f 时刻的温度分布，f 为时间步长。 o 兰口1 1 ： r o 一向前差分( 显式e u l e r 方法) 8 ：l1 向后差分( 隐式e u l e r 方法) 11 ，2 c r a n k - n i c o l s o n 差分格式 l2 3 g a l e r k i n 差分格式 式( 3 1 9 ) 代入式( 3 1 8 ) 整理得 【k + 瓦c f r t 。= q 。一击 ( 3 2 0 ) 其中： 宁：墨塑必圭!( 3 2 1 ) 髓f 显式的e u l e r 方程对导数的逼近具有一阶精度，误差较大，稳定性也不好。隐 式的e u l e r 方程也具有一阶精度，但在每一点上需要更多的计算，稳定性较好。隐 式方法总是比同类型同精度的显式方法更为稳定，因此，当稳定性成为主要的考 虑因素时，就应该选择隐式方法。通常在塑性变形过程的热力耦合分析中，为了 保证计算的可靠性采用向后差分法即隐式e u l e r 方程。 重庆大学硕士学位论文3 热力耦合理论简介 3 6 变形和传热过程的耦合分析 分析热耦合的金属塑性变形过程，必须同时求解在给定温度分布下的金属塑 性变形速度方程和热传导方程，即在同一有限元网格系统上，分别求解考虑速度 影响的热传导和考虑温度效应的塑性变形速度方程，直到得到收敛解。 在进行耦合分析时，将速度场的计算和温度场的计算作为两个独立予系统进 行求解。变形对温度场的影响效应通过内热产生的热流矢量加入温度求解方程中， 而温度对变形的影响则通过温度对流动应力的影响加以考虑。 3 6 1 热力耦合计算步骤 ( 1 ) 假设或计算初始温度场t ； ( 2 ) 计算初始温度场t 对应的速度场1 1 ； ( 3