（通信与信息系统专业论文）高效低抽头数的线性相位fir陷波滤波器的设计.pdf

摘要 摘要 线性相位f i r 陷波滤波器被广泛的应用于信号、通信、自动化控制等各个 领域。高效低抽头数的线性相位f i r 陷波滤波器的设计是一个十分重要而具有 挑战性的问题，使用尽可能少的非零抽头数( 即更少的加法器和乘法器) 以实现满 足给定设计要求的线性相位f i r 陷波滤波器。设计低抽头数的线性相位f i r 陷 波滤波器对降低计算量、计算误差和计算时间等十分重要。 本文提出一种全新的线性相位f i r 陷波滤波器设计算法。该算法是基于切 比雪夫窗函数和正交匹配追踪原理，能实现高效低抽头数f i r 陷波滤波器的设 计。目前，z a r a h d n i kp 等人提出的最优等纹波陷波滤波器设计算法和精确等纹 波陷波滤波器设计算法在实现相同的设计要求时使用的非零抽头数最低。仿真 结果表明，应用该算法设计的f i r 陷波滤波器的非零抽头数与最优等纹波算法 和精确等纹波算法相比分别可以节省约1 5 5 8 和1 0 9 6 ，同时该算法避免了最 优等纹波算法中存在的陷波中心频率偏移问题，在选择陷波中心频率、阻带宽 度和通带纹波等方面也更加灵活。 本文将高效低抽头数的线性相位f i r 陷波滤波器的设计问题转化成为求解 一个线性方程组的稀疏解的问题，继而使用正交匹配追踪算法来求解方程组的 稀疏解，在每次迭代过程中，通过o m p 算法计算f i r 陷波滤波器，再通过切比 雪夫窗来改进滤波器的性能，整体迭代过程在滤波器满足设计要求时停止。 为了更好的改善f i r 陷波滤波器的性能，本文对比分析了不同窗函数对 o m p 算法设计的f i r 陷波滤波器的改进效果，了解到切比雪夫窗函数与其他窗 口相比，可以更好的改进o m p 算法计算得到的f i r 陷波滤波器的性能。 关键字：正交匹配追踪；f i r ；陷波滤波器； 切比雪夫窗函数；高效低抽头 数 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ef i rn o t c hf i l t e r sa r ew i d e l yu s e di ns e v e r a lf i e l d si n c l u d i n gs i g n a lp r o c e s s i n g ， c o m m u n i c a t i o na n da u t o m a t i o nc o n t r 0 1a r e a s t h ed e s i g no fap o w e r - e f f i c i e n t1 i n e a r p h a s ef i rn o t c h f i l t e ri sa ni m p o r t a n ta n dv e r y c h a l l e n g i n gp r o b l e m t h e p o w e r - e f f i c i e n t1 i n e a rp h a s ef i rn o t c hf i l t e ru t i l i z e sl e s sn o n z e r ot a p st os a t i s f yt h e d e s i g ns p e c i f i c a t i o nw h i c hm e a n sl e s sa d d e ra n dm u l t i p l i e r t h ed e s i g no f p o w e r - e f f i c i e n tl i n e a rp h a s ef i rn o t c hf i l t e rc o u l dr e d u c et h ea m o u n to fc a l c u l a t i o n ， c a l c u l a t i o ne r r o ra n dc a l c u l a t i o nt i m e i nt h i sp a d e ran e ws c h e m eo fd e s i g n i n gap o w e r e 伍c i e n tl i n e a rp h a s ef i rn o t c h f i l t e ri sp r o p o s e dw h i c hi sb a s e do nt h eo r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i ta n dt h e c h e b y s h e vw i n d o w t h eo p t i m a le q u i r i p p l em e t h o da n dp r e c i s ee q u i r i p p l es c h e m e p r o p o s e db yz a r a h d n i kpa n dh i sc o w o r k e r sc o u l da c h i e v et h e1 i n e a rp h a s ef i rn o t c h f i l t e rb yu t i l i z i n gt h el e a s tn o n z e r ot a pw e i g h t sc o m p a r e dw i t ho t h e rm e t h o d s t h e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tu n d e rt h es i m i l a rp e r f o r m a n c e ，t h en o n z e r ot a pw e i 曲t s o ft h ef i l t e r sd e r i v e df r o mt h ei m p r o v e do r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i ts c h e m ea r e 15 5 8 a n d10 9 6 l e s st h a nt h o s ef r o mt h ee q u i r i p p l ea n dt h ep r e c i s ee q u i r i p p l e s c h e m sr e s p e c t i v e l y a n dt h ei m p r o v e d0 m pm e t h o dc o u l da v e r tt h en o t c hf r e q u e n c y s h i f te x c u r s i o nw h i c hi su n a v o i d a b l ei nt h eo p t i m a le q u i r i p p l em e t h o d a n dt h i sn e w m e t h o di sm o r ef l e x i b l ei ns e v e r a la r e a si n c l u d i n gc h o o s i n gt h en o t c hf r e q u e n c y , r e j e c t i o nb a n d w i d t ha n dp a s s b a n dr i p p l e i nt h i sp a p e rt h ep r o b l e mo fd e s i g n i n gap o w e r - e f f i c i e n tl i n e a rp h a s ef i rn o t c h f i l t e ri st r a n s f o r m e di n t of i n d i n gas p a r s es o l u t i o no fal i n e a rm a t r i xp r o b l e m a te a c h i t e r a t i o n ，t h e0 m ps c h e m ei se m p l o y e dt oc o m p u t ea nf i rn o t c hf i l t e rw h i c hi st h e n r e f i n e dw i t hap r e d e v i s e d c h e b y s h e vw i n d o wt oi m p r o v ei t sp e r f o r m a n c e t h e i t e r a t i o np r o c e d u r es t o p sw h e nt h er e f i n e df i l t e rm e e t st h ep r e d e v i s e d d e s i g n s p e c i f i c a t i o n s t oi m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo ft h ec o m p u t e df i l t e r ，t h ef r e q u e n c yr e s p o n s e s m o d i f i e db yd i f f e r e n tw i d o wf u n c t i o n sa r ec a r e f u l l yc o m p a r e da n da n a l y z e d t h e c h e b y s h e vw i n d o wi sf o u n dm o r eu s e f u lt h a no t h e rw i n d o wf u n c t i o n si ni m p r o v i n g t h ep e r f o r m a n c eo ft h ec o m p u t e dl i n e a rp h a s ef i rn o t c hf i l t e r k e y w o r d s ：o m p ；f i r ；n o t c hf i l t e r ；c h e b y s h e vw i n d o w ；p o w e r - e f f i c i e n t i i 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 本文的目标是设计高效低抽头数的f i r 陷波滤波器，即以更少的非零计算 量实现满足要求的f i r 陷波滤波器。随着滤波器设计要求的提高，实现滤波器 所需要的非零抽头数( 即f i r 陷波滤波器的冲击响应中的非零系数) 越来越多。 所以设计高效低抽头数的f i r 陷波滤波器十分重要。 1 1 高效低抽头数的f i r 滤波器的设计 数字信号处理技术被广泛的应用于各个领域，其中f i r 滤波器是实现数字 信号处理的一个十分基础的工具。设计高效低抽头数的f i r 滤波器是一个十分 重要的研究课题，因为高效低抽头数是指实现f i r 滤波器所使用的非零抽头数 较少，更少的非零抽头数意味着更少的乘法器，更少的能耗和更少的计算时间。 越来越多的智能手机和移动终端被广泛的使用，比如i p h o n e 和i p a d 等时 髦的苹果移动产品，其新鲜丰富而时尚的设计被消费者所喜爱，但其使用时间 短是一个大的问题，而高效低抽头数的f i r 滤波器可以降低数字信号处理时所 需的乘法器数量，这就意味着更低的能力消耗，则可以延长移动设备的使用时 间，这对于使用者是十分重要的。 使用d s p 和f p g a 实现f i r 滤波器的过程中，通过算法优化，更少的乘法器 则意味着更少的计算时间，这对于实时多媒体信号处理设备( 譬如摄像头或雷 达等) 。 高效低抽头数的另一个优点就是降低设备的制造成本，现今的滤波器早已 被以门电路的方式固化到芯片中，而制造这些芯片需要消耗的大量的稀土元素， 稀土是一种十分紧俏的资源。在实现滤波器的过程中使用更少的非零抽头数， 就是使用更少的门电路，就是消耗更少的资源，降低了制造设备的成本。 降低实现f i r 滤波器的非零抽头数一般有两个办法： ( 1 ) 设计一个冲击响应更短的f i r 陷波滤波器，这个思路是降低非零抽头 数最直接和简单的方式，而且，在降低非零抽头数的同时也降低了滤波器的延 时。 ( 2 ) 在固定滤波器长度的情况下，尽量降低冲击响应中非零抽头数的数 第l 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 量。在本文中就采取这个思路，在一定程度上牺牲滤波器的长度，而换取更低 的非零抽头数。 线性相位的f i r 滤波器，其可以用一个线性系统进行表示，设计高效低抽 头数的f i r 滤波器可以被理解为求解一个线性系统的稀疏解。 在文献1 冲，b k n a t a r a j a n 讨论了求解一个线性系统的稀疏解的算法，其 是矩阵运算中一个很基础的问题。b k n a t a r a j a n 指出其是一个n p h a r d 的问题， 近几年成为众多研究人员的研究对象。在文献 2 中，j e n n i f e rl h w e b b 和 d a v i dc m u n s o n 介绍了使用线性规划方法设计切比雪夫最优的高效f i r 滤波 器。 近几年来，压缩传感理论( c o m p r e s s e d c o m p r e s s i v es e n s i n g s a m p l i n g ) 3 ，4 逐渐成为信号处理领域一个十分火爆的研究课题，该理论着重在于，在信号被 获得的同时，对数据进行适当的压缩以达到节省空间和提高效率的目的，借鉴 压缩传感理论( c o m p r e s s e d c o m p r e s s i v es e n s i n g s a m p l i n g ) 【3 ，4 】中稀疏重构的理 论可以实现设计高效低抽头数的线性相位的f i r 陷波滤波器的目的。 通过过去的学习可以了解到，传统的信号采样和处理的过程中包含抽样、 压缩、传输和解压缩等步骤，l r , 女h 常见的图片格式g i f 等均是经过压缩的图片 信息，其中抽样过程中，众所周知，抽样的过程必须遵循乃奎斯特准则，即采 样频率超过信号频率上限的2 倍，基于乃奎斯特准则的采样流程会导致巨大的 数据量，而浪费存储空间和处理时间。 而在实际情况中，大量的数据代表的很可能是无用的信息，在此前提下， 压缩传感理论( c o m p r e s s e d c o m p r e s s i v es e n s i n g s a m p l i n g ) 成为了一个自然的发 展趋向，其核心的目标就是在数据采样的同时进行数据压缩的处理，而这里提 到的c s ( c o m p r e s s e d c o m p r e s s i v es e n s i n g s a m p l i n g ) 的压缩处理不同于传统的 编码压缩，而是直接从数据的源头进行处理，这使c s 越发的被广大的研究人员 重视，其有着突出的有点和广泛的应用前景。特别需要提到的是，在现今的信 号处理领域，尤其是航空航天、生物信息计算等领域，需要处理的信息量越来 越大，给数据处理器带来极大的负担，导致浪费了大量的存储空间、计算时间， 这对于需要实时处理的领域是无法接受的，譬如卫星照片，一张高清晰的卫星 照片可能高达数g ，而其中无用的信息是很多的，在处理卫星照片的过程中就需 要大量的运算单元，存储起来也需要很大的空间，更不用说讲卫星照片通过信 道传输到地面的过程，这一切随着c s 的产生都会得到优化，更少的存储空间、 2 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 存储空间、耗电量和更小的传输量。另一个例子就是生物信息计算，一张m r i ( 核磁共振成像) 会相当的大，而且近几年的m r i 被用来处理形成三维的图像， 帮助医生或者法医来做诊断或尸检，这已经成为医学和法医学的潮流，但m r 工 的数据量相当巨大，这不只是导致存储成像数据需要大量的空间，处理过程也 需要大量的时间和能量。 在c s 理论中，重构算法对于信号的恢复是很重要的，而本文中所采用的就 是稀疏重构算法中一个基础的迭代算法 2 0 0 4 年d a v i dl i a o 在他的文章c o m p r e s s e ds e n s i n g 4 中首次提到c s 这个 概念，在2 0 0 6 年，e m a m n u e lj c a n d 色s 的文章c o m p r e s s i v es a m p l i n g 3 进一步解 释了c s 问题。 设x 为传统采样得到的n 维数字信号，如果信号x 是一个高度稀疏的信号 ，本文可以假设x 仅有k 个非零项( x 是一个k 程度稀疏的信号，而且k l + 1 ) ， 则本文认为信号x 可以经过压缩传感过程( c s ) 而转换成为m 维的信号y ( 其 中m 缈，i ， ( 1 4 5 ) 本文试图找到滤波器系数，满足如式( 1 4 6 ) 的情况： 彳( q 1 ) = 1 一( 一1 ) 7 万，i = 1 ，m ( 1 4 6 ) 相似的，通过在陷波中心频率缈右侧的通带选择极值点的频率 c o i ，( f = l ，r ) ： 1 r 2 ， ( 2 。一心，+ 1 ) ( + 1 ) 的所有值都分布在区间w6 - 1 ，1 y _ f i b 。类比可 知，式( 1 7 9 ) 有q ( 1 ) 专q ( 1 ) 和q ( 。) 斗q ( ) 。所有满足 w ( - 2 w 哟+ w 卅+ 1 ) ( w 卅- 1 ) 的数值都在区间w 6 - 1 ，1 之外。 由上可知，式( 1 8 2 ) 和( 1 7 9 ) 两个变换可以得到以下3 点： 保证了设计标准中的陷波中心频率点q ，丁。 不影响通带衰减纹波的a ( 以分贝为单位) 。 对陷波中心频率拒绝宽度有一个很小的拓宽。 算法的具体流程如下： 首先要按照图1 1 2 和图1 1 3 ( f i r 等纹波陷波滤波器) 所示，给定陷波 滤波器的设计参数：陷波中心频率，丁、陷波中心频率拒绝宽度缈丁和通带衰 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 减纹波a ( 以分贝为单位) 。 计算陷波中心频率拒绝宽度的边界： 咿哦丁一下a c o t ，o ) s t = 丁+ 等 ( 1 8 5 ) 估计j a c o b i 椭圆函数摸参数盯 其中附加参数织和根据如式( 1 8 7 ) 进行计算： 织2 _ c o s t ，纬2 尢一乒 ( 1 8 6 ) ( 1 8 7 ) ( 垒) 根据式( 1 8 8 ) 计算分数值p n 和q n ： p - - k ( i c ) = f ( c p ，i 盯) ，q - k ( , c ) = f ( q g p k - ) 。 ( 1 8 8 ) 计算最大值y 。 2 斋一1 其中a 以分贝为单位) ( 1 8 9 ) 计算满足滤波器设计标准的最小的滤波器阶数n ： 聆：一 ! 呈业型立二! ! ( 1 9 0 ) 2 c r , z ( - - pk ( t r ) ir ) 一2 1 - i ( o - , ，一pk ( k ) i 盯) 并且将计算得的n 取整。 计算定义z o l o t a r e v 多项式z 叫( w ) 的整数值p 和q ： 川，z 掣小等， 这里的中括号表示取整运算。 根据计算得到的整数值p 和q ，以及椭圆函数模盯，估计离散化的z p t f ： 其中，最大值y 。为： q ( w ) ：1 一z p , q ( w ) ：1 一型l b ( k ) w k( 1 9 2 ) y 。，y 。 2 9 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 少。2 c 。s h2 ，z ( 吒z ( - pk ( 茁) 抄i - i ( 吒，p - - k ( k ) ( 1 9 3 ) n f 而且，分析z o l o t a r e v 多项式的系数b ( k 1 被列在文献 3 0 e 0 。 计算离散化z p t f q q ( w ) 的极值点的位置wq ： s n ( p - k ( i c ) t c ) c n ( - - - pk ( x ) ir ) 。 n 幽( 竺k ( k ) ik ) 玎 而且可以计算离散化的陷波中心频率，。t z ( k ( k - ) ik ) a r c c o s ( ，。) 2 ，。) ( 1 9 4 ) ( 1 9 5 ) 根据计算得到的和婶来估计非离散化的z p t f 的系数6 ( 尼) ： q ( w ) = b ( k ) w k ( 1 9 6 ) k = o 将上一步得到的系数6 ( 尼) 转换成切比雪夫多项式的系数口( 尼) ： 6 ( 尼) w 口( 尼) 正( w ) ( 1 9 7 ) k = 0 k = 0 a ( k ) 的估计过程如f ： 氅11 2 l 口( o ) = 面( ，) 6 ( 2 ，) 、n 。2 1 2 l 口( 2 尼) = l = k 芦( ，一2 ，) ( 1 9 8 ) = t 1 萎2 - 歹1t 2 l + ，1 a ( 2 k + 1 ) 1 a , t ；) b ( 2 l + 1 )= 面( ， + 1 ) 式中的中括号表示整数部分。 根据上一部求得的系数以( 尼) ，则计算非量化的滤波器的冲激响应： 办( 以) ：口( o ) ，办( ，z 尼) ：掣，尼：1 胛 ( 1 9 9 ) 根据以上流程可以计算f i r 等纹波陷波滤波器的冲激响应，而目，较乡卜 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 一个方法，更加精确的控制陷波中心频率的位置和通带纹波的大小，其具体的 效果可以在仿真的段落中找到。 以上简略的介绍了4 种设计f i r 陷波滤波器的算法：最大平坦算法拉7 ，2 4 】、 m u l t i p l ee x c h a n g em e t h o d 2 9 1 、e q u i r i p p l em e t h o d ( e r ) 【2 8 和p e r c i s ee q u i r i p p l e m e t h o d 3 0 1 。比较这几种算法，以最大平坦陷波滤波器的纹波最好，但其需要的 计算量最高，m u l t i p l ee x c h a n g e 算法被用来设计等纹波滤波器，但其纹波与 e q u i r i p p l em e t h o d 和p e r c i s ee q u i r i p p l em e t h o d 算法的设计结果相比要大很多。 p e r c i s ee q u i r i p p l e 算法比e q u i r i p p l e 算法比较，对于陷波滤波器的实现更加准确， 其陷波中心频率的控制很好。 1 2 4 二维陷波滤波器 在二维情况 2 1 3 0 啦! 下，图像腐败( c o r r u p t i o n ) f 拘例子叫之一，就是二维正弦干 涉图案叠加在图像上( 这通常被称为相于噪声) 。这个损坏的图像的傅里叶变 换频谱表现出一副对称峰的脉冲，由于正弦频率成分的干扰，所以通常会手动 地删除这些脉冲谱域干扰，继而通过傅立叶逆变换修改之后的结果，得到恢复 图像。上面介绍的这种方法，只适合离线加工。对于要实现实时处理的目的， 二维的陷波滤波器是首选。 在文献 2 1 中，s o o - c h a n gp e i 和c h i e n - c h e n gt s e n g 首次介绍了设计二维陷 波滤波器的算法，包括i i r 滤波器和f i r 滤波器。文中提到，如果是设计i i r 二 维陷波滤波器，可以使用一些知名的二维滤波器优化设计算法，如文献 3 4 1 ， 然而这些方法不仅费时，而且很难控制滤波器的稳定性，s o o c h a n gp e i 和 c h i e n c h e n gt s e n g 根据二维陷波滤波器的特殊性，使用一个简单的数学设计方 法来设计滤波器，这种方法的主要特点是容易监控滤波器的稳定性和封闭形式 传递函数，类似的技术已经成功的应用于特殊的三维i i r 滤波器的设计。同时， 在文献 2 1 中，s o o c h a n gp e i 和c h i e n - c h e n gt s e n g 认为设计f i r 滤波器是一 个线性约束最小的问题，因此可以有很多方法可以选择，他们使用拉格朗日乘 数法( l a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o d s ) 来设计最小二乘法最优的滤波器。 1 2 4 1 二维i i r 陷波滤波器 接下来简单介绍一下文章 2 1 中二维i i r 陷波滤波器的设计算法。首先通过 算式( 1 1 0 0 ) 定义一个理想的二维陷波滤波器： 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 风c e j n j l ，e j ，= r ”芝裟( 1 1 0 0 ) 其中( q ，哆v ) 是二维陷波滤波器凰( p 椭，e 觑) 的陷波中心频率。找到一个i i r 陷 波滤波器可以将其变换成为两个简单滤波器的设计，其中一个是二维平行线滤 波器( 2 dp a r a l l e ll i n ef i l t e r ) q ( z l ，z 2 ) ，另一个是二维连续滤波器( 2 ds t r a i g h tl i n e f i l t e r ) 只( 乞，z ：) ，继而所求的陷波滤波器传递函数可以用式( 1 1 0 1 ) 表示： 矾( z 1 ，z 2 ) = 1 一h p ( z 1 ，z 2 ) 皿( z 1 ，z 2 ) ( 1 1 0 1 ) 然后，作者通过式( 1 1 0 2 ) 来设计q ( z l ，z 2 ) 和日，( z - ，z 2 ) 。二维半彳丁线滤波 器l i p ( z 。，z ：) 的频率响应要求为： q ( e j r 砘, e j ) = 怯哆老 ( 1 1 0 2 ) 这个特殊的滤波器可以按照式( 1 1 0 3 ) 通_ k 2 g # h p ( z ，z ：) 来实现： q ( z 1 ，z 2 ) = h s p ( z ) i 一： ( 1 1 0 3 ) 其中，h 即( z ) 是一维带通滤波器其传递函数： = 扣群) ( 1 1 0 4 ) 式( 1 1 0 4 ) 中的参数可以通过式( 1 1 0 5 ) 与陷波滤波器的设计参数关联： =2c面os(coo)a1 ( 1 1 0 5 ) 2 丽 ll j 1 + t a n ( ) 1 - t a n ( b 了w ) 口l 2 1 + t a n ( 警- ) 式( 1 1 0 6 ) 中的参数是日b p ( z ) 的陷波中心频率， ( 1 1 0 6 ) 而b 形是h b p ( z ) 的以- 3 d b 与h 。( z 。，z ：) 不同，作者由模拟滤波器经过转换得到二维连续滤波器 皿( z 。，z ：) ，其中的过程本文这里不详述，其得到的只( z 。，z ：) 如式( 1 1 0 7 ) 所 不： 第1 章壹鏊! 垦垫墨望塑里垦堕堡堡堡至 。 一。 、! 型型型型一，。1 0 7 ) 纵毛而卜鼍互写r - l i + 季l 2 _ 面r + l 1 - l 2 i r 零- l - l 2 _ _ ( i 1 0 7 )r 尺 尺 k 他们选择参数： 厶2 砰1 和厶2 碎- 1 ( 1 1 0 8 ) 而同时参数r 尽可能的小，以实现h 忆，z ，1 满足设计要求。 1 2 4 2 二维f i r 陷波滤波器 在文献 2 1 中，s o o c h a n gp e i 和c h i e n c h e n gt s e n g 也介绍了一种二维f i r 陷波滤波器，通过式( 1 1 0 9 ) i 挂c r 定义： 其中滤波器的冲激响应h ( m ，7 1 ) 满足对称的情况： h ( m ，z ) = 五( 一，卵，一九) ( 1 11 0 ) 同时，这个二维f i r 陷波滤波器的长度为( 2 1 + 1 ) x ( 2 n 2 + 1 ) 。经过简单的变换 ( m a n i p u t a t i o n ) ，可以很容易的得到h ( z 1 ，z 2 ) 的幅度响应g ( 皑，缈2 ) ： g ( q ，0 9 ：) = a ( i ) g i ( q ，) ( 1 1 1 1 ) 其中，尺寸变量r 等于( m + 1 ) + n 2 ( 2 n 。+ 1 ) ，并且在式( 1 1 11 ) 中： g f ( 所，2 ) = c o s ( t o o ) l + 甩哆) ( 1 1 1 2 ) 砸，_ 淼：，三 m ， 作者将g ( o m ，吐) 写成式( 1 11 4 ) ： g ( c o , ，国2 ) = a c ( c 0 1 ，缈2 ) ( 1 1 1 4 ) 其中的参数如式( 1 1 1 5 ) 所示： 么= 口( 1 ) ，口( 2 ) ，口( 月) ( 1 1 1 5 ) 0 u n u 吐q p 玎m，厅 m 刊 h 一 p qm p i i 吐 p 卿 e 日 第1 章高效低抽头数的f i r 陷波滤波器 c ( q ，( - 0 2 ) = g l ( q ，c 0 2 ) ，9 2 ( q ，哆) ，g 月( c o l ，哆) 】f ( 1 1 1 6 ) 一般来说，线性相位f i r 设计中有最常见的两种判据，使用最少的误差平 方和极小极大误差准则。在文献 2 1 中作者在最小二乘误差意义上设计滤波器 g ( q ，0 ) 2 ) 近似理想的陷波滤波器的频率响应。 在这个情况下，滤波器的设计问题可以被写成式( 1 1 1 7 ) 的形式： m i n i m i z ee f ：r i g ( q ，哆) 一1 1 d ( 0 1 d ( 0 2 f 2 2 上。l ( 彳7 c ( 缈l ，哆) 一1 ) d ( - o l d ( - 0 2 ( 1 1 1 7 ) = a 幽一2 p a + 1 在c ( q ，哆) 彳= 0 的约束下，其中，正定对称矩阵q 和向量p 由式( 1 11 8 ) 和式( 1 11 9 ) 定义： 阿f l a q 2 lj - 。c ( q ，( 0 2 ) c ( q ，0 0 2 ) d c o l d ( 0 2 ( 1 1 1 8 ) p 2l l c ( q ，c 0 2 ) d c o l d o ) 2 ( 1 1 1 9 ) 因此，最优的解为： a o p , = ，一q - 1 c ( q ，( - 0 2 ，) c ( c o l j v ，0 9 2 ) q c ( ( 0 1 ，哆) - 1 c 7 ( q ，( 0 2 ) q 1 p ( 1 1 2 0 ) 基于上面的方法，作者实现了设计二维f i r 陷波滤波器的目的。 在文献 3 5 和 3 9 中，p a v e lz a h r a d n i k 、b o r i s 和m i r o s l a vv l c e k 找到了另一 种方法设计二维f i r 陷波滤波器，通过设计一维f i r 陷波滤波器，经过变换得 到所求的二维f i r 陷波滤波器。 他们使用在文献 2 8 1 7 n 3 0 q h 介绍的一维f i r 等纹波陷波滤波器设计算法来 实现一维的设计，这里就不再详述。 3 4 第2 章使用o m p 算法设计f i r 陷波滤波器 第2 章使用o m p 算法设计f i r 陷波滤波器 2 1 构造f ir 陷波滤波器设计问题 前面介绍了多种设计f i r 陷波滤波器的算法：1 、m a x f l a tf i r 陷波滤波器 2 7 , 2 4 ； 2 、m u l t i p l ee x c h a n g e 算法计算f i r 等纹波陷波滤波器 2 9 ；3 、等纹波方 法e q u i r i p p l em e t h o d 2 8 ；4 、p r e c i s ee q u i r i p p l e 方法 3 0 1 。以上列的4 种方法是近 几年比较常用的f i r 陷波滤波器设计算法，但其都存在一个问题，即：设计得 到的陷波滤波器都不是高效低计算量的，而高效低计算量的滤波器是十分重要 的，更少的滤波器系数意味着更低的耗电量，更少的计算时间。 在本篇论文中，本文通过o m p 算法【4 l 】结合切比雪夫窗口函数来设计一个高 效低计算量f i r 陷波滤波器( 高效低抽头数l i n e a rp h a s ef i rn o t c hf i l t e r ) ，问 题的表示式( 1 3 ) 可知，一般的c s 的问题以l 2 n o r m 作为误差标准，而本文 选择的o m p 算法也是以l 2 n o r m 为误差标准的最4 , - - 乘法求解的。 o m p ( o r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t ) ，中文名称正交匹配追踪算法，其实质 上是一个基于贪婪迭代的追踪算法，其核心思想就是计算式( 1 3 ) 的解，即以 l 2 n o r m 作为误差约束，求解最稀疏解。但是由于正交匹配追踪算法是一个迭代 的过程，并不能保证算法的解得到的是满足式( 1 3 ) 的最优解。 最初的基于贪婪迭代的追踪算法是m p ( m a t c h i n gp u r s u i t 匹配追踪算法) ， 其基本思想是在每一次的迭代过程中，从测量矩阵( 或称之为原子库) 中选 择与信号y 最匹配的列向量9 。来构建稀疏逼近，并求信号y 的残差，进而进入 下一次迭代，重新进行选择和求解。o m p ( o r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t ) 正交匹 配追踪算法是对m p ( m a t c h i n gp u r s u i t 匹配追踪算法) 的改进，在每次迭代过程 中，通过对以选择的列进行正交化来保证迭代的最优性。 要使用正交匹配追踪算法来计算f i r 陷波滤波器，需要首先将问题转化成 为类似式( 1 3 ) 中矩阵的形式，其可以表达如下： o x = y ( 2 1 ) 其中具体的参数如上一部分中所定义的， q = ( q 1 ，i p 2 ， q 。， 叩m ) 第2 章使用o m p 算法设计f i r 陷波滤波器 x = ( _ ，恐，嘞) t ( 2 2 ) y = ( y l ，y 2 ，y ，几) t 矩阵m 中的列向量q 。= ( 仍卅，仍川仍川吼。) 。 如图1 1 2 和图1 1 3 所示，根据参考文献 2 8 和 3 0 可知，设计f i r 陷波滤波 器的关键参数包括：陷波中心频率缎、通带纹波万和阻带宽度( b w ) ( 由文献 2 8 e ? p - 矢l ：lb w 由纹波万确定，n 2 ，3 9 等文献中以一3 d b 为标准确定b w 不同，当 然设计标准的不同，算法可以被更改，在之后的讨论中可以知道，算法允许进 行灵活的改变) 。 2 1 1 根据滤波器设计标准构造理想频率响应 按照f i r 陷波滤波器的设计参数，如万( 通带纹波) ，b w ( 阻带带宽) ，缎 ( 陷波中心频率) 和以。( 陷波中心频率处的衰减) ，本文假设理想陷波滤波 器的频率响应风( e 弘) 为： 1 ：0 0 0 c o 一廿 厶乙( p 。) = 0 ；q 一f 缈熊+ f ( 2 3 ) 【1 ；鸭+ f 1 ) ，因此，( 2 1 2 ) 的离散化过程可以表示为： 峰掣 占 ( 2 - 1 3 ) | | f | | ： 。7 式( 2 13 ) 中： a= 1 c o s ( o o ) o ) c o s ( o r o o ) c o s ( 0 c o o ) 1 c o s ( c o o ) c o s ( t o o o ) c o s ( m o o o ) ：。：。： c o s ( m c o o )c o s ( i m c o o ) 1 c o s ( l e o o ) c o s ( l m c o o ) c o s ( l m 0 0 ) x = ( k ，h m - 19 2 h m 一，2 h , ，2 h o ) t f = ( h d ( e 7 0 ) ，h d ( e ) ，h d ( e 弘) ) t ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) n a c o 。= 三( 。，) 且。m m ( m = 了n ) 。 设计高效低计算量f i r 陷波滤波器的问题就转换成为求解经过离散化之后 的问题( 2 1 3 ) 的稀疏解。 2 2 正交匹配追踪算法的基本框架 根据上- 4 , 节中构造的f i r 陷波滤波器的设计问题( 2 1 3 ) ，使用o m p ( 正 交匹配追踪算法) 对问题( 2 1 3 ) 进行求解。 首先，将定义的矩阵a 的每一列做归一化处理，即： b 。= c 赢，背，笨铲，t 眨 其中l a 。| | 2 是欧几里德范数，a 。= ( 1 ，c o s ( m o o o ) ，c o s ( l m c o o ) ) t 且 。m m ( m = i n ) 。 根据式( 2 1 7 ) 得到的归一化之后的结果，式( 2 1 3 ) 可以被写成式( 2 1 8 ) 的形式： 第2 章使用o m p 算法设计f i r 陷波滤波器 警如 ，8 ， 此处本文定义： y = ( kl l a 0 1 1 ：，2 h m 一。| 2 ，2 h ol l a m | | 2 ) t ( 2 1 9 ) b = ( b o , b l 一，b ，) ( 2 2 0 ) 到此，本文就得构造出了设计目标滤波器的所需要的问题。 在初始化之后，本文使用o m p ( 正交匹配追踪算法) 来求解这个问题，求 得满足式( 2 1 8 ) 的稀疏解，再将稀疏解转换为线性相位f i r 陷波滤波器的系数。 在下面的步骤中，利用o m p 算法 4 1 1 和切比雪夫窗来计算问题( 2 1 8 ) 的结 果： 1 、用q 表示集合 o ，1 ，m ) ，初始化剩余向量r = f ，其中f5 i 生( 2 1 6 ) 中定义。 2 、找到