（系统工程专业论文）一类参数不确定混沌系统的自适应控制.pdf

江苏大学硕士学位论 摘要 本文主要研究一类混沌系统的动力学分析及混沌控制问题，包含以下几个方 面的内容： 首先对国内外混沌研究的历史和现状进行了系统分析，并阐述了混沌控制的 兴起、发展和未来的展望。 其次，阐述了混沌的定义及其特性，以及本文采用的控制混沌的方法所涉 及的理论基础，例如：l y a p u n o v 稳定性原理、l y a p u n o v 指数、l y a p u n o v 函数等。 第三，提出了一个新的混沌系统及其混沌吸引子，并分析了该混沌吸引子的 动力学特性。 第四，研究了混沌系统的自适应控制问题。阐述了b a c k s t e p p i n g 方法的基本 原理，并将该方法应用于对参数未知的l i u 混沌系统的控制。理论推导说明用 b a c k s t e p p i n g 方法设计出的单控制器能使受控系统收敛到一有界点，而且设计的 参数自适应律也能完成对系统未知参数的识别，m a t l a b 数值仿真也证明了该方法 的可行性和有效性。 第五，研究了混沌系统b a c k s t e p p i n g 控制策略的改进问题。在指出了一种错 误的b a e k s t e p p i n g 改进措施后，本文提出了一种新的改进方法。采用改进后的 b a c k s t e p p i n g 控制方案，实现了不确定统一混沌系统的控制，并完成了对系统未 知参数的辨识。最后通过数值仿真，详细研究了改进方案的参数变化对系统控制 效果和参数辨识效果的影响。 关键词：混沌；混沌控制；自适应控制；b a c k s t e p p i n g 设计；不确定混沌系 统；l i u 混沌系统；统一混沌系统。 江苏大学硕士学住论 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ed y n a m i ca n a l y s i sa n dc o n t r o l l i n go fc h a o t i cs y s t e ma r es t u d i e d t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s t p a r t t h ea u t h o ra n a l y z e ss y s t e m i c a l l yt h eh i s t o r ya n di n t e r n a t i o n a l a c t u a l i t i e so ft h er e s e a r c ho nc h a o s ，a n df o r m u l a t et h es t a r t i n g , d e v e l o p i n ga n dt h e f u t u r eo f t l l i sf i e l d s e c o n d l y , t h ed e f i n i t i o na n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fc h a o sa r ep r e s e n t e d t h e nw e f o r m u l a t et h et h e o r yo fc h a o t i cc o n t r o lw h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r , s u c ha s l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , l y a p u n o ve x p o n e n ta n dl y a p u n o v f u n c t i o n t h i r d l y , an e wc h a o t i cs y s t e ma n di t sc h a o t i ca t t r a c t o ra l ep r o p o s e d a n dt h e d y n a m i ca n a l y s i so f t h es y s t e mi sf o l l o w i n g t h e n ，t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h em e t h o df o rc o n t r o l l i n gt h eu n c e r t a i nl i u c h a o t i c s y s t e mw i t hk n o w np a r a m e t e r s 后a n dh v i aa d a p t i v eb a c k s t e p p i n gc o n t r 0 1 w i t ht h e m e t h o d ，p a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o na n dc o n t r o lc a l lb ea c h i e v e ds i m u l t a n e o u s l ya n d q u i c k l yw i t ho n l yo n ec o n t r o l l e r w i t h i nf i n i t es t e p s n u m e r i c a ls t i m u l a t i o n sa l e p r o v i d e dt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s sa n df e a s i b i l i t yo f t h i sm e t h o d f i n a l l y , a ni m p r o v e da d a p t i v eb a c k s t e p p i n gd e s i g ni sp r o p o s e dt oc o n t r o lt h e u n c e r t a i nu n i f i e dc h a o t i cs y s t e m a tf i r s t ，w ep r o v et h a ta ni m p r o v e da d a p t i v e b a c k s t e p p i n gd e s i g nm e t h o dw i t ho n l y o n ec o n t r o l l e ri su n a v a i l a b l e t h e n ，w e p r o p o s e da n o t h e rn e wb a c k s t e p p i n gd e s i g n w i t ht h ei m p r o v e dm e t h o d ，p a r a m e t e r s i d e n t i f i c a t i o na n dc o n t r o lo ft h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e mc a nb ea c h i e v e d f i m u l t a n e o u s l yw i t ho n l yo n ec o n t r o l l e rw i t h i n f i n i t e s t e p s a tl a s t , n u m e r i c a l s t i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h ee f f e c to ft h ec o n t r o la n dp a r a m e t e r s i d e n t i f i c a t i o nw i t ht h ei m p r o v e dm e t h o dw h e nt h ep a r a m e t e ri sc h a n g i n g k e y w o r d s ：c h a o s ；c h a o sc o n t r o l ；a d a p t i v ec o n t r o l ；b a c k s t e p p i n gd e s i g n ；u n c e r t a i n c h a o t i cs y s t e m ；l i uc h a o t i cs y s t e m ；u n i f i e dc h a o t i cs y s t e m 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密回。 学位论文作者签名：责每、蚤乍指导教师签名：删 堋年o 月，6 日；口。多年，p 月，多日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：；复、女鲁化 日期：洲年，0 1 月6 日 江苏大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 混沌研究的起源与发展 “混沌”是非线性系统表现出来的共同行为。世界上的非线性系统比比皆是： d , n 原子世界，大到宇宙，不论是自然科学，还是社会科学，不论是工程技术领 域，还是文化艺术部门，乃至集团部门和人际关系，各种各样的非线性系统，基 本覆盖了人类世界的各个领域【l 】。二十世纪下半叶以来，非线性科学得到了迅猛 的发展，其中对混沌的研究占了极大一部分。半个多世纪以来，人们对混沌运动 的规律以及它在自然科学各个领域中的表现已经有了十分丰富的认识，混沌在自 然界和人类社会中广泛存在这一事实已经被普遍接受；而如何应用混沌研究成果 为人类服务已经成为了非线性科学发展提出的重要课题之_ _ 1 2 1 。正因为混沌揭示 了自然界和人类社会普遍存在的复杂性、有序和无序的统一、确定性和随机的统 一，以及它在自然科学和社会科学等领域中所表现的覆盖面广、跨学科联系之多、 综合性强、发展前景和影响深远等，混沌的发现在国际上被称为是继二十世纪相 对论和量子力学问世以来的第三次物理学大革命，并且这场革命正在冲击和改变 着几乎所有科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战 3 1 1 4 1 。 科学史上，最早发现的混沌行为可以追溯到1 9 世纪法国数学家、物理学家 和天文学家庞加莱( j h p o i n c a r e ) 的研究。他在研究保守系统天体力学时，以 太阳系的三体运动问题为背景，提出了“天体力学的新方法”以及关于轨道稳定 性问题，不仅证明了天体运动存在周期轨道，而且发现了三体引力相互作用可以 产生惊人的复杂性，一个确定性动力学方程的某些解具有不可预见性，这实质上 就是现在所讲的“混沌现象”。 由于数学知识的不足，一直到2 0 世纪五六十年代，混沌理论才在天体力学 领域里取得了第一次突破性的进展，提出了所谓k a m 定理1 5 l 。k a m 定理是一 个多世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统能够所取得的最成功的结果，它的 提出被认为是创建混沌学理论的历史性标记，以及现代混沌学的第一个开端。 1 9 6 3 年，美国气象学家e n l o r e n z 取得了现代混沌学研究的第二个突破性进展， 他在大气对流模型的计算机数值计算中，发现了所谓的“蝴蝶效应”，即系统长 l 江苏大学硕士学位论文 期行为对初值微小变化的高度敏感依赖性，以及产生确定性系统的非周期性和长 期行为的不可预测性等混沌特性，并发现了第一个混沌吸引子l o r e n z 吸引 子，为以后的混沌研究开辟了崭新的道路1 6 j 。 从2 0 世纪7 0 年代开始，全球掀起了研究混沌的热潮，混沌的研究取得了极 大的进展。1 9 7 1 年，法国数学家d r u e l l e 和荷兰的et a k e n s 首先提出用混沌来 描述湍流形成机理的新观点，发现了第一条通向混沌的道路1 7 1 。1 9 7 3 年，法国数 学家、分形学创始人b m a n d e l b o r t 提出了分形几何学，为探索种种不规则的回 转曲折的相空间提供了理想工具 8 1 ，从而对混沌的几何特性的研究作出了杰出贡 献。1 9 7 5 年，华人学者李天岩和他的导师j y o r k e 联名发表了一篇论文周期三 则乱七八糟( 蕴涵混沌) 9 1 ，提出了著名的l i y o r k e 定理。l i y o r k e 定理描述 了混沌的数学特征，揭示了混沌的演变过程。这篇论文率先引入“混沌( c h a o s ) ” 一词，并为后来的学者广泛接受。1 9 7 6 年，法国天文学家h e n o nm 通过对l o r e n z 模型的简化得到了二维的h e n o n 映射，绘制了该混沌的吸引子，并研究了其复 杂的结构特征【1 0 1 。同年，美国生物学家i 乙m m a y 在( n a t u r e ) 上发表了“具有 极复杂动力学的简单数学模型”一文【1 1 1 ，它向人们表明了混沌中的惊人信息，即 简单的确定论数学模型也可以产生看似随机的行为。1 9 7 7 年夏，在意大利召开 的第一次国际混沌会议，标志着混沌学的正式诞生。大会主持人之一著名物理学 家j f o f d 在会上指出，混沌学是2 0 世纪物理学的第三次革命，“混沌消除了拉 普拉斯关于决定论式可预测性的幻想”，从而大大解放了人们的思想，使描述自 然界的两种对立的方法论( 决定论和概率论) 达到了和谐完美的统一。1 9 7 8 年， 美国物理学家m j f e i g e n b a u r m 在研究通过倍周期分叉通向混沌的过程中，发现 了著名的f e i g e n b a u r m 常数 t 2 l ，把混沌学研究从定性分析推进到定量计算的阶 段，成为现代混沌学研究的一个重要里程碑。 2 0 世纪8 0 年代以来，许多学者将混沌学研究与几乎所有的自然科学交叉， 混沌学的研究开始向工程技术领域和社会经济领域渗透，形成了蓬勃发展的态 势。1 9 8 0 年美国数学家b m a n d e l b o r t 用计算机绘制了第一张m a n d e l b r o t 集的图 形【1 3 】。德国教授h o p e i t g e n 和p h r i c h t e r 利用分形流域的边界作出了绚丽的 混沌图象【1 4 1 。1 9 8 3 年，蔡少棠( l o c h u a ) 发明了著名的蔡氏电路l ”1 ，蔡电路 因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。同年，加拿大物理学 2 江苏大学硕士学位论文 家p - g r a s s b e r g e r 在( p h y s i c s 上发表著名论文“计算奇异吸引子的奇异程度”， 开创了计算时间序列维数的热潮1 1 6 l 。1 9 8 4 年著名混沌学家郝柏林院士编著的 ( c h a o s ) 一书出版l j 7 j ，阐述了混沌研究的一些理论结果。1 9 8 6 年，第一届中国 混沌会议在桂林召开，促进了全国范围内的混沌研究的广泛展开。1 9 9 0 年，我 国学者徐京华在世界上第一个提出了三种神经细胞的复合网络中存在的混沌现 象i i 引。值得注意的是，在我国1 9 9 1 4 1 9 9 5 年的国家攀登计划关于“非线性科学” 的重要项目中，混沌研究列于三十个项目中的第四位，充分说明了我国科学技术 界对混沌科学的重视程度。 1 2 混沌研究的意义 混沌学的研究对现代科学技术的发展产生了巨大的影响。混沌学理论主要属 于物理学，但其知识和工具的积累主要靠数学。现代科学使混沌理论成为严密的 科学，同时混沌的研究也成了现代数学发展的重要动力。 混沌对现代数学的影响是多方面的。在分析数学方面最突出的是微分动力系 统，而数学混沌是微分动力系统理论的重要内容。混沌研究对几何学的影响，突 出表现在分形几何学的发展，混沌学中刻画奇异吸引子、确定不同吸引域的分界 线、描述k a m 环面破坏过程等都推动了分形几何学的发展。混沌研究还推动了 统计数学的发展，作为内在随机性的混沌既为算法信息论提供了物理对象，又促 进了算法信息论的纵向发展。混沌学、分形几何学、符号动力学等研究，又促进 了离散数学的发展。 混沌研究对物理学的影响，主要体现在混沌的研究改变了物理学家对天体运 动以及天体力学的看法，促使人们开始抛弃天体运动中历代相传的决定论传统。 混沌研究对非线性动力学的发展起着全局性、本质性的影响。混沌学不仅发 现了许多过去未曾重视的非线性问题，解释了许多非线性现象的机理，而且引起 了力学基本观念的革命性转变，使人们开始认识到确定论与概率论并非相互排 斥、截然对立，牛顿力学既是确定论的，也可以是概率论的，混沌学为牛顿力学 和统计力学架起了相互沟通的桥梁。 混沌理论的研究，对生物学的发展也产生了重大影响，它改变了生态学种群 演化理论。生物学领域种群生态学提出的简单数学模型，曾推动了混沌理论的兴 江苏大学硕士学位论文 起，而混沌学研究的进展又将生物学作为除物理学科以外的最早应用领域，混沌 动力学也成为研究生物现象的主要理论工具之一。 此外，近三十年来混沌研究取得的进步，也促使对量子混沌研究的兴起。 对混沌学的研究，统一了在方法论和认识论上描述客观世界的两套相互独立 的体系确定论和随机论。确定论联系着有序性、可逆性和可预见性，随机论 则联系着无序性、不可逆性和不可预见性。这两大体系在各自的领域里，都成功 的描述过客观世界，但客观世界只有一个，世界到底是确定的还是随机的? 必然 的还是偶然的? 有序的还是无序的? 可否将世界分成一半一半? 这是一个长期争 论而没有得到解决的问题。而混沌学的研究则揭示：世界是确定了、必然的、有 序的，但同时也是随机的、偶然的、无序的，有序的运动产生无序，无序的运动 又包含着更高层次的有序，现实世界就是确定性和随机性、必然性和偶然性、有 序性和无序性的辨证统一。 寻找确定性非线性系统中的混沌现象，利用混沌动力学理论和方法，分析新 混沌系统的动力学行为，研究混沌系统的内在结构和性质特征，探索混沌的控制 问题，有利于促进混沌学的进一步发展，有利于混沌理论的完善。而混沌学的发 展和完善，将迸一步充实系统工程的理论基础和方法，推动系统工程的迅速发展 和广泛应用，为我国的改革开放和社会主义现代化建设中出现的各种复杂工程系 统，提供必要的理论方法与技术支持。 混沌研究的成果正在影响着自然科学和人类社会的发展，并且还会在将来的 科学发展中起重要作用。正如郝柏林院士所断言的混沌研究“正在促使整个现代 知识体系成为新科学”。对混沌理论的进一步研究和应用必将极大地推动当代 科学技术的进步，促进社会生产力的大发展。 1 3 混沌控制的发展及展望 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制 成为混沌应用的关键环节。1 9 8 9 年，胡柏勒( a h u b l e r ) 发表勒控制混沌的第 一篇文章嘲。1 9 9 0 年奥特( e o t t ) 、格锐柏基( c g r e b o 西) 和约克( j a y o r k e ) 提出 的控制思想产生广泛响应【2 0 】。同年，佩考拉( l m p 删和卡罗尔( t l c a r r o l l ) 提出混沌同步的思想2 ，接着迪托( w l d i n o ) 和罗意( r i b y ) 等完成了控制混沌 4 江苏大学硕士学位论文 的实验1 2 2 1 1 2 引。接下来的十多年，混沌控制和混沌同步的研究得到勒蓬勃的发展， 这一方向迅速成了混沌研究领域的重要热点。各国的学者们提出了一系列控制混 沌的方法【2 4 h 3 0 l ，混沌控制目标由最初的不动点低周期轨道的稳定发展到高周期 轨道、准周期轨道的稳定；控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统，乃 至于无穷维系统( 时空混沌) 。对混沌控制的认识由最开始的抑制混沌，逐渐发 展到混沌同步控制，混沌反控制即产生所需要的具有某些特定性质的混沌运 动，甚至产生出所需的混沌轨道。其间，各种控制混沌的方法也在光学、化学反 应、流体、电子电路、人工神经网络以及生物系统等大量实验和应用中得到验证 p l l 巾5 1 。 目前，混沌控制正在逐步形成系统化的理论体系，混沌控制不仅为混沌应用 提供了条件，而且促进了混沌理论和系统控制理论两个方面研究的深入。 1 4 本文研究的主要内容 本文主要研究复杂混沌系统的混沌控制问题。具体工作如下： 第一章，回顾了混沌的研究历史，以及混沌控制的兴起、发展和未来的展望。 第二章，阐述了混沌的定义及其特性，以及本文采用的控制混沌的方法所涉 及的理论基础，例如：l y a p u n o v 稳定性原理、l y a p u n o v 指数、l y a p u n o v 函数， 分形维数以及测度熵等。在第二章里，还介绍了混沌控制类型、任务、目标以及 主要方法分类等。 第三章，提出了一个新的混沌吸引子，并基于第二章的理论基础，研究了该 吸引子的动力学特性，主要包括：平衡点的稳定性分析、耗散性及吸引子的存在 性分析、l y a p u n o v 指数分析、l y a p u n o v 维数分析、时域波形图分析、功率谱分 析以及庞加莱截面分析等。 第四章，研究了混沌系统的自适应控制问题。阐述了b a c k s t e p p i n g 方法的基 本原理，并将该方法应用于对参数未知的l i u 混沌系统的控制。理论推导说明用 b a c k s t e p p i n g 方法设计出的单控制器能使受控系统收敛到一有界点，而且设计的 参数自适应律也能完成对系统未知参数的识别，数值仿真也证明了该方法的可行 性和有效性。 第五章，研究了第三章所述b a c k s t e p p i n g 方法的改进方法。首先，指出了一 江苏大学硕士学位论文 种不可取的b a c k s t e p p i n g 方法，通过理论推导和数值仿真，证明了这种方法是错 误的、不可取的。其次，提出了一种有效的改进后的b a c k s t e p p i n g 方法，用改进 后的方法对参数不确定的统一混沌系统实施控制，并详细研究了参数变化对控制 效果和参数识别结果的影响。 第六章，对本文的工作进行了总结。 江苏大学硕士学位论文 第2 章基本概念和基础理论 本章阐述了混沌的定义及其特性，以及本文采用的控制混沌的方法所涉及的 理论基础，例如：l y a p u n o v 稳定性原理、l y a p u n o v 指数、l y a p u n o v 函数，分形 维数以及测度熵等。其次，还介绍了混沌控制类型、任务、目标以及主要方法分 类等。 2 1 混沌 2 1 1 混沌的概念与定义 “混沌”亦称为“浑沌”，是一种非线性动力学现象，是确定性系统产生的 内在随机性。一般完全确定的非线性系统中，产生混沌的参数范围在参数空间中 具有非零测度，初值范围在相空间中同样具有非零测度。混沌一词由李天岩( l i t 和约克( y o r k eja ) 于1 9 7 5 年首先提出。他们在1 9 7 5 年发表的论文“周期3 蕴 含着混沌”中，提出了著名的l i y o r k e 定理1 9 l ，并对混沌概念给予了数学描述。 迄今，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，如下四种定义 具有互补的效果，较好地概括了混沌的定性行为i l j 。 第一种定义：基于混沌的“蝴蝶效应”，即倘若一个非线性系统的行为对初 始条件的微小变化具有高度敏感的依赖性，则称为混沌运动。这种对初值的高度 敏感依赖，使系统的行为表现出极端的不稳定性在相空间内初始值及其邻近 的两条轨道，随时间的推进两条轨道的距离彼此以指数形式迅速分离而永不相 遇。但是系统的混沌奇异吸引子的整体是稳定的，系统的长期行为显示出混乱性 和不可预测性。 第二种定义：基于l i y o r k e 定理，从数学上严格定义。 第三种定义：除了通常已知的三种典型运动类型，即平衡点( 静点) 、周期 及准周期运动以外一种类似随机的运动形态，就是混沌运动，它的特点是局部极 不稳定而整体稳定。 第四种定义：来源于确定性运动的无规则运动，由哈肯提出。 以上几种定义主要是从非线性动力学角度、从数学、物理的观点提出来的。 江苏大学硕士学位论文 这里，本文详细介绍第二种定义。 l i - y o r k e 定理：设( x ) 是【口，b 】上的连续映射，若，( 曲有3 周期点，则对任 何正整数 ，f ( x ) 有疗周期点。 混沌定义如下：闭区间j 上的连续自映射f f x ) ，倘若满足下列条件，则一定 出现混沌现象： ( 1 ) f 的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意x , y e s ，x j ，时，则有 l i m s u p l 厂”( x ) - f ”( y ) | o - ( i i ) 对任意x ，y s ，则有 l i m i n f i 厂”( d 一广( y ) i - 0 - ( i i i ) 对任意x s 和的任意周期点y ，则有 l i ms u p l 尸( x ) 一广( 力| o - 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数f ( x ) ，如果存在一个周期为 3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天 岩的话来说，只要有周期3 就“乱七八糟”，什么周期都有可能。 这个定义是针对一个集合提出的，但它表明了混沌运动的重要特征：第一， 存在所有阶的周期轨道；第二，存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道， 且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一 轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道：第三，混沌轨道具有 高度的不稳定性。 2 1 2 混沌的特征 从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动却与随机过程有着 本质的区别。混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是系统内在 8 江苏大学硕士学位论文 随机特性的外在表现，因此又称确定性混沌：而随机过程则是由外部特性的噪音 引起的。混沌系统的复杂动力学具有如下基本特性： ( 1 ) 内在随机性 混沌的定常状态不是通常概念下的确定性运动的三种状态：静止、周期运 动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的、具有复杂形 态的运动。第一，混沌是系统固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的、 内在的因素决定，是系统内在随机性的表现，而不是受外界干扰产生的。第二， 混沌的随机性是确定性的，确定性分个方面：首先，混沌系统是一个确定的系统， 是一个真实的物理系统：其次，混沌的表现是貌似随机的，而不是真正的随机， 系统每一时刻的状态都受到前一时刻的影响，是确定出现的，而不是象随机系统 那样随意出现，混沌系统的状态是完全可以重现的，这和随机系统也是不同的。 第三，混沌系统的行为具有复杂性，它不是周期运动，也不是准周期运动，具有 良好的自相关性。 ( 2 ) 长期行为不可预测性 由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时 间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性， 即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。 ( 3 ) 对初值的敏感依赖性 在相空间内初始极其相近的两条轨道，随着时间的推移两条轨道的距离彼此 以指数形式迅速分离而永不相遇，即存在对初始条件的敏感依赖性。 ( 4 ) 普适性 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其特征不因具体系统的 不同和系统运动方程的差异而变化。 ( 5 ) 分形性 混沌吸引子的几何特征具有分形维数和自相似嵌套结构。分形( f r a e t a l ) 这个 词是由曼德布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 在7 0 年代创立分形几何学时所使用的一个新 词。所谓分形是指n 维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构， 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间维数押的非整 数维数，这种点集叫分形。分维就是用非整数维分数维来定量描述分形的基 9 江苏大学硕士学位论文 本特征。 ( 6 ) 整体有界性 混沌吸引子内的相轨迹具有高度的不稳定性，但在相空间内整体上是有界 的。 ( 7 ) 遍历性 遍历性也称为复杂性。混沌的“定常状态”指的是一种始终局限于有限区域 且轨道永远不重复的、形态复杂的运动。所以，随着时间的推移，混沌运动轨迹 绝不会逗留在某一状态而是遍历区域空间中的每一点。 2 2 定量刻画和表征混沌的特征量 2 2 1l y a p u n o v 指数 混沌最重要的一个特征量是李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数1 3 6 】，它刻画了系 统对初始条件的高度敏感性，从宏观上对系统的混沌吸引子进行了刻画。混沌运 动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极靠近的初值所产生的轨道，随 时间推移按指数方式分离，l y a p u n o v 指数是定量描述这一现象的量。 首先来看一维情形。在一维动力系统k 。= f ( x ，) 中，初始两点在迭代一次 后，如果i 譬i l ，迭代使两点分开，如果i 军l 0 可以作为混沌行为的判 据。 对于高维离散动力系统可以类似的定义l y a p u n o v 指数。设f 是r ”一r ”的 m 维映射，决定以下的舶维离散动力系x u 。= f ( x 。) 。将系统的初始条件取为 一个无穷小m 维的球，由于演变过程中的自然变形，球将变成椭球。将椭球的所 有主轴按其长度顺序排列，那么第f 个l y a p u n o v 指数根据第f 个主轴的长度p ( 聍) 的增加速率定义为l y a p t m o v 指数 2 1 - - l l i - - - m i o o 丢l l l l 器- l ，2 ，胁 ( 2 4 ) 厅晶( 功” 一7 这样l y a p u n o v 指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在 l y a p u n o v 指数小于零的方向上轨道收缩，运动稳定，对初始条件不敏感，而在 l y a p u n o v 指数为正的方向上，轨道迅速分离，对初值敏感。注意椭球的主轴长 度按一增加，由前二个主轴定义的区域面积按e ( + 南增加，由前三个主轴定义的 区域体积按p + + 南增加，如此等等，这个特性表达了l y a p u n o v 指数的另一个 含义，即前，个指数的和由前- ，个主轴定义的_ ，维立体体积指数增加的长期平均 速率确定。用上述无限小状态球的演变来计算l y a p u n o v 指数是不能在计算机上 江苏大学硕士学位论文 实现的，因为计算机不能表示无穷小量。另一个问题是球的扭曲程度也指数地加 速增加，因而所有主轴向量的方向将向最大l y a p u n o v 方向靠拢，无论计算机的 精度如何，都无法区分这些主轴向量的方向。为此，我们可以采用线性代数中的 g s r 方法追踪发散轴的行为，可以用相空问各维上的体积元素的长期增长速率 来计算l y a p u n o v 指数。但是在实际计算中还是很困难的，不过为了判断m 维离 散动力系统是否出现混沌，并无必要去计算一切l y a p u n o v 指数。1 9 8 3 年格里波 基证明只要最大的l y a p u n o v 指数大于零，就可以肯定混沌的存在，而计算最大 的l y a p u n o v 指数可以采用下面的n i c o l i s 方法。 用i 表示聊维空间的距离，则最大l y a p u n o v 指数满足 万工il | e “刊jf ”( x o + f ，) 一，”( 而) 剐lt ，魄一1 ) ，( 一2 ) g ( x o ) s x o 为计算旯。，选取6 为d 。e 。，其中d o 表示模，而表示一单位向量。d ( x 。) e o 也为一向量，设为d i e l ，d l 为模，e l 为一单位向量。j ( x i ) e l 也为一向量，设为d ：p 2 ， d 2 为模，e 2 为一单位向量a 以次类推，得到j ( 矗一1 ) 一i = d e 。，e n 为一单位向量。 则 1 五l _ l i m 二n i n | 以以- i “a 2 a , i ( 2 5 ) 2 2 2 混沌的几何特征量一一分数维 通常称具有整数维的吸引子为平庸吸引子，如稳定态解是最简单的吸引子， 其维数为零。稳定态解通过h o p f 分岔成为极限环，则是一维吸引子。倘若有以 次h o p f 分岔，并且它们的频率都是互不可公约的，当有一维环面时，则称r 维 吸引子，n = l ，2 ，( 疗为整数) 。分数维是指维数为分数。分数维性质是混沌奇异 吸引子在几何上的一个最重要特征量。混沌轨道在相空问内由于无限次的拉伸、 压缩和折叠，构成了无穷嵌套的自相似的结构，形成混沌奇异吸引子。 现在已有许多关于维数的定义和计算方法，这里只作简单介绍。 ( 1 ) 容量维数或豪斯道夫( h o u s d o f f f ) 维数 它是一个最直观的分数维。考虑n 维空间中的一个集合( 如l o r e n z 奇异吸 江苏大学硕士学位论文 引子) ，以边长为e 的n 维体积元k 的集合去覆盖奇异吸引子这个集合，设含有 该集合元素的体积元的数目为n ( 6 ) ，则 d l2 姆掣 旺s ， 称为该集合的豪斯道夫维数或容量维数，相应计算方法称为盒子计数法( 因 为它是用体积元屹的盒予去度量奇异吸引子的集合) ，d l 实质上是p ) 对的 双对数图的斜率，它具分形维数称为分维。 ( 2 ) l y a p u n o v 维数、关联维数和信息维数。 除了h a u s d o r f f 维数之外，常见的还有l y a p u n o v 维数、关联维数和信息维数 等等，它们之间存在着一定的关系。 ( i ) l y a p u n o v 维数d 工可以由已知的l y a p u n o v 指数算得，它的估计式是 由k a p l a n 和y o r k e 给出的： d l = _ ，+ 杰丑j , t , + 1 ( 2 7 ) 式中 五 是n 维动力学系统的l y a p u n o v 指数，为使得 l + 2 + + j o 的最大整数，在三维的混沌系统中，l y a p u n o v 指数只有( 五，0 ，疋) 三 个，则上式退化为 弘2 + 南 q 名) ( i i ) 信息维数d j 与d j 计算一样，首先利用一个边长为的超立方盒子的 网格去跟踪轨迹来计算，定义为： q = 蜘只i n p , ! ( 2 9 ) 即口是由只l n p + 对l 的双数图的斜率来估算，其中n 是由啊来近 似，托为第f 个盒子中的数据点数，n 为总数据点数，该法与d l 算法有同样的缺 点。更好的算法可利用所谓。最邻近技术”及投影追赶技术。 ( i i i ) 关联维数定义为： 1 3 江苏大学硕士学位论文 式中占含义同前。 i n z t , ? d c2 觋吉 2 2 3 测度熵与k 熵 ( 2 1 0 ) 混沌轨道的局部不稳定，使相邻轨道以指数速率分离。如果两个初始点如此 靠近，以致在一段时间里不能靠测量来区分两条轨道，则只有在它们充分分离后 才能加以区分。在此意义上，混沌运动产生信息，信息量与可以区分的不同的轨 道数目n 有关。对于混沌运动，n 随时间指数增长：n e h 这里常数k 刻画信息产生的速率，即为测度熵。 考虑奇异吸引子上动力系统的轨道x ( t ) = 五( f ) ，x a t ) 。设d 维相空间被划 分尺寸为l d 的盒子，系统的状态可在时间的间隔内观察。设p 。吨是x ( o ) 在盒 子，o 中，x ( f ) 在盒子 中，o o o , i x ( n r ) 在盒子中的联合概率，则k o l m o g o r o v 熵 ( 简称k 熵) 为 k 一嘞l i m ! 鳃吉p l n p 。(211)，-a,o r 0 f ：。”1 上述k 熵定义为信息的平均损失率，极限r 寸0 说明足与相空间划分的选取 无关。足熵在混沌量度中是很有用的。对规则运动，k = o ；对随机系统矗每一； 若系统表现确定性混沌，则足是大于0 的常数。足熵越大，那么信息的损失速率 越大，系统的混沌程度越大。在一维映射中，k 熵恰为正的l y a p u n o v 指数。在 高维系统，k 熵与l y a p u n o v 指数五有以下关系： k = i p ( x ) c , v ( x ) a x ( 2 1 2 ) 因为在大多数情形笱与x 无关，所以若式中吸引子的密度以不变，这时 积分p ( x ) d x = 1 ，则上式可简化成下面的求和k = 钟，k 熵变成了正的 l y a p u n o v 指数之和。 1 4 江苏大学硕士学位论文 2 3l y a p u n o v 第二法和l y a p u n o v 函数 的全导数望! 掣，便可以确定系统平衡点的稳定性，这就是l y a p t l n o v 第二法的 石d t = r ( x ) ( 2 1 3 ) 叫扑加豢孙则啦即腿域 g = “，x 。) ：0 x l l 0 ，那么方程( 2 1 3 ) 的零解是不稳定的。 定理4 如果存在一个定正的函数矿( 工) ，其关于方程( 2 1 3 ) 的全导数华为 讲 常负，但使华：o 的点x 的集合中，除零解x ：o 外，并不包含方程( 2 1 3 ) 的 讲 其它解，则方程( 2 1 3 ) 的零解渐近稳定。 l y a p u n o v 第二方法将稳定性的问题转化为l y a p u n o v 函数的构造问题，寻找 和建立满足上述诸定理的函数v ( x ) ，实质上需要高度的技巧。l y a p u n o v 和他的 后继者也已经提供了某些建立l y a p u n o v 函数的方法，他们可以成功的解决许多 具体问题，归集起来，有类比法、能量函数法、变量分离法、变梯度法、广义能 量法、首次积分线性组合与加权法等。 2 4 混沌控制的一些基本概念 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一，对这个问题的研 究具有重要的理论和实际意义。 2 4 1 混沌的类型 混沌行为的主要特征量是l y a p u n o v 指数五，它刻画了混沌系统对初始条件 的高度敏感性。通常，低维时间混沌系统只有一个五大于零。实际上，在自然界 及社会经济等领域中广泛存在着高维非线性系统，诸如受控聚变装置中等离子体 的混沌和湍流现象与无穷维有关，由多路( 多元) 激光器所构成的总体激光系统， 国家经济领域中可持续发展问题、金融系统、股市系统等复杂系统，它们都是高 维复杂系统，存在一个以上正的l y a p u n o v 指数七( i = l 2 ) 的混沌行为，人们称 之为超混沌。在高维的时间空间系统中，不仅在时间上而且在空间上都同时存在 混沌现象，统称时空混沌，这类混沌大多具有二个或更多的五 0 。 江苏大学硕士学位论文 因此，从混沌的类型上，可以分为四大类：第一类时日】混沌，只存在与时间 演化有关的混沌：第二类空间混沌，只存在与空问位置变化有关的混沌：第三类时 空混沌。在时间和空间上都呈现混沌，还可以包括生物体内产生的