（运筹学与控制论专业论文）lp空间中凸体几何的度量理论研究.pdf

摘要 本学位论文致力于研究岛一空间中凸体几何的度量不等式和极值问题，隶属 于岛一b r u n n m i n k o w s k i 理论( 又称为b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论) 领域，该领域是 近十多年来在国际上发展非常迅速的一个几何学分支本文主要利用l 口一b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基本概念、基本知识和积分变换方法，研究了岛一空间中凸体几 何领域诸多几何体：工2 一投影体，岛一截面体，混合截面体，混合新几何体r - p 彤 以及由我们新引入的岛一仿射表面积、一混合均质积分、如一混合仿射表面积 所构成的度量不等式和极值问题 利用2 k 是一个中心在原点的椭球这一特殊性质，在第二章给出了投影不等 式p e t t y 猜想的k 一形式( p = 1 时即是p e t t y 投影不等式猜想本身) 在当p = 2 时， 其逆形式的两个结果，这些结果是对投影不等式p e t t y 猜想的完善，同时建立了厶2 一 投影体2 k 与标准化下经典投影体i i k 的包含关系，还解答了一个约束最小化问 题 在第三章中，我们依据g a r d n e r 和g i a n n o p o u l o s ，v y a s k i n 和m y a s k i n ，c h a b e r e l 和m l u d w i g 提出的概念，合理地用不同的符号重新定义了如一截面体易k 对这 一几何体，给出了算子的线性等价性，及其当p 一1 时的单调性结果，同时将 如一截面体和岛一对偶混合均质积分肌p ，t ( k ，工) 相结合，在正规化。一径向加或 者岛一径向线性组合的条件下，分别建立了关于岛一截面体的对偶均质积分形式 的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式及其隔离加强形式 l u t w a k 推广了w i n t e r n i z 单调性问题，即得到：假设k p ，且e 是一个椭 球，以及k 的投影体的体积不超过e 的投影体的体积，那么q ( k ) sq ( e ) 成立 在第四章，利用在邱一混合体积和岛一广义仿射表面积之间所建立的等价关系， 我们把上述l u t w a k 的结果推广到l p 一形式，而且作为这种等价关系的应用，建立 了l 口一混合均质积分形式的a l e k s a n d r o v 的投影定理和p e t t y - s c h n e i d e r 定理 在凸几何中，凸体的极体是一个非常重要的研究对象在最重要的仿射等周不 等式中，b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式和p e t t y 投影不等式是两个与凸体的极体密切相关 的不等式，可是对于星体而言，其极体却并不一定存在在第五章，利用m o s z y a l s k a 介绍的星对偶概念，将混合截面体的星对偶与对偶均质积分结合起来，在调和p 一 组合或者p 一径向线性组合的条件下，分别建立了关于混合截面体的星对偶的对偶 均质积分形式的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 儿 根据l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 提出的新几何体f _ p k ，我们在第六章引入混合新 几何体f _ p # k 的概念一一新几何体是它的特殊情形对混合新几何体r - p ， k ，我们 获得了算子- p , i 的五个基本性质，建立了f - p , i k 的体积y ( r - p ， k ) 与凸体k 的体 积v ( k ) 之间的关系，以及关于混合新几何体f _ p # k 的s h e p h a r d 类问题 此外，我们还在第七章研究了一混合仿射表面积和如一质心体的相互关系， 获得了b u s e m a n n p e t t y 仿射质心不等式的广义岛一形式，得到了关于岛一混合仿 射表面积的b l a s c h k e - s a n t m 6 不等式，同时，获得了对偶u r y s o h n 不等式的一般形 式，最后，利用p - b l a s c h k e 平行体的定义，我们建立了与m a r c u s - l o p e s ，b e r g s t r o m 和k yf a n 不等式的一种类似形式 关键词；凸体，星体，工2 一投影体，易一截面体，混合截面体，混合新几何体r - v , t k ， o 一仿射表面积，k 一混合均质积分，o 一混合仿射表面积 a b s t r a c t i i i t h et h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo fm e t r i ci n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u mp r o b l e m si n c o n v e xb o d i e sg e o m e t r yo fl p - s p a c e ，a n db e l o n g st ot h ed o m a i n ，w h i c hi sah i g h s p e e d d e v e l o p i n gg e o m e t r yb r a n c ho nt h ed e c a d eo fl a t e ，o ft h el vb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y ( o r c a l l e db r u n n m i n k o w s k i - f i r e yt h e o r y ) b ya p p l y i n gt h eb a s i cn o t i o n s ，b a s i ct h e o r i e sa n d i n t e g r a lt r a n s f o r m so ft h el pb r u n n m i n k o w s k it h e o r y , w er e s e r c ht h em e t r i ci n e q u a l i t i e s a n de x t r e m u mp r o p e r t i e so fs o m eg e o m e t r yb o d i e sc o n t a i n i n gt h el 2 一p r o j e c t i o nb o d y , l v i n t e r s e c t i o nb o d y , m i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e s ，m i x e dn e wg e o m e t r yb o d yf _ p , i ka n d an e wn o t i o nf r o mo u rd e f i n i t i o n 一耳一a f f i n es u r f a c ea r e a ，l v m i x e dq u e r m a s s i n t e g r a l s a n dl p - m i x e da 庙l n es u r f a c ea r e a 8i nt h el v - b r u n n - m i n k o w s k it h e o r y i nc h a p t e rt w ow eu s et h es p e c i a lp r o p e r t yt h a t1 1 2 ki sa no r i g i n - c e n t e r e de u i p s o i d t og i v et w ov e r s i o n sf o rt h er e v e r s e so ft h el 2 - p e t t yp r o j e c t i o ni n e q u a l i t y ( l 1 p e t t yp r o - j e c t i o ni n e q u a l i t yi sj u s tt h ep e t t y sc o n j e c t u r e dp r o j e c t i o ni n e q u a l i t y ) ，a tt h es a l t l rt i m e ， t h ei n c l u s i v er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nl 2 - p r o j e c t i o nb o d yi 1 2 ka n dt h ec l a s s i c a lp r o j e c t i o n b o d yi i ka r ee s t a b l i s h e d ，ac o n t r a i n e dm i n i m i z a t i o np r o b l e mi ss o l v e d i nc h a p t e rt h r e e ，a s s o c i a t e dw i t ht h en o t i o n so fg a r d n e r sa n dg i a n n o p o n l o s ，o r v y a s k i n sa n dm y a s k i n s ，o rc h a b e r l sa n dm l u d w i g s ，w er e a s o n a b l l yr e w r i t ei tu s n g s o m ed i f f e r e n ts i g n s 一一l p i n t e r s e c t i o nb o d yi p k o nt h i sg e o m e t r yb o d y , l i n e a r l ye q u i v - a l e n tp r o p e r t ya n ds e v e r a lm o n o t o n i c i t yr e s u l t sw h e np 一la r eg i v e n ，a n dt o g e t h e r l p - i n t e r s e c t i o nb o d yw i t hl pd u a lm i x e dq u e r m a s s i i n t e g r a l s 肌p ，l ( 墨l ) ，u n d e rt h e n o r m a l i z e d 岛r a d i a la d d i t i o na n dl vr a d i a ll i n e a rc o m b i n a t i o n ，w er e s p e c t i v e l ys h o wt h e d u a lq u e r m a s s i n t e g r a l sv e r s i o n sb r u n n m i n k o w s k ii n e q u a l i t ya n di t si s o l a t ef o r m sa b o u t 岛- i n t e r s e c t i o nb o d y l u t w a ke x t e n d e dw i n t e r n i zm o n o t o n i c i t yp r o b l e m ，t h a ti s ，i fk 咒n ，a n dei sa n e l l i p s o i d ，t h e ni ft h ea r e a so ft h ep r o j e c t i o n so fk d on o te x c e e dt h o s eo fe ，i tf o l l o w s t h a tq ( k ) q ( e ) c h a p t e rf o u ru s e 强e q u i v a l e n tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nl v m i x e d v o l u m e sa n dl p - e x t e n d e da f l i n es u r f a c ea r e a s ，w ee x t e n dl u t w a k sr e s u l tt ol va n a l o g a sa p p l i c a t i o n so ft h i sa p p r o a c h ，w ee s t a b l i s ht h e 岛一m i x e dq u e r m a s s i n t e g r a lv e r s i o n s a l e k s a n d r o v sp r o j e c t i o nt h e o r e ma n dp e t t y - s c h n e i d e rt h e o r e m i nt h ec o n t e x to fc o n v e xg e o m e t r y , t h ep o l a ro fac o n v e xb o d yi sa ni m p o r t a n to b j e c t i v h o w e v e r ，t h ep o l a ro fas t a rb o d ym a yn o te x i s t i nc h a p t e rf i v e ，b yt h en o t i o no fs t a r d u a lo fas t a rb o d yt h a tm o s z y c t s k ai n t r o d u c e d ，a n da s s o c i a t e dw i t hs t a rd u a lo fm i x e d i n t e r s e c t i o nb o d i e sa n dd u a lq u e r m a s s i n t e g r a l s ，w i t ht h eh a r m o n i cp c o m b i n a t i o na n d p r a d i a ll i n e a rc o m b i n a t i o n ，w er e s p e c t i v e l ys t a t et h ed u a lq u e r m a s s i n t e g r a l sv e r s i o n s b r u n n m i n k o w s k ii n e q u a l i t ya b o u ts t a rd u a lo fm i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e s r e c e n t l y , l u t w a k ，y a n ga n dz h a n gp o s e dt h en o t i o no fn e wg e o m e t r i cb o d yf - v k ， i nc h a p t e rs i x ，w ei n t r o d u c ean e wn o t i o n 一一t h em i x e dn e wg e o m e t r yb o d yr p i k ( t h e n n e wg e o m e t r i cb o d yb e i n gi t sas p e c i a le a s e ) f o rt h i sg e o m e t r i cb o d 弘w eo b t a i nf i v e p r o p e r t i e so ft h eo p e r t o rr 呻，i ，e s t a b l i s ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ev o l u m e so fr - v , i k a n dt h a to fc o n v e xb o d yk ，a n ds t u d ys h e p h a r dv e r s i o n sp r o b l e ma b o u tt h em i x e dn e w g e o m e t r i cb o d y a sa na s i d e ，i nc h a p t e rs e v e n ，t h ec o n c e p t so ft h ei t h l p - m i x e da f f i n es u r f a c e a r e aa n dl p p o l a rc u r v a t u r ei m a g e sa r ei n t r o d u c e d ，t o g e t h e rl p c e n t r o i db o d yw i t h p b l a s c h k el i n e a rc o m b i n a t i o n ，w ep r o v et h eg e n e r a l i z a t i o no f 岛- v e r s i o n so ft h eb u s e m a n n - p e t t ya f l i n ec e n t r o i di n e q u a l i t y , a n dg e tt h ei n e q u a l i t ya n a l o g o u st ot h eb l a s c h k e - s a n t a l 6 i n e q u a l i t yf o rt h e 一m i x e da 伍l n es u r f a c ea r e aa n dt h eg e n e r a lf o r m so ft h ed u a lu r y s o h n i n e q u a l i t y , a n do b t a i nt h es i m i l a rt ot h ei n e q u a l i t yf o rm a r c u s - l o p e s ，b e r g s t r o ma n dk y f a n k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y , s t a rb o d y , l 2 - p r o j e c t i o nb o d y , l v - i n t e r s e c t i o nb o d y , m i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e s ，m i x e dn e wg e o m e t r yb o d yr _ p , i k ，岛一a t f i n es u r f a c ea r e a ， l v m i x e dq u e r m a s s i n t e g r a l s ，l v m i x e da f f i n es u r f a c ea r e a s 原创性声明 本人声明。所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：日期：瑶二匿二乡 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名静制貅鳓卅期：蚍上 第一章绪论 1 1 学科综述 凸几何的研究自古有之即使现在人们还感兴趣的一些问题，如p l a t o n i c 立体， 等周问题，多胞形凸表面的刚性问题( r i g i d i t yo fp o l y t o p a lc o n v e xs u r f a c e s ) ，棱椎体积 问题等，在a r c h i n e d e s ，e u c l i d 和z e h o d o r o u s 的工作中也可以找到其解决方法或提 示现代凸几何的研究应始于g a l i l e o ，b e r n o u l l i ，c a u c h y 和s t e i n e r 对古代这些问题 所进行的几何和分析的工作，而系统的研究起源于十九世纪下半叶和二十世纪初 c a u c h y , s t e i n e r ，b r u n n 及m i n k o w s k i 的工作，这一阶段，c a u c h y , s c h w a r z 和d e h n 解答了这些问题，特别地，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是凸几何研究中两位杰出的奠 基者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和 w f e n c h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支 2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式，其中不少结果在许多领域 有着广泛的应用2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何 分析学派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性的进展，使 得一些经典的凸体几何难题得以解决，也使得对凸体理论的研究空前繁荣，成为现 代数学重要的主流方向之一，b o u r g a i n 也因此而得到f i e l d s 奖进入2 0 世纪9 0 年 代后，凸体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸体扩大到星体1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所( m s r i ) 将几何分析列为个半年项目( ah a l f - y e a rp r o g r a m ) ，项目结束后 出版了两本书： “c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s ”和。f l a v o r so fg e o m e t r y ”，这两本 书，特别是后者列举了大量关于凸体的等周极值问题的研究结果，其引言中指出这 种研究将是近期数学研究的一个十分重要的方面同时，近年来，凸几何学已成为 美国等国家科学基金重要的资助对象 l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论( 又称为b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论) 隶属于凸体几 何学，是凸体几何学和b a n a c h 空间几何学的一个交叉方向，它以现代泛函分析为 工具，以岛空间中的凸体度量极值问题为主要研究对象 l p b r u n n m i n k o w s k i 理论起源于f i r e y ( 4 0 ) 于1 9 6 2 年定义的凸体的f i r e y 如一 组合( 又称为f i r e y 线性组合) ，该理论的建立归功于著名数学家e l u t w a k 上世纪九 十年代的系列工作1 9 9 3 年，l u t w a k 在文献【9 5 】中把凸体的f i r e y l p - 组合引入 到经典的b r u n n m i n k o w s k i 理论，提出了岛一混合体积、岛一混合均质积分、如一 】 2 l 。一空间中凸体几何的度量理论研究 表面积测度和三口一混合表面积测度等概念，并建立了相应的积分表达式从而把经 典的b r u n n m i n k o w s k i 理论推广到如一空间中进行研究随后，l u t w a k 于1 9 9 6 年 在文献【9 6 】中又把f i r e y ( 3 8 ，3 9 ) 于1 9 6 1 年定义的岛一调和径向组合引入到经典对 偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，提出了如一对偶混合体积、岛一仿射表面积、岛一几 何表面积、如一曲率映象等概念，不仅更加丰富了k b r u n n - m i n k o w s k i 理论，而 且也标志着对偶l p b r u n n m i n k o w s k i 理论的形成 在该理论研究领域，国际上异常活跃的领军人物当数e l u 栅a k ，d y a n g ，g y z h - a n g 及r j g a r d n e r 等著名数学家，他们先后在a n n m a t h ，j d i f f e r e n t i a lg e o m ，a d v m a t h p r o c l o n d o nm a t h 等国际权威数学期刊上发表了若干相关论文，引入了岛一 质心体( 【8 6 】) 、l p 一投影体( 【8 1 】) 、新椭球( 8 0 】) 、l p j o h n 椭球( 【8 4 】) 、l p 一截 面体( 阻】) 、岛一带体( 【8 3 】) 等概念，并系统地研究了岛- s o b o l e v 不等式( 8 2 】) 、 l p 一仿射等周不等式( 8 1 1 ) 、l p - m i n k o w s k i 问题( 【8 3 】) l p 一子空间中的体积不等 式( 【8 5 】) 等问题特别令人惊讶的是，他们还发现了l p b r u n n m i n k o w s k i 理论在信 息科学中的大量应用例如，新椭球的概念被应用到信息科学中( 8 2 ，5 2 】) 此外， 还有众多数学家也在该领域作出了突出贡献( 【2 7 ，2 8 ，3 3 ，5 6 ，5 7 ，6 6 ，7 1 ，7 2 ，7 3 ，7 5 ，7 8 ， 9 9 ，1 0 2 ，1 1 4 ，1 2 1 ，1 2 4 ，1 2 5 ，1 2 8 1 ) 最近十多年来，l p b r u n n - m i n k o w s m 理论得到飞 速发展，已成为当今国际上几何分析的热点研究领域之一 下面列举十多年来工p b r u n n - m i n k o w s k i 理论中一些有影响的工作； ( 1 ) l p - m i n k o w s k i 问题研究 关于预先给定高斯曲率的闭的凸超曲面的存在性，唯性，正则性和稳定性的一 类问题叫做m i n k o w s k i 问题许多著名的数学家，如m i n k o w s k i ( 1 0 0 ) ，a l e k s a n d r o v ( 2 ， 3 ，4 1 ) ，f e n c h e l 和j e s s e n ( 3 7 ) ，r e w ( 6 8 ，6 9 】) ，n i r e n b e r g ( 1 0 3 ) ，c a l a b i ( 2 6 ) ，p o g o r e l o v ( 1 1 2 ，1 1 3 ) ，c h e n g 和y a n ( 3 2 ) ，c a f f a r e l l i ，n i r e n b e r g 和s p r u e k ( 2 5 ) 等都对这个问题 的研究做出过贡献 g l u e k ( 4 7 ) 和s i n g e r ( j 1 2 3 ) 提出了m i n k o w s k i 问题的各种变形，而g l u c k 的论文 【4 8 】仍然可以看作为是对这个问题的一个优秀的介绍 l p m i n k o w s k i 问题的研究始于l u t w a k 和他的合作者在文献【9 5 】中，l u t w a k 对p n 的所有p ( p 芝1 ) 给出了偶岛一m i n k o w s k i 问题( p = 1 时即就是经典的 m i n k o w s k i 问题) 的解，所得到的解是获得强仿射s o b o l e v 不等式所必需的个关键 因素( 8 l 】) ；在文献【7 8 】中，l u t w a k 和o l i k e r 研究了l p m i n k o w s k i 问题解的正则 性；最近，l u 栅a k ，y a n g 和z h a n g 在文献【8 3 1 中给出了经典m i n k o w s k i 问题的一种 2 0 d 8 上海大学博士学位论文 3 新的体积正规化形式( v o l u m en o r m a l i z e df o r m ) ，对偶数据情况和所有的p 1 给出 了这种正规化形式的昂类似问题的解，得到了除了p = 扎的情形外，岛- m i n k o w s k i 问题和体积正规化的l p - m i n k o w s k i 问题研究是等价的一个结果，而所采用的方法 与文献【9 5 】所采用的是完全不同的；进一步，h u g ，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 在文献 【5 7 】中对所有的p21 在离散数据情况下给出了关于凸多胞形的岛- m i n k o w s k i 问题 的解；当p 大于空间维数的时候，岛一m i n k o w s k i 问题的解由g u a n 和l i n ( i s l ) 以 及c h o u 和w a n g ( 3 3 ) 独立地解决；对二维的l v m i n k o w s k i 问题，u m a n s k i y 在文 献【1 2 8 】中作了细致的研究；而s t a n c u ( 1 2 4 ，1 2 5 ) 所作的l 0 一m i n k o w s k i 问题的讨论 可以看作是对这类问题的一个完善 ( 2 ) l v 一仿射等周不等式的研究 仿射等周不等式是指把与凸体( 或更一般的) 相关的函数作比较，在对所相关体 作线性变换下其比值不变 b l a s c h k e ( 见s c h n e i d e r ( 1 1 5 ) 和l e i c h t w e i t 3 ( 6 4 ) ) 引进了质心体概念( 此时是相对 于原点对称凸体而言) 之后，就猜想这个凸体的体积和对应质心体的体积之比在当 这个凸体为椭球时取得最大p e t t y ( 1 0 6 ) 推广了b l a s e h k e 最初的定义，把关于原 点对称凸体推广到了任意凸体，并且证明了推广后的b l a s c h k e 猜想一一也被称为 b u s e m a n n p e t t y 质心不等式，是因为p e t t y 证明了b u s e m a n n 随机单形不等式( 【2 4 】) 也能够被解释为这个已知的b l a s c h k e 猜想在十九世纪的世纪之交，m i n k o w s k i 引入 了投影体的概念，引起许多数学家的关注( 1 5 ，1 1 0 ，1 1 7 ，1 8 ，1 1 8 ，4 9 ，1 1 5 ，4 3 ，6 4 ，1 2 6 ) 在这里我们介绍两个与投影体相关的不等式，p e t t y 投影不等式是指：在给定体积 的所有凸体中，椭球的极投影体的体积最大z h a n g 投影不等式( 1 3 5 ) ( p e t t y 投影 不等式的逆向不等式) 展示了单形的极投影体的体积最小p e t t y ( i l l 0 ) 证明了p e t t y 投影不等式是b u s e m a n n - p e t t y 质心不等式的一个结果；在文献【9 1 1 中。作者证明了 这个过程反过来也成立 最近，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 在文献【8 1 】中利用岛曲率理论和对称化技巧将上 述两个仿射等周不等式推广到岛空间，建立了易一p e t t y 投影不等式和l v - b u s e m a n n - p e t t y 质心不等式c a m p i 和g r o n c h i 在文献 2 7 】中利用r o g e r 和s h e p h a r d 引进的 影子系统( s h a d o ws y s t e m ) 理论给出了工p - - b u s e m a n n p e t t y 质心不等式的一个新的 证明进一步，在文献【2 8 】中讨论了逆向的l v b u s e m a n n - p e t t y 质心不等式，但只 仅仅对二维情况给出了证明在文献1 8 5 ) 中，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 建立了关于 空间的子空间的逆向等周不等式 4 l 。一空间中凸体几何的度量理论研究 ( 3 ) 工p 一仿射表面积的研究 凸体的仿射表面积的概念最先由著名几何学家b l a s c h k e 引进，具体的积分表 达式由l e i c h t w e i b 给出( 6 2 ，6 4 】) 迄今为止，对它的研究激发了很多学者的兴趣， 并取得了大量的研究成果( 【6 0 ，6 l ，6 2 ，8 7 ，7 7 ，9 1 ，9 4 ，9 0 ，1 0 9 ，1 2 2 ，1 2 0 ，1 3 0 ) 或著作 【叫，特别地，p e t t y ( 1 0 9 ) 建立了经典仿射等周不等式和p e t t y 仿射投影不等式 l u t w a k ( 7 7 ，9 1 】) 和冷岗松教授( 8 7 】) 又分别对它们进行了推广在文献【9 6 】中， l u c w a k 把此经典概念推广到p 一仿射表面积( p - a f f i n es u r f a c ea r e a s ) ，证明了相关的 一些极值性质，且同时结合b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式将经典的仿射不等式进行了推 广，得到了岛一仿射等周不等式，并建立了关于p 一仿射表面积的岛一仿射b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式，即如下： 岛一仿射等周不等式如果k j 卺，p 1 ，则有 互 n 一口 删孑+ py ( k ) 再；) ， 等号成立当且仅当k 是一椭球 岛一仿射b l a s c h k e - s a n t m 6 不等式如果k 孵，p 1 ，则有 n p ( k ) n p ( k + ) ( ) 2 ， 等号成立当且仅当k 是一椭球 在文献阳1 中，m e y e r 和w e m e r 给出了p 一仿射表面积的几何解释，为此，他 们还定义了一种新的几何体一一s a n t a l 5 体在文献【1 2 1 】中，s c h f i t t 和w e m e r 定义 了一种新的几何体一一表面体( s u r eb o d y ) ，并研究了它和p 一仿射表面积的内在 联系 ( 4 ) 岛一仿射s o b o l e v 不等式的研究 与如仿射等周不等式紧密相连的是对岛仿射s o b o l e v 不等式的研究著名的 s o b o l e v 不等式一直广泛吸引着数学家的关注和兴趣，文献众多强岛一s o b o l e v 不等 式早在上世纪七十年代就由a u b i n ( 5 ) 和t a l e n t i ( 1 2 7 ) 独立得到，但它强烈地依赖欧 氏空间r n 中的欧氏结构，特别依赖等周不等式许多数学家对广义的强l 静一s o b o l e v 不等式及其相关课题进行了研究( 【6 ，9 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，2 1 ，2 9 ，3 0 ，3 4 ，5 5 ，8 6 ，7 0 ，1 3 2 ，x 3 8 ) 在文献【1 2 7 】中，z h a n g 构造和证明了强l l 仿射s o b o l e v 不等式，建立了一个与l l 一 等周不等式的等价性关系，这点与l i s o b o l e v 不等式的性质相同( 【3 6 ，3 5 ，9 8 ，2 2 ， 1 0 4 ，1 1 9 ) ，但这还不足以建立当p 1 时的仿射s o b o l e v 不等式，建立这种式子 所需要的是岛仿射等周不等式( 【8 1 ，2 7 】) 最近，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 在文献【8 2 】 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 5 中应用岛曲率理论和岛一m i n k o w s k i 问题的解建立了比强l p s o b o l e v 不等式更为 一般的强k 一仿射s o b o l e v 不等式，这种新的不等式中不合有内积，范数，也不含 有某种共形结构( c o n f o r m a ls t r u c t u r e ) ，换句话说，这种不等式在”中的所有仿射 变换作用下都是不变的 ( 5 ) l pj o h n 椭球的研究 上世纪七十年代，l e w i s 研究了联系三p 空间的每个竹维子空间的重要椭球 一l e w i s 椭球( 6 6 ，6 7 】) 现在，l e w i s 椭球成了研究b a n a c h 空间几何学的一个基本工 具j o h n 椭球是指包含在一个凸体内具有最大体积的唯一椭球，此时，这个椭球的 中心就称为凸体的j o h n 点，j o h n 椭球的应用在文献【7 ，1 1 1 1 中得到阐述l e g e n d r e 椭球是经典力学中一个概念，是指与凸体关于任意轴具有相同的惯性矩( m o m e n t o fi n e r t i a ) 的唯一椭球在文献【8 0 】中，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 引入了一个新椭球 r 一2 k 一一即l e g e n d r e 椭球的对偶( 7 9 ，7 4 d 在保体积线形变换下，使得凸体的表 面积最小，这样得到的就是体积正规化的p e t t y 椭球( 【4 6 ，7 6 ，t o s ) 最近，l u t w a k ， y a n g 和z h a n g 在文献【8 4 】中给出了经典j o h n 椭球，p e t t y 椭球和新近发现的新椭 球r 一2 k 的一个统一推广一一l p j o h n 椭球( 上述三种椭球分别是它取p = 0 0 ，p = 1 和p = 2 的三种特殊情况) 这篇论文还令人惊讶地发现了两个表面看似不相关的 经典问题，即凸体内的最大椭球问题和s l ( n ) 变换作用于凸体时所产生的最小表 面积问题，实质上都是同一个问题一一全b 曲率的最小化问题( m i n i m i z i n gt o t a l l p - c u r v a t u r e ) 的特殊情况 1 2 研究的问题与主要成果 本文隶属于如一b r u n n - m i n k o w s k i 理论领域，该领域近十多年来在国际上空前 繁荣并迅速发展本文主要利用岛一b r u n n m i n k o w s k i 理论的基本概念、基本知识 和积分变换方法，研究三p 一空间中凸体几何的理论、度量不等式和极值问题 作者取得的主要创新成果是， ( 1 ) 本质上完善了p = 2 时投影体猜想的岛一形式的最大值形式 1 9 7 1 年，p e t t y 针对经典的投影体提出如下猜想 投影体猜想是否存在凸体k 胪，使得函数 f ( k 、= v ( i i k ) v ( k ) 1 一n 取得最大值或最小值? 6 l 。一空间中凸体几何的度量理论研究 p e t t y 在1 9 7 2 年猜测椭球是使之取得最小值的唯一凸体，至今投影体猜想是仿 射等周不等式研究领域里一个未有解决的问题，很多数学家如，b r a n n e n ，l u c w a k 和s c h n e i d e r 都分别进行了研究 1 9 9 7 年，l u t w a k 定义了岛一投影体0 1 ) ，自然地，提出如下问题t 是否存 在凸体k 咒n ，当p 1 时，使得函数 ，p ( k ) = y ( 1 i p k ) y ( k ) 矿 取得最大值或最小值? 笔者根据1 1 2 k 是一个中0 在原点的椭球这一特殊性质，得到了函数，2 ( k ) 取 得最大值的两个结论 结论1 如果k 是一个关于原点对