（运筹学与控制论专业论文）一类离散线性时不变系统的输出反馈镇定问题.pdf

类离教线住时不变系 耷的输f i ：反镪镇定柚题 摘要 本文讨论了一类离敝线性时不变系统输出反馈镇定问题。通过非奇异变换， 及可逆变换，利用s c h u r c o h n 判别法对小i 碍的情形f 特征赶连模的考察，分别 考虑了择系统的n r 镇定性。本文通过没计反馈控制律，使系统镇定。 利刖线性离散时不变系统的求解公式对仿真弹例傲 n 了系统镇定的形织化 描述。 对1 ：连续互维线性时不变系统本文在第四嚣做了一些尝试，并给出了个 特殊馅形下的镇定性结论。 关键词：离散系统；输出反馈；镇定 礴i i 譬位沦之 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e so n ec l a s so fd i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e m sv i ao u t p u tf e e d b a c k w i t hi n v e r t i b l ec h a n g ea n dr e v e r s i b l et r a n s f o r m a t i o n t h ec h a r a c t e ro fs t a b i - i i z a b i l i t yo ft h , ，s y s t e m s a l lb eg a i nl yu s i n gt i l e ；t - h u r - c o h nc r i t e r i o n t h es y s t e m s c a _ qb ea s y m l ) t o t i c a l l ys t a b l ei ) yd e s i g n i n g 妇t b a c kc o n t r o ll a w s b yu s i n gt h es o l u t i o nf o r n n f l ao ft i m e - i n v a r i a b l ed i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s - t e n m ? w eg i v es o m ee x a m p l e s t h e s es i m u l a t i o n so f f e rs o m ev i s u a ld e s c r i p t i o no f t h es o l u t i o n so ft h es y s t e m s 。 t h i sp a p e rt a k e ss o m ea t t e m p t st od e a lw i t ht h ep r o b l e m so ft h et h r e e - d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u s - t i m el i n e a rs y s t e m sa n dg i v es o m er e s u l t sa b o u tt h ec h a r a e t e ro fs t a b i l i z a b i l i t yo ft h es y s t e n mw h i c ha r es h o w ni nt h ef o u r t hc h a p t e r k e yw o r d s ：d i s c r e t e - t i m es y s t e m ；o u t p u tf e e d b a c k ；s t a b i l i z a b i l i t y m 原创性声明 本人郑霞声明：所呈受的学位论文，是本人狂导师的指导下，独泣迸 亍研究所 取搿的成粜。除文中已经注明引用的内容外，本论文卜包含任何其他个人或集体 已经发表或撰t 毒过的科硪成果。对本文的硪究作出霞嘤贡献的个人承l 集体，均已 在文中以明确方式标明。奉声明的法律责任山本人承担。 学位沦文作者：起使- 望 沙矽町月印 学位沦文使辟l 授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作晶，知静 j 虹权步j 属郑州大学。根 据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定。同意学校保澍或向国家有关邸| j 或 机构送交沦文的复印件和电1 ：版，允许沦文被夜锱和借阅；本人授权郑州大学可 以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索可以采用影印、缩印或 者其他复制手段保存论文和汇编本学位逾文。本人高校后发表、使用学位论文或 与该学位论文霞接相关的学术论文或成聚时第一署名整位仍然为郑州大学。保 密论文在解密后应遵守此规定。 学位论文作者：l 邑t 乏宝 沙7 年歹月叮r 钡l 学位沦之 1 1引言 第1 章绪论 从二：十世纪网十年代歼始，信息控制理论f j 到了迅速发艇，六十年代k a l m a n 等人提出了系统的状态窄问描述注，这一方法为以后信息控糊的发腹奠定了l i i 乏实 的理沦綦础，也扩人了对系统的研究范围。随前科学技术的不断发展，人们孺暖处 理越来越多的多变镟系统及多维信号垒掰多维数字滤波器多变涟网络实现，多维 数学图像综合处理，地建检测数据处理，x 射线图片增强，森林火灾及农作物灾 情预撖区域照片的增强和分析，：理基气裂云圈的分析，蹬像复原等等。它们大多都 衷现为二维离敝系统模型。所有这峰成刚都为? 维系统理论提供了深刻的t 挫物 理背景。使得：维系统理论成为信息处理理论的个其钉强大生命力和发眨前最 的学科分支。到了二二十世纪七十年代，作为二：维系统理沦发展的个唾要氍程碑， 荧咽学者兄p r o e s s e r l 9 7 4 午在研究多维线性滤波网络时将强有力的一维状态变 缎橘述方法j ：；l 入了= 维阳像处理系统，提h 了蔫名的二维r o e s s e r 模犁1 1 1 标志 者维线性离敞状念空问理论的诞生，此后维离散系统理论研究不断得到完簧 和发展。a t t a s i l 2 1 ，f o r n u s i n i 和m a r c b t ：s i n i | 3 j 先后在不同背景下提如了较为般 的模犁f a m ) 和( f m ) k u r e k 抽象概括 鼹为一般的：维状态审问模型i 4 j ，获 得了较好的结果。1 9 8 8 年，波兰学者k 甜2 d r 知1 5 l 将2 。d 系统韵一般模型推广劐奇 异模型。随后像2 d 系统的r m 、a m 。零lf m 线性空问模型也被推，“到了奇异模 型，并取得了些结果。多年柬，2 - d 系统的研究越来越受戥人们的关注。在研究 系统所有的特性当中稳定性是最蘑要的一个特性，因为小稳定的系统是无法证 常t 作的。所以要求2 - d 系统均要求设计是稳定的。对于二维系统稳定性的研 究包括有界输入稳定、渐近稳定、鲁棒稳定性等方面，有意义的：i = 作不断涌现，其 中国内在2 - d 大系统，连续系统n d 系统及2 d 稳定性的代数判据等方面均获 得了深刻的进展。特别是国内许多学者在奇异2 d 系统模型稳定性的研究中，颇 有成效，比如陈雪如等人在二维离散奇异的内部稳定性方面，和随机统计特性方 嘶均有突破怿- 7 1 。邹云等人或独立或弓他人合作在2 - d 奇异系统的跳跃行为及稳 定性理论方面都作出了一定的贞献i s - 1 4 1 ，并在文献中提出跳跃模的概念，为进一 步研究2 - d 奇异系统的磷究夔定了理论基础。王为群往此基础上证明了容许2 - d 奇异系统的”i n n e r ”稳定性和内部稳定性一致的猜想，并把般正则2 - d 系统稳 定性的理论推广到2 - d 奇异系统【1 4 l ，将稳定性判瘸的l y a p u n o v 方法推广剑奇 异情形同时，井建立了适用于2 d 离散奇异系统稳定性分析的l y a p u n o v 方程， 并将内部稳定性概念推，“到2 d 奇异时滞系统的r o e s s e r 模型，得到2 d 奇异 类瑰教线住时1 i 变系凌的输： ：反馈镇定朗厝 时滞系统内部稳定的充要条件。徐戆玲筹则给出了2 d 离散奇异系统胝s s e 模 型稳t 定性的基于l m i 方法判别方法并给出反馈控制律1 1 5 1 蔡晨晓等在奇异摄动 系统的二次稳定性方丽也取得了糁成果1 1 6 - j 1 。 我们知道一阶自治系统在学习：椎线性系统巾r l i 有藿要的地位| 1 8 | 解的轨迹 酊以通过曲线在冈彤申表示出来，这样系统的定性行为旎- 叮以缀容易的翊j h 面i l ：束。 通过对二阶系统的介绍，菲线忭系统的些旌本的特征就a ，以娃现i i j 来。 个二阶自治系统可以脚两个标聚微分方程务i 表达： ( 1 1 ) ( 1 2 ) 没r ( t ) = ( z l ( 咄z 2 ( 1 ：) ) 足方程( 1 1 l 和( 1 2 ) 的鼹。它的起始点为重o = ( 丁晒x 2 0 ) ： 也就是z ( i ) ) = 确在z l z 2 平面l ：，对v t 之0 解的轨迹是条通过点j 。的曲 线这条曲线称为在x o 出发的一条解轨迹z 。一z ，乎埘称为是状念平撕或者是相 平面。式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的右半部分足解的切向锻j = ( 矗( 0 2 ) 我们 向嫩 法童= ，z ) 来表示这艰b j ) 袭示( ，l ( z ) 厶( r ) ) ，我们把，( z ) 肴做栩甲向中的 向酸场，也就是对于棚，r 嘞中的每点，指定个向潋，( z ) 闪为在。点的向髓 场链通过该点轨线切线，我们可以从t o 出发沿切向毓构造解的轨迹。这种转移把 我们带到一个新点z 。，这样从出发，可以继续这样的构造办法，如果我们蓑复 这样构造过程并且使连续的点选取的足够近，就呵以获取一条通过点3 ：0 的近似 雌线。所鸯的轨线族称为方程( 1 1 ( 1 2 ) 的岛镀圉。一个近 娃的翱图珂以通过在 z l z 2 平面t 选取大蟹的点然后画出通过这些点的轨线圈来构造因为数值疗 法的，“泛应用，可以通过计算机仿真的形式来构造非线性微分方程的襁瞬。 考虑线性时不变系统 圣= a x 1 3 ) 这里a 是一个2 2 实矩阵。如果设给定初始状态z 。那么方程( 1 3 ) 的解为 ? ( t ) = m r x p ( i ，t ) m l 茹o 。这避，r 是a 的实的约当标准型，m 是一个实的非奇 异矩阵。这罩m a m = 工。根据a 特征搬的不同情形。实约当阵可能为下面乏 种形式： ( ：呈) ，( ：) ：( 三：) 勰虮 第一种形式对应子特征根a 。和a 。是实根日瓦不相同。 第种形式对应于特征根是实搬髓榴同。 一2 一 颇1 擘幢论；匕 第三种情形对应于特征根是两个共轭虚根a 2 = 口士歹厣 对于不同的情形文献分别研究了系统在平衡点的情况。 但文中没有提及二维系统的输h 反馈只研究了固有系统的稳定性和渐稳性。 对j j ：混杂系统，我们可以通过对系统的输 i 反馈和状态反馈瓶改变系统的性能，得 到所需鎏的结果。 系统的输j i 反馈是系统的输出变疑通过比例环箝传送剑输入端去的反馈方 式。输出变镟容易f 拨颡4 毓得翻，而建在夫多数情况f 其有掰j 确的物理意义，所以 输出反馈是种在技术上易于实现的常用的反馈疗式。近十几年来，混杂系统这个 研究领域得到了很多关注 增一删。特剐是通过混杂反镶使连续时州系统稳定的阀 题是近年来的热fj 话题。a r t s t e i n 2 9 l 通过例乎首先对这个问题进行了阐述l i t s y n 等人l 删对线性系统 圣= a x + 口“j 一c x ( 1 4 ) 进行了研究如果这个系统( a ：b ) 能达，( a ，c 能】| 5 i ! ，那么可以设汁依赖可数个离 散状态的混合反镄挡制律米便系统镇定这艰的挎制 l t 仪镒依赖f 输f i3 c ，而不是 需耍全局的状念。在f 3 1 1i f lh 等入对设计有限个状态控制律水代粹可数个混合 反馈控翎律做出了蝗结果其中利用了文献f 3 2 - 1 3 j 中的网锥切换控制律位f t 意 剑，在通常情况f ，即使系统f 1 ，4 ) 能控能达，受使系统达别镇定，需婴更复杂的 混合反馈控制律文献洛4 1 通过设 卜切换输出控制律绗出了：维线性时不变： 维镪输入译输l 括系统镇定的条件。它事要莉瑚连续系统解的连续性这性质。 对于离散时不变二维坼输入举输出系统 一 孤+ i ) 2 血( ) 十踟( 1 5 ) ly= c x ( k ) 。 就不能再利用连续系统解的连续性，给h 最多西个切换控制，使系统得到镇定 本文中我们利用文献f 3 4 1 的结论，对系统进行简化，同时利用s c h u r c o h n 判据，及检验系统特征撒模是否位予复平厕的单倪觎之内的方法 3 s j 对系统的i ! i c 镇定性进行判别。对于简化以后的离敬时不变二维系统，我们可以利用解的表达 式删，再利黝教学工其m a t t a b l 3 - 勰l ，对衙化后韵系统进行仿真，矗疆的看出系 统在不同情形下的镇定性和发散性。 线性时不变系统 童= a x ( 1 6 ) 在原点处有一个平衡点，当r 仅当d e t a ) 0 时，该甲衡点是孤立的。如果 d e t ( a ) = 0 ，则矩阵月有个非平凡零空f h j 。a 的零空问内的每点都是系统 一3 一 炎离教线住时不变系缱的输j i ：反馈镇定柚惩 1 6 ) 的f 衡点。也就是浇，如果d e t ( a ) = 0 ，则系统有个甲衡点子空问。已知 线性系统不可能有多个孤立的平衡点，因为如果叠一和矛2 是系统( 1 6 ) 的两个平 衡点，那么根据线性理论，连接霸和岛两点的直线卜的每个点都是系统的平衡 点。原点的稳定性质由矩阵a 的特征值位置决定。由线性系统理论可知，对于给 定的初始状态z ( o ) ，系统( 1 6 ，的解为 z ( t ) = e 印( a t ) x ( o )( 1 7 ) 埘于任意矩阵a ，总存在个满秩勉阵p ( 町能为复数) ，能够把4 转化为1 0 r d a n 型即p 一1 a p = j b l o c k d i a g j 1 j 如一五l 。其中，五是k 与艇阵a 特祉值楣 关的j o r d a n 块。一阶j o r d a n 块的形式为五= 九，m 1 阶的j o r d a n 块为 因此， z = 丸 l0 0 九 1 o 0 0 ： 0 。 1 0 九 rnj e x p ( a t ) = p e r p ( , l t ) p 一= t 虹1e x p ( x i t ) r 。t( 1 8 ) i = 1 胃l 其t # ，m ，是。l o r d a n 块五的阶数。妞聚nx 住阶矩阵a 有一个代数霉数为吼的 特征值丸，当r 仅当r a n k ( a 一九) = n 一口时，由九决定的j o r d a n 块的阶数为 1 考虑非自治系统 奎= ，( z ，)( 1 9 ) 其中f ：f 0 ) xd 一矽在f 0 ，) xd 上是t 的分段连续函数，且对于z 是局 部l i p s c h i t z 的，dcj p 是包含原点的定义域。如果，( ? ，0 ) = 0 0 ：则原点 是t 一0 时方稃1 9 ) 的平衡点。原点的甲衡点可能是某个菲零平衡点的平移。 对于线性时交系统 2 ( t ) = a ( t ) x( 1 1 0 ) ，作为系统平衡点的原点，其稳定性宪会可以由系统的状态转移矩阵描述由线性 系统理论可知，方程( 1 1 0 ) 的解为( f ) = 似f ，t o ) x ( t o ) ，其中。圣( ，t o 扛( z o ) 是状 - 4 碗1 ；。他论之 态转移矩阵。 利用文献f 3 4 1 的结论，对线性时不变连续系统在三维情形下的一种特殊情形 进行了讨论，给出了相应的町镇定的结论 1 2问题的描述 1 二维离散荦输入啦输出线性时不变系统 气i ! ：三二b “ = l 飞( 这骧r z i 冗2 引理1 1 1 8 】： 考虑矩阵a 7 护”b 冗2 ”而且c 定1 “这翟口和c 部不等- 丁零。埘】： 可逆矩阵t 冗2 ”。定义三元组( 五宫。p ) 为( 丁一a r 丁b ，c t ) 。丽且让 j 兰f ，、 cd ( 1 ) 如粟c b 。，那么3 7 使得廖= ( ：) ，。= ( 。a ) ，这艰n 。，而且 ( 2 ，如果b e = 。，那么j r 使得台= ( ：) ，d = ( 。口) 这氍。，6 。 c t ，设8 = 投例，e = h 纠。选取矩阵t = ( 三，爱) 。因为闭= 6 。，那么结论是正确的。颤果6 0 粥= 6 ( f ) ? 使 i 归( o ) i i 0 。满足 l i x c t o ) l l 0 与t o 无关且满足式( 2 2 ) ，则平衡点 是一致稳定的。 o 如果平衡点不稳定，那么它就是非稳定的。 o 如采f 衡点是稳定的，且存在一个讵常数c = c ( 0 ) ，对于所有i i = ( t o ) l i 0 ，满楚 z ( 8 田，v t f o4 - t ( 口) ，v u x ( t o ) l l 0 ，满足 # z ( ) 8 r , v t t o + t 叩。c ) ，v l i r ( t o ) 1 1 0 ，则j 卜衡点是令局一致渐近稳定的。 引理l ：对r 方程( 1 9 ) 的甲衡点茹= 0 ， o 当且仅当存在个瓦类蛹数a 幂l 独立y - f 。的i f i 常数c 满足 l i x ( 0 1 | sa ( 1 l x ( t o ) l | ) ，v t t o 0 7v l l z ( t o ) l | c 时平衡点楚致稳定的。 o 当照仅当存在一个c c 炎函数罗和独立于o 的币常数c ，满足 ? ( f ) d ( | | ：r ( o ) 1 1 。t z o ) ，v t 之t o 0 ，v i i f ( 靠) i l c ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 时，平獭点是致渐近稳定的。 o 当ll 仅当不等式( 2 6 ) 对j ：任意初始状态z ( ，n ) 都成移时，平衡点是全硒致渐 近稳定的。 定义5 ：对于办程( 1 9 ) 的甲衡点z = 0 。如果存在正常数c ，七和a ，满足 l t x ( t ) l l k 6 z ( f o ) 1 | e h 。一，v l l z ( t ) ) | | ( c( 2 7 ) 时。刚该甲衡点足指数稳定的。如袋式( 2 7 ) 对于任何初始状态x ( t o ) 都成1 谚。则 该甲筏点是全局指数稳定的。 定理 1 埘l ：设r = 0 是方程f 1 9 ) 的一个平衡点，dcr ”是包含z = 0 的定义 域，v ：1 0 ，0 0 1xd r 连续可徽的溺数，l 毛满足 w l ( z ) v ( t ，茁) sl 幌( z ) o 珧v + o 甜v b t ，z ) o8 t 、o r t j l 一、 ( 2 8 ) ( 2 9 ) v t 0 7 忱d ，其中w l ( z ) 和 ) 都是d 上的连续正定函数。那么，z = 0 是致稳定的。 定理 l s j 2 ：假哎定理l 中的缎定条件都满足不等式( 2 9 ) 的加强形式 警+ 署，( 卅s w 3 ( 2 1 0 ) 们0 ，垤d ，其中w s ( x , ) 是d 上的连续i e 定踊数。那么tz = 0 是一致淅 近稳定的。如果选择r 和c 满足毋= i i z l ls rc d 和c m i n i ；括，w i ( z ) ：则 一8 确t 学位论之 始予z 珥iw 2 ( x ) sc 的每条轨线对予某个c c 类函数岁都满足l i x ( t ) l l 口( 1 l x ( t n ) 1 1 t t o ) ，v t t o 芝0 ，如果d = 舻和m ( z ) 径向无界，则z = 0 是全 局一致渐近稳定的。 定理1 3 ：设z = 0 是方程( 1 9 ) 的平衡点。dcr ”是包含z = 0 的定义域。泼 v ：f ( j ，) xd r 髭连续可微函数，且满足 k l0 z f | 。v ( t ! z ) 5k 26 z l l 4 警+ 筹巾川纬。l l x l l 。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) y t 之0 。n d ，其中蓐l ，c 2 ，b 和往是证常数，那么= 0 是指数稳定的。如聚上 述假设会局成立，那么z = 0 是令局指数稳定的。 定理删4 ：当且仅当对于谁常数 和a 状态车章移矩阵满足不等式 1 1 4 , ( t ，t o ) l ls ，c e - ? 4 t - t o ) v t t o 0 ( 2 1 3 ) 时，系统( 1 1 0 ) 的甲衡点z = 0 是( 全局) 致渐近稳定的。 定理i t 8 1 5 设z = 0 是非线性系统圣= ，f f ，) 的个平衔点，其中f ：1 0 ) 上) 一彤连续町微，d = z | | 1 3 1 鹣 0 ，z d o ：v ( x ) 0 。z d 那么系统( 2 1 ) 在z = 0 是稳定的。进一步，如果矿 0 ，z d 一0 ，那 么系统在z = 0 是渐近稳定的。口 推论：l 蝴1 ：设z = 0 是方程( 2 1 ) 的一个平衡点，v ：d 一曰是d 上连续可微的 正定螽数。d 包含原点工= o ! 且在d 内满足吃s0 设s = z d 也= o ) ， 并假设除平凡解奴誊0 之外没有其他解同样保持在s 内，那么原点是渐近稳定 的。 推论 1 s 1 2 ：设z ；0 是方程( 2 1 ) 的一个平衡点，v ：j p r 是连续可微且径向： j i 三 界的讵定踊数，对于所有z 彤有吃s0 设s = z 冗n i 吃= o ，并假设除 一9 一 类鹚教线性时举变系绩的输i ：反馈馈定朗堰 平凡解z 嚣0 之外，没有其他解同样保持在s 内，那么原点是全局渐近稳定的。 定理p s i 8 ：当且仅当a 的所有特征值都满足r e a 。50 ，且对。1 ：每个r e a 。= 0 代 数霞数吼2 的特征值满足r a n k ( a 一九，) = n 一俄时( n 为x 的维数) ，方程 圣= 4 x 的平衡点z = 0 是稳定的。当a 仅当a 的所有特征值满足r e a 。 0 时， 平衡点z = 0 是全髑) 渐近稳定的。口 定理f 1 8 1 9 ：当h 仅当对于任意给定的币定对称铃阵q 。存在个i f 定对称矩阵p 满 足l y a p u n m ；方程p a + a i p = 一q ，那么 就是n r w # z 矩阵，锑的所肯特征 值都满足r e a 0 ，存在 p = j p r 0 是线性力程a r p a p = 一q 的唯解鄢么系统z i + l = a 钒趑渐 近稳定的。 s c h u r c o h n 判据| 3 9 1 ：v a 盯( a ) ，如果 0 ，6 c 0 ：乏种俯彤，我们进行讨论，下面给出 了不同情形f 的结果 情形 1 ) 鼍6 c = 0 时： 如梁一l d 0 l 字 1 当a = - - 1 时： 1 ) = 一b e 0 不能满足上面第二个条件 一1 3 一 ( 3 2 ) 受废教线住时d i 蹙系统的输 j ：鹱馈镄定 q 题 图3 ： 例3 ：a = 1 b 。1 ，c = 2 ，8 = 一0 5 。1 蓑_ 磊1 0 赢1 s , i j 厂气m实也- 向量蒋一书吒堂也一 7 彝鲢：向量端= 巾臂蹙他 平材中血的壹亿 当n 一1 时：五- 1 1 = 一抛 0 ，不能满足上嘶第一个条件 例4 ：a = 一1 jb = 1 ，c = 一2 ，s = 一0 5 图l ： 蛳 蛳 啪 抛 。 船 舶 晰 嘲 颅l i 学位沦之 当一1 n 鲁一l 占 鲁+ l l 一口一2 s 0 一1 n 1 ，使系统渐近稳 定。 侈q5 ：( = 0 5 。6 = o 5 ，( = 0 5 3 = 一0 5 图5 ： 3 0 1 4 1 5 类离散线住时， ：变羁缱的输m 眨馈镇定t d 理 当吐0。辛一薹11 净 一f ；支。 五一1 ) = 矗( 靠+ 1 ) + 口+ l 一撕 o 辛$ 警净，。 i n 一2 ，i 一n + 2 l 一3 s 譬 圈8 ： 拳忙一1 时； 卜i 二竺刈兮s l - - 兮，。 l l 黟 3 、 l s 1 一等 一l 暑 一l + 2 ( 一& ：) 例9 ：a = - 1 ，b 一1 ，c = - 2 ，s = l ，9 5 1 7 一 下晤串血的寰亿 一类离靛线住时小变系统的输f ：反馈镄定朗题 3 5 3 2卜一一 平嚼中点的竟札 当i o l 南一l 8 兰- - 1 那么系统就可以钦定、棚、川、一，肌”j i ，t ，c l 一2 一n ( s 8 - i + 鬲b c s 鲁+ 1 一口一2 ，l 一口+ 2 $ 8 + 2 ( 6 c ) 例1 1 ：a = 2 7 b = 2 ，c = 一2 ，s = 一2 2 图l l ： 那么系统就叮以镇定 1 l 警蕾牛盛的囊乜 摹 n 二：娶：乏。钯，；那么系统就可以镇定 1 9 一 一凳幽教线住时夺奎系缝的输i 反馈镟宓如惩 例1 2 ：a = - - 2 ，b = 2 ，c - 2 ，暑；2 2 圈1 2 ： 警耐中a 的崔钯 2 ) 当反馈3 满足： = n 圭2 ( 一k ) 孝 那么系统就可以镇定 【一n 一2 $ 一n + 2 例1 3 ：a = o 2 5 ，b = l j c = - 0 2 5 ，s = 1 2 5 图1 3 ： ，馇i 中点拱 空他 当3 ) 当8 2 ( 一k 1 s 8 + 2 ( 一6 c ) 时：方程有两个共轭虚椴。 此时要使系统可镇定需满足：= 璺孝2 一坦型4 兰坐= 口$ 一b c 0 时：则任意反馈满足s 字希ln 一2 ( 一k ) s n + 2 ( - b f ) 使系统 镇定。 例1 5 ：a = 1 b = 0 5 ：c = 一0 5 ，s ；0 5 图1 5 ： 2 1 一 呷糠中盎时空他 。燮鹏敢线性时开：奎系 竞的输i l 反馈馈定蛔题 当口 半和口一2 ( 一6 c ) s 口+ 2 ( 一6 c ) 使系统 镇定。 例1 6 ：a = 一1 ，6 = 0 5 ，c 一- 0 5 ，s = 1 阁1 6 ： 2 2 一 寥： c ： ， ，1 ； q 一一；：，6 ，一 哮：o ； c q 印 口 ：f ，馈 彤 。 oo oo + 。甲键舯移= = _ 二苎一 i4 2 o2o | f 嘶率点的壁眈 颅t - 肇化沦之 第4 章三维单输入单输出连续输出反馈系统 的研究 4 1可逆变化的存在性 考虑系统：圣= a x + b u = c z ，这f l ( _ ：届) 能达，( a ，c ) 能观。我们令反 镄控制律为：“：= t ，：e ，冗那么翻辟系统为童= a j + v b c ：r 引理1 考虑钲阵a 冗3 “b 冗3 m ，hc 冗1 ”这垠b 和e 都不笛了：零 对子任何呵逆矩阵t 础”，定义三元组积：摩，0 1 为( t a t ，t 1 3 ，c r ) ，h 薅 r 让a 兰 那么f i 斫的结论成移： 1 ) 如采c b 0 ，郡么3 t 使得： 密= ( ；) 。c = c 。 当7 3 = 0 ，铂 ， l l t = l 一2 1 k 了 是可逆的。 n ) 这擎n o 黪国) ，c = ( 铂钮) 因为l t l = 饥毋+ 蚀岛+ 7 3 岛= c b o ，所以矩阵t 一2 3 一 、iiil，c， 6 e d d 9 ，il 飙、，7 弋噼历岛魏曰绷。协也 令叶；： 们埔。o m 竹k舞也 证当 r 是 阵 州 删 咿 制 伪 仔 因 我卜 ( o 0 讥 一丑d 仉t l 0 = 札舻黼 阵 以所 风 蚀 如 忱 历 阵 p 触 为 纠 因 贽、， ：所愿岛 时 o o o 1 舢o o 吨 肛步t 台= ( 0 0 这时系统变为：童= ( ( 凳离敞线性时开：蹙系统的输 ：反馈饿定朗题 这疆 ) t f ) 口= c b 0 上口 4 2主要结果 我们考虑特殊情形：当变换以后d 和h 都为零。那么系统化简化： 西= 口以+ 6 2 2 + c 1 3 疵= e z 2 + ，z 3 如2 口z 2 + ( z + n u z ) z 3 泞先注意到：系统要可镇定那么a 一定小予零。 我们把( 4 1 ) 写成正常系统为雪= 9 t l 州的十扰系统奎= 铆) + 妒i ，) 其扣：痧“4 一z l = ：n z l p “。z l = 妇2 + c r 3 记 妒f f # ，2 i 2 = e x _ 1 + f z 3 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 定理3 1 ：若系统( 4 2 ) 可镇定的，那么系统( 4 1 ) 稳定f 一个带形区域 证明：若系统( 4 2 ) 可镇定，那么系统的( 4 2 ) 的解轨迹是渐近稳定的。由于系统 ( 4 2 ) 在【0 ，o o ) 连续且渐近稳定，那么粥，对于v ( ，z ) ( o ，) d ，有0 妒( 缸 d 而z = 0 是形常系统童= 西【j 的渐近平衡点。所以由定理9 1 1 1 8 1 ，系统( 4 1 ) 在 系统( 4 2 ) 可稳的条件下稳定于一个带形区域口 一2 4 一 o 0 o 口 o o 0 o o o 0 o，f一 ， =、lj f c， e g o b 西k 颅t 举他沦乏 参考文献 【1 jr o e s s e r r p a d i s c r e t e s p a c en m d e lf o r l i n e a r i m a g ep r o c e s s i n gi e e e t r a n s a u t o m c o n t 1 9 7 5 ，i - 1 0 【2 ja t t a s i s s y s t e m sl h l e a i r c sh o m o g e , n e sad e u xj u d i c 缁r a p p o r tl a b o r i a 1 9 7 3 ，3 1 ( 9 ) 【3 | f o r a s i n ie m a r e h 惴i n ig s t a t e - s p m a ；r c a l z a t i o nt h t x j r yo ft w o - d i m e n s i o n a lf i l t e r s i e e et r a n sa n t o mc o n t r 1 9 7 6 ，2 1 2 ) ：4 4 8 4 9 2 【4 | k u r e kje t i l eg e n e r a ls t a r s p a c em o d e lf o ra2 - dl i n e a rd i g i t a ls y s t e m s i e e e t r a n sa u t o mc o u t r , 1 0 8 5 , 3 0 ( 6 ) 6 0 0 - 6 0 2 【5 jk a c a o r e kt t h es i n g u l a rg e n e r a lm o d e lf o r2 - d 趔 s t e m sa n di t ss o l u t i o n i e e et r m a s a u t o mc o n t r1 9 8 8 - 3 3 ( 3 ) ：1 0 6 0 1 0 6 1 【6 | 陈当细，邹云杨成梧2 一d 奇拌禽散系统的内部稳定性南京理工大学学 报2 ( r ) 1 2 4 2 ) ：1 5 6 - 1 5 9 f 7 】陈雪如_ 维离敝系统的稳定性0 最优控制南京理工大学博上学位论艾，2 ( 0 2 i s y u nz o n ps l c a m p b e l l t h ej u m pb e h a v i o rm i ds t a b i l i t ya n a l v s i sf o r2 - ds i n g u l a rs y s t e m s m u l t i d i m e n s i o n a ls y s t e m sa n ds i g n a lp r o c e s s i n g ，2 1 ) 0 0 , 1 1 ：3 2 1 - 3 , 3 8 h u i l i n gx u , y u n z o u ，s h e n 群a t a nx u ，j a m sl a m t q i n gw a n g h m o d e lr i m u e - t i o no f2 - ds i n g u l a rr o 错辩rm o d e l s m n l t i d i m e n s i o ms y s t e m sa t t ds i g n mp r o c e s s - i n g , 2 ) ( ) 5 ，1 6 ：2 8 5 - 3 0 4 f 1 0 1c c a i w w a n g ，y z m i an o t eo nt h ei n t e r n a ls t a b i l i t yf a r2 - da c e e p t t b l el i n e a r s i n g u l a rd i c s r e ts y s t e m s m u l t i d i m e n s i o n a ls y s t e m sa n ds 咖址p r o e t n i s i n g , 2 0 0 4 1 5 ：1 9 7 2 0 4 1 11 】y ，z o u ，w w a n g s x u s t r u e t u r ms t a b i l i t yo f 参ds i n g u l a rs y s t e m s - p a r t i ： b a i s cp r o p e r t i e s 2 0 0 3i n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo i lc o n t r o la n da i l t o l n a - t i o n m o n t r e a l , c a n a d a2 0 0 3 ，6 ：9 - 1 4 f 1 2 1w w a n g , y z o u t h ed e t e c t a b i l i t ya n do b s e r v e rd e s i g no f2 - ds i n g u l a rs y s - t e r n s i e e et r a n s a c t i o n sc i r c u i t sa n ds y s t e m s ，2 0 0 2 , 4 9 ( 5 ) ：6 9 8 - 7 0 3 f l3 j y z o u ， w w a n g ，s x u r e g u l a rs t a t eo b s e r v e r sd e s i g nf o r2 - ds i n g u - l a xr o e s s e rm o d e l s 2 0 0 3i n t e r n a t i o n a lc o n f e f e n c eo i lc o n t r o la n da u t o m a - t i o n m o n t r e a l ，c a n a d a 2 0 0 3 , 6 ：9 1 4 1 1 4 j 王为群一维奇异系统的能稳性，稳定性和难检测性南京理工大学博士学位论 文，2 0 0 4 1 1 5 】徐慧玲，邹云不确定2 一d 奇异系统r o e s s e r 模型告棒能稳的矩阵不等式 方法闭控制与决策2 0 0 4 1 9 ( 1 1 ) ：1 3 1 9 - 1 3 2 0 f 1 6 l 蔡展晓，邹云，徐胜元奇异掇动系统的_ 次稳定性和= 次可镇定性信息与 控制。3 4 ( 3 ) 。2 0 0 5 ：3 4 4 - 3 4 9 2 5 癸鹚数线性时夺变系统