（材料物理与化学专业论文）电荷密度波与grüner方程的向量场分析.pdf

中文摘要 准一维材料中电荷密度波现象是电子在强关联作用下的一种集体凝聚的表 现。人们在铜氧化合物高温超导陶瓷材料以及很多其他材料中都可以发现电荷密 度波的存在。 电荷密度波作为一种电子集体凝聚状态，在导电特性方面，会表现出非线性 电导、窄带噪声、存在非线性电导的启动阈场等现象。在电荷密度波理论研究方 面， g r t i n e r 及其合作者提出所谓单粒子模型，并给出一个非线性微分方程，即 g r i a n e r 方程，来描述电荷密度波的导电行为。由于g r t i n e r 方程是一个非线性微 分方程，人们无法得到它的严格的解析解。g r i i n e r 等人运用过阻尼近似方法，略 去方程中的二阶微分项，得到比较满意结果。但是，g r i a n e r 得到的电导公式的导 数在阈场处是发散的，这与实验结果不太符合。通过分析可以看到，这种缺陷并 非g r i a n e r 方程本身所造成的，是由于对方程的近似处理所造成的。 本篇文章中，运用微分方程向量场理论对g r g n e r 方程进行了定性分析，得 出了在外场大于一定的阈值情况下方程将具有稳定的、唯一的周期解的结论。本 文还从数学上对外场与周期解依赖关系进行了严格证明，并得出了在一定条件 下，使方程具有周期解的阈值将是恒定不变的。这一结果为我们在物理上的进一 步分析，提供了可靠的数学基础。 在此基础上，我们可以从g r i i n e r 方程导出，单段电荷密度波在外场作用下 将会产生滑移速度叠加周期变化速度的运动，周期变化速度形成窄带噪音，滑移 速度形成直流电流分量，并且遵循线性的欧姆定律。我们将这些结果与p o r t i s 多 分段模型相结合，提出各段电荷密度波之间“弹性串联”机制，将分段与分段之间 的相互作用转化为内力处理，并指出单段c d w 的周期变化速度中的直流分量将 转换为分段之间的相互之间挤压或拉伸的内力而失去对电流直流分量的贡献。最 终我们可以导出与f l e m i n g 经验公式完全一致结果。 关键词：电荷密度波( c d w ) ，旋转向量场，g r t i n e r 方程，非线性电导，单摆 a b s t r a c t c h a r g ed e n s i t y - w a v e si sat y p eo fe l e c t r o nc o l l e c t i v eb e h a v i o r si nac o n d e n s e d m o d e i nt h ec d wm a t e r i a l st h e r ea r eal o to fa n o m a l o u sc h a r a c t e r sw i t hi t n o n l i n e a rc o n d u c t i v i t y , n a r r o w b a n dn o i s e ，t h r e s h o l df i e l da n ds oo na r ef o u n db y e x p e r i m e n t s g r i i n e ra n dh i sc o l l a b o r a t o r sf i r s tp r o p o s e dt h es i n g l e - p a r t i c l em o d e lt o e x p l a i nt h e m i nt h em o d e lt h e yg a v ean o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt od e s c r i b i n g t h eb e h a v i o r so fe l e c t r o n i ct r a n s p o r t a t i o n b e c a u s et h i sd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c hi s n a m e da sg r i i n e r s e q u a t i o nd o e s n th a v ea n a l y t i c a ls o l u t i o n ，t h e y d e r i v e dt h e c o n d u c t i v i t yf o r m u l ab yo v e r - d a m p i n ga p p r o x i m a t i o n a l t h o u g ht h i sf o r m u l as a t i s f i e d w i t ht h ee x p e r i e n c e sv e r yw e l li ns o m ed e g r e e ，t h ed e r i v a t i v eo fc o n d u c t i v i t yi s d i v e r g e n ta tt h et h r e s h o l d t h i si sc o n t r a d i c t o r yw i t ht h er e s u l to fe x p e r i m e n t ，b u tw e t h i n kt h a tt h ec o n t r a d i c t o r yi sd u et on e g l e c t i n gt h es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a lt e r mo f t h ee q u a t i o n i nt h i sp a p e r , w ea n a l y z et h ee q u a t i o nb yt h em e a n so ft h er o t a t i n gv e c t o rf i e l d t h e o r y u s i n gt h em a t h e m a t i c a la n a l y s i sm e t h o dw eo b t a i nt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e a p p l i e df i e l de a n dt h ep e r i o d i c a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o n i ti sc o n c l u d e dt h a ti nt h e o v e r - d a m p i n gs i t u a t i o nt h ee oi n g r t i n e r se q u a t i o ni sj u s tt h ec r i t i c a lv a l u eo ft h e a p p l i e df i e l de w ea l s oo b t a i nac o n c l u s i o nt h a tt h ee q u a t i o nh a sau n i q u ea n ds t a b l e p e r i o d i c a ls o l u t i o nw h e nt h ea p p l i e df i e l dei sl a r g et h a nt h ec r i t i c a lv a l u eo ft h e a p p l i e df i e l de a c c o r d i n gt ot h ec o n c l u s i o n ，i tc o u l db en a t u r a l l yd e r i v e dt h a tt h e s l i d i n gc u r r e n to fas e g m e n to fc h a r g ed e n s i t yw a v eo b e y st h eo h m s l a w s e q u e n t i a l l yw ea p p l yt h e s ec o n c l u s i o n sw i t hp o r t i s sm u l t i p l es e g m e n tm o d e l w e p u tf o r w a r dai d e ao fe l a s t i cc o n n e c t i o na c c o u n t i n gf o rt h ec o n n e c t i o no fd i f f e r e n t s e g m e n t s t h et h e o r e t i c a lr e s u l tw ed e r i v ef r o mt h e s ef o rd e s c r i b i n gn o n l i n e a r c o n d u c t i v i t yo fc h a r g ed e n s i t yw a v ei sc o n s i s t e n tw i t ht h ee x p e r i e n t i a lf o r m u l ag i v e n b yf l e m i n g k e y w o r d s ：c h a r g ed e n s i t y - w a v e s ( c d w ) ，r o t a t i n gv e c t o rf i e l d ，g r i i n e r se q u a t i o n ， n o n l i n e a rc o n d u c t i v i t y ，p e n d u l u m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：柱扬虱签字日期：夕矽汐厂年应月吕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫注盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁鲞叁茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：z 参遭：玩习 导师签名： 签字日期：矽疹石年坦月舻日签字日期：2 册年夕月扩日 第一章引言 第一章引言 1 。1 电子强关联与电荷密度波 凝聚态物理的研究是当今许多科学家密切关注的领域【l 捌。在经典的固体电 子理论中，应用朗道一费米液体理论大大简化了固体物理中的多体问题；每个 原子的价电子能自由的运动，通过重整化过程，它们之间的库仑排斥作用可以 忽略，以近独立准粒子近似为基础的电子能带论对固体系统输运性质给出了近 乎完美的解释。然而随着凝聚态物理的发展，新材料、新的物理现象的发现， 在这些新材料、新的物理现象当中，电子与电子之间的相互作用不能再被忽视， 建立在近独立电子近似基础上的经典的朗道一费米液态理论面临着严重的挑 战。电子之间的关联作用在理论研究中的地位日益突出。多电子强关联、多电 子集体激发一元激发的概念，在相关领域研究中变得越来越重要。各向异性 和低维度等特性以及象拓扑性孤子、非公度电荷密度波或自旋密度波等非线性 集体激发，在物理性质方面研究中起着十分重要的作用。1 9 8 6 年b e d n o r z 与 m u l l e r 发现了铜氧化物高温超导体【3 1 ，它所具有一系列反常特性，无法用建立在 费米液体理论框架下的传统b c s 理论来解释，使人们不得不突破电子弱关联作 用假设的习惯定势，在理论上引入电子强关联作用的观念，试图建立起一套完 整的电子强关联系统理论。自从高温超导热潮兴起后，电子强关联系统更加引 起了人们广泛注意，它成为人们有望解决高温超导机理的最关注的理论课题。 纵观近2 0 年来，人们相继发现高温超导【3 】、导电聚合物【4 】、有机电荷转移盐囫 以及准一维卤素桥混合价金属络合物 6 1 等低维材料，都为电子强关联理论发展提 供了动力，并且成为低维凝聚态强关联系统领域的亮点。特别是电子的强关联 对晶格畸变的响应，。从而决定了系统各种对称破缺基态，形成了电荷密度波、 自旋密度波、自旋p e i e r l s 态等。 所谓电荷密度波( 简称c d w ) 就是凝聚在一起的电子，是一种多电子强关 联下的集体非线性行为。它们在足够强大的外场的作用下可以移动，但是必须 是集体移动。关于电荷密度波预言，最先是由p e i e r l s 在1 9 5 5 年提出的 7 1 。他指 第一章引 言 出，在t = 0 的一维导体中电子一电子以及电子一声子相互作用导致晶格不稳 定，造成晶格发生周期性的畸变，其中的分布的电子，为了达到一种宏观中性 的效果，从而自身随之产生周期性的调制，形成电荷密度波。晶格分布发生周 期性的二聚化畸变，这种畸变称为p e i e r l s 畸变。如图1 1 ，( a ) 是畸变前电荷分 布和晶格分布情况：( b ) 则是晶格产生二聚化畸变后电荷分布和晶格分布情况。 在这种集体模式下，电荷密度波的波矢量g = 2 k p ，露，为费米波矢。集体模式( t h e c o l l e c t i v em o d e ) 电荷密度可以写成如下形式： p ( ，) = p o - 4 - p le o s ( 2 k ，+ 伊) ( 1 - 1 ) p 。是没发生调制情况下的导电电子的密度，伊是初相位。当t = 0 时，在没有电 子一电子和电子一声子相互作用下，电子的基态对应于图1 1 ( a ) 状态，它们将 填满费米能级占，原子将以晶格常数a 进行周期分布。在电子一声子相互作用 下，晶体中的原子将趋于一种以2 口为周期的分布，即产生所谓的二聚化畸变， 电荷密度波的调制波长为五， 允= 二 f 1 - 2 ) k f 。 如图1 1 ( b ) 所示。由于在 - k f ，k f 】区间的电子态被充满，能隙的产生使系统 能量降低，这也正是产生p e i e r t s 畸变的原因。这种随着温度降低，电子发生凝 聚形成电荷密度波的现象称为p e i e r l s 相变【8 1 。发生p e i e r l s 相变的温度被称为 p e i e r l s 温度。在p e i e r l s 温度以上，系统处于导体状态，在p e i e r l s 温度以下，系 统处于绝缘状态或半导体状态。也就是说，p e i e r l s 相变导致电荷密度波形成。 另一方面，c d w 的波长与背景晶格常数之比么可能是有理数，也可能是 无理数。当为无理数时，称之为无公度相；当么为有理数时，称之为公度 相。于是，电荷密度波的出现同时伴随着无公度相和公度相的存在。通过实验， 人们在电荷密度波材料中，还发现了很多其他复杂有趣的现象：使得c d w 问题 成为凝聚态物理理论中的重点和难点问题之一，从而吸引了许多研究者的目光。 南京大学龚昌德教授在“分布p e i e r l s 相变”文章中，对此有过深入的研究和 讨论。 第一章引言 州 佃万0 0 0 o r a 、a t o m s m e t o l f 【k ) l j i i ， 爿j 人 r i o 。k f 0 k f - t r i o k ( b )p 7 、7 、7 、_ ooo oo ooo i 2 q 一 。a t o m s ， 名 】p 人 一 ir l s u i a t o r 。k f 0 k f - 1 i - 2 a k 图1 1 具有半充满能带的导体一维p e i e r l s 畸变( a ) 没发生畸变的导体。( b ) 发生畸变的 p e i e r l s 绝缘体。 f r s h l i c h 指出【9 】，处于无公度相的电荷密度波的能量与其相位无关，从而作 为载流子的电荷密度波可以无阻力的滑动，形成超导电流，人们称之为f r i s h l i c h 超导。实际上由于杂质和晶格非理想化原因，无公度相状态下的电荷密度波被 钉扎，因而无法形成超导电流。然而，在强关联框架下，电荷密度波作为一种 多电子集体效应输运行为，仍然表现出很多奇异的特点。例如，非线性电导， 非线性电导的阈场，窄带噪音等。 第一章引言 1 2 电荷密度波导电性质的实验研究 在实验方面，f o g l e 和p e r l s t e i n ( 19 7 2 ) 首先在蓝青铜( k 0 3 m 0 0 3 ) 中观测到 奇异的非线性导电行为【1 0 】。有关蓝青铜导电实验的研究至今还被广大科技工作 者所关注【1 1 1 2 1 。随后不久，a m e e r s c h a u t 等人在19 7 5 年首次合成出了n b s e ，样 品【1 引。然后，p m o n c e a u 和a m e e r s c h a u t 等人合作，在n b s e ，样品中观测到强 烈的反常导电特性【1 4 】，在1 4 5 k 和5 9 k 处观测到电荷密度波的p e i e r l s 相变 1 5 】。 从这些实验结果中都可以清楚观察到多电子集体效应所引起的一些完全不同于 单电子导电的性质。从此，n b s e ，成为了具有一维电荷密度波结构的典型材料， 并吸引众多科技工作者的对其进行研究 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 2 0 2 1 ，2 2 2 3 1 。随后，人们发现了 t a s 3 、t a s e 3 等一系列的形如m x 3 的过渡金属三硫族化合物( t r i e h a l c o g e n i d e g r o u p ) ，它们都是一维链式化合物，都具有电荷密度波结构，值得注意的是，人 们通过实验发现t a s ，存在两种晶体结构：单斜晶体结构【冽( m o n o e l i n i c ， m t a s 3 ) 和正交晶体结构f 2 5 矧( o r t h o r h o m b i c ，o 叻s 3 ) 。温度下降时，在这两 种结构的晶体中都能出现p e i e r l s 相变。单斜晶系结构的t a s 3 在2 4 0 k 和1 6 0 k 温 度发生p e i e r l s 相变口7 1 。正交晶系结构t a s 3 在2 2 0 k 温度点出现p e i e r l s 相变口8 ，2 引。 在t a s 3 样品中，人们观测到强烈的电场非线性效应【3 0 3 2 1 、窄带噪音【3 3 】、电导对 频率的依赖关系【3 4 】以及非常大的介电常数【3 1 】。这些现象都是电荷密度波在不同 方面的具体表现。在后来人们在许多无机材料和有机材料相继发现了电荷密度 波，例如：准一维卤素桥混合价金属络合物o 妯s e 4 ) 3 _ 3 3 i e 3 5 】，过渡金属的硫族化合 物 3 6 1 ，有机电荷转移盐t t f - t c n q 等等【3 7 1 。这些材料都是典型的一维电荷密度 波材料，具有典型的电荷密度波的特殊导电行为，即它们都存在一个阈场，当 外加电场大于闽场时，电导显著增加，并且随电场增加而呈指数增长，呈现出 非线性的电导率；同时，在外加直流电场作用下，出现交流信号，人们称之为 窄带噪音。 n b s e ，作为典型的准一维电荷密度波无机材料，具有线状结构，如图1 2 所 示。在n b s e ，材料中，每一个n b s e ，单元彼此连接构成无限长的长链，链间又彼 此独立分开。在长链内部，每一个n b s e ，单元通过肌s e 化学键沿图中的垂直 方向连接在一起。这样结构形式，在其他过渡金属三硫族化合物材料中同样可 第一章引言 以看到。这种链状结构，也是决定c d w 材料性质的典型结构。至于在长链内部 和长链之间的化学键的组成仅仅会对单粒子性质产生影响，例如，电导率的各 向异性方向、单粒子带宽、p e i e r l s 相变温度等。而这些差别，在电子集体运动模 式的动力学中，并不扮演重要角色，它仅仅对总能标度( o v e r a l le n e r g ys c a l e ) 、 关联长度产生影响。这种链式结构也是电荷密度波材料一种特征，在其它有机 或无机准一维电荷密度波材料中，也能发现这种结构，具体情况可以参看有关 文献，这里就不再叙述。 丛a 之坐 乞量| a nbs e 3 nb c h a i nd ir e c t i o n o s e 图1 2n b s e 3 晶体结构 在p e i e r l s 提出电荷密度波概念后，最先，由l e e 等人在导电理论方面进行 了研究，为其导电理论发展奠定了基础【2 0 , 3 8 , 3 9 。而在导电实验研究方面，可以说 是开始于m o n c e a u 等人对n b s e 3 的研究。后来f l e m i n g 和g r i m e s 通过n b s e 3 实 验观测【1 7 , 1 8 ，给出了电荷密度波电导率的经验公式 第一章引言 o ( e ，力= 盯。( 7 3 + 仃6 ( 7 3 ( 1 一兰 e 一r ， ( 1 3 ) c 其中第一项为线性电导率，第二项为非线性电导率。当电场e 大于阈值e ，时， 才会出现非线性电导率。此时，还会出现“窄带噪音”，噪音的基频z 与非线性电 流强度，d c 成正比关系，即 zo c ，d c ( 1 _ 4 ) 下面的图1 3 是f l e m i n g 等人通过实验观测给出了n b s e ，的微分电阻与电场关系 图。图中的圆点代表实验数据，实线是根据经验公式( 1 3 ) 拟合的曲线【l8 】。图1 4 是b a r d e e n 等人给出的c d w 电流和窄带噪音的基频关系实验数据图线，实线是 拟合直线 4 0 l 。 o 芷 ， 勺 勺 - _ 一 ei m v l c m ) 图1 3 n b s e 3 样品正交归一化微分电阻与外加电场关系图线。1 - r e ( a ) 样品实验温度为1 2 5 k 。 下图( 6 ) 样品实验温度为5 1 k 温度，其中也标出了电流与电场关系图线。 第一章引言 图1 。4n b s e 3 样品的c d w 电流与窄带噪音的基频关系图 1 3 电荷密度波的相关理论叫r n n e r 方程 有关c d w 大量的理论和实验研究可以参见综述性文献【4 l , 4 2 , 4 3 。这里我们特 别提出的是p o r t i s 的多分段模型【2 。他假定c d w 受到强作用和弱作用两类杂质 的影响，强作用杂质随机分布将c d w 分割为小段，每一小段被强作用杂质钉扎。 分段长度不同，单位长度所受周期钉扎势场强度不同。弱作用杂质均匀分布， 单位长度所受弱作用相同。弱作用等效于一个阈场。强作用导出指数因子。这 样得出公式与经验公式完全相同。但这个理论假定c d w 每个分段服从欧姆律， 却没有说明理由。更重要的是，各分段速度不同，如何形成串联电流，令人难 以理解。本篇文章对这个问题提出了一种新的解释机理。 隧道穿透模型，是b a r d e e n 首先提出的 2 2 1 。指数因子存在，使b a r d e e n 想到 类似半导体中p - n 结反向击穿的z e n e r 隧道穿透机制，由此得到 f c r ( e ，丁) = o - 。( 7 3 + 仃6 ( 丁) e x p ( - 。夕鲁) ， ( 1 - 5 ) 7 第一章引言 具体的讨论可以查看有关的文章。这个结果的缺陷是不能说明阈场的存在。为 了说明阈场的存在b a r d e e n 后来又提出c d w 存在一个关联长度，外场需要跨越 这一长度，隧道穿透才能发生】。这个假定显然带有人为的性质，而且由此得 到的能隙宽度与实际有几个数量级之差。 单粒子经典模型是由c r r i i n e r 及其合作者最先提出【1 9 】。根据电荷密度波导电 的特性与j o s e p h s o n 结的直流特性相似的事实，他们将电荷密度波当作一个刚性 的整体，在外场驱动下，它处于具有杂质的周期钉扎势场中运动。并受到周围 热浴的摩擦力作用。其运动方程为 窘+ r 警劬矽e o ，( 1 - 6 ) 其中e 。= ( 万) ( m 吆) 是常数， r = ( c o o t ) - 1 为摩擦系数，这是一个典型的非 线性微分方程，没有解析解。于是他们再假设摩擦力极大，二阶导数项可以忽 略，积分求解得到 o d c2 c r o e 2 一霹。( 1 7 ) 这里不仅自然得出阈场疡，而且在高场区域，妄方次律与指数律也极其近似。 与经验公式的符合程度为以后若干年中各种改进的精确理论所不能逾越的。理 论的唯一困难是盯的导数在阈场条件下发散，与实验有本质差别。以后将看到 这一困难是由于近似处理造成的，而不是方程( 1 - 6 ) 本身所具有的。因而本文将 以方程( 1 6 ) 式作为理论的出发点，重新进行分析。 本篇文章将以单粒子运动方程( 1 6 ) 为基础，从非线性微分方程向量场理论 出发，通过严格数学分析，导出方程解是以一个周期变化速度之上叠加一个匀 速的运动，并对具有周期解的临界电场五情况给出了明确的结论。然后我们推 广到多个分段( 多体) 的情形下，周期变化速度转化为分段内的相对运动，成 为窄带噪声。而匀速分量成为分段的整体流动，这种整体流动成为电流的直流 成分。对于多分段模型中，各分段的速度不同问题，我们提出这种速度的差异 将产生各分段的形变，从而产生两分段间附加内力，最终将使各分段速度拉平， 整个c d w 可按一个连接体系统进行力学处理，得到c d w 的统一速度。这可以 克服p o r t i s 原有多分段模型理论的困难。最终得到结果应该与经验公式完全一致 的。 对于方程( 1 6 ) 具有周期性的严格解，最先我们通过数值计算的方法，对其 第一章引言 进行验证，得到了预期的结论，但这个结论有些地方包含近似的成份【4 5 闱。而后， 在本篇文章中我们通过运用非线性微分方程的向量场理论，对方程的解进行定 性的分析，得出了更加明确的结论。并提出了，在一定条件下，使方程具有周 期解的临界阈场值是一个恒定数值，这使我们物理分析更加明析。 1 4 用数值计算方法得出的结论 我们曾经用数值计算的方法对微分方程( 1 6 ) 进行过分析，在此我们给出简 单介绍，详细内容请参看相关文章4 5 嗣。由于此方程是二阶微分方程，在用计算 机求解之前，先将其变为两个一阶微分方程，并取厶作单位，令e o = 1 ，并 w ：丝，则有 堂：w 衍 掣：e 一( f w + s i n # ) 者 这样就可以用龙格库塔方法解两个联立的一阶微分方程嗍，当然我们所求 的数值解都是方程稳定解。所计算的物理量是时间f 、相位痧、相速度w ：掣。 口z 作为代表，我们取e = 2 ，f = i 8 ，用计算机进行数值计算，图1 3 是依据计算结 果绘出的解的曲线。 e = 2 r = 1 8 八厂八 7 |f |；|一 l| j ，vv 9 图1 5 警( 舢线d f 第一章引言 计算结果表明，只要e 大十一个临界咧值，万崔就会给出如图1 5 所不一个稳定 的周期解。这个稳定的周期解对于物理分析上的意义，我们在后面章节将会给 出讨论。 从图1 5 可以看到，这种周期解轨线将会周期性地出现极值点。在一掣曲 n f 线的极小值点处，曲线斜率必定为0 ，即掣) 蛐= 0 。又由方程组( 1 8 ) 式中两式 口驴 相除可得 d w e 一( r w + s i n 痧) 一= 一 彩w ( 1 9 ) 因为在极小值处( 譬) 血= 0 ，带入( 1 9 ) 式得到轨线极小值处的关系式： “ w 岫：e - s ；i n 一r 。( 1 - 1 0 ) w 咄i = = - 一 当w 曲i 10 时，此时电场e 取值即是临界电场的阈值，我们将临界电场的阈值记 为成，可得下式： , a o = s i n 丸。( 1 1 1 ) 利用( 1 1 1 ) 式，通过数值计算得方法就可以对于临界阈场屁与阻尼系数r 之间关 系进行数值分析。具体分析工作我们在 4 5 ，4 6 文章已经给出，这里不再重复。 图1 6 是我们利用m a t l a b 软件和改进的方法得出的计算结果。通过数值计算结 果，我们可以看出，随着r 增加临界阈场屈很快趋近于1 。因为是数值计算， 存在计算精度等因素，我们只能近似的分析出，当r 很大时，阈场值是一个趋 近为1 的值，这样我们在物理分析中，也要引入近似成份。后面章节，我们给 出了数学上的严格分析，导出在r 大于一定值的条件下阈场取值为一个不再随r 变化的常数。这样在我们物理分析中就可以消除了这种近似成份，从而为我们 的物理分析提供了更可靠的数学基础。 1 0 第一章引言 1 1 0 9 0 8 0 7 0 6 口5 d a t a ， 之 五 00 20 40 60 8 1 1 21 41 b 图1 6 卜风曲线 第二章g r i a n e r 方程的向量场分析 第二章g r t i n e r 方程的向量场分析 2 ，1 非线性微分方程的基本理论 对于非线性微分方程的研究，有两种方法：一种是古典方法，试图得到方 程的显式的解用初等函数表示的封闭形式的解，或用幂级数形式表示的解。 这种方法在发展中存在着很大困难，有很大局限性。另一种方法，是以p o i n c a r 6 在其论文微分方程所定义的积分曲线( 1 8 8 1 1 8 8 6 ) m 中所创立的微分方程定 性分析理论的方法，这种方法将微分方程的解转化为一条在相空间上随时间演 化的轨线，轨线上每一点的切线都有一定的方向，因此，这种方法也称为向量 场理论。随后，很多科学家在此领域做出了发展和完善。1 9 5 3 年，gf d u f f 创 立了旋转向量场理论【4 8 1 ，其后，gs e i f e r t 等人又将该理论进一步发展，得到广 义旋转向量场理论 4 9 , 5 0 , 5 1 】。 方程( 1 6 ) ( g r t i n e r 方程) 也是圆周摆方程。对于圆周摆方程，以往人们一 般关心的是其在锁相等方面的数学行为，即主要从r 的变化研究其解的行为。然 而，对于解的性质与外场e ( 即方程右端的常数项) 之间的依赖关系，却没能引 起人们更多的关注。在c d w 理论方面，g r t i n e r 等人虽然提出了此方程，但也没 有用微分方程理论去分析解的性质以便推出相关结论。本文是从电场e 角度出 发，即从方程右端的常数项( 在下文中定义：= ) 出发，来研究方程( 1 6 ) f 止0 ( g r t i n e r 方程，或圆周摆方程) 的解的性质，这是本文与前人工作的重要区别。 本文通过广义旋转向量场分析，还得出了一个新的结论：在一般情况下，r 都比较大( 过阻尼) ，而此时无论i 取什么数值，使方程( 1 6 ) 具有周期解的电场 e 的临界值都将为一个匣定的值e o ( 即夕= p o = 1 ) 。这个结果，也是我们在前 面的工作t 4 5 , 4 6 , s 2 1 q b 没有提出过的，它对于分析c d w 问题是有帮助的。 在非线性微分方程理论中，二维系统特别是平面系统方面，理论发展的比 较完整。对于任一个二阶非线性微分方程 ，( 害，i d x ，x ，f ) ：0 ， ( 2 1 ) 1 2 第二章g r t t n e r 方程的向量场分析 令 可以得到 d x z = 一 功 d x 一= z 出 = f ( x ，z ，f ) 瞎o ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 如果函数不显含时间厶即如下形式： ( 2 - 4 ) 则称之为自治系统。如果我们得到方程组的解为 x = x ( ，t ：， ( 2 - 5 ) 1z ：z ( f ) 铲一 则x = x ( f ) 也是原方程( 2 - 1 ) 的解。而解( 2 5 ) 在卜z 相平面上按时间参数描出一条 解曲线，曲线行进方向指向时间增加方向，我们称之为轨线。这样曲线上任一 点的切线也具有方向，形成所谓的切向量。在相平面上，所有满足方程( 2 - 4 ) 的 切向量则构成这个方程组在相平面上的解的向量场。 在相平面上，存在一些特殊点，称之为奇点。为了说明奇点的定义，我们 给出更一般形式的微分方程组 1 3 第二章g r i t n e r 方程的向量场分析 奇点是相平面上具有特殊性质的点，它往往是轨线的汇聚点或发散点，对 于我们研究轨线的性质有很大帮助。奇点可分为中心奇点、焦点、鞍点 5 3 a 。它 们是按照奇点邻域内的轨线性质进行分类的。中心奇点邻域内的轨线都将是围 绕中心奇点的环形轨线。焦点邻域内的轨线都螺旋状地进入焦点或从焦点螺旋 状地发出。轨线螺旋进入的焦点，称为稳定焦点，反之轨线螺旋状地发出的焦 点被称为不稳定焦点。鞍点上有两条渐近线，它们是两条交叉于鞍点的直线， 在鞍点的邻域内会有四条轨线沿两条渐近线进入鞍点或从鞍点发出，其他轨线 则以两条直线为渐近线靠近鞍点但不进入鞍点。在图2 1 中我们给出了几种奇 点邻域的轨线相图。我们后面的章节将要遇到以上几种奇点，另外还有其他形 式的奇点，这里我们就不做介绍。有关奇点的描述在非线性方程理论中都可以 找到，我们在此不再赘述。 图2 1 奇点的相图：( 口) 中心奇点，( b ) 焦点，( c ) 鞍点 在微分方程理论中，当c a u c h y 问题满足l i p s c h i t z 条件下，微分方程的解是 存在且唯一的 5 3 m 。具体内容如下： 定理2 1 考虑c a u c h y 问题( e ) ： j 鲁叫似) ( 2 - 9 ) 【x ( f o ) = x o 其中x 是r “中的矢量，f i t ，曲是实变量f 和，z 维矢量x 的 维矢量值函数：又设 第二章g r t t n e r 方程的向量场分析 y ( t ，妁在闭区域g ： - t 。i a ，i 卜一x 。0 b ， ( 2 - 1 0 ) 上连续，并且对x 适合l i p s c h i t z 条件： l i f ( t ，x ，) - f ( t ，工2 ) 忙l i i x ，- - x ：l ， ( f ，工，) g ， = - 1 ，2 ， ( 2 1 1 ) 其中l i p s c h i t z 常数上 0 。令 m = m a x f ( 捌| | ，办= m i n ( 岛劫 ( 2 1 2 ) 那么c a u c h y 问题( e ) 在区间l t t 。l h 上有一个解x = 9 ( f ) ，并且它是唯一的。 根据此定理2 1 ，在相平面上通过任一常点的轨线只有一条，即在相平面上 轨线不相交，我们称之为解的唯一性。 同样，在存在参数的微分方程系统中，当c a u c h y 问题满足l i p s c h i t z 条件下， 则微分方程的解是存在且唯一的，并且是参数的连续函数【5 。我们称之为解对 参数的连续依赖性。具体内容如下： 定理2 2 考虑c a u c h y 问题( 毋) ： j 鲁叫( 2 - 1 3 ) 【x ( f o ) 者x o 此处x 是舻中的力维矢量，是舻中的朋维矢量。矢量函数贝毛五膨在区域g ： | f - t 。i 口，i - - x 。0 b ，l i 一口0 c ，( 2 - 1 4 ) 上连续，并且对x 适合l i p s e h i t z 条件： l l 厂( f ，x 。，) - f ( t ，x 2 ，) 0sl 0 x ，一x ：6 ， v ( t ，x ，) g ， 卢1 ，2 ， ( 2 1 5 ) 其中l i p s c h i t z 常数三 0 。令 m = 警帅：训) o ，乃= m t n ( 见刍) ( 2 舶) 则对于任意( 陋一心忙c ) ，c a u c h y 问题( 耳) 的解x = x ( f ；) 在区间l t - t 。l h 上存在且它是唯一，并且x = x ( f ；) 是( l ) 的连续函数。 如果，方程组中存在一个参数a ，同时相平面上的向量场中的向量将随a 发 生旋转，在一定数学条件下，并且奇点不随之发生移动，则此时构成旋转向量 第二章g 幽e r 方程的向量场分析 旋转向量场。 、 作者还给出了所谓的极限环的定义【5 4 a l ，具体内容如下： 争凡邵) ， ( 2 _ 1 7 ) 悟g z ) u 。1 f ( 篆+ 罚砜。( 0 ， ( 2 - 1 8 ) 则三为稳定( 不稳定) 极限环 鳓】。 _ d 2 u + s i nu：o(2-19) d t 2 d u ：形 班 (220)dw 一：一s i n u 卜 衍 这个方程是可解的，关于这个方程的讨论在很多书中都可以找到，这里就不再 1 6 第二章g r t i n e r 方程的向量场分析 叙述。我们仅仅给出它的u 一形相平面上的鞍点以( 2 n + 1 忱o ) ，刀整数；还 有中心点q n ( 2 n r c ，0 ) ，n 整数。其实进行适当代数变换就很容易得到它的解析 解，这里我们只给出过鞍点轨线所对应的解的解析表达式： 形= + 2 ( c o s u + 1 ) ，u ( - ，佃) ( 2 - 2 1 ) 因为，它的相图是以2 石为周期的。所以图2 2 中只画出了相平面中的 叽，h 区 间上的鞍点p - i ( 一码o ) 、尸0 ( 死o ) 和中心点g o ( o ，0 ) ，还有两条过两鞍点的轨线厶 和，如图所示： n -，r弋i l 夕 ；、 z； ! 一 娩1 二 q o k ， 。 、么 3- 21 0 “ 2 3 图2 2s i n e g o r d o n 方程相平面上的轨线图 2 2g r u n e r 方程解的定性分析 作为准备工作，首先将方程解转化为相空间问题，引入一个新的变量z ，定 义z = - 却e ，并且令= 旦e o ，这样可将方程( 1 - 6 ) 改写成痧一z 相平面上的方程组形 式： d 西 o = z 班 (222)dz 瓦= 夕一s i n 一r z 。 每一个满足方程组的解则对应一条一z 相平面上的曲线，曲线带有方向，按时 第二章g r i h a e r 方程的向量场分析 闻方向演化，即轨线。其中r 0 ，0 。由y _ z ，= z 可知，z 0 时，轨线方向 讲 从左向右；z 1 时，方程( 2 2 2 ) 无奇点。注意：以上k 整数。 在相平面上，我们感兴趣的不仅是奇点，而且还感兴趣的是奇点上的特殊 轨线以及相平面上各个区域内的向量场的几何性质。下面介绍一下鞍点上的四 条轨线和主区间上不同区域内的向量场的几何性质。当f 0 ，0 s 口 0 区域为a ，； 令g 与轴围成的z 0 区域为人。； 令在g 下方z 。，( q k , z ) e a 1