（航空宇航制造工程专业论文）基于反向模拟法的拉深成形性分析技术研究.pdf

莲乾工韭大学嫒士学位论文 摘要 摘要 在念属板料成形中，板料毛燧和工艺的设计是至关重鼹的两个方面。为了 更有效的分析并褥到一个优化的板料毛坯形状，近年来，反向模拟法日蕊得到 了广泛瓣整褫。 本文基于形变理论，采用理想变形假设，分别使用三角形膜单元和壳单元， 分析了单元变形关系，得到了以初始构形上的节点坐标为基本未知量的肖限元 方程，并绘出了蠲予爱囊或形摸撅熬羽塑毪撵粒模鍪。逶避求艇上述毒羧元方 程即可得到满足理想成形条件的节点坐标，这魑节点坐标所形成的轮廓即为待 求的毛料尺寸边界。 在u g 中实现零馋的造型，势蒸手u g o p e n 蠢孵技术，给出了一秘切实可 行静求解零件网格和毛坯初始网格酾方法。缀过反向模拟系统分析，将成变数 据导入u g ，并以云阁的方式显示。从而实现了反向成形模拟系统与u g 系统的 集成。 本文对反良穰羧系统静各模块凌链及各模块之闻豹关系遴行了分辑谣论， 并使用c + 十语言，开发了拉深件反向成形模拟系统的原戤。选择了几个媳型零 件，对拽深件毛坯初始形状进行了优化，并就成形中拉深件厚向应变分布进行 了努掇，褥爨了瀵意瓣缝采。 关键词：理想变形，反向成形模拟，拉深件，有限元，一步法。 第l 页 西北= c 业大学碗士学位论文 摘要 a b s t r a c t b l a n kd e s i g na n dp r o c e s sp l a n n i n ga r et w ok e ya s p e c t si nt h ed e v e l o p m e n to f s h e e tm e t a lf o r m i n g t h ea n a l y s i so ff o r m a b i l i t ya n dt h eo p t i m u md e s i g no fb l a n k c o n t o u r so fc o m p l i c a t e dd e e pd r a w i n gp a r t sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h e m a n u f a c t u r i n go fs h e e tm e t a lp a r t s t oa c h i e v et h i sp u r p o s e ，t h ei n v e r s ea p p r o a c h m e t h o dh a sb e e nd e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s 。 i nt h i st h e s i s ，b a s e do nt h ep l a s t i ct h e o r ya n dt h ea s s u m p t i o no fi d e a lf o r m i n g , t h ef ee q u a t i o n sf o rd e e p - d r a w i n gi n v e r s es i m u l a t i o na r ef o r m u l a t e da n dt h e r i g i d - p l a s t i cm a t e r i a lm o d e lf o ri n v e r s es i m u l a t i o ni sa l s op r e s e n t e d n l er e l a t e df e e q u a t i o n sb a s e do ni d e a lf o r m i n ga s s u m p t i o nu s i n gt h et r i 3 ，t r i 一6m e m b r a n ee l e m e n t s a n dt r i 6s h e l le l e m e n ti sf o r m u l a t e dt oo b t a i nt h eu n k n o w nn o d ec o o r d i n a t e st h a t f o r mt h ec o n t o u r so f t h eo p t i m u mb l a n ks h e e t a r e rm o d e l i n gt h ep a r ti nu n i g r a p h i c so nt h eu g o p e na p it e c h n i q u e ，a p r a e t i e a b l em e t h o di sp r o p o s e dt og e tt h em e s ho ft h ep a r ta n di t si n i t i a lb l a n k a f t e r a n a l y s i sb a s e do ni n v e r s em e t h o d ，t h en e p h o g r a mo fs t r a i nd i s t r i b u t i o ni ss h o w ni n u n i g r a p h i c s + t h u s ，t h ei n t e g r a t i o no fi n v e r s es i m u l a t i o nw i t hu n i g r a p h i c s i s a c h i e v e d 髓ef u n c t i o n so f e a c hm o d u l eo ft h ei n v e r s es i m u l a t i o ns y s t e ma n dt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em o d u l e sa r ed i s c u s s e di nt h i st h e s i s t h ep r o t o t y p eo ft h e i n v e r s ea p p r o a c hs y s t e mh a sb e e nd e v e l o p e du s i n gm l a n g u a g e s e v e r a lt y p i c a l s i m u l a t i o nc a s e sa l ep r e s e n t e da n da n a l y z e di nd e t a i l ，a n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sa l e e f f e c t i v e k e yw o r d s ：i d e a lf o r m i n g ，i n v e r s es i m u l a t i o n ，d e e p d r a w np a r t ，f e ，o n e - s t e p a p p r o a c h 第l i 甫 嚣蔻工业丈学硕圭学位论文 第一章绻论 第一章绪论 在众属板料成形中，成形过獠的分析一赢是材料科学、力学以及制造领域 中相当黧要的研究方内之一。在过去的三十辱缀，由于数假计算方法和复杂数 学力学模型豹发蓑，众震成澎分耩授零已经取褥了显著载波莱。袋形过程豹准 确模拟对于深入研究变形过程的力学特性，分析成形过程的应力、应变以及预 测成形载荷是十分必隳而有意义的。成形性分析对制造无缺陷、高质最的零件 提供了其有撑导意义熬痿惠，弱辩，氇有魏予浚避簧统熬成澎工艺，发凝先送 成形工雹技术。 1 1 研究课题的意义及背疑 在镀金零箨串，渖援箨砉懿? 糖当褰豹魄铡。；孛基转豹袋影经分褫楚；孛压 工艺及模具设计中的关键内容，成形性分析的芷确性与否赢接影响到后续工作 的成败。在目前有很多大型企业和模具开发商均采用了有限元模拟方法来分析 滓压佟熬残形往。鞭蔻，主要健羽熬是瑷霎鸯羧元方法。懿是由于增燮有限元 方法需瓣完整的载旃和约束条件，并且需要较长的计算时阅，所以增爨有限元 方法赧模具设计的最初阶段不能提供设计需要的相关数据。 为了烬决这个阏题，国内终匏许多学者、磺究人员研究采翔了所谓的“一 步法”( o n e - s t e ps i m u l a t i o n ) 或“反商模越法”( i n v e r s es i m u l a t i o n ) 对冷聪侔的 成形性进行分析。其优点是计算缀小、便于谯产品设计和工艺设计中应用。 反向模拟的应用对象是钣金产品设计单位、模具开发制造企业及焚铝行业 静滓悉厂家。在竣诗豹裙缀除毅餐焉反自模羧法，不双滋幸亍成形往分褥，还 可进行复杂形状零件的毛坯展开和工艺优化。在产品开发阶段进行工芑性分析 可以避免后续制造中的浪费，缩短开发周期，同时可以使锻金零件的设计、制 造劳纷纯。蘧着对秘嚣技寒拳平豹簧求习蕊掇麓，对工艺靛分辑王曩魏瓣求龟 日益遍切，因而应用反向模拟法对企业提高技术水平，增强竞争力是十分重要 的。 爱粕模拟的原遴是姆产晶的几何形状直搂漱射到平板礁坯，麓燕必樊的a 何约束，放而得到成形过程中产豁上的应变分布，对可躯出现破裂、怒皱( 用 厚向应变表示) 的趋势和部位进行预测，为改进产品设计和模具工艺设汁提供 第1 页 延北t 渡大学酸l ：学位论文 第一章缡论 参考。由于这一方法从产品形状入手得到毛坯形状和最终的成形状态，所以称 之为“反向法”。 嚣落麓予这种思想豹研究在圈弧已有一些贼架，其中, i l 、b a t o z 豹研究残采 已经能够综合考虑成形_ 过程中弯蘸和摩擦的影响，其有穰强的实用性。现肖瓣商 品化软件为加拿大刚公司的f a s t f o r m 和i 法圈的a l t a i r 公司的h y p e r f o r m 。我 国在板材成形模拟方蕊开展研究工作的单位有嗡工大、上海交大、华中理工大 学、0 索簸空航天大学、嚣j 王鼗大学等，毽茭串丈部分攀镶鄂簸事壤蘩蠢隈 元分析的研究，也有少数的一些单位在进行关于有限元反向法的研究。其中， 西北工业大学的刘莱英博士是国内蠛早从事这方胤研究工作的人员之一。另外， 华孛理_ i 大学静兰戆、上海交大豹酝雪擦氇进行了反囊法蕊磷究，健髓懿王终 都取得了定的成果，但使用的主臻是三角形三节点常应变单元，研究成果大 都处于理论研究层次。 唾。2 纂予理想成彤理论蟾有限元素法 板料成形的过程伴随着几何j # 线性和物理非线性，再加上摩擦和接触等因 素的复合作用，使得变形的机制非常复杂。这样的情况不但传统的解析方法无 憝戈力，纛显健霜一般豹数蓬方法逡难浚褥裂瀵懑豹缝采。鸯隈元素法霹潋综 合考虑材料参数、工鼹参数以及其他工艺参数对成形过程的影响，因此，在工 业的设计和分析中得到了广泛的应用。 。2 。l 骞疆元法 有限元法首先是从桥梁结构的杆系力学计铎上发展超柬的，虽然有限元的 概念早程4 0 年代就裔人提出，但由于当时计算机尚未出现，宦并未受到人们的 重援。髓黄奄子诗葵搬弱发展，套隈元渡在各令工程领域中不凝褥受深入怼擐， 这一方法进而推广到造续奔质中去。目前，它广泛应用予弹塑性力学、断裂力 学、流体力学、热传姆等领域，鼹机械产品动、静、热特性分析的重要手段。 有限元法在产品结构设计中的应用，镬机电产晶设计产生革命性豹变化，理论 设计代替了经验类范殴落。 有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散成为一组有限个、且按一定 方式棚甄连接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的造接方式进行组合， 虽单元本身又霹教泰不弱的形狡，强魏霹浚摸鬃绽忍嚣形状复杂鹣求艇域。有 限元作为数值分析方法，它的另个特点就是可以利用在每个单元内假设的 近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常 第2 贾 明北t 业人学坝i ：学位论文第一币堵论 由未知场函数及其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。这样一 来，一个问题的有限元分析中，未知场函数及其导数在单元各个节点的数值就 成为新的未知量( 即自由度) ，从而使一个连续的无限自由度问题简化成为离散 的有限自由度问题。通过求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个 单元的场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数 目的增加，也就是单元尺寸的缩小，或者单元自由度的增加及插值函数精度的 提高，解的近似程度将不断的改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将最 终收敛于精确解。 在板料成形过程分析的有限元素法中，无沦是使用弹塑性( 包括小应变和 大应变) 的固体模型，还是刚塑性的流体模型，一般都使用塑性的流动理论。 输出的结果都为材料( 物质点) 的变形历史。为了求解非线性方程，必然线性 化该方程。因此，载荷的离散是必然的。为了取得可以接受的计算精度，离散 的次数必须足够多。或者- 睨，步长必须足够小。此外，本构方程沿变形路线的 积分要花费大量的计算时间。随着问题规模的扩大，时间费用和求解效率的问 题也越发突出。 为了解决板料成形模拟中的求解效率，通常采用两种方法。一是采用基于 并行计算机的并行计算技术；二是在不致于过于降低求解精度的条件下，采用 经过简化的模型，如简化摩擦力的处理、假定离散步长内的变形路线等。基于 理想成形理论有限元素法就属于后一种情形。 1 2 2 理想变形 完善成形工艺的传统实践是基于试错法。在试错过程中，各种工艺参数的 配合是在试验和分析的基础上得出的，因为试验和分析方法的迂回性，在得到 最佳工艺之前，需要做大量的反复工作。为了克服试验和分析方法的迂回性， 建立能够提供成形初始阶段重要参数信息的快速有限元方法十分重要。 塑性变形是同变形历史相关的。理论上，材料可以经过无穷多变形路线从 初始构形变形到最终构形。当材料沿着不同的变形路线变形时，变形消耗的功 必然不同。既然如此，可以推测在变形满足某些特定的条件时，消耗的塑。e l ：功 为最小。材料元素变形程度越大，变形失败的可能性就越大。板料毛坯沿最小 功路径变形到特定形状时，其变形量最小。要说明的是，即使最小功路径被假 定为最优化的成形路径，对不同的金属而占，其可变形性也是不同的。在肼f ， n a d a i ，d a m a m m e ，c h u n g 和r i c h m o n d 的工作中对上述问题都有研究。具体的 第3 页 西北工业大学礤士学位论文第一章靖论 证骥在麓蘩英藩士鼹论文爨孛霄译爨l 逡论述。 基于理想成形的有限元法就是采用了理想变形的假设，将有限元公式臌用 于两个状态，繇藤始板缌帮最终产晶梅形。因为熬个计舞过稷褶当予一般螬豢 骞戳蠢豹一个单步，联以又称为一步法。 1 。3 本文工作及内容安排 本文的主要王作是研究綦予理想成形联论的冲压件腹向模拟法的理论箨法 窝较转实袋。采臻三囊鼯元素，萋予u g 豹c a d 技零_ 帮u g o p e na p i 援零，进 行煎攫和髓置处理。采用面向对象的c 语言，利用肖限元数学计算软件包 v e c t o r s p a c e ，遗行反商模撅法耦关程序酶舞发。本文内容安捧翔下： 第一攀“绪论”孛主要奔缨本文豹研究鹜景釉疆究意义，并对泰要罔到豹 有限元方法和理艨成形理论作了简簧地阐述。 簿二攀“彭嶷理论基疆”亭，楚要薅论糖钵等湿、缝热变澎过程鹣交澎是 何及变形力学，介绍了张量理论和成变分析的基本方穰和公式，这些基本方程 和公式是第蹭章审公式攘导酶力学醺论基确。 燕三犟“理怨变形理论及鸯辍毙单元拦值函数”中，主桑套缨瑷想变形理 论及其力学基础。并根据理想变形的定义讨论理想变形的运动学关系，从壤惩 或影瓣必桑条释懑爱，褥囊了蒸予遴戆交澎理论躲镁糕设诗公式。戳三受黟单 元为例，介绍了单元僦移模式和插假函数的求取方法，并导出了一次单元和二 次举元插德函数盼具体公式。 蒡嚣章“基予理想残形理论豹成澎过稷模拟”中，趔习第= 、三章中骈提 到的基本理论和基本知识，推导了兰角形三节点、三角形六节点膜单元及兰角 黟六苓点麓竞元爝予茨彝模撅戆毒黻元公式， 第五颦“成形模拟软件设计”中，简要介绍了u g 的c a d 技术和u g o p e n a p l 技术，并详缩说鞠了基于u g o p e n a p i 技术漪前瓣裙后鬣处理及工穰分析 各模块约软掌 实瑗。 第六章“计算结果及讨论”中，选择了几个简单而典型的算例，对反向成 形壤羧熬缝栗逡行势瓤穗薅论。 第4 甜 西北工业大学硕士学位论文 第二章彤变理论基础 第二章形变理论基础 本章讨论物体等温、绝热变形过程的变形几何及变形力学。为了描述问题 的方便，采用正交的笛卡尔坐标系和张量的直接记法表示变形、主物质线和主 轴坐标系等基本概念。阐述了参考坐标系的选择、构形的描述和如何从质点邻 域的运动中分离出纯变形的部分以及质点邻域变形的度量方法。在本文中，如 不特别指明，对变形的大小和涉及的材料特性不加以限制。 2 1 变形几何 2 1 1 物体的构形和坐标系 任何物体，无论处于静止状态还是处于运动( 变形状态) ，都在空间占据一 定的区域，这一空间区域称之为物体的构形( c o n f i g u r a t i o n ) 。在连续介质力学中， 要确定物体的构形还需要引入时空系。只有在确定的时间和特定的坐标系下， 物体的构形才具有实际意义。在本文中，把物体即将开始但尚未开始运动的时 刻t o 作为计时的起点，此时的物体构形称之为初始构形c 0 ，并把初始构形选为 参考构形。而把所讨论在另一瞬时物体的构形称之为现时构形c t 。由于现实世 界是三维的，因此可以采用任意的曲线坐标系来描述物体的构形。 在连续介质力学中，物理和力学参量可用物质坐标x 墨，托，x 3 和时间t 为自变量来描述，称为物质描述或l a g r a n g e 描述，同样也可以采用空间坐标x x i ， x 2 ，勋 和时间t 为自变量来描述，称为空间描述或e u l e r 描述。l a g r a n g e 描述给 出了任一质点在任意时刻的物理参量的值( 如密度、速度等) ，这样，所有质点 的信息就给出了连续介质场的充分描述。e u l e r 描述给出的则是任一空间点在任 意时刻的参量值，显然，不同时刻该空间点将为不同的质点所占据，e u l e r 描述 就是研究各不同的质点经过空间某一点时的状态。可以这么说，l a g r a n g e 描述 的是变形前的状态，即以已知的初始构形c 0 为参考状态来描述物体的运动或变 形，而e u l e 描述则是以当前的构形c t 作为参考来描述物体的运动状态或变形。 除了l a g r a n g e 坐标系和e u l e r 坐标系外，还常采用随体( 或嵌入、绝对1 坐标 系，来描述连续介质力学中的物理和力学参量。，坐标系和物体固连在一起，随 同物体一起变形，在这种坐标系中，度量物体长度的工具也随物体一起变形。 它在初始构形中与l a g r a n g e 坐标系一致，在现时构形中与e u l e r 坐标系一致。 第5 甯 两d e q 2 业人学坝l ：学位论义笫_ 二章形变理论桀础 记号约定：在本章中用x k 表示x 的三个分量，k = i ，2 ，3 ，而用孰表示x 的分量，括1 ，2 ，3 。 2 1 2 物体的运动和变形 引入了l a g r a n g e 坐标系和e u l e r 坐标系后，即可描述物体的运动和变形。 使用l a g r a n g e 方法来描述物体的运动时，运动规律可以用下列方程描写： x = x ( x ，)或x = x ( x r ，r )( 2 一1 ) 在上式中，如果令x 固定，上式代表质点x 的运动轨迹；如果令，固定， 则代表在，时刻质点的空间分布。 使用e u l e r 方法来描述物体的运动时，运动规律可以用下列方程来描述： x = x ( x ，) 或x r = x f ( x i ，f ) ( 2 2 ) 固定x ，上式表示不同质点流过空间点x 的情况，固定f ，代表点空划被那 些质点所占据。 原则上，l a g r a n g e 描述和e u l e r 描述可以互相转换，但实际上这种转换在数 学上相当困难。 变形可分为均匀变形和非均匀变形两大类，均匀变形为可经过坐标的线性变 化得到的变形，它是变形中最简单的一种，在均匀变形过程中，所有位于平面 内的点，在经过变形后仍然位于平面内，并且原来平行的平面、线段依然是平 行的。均匀变形的典型实例有简单拉伸( 压缩) 、简单剪切和纯剪。非均匀的变 形不能通过简单的线性变化得到，现实世界中的绝大多数情况就属于这一类变 形，例如板料的成形过程。 2 1 3 变形梯度和变形张量 物体作一般的运动时，不仅其位置和方向改变，它的形状也将发生变化。 形状的变化伴随着质点间距离的变化，微小线元大小和方向的变化，这些变化 可以用一些适当的物理量来描述。 设在初始构形中，有一从x 点到点的微线元d x ，该微线元变形后变为在 现时构形中的从x 点到x 点的微线元出，如图2 1 ，有： d x = q j x xk 讥2 积k ix (2-3) 【d x = ( x ：一x ) = d x i i k 上式中，厶为l a g r a n g e 坐标系的基矢量，“为e u l e r 坐标系的基矢量，如果采 用l a g r a n g e 描述，山运动规律2 - l 式得： 第6 页 西北工业大学碗士学位论文 第二章孵变理论箍础 图2 - 1 物体微线元的变形 艮耄譬匕即啪， p t ， l x ：黑x t + 叔# = x ( r + d y r ，) 由此推出，在同一瞬时有： d x k = x k ( x + d x r ，玲一( 款，磅= r 蘸￥ ( 2 - 5 ) x k 。= 磊。为物质变形稀度张爨晒豹分量，定义网为： 【f 】= 轰= 瓣= 磁气引f ( 2 - 6 ) 子是，2 - 5 式又可以写必； 出= ( 面3 x ) 锻= 【f 坶( 2 - 7 ) 由2 - 3 式及2 - 5 式知，线元和出的长度的平方分别为： 嘤2 斟+ 援。圾战r 。屯耐穰。 譬) 2 吣 穰 ( 2 - 8 ) l 穰2 = 出诎= 呶呶= c x l 积r 删= 锻 7 嘲 穰) 式中，【q 称为g r e e n 或c a u c h y - g r e e n 右变形张量，c h 是其分爨。利用2 7 式，f q 还可酷写成： 【c 】= 【f f - i f 】( 2 - 9 ) 由于线元长度的平方总取正值，所以【c 】是对称正定张量。应当指出的是， 【c 】只与物体的变形有关，而和刚体转动无关。 现在讨论聚羽e u l e r 撼述对熬蠖形，戴藏有： 第77 目g 塑些工些查兰堡! ：兰竺丝兰笙= 翌堂竺型丝量型 尝盖蹦d x 。橱定， c z x f = x r ( f 固定) 及 d 2 ，。出出2 氏宝p d x l ( 2 - 1 1 ) 【彬= 扰删= 1 d x 女d x ， 列表示变形张量【剀。的分量， 曰】- l 表示陋】的逆，显然【别。是f 定张量， 且有： 四一= ( 【f 】_ 1 ) 7 1 【f 】- l( 2 - 1 2 ) c 】和田】- l 都能用来描写一点处的变形状态，显然，它们的逆也可以用 来描写变形，有： 【c 】= 【f 】( 【f 】“) ： 【b 】= 【f 】 f 】7( 2 - 1 3 ) 有时称【q 。为p i o l a 变形张量，【嚣】为f i n g e r 变形张量，或称【b 】为 c a u c h y g r e e n 变形左张量。 2 1 4 主物质线 物质线元最终长度和初始长度的比值称为其伸长。它是一个无量纲数，当 其取值为( 1 ，一) 时，表示物质伸长 压缩。若存在，使得： 【c 】肘。= 乃m 。 当其取值范围为( 0 ，1 ) 时，表示物质 f 2 1 4 ) 成立，则物质线元伸长的平方相对于变化的方向是固定的。式中，以满足 岬一疋啦o ( 2 1 5 ) 显然，根掘上式得出的麓是变形张量 q 的特征值。而m ：则是其特征值对 应的特征向量。由于 q 是f 定的，其特征值必然是正的，相关的二次曲面是一 个椭球，其主轴相互正交。满足上述条件的物质线称为主物质线或主物质纤维， 五。称为主伸长。m a 称为c h a c h y - g r e e n 变形右张量【q 的主方向，而麓称为变形 张量【q 的主值。因为【q 是正定对称的，容易由2 1 4 式中证明，主物质线是j f 交的。 第r 面 嚣托王业大学磷士学往论文 簿二章形变壤鞋葵础 类似熬，可以焱必c a u c h y - g r e e n 变形蠹强鬃【嚣】鹣圭德秘圭方囊： 降抛。= 甓辨。 ( 2 - 1 6 ) 滏2 母式及2 - 1 3 筑霹鞋容鬓豹接穗陵瑟f q 其骞疆同豹主壤麓。 2 。1 s 极分解定燃 蒎连续念痰力学母，援分孵定遴是疆鬟婺魏，该定瑾攒爨，饪意嚣鸯雾懿 张蠹潲霹漆一懿分勰成下霭靛巍耱形式之一； i f = r u m v r f 2 - 1 7 ) 式巾，嚣为或交张羹，代淡缝转动；敬矿为对称歪宠张璧，分剐称必右衽 左c a u c h y - g r e e n 律彀张爱，并分潮取为圈嚣湖熬警方校蹶量。敞y 稻转动无 关，代表纯粹的伸长。因为r 为诞交张量，所以w 由2 - 1 7 浅得： lu=rrvrr(219) l v = r u r 上式表明，和p 为相似张照。它们熙材相同的主饿，只是相甄间作了一 个旋转。令n l 。为y ( 蠛者嚣) 的童方彝，托必拶( 或嚣c 翘主方露，囊2 - 9 、 2 1 2 、2 1 4 式及2 。1 6 式，有： 辫。：egar(2-19) 童戏表麓，露魏赉阍戆主方离鹣妥辫浆主方蠢m a 戆转动张羹。 2 。2 变形度爨 2 。2 。 痰交张1 爨憋定义耨分类 上节中，讨论了c a u e h y g r e e n 右和态整形张量【掰辅【嚣l 。在建续介质力 学巾，除了使用遮魉变形张爨外，还广泛贻锼用趣变张掇采度基物体鹣变形。 当笼交澎辩，瘦嶷张繁联零蠖。鬻露戆套g r e e n 或l a g r a n g e 痤变张蘩e ( e x l ) ， 自黧鬃遮为溉，以藏e u l e r 或a l m a n s i 应变张j te ( e u ) ，鑫变量选必欺，它销分 别按下式进行定义： n - i 耻tg ，, - g d e = 喜( ，一【丑r ) ； e 。w 喜( 瓯。_ b i l ) ” 两北t 业人学坝i ：学位论义 第一：帝形嫂理论蚺础 因为f q 和翻蔻对称张量，掰戳笞和p 也麓露称张量，餐不是难定静，出2 谚、 2 - 1 1 及2 - 2 0 式可褥： d 1 2 一娩。2 e k | 一矗xk 矗x j t 2 d x l 嚣l 积( 2 - 2 1 ) 2 = e “d x d x t 。2 d x e d x 土式也搿叛躅佟e 翻# 豹定义。照然，巍d l = d l 对，e ；# ：o 。 2 2 2 广义应变张量 利用右仲长张鬣，w 以定义广义l a g r a n g e 应变张量分，即： 驴1 。特( ，” 当州喾。 l i n u当捌= 0 1 或露。言孵一1 ) 娩固娥当聊0 【i n a m 。o m a 当= 0 f 2 - 2 2 ) 上式中。m = 0 的情况可由聊趋近于0 时的极限得到，酃： 嚣。= l h 臻e “= l i m 。z ( u ”一j ) = 三l n u ”= i n u ( 2 2 3 ) m - 0 m 呻l l mm 、 遴索稼t n u 势囊然 2 - i ( v p , x + 融“；) 2 + ( 。+ h n ：j ) 2 l2 ：篡h n 巍1 掣+ i h n y j ，裂+ h g j 和。氓h n ，件z s ， + ( v p ，十，j ) 。( + v p ，y) + ( w p 一，) ( w 儿y +：，) 、。叫 c b 2 爿不i 2 = ( 群产，+ 如一) 2 + ( 14 - v p + 蠹栉y + y ，2 + ( w p + h n ：。，) 2 lc b o 0 【c 扣等羔| 件2 4 ， ( a x ) 7 援= ( a x 。) 7 【c l 躐。 ( 4 2 5 ) 谯考虑弯曲，选用壳元时，可以使用4 - 2 3 式进行c a u c h y g r e e n 变形右张量 第2 2 嚣 之 o 料 ，；， o o 强托工业犬擘礤士学挝论文第西章基予理想成形理论的成彤过翟横拟 4 。3 应变张量及相关的偏导数计算 | 0 0l 【c 】= 【m 】10 正0 一】 ( 4 2 6 ) | 00 墨| 其中山、砖、 提【翻的主值，分别为三个盘伸长山、如丑的平方，且有： f c o s 0 一s i n oo l l 00 1 m = 一专兰 = t 村f 葛- ，立l 加 c 4 础， 叫争觎弱 即9 ， 其中 帆，骨巨卜 鬏撵教上各式，蠢： p = 阿 第2 3 页 1 。c o c 2 2 4 p 1 c o c 2 2 4 p c l 2 p ( 4 3 0 ) 4 3 1 ) 西北工业大学铆i 士学位论文 第四章基于理想成形理论的成形过器醭拟 辑e 引b 糊 ：2l 秘3 2 ) 4 3 2 有效应变对节点坐标的一阶偏导数 使用微分链式法则： 要。杰要叁( 4 - 3 3 ) a x l 总a 8 * a x 其中，有效应变对应变的偏导数是一个与材料性质有关的量，所以在此不 傲避论；x 必毛坯节煮坐振良量，黔 。避，撼，x o ，臻，露荛单元主节 点个数，( 嚣，拶) 为第i 个节点处的x 和】，坐标值。记五为x 的分量，k = l ， 2 ，2 n ，对4 3 l 式两边求笑予蕊静编静数： 簧= 喜爱- 簧+ a = o 堕o r a at面omorn c 碡泓， 斛 智。疋硝i辩 、 8 最 睨 0 6 , 锄。 k 2 l n 蔗 2 0 l n 蕊 2 l n 箕 2 o o0 00 1 旦荔二! 呈是o 2 鼹4 2 9 式嚣边求关予蕊数编导数： 盟：盟。坠 a xk 忽& 。敞t 盟：陪可c o - - c 2 参圭一可c o - - c 2 o c 。l 三一鱼二! ! 一曼三+ 鱼二1 2 l 2 4 pp24 p 第2 4 嚣 “一3 6 ) f 4 * 3 7 ) t 4 3 8 ) 融h y 。 五2嘲饥“ 着麓血峨 糠妇恍一 他 一k 、 呻 朝 一 一 旦磁丑域旦糍鱼噬匿 | l ，；j 堕j ! 三些查堂堡圭堂垡堡兰羔塑坚生茎里望堕垩些丝堕堕兰! 兰! ! ! 塑 对4 - 3 0 式两边求关于凰的偏导数： 一! 鱼二! ；2 ：! 1 4 矿 ( c o c 2 ) c i 4 p 3 1 c l 2 2 p2 p 3 其中，旦奠的推导与单元形式的选取有关，将会在下文中继续论述。 a l 4 3 3 有效应变对节点坐标的二阶偏导数 对4 - 3 3 式两边求其对局的偏导数，有： 数： f 4 - 3 9 ) ( 4 - 4 0 ) ( 4 4 1 ) 类似于里三，在这里也不讨论黑的推导；对4 - 3 4 式两边求关于的偏导 8e，d8。osb a a x i a x l 由4 3 s 式或4 3 6 式可以得出： f 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) ( 4 - 4 5 ) 监 堕魄 ：脚 l | 堕 争型矿盥 。一l一一 生 薹羔矿 一l和一i和鱼 砂笋 焉爷 一 ，c 一 寺上 ，lijlli 堕峨 轰堡陂，脚 堕丝 班雨，渤芝m鑫 北 h 瓦 堕峨 殳兰睨：心 ： 瓦 煎鹤珥面堕 ，。ll 噶 兰饥：舛： i i 器堕睨：箍 笙机：m 11门j 1一 。鳓。 憾。 。蝌 一 ， ， ， 第 警。警：嘲 l=l r；l rj，l卜刮0，刮0，叫0 丽 丽 丽 嚣l 工韭太学硬圭学位论文第西章蒸予理想戒形理论豹成彤过程模拟 最朝 袅= r 孝一爿 番p 爿 0 2 e 2 ：卜南。1 瓯l 。南 妻：防。1 啬2 声喜j 鱼：争争鱼+ 堕。堕+ 争墼。! t o x l o x f 舞镏o c , , o e 口o x ko x , 器晚o x t o x i 堕：一堕 越。o e 越 可c o - e 1 + 坠4 d 盟 c l3 ( c o c 2 ) 2 + q 4 矿l 第2 6 页 3 ( c o - c o3 ( c o 一岛罗 l 矿6 矿 c l x c o - - c 2 ) 2 c i 4 d1 6 d 3 瓴一c 2 ) - c 2 ) 1 6 d 6 4 矿 ( 4 - 4 6 ) 秘一4 7 ) 4 - 4 8 ) 氆- 4 9 ) g - 5 0 ) 8 5 1 ) ( 4 - 5 2 ) ( 4 - 5 3 ) 吨一 遂审 歉 生咿 司矿h广村铲 鲰一。飞一澎轮一铜鎏 坠懿 护一魏 西北工业大学硕士学位论文第四章基于理想成形理论的成形过程模拟 旦堕： a c a bc o 盼- c _ _ _ _ l + 坠8 p 翊5 8 土一塑鱼二鱼! ：鱼 咿3 矿 一万c 1 + 笠2 p 5 桫 c o c 2x - c 2 ) 砰 够昭 一c 2 ) 2 - c l 3 c o c 23 ( c o - c 2 ) 彳 8 8 p 5 专+ 笔笋 ( 4 - - 5 4 ) 对4 - 3 7 式两边求关于弼的偏导数： 盟o x k s x i = 奏嘉差鱼o x k o c , , o c 耗芒轰 s ， 怠局，鹕急电瞄 、 由4 - 3 8 式可以得出： 兰生： 氆a 8 i ( c o c 2 ) 2 4 p1 瓴一呸) c l a 舂 一i + ( c o - c ：2 ) 一2 4 pl ( c 0 一呸) c l 4 d 1 c p4 d 瓴一如) c l 4 营 a 2 疋a 2 石 = 一= 一二一 8 c q 口a c a c 口 一面1 + ( c o l - c 2 ) 2 和l ( c 0 一c o q 4 p 3 1 ( c 0 一c 2 ) 2 4 , o 1 f 4 5 6 ) r 4 - 5 7 ) 4 4 变形张量【c 】及其相关偏导数计算 在本文中，拟采用三种单元，即三角形三节点薄膜元、三角形六节点薄膜 元及三角形曲壳元。在计算过程中，由于采用整体坐标系有诸多的不便，所以 采用参数坐标系对单元在局部进行描述。 4 4 1 面积坐标系与直角坐标系的转换 面积坐标与笛卡尔坐标系之间的转换，可以简单的表示为： 。=d。x+jty+ao(4-58)j 【叩= 2 x + j 3 y + a l 其中a o 和口。为常数。由3 - 1 6 、3 1 7 、3 1 8 及3 2 0 式，并令 妒= 一2 a = ( 又：一x ? ) ( 日一一o ) 一( x ；一? ) ( 譬一r , o )( 4 5 9 ) 于是有： 西北工业大学硕士学位论文 其中： 阶陉 l 。2 第四章基于理想成形理论的成形过程模拟 4 4 2 薄膜单元的变形张量【q 。及其相关偏导数计算 首先，我钔要计算d 、j 、c 砌的值；参照4 1 5 式，令； 于是 r ) = s 1 ) = c 。o = ( 1 + “p ，# ) 2 + v ；，j + w p 2 一= ( 4 - 6 0 ) ( 4 6 1 ) 刚s 2 jl 之w p , y 。卜件 c m l = ( 1 + h p , x ) ”p ，y + v p ，x ( 1 + v p y ) + w p c 。2 = it 21 2 = ”p 2 。y + ( 1 + v p ) 2 + w ；， 由单元的插值公式( 参考3 - 1 4 ) ，得到。 所以有 从而可以计算得出c 卅。、r l 、s 的值。 第2 8 页 ( 4 - 6 3 ) r 4 - 6 4 ) 而由4 5 8 式： j 。；攀：厶；( 4 - 6 5 ) n r “- 6 6 ) qv 一y 专 1j 0 3 x x 一 一 群霹砰世 一 一 口印p。l 一缈 l i 1j 厶厶以 l = ， r【 1j o 3 x 一 一 0 0 2 x x 砰蹿 一 一 日砰l = 1，j 0 、，rj 呜k ，j、l = 、l，j 而风恿 ，、l 砰 ： sr ： = yp w 踯 ： l l m 却瓦 盟却 蚴秒 盟却 + 一缸西一砂巩一鸳吣一鸳v厶o厶 j i i i 、 关有取选的数函直插与 盟却盟够 p其 = 鸳一砂 以 = 铆面 l = 鸳瓦 峨 j ， 眦一铆姒一铆 + + ， ， 眦一鸳叭一西 = | l 即 西北工业大学硕士学位论文第四章基于理想成形理论的成形过程模拟 其次，我们要计算c m t 对x 各分量的一阶偏导数；对4 6 3 式两边求关于凰 的偏导数： 其中： 一a c m o ；纽监 8 x t 急o r 。a xk 监：。r 监盟+ 监盟、 a x t 急、a r 。a x t8 s 。a xk 。 一a c , 一2 ；鲤堡 a x l 锚8 s 。a xk ( 4 - 6 7 ) 瓮喇。象嘁，篱砘，急瑙。； s ， 将4 6 6 式代入4 6 2 式，并对方程两边求关于的偏导数： 盟：争f 盟盟+ 盟 o x l 素：、a 孝o x 。a 叩”蓑( 等小百o n , 缈瓦o u o j ( 4 - 6 9 ) 鲁2 善 - c 葛o n ，等+ 筹鼍m 一+ 擎n l - i 磊o n 小筹舞c 。邢， 其中u 。= 饥hw 1 ) 7 是由单元的形式决定的，因此它对忍的偏导数也是 由单元形式决定。由4 5 9 、4 6 0 及4 6 l 式 婴：一上盟 + 上盟 a x k 矿a x l ? j 驴a xk r 4 - 7 1 ) 畿锻一匕x 3 - x ：匕一x i - x ，k l 弘( 4 - 7 2 ) a j ! a xk 0一loo loo0 ol0一l lolo 0l l o 00 00 ( 4 7 3 ) 最后，我们要计算c i 对x 各分量的二阶偏导数；对4 6 7 式中第一式两边求 关于蜀的偏导数： 瓦a2c酉ml=岗,争勰0。2cii堕，酉orpax o x o r o x ko x ) + 薏轰a x ) 4 ) 女f 篙一岗勰。口觎口硝 f ”一7 第2 9 页 嚣怨工粳穴学磺士学控论文 第霹章基予理想成形理论麴或彤过程疆拙 强窿# 时，黧l 。0 ，黼港牙= 声对，j 鍪l ：2 ，群1 2 盂蠢： 魄o r ， 箍= 争- - 爱 - 7 - 簧鲁鹣o x ；o x t 鑫x t 蘸i 糕酝t 麟l 醵。 jv “。 蹙似的由4 - 6 7 式得出： 丽。2 c m 2 = 塞鼍簧+ 惫盖+ 薏- 轰+ 鲁轰m 弼，弦t 馘| 怒、馥k 毅 毅t 觏i 鼹t 馘西涯| j 舔n 簸t 教f v j _ ：| ：丽0 2 c m 3 = 塞e 2 薏。薏鲁箍， ， 分舄瓣4 - 6 9 斌藏4 篙式薄遮求荚予蕊静褊髻数，褥： 轰2 萎n - t e 嚣+ 器+ 等+ 魏+ + 筹t 等+ 簧+ 甏+ 静。象海翔 磁蕊| 惫、鹾馘涔，j8 豫蚁蕊i 嚣鹫强。i 醚蕊 蔽r 。，。 + 擎f 墨。坠+ 塑。璺、 j 筌、a ea 裟。8 no x , o x , ! 受：警f 丝卫坠+ 塑，玛 越s 躐 急、筵鹾茹菇。j 酗馘0 暖1 1 + 蕃c 嚣，鼍+ 器静，嚣 霎e 等鼍+ 筹。警+ 簧缮。鹚 瓣4 7 l 式嚣逸求燕子蜀戆攘导数： !klox。矿2薏簧小1ax，轰小嘉舞甏簧筹m 瑚，矿戳馘一妒2 戳鹕2 、鹕弧瓦。瓦” 囊4 7 2 式褥l 毋2 桫 酸涔i 000l 0 0一l0 ol ee l咎o0 0 lol 一1olo ol lo ol lo 00 oo ( 4 s 1 ) 凌蔻藤夔讨论巾，没奏飨爨嚣、嚣秘螺、急等鬣戆诗算方法，这些量 陇8 荇戢。 的计簿与单元的选取有关，禚下文中给出曼角形三节点薄膜元和三角形六节点 第3 0 黼 西北工业大学硕士学位论文 第四章基于理想成形理论的成形过程模拟 薄膜元上述各量的计算方法，其它类型薄膜元可以做类似的推导。 对于三角形三节点单元。由3 2 0 式： 各节点的位移为： 因此： 1 o ) 0 1 ) h x ? z ：一x ： 坼= i ) ，l k 。_ ) z l ? 【 2 。z ： 堕：o o x i卜1 当k 2 i 一1 当k = 2 i l a v ，f 0 当k 2 1 “ 懿【一1 当女= 2 i 盟；o 似t 对于三角形六节点单元，由3 - 2 4 式： i 嚣_ 4 毒_ 4 叩_ 3 4 纠o _ 呼4 ，7 “4 ，7 _ 4 叩) 【筹= 4 ，7 _ 4 0 4 州_ 4 孝4 亭_ 8 q _ 4 孝“) 铲擘 佴一8 2 ) ( 4 - 8 3 ) r 4 8 4 ) ( 4 - 8 5 ) f 4 8 6 ) ( 4 - 8 7 ) x 2 一x ：x 3 一x ；x 4 一x ? x 5 一x ? x 6 一x ：i y