（电力电子与电力传动专业论文）电子与固体相互作用的monte+carlo模拟.pdf

摘要 m o n t ec a d os i m u l a t i o no ft h ei n t e r a c t i o n so fe l e c t r o n sw i t hs o l i d h u a n gx i u s u n ( p o w e re l e c t r o n i c sa n d p o w e rd r i v e s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rg uw e n q ia n dh a nl i a b s t r a c t f o c u s i n go na ni m p o r t a n tr e a s o n i e t h es c a t t e r i n go fe l e c t r o n si ns o l i d ，w h i c h i n f l u e n c et h er e s o l u t i o no fe l e c t r o nb e a ml i t h o g r a p h y ，t h ei n t e r a c t i o n so fe l e c t r o n sa n d s o l i da r ea n a l y z e db a s e do nt h em e c h a n i s mo ft h ei n t e r a c t i o n s ac l a s s i cc o n t i n u o u s e n e r g yl o s sp h y s i c a lm o d e l ，w h i c hi sr u t h e r f o r de l a s t i cs c a t t e r i n ga n db e t h ee n e r g y l o s sm o d e l ，i sa d o p t e dt oa n a l y z et h ee l a s t i ca n di n e l a s t i cs c a t t e r i n g ，r a n g e ，e n e r g y l o s so fe l e c t r o n si n j e c t e di n t os o l i d a c c o r d i n gt ot h ep h y s i c a lm o d e l ，m o n t ec a r l o m e t h o di sa p p l i e dt os i m u l a t et h ei n t e r a c t i o n so fe l e c t r o n sa n ds o l i d f o ra g i v e nd o s e o fe l e c t r o n s ，t h ee n e r g yd e n s i t ya b s o r b e db yt h er e s i s ti sd e t e r m i n e d ，a n dar e s i s t c r i t i c a le n e r g yd e n s i t ym o d e li sa d o p t e dt od e t e r m i n ew h e t h e rt h er e s i s tt h er e s i s tc a n b ed e v e l o p e da f t e re l e c t r o n si r r a d i a t i o n t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s e st h ep r o b l e m so fr e a l i z i n gt h em o d e lb yc o m p u t e r ， w h i c hc a nb el i s t e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ec o m p u t a t i o nf l o wi sd e f i n e d ； ( 2 ) t h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o ni sr e a l i z e d ； ( 3 ) s o m e d e t a i l sl i k et h eg e n e r a t i o no fp r o b a b i l i s t i c n u m b e r ，t h eo v e r f l o w o f c o m p u t a t i o n ，t h eu t i l i z eo fm e m o r y ，h o wt op r o g r a mw i t h i nt h en u m b e rr a n g eo f m a t r i xo ft h ec o m p u t i n ge n v i r o n m e n ta r ed i s c u s s e d ； ( 4 ) h o wt or e a da n ds t o r eal a r g en u m b e ro f f i g u r e s ； ( 5 ) h o wt om a pf i g u r e sw i t hs p a c e ； ( 6 ) h o wt op l o tt h ef i g u r eo f e l e c t r o nt r a c k ，t h ef i g u r eo f t h ee n e r g ya b s o r b e db yr e s i s t ， t h ep r o f i l eo ft h ed e v e l o p e dr e s i s t a n a l y z i n gt h e r e s u l t sd e r i v e d b ye o m p n t e r s i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t s ， c o n e l u s i o n sa r ed e d u c e d i i 摘要 k e yw o r d s ：e l e c t r o nb e a ml i t h o g r a p h y ，e l e c t r o ns c a t t e r i n g ，m o n t ec a r l om e t h o d ， s i m u l a t i o n i i u 于与固体相互作用的m o n t ec a r l o 模拟 文中所用符号说明 散射截面( 平方厘米( c m 2 ) ) 平均自由程( 厘米( c m ) ) 第i 种原子的原子量 密度( 克立方厘米) a v o g a d r o 常数( 6 0 2 1 0 2 3 原予数，摩尔) 单位立体角 第i 种原子的原子序数 电子能量，单位为焦耳( j ) 或千电子伏特( k e y ) 光速( 3 1 0 8 米秒) 介电常数( 8 , 8 5 1 0 “2 法拉米) 电子电量( 1 6 0 2 1 0 。9 库仑) 电子静止质量( 9 1 1 0 。1 千克) 玻尔半径( 5 2 9 l o ”米) 普朗克常数( 4 1 3 5 7 1 0 。5 电子伏秒) = h 2 r e 第i 种原子的平均电离能( 千电子伏特) 第i 种原子的原子浓度 b e t h e 射程( 厘米) 。 人 越 。 旧 磊e c 。 陇 咖 h o c 风 第一章电子束曝光技术概述 1 1 背景 第一章电子束曝光技术概述 1 9 4 5 年第一台电子计算机问世起，计算机就面临着如何集成化的问题。美国 人j s k i l b y 于1 9 5 8 年制造出第一块集成电路，计算机的发展进入了一个新纪 元。集成电路是通过一定的加工工艺，将晶体管、二极管等有源器件和电阻、 f u 容等无源器件，按照定的电路互联，采用微细加工工艺，集成在一块半导体 单品片上，并封装在一个外壳内，执行特定电路或系统功能。与传统电子技术相 比，集成电路的主要特征是器件和电路的微小型化。由于集成电路把电路系统设 计和制造工艺精密结合起来，适于大规模生产，成本低，可靠性高。微电子技术 是1 9 世纪术、2 0 世纪初开始发展，随着集成电路，尤其是超大规模集成电路的 发展而发展的一门新兴技术。微电子技术包括系统电路设计、器件物理、工艺技 术、材料制备、自动测试及封装、组装等一系列技术，是微电子学中的各项工艺 技术的总和。可以说，微电子技术是在电子电路和系统的超小型化过程中逐步形 成和发展起来的，其核心是集成电路。现代经济发展的数据表明，国民生产总值 每增长l o o 到3 0 0 ，j ，需要1 0 元左右电子工业产值和1 到2 元集成电路产值的 支持，而且随着经济发展，这个数字还在增长。 在硅平面器件的制作过程中，需要进行多次光刻，因此要制备出一套光刻所 需的掩模版。随着器件向小尺寸发展，光刻技术对掩模版质量要求越来越高。因 此如何制作高质量的掩模版成为制约集成电路加工技术发展的重要因素之一。 1 2电子束曝光技术概述。1 电子束曝光技术是在扫描电镜基础上发展起来的一种制造微型器件的基本 曝光技术，其研究始于2 0 世纪6 0 年代，它集电子光学、精密机械、超高真空、 计算机自动控制等近代高新技术于一体，是推动微电子技术和微细加工技术进一 步发展的关键技术之一。先进的电子束曝光系统主要用于o 0 5 至0 ，5um 的超微 细加丁，实现纳米线条的曝光。电子束曝光技术广泛用于高精度掩模、移相掩模、 x 射线掩模制造，新一代集成电路的研制，a s i c 的开发及新器件、新结构的研 电子峙固体相互作用的m o n t ec a r l o 模拟 究与加工等方面。9 0 年代以来，美国、日本的一些研究部门采用电子束曝光技 术相继研制成功0 1u m 的c m o s 器件、0 0 4 u m 的m o s 晶体管及0 0 5u m h e m t 器件。最近的研究已经把微电子超微细加工水平推进到0 0 1l am 以下，已经能将 电子束斑聚焦到尺寸小于2 n m 。电子束曝光系统也是研究新一代量子效应器件的 有力工具。 与普通光学曝光类似，电子束曝光也是在有机聚合物( 抗蚀剂) 薄膜上制作 掩模图形。将常温下成液态的抗蚀剂在基片上匀成均匀的薄膜，经过烘烤后成为 固体薄膜。由于它对电子束敏感，受到电子束辐照后，物理和化学性能发生变化， 在相应的显影液中溶解或不溶解，形成精细的掩模图形。之后即可对基片进行有 选择性的加工，如掺杂、离子注入、离子刻蚀等。 但是，电子束曝光又不同于光学曝光。电子束曝光有如下两项优于普通光学 曝光的性质。( 1 ) 电子束曝光的分辨率高。由于受光的衍射等特征的限制，光 学光刻技术很难加工o 1 3um 以下的特征线条。通过改进曝光光源、利用波前工 程口j 以进一步提高光学曝光的分辨率。现在光学光刻的极限分辨率可以达到0 5 倍的光源波长，但是实际光学光刻的极限可能会是o 0 7um 。而电子束的波长极 短，约o 叭到0 0 0 7 n m 之i a j ，其衍射效应远小于光的衍射，故曝光分辨率高。 ( 2 ) 电子束曝光制造掩模版能力强。若用普通光学曝光制版，需要经过原图绘 制、初缩、精缩兼分步重复、复印阴版、复印阳版等工艺过程”1 。而用电子束 i 爆光制版则直接一次刻写即成，速度高、缺陷少。 电子束曝光也有弱点：( 1 ) 生产效率低。( 2 ) 有多种因素影响曝光分辨率。 电子束曝光系统按照曝光方式，可分为扫描电子束曝光系统和投影电子束曝 光系统两大类。扫描曝光系统是电子束在工件面上扫描，直接产生图形的系统， 其分辨率高，生产率低。投影曝光系统实际上是电子束的图形复印系统，它将由 掩模图形产生的电子像原尺寸或缩小后复印到工件上。投影系统在保持高分辨率 的同时，大大提高了其生产率。按照电子束斑的形状，电子束曝光系统可分成高 斯圆形束、固定成形束和可变成形束三类。常规的电子光学柱产生的圆形束斑其 电流密度呈高斯分布，故称高斯圆形束。为了提高电子束曝光生产率，人们开发 了一种电子光学柱，它形成高电流密度的方形电子束斑。再由这种固定形状的方 斑去逐块拼接成所需图形，通常其尺寸是所需曝光图形的最小特征尺寸。可变成 第一章电子柬曝光技术概述 形束系统的电子光学柱产生的单元图形，其形状和尺寸能够按曝光图形的需要而 变化。 一套完整的电子束曝光系统由电子光柱体、工件台系统、图形发生器与控制 电路、控制计算机系统组成。图1 1 为一套扫描电子束曝光设备的控制系统原 理图。 外设l 图 形 b一技 i 牛 i 器 卜 图l 一1扫描电子束曝光设备控制系统原理图 1 3 课题背景 电子入射到样品中后，与样品原子不断碰撞的结果是入射电子能量不断传递 给原子，电子的能量不断丢失，并且电子前进方向不断改变，电子作用范围不断 扩大，直到全部能量耗尽或被反射出固体为止，这个过程叫做散射。图1 2 给 出了电子在固体中散射的示意图。蕻中前散射电子定义为与原电子入射方向夹角 小于0 n 9 的电子，这种小角度散射使入射电子束变宽；背散射电子定义为与原电 子入射方向夹角大于9 0 。的电子。抗蚀剂中的背散射电子有两个来源：抗蚀剂和 衬底，但是主要是从衬底返网抗蚀剂的。从衬底返回抗蚀剂的背散射电子也参与 对抗蚀剂的曝光，使不需要曝光的区域也被曝光，所以曝光图形比预期的宽。在 要求高分辨率的情况下，背散射是影响曝光分辨率的主要因素。研究电子束曝光 技术，首先必须研究电子与样品的相互作用，研究前散射和背散射对曝光分辨率 ， 讨算机 电子与固体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 的影响程度，以及如何尽可能地减小电子散射的负面作用效果。 m r | 脯砬肘 一jj?。一 ，u ， 。 以 图1 2 电子的散射效应 在电子束曝光过程中，入射高能电子束将在抗蚀剂中沉积能量，它在抗蚀剂 中沉积能量的过程，也就是电子在抗蚀剂中的散射过程。对于电子束曝光得到的 图形，不论是单个图形还是密集图形，电子散射都会产生邻近效应，即由于电子 散射导致曝光图形得到多余或不足的能量而与理论图形不符，其中有两种情况。 互邻近效应是由于相互邻近的图形之间的电子散射，不仅使抗蚀剂中有图形的区 域受到曝光，也使邻近区域抗蚀剂曝光，导致图形边缘模糊，陡度下降。内邻近 效应是由于图形本身不同区域的电子散射使得边缘能量损失，使需要曝光的区域 没有被曝光。图l 一3 说明了邻近效应的两种情况。对于图形密集的集成电路， 邻近效应的影响非常严重。2 i n 以下的图形就能反映邻近效应，尤其是0 5um 以下尺寸的图形结构，邻近效应相当严重，图形尺寸到l o o n m 以下时，邻近效 应已经使曝光图形不可分辨，导致即使具有纳米级束斑直径的电子束曝光系统也 曝不出尺寸在几个纳米的图形。 4 第一章电子柬曝光技术概述 图1 3 邻近效应 邻近效应没办法消除，但可以采取措施进行校正。如果希望对邻近效应进行 有效的校正，就必须对造成邻近效应的电子散射机理和电子在抗蚀剂中的能量沉 积分布规律进行研究，计算邻近效应的大小。 1 4 课题意义 采用电子束曝光的目的是为了得到优于普通光学曝光的抗蚀剂图形，但是怎 样卅能得到? 影i 响执蚀荆劁形的因素很多，如加速电压，抗蚀剂材料，机蚀剂厚 度，衬底材料，曝光剂量等。因此需要从电子与样品相互作用的机理出发来研究 电子在样品中的运动过程以及电子散射对曝光分辨率的影响。这项工作的目的是 通过计算机模拟大量电子在固体中的运动过程，研究影响曝光分辨率的一些因 素，为校正邻近效应提供参数，从而能够采取相应的措施减少邻近效应对曝光分 辨率的影响。 目前，电子束曝光系统商品机的加速电压一般为5 0 k v 2 5 k v ，如日本j e o l 公司的j b x 9 0 0 0 m v ，j b x 6 0 0 0 f s 等型号的机型，也有一些加速电压达到1 0 0 k v 的电子束曝光商品机，如同本j e o l 公司的j b x 9 3 0 0 f s 型的机器。 迄今为止国内外在这方面的研究大多数局限于能量在1 0 0 k e v 以下的电子束， 当然已经有许多研究机构陆续开展对能量在1 0 0 k e v 以上的电子束曝光系统的研 究。中国科学院电工所微纳加工实验室也已经开始开展这个领域的研究工作。本 课题将研究电子束能高于1 0 0 k e v 的电子束曝光实验结果与理论模拟结果，并对 比两类结果。完成高加速电压部分实验的实验装置是由一台透射电子显微镜改造 u 了，同体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 成的电子束曝光系统，加速电压在8 0 k v 到2 0 0 k v 之间。采用这样的高加速电压 进行试验时，能够得到更充分的结果。为了对照低加速电压部分的结果，还采用 了一台加速电压为3 0 k v 的电子束曝光系统完成低加速电压曝光实验。 第二章电子散射基本原理 第二章电子散射基本原理 2 1 电子与样品相互作用机理h 1 在分析电子与固体样品的作用时，把样品原子看作由原子核加内层那些局限 于围绕某种轨道运动的束缚电子及其核外电子云所组成。电子云的电子是价带电 子或导带电子，它们可以自由运动。所以，电子与样品的作用包括电子与电子、 电子与原子核两类作用。第一类，入射电子与样品自由电子作用时，入射电子损 失少许能量使价电子或弱束缚的导带电子速度增加，并最终从样品逸出，而入射 电子的运动方向变化不大。逸出的是二次电子，也称低能二次电子。有时价电子 也可能被激发到高能级而同时发生驰豫辐射。第二类，入射电子与原子内层的作 用。可以分成三小类：( 1 ) 入射电子与原子的内层轨道电子作用，使它进入价 电子云。处于激发态的原子通过驰豫过程发射特征x 光或a u g e r 电子而回复稳 定状态。( 2 ) 电子入射到接近原子核内层电子时，受到原予核的作用而失去能 ：量i ：改变运动方向，失去的能量导致产生轫致辐射，即连续x 光谱。( 3 ) 入射 电子接近原子核时失去少量能量，并且动量发生改变。这种能量在固体中形成声 子而转换成热能。原子核本身因相对质量极大故保持静止不动，入射电子的运动 方向发生明显偏转。 2 2 电子与样品相互作用分类 根据作用后电子能量和动量的变化情况，可以把2 1 节所述各种相互作用归 纳为弹性散射和非弹性散射两种机制。其中电子与电子的作用，电子与原子核的 第( 1 ) ( 2 ) 两种作用为非弹性散射，电子与原子核的第( 3 ) 种作用为弹性散 射。弹性散射时电子的能量损失很少；非弹性散射时电子能量有损失，这损失的 能量以各种形式表现出来，如被样品原子吸收产生各种激发粒子，或产生光和热 等。电子与样品相互作用的结果分类见图2 1 。 电子与固体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 入抖电手 骨t 打电 h u ， ：毫电千 i 辩- 划j 侈 # iz 、t t t t 图2 1 电子束与样品相互作用的结果分类 图2 1 中所示电子束与样品各种作用结果具体说明如下。 二次电子一是样品原子的外层电子受入射电子激发后有足够能量克服逸 出功而离开样品的电子。在二次电子逸出前还可能受到其他原子的弹性散 射或非弹性散射而损失能量。在它到达样品表面时若有足够能量才能逸出 样品表面。所以二次电子的能量较低，一般低于5 0 e v 。二次电子产生区 域较小，来自样品近表面1 0 a 左右的薄层及离电子入射点横向不远处。 背散射f 乜予一足入射电了在样品中受到大角度散射后反向射 j 的电子。它 可以是一次散射或多次散射的结果。由于入射电子损失能量多少不一，所 以这种信号电子能量分布范围很广。从几个电子伏特到甚至能量等于入射 电子初始能量。其中属于弹性散射的电子形成一个小峰，来自样品内较深 层处的背散射电子能量较低，它的产区最远可以到达微米量级。 俄歇电子一是一一种特殊的二次电子。它是样品原子的内层电子被电离而驰 豫过程产生的从另一能级上电离的电子。能量分布在5 0 e v 到2 k e y 之间并 具有特征性。 吸收电子一指样品中吸收的残存电子。收集这部分电子在样品和地直接形 成的电流叫样品电流。 透射电子一样- 晶足够薄时，有部分电子可以穿过它形成透射电子。 特征x 射线一高速电子照射样品时，如其能量足以使样品原子的内层电 ) ) ) ； 2 3 4 5 6 “ 门 第二章电子散射基奉原理 子电离，且有较高能级的电子跃迁而填补空位，则可能产生驰豫电磁辐射， 即特征x 射线。 ( 7 ) 轫致辐射一是库仑场对电子加速导致的电磁辐射。电子在高压作用下被加 速，高速轰击样品表面，高速电予到达样品表面，运动突然受阻，其动能 部分转变为辐射能，以x 射线的形式放出，这种形式产生的辐射称为轫 致辐射。 ( 8 ) 阴极荧光一半导体受电子照射后价电子被激发到高能级或能带中，被激发 的材料同时产生驰豫发光，这种光称为阴极荧光。 在研究电子束曝光过程的电子束与样品的相互作用中，不必针对上述每种作用结 果定量地进行分析，而要考虑所有结果的综合作用对曝光的影响。 2 3 电子散射的散射截面5 1 因为入射电子与样品的作用可以分为弹性散射和非弹性散射两类，所以研究 电子与样品的相互作用过程也要针对弹性散射和非弹性散射进行。弹性散射和非 弹性散射的示意图如图2 2 所示，其中弹性散射的散射角往往大于非弹性散射 的散射角。 中胁 毒l q 二题 瓦- 弋耳；二二百一 图2 2 弹性散射和非弹性散射示意图 对于碰撞问题，在确定速度的运动情况下，电子轨道概念及碰撞参量已失去 意义。所以耻论研究j 蚓贸i b f 碰撞后散射到给定角度的儿率。 为了研究电子与样品的相互作用，前人已经提出了多种散射理论，而且都采 电子与同体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 用了一个基本参量一散射截面。来描述散射过程的几率。o 的定义为： ， 盯= 二r c m 。j ( 2 1 ) 孢】咒， 式中：n 是单位体积中散射的事件数( e v e n t s c m 3 ) ，n t 是单位体积中样品的原 子数( a t o m s c m 3 ) ，n 是单位面积上的入射电子数( e c m 2 ) 。因此散射截面。 的总量纲为a t o m s c m 2 中的e v e n t s e 数，或不考虑各无量纲时最后简化为c ：m 2 。 其直接含意是散射时原子的有效面积，即在原子的。面积内只要有一个电子撞 击时就可能发生一次散射。所以。越大，散射的几率也越大。 由散射截面。还可以推导出两个有用的参量，它们是平均自由程人即电子 散射一次走过的平均路程和平均散射次数p 。这两个参量与散射截面的关系为【们： 肚赤c 啪， dn a p j | 7 ( 2 2 ) p = 丢= 半c e v e n t s e - ， 眨， 式中a 是原子量，p 是样品密度( g ，c m 3 ) ，n a 是阿伏加德罗( a v o g a d r o ) 常数，t 是电子穿行的样品厚度。平均自由程a 表示入射电子在经受二次某类散射之间 所经过的平均路程。平均散射次数p 表示一个电子穿越样品厚度t 时平均产生的 散射次数。 微分散射截面定义为散射角大于中而进入单位立体角d q 内的散射几率。 图2 - 3 给出散射截面的定义。其中电子沿着z 方向入射，0 为散射角。设单位 时间内散射到( o ，( p ) 方向面积元d s 上( 立体角d q 内) 的粒子数为d n ，显然 d n 竺：d r 2( 2 4 ) r 定义n 为单位面积单位时间内的垂直入射电子数，有： d n n d o ( 2 5 ) 引入一个比例系数q ( 0 ，中) ，将( 2 5 ) 式写成： d n = q ( 目，9 ) n d - 2 ( 2 6 ) q ( 0 ，伞) 与入射粒子和靶原子( 散射场) 的性质、它们之问的相互作用以及入射 粒子的动能有关，是0 ，( p 的函数。q ( 0 ，平) 具有面积的量纲，故称q ( 0 ，( p ) 为 1 0 第二章电子散射基本原理 微分散射截面。 m = 【面d n 】 ( 2 7 ) 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q ( e ，( p ) ，则单位时间内通过此截面 q ( 0 ，( p ) 的粒子恰好散射到( 0 ，( p ) 方向的单位立体角内。 ( 2 7 ) 式可以改写成： 柙枘= 恚 ( 2 8 ) 由于n 、象通过实验可以测定，所以能够求出q ( e ，q ) 。 2 3 1 弹性散射物理模型 - 、- ，-a s _ 酌 心纷护 形 弋 图2 - 3 散射截面 z 弹性敞则可以简化为i u 子与原子核之间的作用，能量交换很少，所以可以忽 略入射电子的能量损失。这种弹性散射是影响电子在样品中扩散和背散射等过程 的最重要因素之一。 出于经常遇到的样品是化合物或者包含几种物质，而不是单纯的只含有一种 原予，所以在计算过程中常常要先针对某一种原子进行计算，然后再按相应的原 子百分比或质量百分比相加综合考虑。所以以下分析都是针对样品中的某一种原 子进行的。 弹性散射物理模型有多种，包括经典r u t h e r f o r d 公式、p e n d r y 弹性散射截面 计算公式订、m o t t 弹性散射截面计算公式8 1 等。各种方法有各自的优缺点，如 r u t h e r f o r d 公式简单但是对高原子序数的原子计算有一些误差，p e n d r y 及m o t t 公式计算比r u t h e r f o r d 公式更准确但是计算很复杂。而在本课题中，因为需要计 l 乜子与固体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 算大量电子的散射过程，所以选择相对简单的r u m e r f o r d 公式以节约机时并且计 算误差在允许范围内。 因为用库仑场中薛定谔方程精确解的量子散射理论得出的解与经典 r u t h e r f o r d 理论的解一致9 ，所以用经典的r u l h e r f o r d 理论得出的散射截面公式 能够满足课题要求。 经典r u t h e r f o r d 理论假设：电子是带有电荷一e 的极小质点，它受到电荷为 + z 。的静止原子核的吸引，考虑核外电子对库仑力的屏蔽作用，得到屏蔽的 r u t h e r f o r d 微分散射截面为们： ( 2 9 ) 式中，e 为电子能量，且单位为焦耳( j ) ，c 为光速，z ，为固体中第i 种原子的 原子序数，为介电常数( 8 8 5 1 0 。2 法拉米) ，e 为电子电量( 1 6 0 2 1 0 。9 库 仑) ，r n e 为电子静止质量( 9 1 1 0 。1 千克) 川1 ，o 为散射角，f 为屏蔽参 数，两：且，可山下式计算1 1 2 , 1 3 1 ： 聘2 考芸，2 一s 。，咖3 霉 。， 式( 2 1 0 ) q ，p 为电子动量，no 为玻尔半径( 5 2 9 x 1 0 - “米) ，h 为普朗克常数 ( 4 1 3 5 7 1 0 1 5 电子伏秒) ，壳= h 2 ，e 的单位为千电子伏特( k e v ) 。 d a ( o ) p z ，( z ，+ 1 ) ， 视 6 4 7 r 2 s 2 。2 1 0 6 l ( 2 1 1 ) 式中，e 的单位为千电子伏特( k e v ) 。将所有常数代入计算( 2 1 1 ) 式，得到： 2 第二章电子散射基本原理 簪2 l 1 0 2 1 半c 篇，2 蕊1 ( 2 1 2 ) 式中，e 的单位为千电子伏特( k e v ) 。 将式( 2 9 ) 对。从0 到积分，得到屏蔽的r u t h e r f o r d 弹性散射截面为： z ( z 。+ 1 ) e + m 。c 2 4 。 仉2 瓦瑟矿2 m j c ) 丽 。1 3 式( 2 1 3 ) 中，e 的单位为焦耳( j ) 。当e 采用千电子伏特( k e v ) 做单位，并且将所有 常数代入计算( 2 1 3 ) 式，得到： 旷s 州0 2 i 宇舞) 2 丽4 r z 2 3 2 非弹性散射物理模型 非弹性散射1 过程包括电子与电子以及电子与原子核外电子之问的几种散 射。作用结果是电子有明显的能量损失，而且往往都能产生二次激发，如低能二 次电子、特征x 射线、a u g e r 电子及连续x 射线谱和等离子体振荡等。对每种 隋况都可以运用其各自的散射截面分析。 2 4 电子在固体中的穿透和扩散 电子进入固体样品后，一小部分经少数几次散射从样品表面逸出，大部分电 子穿入样品内部与样品原子连续多次作用，不断改变运动方向、损失能量。 2 4 1 电子的失能规律 弹性散射是指电子与样品原子核的作用，此时电子的能量损失极少，按照经 典r u t h e r f o r d 碰撞理论，这部分能量损失可以表示为h 1 ： 竺一2 m ( 1 - c o s o ) ( 2 15)e m 、 。， 电子与固体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 式巾，i t i 是电子质量，m 是原子核质量，0 是电子的散射角。 h b o e r s c h 指出，只有在a e 失能大于声子激发能( 约为百分之几电子伏特) 时 上式才有意义，也就是说，e 过小的散射均可认为是只产生偏转而不损失能量 的弹性散射。 对于入射电子和样品原子中的电子所产生的非弹性散射，可以认为电子损失 的能量比它本身的入射能量小得多，在相继碰撞时能量是连续减少的并符合 b e t h e 失能定律。这种能量的损失表现为阻止本领皇兰，其物理意义为每单位质 量厚度元内入射电子平均损失的能量，也可叫平均能量损失率。质量厚度元是指 样品元素的密度p 与电子路程的乘积。在非弹性散射过程中，样品材料对电 子的阻止本领在非牛日对论条件下可表示为： 警2 蔫躲m a 争 b 其中，j i 是平均电离能，它随原子序数的增加而增加：b 是常数；e 是电子能量， 单位为焦耳( j ) 。 目前常用的平均能量损失率计算公式为b e t h e 公式卯： 丝d s 盖4 x 绦a ，莩哗a 呱懈争型e p 莩警a 埘s s 乡， (o ) “ 。 、 ，。 争 、 ( k e v e m )( 2 17 ) 式i | 1 ，c ，是第i 种原子的原子浓度：a 。是第i 种原子的原子量；j ，是第i 种原 子的平均电离能，以k e v 为单位：e 是电子能量，以k e v 为单位。 j 可以通过查表求得，也可通过经验公式计算，通常使用b e r g e r 和s e i z e r 6 1 提出的经验公式： 肛= ( 9 7 6 z , + 5 8 8 拶9 ) 1 0 。 lz = 1 1 5 1 0 z ，裂； 旺 考察b 1 7 ) 式发现l n ( 1 1 6 6 争项的符号可正可负，但这并不符合实际物理 意义。实际上，电子是在不断地损失能量，不可能反而从样品中获得能量，所以 l n ( 1 1 6 6 争必须舡才符合物理意义， 也就是说1 1 6 6 一e ， _ 1 ，所以只有满足 j ? 一 、 第二章电子散射基奉原理 e 0 8 5 8 j ，时式( 2 1 7 ) 正确。为了研究当e r 。 1 6 第二章用m o n t ec a r l o 方法实现电子散射过程的计算机模拟 第三章用m o n t ec a r l o 方法实现电子散射过程的计算机模拟 3 1m o n t ec a r l o 方法介绍n 8 1 在电子束曝光领域，入射到样品中的电子在样品中的运动遵从一些电子运动 规律做带有随机陛质的运动，所以不能预知某一个电子的运动轨迹。但是如果存 在大量的电子，就可以采用统计的方法通过电子的随机性对大量电子进行分析。 m o n t ec a r l o 方法不同于确定性数值方法，它是用来解决数学和物理问题的非 确定性的( 概率统计的或随机的) 数值方法。m o n t ec a r l o 方法也称为统计试验 方法：即随机过程的概率统计理论( 用于处理布朗运动或随机游动实验) 和位势 理论，主要是研究均匀介质的稳定状态。它是用一系列随机数来近似解决问题的 一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体 的近似解的处理数学问题的一种手段。运用该近似方法所获得的问题的解更接近 于物理实验结果，而不是经典数值计算结果。 普遍认为我们当前所应用的m o n t ec a r l o 方法，其发展约可追溯至1 9 4 4 年， 尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。m o n t ec a r l o 方法的发展归功于在l o s a l a m o s ( 美国国家实验室中子散射研究中心) 进行核武器研究工作的一批科学 家。l o sa l a m o s 小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓励了 m o n t ec a r l o 方法在各种问题中的应用。“m o n t ec a r l o ”的名称取自于m o n a c o ( 摩纳哥) 内以赌博娱乐而闻名的一座城市。 m o n t ec a r l o 方法的应用有两种途径：仿真和取样。仿真是指提供实际随机 现象的数学上的模仿的方法。一个典型的例子就是对中予进入反应堆屏障的运动 进行仿真，用随机游动来模仿中子的锯齿形路径。取样是指通过研究少量的随机 的子集来演绎大量元素的特性的方法。例如，f ( x ) 在口 臼，卅 c ，m 。所 需的随机数序b 。j 便j 山卜式得 x n + l2 ( 似一+ 。) m o d m ( 3 2 ) 该序列称为线性同余序列。例如，若x 。= 口= c = 7 月m = 1 0 ，则该序列为 7 ，6 ，9 ，0 ，7 ，6 ，9 ，0 ( 3 3 ) 可以证明，同余序列总会进入一个循环套：也就是说，最终总会出现一个无休止 重复的数字的循环。( 3 3 ) 式中序列周期长度为4 。当然，一个有用的序列必是 具有相对较长周期的序列。用术语乘同余法和混合同余法分别指代c = 0 和c 0 时的线性同余法。 这罩只关心在区i i l j ( 0 ，1 ) 内服从均匀分布的随机数的产生。用字符r 来表示 这些数字( 从这儿起，r 就代表( o ，1 ) 分布的随机数) ，则由式( 3 2 ) 可得 r ：堑 m ( 3 4 ) 这样r 仅在数组 o ，l m ，2 m ，1 ) m 中取值。( 对于区间( o ，1 ) 内的随机 第三章用m o n t ec a r l o 方法实现电子散射过程的计算机模拟 数，一种快速检测其随机性的方法是看其均值是否为o 5 。) 产生区间( 口，b ) 内均 匀分布的随机数x ，可用下式 x = a + ( b a ) r( 3 5 ) 用计算机编码产生的随机数( 利用式( 3 2 ) 和( 3 4 ) ) 并不是完全随机的； 事实上，给定序列种子，序列的所有数字r 都是完全可预测的。为强调这一点， 将这种计算机产生的序列称为伪随机数。但如果适当选取a ，e 和m ，序列r 的 随机性便足以通过一系列的统计检测。它们相对于真随机数具有可快速产生、需 要时可再生的优点，尤其对于程序调试。 以后的计算过程要用到( o ，1 ) 之间均匀分布的随机数，v i s u a lc + + 6 0 提供了函 数产生随机数种子进而产生伪随机数。但是v i s u a lc + + 6 0 只能生成在o 0 x 7 f f f ( 即十进制的0 3 2 7 6 7 ) 之间均匀分布的整数随机数，所以，若要得到 ( 0 ，1 ) 之问均匀分布的随机数必须将由v i s u a lc + + 6 0 生成的整数随机数除以 o x 7 f f f “9 1 才能得到。程序应写成如下： s t a n d ( ( u n s i g n e d ) t i m e ( n u l l ) ) ：g e n e r a t er a n d o ms e e d f l o a t r j r = ( f l o a o ( r a n d o + 0 3 2 7 6 7 ) ； 另外有一个问题需要注意，在后面的计算中会碰到下面情况： 对含有随机数的表达式取对数时，有可能该随机数取到的值使对数值为无穷 大，超出计算机计算范围，如计算散射步长的( 3 11 ) 式。 为避免出现上述情况，在包含上述情况的表达式中，改用如下的写法来生成随机 数： r = ( l o a o ( ( r a n d o + i ) 4 1 o ) 3 2 7 6 8 ； 这样写的好处有： ( 1 ) f 采i i l ! r 的值就在夏杀到1 之间均匀分布，避免出现计算机计算不下去的情 况； ( 2 ) 随机数值的分辨率提高，即由夏嘉提高到夏急： 1 9 电了与固体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 ( 3 ) 用磊来趋近于0 既保证计算机能够计算下去，又保证在数学上近似等于0 。 j z ，0 6 3 2电子散射模拟过程 对电子散射的模拟最终归结为计算电子在每一次散射之后相对于入射点的 位置，不妨定义一坐标系。电子入射样品的方向为z 轴正方向，y 轴正方向垂直 纸面指向外，x 、y 、z 轴组成正手系，坐标原点为入射电子束中心与样品上表面 的交点。称该坐标系为原始坐标系。原始坐标系及电子在样品中的运动过程如图 3 1 所示。 彳 钍、 。 i 、怨五：i 如q l ， ? m 1 o 图3 1 电子散射过程 要描述一个点在空间中的位置，需要知道它的直角坐标( x ，y ，z ) 或者球坐标( r ， o ，由) ，并且两者有如下的关系式； f x = r s i n o c o s 庐 y = rs i n o s i n z ：r c o s o ( 3 6 ) 其中0 表示坐标原点到需要描述的这个点的向量与z 轴正方向的央角，中表示 这个向量投影到x o y 平面后与x 轴正向的夹角。 3 2 1电子坐标初值 1 、理想情况下 u l l f 盯f - 一个个地入劓到样品中，可以认为电子坐标初值为 第_ 三章用m o n t ec a r l o 方法实现电子散射过程的计算机模拟 j _ ) c o = 0 y 。= 0 ( 3 7 ) i z 0 2 0 2 、高斯分布电子束斑 实际上，常用的电子束曝光系统用的电子束有一定直径，电子呈高斯分布。若电 子束斑直径为d ，则电子坐标初值为眨： x 。= 等瓜c 。s ( 2 万r ：) y 0 詈卢试s i n ( 2 丌r ：) ( 3 8 ) z o = 0 其中r 、毗为( 0 ，1 ) 之问均匀分布的随机数。 样品可能包含一种或几种原子，虽然在计算方法上没有实质上的区别，但仍 然有一些细节需要注意，所以将这两种情况分开讨论。 3 2 2 样品只含一种原子的情况下的参数计算 在以下的分析中采用球坐标系。下面分别确定球坐标系下各个参数的计算方 法，也就是如何求( r ，0 ，由) 。 l 、确定向量模r 采用m u r a t a 川1 提出的单散射m o n t e c a r l o 模型( s i n g l es c a t t e r i n g m o n t e c a r l o m o d e l ) ，即假设电子在一个步长内只发生一次散射，经历若干次这样的散射过程 直到耗尽能量或者从样品中逸出。 为了与物理量联系起来，用散射步长a 代替向量模r 。 当电子在样品中穿过 路程时，电子经历的碰撞次数v 为： i j ，= n a 学o ( 3 9 ) 由于采用单散射模型，所以v = 1 ，这时可以确定散射步长a ，o a t 公式所 2 i u 子与固体相互作用的m o n t e c a r l o 模拟 2 ：l ( 3 10 ) n a p o - 。 a = - 2 1 n r ( 3 1 1 ) 其中r 为( o ，1 ) 之间均匀分靠的随机数。定义 为平均自由程( m e a nf r e ep a t h ) ， 即电子发生碰撞之f s j i b 平均路程。( 3 1 1 ) 式就是采用m o n t ec a r l o 方法描述随即运 动的电子的散射步长。 2 、散射角0 当发生一次散射时，电子以概率p ( e ) 被散射到一个小立体角d q 内，如下 式所示2 ： 胛) 国：f 垫竺1 m ( 3 1 2 ) l 仃一 j 将( 3 1 0 ) 式积分到0 ，并且g i 入随机数r ，则so 计算公式为： c o s 一崭 b ， 其中为r u t h e r f o r d 弹性散射公式中用到的屏蔽参数，由( 2 1 0 ) 式计算。 在编写程序计算e 时有一个问题需要注意。用( 3 t 3 ) 式计算，当r 取1 时有可能 使得c o s0 一1 的情况，而如果采用手工计算得到c o s0 = 一1 。两者结果不同的原 因是 1 一算机采用浮点数计算，计算精度有限带来误差；手工计算则可以通过数字 相消避免了浮点运算，没有误差。但是用c 语言定义的反余弦函数a c o s ( x ) 求 解0 ，其中的x 必须满足一1 x s l ，否则就溢出。所以在编程时要用下面的语 句先做判断，如果x ( 一1 ，则将一1