（信号与信息处理专业论文）信号高阶谱分析及在地震勘探中的应用.pdf

【论文摘要】 信号高阶谱分析及在地震勘探中的应用 导师：李录明教授罗省贤教授 研究生：黄健英 专业：信号与信息处理 方向：多媒体通信与信息处理 摘要 信号高阶谱分析是现代信号处理中重要方法之一，本文针对地震资料处理 中地震子波的估计和断层识别两个问题，利用信号高阶谱中所包含的有用信息 对地震子波的估计和断层识别进行了一些理论和实际应用方面的研究。 在地震子波估计方面，利用信号的高阶谱中既含有振幅信息，也含有相位 信息这一特点，在对地震子波无相位假设的前提下，可直接从地震记录的高阶 谱中恢复地震子波的振幅谱和相位谱，进而重构地震子波。不同相位地震子波 的理论模型和野外实际地震资料的处理结果表明，该方法对于提高地震资料的 分辨率具有可行性和应用潜力。 在断层识别方面，根据地震剖面中小断层的主要标志为反射波同相轴存在 时差，以此为特征，利用高阶谱的四阶统计量函数来计算地震记录中相邻两道 的延迟时间函数，由此实现时间延迟剖面，该剖面展示了断层存在位置，由时 间延迟剖面进一步可获得断距曲线图，可对断层进行定量解释。理论模型和实 际资料的处理结果表明，该方法具有较强的抗噪能力，对断层检测识别具有一 定的可行性。 关键词：高阶谱；双谱；四阶统计量；地震子波；断层识别 【a b s t r a c t 】 a n a l y s i so fh i g h - o r d e rs p e c t r u ma n d i t s a p p l i c a t i o ni ns e i s m i ce x p l o r a t i o n a d v i s o r ：p r o f l il u m i n g p r o f l u os h e n g x i a n c a n d i d a t e ：h u a n gj i a n y i n g s p e c i a l i t y ：i n f o r m a t i o na n ds i g n a lp r o c e s s i n g m a j o r ：m u l t i m e d i ac o m m u n i c a t i o na n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g a bs t r a c t a n a l y s i so fh i g h o r d e rs p e c t r u mi s o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d si n m o d e r ns i g n a lp r o c e s s i n g a i m e da tt h ep r o b l e m so fs e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o na n d i d e n t i f i c a t i o no fs m a l lf a u l ti ns e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g ，b a s e do nu t i l i z i n gt h eu s e f u l i n f o r m a t i o no fs i g n a lh i g h o r d e rs p e c t r u m ，s o m er e s e a r c ho nt h e o r e t i c a ld a t aa n d p r a c t i c a la p p l i c a t i o ni ns e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o na n di d e n t i f i c a t i o no fs m a l lf a u l t a r es t u d i e di nt h i st h e s i s o nt h es e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o n ，b a s e do nt h ef a c tt h a th i g h o r d e rs p e c t r u m c o n t a i n st h ea m p l i t u d ea n dp h a s es p e c t r u mo fs i g n a la n du s i n gb i s p e c t r u mo f s e i s m i c ，t h ep h a s es p e c t r u ma n da m p l i t u d es p e c t r u mo fw a v e l e ti sr e c o v e r e da n d t h ew a v e l e ti sr e s t r u c t u r e d t h e r ei sn oa n yp r e s u m p t i o no fw a v e l e tf o rt h i sm e t h o d t h ep r o c e s s i n gr e s u l t so fs y n t h e t i cd a t aw i t hd i f f e r e n tw a v e l e tp h a s ea n dr e a ld a t a s h o wt h a tt h em e t h o di sf e a s i b l ea n dp r o m i s i n gi n i m p r o v i n gt h er e s o l u t i o no f s e i s m i cd a t a o ni d e n t i f i c a t i o no fs m a l lf a u l t ，b a s e do nt h ef a c tt h a tt h et i m ed i f f e r e n c eo f t h er e f l e c t e dw a v e l e te v e n ti st h em a i nm a r kt oi d e n t i f ys m a l lf a u l t ，t i m ed e l a y p r o f i l ei sd r a w nf r o mt i m ed e l a yf u n c t i o no ft w oa d ja c e n tt r a c e so fs e i s m i cd a t a c o m p u t e db yf o u r t ho r d e rc u m u l a n t ，a n di t c a ns h o wt h ed i s t r i b u t e dl o c a t i o no f s m a l lf a u l t t h r o u g ht h et i m e d e l a yp r o f i l e ，t h ef a u l td i s p l a c e m e n tc u r v ec a nb e o b t a i n e df o rf a u l tq u a n t i t a t i v ei n t e r p r e t a t i o n t h ep r o c e s s i n gr e s u l t so fs y n t h e t i c d a t aa n dr e a ld a t as h o wt h a tt h i sm e t h o di sa b l et o s u p p r e s sn o i s ea n df e a s i b l ei n f a u l tj d e n t j f i c a t i o n k e yw o r d s ：h i g h - o r d e rs p e c t r u m ；b i s p e c t r u m ；f o u r t ho r d e rc u m u l a n t ；s e i s m i c w a v e l e t ；i d e n t i f i c a t i o no fs m a l lf a u l t i i 第1 章前言 1 1 选题依据及意义 第1 章前言 在信号处理领域，人们常常习惯于假设信号或噪声服从高斯分布，从而仅 用二阶统计量( 如二阶矩，相关函数，功率谱密度函数等) 便可提取有关信息， 进行参数辨识以及各种处理。然而在实际工作中，我们常常面临大量非高斯、 非最小相位、非因果、非平稳信号的处理问题，对于这类信号二阶统计量就显 得无能为力。近年来，国内外学者的研究成果表明，高阶统计量方法就是解决 这些信号处理问题的有效工具。高阶统计量包含了信号的许多重要信息，而且 具有很多诱人的性质，使我们可以利用它来辨识非因果、非最小相位、非线性 系统；可以抑制高斯或非高斯的有色噪声；可以提取不同于高斯信号的多种信 号特征；可以分析与处理循环平稳信号等等。 高阶统计量是描述随机过程高阶( 二阶以上) 统计特性的一种数学工具， 包括高阶累积量和高阶矩。与自相关函数的傅立叶变换定义为函数的功率谱类 似，高阶累积量的多维傅立叶变换定义为高阶谱( 或称多谱) 。高阶统计量与二 阶统计量( 自相关函数) 相比具有以下三个方面的显著优点：高阶累积量具 有对高斯噪声恒为零的特点，因而可用于提取高斯噪声中的非高斯信号；高 阶累积量含有系统的相位信息，因而可用于非最小相位系统的辨识；高阶统 计量可用于检测和描述系统的非线性，如检测高斯信号或非高斯信号。这些特 征使得高阶统计量已成为信号处理领域中一种新的强有力的工具，其应用范围 已涉及通信、声、雷达、语音处理、图像处理、时延估计、系统辨识、自适 应滤波、阵列处理、地震信号处理、生物医学工程、故障诊断等多个领域。 在地震勘探领域，随着地震勘探开发的不断深入和勘探范围的不断扩大， 以二阶统计量为理论基础的处理和构造解释技术的精度已不能满足日益复杂的 勘探对象的要求。本文在前人研究的基础上就高阶统计量在地震资料处理与解 释方法进一步做了以下两方面的研究。第一方面：利用高阶谱中既含有信号的 振幅谱，也含有信号的相位谱这一特征，研究了由地震记录的高阶谱估计子波 的振幅谱和相位谱的方法和技术，这种方法在子波重构的过程中，完全依赖子 波的高阶谱特征，无需对子波相位作任何假设，是一种客观估计子波的方法。 第二方面：利用高阶累积量抑制高斯噪声的能力，将基于高阶统计量的时间延 迟估计理论应用到地震剖面的断层检测中，提高了检测断层的精度和自动拾取 成都理工大学硕士学位论文 断距的能力，为断层的解释提供了一种新的有效的工具。 研究课题来源于国家8 6 3 项目( 2 0 0 1 a a 6 0 2 0 1 8 0 4 ) 子课题。 1 2 研究现状 1 2 1 高阶谱的研究现状 早在2 0 世纪6 0 年代，高阶统计量( 如高阶矩，高阶累积量，高阶谱等) 就已被数学家们所研究，但由于当时没有找到应用对象，这一研究并没有获得 比较大的发展。只是到了2 0 世纪8 0 年代后期，随着计算机的飞速发展，信号 处理的专家们才使这一研究点燃了燎原之火，并迅速发展成为现代信号处理的 一个重要分支。 基于高阶统计量的信号分析实际上是对相关函数和功率谱的随机信号统计 分析的推广和深入，它的主要目的是分析信号更深层次的统计特性。目前高阶 谱的研究主要集中于对信号进行从时域到频域的变换分析。例如分析各类信号 时一频变换后在多维频谱里的特性，分析识别信号的相位特性及因果及非因果 特性，并对信号进行自适应滤波处理等等。 1 2 2 地震子波估计方法的研究现状 地球物理反演理论经过几十年的发展，已由线性理论转入非线性理论，由 确定性方法转为统计性方法。地震反演从方法上大致可以分为基于波动理论的 波动方程反演和基于褶积模型的反演两大类。以波动方程为基础的地震反演由 于算法结构复杂，对地震噪音敏感等因素，要得到一个稳定的解是比较困难的。 因此，这类方法还未得到广泛的实际应用。以褶积模型为基础的地震反演，由 于算法简单，对地震噪音敏感程度小，一般情况下都能得到一个稳定的解，在 生产中得到了广泛应用。 由鲁滨逊的褶积模型( 卜1 ) 可知，地震记录x ( r ) 是地震子波w ( t ) 和地层反 射系数，( f ) 的褶积结果， x ( t ) = w ( t ) r ( ，) ( 1 1 ) 在实际的地震资料中，只能己知x ( f ) ，地震子波和地层反射系数均未知。我们 所要做的工作就是设法利用各种方法，求取地震子波w ( o 后通过对x ( f ) 反滤波 而求取反射系数，( f ) ，并尽量提高其精度。 地震子波的提取方法包括两大类，第一类是确定性子波提取方法，第二类 是统计予波的提取方法。 确定性子波提取方法指的是利用测井资料首先计算出反射系数序列，然后 第l 章前言 结合井旁地震道由褶积理论求出地震子波。如传统的维纳滤波、谱除法、广义 线性反演等。 第二类统计提取子波的方法，如自相关的多道统计、同态反褶积、以及 利用分形特性估计子波的方法等。 子波提取的两类方法各有优缺点。确定性子波提取方法的优点是不需要对 反射系数序列的分布作任何假设，能得到较为准确的子波，缺点是需要利用测 井资料；统计方法的优点是不需要测井信息，也可以得到子波的估计，但缺点 是需要对地震子波和地下反射系数序列的分布进行某种假设，所得到子波精度 与假设条件的满足程度有关。 1 23 时间延迟估计的研究现状 时间延迟估计是数字信号处理中一个非常活跃的研究领域，在雷达、声纳、 石油勘探、振动故障诊断、水声学、地震学等领域得到了广泛的应用。时间延 迟估计的基本问题是利用所接收到的目标信号，准确、快速地估计和测定出接收 器或接收器阵列之间由于信号传播距离不同而引起的时间延迟。7 0 年代中期， k n a p p 等人发表了广义相关方法后，国内外的研究人员相继在该领域作了大量 的研究工作。归纳起来，这些方法大致可分为非参数和参数估计方法。非参数 方法就是直接对接收信号进行处理，如互相关、广义相关和最大似然等方法。 参数估计方法就是将信号模型拟合化，根据模型的参数特征估计时间延迟，如 a r 模型、m a 模型和a r m a 模型等方法。上述方法的一个显著缺点是当两路信号 中的噪声是相关或相干噪声，时间延迟估计将出现模糊。 1 3 本文的基本研究思路和研究内容 本文基本的研究思路为：从高阶谱理论出发，确定从信号双谱中恢复信号 振幅谱和相位谱的算法，利用该算法估计出地震子波并对地震资料进行反褶积 处理。利用高阶统计量时延估计算法对地震资料中相邻两道进行时延估计，然 后通过延迟时间实现延迟时间剖面，并在剖面上对地震资料进行定性解释，最 后通过获取剖面上相应的断距曲线对地震资料中的断层进行定量解释。 研究方法：首先建立理论模型，经过验证理论模型的正确性和有效性后再 将其应用到实际资料处理中。本文中算法的实现采用v i s u a lc + + 6 0 和m a t l a b 6 5 编程；非地震剖面图形显示采用m a t l a b6 5 。其中，图形横坐标若无特殊 说明均指所标注物理量的采样点数；地震剖面图形的显示采用导师罗省贤编制 的绘图软件p l o t e x e 实现。 本文研究的基本内容： 成都理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 基于高阶谱的地震子波提取方法研究。 ( 2 ) 基于高阶统计量时延估计的断层检测研究。 1 4 本文所取得的成果 通过对地震子波的提取和断层检测方法研究，本文在以下方面得到了一定 的成果。 ( 1 ) 采用了基于高阶谱的地震子波提取方法。该方法在子波重构的过程中， 完全依赖子波的高阶谱特征，无需对子波相位作任何假设，是一种客观估计子 波的方法。 ( 2 ) 将基于高阶谱的时延估计方法应用于断层检测研究。 ( 3 ) 实现了对整个地震剖面进行断层检测，并可对断层进行定性和定量解 释。 第2 章高阶统计量方法的理论基础 第2 章高阶统计量方法的理论基础 一般将高于二阶的统计量称为高阶统计量，它包括高阶矩、高阶累积量、 高阶矩谱和高阶累积量谱四种主要形式( 此外，还有高阶协累积量、循环累积 量、倒高阶累积量谱即倒多谱等) 。目前高阶统计量的应用研究主要集中于三阶、 四阶累积量及其相应的高阶谱方面。下面简要介绍平稳信号高阶统计量的定义、 性质及其计算方法。 2 1 高阶统计量的定义 2 1 1 高阶矩和高阶累积量的定义 特征函数方法是概率论和数理统计的主要分析工具之一，因此，首先从特 征函数入手，给出高阶矩和高阶累积量的定义。 随机变量x 的第一特征函数定义式为 0 0 ) = f 厂( z 弦一d x = e # “ ( 2 1 ) 其中，f ( x ) 是随机变量x 的概率密度函数，特征函数实际上就是概率密度函数 f ( x 1 的f o u r i e r 变换。 随机变量x 的k 阶矩定义为 m 。= 目z 】= f = z 厂g ) 出 ( 2 2 ) 若聊。 = 1 , 2 ，n ) 存在，则x 的第一特征函数巾如) 可展开成t a y l o r 级数 ) t + 喜挚国) + 盯白“) 沼。， 其中m 。与巾) 的k 阶导数的关系为 驴掣b 忙n ) ( 2 - 4 ) 口 由于随机变量石的k 阶矩可以由第一特征函数生成， 称为矩生成函数。 随机变量x 的第二特征函数定义式为 甲0 ) = i n q ，( o ) ) 将w ( c 0 1 展开成下面的t a y l o r 级数为： 故常将第一特征函数巾如) ( 2 5 ) 甲如) = i i l 中( ) 2 萎1 着( j ) 2 + 仃( m ”) ( 2 6 ) = ： 随机变量x 的第二特征函数甲0 ) 按t a y l o r 级数展开的系数c 。就定义为随 成都理工大学硕士学位论文 机变量x 的i 阶累积量： ， = ( 一) 。；f 、壬，( 棚) i o = o n )( 2 - 7 ) a 由于q 是用第二特征函数甲) 定义的，所以甲b ) 又称为累积量生成函数。 对于疗维随机变量( 而，x ：，z 。) ，其联合特征函数定义为 o ( c o l ，2 ，。) = e e x p j ( o l x l + 2 x 2 + + 。x 。) ) ( 2 - 8 ) 即随机变量( 一，x 2 ，x 。) 的概率密度函数f ( x l ，x 2 ，z 。) 的r t 维f o u r i e r 变换。 定义累积量生成函数( 第二特征函数) 为 l 壬，( l ，9 0 2 ，- - ，m 。) = i n o ( c 0 1 ，口2 ，。) ( 2 - 9 ) 随机变量( x 1x 2 ，x 。) 的阶数为，= k l + 七2 + + 以的联合矩定义为 和，阶联合累积量定义为 聊1 1 k = ( - j 乜= ( - 疗 ，7 矧l a 甲0 1 ，) l a ，a l ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) o = 0 在实际应用中，更为常用的是随机过程的高阶累积量。 设 x ( 疗) ) 为零均值的k 阶平稳随机过程，则该平稳随机过程 x ( n ) ，x ( n + r 1 ) ，x ( n + i z k - i ) 的阶矩m h ( 7 l ，一，i ) 定义为 m h ( ，t 1 ) = m o m x ( n ) ，x ( n + f 1 ) ，。，x ( n + f i 一1 ) ( 2 - 1 2 ) 和k 阶累积量c 。( q ，r ) 定义为 c h ( f 1 i f 一，“一1 ) = c u m x ( n ) ，x ( r t + t 1 ) ，x 印+ t ) ( 2 - 13 ) 这里，m o m ( 1 代表联合矩，c u r e ( ) 代表联合累积量。 对零均值的平稳随机过程 x ( 胛) ) ，其高阶累积量也可定义为【2 5 】 c h ( r l ，r i 1 ) 2 e x ( n ) x ( n + f 1 ) x ( ”+ 7 女- i ) ( 2 】4 ) 一e g ( n ) g ( n + q ) g ( n + t k _ 1 ) )( 女3 ) 式中塘( ”) ) 是一个与 x ( ”) ) 具有相同功率谱密度的高斯过程，且满足 e ( g ( n ) g ( 月，) ) = e x ( n ，) x ( n ，) ) ( 2 - 1 5 ) 这是一个工程性的定义，它不仅显示了随机过程 x ( n ) ) 的高阶相关的程度，而 且还提供了该过程偏离高斯分布的测度。显然，若 z ( n ) ) 是高斯过程，则其高 于二阶的累积量恒等于零。但高阶统计特性的一些重要性质却不能从该定义导 出。 2 12 高阶矩谱和高阶累积量谱的定义 考察零均值的线性平稳随机过程扛0 ) 。众所周知，信号x 0 ) 的功率谱密度 定义为其自相关函数的f o u r ie r 变换。类似地，引出对应的高阶矩和高阶累积 6 第2 章高阶统计量方法的理论基础 量的谱定义。 定义1 ：设高阶矩m 。“，r 。) 是绝对可和的 m 。( r ， t 1 = o “一1 2 则k 阶矩谱定义为k 阶矩的k 一1 维离散f o u r i e r 变换，即 m 。b ，) = m k xt 1 ， , t k - 1e x p i t 1 2 o“一1 2 l 定义2 ：设高阶累积量t 1 ，一，r 。) 是绝对可和的： ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) e i c 。瓴，f 。】 和 c ，( ，) = c u m x ( t + r 2 ) ) 。又如，对于1 p = 1 , 3 ，则m 。( ，p ) = e x ( t ) x ( t + f 2 ) 和 c ，( i 。) = c u m x ( t ) ，x ( t + f 2 ) 。 累积量和矩之间存在如下的关系2 7 】： c m ( 累积量一矩) 公式是 m ，o ) = n c x c ，) ( 2 2 9 ) u ：。，= p = l m c ( 矩一累积量) 公式是 上述m c 和c m 公式是由b r i l l i n g e r ( 1 9 7 7 ) 首先建立的， 要地证明。 证明对于一阶( k = 1 ) 的情况，显然 c 。x 。) = e x 。) = m ，x 。) 若k = 2 ，则集合，的分割是q = 1 ： 1 ，2 ；q = 2 ： l ， 2 ，故 m ：0 。，x ：) = e 扛。x ： = c 2x ，工：) + c 。g 。k ，g ：) 和 k = 3 时， ( 3 ) ，( 1 ，2 ) ) ； c 2 g 。，x ：) = e 扛。石： _ e x 。 e 0 ：) ( 2 3 0 ) 下面进行简 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 集合，的所有分割是q = 1 ： ( 1 ，2 ，3 ) ；q = 2 ： ( 1 l ( 2 ，3 ) ， ( 2 l ( 1 ，3 ) 1 q = 3 ： ( 1 l ( 2 l ( 3 ) 。因此，有 po f 肌 。一 k ， 一 0 一 ，l ， l i “ u = u 巳 成都理工大学硕士学位论文 和 m 3 g ，x ：，x ，) = e 扛，z 。工，) = c 3x ，x ：，屯) + c 1 g 。) c ：g ：，码) + c 。x ：k ：g 。 + c g ，p ：g 。，r ：) + c 。g 。g ：- 。g ，) 巍：鬣三盘凳斑最焉 沼s s ， - e 0 。皿k ，屯) + 2 e g 。汪k 皿k ) “1 “ 从上面的证明可以看出，如果随机变量x ，的均值不为零，其表达式很复杂， 为了简化累积量的表达式，又不失一般性，我们通常假定时间序列是零均值的 ( 实际上，一个非零均值的时间序列可通过减去均值估计变成零均值) 。于是， 对于一个零均值的平稳实随机过程扛g ) 而言，从m c 公式可得到以下简单的 关系式： c 2 x ( ) = e 缸0 h 0 + r ) ) = g x ( r ) ( 2 - 3 6 a ) c 3 x ( r ，r ：) = e 和0 b 如+ q h 0 + r ：) ( 2 - 3 6 b ) q ，= 瓴，r ：，r 3 ) = 占缸0 b o + q 砖0 十r ：b 0 + 岛) ) ，。、 一r ：( f 。皿。( ：一q ) 一r ，p ：皿：( ：一r 。) 一r 。e ，l r ，( r 。一r ：) 。2 。3 6 。 式中r x ( ) = e b o h 0 + r ) 是缸g ) ) 的二阶矩( 自相关函数) 。上述关系表明，零均 值随机过程的二、三阶累积量与它的二、三阶矩相等，但更高阶的累积量与矩 是不相同的。 根据上一节介绍的累积量的性质2 ，我们知道k 阶累积量有麒种对称形式， 以3 阶累积量为例，共有3 1 = 6 种对称形式： c h ( 埘，甩) = c h ( 以，m ) = c 3 x ( 一门，m 一胛) = c 3 x 0 一m ，一m ) = c 3 。( 脚一疗，一行) = c 3 。( 一m ，胛一m ) 。z j7 因此，在计算累积量时，可以利用累积量的对称性质来减少计算量。 c 3 ，( 聊，1 ) = c 3 ，( - m ，n m ) 的证明： 当过程是零均值时，有 c 3 ( r n ，n ) = m 3m ，”) = e 扛忙h 伍+ m b 伉+ n ) 令= k + m ，则 下面给出 ( 2 3 8 ) 帆旬二m 冀m ：聊n ! 纂擘cm ：岛 s ， = 3 【一，一m ) = 3 【一，胛一研j 由双谱定义为三阶累积量函数的二维傅立叶变换，所以双谱b x ( c o ，国：) 也具 有以下对称性质： b 。h ，0 9 ：) = c 3 0 ，国：) = c ，如：，q ) = c 3 ( _ 1 一国2 ，2 ) = c 3 妇2 ，| - - 0 9 1 一2 ) ( 2 - 4 0 ) = c 3 ( - q 一口：，q ) = c 3 ( ，一q 一( - 0 2 ) 由于双谱的对称性和周期性( 以2 础周期) ，所以只要知道 0 第2 章高阶统计量方法的理论基础 c o i 0 ，1 = 国2 ，l + 2 = 万如图2 1 所示的三角形 区域内c ，( q ，珊：) 的值，就可求得整个0 ，国：) 平面 内各点双谱b 。( q ，) 的值。 在实际的时间序列分析、系统辨识和信号处 理等应用中，我们是无法知道真实的各阶累积量 的，需要根据已知的数据样本估计各阶累积量。 为了获得k 阶累积量的一致样本估计子，通常需 要假定非高斯过程x ( 以) 是2 k 阶绝对可求和的，即 呦 善 o l ”瓦 _j 图2 1 i c 。( 。，r 。一。】 m ，聊= l ，2 七 ( 2 - 4 1 ) t 1 m 一1 2 则3 阶累积量的均方一致估计可以通过有偏估计子 弧，吒) 2 专著x o 协+ 一+ 2 ) 获得。类似的，4 阶累积量的均方一致估计子 二。t t ，t 3 ) = 专x o h 0 + t i h 0 + t 2 k g + t 3 ) n 2 l 一：，( 。弦：。( f ：一r ，) 一o ：。( f ：。( ，一 g i ) 一o ：。( r ，p ：e ，一r ：) 其中 屯( r ) 2 专善x 幻+ f ) ，删，1 ，2 式中，对于n 0 或n n 均取x 妇) = 0 进行运算。 2 4 高斯过程的高阶矩和高阶累积量 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 高斯( 或正态) 分布随机变量与过程在概率论、数理统计以及时间序列分 析中起着十分重要作用。在正态分布的情况下，“不相关”和“独立”是等价的。 下面分析高斯随机过程的高阶矩与高阶累积量。首先考虑单个高斯随机变量的 情形。设随机变量x 服从高斯分布n ( o ，盯2 ) ，即x 的概率密度函数为： 1，一 厂( x ) = 。兰一e 1 i ( 2 0 - 2 ) ( 2 4 5 ) 。、4 2 ，r o - 因此，x 的第一特征函数及第二特征函数分别为 成都理t 大学硕十学位论文 = 击e x 悟卜 = 去唧茸恤卜 = e 2 一d 2 0 2 和 呦) = l n o ( 咖一孚 根据高阶矩的定义，可得矩函数 ”巾z 一卜竿k = 。 州：一2 ( r r 2 c 0 2 - 1 ) 唧 - 孚卜 肾功( 3 删国2 e x p 一譬= 。 旷s 盯4 i l o - 4c 0 4 + 1 - 3 0 2 0 ) ) e x p 一孚卜珈4 则可归纳为k 阶矩为 m 。刮，= p b 熬器 将甲b ) 代入累积量计算公式，其结果是 c h = e x - 0 c 2 ，= e x 2 】= 盯2 c h ；0 ( t 3 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 a ) ( 2 5 0 b ) ( 2 5 0 c ) 综上所述，我们有如下的结论： 高斯随机变量x 的1 阶累积量c l ，和2 阶累积量c ：，分别等于高斯随机变 量x 的均值和方差； 高斯随机变量x 的高阶累积量c 。在( k 3 ) 时恒等于零； 高斯随机变量x 的高阶矩只取决于它的2 阶矩，并不比2 阶矩提供更多 的信息。 上述结论可以推广到高斯随机过程。由随机过程累积量的定义可以得到高 斯随机过程 x ( ”) 阶次高于2 的k 阶累积量也等于零，即 c h ( f l ，f 2 ，一，f 女一1 ) ；0 ( k 3 ) ( 2 - 5 2 ) 第2 章高阶统计量方法的理论基础 上式表明，高阶累积量对高斯噪声不敏感。因此，综合性质4 ，当加性噪 声是高斯有色噪声时，高阶累积量在理论上可以完全抑制噪声的影响，从而增 强了观测信号的信噪比。但是高阶矩却不具备这一性质，因此，我们常常使用 高阶累积量而不是高阶矩作为处理非高斯过程的主要分析工具。 成都理工大学硕士学位论文 第3 章基于高阶统计量的时延估计方法 3 1 引言 信号的时间延迟参数是各种测量技术的基本参数。长期以来，时间延迟估 计一直是雷达、声纳和地球物理等信号处理领域的热门研究课题。过去，人们 在估计此参数时几乎都采用互相关函数进行信号处理。然而，当信号的信噪比 很低或信号与噪声之间相关或噪声之间相关时，此方法容易使时间延迟估计模 糊。这里的模糊是指互相关函数存在多峰。7 0 年代中期，k n a p p 等人发表了广 义相关方法【9 】后，国内外的研究人员又将研究方向瞄准此方法的发展和理论分 析之中。国际上多种专业期刊出了很多这方面的专辑，不同的处理背景研究出 了不同的处理方法。归纳起来，这些方法大致可分为非参数和参数估计方法。 非参数方法就是直接对接收信号处理，如互相关、广义相关和最大似然等方法。 参数估计方法就是将信号模型拟合化，根据模型的参数特征估计时间延迟，如 a r 模型、m a 模型和a r m a 模型等方法。上述方法的一个显著缺点是当两路信号 中的噪声是相关或相干噪声时，时间延迟估计将出现模糊。 8 0 年代后期以来，随着人们对高阶统计量的不断深入研究，逐渐掌握了高 阶统计量的许多重要性质。由于受任意高斯随机信号的高阶( 大于二阶) 累积量 恒等于零的最新成果影响，基于高阶统计量的时间延迟估计已成了人们的焦点， 并出现了很多基于高阶统计量的时问延迟估计方法。归纳起来，这些方法大致 可以分为频率域和时间域高阶统计量时间延迟估计方法。其中频率域方法有一 维f o u r i e r 逆变换方法、二维f o u r i e r 逆变换方法、最大发生频度法、双相干 相关方法以及基于高阶谱相位数据的方法等；时间域方法主要以t u g n a i t 提出 的基于四阶累积量的估计子函数方法【2 2 j 为主。 本章主要讨论延迟时间的估计方法，并将从频率域和时间域两个方面来重 点介绍基于高阶统计量方法的时间延迟估计方法。其中，在基于高阶统计量的 频率域时延估计方法中将简要介绍二维f o u r i e r 逆变换方法、一维f o u r i e r 逆 变换方法、最大发生频度法和双相干相关方法：在基于高阶统计量的时间域时 延估计方法中将主要介绍基于四阶累积量估计子函数进行时间延迟估计的方 法。 第3 章基于高阶统计量的时延估计方法 3 2 相关时延估计方法 考虑两个传感器的情况，假定 x ( 聍) ) 和 y ( n ) ) 是两个空间分开的传感器的测 量结果，它们满足方程 x ( n ) = j ( 竹) + n l ( ”) ( 3 - 1 a ) y ( 即) = a s ( n d ) + h 2 ( ) ( 3 - l b ) 其中s ( m ) 是一未知信号，s ( n d ) 为s ( 胛) 的移位形式，r l i ( 聆) 和”2 ( 月) 是未知的加 性噪声源。时间延迟估计问题就是如何根据有限长的观测结果x ( n ) 和y ( 一) 估计 出时间延迟d 。 3 2 1 互相关估计方法 假设信号与噪声都是零均值的个态遍历并且平稳的随机信号。实际中，如 果接收信号均值不变，则需要对接收信号先进行零均值化处理。根据随机信号 理论，两个信号的互相关是衡量两个信号之间的相似程度的量。信号x ( n ) 和y ( n ) 的互相关函数定义为 ( f ) = e x ( t ) y ( t r ) ( 3 2 ) 其中，算子e 代表数学期望，即统计平均或集合平均；f 代表延迟时间。 互相关函数的常用性质有： 性质1 ：( f ) = k ( 一f ) ； 性质2 ：j ( r ) 1 2 0 ； i = 1 j = l 性质5 ：如果信号s ( f ) 是周期平稳信号，则( f ) 也是同周期的周期函数； 性质6 ：如果信号s o ) 与s 0 + f ) 在i f 卜0 0 时统计独立，则l i m ，( f ) = 0 。 i r l 书。 由式( 3 3 ) 和自相关函数性质3 可以知道，两路信号的相对延迟时间出。估计 是互相关函数( f ) 取最大值时的延迟时间。于是，通过对互相关函数( f ) 作 成都理工大学硕士学位论文 图或峰值检测就可以估计两路信号的相对延迟时间。 为了克服因有限信号采样点数和低信噪比引起的信号延迟时间估计精度的 降低，k n a p p h c 等提出了延迟时间的广义相关估计方法【9 1 。 广义相关估计方法的基本思路是首先将两路信号分别通过不同的滤波器做 滤波预处理，然后再做滤波信号的互相关运算。过程如图3 - 1 所示a 图中，h i ( f ) 和h 2 ( f ) 分别代表滤波器；x p ( f ) 和y p ( r ) 分别代表信号x ( ”) 和y ( ”) 的滤波信号； ( f ) 代表两路滤波信号的互相关函数。 型俨。 一生乎孕 盟区刭， 图3 - 1 广义相关方法实现过程 根据图3 一l ，有 x 。( f ) = x ( 0 4 h i ( r ) y 。( f ) = y ( f ) + h 2 ( ，) 其中，算子 表示卷积运算。 在频域，由卷积定理，上面两式可表示为 x 。( 国) = x ( o ) h 1 ( 国) l ( ) = y ( o ) h 2 ( ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 其中，x ( 卯) 、】，沏) 、x ，( 国) 、( ) 、h ，洄) 和h ：( 国) 分别代表x q ) 、_ y ( f ) 、x p ( f ) 、 y 。( r ) 、h i ( t ) 和向2 ( f ) 的f o u r i e r 变换。 同时，有 ( 咖寺z ，( ) l ，( 0 0 e x p ( j w r ) d o ( 3 _ 8 ) 其中，上标$ 代表复共轭。 将式( 3 - 6 ) 和( 3 - 7 ) 代入( 3 - 8 ) ，得到 勺，p ) 2 去x ( 国) y + ) ( ) e x p ( ，珊f ) d ( 3 9 ) 其中， w ( o ) = 日( 国) h + 2 ( 国) ( 3 - i 0 ) 第3 章基于高阶统计量的时延估计方法 代表频域加权系数。 从上面的分析看出，两路信号的相对延迟时间的广义相关估计的关键在于 计算频域加权函数w ( c o ) 。它将根据滤波器的作用通过接收信号进行计算。 如果滤波器的作用是使信噪比或相关性较高的频域成分作互相关，而滤去 那些信噪比或相关性较差的频率成分，频域加权函数w ( c o ) 可分别为 也r ( 国) = 1 r ，( c o ) r ，( 6 9 ) ( 3 - 1 1 ) 矽k ( ) = c 。( c o ) 4 ( 1 一c 。( c o ) ) l r 。( ) ( 3 - 1 2 ) 其中，s c o t 9 和m l 2 6 1 分别是s m o o t h e dc o h e r e n c et r a n s f o r m 和m a x i m u n 1 i k e l i h o o d 的缩写；r ，( ) 和r 。( ) 分别代表信号x ( n ) 和y ( 叻的自相关函数的 f o u r i e r 变换，r 。( c o ) 代表信号x ( n ) 和y ( n ) 的互相关函数的f o u r i e r 变换，其中： c 。( 国) ：坠剑：( 3 - 1 3 ) ” r ，( c o ) r 。( c o ) 为幅值平方的相干系数，其取值在o 和1 之间。 由于式( 3 - 1 2 ) 的频域加权函数是在高斯白噪声环境和最大似然估计下导 出的，因此，延迟时间估计的方差最小。 3 3 高阶统计量频率域时间延迟估计方法 考虑三个传感器的情况，即有 z o ( 船) = s ( n ) + n o ( 行) ( 3 1 4 a ) 。l ( 月) = s ( n d 1 ) + l , z 1 ( 竹) ( 3 - 1 4 b ) x 2 ( 珂) = s ( n d z ) + ”2 ( ”) ( 3 - 1 4 c ) 其中 s ( n ) ) 是零均值的平稳非高斯信号，具有非零的歪斜度，即e 缸2 ( n ) ) 0 ， g l i ( ”) ，i = 0 , 1 ，2 是零均值的平稳高斯( 有色) 噪声，与信号s ( n ) 独立。现在的目 标是利用观测数据x 0x 。，x ：估计时间延迟d 和d ：。 令b m ( c 0 1 ，c 0 2 ) 表示石；，x ，坼之间的互双谱( i = j = k 时为自双谱) ，则 b 0 0 0 ( c o l ，c 0 2 ) = b ，( c 0 1 ，c 0 2 ) ( 3 - 1 5 a ) b 叭0 ( c 0 1 ，c 0 2 ) = b 。( 0 9 l ，2 ) e x p 一，( q d l ) ( 3 - 1 5 b ) b 0 2 0 ( 出l ，c 0 2 ) = b ；( c 0 1 ，c 0 2 ) e x p 一( m 2 d 2 ) 】 ( 3 - 1 5 e ) 其中b ，( q ，国：) 是信号s ( n ) 的双谱。为了估计d 1 和d ：，现在计算 g ，( 珊) ：土r 野丝乌月， ( 3 1 6 a ) ”2 厅b b 0 0 0 ( c o ，兄) g ，( ) ：一1 r 鱼! 竺! 型洲 ( 3 1 6 b ) 2 万b b 0 0 0 ( 国， ) 这就分别给出了e x p 一j ( o j l d l ) 和e x p 一j ( c 0 2 d 2 ) 】的估计值。取g 1 ( ) 和g 2 ( c o ) 的 成都理t 大学硕七学位论文 f o u r i e r 逆变换，并将它们分别记作蜀( ) 和g ：( h ) 。于是，d 。就是蜀( ，2 ) 取最大 值时的n 值，而b 则是g ，( 疗) 取最大值时的即值。 利用双谱的二维性质，只用一个而不是两个互双谱就能够同时估计出两个 时延参数d 1 和d ，因为我们有 口0 1 2 ( c o l ，国2 ) = b ，( c o l ，2 ) e x p 一j ( c a l d l + 2 d 2 ) ( 3 - 1 7 ) 根据这个性质，z h a n g 和r a g h u v e e r 2 4 提出了以下三种不同的时间延迟估 计方法( 二维f o u r i e r 逆变换法、一维f o u r i e r 逆变换法和最大发生频度法) 。 3 3 1 二维f o urier 逆变换法 定义 g ( i ) i ，( - 0 2 ) = i b i o ：1 2 i ( 雨( ) 1 ，0 ) 2 ) = e x p 一j ( c a i d , + o h d 2 ) 】 则 i 盯i r g ( n l ，n 2 ) 2l i ，g ( q ，脚2 ) e x p j ( c 0 1 l + a ) z n 2 ) d o ) 1 d o ) 2 = ( 2 万) 2 f i ( n 1 一d 1 ， 2 一d 2 ) 在( d ，d ，) 处取峰值。 3 3 2 一