（航空宇航制造工程专业论文）锥束ct高质量断层图像重建方法研究.pdf

摘要 摘要 工业c t ( i c t ) 是通过重建物体断层切片灰度图像来获取物体内部几何和材 质信息的检测技术。由于具有不受材料和结构限制的优点，i c t 已被广泛应用于 各产业部门的无损检测、无损评估与逆向工程等研究，被誉为当代最佳无损检测 手段。目前锥束c t 普遍采用f d k 算法，该算法基于单圆源轨，在小锥角下取得 较好的重建效果。然而随着锥角的增大，重建图像的伪影加剧，这主要是由于单 圆源轨无法获得完整的投影数据。实际应用中经常受各种条件的限制，如对一些 大的物体，必须采用较大的锥角进行扫描。在这种情况下，本文对三种非平面源 轨的精确重建方法进行了研究，并对f d k 算法在中大锥角重建时产生的伪影进行 了校正。 本文的主要研究内容如下： 1 ) 在精确重建滤波过程中，需要计算投影数据的雷当变换，本文采用普通累 加法和辛普森直线积分法来完成对象素网格的采样。为了获得较高的滤波精度， 本文将重投影图像的投影精度提高一倍，得到了高分辨率的滤波图像，从而显著 地提高了重建图像质量。 2 ) 由于理想的斜坡与导数滤波器是无法实现的，为此选择带矩形窗滤波器， 这就造成突然截断而产生g i b b s 扰动，从而使重建图像的质量下降。本文对理想滤 波函数加矩形窗、s i n e 窗、h a m m i n g 窗以及新窗函数，分析对应滤波器的空频特 性，为不同的重建情况下选用合适的滤滤器提供了依据。 3 ) 本文采用雷当图解法对几种源轨的精确重建域进行了分析。通过分析表明， 平面单圆源轨的精确重建区域球体的半径为0 ，而三种非平面源轨的精确重建区域 随轨道参数的变化而变化，确定精确重建区域对扫描具有指导意义。 4 ) 本文分析f d k 算法在中大锥角时重建产生伪影的主要原因是投影数据不完 全，被扫描物体雷当空间数据缺失。为此提出了g r a n g e a t 公式的锥角校正算法来 近似补全雷当空间缺失数据。该算法将单圆源轨扫描获得的投影通过f d k 算法进 行重建，将补全的缺失数据通过基于g r a n g e a t 公式精确重建算法重建，最后将两 部分重建结果进行叠加得到最终的结果。通过仿真实验表明取得了较好的校正效 果。 关键词：工业c t ，雷当变换，g r a n g e a t 公式，滤波反投影重建，精确重建，锥角 校正 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i n d u s t n a lc t r i c ni sat e s t i n gt e c h n o l o g yt h a to b t a i n st h ei n n e ri n f o r i l l a l i o ni n c l u d i n g g e o m e t r i cs t r u c t u r ea n dm a t e r i a li n g r e d i e n to fo b i e c t sb yr e c o n s t r u c t i n gg r a yi m a g e so f t h es l i c e s d u et ot h em e r i to fn o ti n f l u e n c i n go fb yt h eo b j e c t sm a t e r i a la n ds t r u c t u r e i c ti s w i d e l ya p p l i e di n t on o n - d e s t r u c t i v et e s t i n g ( n d t ) e v a l u a t i o na n dr e v e r s e e 1 1 9 i n e e r i n gi nm a n yf i e l d s i ti sc o n s i d e r e da st h eb e s tn d ta p p r o a c hi nt h em o d e m w o r l d m km e t h o di st h em o s tc o m m o nk i n do f3 di m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mi n c o n eb e a mc ta tp r e s e n t ，w h i c hi sb a s e do nas c a n n i n gc i r c l ea n dr e c o n s t r u c t si m a g e s s a t i s f a c t o r i l yi nt h es i l l a l lc o u ea n g l ec a s e h o w e v e r , w i t hi n c r e a s i n gc o n ea n g l e f d k a l g o r i t h mw o u l dp r o d u c es i g n i f i c a n ti m a g ea r t i f a c t ss i n c et h ec i r c u l a rt r a j e c t o r yd o e s n o ts a t i s f yt h es o - c a l l e dd a t as u f f i c i e n c yc o n d i t i o n t h ec o n ea n g l ei ss t r i c t l yl i m i t e di n t h ea p p l i c a t i o n ，f o re x a m p l e ，t h el a r g ec o n ea n g l em u s tb eu s e dt os c a nl a r g ew o r k p i e e e h lt h es i t u a t i o n t h ee x a c tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mo ft h r e en o n p l a n a ro r b i t si ss t u d i e d , a n ds t u d yt h ec a l i b r a t i o nm e t h o dt oe l i m i n a t ea r t i f a c t si nr e c o n s t r u c t e ds l i c e sw i t hl a r g e c o n ea n g l ei nt h ep a p e r t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n ta n da c h i e v e m e n ti sa r t i e u l a t e da sf o l l o w s ： 1 t l l er a d o nt r a n s f o r mo ft h ep r o j e c t i o ni sc a l c u l a t e di nt h ef i l t e r e dp r o c e s so fe x a c t r e c o n s t r u c t i o n s i d d o na n ds i m p s o ni n t e g r a la r eu s e dt os a m p l et h ep i x e l st og e tt h e p r o j e c t i o n i no r d e rt og e th i g hf i l t e r e dp r e c i s i o n , t h er e s o l u t i o no ft h er c p r o j e c t i o n i m a g e sa r et w i c ea sp r e c i s eu st h ep r o j e c t i o ni m a m st h a ta r eu s e dt op r o j e c t ，t h e r e f o r e t h ef i l t e r e di m a g e sa r eh i 2 血p r e c i s i o na n dt h er e c o n s t r u c t i o ni m a g e sa r ei m p m v c d r e m a r k a b l y 2 t h ei d e a lr a m pf i l t e ra n dt h ei d e a ld e r i v a t i v ef i l t e ra r en o ti m p l e m e n t e d t h e r e f o r et h e f i l t e r sw i t hm er e c t a n g l ew i n d o wa r eu s e di n t h ef i l t e rp r o c e s s t h eq n a f i t yo f r e c o n s t r a c t i o ni m a g e si sd e g r e s s i v eb e c a u s eo fg i b b sd i s o r d e ro w i n gt ot h ea b r u p t t r u n c a t i o n t h er e c t a n g l ew i n d o w , t h es i n ew i n d o w , t h eh a m m i n gw i n d o wa n dt h en e w w i n d o wa r ea d d e dt ot h ei d e a l 丘i t e r t h ed i f f e r e n c e so ft h es p a c e - f r e q u e n c yc h a r a c t e r a r ec o m p a r e da m o n gt h ed i f f e r e n tf i l t e r s ，t h er e s u l tw i l lh e l pp e o p l et oc h o o s e a p p r o p r i a t ef i l t e ri nd i f f e r e n tr e c o n s t r u c t i o nc a s e 3 t h ee x a c tr e c o n s t r u c t i o nr e g i o n so f s e v e r a li d n d so f o r b i t sa r ea n a l y z e db yt h er a d o n s h e l lg r a p h i cm e t h o d i ti si l l u m i n a t e dt h a tt h ee x a c tr e c o n s t r u c t i o n 佗g i o no fs i n g l e c i r c u l a ro r b i ti sz e r o ，a n dt h ee x a c tr e c o n s t m e t i o nr e 西o r so ft h et h r e en o n p l a n a r o r b i t sc h a n g ea l o n gw i t ht h ec h a n g i n go ft h eo r b i t s p a r a m e t e r s i ti sd i r e c t i v em e a n i n g f o rs c a n n i n gt oa c q u i r et h ee x a c tr e c o n s t r u c t i o nr e 画o n 4 1 1 1 em a i nr e a s o ni st h er a d o ns p a c ed a t ao f s c a n n e do b j e c ti sn o tc o m p l e t e w h i c hw i l l r e s u l ti nt h ei m a g ea r t i f a c t sw h e nu s i n gf d k a l g o r i t h mt or e c o n s t r u c tw i t hm o d e r a t eo r l a r g ec o n ea n g l e s t h e r e f o r et h ec o n ea n g l ec a l i b r a t i o na l g o r i t h mb a s e dg r a n g e a t 8 f o r m u l ai sp r e s e n t e dt oc o m p e n s a t et h ei n c o m p l e t ed a t ao ft h er a d o n a c c t h ef i r s t s u b - 辄ni sc a l c u l a t e db ya p p l y i n gt h ef d k a l g o r i t h mt ot h ep r o j e c t i o nd a t aa c q u i r e d b yas i n g l ec i r c u l a ro r b i ts c a n ，t h es e c o n ds u b - r e s u l ti sac o r r e c t i o nr e c e i v e db ya p p l y i n g s vf b p a l g o r i t h mt ot h em i s s i n gr a d o nd a t aa c q u i r e db ye x t r a p o l a t i o n , t h ef i n a lr e s u l t i st h es u mo f t h et w os u b r e s u l t s 1 r i 坞s i m u l a t er e s u l td e m o n s t r a t e st h ea l g o r i t h mi sv a l i d m e t h o dt or e d u c ea r t i f a c t so f t h ei m a g e sr e c o n s t r u c t e db yf d k a l g o r i t h m k e y w o r d s ：h l d u s 砸a lc t r a d o nt r a n s f o r m g r a n g e a t sf o r m u l a , f i l t e r e d b a c k p r o j e c t i o nr e c o n s t r u c t i o n , e x a c tr e c o n s t r u c t i o n , c o n ea e i g l ec a l i b r a t i o n 酒乾王照太擘额圭学篷论文第一章缝谂 1 1 工业e t 技术概述 第一章绪论 c o m p u t 积z e dt o m o g r a p h y 简称为c t ，即计算机层析成像技术，是由对物体进 行不同角凄的拯描投影重建获得物体截面信息的成像技术。箕理论基船源予r a d o n 予1 9 1 7 年发袭鹩群论翔僻掇据丞数在流形上的积分来确定蘧数静一文。在该变中， r a d o n 系统地论证了由线积分值确定被积函数的整套理论方法，为c t 技术的形成和 发展提供了霹靠的理论依据。美国物理学家c o r m a c k 在r a d o n 理论基础上傲了避一 步研究王撵，予1 9 6 3 年发表文章秘黼线积分表示一函数的方法爱英在藏瓣医学生 的应用舻，并且完成了仿真与实验研究，这标志蓿由x 射线投影重建图像的解析数 学方法的确立。1 9 6 9 年，h o u n s f i e l d 研制出的、第一裔c t 扫描装鬻在英国一家医院 成功安装。垂此，蹬技术在医学上黪成功应用蠢轰动垒球，冀在成像寿瑟笼冒争 辩的撬越健弓l 起世丸瞩鼹。 c t 技术在工业领域园经得到广泛的应用。工业c t ( h l d u s t r yc t , i c r i ) 是集辐射、 光学、电子、计算机等多种技术予一体的先进无擐检测技术，在无损检测 ( n o n - d e s 瀚- m c t i v et e s t i n g ) 与无按谣衢( n o n - d e s t r u c t i v ee v a l u a t i o n ) 领域显示出 了独特的优点。该检测技术不受试件材料种类、形状结构等囡索影响，成像盔观， 分辨率高，尤其在检查复杂构件方丽显示出特有的优势。工业c t 是在无损伤状态 下得到被棱灏鳜层的：罐灰度霉镶，它以图像酶获度来分辨被检测颧_ 瑟麴蠹部缡 构组成、装配情况、材矮状况、有秃缺陷，缺陷的性质和大小簿。只需沿搦撼线 扫得足够多的断层二维图像，就可以得到被检测物体的三维图像。目前i c t 技术已 广泛应用于航天、航空、军事、石油、钢铁、枫械、汽车、采矿等领域，其检测 对象有导弹、火箭发动梳，军歪燕、攀蔫密封组嚣、计算襁蕊黠、精密枫褫零髀， 陶瓷及复合材料等多种产品。国际冤搦检测界把e 灌称为最先进的无损检测手段。 c t 的独特之处在予；它不需要对物体做实质饿的破坏，只需收集物体删侧面一 各个方翻的透视x 光强度这一过程称之鸯投影) ，遴瑟诗算出裙俸昀横截瑟阉像， 郯断层切片图像。当x 瓣线穿过任何麴质时，它会蓐物质的原予籀互作用蔼孳i 起能 量衰减。也就是说，物质不同的组成成分对x 射线属有不同的啜收系数；反之，通 过测量物质对x 齄线的吸收系数可以判定物质的缀成成分。当一柬x 射线穿过物僖 时，它艇爱錾蕃径幸所有物痰对x 射线啜收系数的憨和都将反唆森最后对x 射线强度 的测量结果中。c t 的成像原理正是建立在这个基础上，通过对穿过物体截面的x 射线进行测量和运算，获取与物体断屡空间位置一一对应的吸收系数，从丽恢复 物体截薅盼结构德患。 鞭冀錾工业大掌鞭士学链谂交 第一章绪论 图i i i c t 成像原理 圈1 。1 中。由理想x 射线源点激发出的一系列射线柬，透射过检测样奉，褥射 到探测器上，探测器采集入射光子信息，得到幅投影图像。一次扫描结策后， 检测样本旋转一个角度褥进行下一次扫攒，如此庭复下去，群褥褥裂检测檬零的 一缀投影黼静数据。遥邋计算橇处蘧，采用一定盼重建方法计葬出射线穿道物俸 的吸收系数的分布，并使之转化成一幅二维切片图像。 c t 成像酶核心原理是由投影重建图像的理论。囊从1 9 1 7 年j 。黜o n 提般著名 黥雷当变换l 疆，渡理论瓣成势c t 重建搜恭鹩重要基礁。鎏前，鳖建图缴鹣主要方 法分为两类。解析法和遮代法。解析法中有两类熊型的重建方法：基于反投影的 滤波( 或卷积) 方法和不含反投影步骤的傅里叶( f o u r i e r ) 蘸建方法。解析法的 优点是计冀爨小，重建速度快，对囊全投影数攒麓获褥粳妊静重建震量，因她纛 前实爝的傩蒙统中广泛莱用解橱法。造筏法是将黼像重建闯越转纯为求解重建圈 像各象素值和投影之间燕系的代数方程组，其最大的缺点是璧建速度很慢。迭代 法能和特定的成像设备及数据采集物理过程的特憷糨结合，并憨剩用某些毙验知 识，杰其逶含予不麓菰德完全投影数赭场合麴豳像耋建。遮栈法串戳代数蘧建法 ( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e s ，a r t ) 最典代表性。 囔。2 研究背景及意义 工业e 鬻在国防工业及民用工业中得到了广泛的应用，但现阶段可实嗣的互业 c t 系统多采用f d k 算法，该算法是从二维扇束推导出来的三维镶柬c t 近似煎建算 法，在小锥角情况下越数褥较好的夔建效果，趣随蓑锥角斡增大，重建效巢慧劂 下降。这壹要是! 由于锥燕增大后，部势被捡试律的雷当变换数据叠失，锥角越夫， 2 莲毒翼王照大攀鼷学盛谂文 鬃一章绪论 丢失的数据越多，也就无法赣得完全投影数据来精确重建其切片闰像。对于一些 大的工件，必须采用较大的锥角进行扫描。因而采用这种扫描熏建方法使被检工 件的几何尺寸受到限制。网前，实际中采用单圆源轨对一些大型构件无法检测或 徽难检测劐完全的投影数攥。侧舞，发动机聪气概盘臻缘靠近盼羚樽头都位，是 应力求平最高麴区域，翳予发生疲劳，特瘸蕊凌飞瓿起飞发动飙缝予艇力大功率 状态时，裂纹迅速扩震并断裂，飞行员来不及跳伞，造成瓿毁入亡的严重事数。 因此，研制能够在现场条件下，对压气机盘高威力区微裂纹发展进行无损检测的 装备，对于保障飞行安垒极为必要。因此必须采用非平面源轨进行扫描，获得完 全的雷娄变换数据，获得赫质量的切片图像，孰薅褥到准确的捡测结果对保证飞 机鹩安全燕舞重要。 我溯瓣t 研究起步予上糕纪丸十年代，备炎南挺和科研豌所糕继投入精力进行 工业c t 硬件和仿真系统的开发和研究工作。重庆大学在1 9 9 3 年1 0 月率先研制成功 我阉第一台实用型工业c t 机；机械工业部北京自动化研究所也予九十年代初完成 h l r t - i 离低熊x 射线逶用图像处理系统；清肇大学物理系“粒子技术鸯辐射成像静 国家专戴赛验室先基研捌成功蒸予快速算法期并褥计算熬体积g 鬻襻概；华毒毫工学 院在丸氮期阀开震了高麓x 瓣线无损检测技术麴研究。 磷j 也互业大学现代设计姆集成制造技术襄验室中美c b v c t 图像重程中心多年 来一直在进行i c t 的基础理论和工程应用技术方两的研究，成功地歼发出一套基于 平掇撵测器锥柬规仿真软件，并宪成三维锥策撼描硬件的搭建，黼翦该系统己应 用于部分靖冀麓裣测。霎 1 3 国内外研究现状 八十年代初期，在c 饿术日趋成熟的背景下，对三维物体熏建方法的研究取 褥了突破性的进展，三维熙像重建的理论体系逐步确立。其中，科聚算法1 2 l 是一种 基予粪孰道挺接戆避毂耋建算法，由f e l d k a m p ，d a v i s 翱薹喇耋9 黼掇潦。之所戳说 f d i e g 法是一释近似麓算法，是困楚无论测篓时的分辨率鲡蔼，麓篷结果和寞实 物体都套霄或多或少的偏离。但是，对于适度的锥角来说，这种偏离霜蓐常小。f d k 由于冀简易性，成为实际锥柬e t 重建中应用最为广泛的算法。该冀法实际上是二 维崩寐滤波反投影算法的三维扩展。它包括投影数据的预加权、一维滤波和反投 影死个步骤。该方法具翥蕊单、离藏、快速等特点，许多实是的 产燕采用的就 是这瓣方法。然丽，蠢予该方法操作在不亮垒韵投影数据上( 扫撼耪体靛源点孰 迹为荤圆) ，它本身又是一种近似的重建方法，豳此只对中间平面( 源轨迹所在的 平面) 的重建是完全正确的，仅适用于锥束角度较小的情况。为了减少大锥角处 的重建误差，许多改进的赣法( g - f d k ，p 。f d k ，t - f d r y j ，c c f d k l 4 ip l 等) 相 3 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 继被提出，经验证取得了较好的效果，然而它们仍是近似的重建方法。改进方法 的计算复杂性较高，为取得有限的改进效果进行这种努力是否值得还有待商榷。 三维f o u r i e r 切片定理本身就代表了一种精确重建方法3 dd f m 6 1 【7 】，而其 它的精确重建算法是由三维f o u r i e r 七j j 片定理推导出的，因此3 dd f m 方法与其它的 精确重建方法在本质上是一致。基于f o u r i e r 3 j 片定理的方法主要是通过插值运算， 将频域中的投影数据从极坐标变换到笛卡尔坐标系中，然后利用f o l l r i e r 逆变换来 获取重建数据。3 dd f m 实现物体精确重建的前提是获得一个完全的3 dr a d o n 空 间。由于三维锥束是发散的，其雷当空间( 面积分) 很难从投影直接获得。除此 之外，从极坐标系转换到三维笛卡尔坐标系的插值是一个计算量十分庞大的步骤， 在远离图像重建中心的位置，由于数据比较稀疏，通过插值计算所带来的误差逐 渐增大，会导致重建图像的高频分量误差较大，因此3 dd f m 方法很少被采用。 随着对重建图像精度的要求越来越高，人们开始着重研究三维锥束c t 的精确 重建问题。最早的研究始于1 9 6 1 年k i r i l l o v 所作的工作，他给出了锥束几何复数值 函数的逆变换公式。但因为复数值锥束表示法不能直接在实际中应用，t u y 宅e 1 9 8 3 年首次给出了实用的锥束逆变换公式f 引，并提出精确重建的数据充分条件：“每个 与重建物体相交的平面，都和射线源扫描轨迹至少有一个交点”随后s m i t h 和 g r a n g e a t 通过r a d o n 变换域中不同的中间函数，建立了锥束投影和r a d o n 变换的二阶 径向微分之间的关系，提出各自类型的重建算法1 9 【l 们。在t u y ，s m i t h 采l g r a n g e a t 的 研究基础上，后人又发展了多种高效的三维精确重建算法，但最主要的还是 g r a n g e a t 类型算法。这类算法总体上可以分为三步，首先利用锥束投影计算r a d o n 变换的一阶径向微分，然后在r a d o n 空间重排数据，最后进行三维反投影。1 9 9 4 年 m d e f r i s e 和r c l a c k 总结了各种精确重建方法的数学一致性，指出所有的精确重建 方法在数学上是等价的，即通过一个与3 dr a d o n 变换相关联的“中间函数”来重 建物体【1 1 】1 1 2 】。同时给出了基于三维加权滤波反投影( s h i f t - v a r i a n tf i l t e r e x l b 幽r o j e c t i o n ) 的精确重建方法【1 3 1 。这种方法不需要构建联接投影数据与三维 r a d o n 空间的三维矩阵，在获得每幅投影数据后就可以处理。该算法由一系列二维 处理，如加权、2 dr a d o n 变换、滤波和二维反投影算法构成。投影图像经过这些 操作后得到滤波后的锥束投影图像，最后采用与f d k 相同的反投影算法得到重建 后的切片图像。这种方法能够对冗余投影数据采用加权函数的方式进行有效处理， 而且对各种扫描轨迹都有较好的适用性。k u d o 和s a i t o 几乎在相同的时间也发现了 类似的方法1 4 卜【1 6 1 。 1 4 论文主要研究内容与章节安排 由于基于非平面源轨扫描轨道的实现较为复杂，因此本论文主要通过理论研 4 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 究与计算机仿真实验相结合的方法来进行研究，研究的主要内容包含以下几个部 分： 第一章绪论 概述论文的主要内容。对c t 的历史、i c t 在工业领域中的应用作了简单的介绍， 然后论述了论文的研究背景、研究意义及研究现状，接着阐述了本论文的主要研 究内容，并对各章节的安排作简要说明。 第二章图像重建的数学基础 主要介绍了二维及三维雷当变换及其逆变换，傅立叶切片定理，从锥束投影 获得雷当空间数据点的最大障碍，最后介绍了解决这一难点的g r a n g e a t 公式。 第三章面向锥束c t 的三维重建算法 主要介绍了锥束投影的三维重建算法，简洁地推导了f d k 算法，分析了直接 傅立叶重建算法的优缺点，最后给出了基于g r a n g e a t 公式的精确重建算法。 第四章精确重建算法关键技术研究 本章主要介绍了实现精确重建算法一些关键技术。论述了满足精确重建的条 件，并对三种源轨的精确重建区域进行了分析；研究了前向投影算法，快速高精 度地实现了图像的雷当变换；分析了斜坡滤波函数与导数滤波函数的空频特性； 最后提出了一种基于g r a n g e a t 公式的锥角校正算法。 第五章重建结果验证与评估 本章主要以三维头模型为扫描实验对象，对三种源轨重建结果进行了评估。 最后对基于g r a n g e a t 公式锥角校正方法进行了验证。 第六章总结与展望 总结本文的研究工作，并提出今后值得进一步研究的工作。 1 5 本章小结 本章首先简要介绍了c t 的历史、i c t 在工业领域中的应用，然后论述了论文的 研究背景、研究意义及国内外的研究现状，接着阐述了本论文的主要研究内容， 并对各章节的安排作了简要说明。 5 西北1 业大学硕士学位论文第二章图像重建的数学基础 第二章图像重建的数学基础 雷当变换及逆变换是奥地利数学家雷当于1 9 1 7 年提出的。雷当论证了线积分 值确定被积函数的整套理论方法，为c t 技术的成形和发展提供了可靠的理论依据。 雷当变换作为一种重要的数学工具，被广泛应用于医疗辐射、工业c t 无损检测、 核磁共振等许多不同的领域。特别是在医学和工业c t 中，雷当变换构成了物体断 层图像重建的基础。 图像重建问题实际上就是如何由投影数据计算出成像平面上各象素点的衰减 系数值。由投影重建出切片图像的重要理论依据就是傅立叶切片定理，又叫中心 切片定理，它给出了投影与物体傅立叶变换之间的关系，也是推导滤波反投影算 法与直接傅立叶重建算法的理论的基础。 投影图像是透射测量得到的投影数据，实际上是被测量物体线性衰减系数沿 穿越路径积分的结果，它是图像重建的原始输入图像。投影与雷当变换密切相关， 求雷当变换的逆变换的过程就是由投影数据重建物体的断层图像的过程。但是由 于锥束投影无法直接得到雷当空间的数据点，因此无法直接采用雷当逆变换来重 建物体。g r a n g e a t 发现锥束投影转换为雷当变换的导数是可行的，给出了锥束投影 和三维霄当变换的导数的关系，提出了基于雷当变换导数的精确重建方法，为精 确重建的方法提供了重要的理论依据。 2 1 雷当变换 雷当变换是c t 重建的理论基础。针对二维或三维物体的重建，雷当变换可分 为二维和三维两种情况。 1 ) 二维雷当变换 设r 2 为平面区域，函数f ( x , y ) 为二维密度分布函数或重建图像，并假设其在 平面的有限子集中有定义，其中尹e r 2 。设直线f r 2 ，直线的方程式为 x e o s o + y s i n o = p ，0 是直线与y 轴正向的夹角，户为直线，到原点的距离，则函 数f ( x ，y ) 的二维雷当变换定义为： p ( 岛力= r f ( p ，$ 2j 二y f ( x ，y ) 8 ( x c o s 0 + y s i n o p ) a x d y( 2 - 1 ) 6 西北工业大学硕士学位论文 第二章图像重建的数学基础 图2 - 1 投影变换示意图图2 - 2 过p 点所有直线积分的集合 图2 1 给出了从密度函数厂o ，y ) 获得投影函数的过程。图中在( 工，y ) 坐标系中给 出了一个密度函数，“力。沿着某一个投影方向，对每一条投影线计算密度函数 厂( j ，y ) 的雷当变换，就得到了该射线上的投影值。计算出该投影方向上所有的投 影值，就得到了该投影方向上的投影函数p a s ) 。其中的口角是积分直线与y 轴的 夹角，它反映了投影的方向；跪投影p a s ) 函数的一维变量，该变量的坐标原点 是( 而力坐标系原点在该方向上投影的垂足。 定义( 岛的空间被称为二维雷当空间，其中雷当空间的点代表通过物体的线 积分。在雷当空间中，厂( 尹) 沿直线l ( 经过点p ) 的线积分结果雷当值位于点 a ( p ，0 ) ，经过点p 的所有直线的线积分的集合都在以o p 为直径的圆上。需要指出 的是，雷当空间与极坐标空间是不同的。为了说明其不同点，考虑过原点的两条 不同的直线，它们与y 轴的正向的夹角分别为最和最。在通常情况下，物体沿这两 条直线的投影是不同的，即p ( o , 6 ) p ( o ，岛) ，而在极坐标下，它们是相等的。 ( 2 ) 三维雷当变换 三维雷当变换是二维的推广，每个平面的积分对应于雷当空间的一个点。设 尹= “) ，z ) 的，三维函数f ( p ) 的雷当变换由平面积分组成。设原点到积分平面的 距离为p ，平面的法向量为露，则三维雷当变换为： p ( 筇，力= 彤( 尹) = i 厂( 尹) 艿( 芦d i - p ) a 萨 毒 = i i if ( x , y ，z 矽o s i l l 护c o s 伊+ y s i 胡s i n 伊+ z c o s p p ) d x d y d z ( 2 2 ) 在式中积分平面的方程为x s i n s c o s q + y s i n o c o s 矿4 - z c o s 8 一p = 0 ， 荐= ( s i n o c o s q ，s i n 8 s i n 口 , c o s 卯是舻中的单位向量。 与二维雷当变换相类似，三维的雷当变换空间中的点用球坐标( 岛口，力表示。 通过法向量为厅且到原点距离为p 的平面的面积分可以用雷当空间是的点( 岛口，力 来表示。在雷当空间中，厂( 尹) 在经过点a 平面积分的雷当值就是原点到积分平面 投影点，经过点a 的所有平面上积分形成的点集位于以o a 为直径的球面上，这个 7 西北工业大学硕士学位论文第二章图像重建的数学基础 球面又被称为点a 的雷当壳。 2 2 傅立叶切片定理 傅立叶中心切片定理是图像重建算法的基础。在非衍射源的情况下，其内容 是：二维密度函数f ( x ，y ) 在某视角下的投影的一维傅立叶变换等同于函数f ( x ，y ) 的二维傅立叶变换过中心且在相同视角下的一个切片。 空域 融帕 z 叶变换7 r 酝： 夕哎 一t 图7 , - 3 傅立叶切片定理示意图 频域 下面根据二维平行束投影，对傅立叶中心切片定理进行证明。先对= o 的特 殊情况进行证明。此时t = 工，所以投影为： p , ( x , ) f f ip c 。o ( x ) f f if f ( 工，y ) d y ( 2 3 ) 兵一维傅立叶变抉为。 研p 细( 圳= f p 如( x ) e - 。“d x = l ， ，y ) d y 卜“”d x = 厂o ，y ) e - 。“d x d y 而f ( x ，y ) 的二维傅立叶变换为： ，【“，v 】- 研，y ) 】- 厂以y 矿“”们d x d y 比较2 4 式与2 5 式，可知 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 坷只( ) 】2 f ( u ，v ) i 一2f ( u ，o ) ( 2 - 6 ) 西北工业大学硕士学位论文 第二章图像重建的数学基础 即f ( x ，y ) 沿y 轴投影的一维傅立叶变换给出了f ( x ，y ) 的二维傅立叶变换 f l u ，v 】在“轴上的一个切片。 式( 2 6 ) 反映了图像在垂直方向的投影和二维傅立叶变换之问的关系。设坐 标系阮，只) 是由坐标系o ，_ y ) 绕原点o 旋转角度巾得到，它们的转换关系是 ( 硝= 删s i n 妒胎l ( x ( 2 - 7 ) 用函数g ( ，”) 表示原坐标系“力下的函数f ( x ，力，显然有 g ( ，”) = 厂瓴力( 2 - 8 ) 在心，”) 坐标系中沿着垂直于_ 轴方向得到的投影可表示为 弓( ) = e g ( ，”) 咖( 2 - 9 ) 由式( 2 4 ) 可得该投影的一维傅立叶变换为 s ( 力= g ( ，”) 咖卜“辨缸= g ( ，只芦”“戤奶( 2 - 1 0 ) 由雅可比行列式可得 匆咖= 霞；耋钆0 x , ，0 钏y , 叻，= i 蜀：引嘞= a x a y g 小， 将式( 2 9 ) ( 2 1 1 ) 代入式( 2 1 0 ) ，整理后得到 s ( 力= 厂o ，y ) e - n 酬。“# + y c m c ) d 谚( 2 - 1 2 ) 等式右边表示图像在空域向量似，v ) 上的二维傅立叶变换，其中“= p c o s 妒， 1 ，= p s i n 尹，亦即 只( 力= f ( p c o s 妒，p s i n ) ( 2 t 3 ) 这个公式就是傅立叶中心切片定理。由于二维平面中函数触的平行投影等 于其雷当变换，傅立叶切片定理实际上建立了雷当变换和傅立叶变换之间的关系。 这个定理可以推广到更高的维数，即函数厂( ) 的n 维傅立叶变换等于其雷当变换的 一维傅立叶变换【1 1 。利用这一原理可直接进行图像重建，重建的步骤是：由中心切 片定理可知，如果我们在不同的角度下取得足够多的投影函数数据，并作它们的 傅里叶变换，那么变换后的数据就将充满整个功平面。一旦频域函数，0 ，d 的 全部值得到后，将其作一次傅里叶反变换，这样就得到了原始的密度函数f ( x ，) ，) ， 也就是我们所要重建的图像。这种重建的方法称为直接傅立叶重建方法( d f m ) 。 其中二维d f m 方法比较容易实现，三维d f m 方法6 1 1 7 1 比较复杂，很少使用，在后面 的重建方法中我们将进行详细介绍。 9 莲薯l ：工业太攀硬士学位论文第二章图像重建鲤数学基础 2 3 雷当反变换 图像重建的核心问题是如何根据物体的密度函数的投影数据来反求函数，这 是个典型的数学求逆闯题。如果南投影数据获得密度瀚数的雷当空阐数据，那么 飙纯数学麓躐点主，圈像重建麴棱，心润题藏演绎麓能隽雷当变换的求逆润越。下 面剩蔫簿巍卧孛心甥等定理来攘簿二维雷当爱变换。 如图2 珥中，待建图像为舷，它的二维傅盛叶变为脚，d p ，谚。根据 中心切片定理，双p ，庐) 可以通过删在不同角度4 , - f 的投影p ( z r ) 的一维傅立叶 变换求得。 待重建蘑像为： p 一蝴 _ 、 ， 3、渤 钆1 0 i l l ， l r l l | i ，一产、 i i 瓶y )| 1 火 o 汹i 、 ( 一妒 j ：胖 ， ， 图2 4 摊鼯雷当逆变换所采用的嫩标蒹 f ( u ，= 慨一；溉辘麓；烈岛擞 # 一i 4 ) 刚待重建豳像为： 夕( r ，彤= ，( 墨y ) = f 【，o ，】= f 秘，谚掌( 蝌咿，d 甜d v = r 梦( 热神一2 缈州扣由i p l d p d 矽= j c r p c 岛鳓群豫缈州弘舯纠d p d 庐 ( 2 - 1 5 ) 知，彤= r 却| 矧联热妒矽黧秽酬蝴和 档一1 6 ) 在推导上式时，利用了( ) 一( 一c o s 醯稳哆、| 嚣、，u = p c o s 庐s i nc o s ) k y ) l vp s m ，l 只k 一 妒庐 同时，缴殛由j a c c o b i 行丽i 我褥凼的微分美桑式锄下2 1 0 瑟魏工韭夫攀磷攀叠论文筹二章图像重建鹣数学基础 吲聊i 蜘翰剃印叫嚣篇卜= p d p d 萨 对式2 ，1 6 不同韵数学变形，就导致不同的物理解释，并能推导出幂闭的重建 算法。幽2 - i 6 戴推导出滤波或卷积疲投影算法。下面黠2 。1 6 式进行另辨一种数学 变形，来推嚣鬈辫爰变换重建黧法。 如，毋= r 却汹烈办咖理铲渺辩和 霉f 却1 p l p ( p ，力露嘲劬 a * 1 7 ) 翔图猫所嚣，薅- r 酬g - ) 莞空域变量，p 隽频域变量，鳆羁辨为投影鳃 博立叶变换e 逶瓣蒋葱所述，霹把戴露- l 的第二个积分遴瓣势频域函数矧联岛彩 的傅立叶反变换，则 i l p ( p ，妒) 一2 辫i 拦一卅p i p ( p ，鳓】 - 1 8 ) 由于l p l 联热妒) = i p 硪岛卓i x - i ：s g n ( 瑚，其中糯暇霸袭示符号函数。嘲于。 谚联砖辩与委掣、喇力鸯上分裂戛为薄立畸变换对，募掇据时蠛卷 积定理得 胁i 撕如= 瓦1 掣去 将上式代入劐2 - 1 7 式，可得 如加去r 掣毒嘉一聱 = 去r = 一l l 2 万山h 羽蟛 蠓* 1 9 ) 上式就是经典的二维雷当逆囊换公式。雷当逆变换爱投影重建算法，在数学 形式上取得了与雷当变换理论体系的完美统一，可以认为图像重建问煎理论上等 价于求投影的黼当逆变换。但是，由予式( 2 1 8 ) 中微分项的存在，公式对投影p 的 微小误差极为敏感。实际上p 是测量值，由于x 射策焦点的太小、射豪硬化、散 射以爱探测嚣蒙元瓣不一致性馕投影存在误差，燕之霉一r c o s ( o 一鳓楚鳇积分时奇 点零l 起熬误麓，蓠当逆变换反投影耋建雾法禹前在商懑e 霪中未得到瘦用。 同理可以从兰维傅立叶切片定理出来，可以推导融兰维雷当变换的逆变换公 式，其中的推导过程在此不必赘述，直接给出推导的结果。 髓 鹾j 基工监大学硕士学位论文筹二章图像重建的数学基础 八耻萨- 1l rr 。吾p 佩蒯一s 赫e a g a o ( 2 - 2 其中r ( x ，袭示以霸为法簌、为坐标原点到平面的距离所确定平厩的面积 分。可霓为了褥剿。媾，就是要计黧雷当变换豹反变换，瞬所有的重建方法都归 结为对蓄娄邀囊换匏计算。对于三雏平行投影，谶算投彩平瑟的面积势鞔悬平面 与探测器交线的袭探测器平面内的线积分。丽对于镶柬投影，由于锥柬射线麴发 散性质，无法国锥束投影直接褥到投影平面的面积分，因此成为锥柬羹建的一个 很大障碍。 2 。碡投影数据与雷当变攘的美系 在二维情况下，兵黔的投影就燕它的雷当变换，即挎， ) 沿x 骞重线的线积分。 在三维情况下就比较复杂。三维臀当变换是由平面上的积分组成，因此，在重建 物体之间，融x 射线产生的线积分必须转换为面积分，这样理论上才可以利用公 式进行重建。 辩于平行投影，送静转换缀容器实现。麴图新暴，设袭珐露确定三维塑闻皆麴 投影平嚣，在该平面内的坐标系是蝴，劂s 方向酶投影为 联厶) ) = e ；( t ，s ) 幽 g _ 2 1 ) 该平面上的蕊积分为： r ( n ，力嚣e 厶秘，s )