（电力系统及其自动化专业论文）基于虚拟节点变压器模型的极坐标最优潮流.pdf

点法对基于传统变压器n 型等值电路的o p f 模型和基于虚拟节点变压器的 o p f 模型分别求解。在相同的环境下，对t e s t4 、i e e e1 4 3 0 0 节点和 s 1 0 4 7 节点等7 个测试系统进行仿真实验，仿真结果证实两种变压器模型 的等价性及基于虚拟节点变压器的o p f 模型的优越性。 关键词：电力系统最优潮流极坐标虚拟节点有载调压变压器 原始一对偶内点法 u a no p t lm a lp o w e rf l o wm o d e lb a s e do na t r a n s f o r m e rm o d e lw l t hav i r t u a ln o d el n p o l a r c o o r d in a t e s a b s t r a c t o p t i m a lp o w 盯f l o w ( o p f ) i sac o m p l e xn o n - l i n e 盯p r o 掣锄m i n gp r o b l 锄ni s 也c o p t i l i l i z a t i o n 趾2 l l y s i so f 咖b l em i l i l i n g 0 p fm u s tm e e tm er e q u i r e m e 鹏o fm e “e so fm e p o 、v e rs y s t e mo p e r a t i o na n ds e c 证t yc o n s t m i n t s b ya d j u s t i n gc o n t r o lv a r i a b l e so fn l es y s t e r 玛 i tc 锄o p t i m i z et 1 1 ep a r a m e t e 俗o ft h en e n d e dt a r g e tf i l i l c t i o n w i mn l er a p i dd e v e l o p m e n to f t l l ep o 、e rs y s t e m ，m o r e 龇l dm o r ec o n t r o le q u i p m e n tt 0b eu s e df o rp o w e r 酣d si i lm e d i a t i n g s y s t e m so p e r a t i o n t h e s ed e v i c e sp u ti n t ou s ei no p t i m i z i n gt h er u 姗i n g 、a yo ft l l es y s t e m b u t ，a tm e 湖l et i i i l e ，i tm a k e st h el a 玛eo p t i m a lf l o wp r o b l e m sm o r ec o m p l i c a t e d 锄da n 硫r e 嬲ed i 佑c u l to ft i l e i r 锄a l y s i s 锄dc a l c u l a t i o n t 】渤峪f 0 珊e ri so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o n t r o le q u i p m e mi i lp o w e rs y s t e m ，w i d e l y 鹏e di ne v e r yc o m e rw i l i c hc u r r e n t 觚dv o l t a g ei l e e dt oc h 锄g e m o r em 趾m e p r e v i o u sr n o d e l ， o p fi sb 嬲e d0 n 协e 的d i t i 伽m 仃a r l s f o n i l e r - 够p ee q u i v a i e n tc i r c u i tne 啦l b l i s h e d 1 i l i sm o d e l c 锄n o tb ed i r e c t l yr e n e c t e di nt l l es u r g ev o l t a g et r a n s f i o m e r sr e g u l a t o r ) rr o l e 觚di sc o m p l e x t 0n l ea n a l y s i s 砒l dc a l c u l a t i o i lb a s e do nt h ev i m 埝li l o d e 缸锄s f o 姗e rm o d e l ，证p o l 盯 c o o r d i 舱t e ss y s t e m ，w ee s t a b l i s h e dan e wo p fm o d e l 、v 1 1 i c ht l l eo b j e c t i v e 缸l c ：_ t i o ni st o m i i l i m i z e 唧i e r a t i n gc 0 s t s t h eu 鼹o ft l l e 谢d e l yu s e dp 0 1 a rc o o r d i i l a t e st h a tn o to m y t 0r e f l e c t 也ep o w e ro ft l l ep h y s i c a lp a r 龇n e t e r so fs i g n i f i c a n c eb u ta l s ot 0m a k em em o d e h n o r ec o n c i s e ， e a s yt ou 1 1 d e r s t a l l d ，锄a l y s ea l l dm e m o 巧t h ei m p o no fv i r t u a ln o d e s ，w l l i c hp 啦t h e 恤n s f o m e rv o l t a g e 锄p l i t u d er e p l a c ev 撕a b l er a t i o ，f e d l l c e dt l l en 啪b e ro fv 2 u r i a b l e so f e x p r e s s i o l l s a tt h es 锄et i m e ，f o l e q u a l 时c o n s t r a j n t so ft h ej a c o b i a i la 1 1 dh e s s i 锄m 缸x ，t h e l l l r e d u c t i o ni nt l l em m l b e ro fn o n z e r 0e l e m e n t s 、v e r er e d u c e da tl e a s ti nt l l e 玎u m b e ro f t r 龇l s f 0 蛐e r s2t i m e sa i l d6t i m e s ，t l l u sr e d u c i n gt l l e 锄o u n to fc o m p u t a t i o n u s i n gm a t l a bp r o g r a m m i n g ，i np o l a rc o o r d i n a t e ss y s t e m ，、e 印p l i e dt h ep r i m a l d u a l i n t e r i o rp o i n tm e t h o dt 0s o l v et h eo p fm o d e lb a s e do nt l l et r a n s f 0 彻e rm o d e lo ft m d i t i o n a l 哆p ee q u i v a l e n tc i r c u i ta n db a s e do nv i r t u a ln o d e s 仃觚s f o m e rm o d e lr e s p e c t i v e l y i nt h es a n l e c i r c 啪s t a i l c e s ，w cd i ds u c ha st e s t 4 ，i e e e l 4 3 0 0a n ds 一1 0 4 7n o d e ss e v e nt e s ts y s t e m s s i m u l a t i o n s i m u l a t i o nr e s u l t sc o i mt l l ee q u i v a l e n c eo f 觚。把a 1 1 s f o m a lm o d e l 肌dm e s u p e r i o r i 哆o f 锄so p f b a s e do n at m s f o 册e rm o d e l 谢t hav i r t u a ln o d e s k e yw o r d s ：p o 、e fs y s t e m ； o p t i m 甜p o w e rn o w ( o p f ) ； p o l 盯c o o r d i n a t e s ； a d u m m yn o d e ；t h eo n l o a dt o pc h a n g i n g ( l r c ) 觚l s f o m l e r ；p r i m a l d u a li n t e r i o rp o i n t m e t h o d ( p d i p m ) 主要符号说明 m i n ：最小化 口2 ，口l 。，口o f：发电机f 的耗量特性曲线参数 吃，如 p d i qd i e t ， l g q ，b4 ( ) ，( ) s 口 s g s r s l 毋 弓 形，嗔 匕，嘞 ( x ) 厅( 力 g ( z ) 而 ：发电机f 的有功、无功出力 ：节点f 的有功、无功负荷 ：f 节点电压值的实部、虚部 ：节点导纳矩阵第行亍第，列元素的实部、虚部 ：变量或参数的上下界 ：绝对值 ：所有节点集合 ：所有发电机集合 ：所有无功源集合 ：所有支路集合 ：线路j 的有功潮流 ：两端节点为f 、线路的有功潮流 ：节点珀勺电压幅值、电压相位 ：节点导纳矩阵第f 行第_ ，列元素的幅值、相位 ：目标函数 ：等式约束条件集合 ：不等式约束条件集合 ：迭代初始点 v x ( )：第七次迭代点 厂7 ( x ) s y ，z ，w ，甜 弘 g 印 厂 s t e pp ，s t e p d 岛，口珂 6 口 吃 厶 z l | | t t z + 正一 ：函数( x ) 的一次偏导 ：容许误差 ：l a g m g e 乘子 ：松弛变量 ：障碍因子 ：互补间隙 ：不等式约束个数 ：迭代步长 ：变压器支路导纳的幅值、相位 ：节点f 与节点j 间的相位角 ：虚拟节点坍的电压幅值 ：与节点f 相邻所有节点的集合 ：与节点f 相邻有载调压变压器支路节点的集合 ：表示除了与节点f 相邻有载调压变压器支路的节点集合以外所有 与节点f 相邻节点的集合 ：与节点f 相邻有载调压变压器高压侧节点的集合 ：与节点f 相邻有载调压变压器低压侧节点的集合 v i 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 敝作者签名1 矾b 豫蒯年月习日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文： 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： ， 日即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 椰撇：圈冲6 日 广西大李蝎炙士掌位论文 基于虚拟节点曩：压嚣模型的辍垒标最优潮流 1 1 最优潮流概述 第1 章绪论 电力系统最优潮流( o p t i m a lp o w e rf 1 0 1 暇o p f ) 是一个复杂的非线性规划问题，是 对系统稳定运行状态的一种优化分析。它要求在满足一定的电力系统运行和约束条件 下，通过调整系统中的控制变量来实现预定目标函数的最优。预定目标有优化资源配置， 降低发电输电成本，减少输电过程中的电能损耗，提高对用户的服务质量等。最优潮流 把潮流计算、电力系统经济调度和安全约束等有机地融合在一起，以潮流方程为基础， 对电力系统进行经济性与安全性的全面优化。利用最优潮流计算能将电力系统安全性和 电能质量等问题量化为相应的经济性指标，同时考虑网络的安全性和经济性，所以在电 力系统的安全运行、经济调度、电网规划、可靠性分析、传输容量估计、网络阻塞管理 等方面应用得非常广泛【1 1 。 1 。1 1 最优潮流的提出及发展 电力系统最优潮流可以追溯到上世纪2 0 年代提出的经典经济调度法由于采用经 济调度方法进行电力系统经济调度确实能为电力系统节省成本，因此经典经济调度在世 界范围内得到了广泛的应用。 但在7 0 年代末期国内外几次大的电力事故发生后。使入们越来越注意并意识到仅 仅关注强调经济性的经济调度是远远不够的，必须充分重视电力系统运行的安全性。8 0 年代以来，许多学者提出了一系列解决这一问题的方法例如：考虑线路安全约束的经 济调度、计及n 一1 线路安全约束的经济调度等。这些方法在根据系统负荷的需求对发电 机输出功率进行经济调度的同时，能够考虑正常甚至非正常运行状态下线路的安全约 束，避免了线路潮流越界情况的出现。使得在进行经济调度的同时能部分地兼顾系统运 行的安全性】。然而经济调度法关注的只是发电机有功分配的合理性和经济性问题， 约束式只包含有功潮流方程两不含无功潮流方程。其最初蛊冬基本模式决定了经济调度法 不能够完成电力系统经济性与安全性并驾齐驱的功能，它始终是将经济性作为首要目标 的。随着当今世界电力系统规模日益扩大及一些特大事故的频繁发生，电力系统运行的 安全性被提到一个新的高度上来，人们越来越迫切地要求将经济和安全问题统一考虑。 二十世纪6 0 年代初，法国电力公司( e d f 的j c a 叩e n t i e 一1 0 1 提出最优潮流的概念， 并把它描述为严格的非线性箴划问题。此规划模型在以往经典经济调度原理的基础上， 兼顾了系统运行的经济性和安全性要求，是经典经济调度的拓展与延伸。首次成功求解 广西大掌硕士学位论文 基于虚拟节点变压器模型的极坐标最优潮流 最优潮流的是h w d o m m e l 和w f t i n l l e y i n l 。他们在传统潮流迭代算法的基础上， 引入数学优化理论中的寻优思想来求解此问题，拉开了最优潮流研究的序幕。 经过四十多年的发展，最优潮流综合了越来越多的电力系统问题，解决最优潮流问 题的最优化方法也是f 1 新月异。如今的最优潮流问题正朝着全面解决电力系统问题的方 向快速发展。 1 1 2 最优潮流与潮流计算的比较 潮流计算是电力系统稳定分析中最基本的计算，它的任务是根据给定的运行条件确 定系统的运行状态，如网络中各节点电压，输电线路上的功率分布及功率损耗情况等。 从本身的定义及性质来讲，常规潮流是根据给定的网络连接状态和其他已知条件， 求出系统中的未知量。大多数情况是已知电源点的电压和负荷节点的功率，要求负荷点 电压和功率分布情况。通过计算能够得到电力系统某个状态的详细运行状态，所完成的 仅仅是一个层面的数据分析与计算；而最优潮流是当电力系统的网络连接状态、元件参 数及负荷等情况给定时，通过调整控制变量找到满足所有指定的安全约束条件并使系统 一个或多个性能指标达到最优时的潮流分布状态。最优潮流能根据特定的目标函数，在 满足大量等式与不等式约束条件下，适当调整控制变量，实现系统运行的经济价值或社 会价值的优化。 从数学角度分析，潮流计算只是通过分析潮流方程本身来获得未知量，是一个求解 方程组的过程；而最优潮流问题是数学规划问题，它除了包含目标函数、潮流方程等式 约束之外，还必须包含系统运行安全性、稳定性所涉及的大量不等式约束条件。潮流计 算的算法是求解非线性代数方程组的迭代方法，一般采用牛顿一拉夫逊法；最优潮流的 算法采用求解规划问题的最优化方法迭代求解，如内点法。 1 。1 。3 最优潮流与经济调度的比较 经典经济调度是指系统总的发电量大于总的负荷需求时，系统中参加运行的机组已 经确定的情况下，将负荷需求优化分配给各发电机组，实现整个系统的燃料消耗量或发 电成本最小。可以将它描述为一种简单的线性规划问题，模型中的目标函数一般为燃料 耗量最小或者发电成本最小，约束条件包含发电机发出的有功功率限制和少量的线路安 全限制。 经济调度的发展历经了基本负荷法、最优负荷点法以及等微增率法三个阶段，目前 世界上广泛采用的是以等微增率法为基础的方法，各国电力公司采用的实时优化调度程 序也多是基于经典经济调度的数学模型【1 2 】。 经典的经济调度与最优潮流相比，其主要的优点是计算速度快，这对于实时在线应 用是非常重要的。虽然在安全性约束的问题上，经典经济调度根本没有办法跟最优潮流 相比，但经典经济调度的速度优势、方法简单性及实用性却是后者无法比拟的。以致于 2 广西大掌硕士掌位论文基于虚拟节点变压器模型的档皤皂标最优潮流 在发展了近四十年的今天，最优潮流仍然无法撼动经济调度在电力调度的核心位置。 基于等微增率协调方程式的经典经济调度法虽然方法简单、速度快、可在线实时应 用、具有很强的实用性；但它只考虑发电机有功功率的优化调度，没有对有功、无功进 行协调优化，存在着许多系统运行的安全隐患。最优潮流作为现代经济调度的重要手段， 可看作是前者的延伸和发展。相对经典经济调度理论，它有两个概念上的基本发展：统 一考虑了系统运行的经济性与安全性：统一考虑了有功与无功功率的调度。最优潮流以 最优化理论为基础，充分考虑经济性指标和安全稳定运行约束，真正体现了综合优化的 思想，实现了对整个系统最优调度的目的。 由此可知，最优潮流实现了系统运行综合最优调度的目的。它将逐步取代经典经济 调度在优化运行中的地位，使电力系统进入最优运行的新时期。 1 1 4 最优潮流面临的挑战 2 0 世纪9 0 年代以后，电力市场的开放为最优潮流的发展注入了强劲的动力。在技术 上，由于增加了更多新约束如机组爬升率、水电站的水头控制、系统暂态稳定及电压稳 定等，使得最优潮流的模型更加复杂：在内容上，除了传统的经济调度控制外，还必须 解决如网络阻塞管理、节点实时电价等新问题；在经济上，不仅要求发电成本最低，而 且还要合理地分配发电、输电及一些辅助服务等成本，同时也要求能合理地分配利润。 面对上述的种种挑战，最优潮流之路任重而道远。： 随着最优潮流理论的上述发展和日趋实用化，我们在最优潮流模型加入了一些新的 控制变量，例如有载调压变压器、并联电容电抗器、f a c t s 设备等。这些设备的相关 参数在数学模型上呈现出高维度、非线性、离散等特性。在最优潮流计算中，处理这些 设备的相关运行问题显得尤其重要。变压器的电磁特性影响着电力系统的性能和正常运 行，它是电力系统最重要的设备之一，其模型在潮流计算中大量用到，在最优潮流计算 中的地位也十分突出。因此，建立变压器的模型和模型的简化是一件很重要的工作。 目前的o p f 模型多是基于传统的变压器n 型等值电路建立的，该模型与线路模型 类似，能够很方便地与线路的参数融入一体从而组成整个系统的节点导纳矩阵。在潮流 计算、不含有载调压变压器支路的最优潮流等问题的求解中，这种应用能够极大地简化 计算。但是，变压器n 型等值电路不能直观地反映出有载调压变压器对电压的调节作用， 而只能通过计算表达式看出；通过该模型得到的相关潮流表达式复杂，不利于人们理解 和分析计算；模型的参数包含二次项且随变压器变比的改变而不断变化。找一个更适合 含有载调压变压器支路最优潮流的变压器模型成为当务之急1 1 2 最优潮流模型及算法 自2 0 世纪6 0 年代初j c 唧e n t i e r l l 0 1 提出最优潮流的概念以来，广大学者对最优潮流 基于虚拟节点变压器模型的档l 坐标最优潮流 问题进行了大量研究。采用不同的目标函数及约束条件，可构成形式各样的o p f 模型； 而随着运筹学及计算机技术的发展，求解o p f 模型的方法也日新月异。 1 2 - 1 最优潮流的模型 o p f 模型中，变量主要分为两大类：一类是控制变量，是可以人为控制的自变量， 通常包括发电机组有功出力、发电机及同步补偿机的无功出力、有载调压变压器抽头位 置、移相器抽头位置和并联电容电抗器容量等。另一类是状态变量，是控制变量的因变 量，包括各节点电压和各支路功率等【l j 。 最优潮流有多种目标函数可以选择，最常用的形式是系统运行成本最小和有功网损 最小两种。 最优潮流的约束条件包括等式约束和不等式约束，用以保证电力系统的安全和协调 运行。最优潮流是优化后的潮流，其等式约束厅( z ) = 0 一般为各节点有功功率和无功功 率平衡约束；不等式约束g g ( 功g 包括以下各种安全约束： 各发电机有功出力约束； 各发电机及同步补偿机无功出力约束； 各节点电压幅值约束； 有载调压变压器及移相器抽头位置约束； 并联电抗器及电容器容量约束； 各支路传输功率约束。 由此可见，目标函数及等式与不等式约束大部分都是变量的非线性函数，因此电力 系统最优潮流是一个典型的有约束非线性规划问题。 采用不同的目标函数、约束条件和变量选择可构成不同的最优潮流，可以将它分为 如下几类： 目标函数选取系统运行成本最小，平衡节点以外的有功电源出力、无功电源出力 及有载调压变压器变比为控制变量，对有功和无功进行综合优化的求解问题即通常泛称 的最优潮流； 目标函数选取系统运行成本最小，仅以有功电源出力及有载调压变压器变比为 控制变量而将无功电源出力固定的最优潮流即有功最优潮流。许多电网调度自动化系统 中使用的安全约束调度模块从理论本质上来讲属于此类问题； 目标函数选取系统有功网损最小，仅以无功电源出力及有载调压变压器变比作 为控制变量而将有功电源出力固定的最优潮流即无功优化。它在减少系统有功损耗的同 时，还能有效地改善电压质量。 电力系统调度运行研究中常用的最优潮流是以系统运行成本最小为目标函数，其直 角坐标下数学模型如下： 目标函数： 4 广西大学硕士掌位论文基于虚| 搴。审点变压器模型的相曙色标最优潮流 n 血心，璧+ 口u 圪+ ，) ( 1 一1 ) j 品 约束条件为： n1 圪一一p ，( g e 厂色乃) + z ( q 乃+ 岛p 埘= o l 产1 。户1 。 f & ( 1 - 2 ) 一疗i p 瓯一鳓一【叫，( g f 乃+ 岛p ) + z ( g ! f f 巳一岛乃) 】= o l 土lj 罩t j g j 圪f ( 1 3 ) 垒甩缆鳊 f 品( 1 q 匕，杉矿， fe & ( 1 5 ) l o i = l 乞l = l ? + z 2 一巳巳一z 乃) g l ，+ ，乃一p z ) 岛i s ， ，s( 1 - 6 ) 以上模型中式( 1 2 ) 为等式约束，即节点功率平衡方程；式( 1 3 h 1 6 ) 为不等式约束， 依次为发电机注入有功约束；无功源注入无功约束；节点电压幅值约束和线路潮流约束。 其中，q 和z 分别代表f 节点电压值的实部和虚部；e ，和乃分别代表节点电压值的实 部和虚部；g l ，和岛表示节点导纳矩阵第f 行第列元素的实部和虚部。i l 表示线路支 路功率的绝对值，式( 1 6 ) 等价于一尸，e p ，。 在该o p f 模型中，最复杂的是等式约束部分( 1 2 ) 。我们可以看到，用直角坐标的 形式进行描述，得到的潮流表达式分为很多部分，各部分组合在一起显得非常复杂。是 否有其他的表达形式可以简化该等式? 进而减少计算量? 怀着这种想法，我们考虑尝试 着用极坐标的表达方式，得到以下形式： n1 一如一k 吃巧c o s 嘭= ol - 二 ( 1 - 7 ) 一如一形_ 巧s i l l 嘭= o l 产l j 其中，k ，4 分别代表节点f 的电压幅值和相位；匕，分别表示节点导纳矩阵第f 行第j 列元素的幅值和相位；彤= 4 一万，一。 对比式( 1 - 2 ) 及式( 1 7 ) 可以看出，极坐标方式下的表达式更加简洁。我们将沿着极坐 标这条道路往下走，在进行新的最优潮流模型的建立和求解过程中慢慢体会这种表达方 式究竟会产生多大的影响。 1 2 2 最优潮流的算法 迄今已经提出的求解o p f 模型的最优化方法有很多种，归纳起来有线性规划法、 非线性规划法、二次规划法、混合规划法以及目前应用非常广泛的内点算法和人工智能 算法等。现分别叙述如下： 5 基于虚拟节点变压器模型的极坐标最优潮流 线性规划法( l i n e a rp r o g r a m m i n g ，l p ) 是在第二次世界大战期间才发展起来的一种 非常重要的数学规划方法，是企业在做产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运 筹学最重要的一个部分，在理论上表现得最完善，实际应用得也最广泛。主要用于分析 有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最优的调配和最合理的使用，以便 最充分地发挥资源的效能，从而获取最佳的经济效益。数学上，线性规划法是在线性约 束条件下，寻找线性目标函数的最大值( 或最小值) 的优化方法。此种现行的规划方法 如何用于求解最优潮流这类典型的非线性规划问题呢? 我们通常先把o p f 问题分解为 有功和无功两个子优化问题，然后将非线性目标函数和约束等式用泰勒级数进行近似线 性化处理。1 9 6 8 年，w e l l s 【1 3 】首次提出用线性规划法求解经济调度问题。以成本最小作 为目标函数，包含安全约束，建立经济调度的数学模型。其基本的算法思想是将目标函 数和约束条件线性化后用单纯形法求解。其算法存在两点很大的缺陷： 在不可行条件约束下，最终的收敛结果不是最优解； 由于计算中保留位数取舍的限制，约束可能出现过负荷现象。 但是，该类算法却表现出了非常有前途的计算性能，具有很好的实用前景。 非线性规划法( n o n - l i i l e a rp r o 鲈a i r 吼i n g ，n l p ) 是2 0 世纪5 0 年代才开始逐渐形成 的，是一门较新的理论。非线性规划是具有非线性目标函数或约束条件的数学规划，它 分为无约束非线性规划和有约束非线性规划。有约束非线性规划方法的基本思想是先利 用拉格朗日乘子法、罚函数法等建立增广目标函数，将有约束非线性规划问题转化为无 约束非线性规划问题，再利用不同的数学优化方法求解。0 p f 问题中包含等式及不等式 约束，是典型的有约束非线性问题。与只利用一阶偏导信息的梯度法不同，非线性规划 法利用二阶偏导信息，建立订条件，利用求解非线性问题的经典方法一牛顿法进 行迭代，不仅利用了目标函数在各迭代点的梯度变化趋势，而且还利用了目标函数的二 阶导数，具有二阶收敛性，速度更快，收敛更迅速。正因如此，非线性规划法常常被用 于解决o p f 问题。第一个成功的最优潮流算法是d o m m e l 和t i 肌e y 【j 于1 9 6 8 年提出的 简化梯度算法。 二次规划法( q l l a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，q p ) 是非线性规划的一种特殊形式，它仅适 于求解目标函数为二次形式，约束条件为线性形式的规划问题。二次规划法的优点是比 较精确可靠；缺点是计算时间随变量个数和约束条件的增加而急剧增长，而且在求临界 可行问题时可能会不收敛。 混合规划法( m i x e dp r o 擎a m m i n g ，m p ) 是一种选取两种或两种以上方法联合求解的 方法。由于o p f 问题可分为有功子问题和无功优化子问题，且两个子问题呈现出不同 特性，所以可以选择两种或多种方法进行联合求解。例如，混合整数规划法、线性规划 与二次规划混合法等。大量实验表明采用不同规划方法联合求解有功、无功问题可以让 优化过程更加灵活，非常适合于电网调度自动化系统中的在线应用。 内点法( i n t e r i o rp o i n tm e t h o d ，i p m ) 最早是在1 9 5 4 年由f r i s h i l 4 j 提出来的，当时仅 适用于求解无约束优化问题的障碍参数法。随后又出现基于多面体中心和变量放射的内 6 广西大掌硕士掌位论文基于虚拟节点变压器模型的档曙色标最优潮流 点法，但他们的效果根本无法与单纯形法相比。因此，内点法的发展不被人们看好并一 度陷于低潮。伴随着线性代数理论及计算机技术的发展，1 9 8 4 年，贝尔实验室的美籍印 度学者k 锄酞a r 【1 5 】提出了一种用于求解线性规划的内点法，该算法被证明具有多项式 的时间收敛性。在计算大规模线性规划问题时，其速度要比单纯形法快5 0 倍以上，让 人们看到了它巨大的应用前景。随后，p e g i l l 【1 6 】将内点法的应用进一步扩展到非线性 规划领域。近些年，许多学者对内点法进行了广泛而深入的研究，一些以内点法为基础 的变形算法相继出现，使得内点法的性能更加优越，在求解电力系统优化问题中得到广 泛的应用【1 7 观】。本文将在第二章对其作详细介绍。 人工智能算法( a n i f i c i a li n t e l l i g e n c em e t h o d ，a i m ) 是近些年随着计算机和人工智能 等技术的发展而出现的。虽然线性规划、非线性规划等方法已经逐渐克服了在不等式约 束的处理、收敛性和计算速度等方面的困难，但在对离散变量的处理上却束手无策，没 有找到一个妥善的解决方法。而人工智能算法不仅能很好地处理问题中的离散变量，具 有很好的精确性，还能实现全局收敛。模拟进化规划法、模糊集理论、模拟退火算法等 人工智能方法已先后用于求解含离散变量的电力系统优化问题1 3 3 1 。但此法利用随机搜索 的原理，算法不具备稳定性，且有计算量大、速度慢的先天缺陷，很难适应电网调度自 动化系统的在线计算及电力市场的要求。 目前世界电力正在向着大规模系统、在线监测和计算、实时控制和调度、数字化等 方向高速发展。o p f 的发展需要紧跟时代的脚步，向着更全面、更快速、更精确的目标 前进。电力市场的出现也向o p f 提出了新的要求、新的挑战。在实时电价计算、阻塞 管理、输电费用计算、辅助费用计算等方面，o p f 已经逐渐开始体现自己的价值。对于 灵活交流输电系统下的o p f 问题，还有待进一步深入研究。考虑负荷变动和系统故障 情况下的动态优化潮流问题也同样值得期待。所有这一切都要求o p f 的计算速度更快j 收敛性更好、鲁棒性更强。随着计算机硬软件水平的不断提高和各种新型算法的出现， o p f 的问题仍有深入研究的必要，以满足不断发展的新形势下电力系统的各种要求。 1 3 本文的工作 本文的工作是基于对现代电力系统分析和最优化理论的系统学习之后进行的。在学 习过程中，逐步理解电力系统最优潮流的建立过程及求解方法，并得出自己对于相关问 题的个人观点及看法。特别是在理解o p f 问题时，从定义及发展方面了解了最优潮流 的轮廓，而在之后o p f 模型的建立和求解过程中，才逐步了解其精髓。 本文第一章在介绍了最优潮流发展历程的过程中，结合最优潮流发展现状，逐渐提 出其中可以进行改进的地方变压器模型和坐标形式，从而引出本文后续内容；第二 章用于介绍本文所用理论现代内点理论的历史及现状，并将详细描述基于l o 汀条 件的原始一对偶内点法求解非线性规划的计算过程，为求解本文所提o p f 模型打下坚实 7 基于虚拟节点变压器模型的极坐标最优潮流 的数学基础；第三章系统分析了传统模型自身的特点及存在的问题，并参照传统模型对 本文所应用的新模型做一个详细的介绍；第四章以前章所介绍的新模型为基础，建立新 的o p f 模型，并用第二章所介绍的内点法进行求解。文中给出了详细的计算过程；第 五章给出了七个系统的仿真结果，通过比较分析得出本文所题方法的优点；最后一章是 本文结论和未来展望。 广西大掣蛆薅士学位论文基于虚拟节点变压器模型的极坐标最优潮流 2 1 概述 第2 章数学基础 ： 最优化是一个古老的课题。长期以来，人们对最优化问题不断地进行着探索和研究。 早在1 7 世纪，英国科学家牛顿研究微积分的时代就已经提出极值问题，随后又出现拉 格朗日乘数法。1 8 4 7 年法国数学家c a u c h y 提出了目标函数值沿什么方向下降最快的问 题并提出最速下降法。1 9 3 9 年苏联数学家k a n t o r o v i c h 提出了解决下料问题和运输问题 这两种线性规划问题的求解方法。随着时光的流逝，。人们关于最优化问题的研究随着历 史的发展也不断深入。但是，任何科学的进步都受到历史条件的限制，直至本世纪三十 年代，最优化这个古老课题都还未能形成独立而系统的学科。 近几十年，由于生产技术和科学研究得到突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益 广泛的应用，一方面使得最优化问题的研究成为一种迫切需要，另一方面对于其求解方 法提供了有力的支撑。因此最优化理论迅速发展起来，形成一门新兴的独立学科。最优 化理论主要运用数学上的规划方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学 决策的依据。其研究对象是各类管理问题及其生产经营范围内的活动，目的在于针对所 研究的系统，找到一个运用人力、物力和财力最合理的平衡点，发挥和提高整个系统的 效能和效益，最终实现预定目标的最优。现在，最优化理论已出现了许多分支，包括线 性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等等。大量 理论和实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化理论已成为 现代管理科学中重要的理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到工商和公共管 理、经济决策、物资生产和武器制造等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 2 2 现代内点理论 内点法最初作为一种求解线性规划的算法，仅是为了解决单纯形法的计算量随变量 规模扩大急剧增加而提出来的。虽然内点法的发展过程有高潮也有低谷，但由于其能有 效地求解各类线性和非线性规划问题而逐渐获得人们的青睐并得到越来越广泛的应用。 2 2 1 内点法的产生 二次世界大战以来，随着社会生产的发展，人们需要求解的线性规划问题规模不断 扩大。大量的统计分析和理论研究表明，用单纯形法求解线性规划问题的平均迭代次数 9 广西大掣啊页士掌位论文 基于虚拟节点变压器模型的极坐标最优潮流 是约束个数的一个并不算大的倍数。因此，单纯形法的平均工作量是具有多项式时间性 的。但是，这是否就意味着对于任意的一个具体问题，其算法的复杂性是否也具有多项 式时间性呢? 1 9 7 2 年，k l e e & m i n t y 给出了一个具体的例子证明了该问题的答案是否定 的。尽管这一问题是人为设计的，也是最坏的一种可能。但它却表明，单纯形法作为求 解线性规划的一个算法，其算法的复杂性是指数时间的。这一结论并没有对单纯形法的 应用带来任何负面影响，仍然一如既往地得到广泛的应用。但研究工作者却因此提出了 两个问题：( 1 ) 对线性规划问题是否存在时间复杂性是多项式的算法? ( 2 ) 如果存在，如 何设计这样的算法? 对于第一个问题，前苏联数学家k h a c h i y a i l 在1 9 7 9 年提出了一种椭球算法来求解 不等式问题，并证明了该算法的时间复杂性是多项式的。该算法利用对偶理论，可以将 线性规划问题转换成不等式问题，这就明确地得出：对于线性规划问题存在着多项时间 算法。但是计算的实际结果表明，椭球算法的效果要比单纯形法差得多，并不是一个具 有很强应用价值的算法。 ， 对第二个问题的回答始于在美国贝尔实验室工作的印度数学家k a m a r k a r 在1 9 8 4 年的杰出成果，他对线性规划的求解提出了一个具有多项式时间复杂性的内点法。与单 纯形法沿可行域的边界寻优方法不同，k a m a r k a r 方法是从可行域内部点开始，沿最速 下降方向寻找最优解，故而将k a r i i l a r k a r 方法称为内点法。由于是在可行域内部寻优， 因此对于大规模问题，当变量数目或者约束条件增多时，内点法的迭代次数并没有显著 增加，而且计算速度和收敛性都远优于单纯形法。 该算法的提出在当时的学术界引起了巨大的反响，由此引发了对内点算法研究的热 潮。 2 2 2 内点法的发展及现状 随着线性代数理论和计算机技术的发展，内点法迎来了属于自己的春天。a r k a r 提出的内点法，其计算复杂性被证明是具有多项式时间的。该算法在求解大规模线性规 划问题时，其计算速度是单纯形法的5 0 倍以上，表现出单纯形法无法比拟的优越性。 这件具有划时代意义的重大创新揭开了内点理论革命的序幕，使内点法开始进入高速发 展时期。 1 9 8 5 年，美国s t a i l f 0 r d 大学的p e g i l l 【1 6 】教授证明了k 锄a r k a r 的内点法和经典的 对数障碍法之间存在着等价关系，这就使得k 锄a r k a f 方法由线性规划领域直接迈向了 非线性规划领域，并最终促成了自诞生之日起就处于分离状态的线性和非线性规划的融 合。1 9 8 9 年，m c s h a n ek a 证明了原始一对偶路径跟踪内点法要优于k a m l a r k a r 的内点 法刚。1 9 9 0 年，m e h r o t ms 提出了具有预测校正步骤的原始一对偶算澍3 5 】，并于1 9 9 2 年将其发展完善1 3 引。1 9 9 1 年，捷克人l u s t i gi j 将原始一对偶内点法扩展应用到带有界 变量约束的线性规划问题【3 n 。同年，l a s d o nl 将内点法应用于求解一般的非线性规划问 l o 广西大学硕士掌位论文 基于虚拟节点变压器模型的相l 叠色标最冒朝流 题【3 8 1 。1 9 9 7 年，v 觚( 1 e r b e i & s h a n n o 又将内点法进一步用于求解非凸的非线性规划问题 【3 9 j 。随着内点法不断的发展与创新，它已逐渐形成一种新的理论现代内点理论，并 且在不断的探索和实践中逐渐走向成熟与稳定。如今，内点法已经发展成为求解大规模 优化问题最有效的算法之一。 2 - 2 3 内点法的分类 在k a 珊a r k a r 提出线型规划的内点算法之后，一些以内点法为基础的变形算法不断 的被提出并大量用于各种实际问题的求解中，主要有以下三种： 投影尺度法( p r o i e c t i n gs c a l i n g ) 这是基于k a 订n 训滞原型的算法，该法是以标准的线性规划为基础，要求所解问题 具有特殊的单纯形结构且最优目标值须为零。在实际计算中，必须根据算法要求经过复 杂的变换将实际问题转化为标准形式，才能使用投影尺度法进行求解，所以该法仅限于 理论研究，并不具有很强的实用性。 仿射尺度法( a 伍n es c a l i n g ) 这是一类较为成熟的算法，最早可追溯到1 9 6 7 年d i h n 【4 0 】所提投影尺度法的一种变 形算法。目前应用最为广泛的是原仿射尺度法和对偶仿射尺度法，只是他们的多项式时 间性还没有能够从理论上得到证明。这类仿射尺度法的缺点是，如果算法初始点在可行 域边界附近启动时，可能会导致指数性的迭代次数；而且在出现退化的情况下，也很难 获得对偶解。尽管如此，它们解决实际应用的性能却非常好。而另外一类算法一原始 一对偶仿射尺度法则已被证明了具有多项式的时间复杂性。 原始一对偶路径跟踪法( p r i i 】脚d u a lp a mf o l l o w i n g ) 原始一对偶路径跟踪法又称跟踪中心轨迹法，它实际上是n e w t o n 法、l a 铲孤g e 乘数 法和罚函数法融合在一起的结果。i ，a g r a n g e 法将具有等式约束的优化问题转化为无约束 的优化问题；f i a c c o & m c c o 咖i c k 的罚函数法用来处理不等式约束条件1 4 1 j ；最后用求解 无约束优化问题最有效的工具- n e w t o n 法，沿着梯度方向迭代求取最优解。该类算 法已经从理论上证明了具有多项式的时间复杂性，而且收敛迅速，鲁棒性强，对初值的 选择不敏感，已经在优化领域中得到了广泛应用，是目前最有发展潜力的内点法。本文 所采用的基于扰动汀条件的原始一对偶内点算法( p r i m a l d u a l 锄e r i o rp 0 硫删l m o d ， p d i p m ) 是路径跟踪法的一种，在求解大规模优化问题时非常有效。 2 2 4 内点法的理论基础 内点法能够在求解大规模的数学规划问题上得到广泛应用，离不开前面提及的三个 理论基础：n e 、啪n 法、l a g r a i l g e 乘数法和f i a c c o & m c c o 珊i c k 罚函数法： n e 讯o n 法 n 翎胁n 法是求解非线性方程最有效的方法之一，其基本思想是反复地对非线性方 广西大掌硕士学位论文 基于虚拟节点变压器模型的相匕匕标最优潮流 法相关的近似线性方程进行求解，修正初始点使它不断逼近最优解，通常也称之为逐次 线性化过程。 对于非线性方程组厂( x ) = 0 ，给定初始点x o ，石可以表示为