空间中的垂直关系(带答案).doc

_空间中的垂直关系 专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线 于一点或经过 后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并 且和这个平面内的_，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面互相垂直，记作l.2.判定定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 于这个平面.推论：如果两条直线 同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离： 长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面，互相垂直，记作.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一 线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCDA1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点（ ） 求证：B1D1AE；（ ） 求证：AC平面B1DE【解答】（）连接BD，则BDB1D1，ABCD是正方形，AC BDCE平面ABCD，BD平面ABCD，CEBD又ACCE=C，BD面ACEAE面ACE，BDAE，B1D1AE（5分）（）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF E、F是C1C、B1B的中点， CEB1F且CE=B1F， 四边形B1FCE是平行四边形， CF B1E 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点， EFBC且EF=BC又 BCAD且BC=AD， E FAD且EF=AD 四边形ADEF是平行四边形，可得AFED， AFCF=C，BEED=E， 平面ACF平面B1DE 又 AC平面ACF，AC面B1DE 【变式2】如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1（ ）证明：EA PB；（ ）证明：BG 面AFC【解答】（）证明：因为面ABCD为菱形，且ABC=60，所以 ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EAAB又PA平面ABCD，所以EAPA 而ABPA=A所以EA面PAB，所以EAPB （）取PF中点M，所以PM=MF=FD连接MG，MGCF，所以MG面AFC 连接BM，BD，设ACBD=O，连接OF，所以BMOF，所以BM面AFC而BMMG=M所以面BGM面AFC，所以BG面AFC 【变式3】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=，AA1=2（1）证明：AA1 BD（2）证明：平面A1BD平面CD1B1；（3）求三棱柱ABDA1B1D1的体积【解答】（1）证明：底面ABCD是正方形， BDAC，又 A1O平面ABCD且BD面ABCD， A1OBD，又 A1OAC=O，A1O面A1AC，AC面A1AC， BD面A1AC，AA1面A1AC， AA1BD（2） A1B1AB，ABCD， A1B1CD，又A1B1=CD， 四边形A1B1CD是平行四边形， A1DB1C，同理A1BCD1， A1B平面A1BD，A1D平面A1BD，CD1平面CD1B1，B1C平面CD1B，且A1BA1D=A1，CD1B1C=C， 平面A1BD平面CD1B1（3） A1O面ABCD， A1O是三棱柱A1B1D1ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1在RtA1OA中，AA1=2，AO=1， A1O=， V三棱柱ABDA1B1D1=SABDA1O=（）2= 三棱柱ABDA1B1D1的体积为【变式4】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1 底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点（1）求证：AE平面BCC1B1（2）求四棱锥AB1C1FE的体积；（3）证明：B1EAF【解答】（1） AB=AC，E是BC的中点， AE BC在三棱柱ABCA1B1C1，中，BB1 AA1， BB1 平面ABC， AE平面ABC， BB1 AE，（2分）又 BB1BC=B，（3分）BB1，BC平面BB1C1C， AE平面BB1C1C，（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥AB1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，=SCFE=4=11（6分）=AE=（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE平面BB1C1C， B1E平面BB1C1C，AEB1E，（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F=5，B1E=2，EF=， B1F2=B1E2+EF2， B1EEF（9分）又 AEEF=E，（10分）AE，EF平面AEF， B1E平面AEF，（11分） AF平面AEF， B1EAF（12分）【变式5】如图，四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC BC；（2）求三棱锥CDEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由【解答】（1）证明：PD平面ABCD，PDBC又ABCD是正方形，BCCD又PDCD=D，BC平面PCD又PC平面PCD， PCBC（2） BC平面PCD， GC是三棱锥GDEC的高 E是PC的中点， SEDC=SPDC=（22）=1VCDEG=VGDEC=GCSDEC=1=（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA平面MEG证明：E为PC的中点，O是AC的中点，EOPA又EO平面MEG，PA平面MEG，PA平面MEG在正方形ABCD中，O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CBOCGOAM，AM=CG=，所求AM的长为【变式6】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面A1B1C1，A1B1B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点（ ）求证：A1BAC1（ ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E平面A1BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由【解答】（）证明：连接AB1 BB1平面A1B1C1 B1C1BB1 B1C1A1B1且A1B1BB1=B1 B1C1平面A1B1BA A1BB1C1 . 又 A1BAB1且AB1B1C1=B1A1B平面AB1C1 A1BAC1 （）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E平面A1BD设AB=a，CE=2a， ， ，DE=， ，A1EA1D BDAC，BDCC1，ACCC1=C， BD平面ACC1A1 ， 又A1E平面ACC1A1 A1E BD. 又BDA1D=D ， A1E平面A1BD 【变式7】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点（1）求证：AC BC1； （2）求证：AC1 平面CDB1【解答】证明：（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以C1C 平面ABC，所以C1CAC又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以ACBC又C1CBC=C，所以AC 平面CC1B1B，所以AC BC1（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又D为AB的中点，DE为BAC1的中位线AC1DE。又DE平面CDB1，AC1平面CDB1AC1平面CDB1【变式8】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CDB1D（1）证明：CD B1C1；（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【解答】（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由D为AA1的中点，则DC=DC1，又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，则CD DC1，而CD B1D，B1DDC1=D，则CD 平面B1C1D，由于B1C1平面B1C1D，故CD B1C1；（2）解：由（1）知，CDB1C1，且B1C1C1C，则B1C1平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=VB1CDA1C1=SCDA1C1B1C1=B1C13=B1C13，V=VABCA1B1C1=ACBCCC1=B1C13，则V2=VV1=B1C13=V1，故这两部分体积的比为1：1【变式9】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB（1）求证：D1EA1C1；（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；（3）求几何体ABED1D的体积【解答】（）证明：连结B1D1因为四边形A1B1C1D1为正方形，所以A1C1B1D1在长方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面A1B1C1D1，又A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1A1C1因为DD1B1D1=D1，DD1平面BB1D1D，B1D1平面BB1D1D，所以A1C1平面BB1D1D又D1E平面BB1D1D，所以D1EA1C1（4分）（）解：连结BC1，过E作EFBC1交B1C1于点F因为AD1BC1，所以AD1EF所以A、E、F、D1四点共面即点F为满足条件的点又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以（8分）（）解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥ABED1D因为=，点A到平面BED1D的距离h=，所以几何体ABED1D的体积为：=（13分）题型二 面面垂直的判定例2.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）求证：平面PBE平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD平面PEF？并说明理由.【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD证明：平面AEC平面BED.【解答】证明：（）四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，则AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；【变式2】如图，三棱台DEFABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点（1）求证：BD平面FGH；（2）若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH【解答】在三棱台DEFABC中，AB=2DE，G为AC的中点，四边形CFDG是平行四边形，DM=MC又BH=HC，MHBD，又BD平面FGH，MH平面FGH，BD平面FGH；证法二：在三棱台DEFABC中，AB=2DE，H为BC的中点，四边形BHFE为平行四边形BEHF在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，GHAB，又GHHF=H，平面FGH平面ABED，BD平面ABED，BD平面FGH（II）证明：连接HE，G，H分别为AC，BC的中点，GHAB，ABBC，GHBC，又H为BC的中点，EFHC，EF=HCEFCH是平行四边形，CFHECFBC，HEBC又HE，GH平面EGH，HEGH=H，BC平面EGH，又BC平面BCD，平面BCD平面EGH【变式3】如图所示，已知AB 平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BCCD求证：平面BCD平面ABC【解答】因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD又CDBC，ABBC=B，所以CD平面ABC又CD平面BCD，所以平面BCD平面ABC【变式4】如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点（1）求证：平面EFG平面PAD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥MEFG的体积【解答】（1）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CDADCD平面PAD（3分）又PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，EFCD，可得EF平面PADEF平面EFG，平面EFG平面PAD；（6分）（2）EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，CD平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，VMEFG=VDEFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EFGH，EF平面PAD，EH平面PAD，EFEH于是SEFH=EFEH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG平面PAD=EH，EHD是正三角形点D到平面EFG的距离等于正EHD的高，即为，（10分）因此，三棱锥MEFG的体积VMEFG=VDEFG=SEFG=（12分）【变式5】如图，已知AB平面ACD，DEAB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=（1）求证：AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE；（3）求此多面体的体积【解答】证明：（1）取CE中点P，连接FP、BP，PFDE，且FP=1又ABDE，且AB=1，ABFP，且AB=FP，ABPF为平行四边形，AFBP（2分）又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE（4分）（2）证明：AD=AC，F是CD的中点，所以ACD为正三角形，AFCDAB平面ACD，DEAB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF.又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE.又BPAF，BP平面CDE又BP平面BCE, 平面BCE平面CDE.（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）【变式6】如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，ABB1C（I）求证：平面AA1B1B平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABCA1B1C1体积【解答】（）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1又ABB1C，BB1B1C=B1，AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，平面AA1B1BBB1C1C（）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则COBB1由（）知，CO平面AB1B1A，且CO=BC=AB=连接AB1，则=CO=AB2CO=，V三棱柱=2【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，ABCD，PD平面ABCD，BAD=ADC=90，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点（1）求证：平面PBC平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由【解答】（1）证明：连结BD，BAD=90，；BD=DC=2a，E为BC中点，BCDE；又PD平面ABCD，BC平面ABCD；BCPD，DEPD=D；BC平面PDE；BC平面PBC，平面PBC平面PDE；（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：AOBCOD；DC=2AB；在PC上取F，使；连接OF，则OFPA，而OF平面BDF，PA平面BDF；PA平面BDF题型三：面面垂直性质应用例3.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点.（1）求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB.【变式1】如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点（1）求证：平面EFG平面PAD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥MEFG的体积【解答】（1）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CDAD，CD平面PAD。又PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，EFCD，可得EF平面PAD. EF平面EFG，平面EFG平面PAD。（2）EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，CD平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，VMEFG=VDEFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EFGH，EF平面PAD，EH平面PAD，EFEH于是SEFH=EFEH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG平面PAD=EH，EHD是正三角形，点D到平面EFG的距离等于正EHD的高，即为， 因此，三棱锥MEFG的体积VMEFG=VDEFG=SEFG= 【变式2】 已知点P是菱形ABCD外一点，DAB60，其边长为a，侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF平面ABCD.并证明你的结论 解析(1)证明：连接BG、PG.四边形ABCD是菱形且DAB60.BGAD. 又PAD为正三角形，且G是AD中点，PGAD.PGBGG，AD平面PBG.又PB平面PBG，ADPB. (2)当F是PC中点时，平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，BGDE.平面DEF平面PGB.平面PAD平面ABCD，PGAD.PG平面ABCD.又PG平面PGB.平面PGB平面ABCD.平面DEF平面ABCD.题型四 求点面的距离例4.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A A1=5，AB=12，求直线B1C1到平面A1BC D1的距离. 【变式】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，AP=AB=1，E，F分别是PB，PC的中点（ ）求证：AE PC；（ ）求点A到平面PBD的距离【解答】（）证明： AP=AB，E是PB的中点， A