（机械电子工程专业论文）磁悬浮磨床电主轴柔性转子动力学分析.pdf

磁悬浮磨床电主轴柔性转子动力学分析摘要本文首先阐述了转子动力学的发展历史和电磁轴承支承的高速转子动力学的研究范围，并论述了磁悬浮转子系统的结构、工作原理和支承特性。然后以五自由度磁悬浮转子系统的支承特性和转子动力学的理论为基础，用有限元软件分析了完全弹性支承下转子系统的固有频率以及各种因素对转子固有频率的影响。在支承模化为各向同性并忽略阻尼的情况下，分别采用r a c c t i传递矩阵法和有限元法求解转子的临界转速并加以比较，在转子动平衡时，调整这些临界转速，使其适当远离机械的工作转速，以得到可靠的设计。给砂轮施加一定的磨削力，利用有限元软件对转子做谐响应分析和瞬态动力学分析，分别得到转子在稳态磨削阶段和初磨阶段的应力和位移响应。通过分析几个危险截面处的节点位移初步判断了转子工作的稳定性。关键词：磁悬浮转子转子动力学有限元固有频率临界转速磨削力r o t o rd y n a m i c sa n a l y s i so fg r i n d e rs p i nd l es y s t e ms u p p o r t e dw i t ha m ba b s t r a c tt h i sp a p e re l a b o r a t e dt h ed e v e l o p m e n th i s t o r yo fr o t o rd y n a m i c sa n dt h es t u d yr a n g eo fa c t i v em a g n e t i cb e a r i n g h i g hs p e e dr o t o rd y n a m i c s t h e nd i s c u s st h es t r u c t u r e ，w o r k i n gp r i n c i p l ea n db e a r i n gc h a r a c t e r i s t i c so fa c t i v em a g n e t i cb e a r i n g r o t o rs y s t e m t h en a t u r a lf r e q u e n c yo fr o t o rs y s t e ms u p p o s e dac o m p l e te l a s t i cb e a r i n go fu s e df i n i t ee l e m e n ta n dav a r i e t yo ff a c t o r so nt h en a t u r a lf r e q u e n c yo ft h er o t o rw a sa n a l y s i s e dw i t hf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r e ，b a s e do nt h et h e o r yo ff i v ed e g r e e so ff r e e d o mm a g n e t i cb e a r i n gr o t o rs y s t e ma n dr o t o rd y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c s t h ec r i t i c a ls p e e dw a ss o l v e dw i t ht h em e t h o do ff i n i t ee l e m e n ta n dr i c c a t i r i c c a t it r a n s f e rm a t r i x ，i nt h ec o n d i t i o no ft h eb e a r i n gw a st r a n s f o r m e da n dt h ed a m pw a sn e g l e c t e d i nr o t o rd y n a m i cb a l a n c e ，a d ju s tt h e s ec r i t i c a lr o t a t i o n a ls p e e d s ，m a k ei tp r o p e r l yd e v i a t ef r o mm e c h a n i c a lw o r k i n gr o t a t i o n a ls p e e d ，t og e tr e l i a b l ed e s i g n t h e na n a l y s i st h en a t u r a lf r e q u e n c ya n di n f l u e n c i n gf a c t o r so ft h ef i v ed e g r e e so ff r e e d o ma c t i v em a g n e t i cb e a r i n g - h i g hs p e e dr o t o r m a d eh a r m o n i ca n a l y s i sa n dt r a n s i e n ta n a l y s i sf o rt h er o t o rb yf i n i t ee l e m e n tm e t h o ds o f t w a r ea f t e rt h et h eg r i n d i n gw h e e lw a si m p o s e do ng r i n d i n gf o r c e ，t h e nr e a c h e dt h es t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tr e s p o n s eo fs t e a d yg r i n d i n gt i m ea n di n i t i a lg r i n d i f a gt i m es e p a r a t e l y i n i t i a l l yd e t e r m i n et h ew o r k i n gs t a b i l i t yo ft h er o t o rb ya n a l y s i s i n gt h ed i s p l a c e m e n to ft h en o d e so ns o m ed a n g e r o u sc r o s s s e c t i o n s k e y w o r d ：m a g n e t i cs u s p e n s i o nr o t o r ；r o t o rd y n a m i c s ；f i n i t ee l e m e n t ；n a t r u a lf r e q u e n c y ；c r i t i c a ls p e e d ；g r i n d i n gf o r c e 图2 1图2 2图3 1图3 2图3 3图3 4图3 5图3 6图3 7图3 8图3 - 9图4 1图4 2图4 3图4 - 4图4 5图4 6图4 7图4 8图4 9图4 1o图4 1 1图4 12图5 1图5 2图5 3图5 - 4图5 5图5 6图5 7图5 8图5 - 9图5 1o图5 11插图清单五自由度磁力轴承转子系统6电磁铁差动驱动模式图7电主轴结构图13电主轴转子实物图1 3施加完全弹性约束时的转子有限元模型1 4径向轴承支撑简化图1 4轴向轴承模化图1 4转子前四阶正进动固有频率随刚度变化图1 6一阶正进动振型1 7二阶正进动振型1 7三阶正进动振型：1 8转子的简化模型1 9变截面轴段的集总2 0具有各向同性支承的转子计算模型一2 5集中质量点的受力分析2 7无质量等直径轴段的受力分析2 7计算临界转速的集总化模型2 8剩余量v ( 2 ) 与试探频率的关系曲线2 8剩余量蚓m 随频率变化曲线一3 0磁悬浮转子系统结构简图3 0磁悬浮转子离散图3l转子的线性有限元模型3 4转子正涡动c o m p e l l 图3 6磨粒切削示意图3 8外圆磨削示意图3 8磨削力图4 0磨削循环图4 1激振力频率为5 0 0 h z 时转子的径向位移响应图4 3激振力频率为5 0 0 h z 时转子的应力云图4 3激振力频率为8 0 0 h z 时转子的径向位移响应图4 4激振力频率为8 0 0 h z 时转子的应力云图4 5砂轮处节点7 7 4 6 幅频响应曲线4 6前保护轴承处节点7 8 1 8 幅频响应曲线4 6前径向轴承处节点7 5 5 9 幅频响应曲线4 6图5 1 2图5 13图5 1 4图5 15图5 1 6图5 17图5 18图5 19图5 2 0图5 2 1图5 2 2后径向轴承处节点4 4 8 4 幅频响应曲线4 60 - 9 6 0 h z 内节点7 7 4 6 幅频响应曲线4 60 - 9 6 0 h z 内节点7 8 1 8 幅频响应曲线4 6o 9 6 0 h z 内节点7 5 5 9 幅频响应曲线4 70 9 6 0 h z 内节点4 4 8 4 幅频响应曲线4 7初磨阶段磨削力随时间变化曲线4 9瞬态动力学分析位移响应曲线4 9第一子步位移云图5 0第五子步位移云图5 0第一子步应力云图5l第五子步应力云图5 1表3 1表3 2表4 1表4 2表4 - 3表4 4表4 5表5 1表5 2表5 3表5 - 4表5 - 5表5 - 6表5 7表格清单完全弹性约束时转子的固有频率1 6弹簧刚度为2 o x l 0 7 时转子振型描述1 7离散化后磁悬浮转子各轴段具体参数3 1转子临界转速随轴承刚度变化表3 3转轴实常数列表3 5转子固有频率随转速变化的计算结果3 5r i c c a t i 传递矩阵法和有限元法求解临界转速的精度比较3 6激振力频率为5 0 0 h z 时a 、b 、c 、d 四个危险截面处的径向位移4 4激振力频率为5 0 0 h z 时a 、b 、c 、d 四个危险截面处的应力4 4激振力频率为8 0 0 h z 时a 、b 、c 、d 四个危险截面处的径向位移4 4激振力频率为8 0 0 h z 时a 、b 、c 、d 四个危险截面处的应力4 4各危险截面处节点位移列表4 5节点7 7 4 6 、7 8 1 8 、7 5 5 9 和4 4 8 4 的位移增量一4 9第一子步和第五子步四个危险截面的应力值5 0独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金壁王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：虏参i 欤签字日期，7 年印月如学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金理王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)撇姗魏肚救签字日期：z 7 年华月肜日学位论文作者毕业去向：工作单位：通讯地址：导师签名：签字日期：酗年争月，日电话：邮编：致谢论文是在导师田杰副教授的精心指导和热情关怀下完成的，在此谨向导师表示最衷心的感谢和最真挚的敬意。在我攻读硕士学位期间，无论在学业、工作上，还是在生活上，都得到了田老师悉心的指导和真诚的关怀。特别是田老师为学生创造了良好的科研条件和环境，将作者引入到一个全新而宽广的学科研究领域，生活上给予极大的关怀和帮助，学生在研究工作中取得的每一点进步和成绩都浸注了田老师大量的心血与汗水。田老师治学严谨，诚恳待人，诲人不倦。田老师宽广的知识面、活跃开阔的思维，对问题敏锐的洞察力，对科学的浓厚兴趣，对学科的深刻认识，对产业的深入理解，都给我留下了深刻的印象。他那严谨治学的态度、忘我敬业的精神、平易近人的工作作风，永远是学生学习的楷模，无时无刻不在感染和激励着学生不断开拓和进取。在此谨向导师表示最衷心的感谢和最真挚的敬意。衷心感谢教研室的黄康老师、王勇老师等给我各方面的指导和帮助，并创造了许多必要条件和学习机会!衷心感谢师弟杨勇、李少波、汪献伟，师妹夏艳以及教研室的张良老师、李林、梁青松、魏鹏、胡刚、郗富强、李松恩、朱国牛等同学给予的关心和帮助。我能够专心学习，顺利完成学业，离不开我家人的培养、鼓励和支持，在此向他们表示最诚挚的感谢。最后，谨向百忙之中抽出宝贵时间评审本论文的各位专家、学者致谢!李香滨2 0 0 9 年4 月6 日1 1 引言第一章绪论旋转机械大都是较复杂的系统，他们的各个部分无论在构造、材料、工艺以及运动形态上都有很大差别，使得它们的动力学行为受到很多因素的影响，以往的研究工作大多围绕旋转机械的核心部件转子展开的，随着机组向更高转速、更高容量发展，系统的整体性越加突出，无论哪个问题都需要从整个系统的角度去研究和解决【l l 。高速磨床电主轴是基于电磁轴承支撑的高速旋转机械，研究其转子的动态特性对提高主轴的转速，提高磨床加工效率有着非常重要的意义。转子的动态特性是电磁轴承支承特性与转子结构动力学特性综合作用的结果，研究转子动力学基本理论的同时，还需运用机械学、电子学、电磁学以及控制理论等学科的基础理论。1 2 转子动力学的发展历史由于蒸汽轮机的发展，刺激了另外一门学科转子动力学的诞生，这是从力学之中派生出来的一个分支。最早见诸于文字的关于转子动力学研究的报道发表于18 6 9 年- 容克( r a n k i n e ) 在题为“o nt h ec e n t r i f u g a lf o r c eo fr o t a t i n gs h a f t ”的论文中，首次研究了一根两端刚性铰支的无阻尼均匀轴在其初始位置受扰后的平衡条件，并提出了临界转速的概念，容克得出了转子不可能在一阶临界转速以上工作的结论。这一结论的影响差不多整整持续了半个世纪，使得工程界认为不可能设计出在超临界状态下工作的机组。到1 9 1 9 年，英国动力学家杰夫考特( j e f f c o t t ) 研究了一个两端刚支的单质量弹性转子，阐述了当转子处在超i 临界状态运行时，由质量不平衡所引起的振幅因转子的自动对中效应将逐渐减小，最终将趋于一定常值，这是有关转子动力学观念的第一次变革：转子的工作转速可以设计在超临界转速区，这样能够设计和制造出转速和效率都更高的涡轮机、压缩机、水泵等。也只是在这一时期内，在此领域内的研究内容和“转子动力学”这一名词的内涵是比较吻合的：支承的作用被理解为仅仅承受转子的静态载荷面与转子的动态行为无关。体现支承作用的两大要素被完全掩盖于刚性支承假设之下：支承的安装位置及几何尺寸由于和转轴本身的长度参数混同在一起被折合到转子的临界转速估算之中；而支承本身的固有属性一刚度和阻尼特性由于刚性假设而被强制取消。这样把旋转机械所需要研究的轴承一转子系统的内容强行归入经典转子动力学范畴，这不能不说是一种不幸，以至直到今天，在许多场合科学家们还不得不反复纠正这种片面性和由此带来的副作用【2 】。随之而来的一系列事故使人们发现转子在超临界运行达到某一转速时会出现强烈的自激振动并造成失稳。这种不稳定的现象首先被n e w k i r k 发现是油膜轴承造成的，从而确定了稳定性在转子动力学分析中的重要地位。有关油膜轴承稳定性的两篇重要的总结是由n e w k i r k 和l u n d 写出的，他们两人也是转子动力学研究的里程碑人物。2 0 世纪5 0 年代以来，电力、航空、机械、化工工业的迅猛发展，极大的推动了转子动力学的研究。发电机组的单机容量从几万千瓦发展到了上百万千瓦，飞机也开始进入喷气发动机时代。旋转机械的转子越来越柔，功率越来越大，转速越来越高，甚至达到了三四阶临界以上，这为转子动力学的研究提出了一系列的研究课题，也有力地促进了转子动力学的发展。1 3 转子动力学的研究范围转子动力学是固体力学的分支，主要研究转子支承系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题，尤其是研究接近或超过临界转速运转状态下转子的横向振动问题。转子是涡轮机、电机等旋转式机械中的主要旋转部件。随着近代工业的发展，逐渐出现了高速细长转子。由于它们常在挠性状态下工作，所以研究其振动和稳定性问题就越发重要。这门学科研究的主要范围包括【3 1 ：转子一支承系统的临界转速、振型与不平衡响应；支承转子的各类轴承的动力学特性；转子一支承系统的稳定性分析和动平衡技术；转子系统的故障机理、动态特性、监测方法和诊断技术；。转子系统的非线性振动、分叉与混沌；其他，如转子系统的电磁激励与机电耦联振动转子动力学研究的目的和任务是为旋转机械转子的优化设计、提高效率、保证安全、减少故障和延长寿命提供理论和技术上的支持与保障。1 4 电磁轴承支承的高速转子动力学1 4 - h i电磁轴承是集机械工程、力学、电磁学、电子学、控制工程和计算机科学等于一身的典型机电一体化产品。电磁轴承支承的高速转子动力学通常讨论以下内容：在电磁轴承转子系统中，既要处理机械平台的建模问题，又要处理信号拾取、控制调节、功率放大及执行器平台的建模问题。在一般情况下，上述环节的动态模型可以在状态空间内以线性微分方程的形式给出，而在特殊场合，则不得不涉及对各种非线性问题的处理。和许多复杂动力学系统一样，在建模过程中，对于系统参数的辨识常常是必要的，电磁轴承转子系统主要涉及以下几方面：1 转子动力学电磁轴承转子系统属于机械电子耦合系统，因此在设计过程中有关转子动力学方面的知识，如结构与强度、振动模态分析、模态缩减、转子不平衡激励、系统稳定性及动态响应等，都应当视为已知的。此外，电磁轴承还带来一些特殊问题。例如，热套装配及应力问题就是其中之一。在电磁轴承转子系统中，热套是常见的装配方式之一。在径向轴承叠层转子和轴之间以及在推力盘和轴之间，为了制造方便都必须采用热套装配。如何处理好热套装配过程中的上述矛盾，直接影响到转子所能达到的最高转速。2 传感器、信号拾取和处理对于转子能否成功地实现在线控制首先取决于对转子当前状态或信息的准确获取，而传感器的灵敏度、精度、可靠性和性能稳定性则是实施在线控制的先决条件。涡流传感器、电感传感器、光电传感器及c c d 阵列等都可以用来测定转子的动态位移；转子位移也可以利用霍尔传感器先行测定气隙磁通，然后再转换为位移信号和控制信号。在一般情况下，对于来自传感器的信号通常还应当进行数据预处理，包括剔除温漂、转轴的热膨胀、被测量表面材质和交变磁场等对测量信号所带来的影响等。3 控制方法在经典控制理论中所涉及的各种控制方法差不多都在不同范围内被成功地应用于电磁轴承转子系统的控制，例如p i d 控制、l q g 控制、h 。控制、综合、时间延迟控制、模糊控制、自适应控制、滑模控制和解耦控制等。无论采用哪一种控制策略( 分散控制或集中控制，模拟控制或数字控制) 或具体运用哪一种控制方法，总的目的是希望在付出代价最小的前提下，使系统获得更好的稳定性、更强的鲁棒性和抗干扰能力。4 功率放大器和电磁铁执行器功率放大器的选择视应用对象而异。一般说来，对于中、小型电磁轴承，采用三极管模拟功放比较简便，但是由电源提供给系统的能量大部分由于三极管功耗而损失了，同时还带来了十分麻烦的热耗散问题。因此，人们在大功率机组中越来越倾向于采用开关功放以降低系统功耗。对于电磁铁执行器的设计与制作来说，则通常需要考虑诸如磁场分析、铁磁材料选择、磁极安排、绕组布置以及针对各种目标函数的电磁铁结构优化等问题。5 周向阻尼和热耗散电磁轴承的周向阻尼和热耗散，也许是电磁轴承中最难处理的问题之一了。电磁轴承的功率损失包括铜损和铁损两部分，铜损的计算比较简单，而铁损在许多情况下往往只能借助于实验或经验公式从而对铁芯的铁损做出粗略的估计；另一方面的功率损耗来自转子周向阻尼，尽管转子是在无接触条件下依靠电磁力实现悬浮的，但实验表明，在多情况下由于涡流效应在转子表面所产生的周向阻尼会比气体轴承大得多，计算也复杂得多。特别对于高速转子，系3统的热分析及冷却更是有待于解决的重要题之一。6 保护轴承、转子着陆过程中的冲击动力学在电磁轴承中，保护轴承占有十分重要的地位，保护轴承亦被称为应急轴承。在系统发生故障时，对转子的应急保护主要由保护轴承来提供。在电磁轴承突然断电后，高速旋转的转子迅即进人自由落体状态，继而与保护轴承内壁发生冲击、碰撞和摩擦。在转子着陆过程中，转子动能逐渐被转化为摩擦热，如果这些热量能顺利地发散，将导致转子的热变形和电磁轴承损坏，因此对保护轴承以及转子着陆过程中的冲击动力学研究同样是十分必要的。在许多情况下，环境参数还往往处在不断的时变过程中。这就要求系统具有一定的鲁棒性。在一些特殊的重要应用场合，例如处在极端高温或低温环境中运行的电磁轴承，除了对材料选择( 强度、磁化性能和绝缘品质等) 、信号传感及传输等方面的特殊要求外，还要求系统在控制策略方面也能做出相应的反应。与模拟控制相反，由于无法指望采用单一控制策略去处理各种复杂工况，因此，希望对系统控制策略的选择具有一定的柔性，如果需要的话，系统控制参数能够根据实时工况做出相应的调整。国内对于磁悬浮技术的研究大致始于2 0 世纪8 0 年代，国防科技大学、清华大学、中国科学院电工研究所和哈尔滨工业大学、上海交通大学、天津大学、西安交通大学、合肥工业大学等许多单位的专家学者都做了比较深入细致的工作。作为一项高新技术，磁悬浮轴承无论在基础理论研究还是在工业应用方面都拥有广阔的发展空间。1 5 本文研究的目的和意义1 5 1 本文选题的意义本论文选题来源于合肥市科技计划项目：基于精密机床的高速磁悬浮主轴支承系统研究与开发。以磁悬浮磨床电主轴为研究对象，研究其转子系统在各向同性支承下的动态特性及施加磨削力后的响应特性，为主轴应用于生产提供可靠的理论依据。随着现代旋转机械转速的不断提高，其转速可以达到三、阶临界转速，简单的把转子系统作为刚性转子来分析，已无法满足要求，因此本论文以磁悬浮磨床电主轴为研究对象，将其转子视为各向同性支承的柔性转子系统来分析。为减小控制系统的设计误差和提高转轴的转速和旋转精度提供理论依据。1 5 2 本文研究的主要内容本论文研究的主要内容主要包括：磁悬浮柔性转子的模态分析；建立了磁4悬浮柔性转子系统的数学模型，利用传递矩阵法求解了各向同性支承的柔性转子的临界转速，并分析临界转速与支承刚度的关系；利用有限元软件a n s y s求解转子的固有频率和临界转速，并与传递矩阵法的求解结果加以比较。研究施加磨削力后转子在稳态磨削阶段和初磨阶段的动态响应特性，初步判断转子运动的稳定性，为磨床电主轴的实际应用提供理论依据。第二章磁悬浮转子系统的结构原理及转子动力学理论基础磁悬浮轴承转子系统是一个非常复杂的机、电、磁综合系统，要分析其转子系统的动力学特性，首先应该了解该系统的结构和工作原理，并了解电磁轴承的工作原理。此外，为进一步讨论磁悬浮转子的动态特性，本章也对传统转子动力学中的一些基本理论作了阐述。2 1 磁悬浮转子系统的结构及工作原理图2 1 为磁力轴承一转子系统的工作原理图。转子处于无接触可控悬浮状态，一方面受到重力的作用，另一方面还受到可控电磁力的作用。稳态时，电磁力和转子重量互相平衡。在动态受扰时( 包括机械参数、电气参数扰动) ，五个传感器测得转子相应的位移变化，将位移信号经a d 转化模块一控制器一d a 转化模块一功率放大器传送给电图2 1 五自由度磁力轴承转子系统磁轴承，产生动态的电磁力，转子的位置得到动态电磁力的调整，因而可以稳定地悬浮在平衡位置附近。该系统可以总结为以下三部分组成【3 j ：传感器及信号前置处理单元目前所采用的传感器多为非接触式的电感式、电容式或电涡流传感器，本文研究的转子系统采用电涡流式位移传感器。转子在任时刻的位置信号由传感器拾取，必要时这种初始信号还可以经过相应的前置处理后再送往控制器。调节控制单元由传感器所拾取的实时信号经和给定信号比较后得到误差信号，根据控制理论或给定的控制策略求出转子回复到初始平衡位置所需要的矫正信号。执行单元由功率放大器和电磁铁组成。矫正信号经过功率放大器放大后变成足够的电流或电压输出，以驱动电磁铁产生相应的恢复力，迫使转子回复到平衡位置，从而可以使转子实现在无接触状态下的稳定悬浮。对于一个实际的转子系统来说，通常转子重量由两个径向电磁轴承支承，而为了限制转子在轴向方向的位移，还必须安装一个轴向推力轴承。这样，至少需要5 个传感器以测量转子在水平、垂直和轴向方向上的线位移，对刚性转6子来说，转子空间位置的转角变化可以由位移信号换算得到而不必单独测量。这些测量信号被送入控制器，经模拟或数字运算后送入放大器产生控制电流或电压以驱动电磁铁，产生维持转子稳定悬浮的电磁力。上述系统通常被称为五自由度电磁轴承一转子系统。2 2 电磁轴承的作用力及其线性化2 2 1 电磁力的确定电磁轴承中的磁极一般对称安排，如图2 2 所示，功放电路也按照对称模式设计、电磁铁在差动模式下驱动，以便同时可获得两个方向上的磁作用力，以图2 2 中单自由度磁悬浮差动激励为例，当转子位于间隙中心位置时，为建立起磁场，在上、下磁极线圈中通以相等的偏磁电流厶，在任意工作状态下，如果转子发生位移y ，则转子与上磁极之间的气隙变为( c 0 + y ) ，相应的，转子与下磁极之间的气隙变为( c o y ) ，根据电磁场理论，在这对磁极之间产生的合力为c 尊七yc o - y乃= 半l ( 等h 糟) 2 亿，式中，在稳态时，乃。等于转子的重量，此时，如果期望转子在静平衡状态时悬浮于轴承的几何中心，则应有驴半l ( 警) 2 _ ( 等) 2 = 孵沼2 ，或孵= 半( 等3 ，式中，4 为磁极面积，n 为线圈匝数；u o 为真空中的磁导率。式( 2 3 ) 表明，系统在静平衡时，转子的平衡是依靠反馈电流厶来维持的。72 2 2 电磁力的线性化【2 】e = 华l ( 等) 2 _ ( 等) 2 显然，磁力轴承数学模型为一个二次非线性方程而不是线性方程。t a y l o r , 展= 开后：e = 氏+ 誓y + 豢m = 气+ k y y + k y + 式中b 一位移刚度系数( n m ) ；毛一电流刚度系数( n a ) ；砖乱叫2 掣色= 乱= 学( 2 4 )式( 2 - 4 ) 经( 2 5 )r 、l2 - 6 略去高阶无穷小量后，动态力增量可表示为：嵋= e 一民= k y y + k j i y( 2 - 7 )注意到，由电磁力所产生的位移刚度系数忌，是恒小于零的，亦即呈负刚度特征，对于图2 2 所示的系统来说，如果没有反馈控制电流f ，的作用，所产生回复力的方向将与扰动位移y 方向相同，因而系统是不稳定的。一般情况下，静态反馈电流，h 比偏磁电流而都要小得多，转子在其静平衡位置附近作小位移扰动时可略去f h 的作用，所以在将电流刚度系数和位移刚度系数线性化后，在工作点附近，电磁力可以近似表示为e = 后，y + 磅f( 2 8 )其中：k y 一号掣 ：哗。2 3 五自由度磁悬浮转子系统的支承刚度和阻尼研究磁力轴承的支承特性实质上就是研究磁力轴承的支承刚度与支承阻尼。磁力轴承的支承特性不仅取决于轴承的结构还取决于其控制系统2 】2 3 1 磁力轴承的支承刚度1 轴向磁力轴承支承特性8根据磁力轴承刚度的定义，磁力轴承沿z 轴向的的刚度表达式为：k ：d f ( i , z ) ：o f ( i , z ) 一d i + o f ( i , z )( 2 9 )。龙及d zo z与单自c a 度控制系统不同，上述电磁力是磁力轴承在该方向的合力，如果该方向的两个电磁线圈是差动连接，则在平衡位置线性化后轴向磁力轴承的电磁力f ( i ，z ) 为：t ( 之，z ) = t 。( 1 z i , z i ) 一f z 2 ( 1 z 2 , z 2 ) = 一2 ( 吒乇一k z z )( 2 1 0 )式中，彪为轴向磁力轴承的位移系数；吒为轴向磁力轴承的电流系数；t 为轴向磁力轴承定子线圈里的电流。将式( 2 1 0 ) 代入式( 2 9 ) 中，得出在差动连接下，轴向磁力轴承刚度表达式如下：k = _ d f ( i , z ) ：- 2 k 。d ，i + 2 恕( 2 1 1 )c a2 2 2 节的分析可知：位移系数宓：和电流系数宓f ：分别为恕= 掣笋，屯：蟛笋( 2 - 1 2 )。o。0式中，为空气磁导率；为轴向电磁轴承定子线圈绕组的匝数；a 为定子与转子铁芯间气隙的横截面积。由以上两式可以看出，磁力轴承的刚度不仅与平衡位置( f ，。，z o ) 、线圈匝数n 结构参数a 有关，还与电流和位移的函数i ( z ) 等有关。而f ( z ) 是由控制系统给出的j 控制规律不同，f ( z ) 就不同。一2 径向磁力轴承支承特性分析根据径向磁力轴承刚度的定义，可以得到径向磁力轴承x 方向的刚度，x方向的交叉刚度，y 方向的刚度和y 方向的交叉刚度分别为k ：巫攀：鼍攀誓+ 墨粤1 3 )姒u l j吼姒b ：掣掣：掣鲁+ o f ( i _ y , y ) i o k ( 2 - 1 4 )a xu yu 曩c r yu 慑k w ：掣：掣豢+ 掣( 2 - 15 )a u 1 yu yu y= 掣= 掣考+ 掣匆o x ( 2 - 1 6 )若径向磁力轴承在x 、y 方向的两对电磁铁线圈均是差动连接，由2 2 2 节的分析可知，在平衡位置线性化后的电磁力为：c = f ( t ，z ) = e 。( t ，五) 一c 2 ( 乞2 ，x 2 ) = - 2 ( k j ，一t 工)( 2 1 7 )f = 尸( 0 ，y ) = f y 。( 0 。，y 。) 一e 2 ( 0 2 ，y 2 ) = - 2 ( k o , y 一砖少)( 2 18 )9将式( 2 1 7 ) 、( 2 - 1 8 ) 分别代入式( 2 1 3 ) 至u ( 2 - 1 6 ) 式得到：如：型掣= _ 2 k 善+ 2 哎d xo x。b ：掣q 磕啦象b = 掣q 谚峭= 掣卅皤啦雾( 2 1 9 )( 2 2 0 )( 2 - 2 1 )( 2 2 2 )将( 2 1 9 ) 至( 2 - 2 2 ) 式写成矩阵形式，即得到径向磁力轴承的刚度矩阵：k = 臣讣l bb j咄鲁啦罢嘞考啦- 2 b 茜+ 2 砖式中，吒砖一径向磁力轴承在x 、y 方向的位移系数；k 、k 纱一径向磁力轴承在x 、y 方向的电流系数；j i r 、0 一径向磁力轴承定子在x 、y 方向的线圈电流。( 2 - 2 3 )2 3 2 磁力轴承的支承阻尼磁力轴承支承阻尼的定义：磁力轴承某方向的支承阻尼为该方向单位速度变化所需的沿该速度方向力的增量。轴向轴承的支承阻尼就是z 方向的支承阻尼，即c ：塑( 生：尘：鲨( 生：尘亟+ o f ( i ：, z ) 一o z( 2 2 4 )d z8 i d zo zo z 。考虑轴向磁力轴承的电磁力，将式( 2 1 0 ) 代入式( 2 2 4 ) ，得轴向磁力轴承的支承阻尼为e ：一2 屯生( 2 2 5 )d z由磁力轴承的刚度矩阵，同理可得径向磁力轴承的阻尼矩阵为c ：巳e ， ：| - c y 。勺jt 墨o x嗉七j 盟8yt 五o y( 2 2 6 )式中，局，颤是仅于结构和平衡位置有关的参数。而在磁悬浮转子系统中，电流是位移的函数，取决于控制规律的设计。因此，磁力轴承的刚度和阻尼不仅取决于结构参数、平衡位置，还取决于控制规律。l o缸一砂戤以22+藏瓦戤一钞缸乏之2 4 转子动力学理论基础2 4 1 柔性转子系统运动方程对单自由度弹簧阻尼系统有m x + c x + k x = f式中，m ，c ，k 分别为振动体质量，弹簧阻尼系数和弹簧刚度系数；位移；f 为外力。式( 2 2 7 ) 对应的齐次方程为m x + c x + k x = 0为求解由式( 2 2 7 ) 确定的自由振动位移，设x2x 护”，而为常数，得特征方程为2 + k = 0 m yc yk0+2式中，y 为特征值。解方程( 2 2 9 ) 得到两个特征值为广- = 一一c 4 c 2 4 m k丫l 22 石_讨论弱阻尼的情况，认为4 c 2 4 m k 0 ，上式变为n 22 一p j t o( 2 2 7 )x 为振动( 2 2 8 )代入上式( 2 2 9 )( 2 3 0 )( 2 31 )式中：一p = 一c 2 m 为特征值y 的实部；= 4 4 m k c 2 2 m 为特征值y 的虚部j f = j 。因此自由振动位移可表示为z = q e r l 7 + 0 2 e r 2 。= a e p s i n ( c o t + 9 )( 2 3 2 )式中：c 1 、c 2 、a 、9 一由系统初始条件决定的常数；a e 一一自由振动的振幅；一自由振动频率，也即固有频率。具有n 个自由度的轴承一转子系统，也就是轴承柔性转子系统的运动方程可由式( 2 3 3 ) 所示的二阶矩阵微分方程表示【m 】 戈 + ( 【c 】+ ) j + 【k 】 x ) = f ( 2 3 3 )式中：【m 】、【c 】、 、【k 】分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺效应矩阵和刚度矩阵； x 为位移矢量； f 为激振力矢量。系统作自由振动的方程为【m 】 x + ( 【c 】+ c o ) j + 【k 】 x = o( 2 - 3 4 )不论是计算转子的稳定性，临界转速或是不平衡响应，其中心任务都是计算式( 2 3 4 ) 的特征值与特征向量【12 1 。2 4 2 转子动力学的研究方法转子动力学的研究方法主要有传递矩阵法和有限元法两大类。传递矩阵法有很多种，但不管哪种方法都有以下特点：将整个振系分解为若干简单的子系统( 或称单元) 各子系统在界面上用位移协调和力的平衡条件联系；各子系统两端位移和力的关系用传递矩阵联系；解题从振系的边界开始，向一个方向逐步推移，并用满足两端的边界条件来确定各固有频率和振型【l 引。传递矩阵法的主要特点是：矩阵的阶数不随系统的自由度数增大而增加，因而编程简单，占内存少，运算速度快，特别适用于轴承转子系统这样的链式系统。传递矩阵法在转子动力学的计算中占有主导的地位 1 4 , 15 , 1 6 , 】。除了用传递矩阵法解决转子动力学问题外，常用的还有有限元法。有限元法是把转子模型分解为转子单元、刚性圆盘单元和轴承单元，控制方程用直接法求解。有限元法的表达式简洁、规范，在求解转子和周围结构一起组成的转子系统的问题时，有突出的优点，且可以避免传递矩阵法中可能出现的数值不稳定现象。有限元计算技术发展到今天已经趋于完善，但对于解决转子动力学这一特殊的动力问题有一定困难，主要制约因素为：陀螺效应矩阵的影响和多转速的计算1 1 7 j 。2 5 本章小结本章首先介绍了电磁轴承转子系统的结构和工作原理，分析了电磁轴承的支承刚度和在阻尼。然后阐述了一定的转子动力学基础理论，主要包括轴承柔性系统运动方程和传递矩阵法。1 2第三章磁悬浮转子系统的固有频率分析磨床电主轴是典型的机电一体化系统，其支承对主轴系统的影响与其他轴承相比更为突出。转子的动态特性是电磁轴承支承特性与转子结构动力学特性综合作用的结果1 2 j ，”】。严格地讲，不应将转子和控制系统割裂开来单独处理。但是在对转子实施控制以前，首先研究转子本身的动力学行为对控制系统的设计是很重要的i i ”。本章以电磁轴承支承的磨床电主轴( 如图3 - 1 ) 为研究对象，在a n s y s 平台上建立转子的实体有限元模型，对磁悬浮转子系统的固有频率进行分析。- 砂轮2 - 传感器3 前辅助轴承4 - 前径向轴承5 - 转轴6 轴向轴承7 一冷却水套8 电机部分9 一后径向轴承1 0 - 后辅助轴承图3 - 1 电主轴结构图3 1 转子有限元模型的建立3i1 转子的基本结构本文采用的磨床电主轴的转子由转轴、砂轮连接杆、前后径向轴颈套、前后平衡环、止推盘和隔磁环等组成，其他部件与转轴之间采用过盈连接( 如图3 - 2 ) 。转子总重59 0 5 3 k g ，总长05 0 7 m ，稳定悬浮时转子和前后径向轴承之间的间隙为02 m m ，轴向轴承间隙为o 3 m m ，和前后保护轴承的间隙为0 1 m m 。目3 - 2 电主轴转子实物图3 12 建立有限元模型假设由推力盘引起转子的变形很小，在可以忽略的情况下，陀螺力矩对固有频率的影响也可以忽略，因此可以建立转子的实体有限元模型进行分析。用三维实体模型的计算结果比其他模型如线性模型、简谐轴对称模型都精确，但是规模大，求解速度慢。建立有限元模型之前做以下结构的简化 1 9 1 ：( i ) 省略所有的倒角、圆角：( 2 ) 省略转轴动平衡所钻的盲孔；( 3 ) 为避免产生不规则嘲格，省略主轴后端6 5 r a m 处04 m m 的轴肩。( 4 ) 转轴、砂轮连接杆等转子的部件统一使用材料4 0 c 进行分析。根据转子的结构形式，用a n s y s 建立起转于的实体有限元模型( 如图3 - 3 ) 。幽3 - 3 施加完全弹性约束时的转于有限元模型主轴转子选用s o l i d 4 5 单元进行离散。由于采用了八节点的单元。能利用更复杂的形状函数，计算精度较高1 2 。电磁轴承支承为典型的弹性支承，因此电磁轴承支承处选用c o m b i n l 4 单元( 可施加刚度和阻尼) 。本文采用的径向电磁轴承为1 6 极，分别用1 6 个弹簧单元来代替( 如图3 - 4 ) 。止推盘两侧分别加八个弹簧单元模拟轴向电磁轴承( 如图3 5 ) ，这样支承就为完全弹性支承。酗3 - 4 径向轴承支撑简化图霪图3 - 5 轴向轴承模化图材料参数：弹性模量e x = 2 1 0 x1 0 9 p a ，泊松比n u x y = 0 3 ，密度d e n s = 7 8 2 0 k g m 3 。边乔条件：所有轴承处弹簧单元的外端加a l ld o f 约束，内端和转轴连接处施加轴向位移约束。3 2 模态分析模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型，这些是用承受动态载荷结构设计的重要参数，模态分析可以确定这些参数，并使工程师们设计结构避免产生共振或使结构在一定的频率下振动，也可使工程师们认识到结构对于不同的载荷响应【2 1 1 。模态分析是更详细的动力学分析的起点，如：谐响应分析，瞬态动力学分析和谱分析等。a n s y s 中模态分析的方法有b l o c kl a n c z o s 法、子空间法、p o w e rd y n a m i c s法。分析的基本步骤如下建模，加载及求解扩展模态结果后处理建模过程和其他类型的分析方法类似，但应注意以下两点：在模态分析中只有线性行为是有效的。如果指定了非线性单元，将作为线性的来处理。材料性质可以是线性的或非线性的、各向同性或正交各向异性的、恒定的或和温度相关的。在模态分析中必须指定弹性模量e x ( 或某种形式的刚度)和密度d e n s ( 或某种形式的质量) ，而非线性特性将被忽略2 2 1 。3 2 1 支承刚度对转子固有频率的影响建立转子的有限元模型后，用子空间法对其进行模态分析，扩展4 阶模态，将弹簧的刚度从5 1 0 6 n m 到l 1 0 9 n m 变化，忽略弹簧单元的阻尼，得到转子的正进动固有频率和负进动固有频率如表3 1 ：将表3 1 的数据拟和成曲线得到前四阶固有频率随刚度变化图3 5 。进一步研究临界转速时，应首先剔除负进动固有频率【2 3 1 。从表3 1 和图3 6可以看出当弹簧刚度不断增加时，转子的正进动固有频率和负进动固有频率均随弹簧刚度的增加而增加，且转子的低阶固有频率随支承刚度增加而增加的幅度较大。当弹簧刚度增加到1 6 1 0 8n m 时转子的二到四阶固有频率变化已很小。考虑支承弹性后整个系统的刚度将减少。完全弹性支承时转轴的固有频率比完全刚性支承时大为降低，可以认为刚性支承为弹簧单元的刚度取为o o 时计算所得。表3 一i 完全弹性约束时轱子的固有频率支承刚度( n m 15 x l 舻2 x 1 0 4 x 1 0 8 1 0 71 6 i 旷3 2 x 1 0 6 4 l 旷lx j 矿一阶频率( h z )9 96 24 9 43 46 3 10 l7 6 458 4 00 6二阶负进动频率( h z )5 5 971 6 6 ll8 0 2 41 8 0 72i 8 0 87二阶正进动频率( h z )5 6 3 11 8 0 3 l1 8 0 8 l18 0 97三阶负进动频率( h z )2 0 5 4 3三阶正进动频率( h z )9 8 791 4 5 81 7 0 01 7 9 22 0 5 8 72 1 2 79四阶负进动频率( h z )l8 8 21 9 3 02 0 7 42 3 6 02 7 2 342 7 9 852 8 2 68四阶正进动频率( h z )1 8 8 62 5 9 352 7 3 272 8 0 982 8 3 88图3 - 6 转子前四阶正进动固有频率随刚度变化图3 2 2 轴向支承刚度对转子固有频率的影响设前后径向轴承处的c o m b i n l 4 单元的刚度为2 1 0 n m 不变，使轴向c o m b i n l 4 单元的刚度从2 x 1 0 7 n m 到l x l o n m 取值，得到的固有频率与表3 - 1中2 x 1 0 1 n m 一列的固有频率几乎一致。因此可以推断，轴向轴承的刚度对磁悬浮转子的固有频率没有影响。323 支承阻尼对转子固有频率的影响设前后径向轴承处和轴向的c o m b i n | 4 单元的剐度均为2 1 0 7 n m 不变变化c o m b i n l 4 单元的阻尼，使其从0 0 5 到1 0 之间变化，得到的固有频率与表3 1 中2 x 1 0 7 n ，m 一列的固有频率几乎一致。因此可以推断，阻尼对磁悬浮转子的固有频率几乎没有影响1 2 4 i 。32 4 转子的振型分析完全弹性支承时，转子的振动比较复杂，包括扭转振动、横向振动和径向振动 2 5 , 2 6 】。当弹簧刚度取为20 1 0 7 n m 时，转子的酊三阶振型描述见下表表3 - 2 弹簧刚度为2 0 x 1 0 7 时转子振型描述阶次频率i h z报型描述一阶1 9 6衽向膨胀二阶正，负进动z 、y 方向一弯三阶正负进动z 、y 方向二弯列出转子的四阶振型图，可知二、三、四阶频率的正进动振型和负进动振型正交。转子的一阶、二阶、三阶正进动振型圉3 7 到图3 - 9 所示：烹烹，驾攀= 篙”t| 璺3 - 7 一阶正进动振型幽3 - 8 二