（理论物理专业论文）黑洞的准正则模和相变.pdf

摘要 我们分别研究了无质量b t z ( m b t z ) 黑洞背景下的标量微扰和费米场微扰。 与不旋转的b t z ( n b t z ) 黑洞背景下微扰结果相比较，我们发现无质量黑洞仅 有正则模。我们认为这个特殊的性质反映了无质量b t z 黑洞与不旋转的b t z 黑 洞是两种不同的相。 首先第一章介绍了准正则模，微扰和黑洞的相变。黑洞视界的存在把时空的 因果区域隔成一个开放体系，由于行波在视界上没有反射波，不能形成驻波，因 此描述这样的系统不是通常的正交模。实际上对应于这种边界的方程的本征频率 是一个复数，实部描述了振动的频率，而虚部则反映了衰减的特征，相应本征函 数称为准正则模( q u a s i n o r m a lm o d e ) 。在普通热力学系统中，相交和临界行为 是一个重要的现象。黑洞作为一个热力学系统，自然也有相交和临界行为。 接着在第二章讨论了黑洞的标量和电磁扰动。分别讨论了不旋转的b _ r z 黑 洞，a d s 时空和卜1 b t z 黑洞三种情况。 然后在第三章讨论了黑洞的d i r a e 自旋场扰动。也分别讨论了不旋转的b t z 黑洞，a d s 时空和m b t z 黑洞三种情况。 第四章里从共形场论( c f t ) 计算了m b t z 背景下的两点关联函数。从两点 关联函数得出与第二章对于m b t z 黑洞无准正则模的结果完全一致的结论。这 进一步验证了a d s c f t 对应性理论。因为m b t z 黑洞无准正则模，不旋转的b t z 黑洞存在准正则模，所以m b t z 黑洞和不旋转的b t z 黑洞是两个不同的相，所 以我们也进一步验证了从m b t z 黑洞到不旋转的b t z 黑洞可能存在相变。 关键词：b t z 黑洞，准正则模，相变 中图分类号：0 4 1 2 1 a b s t r a c t w eh a v es t u d i e dt h es c a l a rf i e l da sw e l la st h ef e r m o n i cf i e l dp e r t u r b a t i o n si nt h e b a c k g r o u n do ft h em a s s l e s sb t z ( m b t z 、b l a c kh o l e s c o m p a r i n gw i t ht h e p e r t u r b a t i o nr e s u l t si nt h eg e n e t i cn o n r o m t i n gb t z ( n b t z ) b l a c kh o l eb a c k g r o u n d ， w ef o u n dt h a tt h em a s s l e s sb t zh o l ec o n t a i n so n l yn o r m a lm o d e si nt h ep e r t u r b a t i o n s w ea r g u e dt h a tt h i ss p e c i a lp r o p e r t yr e f l e c t st h a tt h em a s s l e s sb t zb l a c kh o l ei sa d i f f e r e n tp h a s ef r o mt h a to ft h eg e n e t i cn o n r o t a t i n gb t zh o l e 1 nt h ef i r s to ft h i sp a p e r , w ei n t r o d u c e dq u a s i n o r m a lm o d e s p e r t u r b a t i o na n d p h a s et x a n s i t o no fb l a c kh o l e s p h a s et r a n s i t i o na n dc r i t i c a l b e h a v i o ra r cv e r y i m p o r t a n tp h e n o m e n o ni nt h eg e n e r a lt h e r m o d y n a m i cs y s t e m b l a c kh o l ea l s oh a v e p h a s et r a n s i t o na n dc r i t i c a lb e h a v i o ra st h a ti nt h e r m o d y n a m i cs y s t e m t h e nw ed i s c u s s e dt h es c a l a ra n de l e c t r o m a g n e t i cp e r t u r b a t i o no fb l a c kh o l ei n t h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r w ed i s c u s s e dn o n - r o t a t i n gb 1 眩b l a c kh o l e ，a d s s p a c e t i m eb a c k g r o u n da n dm a s s l e s sb t zb l a c kh o l er e s p e c t i v e l y w ea l s od i s c u s s e dt h ed i r a cp e r t u r b a t j o no fb l a c kh o l ei nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r f o rt h ec a s en o n r o t a t i n gb t zb l a c kh o l e ，a d ss p a c e t i m eb a c k g r o u n da n dm a s s l e s s b t z b l a c k i nt h el a s tc h a p t e r ，w ec a l c u l a t e dt w op o i n tc o r r e l a t i o nf u n c t i o ni nc o n f o f m a l f i e l dt h r o r y w e 伽s e et h a tt h er e s u l tw h i c hd e r i v e df r o mt w op o i n tc o r r e l a t i o n f u n c t i o ni st o t a l l yt h es a l n ea st h er e s u l to b t a i n e di nc h a p t e r2 t h j sr e s u l tf u r t h e r s u p p o t t st h ea d s c f rc o r r e s p o n d e n c e t h em b t zb l a c kh o l eh a sn oq n m s ，w h i l e t h en o n - r o t a t i n gb t zb l a c kh o l eh a s s ot h e t w ob l a c kh o l ea r ed i f f e r e n tp h a s e s t h e r em a yb ep h a s et r a n s i t i o nb e t w e e nm b t zb l a c kh o l ea n dn o n r o t a t i n gb t zb l a c k h o l e k e yw o r d s ：b t zb l a c kh o l e ，q u a s i n o r m a lm o d e s ，p h a s et r a n s i t i o n z t f l ：0 4 1 2 1 m 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果? 论：定中除 了特别加以标注科致谢的地方步 ，不包吉其他人或其它机构已经发表或撰写趣的 研窀戎果。其他同志对本和f 究的启发和所做的员献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名 论文使用授权声明 日期：逊二! 刁 扛人完全了解复旦大学有关保留、使用学位沦文的规定，即：学校有权保留 送交论文= 的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公稚论文的全部或部分内 餐，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 雠名：燧垃车颢魏蛐虹吼幽 1 1 黑洞的准正则模 第一章引言 在我们的日常生活中，对这样的事实都很熟悉，当我们以任意方式敲一下钟 或拨弄一根琴弦，它们总是会发出一个“特征声音”。这些“特征声音”与我们 外界的干扰方式无关，而只与体系本身的性质有关。这些体系以静态正则模叠加 的形式对任意激发作出反应。黑洞也有一个特征声音。我们以高斯引力波包在 s c h w m - z s c h i l d 几何中演化为一个简单的例子。如图1 ，图2 所示。 c 图1 1 高斯引力波包在s c h w a t 2 s c h i l d 黑洞附近的演化我们可以看到这个波形有特征振动 v i s h v e s h w a r a 首先发现一个显著特点，在特定的时间段，振动的衰减频率是 单一的，这个衰减频率只和表征黑洞的参数有关，对于s c h w a r z s c h i l d 黑洞来说 只与它的质量有关。这些完全与引起这些振动的激发形式的特殊初始条件无关。 这些特征振动总是在中间的一段时间出现。在外场是微扰的单一黑洞时空的线性 条件下，人们已经证明星系坍缩的数值模拟也完全适合黑洞与黑洞碰撞过程。因 此它们都有黑洞的特征。这些特征振动以“准正则模”以及随之产生的“准正则 频率”表征。这个“正则”部分从这些“准正则模”和“正则模”系统明显的相 似性导出。然而，它们之间有很重要的不同，对于“准”：首先，准正则模不是 静态模式，因为它们是指数衰减的，而静态模式不是。准正则模反应黑洞时空向 无穷远处以引力波或任何无质量场的方式辐射能量的事实。当描述一个共鸣系 统，类似钟，吉它或一个星系，人们经常做一个不存在衰减的假设，此假设简单 而又经常准确。 在过去的几十年里，黑洞的准正则模( q n m ) 是一个引起人们很大讨论兴趣 的领域【l - 3 1 。q n m 在天文学上有潜在的应用，因为它可以通过在将来实现的引 力波观测从而直接证明黑洞的存在【1 ，2 1 。除了在天文学上的应用外，黑洞附近的 微扰在理论上也有深刻的意义。由 i n ： 图1 2 ；高斯引力被包在s c b w a r z s e h i l d 黑洞附近的演化这里画的是l o g - l o g 圈准正则模很容易看出来， 在最后一个阶段，有指教率衰减出现 a d s c f f 对应性的发现推动，在反德西特( a d s ) 时空中q n m 的研究在过去的 几年里变得很吸引入。有人争论说，a d s 的q n m 直接与边界上的对偶共形场 ( c f t ) 有关【3 9 】。利用q n m s 研究d s c f f 对应性的尝试也在【1 0 】中给出。近来在 近似平坦空间中的q n m s 需要引起更大的注意，因为在黑洞时空的经典振动和 各种量子特征的可能联系可以通过把q n m 频率的实部联系上 b a r b e r o i m m i r z i ( b 1 ) 参数得到，其中这个参数因子是为了在圈量子引力正确地得 到黑洞熵而手摆的 1 1 1 。在d es i t t e r 时空背景下，类似的讨论得到了推广【1 2 】， 然而在a d s 时空背景下，这方面正确的关系还没找至l j 1 3 。从a d s 时空和d s 时空的微扰结果来看，可以说黑洞附近的q n m s 是a d s c y t 和d s c f f 对应性 等新理论的试验场。 最近也有人争论说q n m s 也有可能应用在高维探测中【5 0 】。 更进一步，在近几年的研究中有人指出，q n m s 能够反应黑洞的相变 1 4 1 。 通过计算电磁扰动的q n m s ，对于【1 5 】中曾经讨论过的有标量毛的小拓扑黑洞， 【1 4 】中声称在q n m s 行为中找到了相变的证据。这是到目前为止有关黑洞相变的 唯一唯象图象，q n m s 能反应黑洞相变性质这个结论是否正确，是否具有普遍性， 是一个值得探讨的问题。 1 2 黑洞的相变 1 9 7 3 年，b a r d c c n ，c a l t c l 和h a w k i n g 【1 】在热动力学定律和有广义相对论导出 黑洞运动定律之间建立了一个相当数学的类比分析。在热动力学定律中正则代换 e m ，r c k ，s a s a c ( c 是常量) ，我们即可立即得到黑洞的运动定律， 这里e ，r ，s 分别为通常热动力学系统中的内能，温度和熵，而m ，b a 为分别表 示黑洞的质量，表面引力和视界面积。考虑量子效应，m w k i n g 2 5 发现当黑洞 在温度为t - r 2 a 时会吸收和发射粒子。h a w k i n g 的发现使人们看到了黑洞温 度的热力学意义，从而使人们相信黑洞是个热动力学系统，黑洞的热动力学在此 基础上有了很大的发展 2 7 ，2 8 。 在通常的热动力学中，相变是个重要的现象。因此，我们自然会问黑洞热动 力学是否存在相变。根据k e 玎n e w m 衄黑洞热容量的无限不连续性，d a v i e s 4 1 声称发现当黑洞跳过热容量的不连续点时会发生二阶相变。尽管在这个奇点的一 些研究已经计算出来 2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，t o u s t o 9 甚至声称d a v i e s 的相变满足临界 点的标量定律，由于在这些点上事件视界并没失去正则性和黑洞的内部状态未受 影响，把d a v i e s 点看作是相交点显得不够充分。更进一步，通过在不同的环境 下研究黑洞的稳定性，k a b u r a k i 和他的合作者 3 4 ，3 5 1 发现d a v i e s 点实际上与稳 定性变化的存在相关，进而声称热容量这些点上的发散性并不意味着相变的发 生。 另一方面，十几年前，基于k e r r 黑洞和激光系统之间的类比，c u r i r 3 6 1 声称 临界点存在与黑洞的极端近似有关，而相变发生在从极端黑洞到非极端k e r r 黑 洞这一点。通过利用非平衡热动力学涨落的l a n d a u l i f s h i t z 理论，p a v o n 和 r u b i 3 7 分别计算了s c h w a r z c h i l d 黑洞，k e r r 黑洞和r e i s s n e r n o r d s t r o m ( r n ) 黑洞 的一些相关量的二极矩，发现极端k e r r 黑洞和极端r n 黑洞的部分二极矩发散， 但s c h w a r z s h i l d 黑洞总是有限的。最重要的是在d a v i e s 点没任何特别的现象发 生。二极矩的发散性使p a v o n 和r u b i 得到一个结论：二阶相变发生在从极端到 非极端黑洞的变化中。这个结论与c u r i r 的结论相符，尽管他们用的方法不同。 为了找到二极矩的发散性的必要性和普适性，c a i ，s u 和、，u 讨论了各种带电 膨胀黑洞的非平衡和平衡涨落【3 8 】，并发现在二极矩发散性中内外视界的不同起 了关键的作用。因此，他们提议这个不同性在黑洞的二阶相变中作为有序参数的 作用1 3 9 。后来，k a b u r a k i 4 0 i 正极端k e r r - n e w m a n 黑洞中临界指数也遵循标 量定律。众所周知，极端黑洞与非极端黑洞有很大的差别，比如，在几何结构， 热动力学【4 1 ，4 2 ，辐射的实体等。w i l c z e k 等【4 3 】争论说热动力学描述不适合一 些极端黑洞，这些黑洞的行为类似正则基本粒子或弦的行为。 为了研究黑洞的性质，一个很有力的方法是去研究量子场和黑洞的相互作 用。t r a s c h e n 4 4 完成了这样一个研究。通过研究r n 黑洞背景下大质量带电标 量场的行为，t r a s c h e n 发现极端r n 黑洞视界附近的时空几何存在标量对称，而 非极端黑洞不存在这样一个有表面引力引进的标量。标量对称导致极端源对极端 背景有长程的影响，对比在非极端黑洞时指数快减少的关联长度标量。长程关联 仅是相变的特征。尽管这些证据支持极端黑洞存在相变，为了更好的理解i 临界点 的行为需要进一步的研究，因为极端黑洞h a w k i n g 温度不存在了，通常热动力 学在极限下也无效。 最近几年，广义相对论的重要进展是b a n a d o s ，t e i t e l b o i m 和z a n e l l i ( b t z ) 发现了2 + 1 维黑洞。关于2 + 1 维黑洞的总结性文章可以在参考文献【4 6 】中找到。 尽管b t z 黑洞在2 + 1 维是k e r r 黑洞的配对，但它们的热动力学性质有很多不同。 一个重要的不同是b t z 黑洞的热容量总是正的并且没有不连续跳跃，而对于大 角动量来说k e r r 黑洞的热容量是负的，即它在d a v i e s 点存在无限不连续性。这 个性质导致不仅巨正则系综，而且正则系综能描述b t z 黑洞气，没有有限温度 存在【4 7 】，不象1 + 1 维膨胀黑洞气存在有限的温度。 c a i 研究了极端b t z 黑洞的临界行为，并计算了一些相关量的临界指数。论 证了无质量b t z 黑洞( m b t l ) 是不旋转的b t z 黑洞( n b t z ) 的一个临界点， 从m b t z 黑洞到一般的不旋转的b t z 黑洞会发生二阶相变 4 9 1 。 本文将进一步探究在q n m s 行为中显示黑洞相变的可能性。我们将集中讨论 三维空间。三维空间中简单的数学形式能帮助我们更好的理解其中的物理意义。 不旋转的( i ，- o ) 的b t z 黑洞的线元是： 出2 一一( 一m + 等】d t 2 + ( 一m + 事】。1 西2 + r 2 d 驴2 c ， 当质量j l f 趋于零时，我们得到一个拓扑不同的无质量( m - 0 ) b t z ( m b t z ) 黑洞： d s 2i 一；d t 2 + 三彳d r 2 + r 2 d 2 ( 2 ) f ， 从这个度规形式我们看出，视界简并在( r - 0 1 处。 另外a d s 时空线元为： d s 2 _ ( ，+ ；) 出2 + ( - + ；) 西2 + r 2 d 妒2 ( 3 ) m b t z 黑洞h a w k i n g 温度为零，熵也为零，也没有热容量，这与通常极端黑洞 相应。极端b t z 黑洞的动力学行为与非极端黑洞的动力学行为在1 1 8 中比较过。 在【1 9 】中证明m b t z 是超对称的，而n b t z 不是，这进一步证明m b t z 和n b t z 是两个不同的相。m b t z 黑洞是分开n b t z 和a d s 时空的一个l 临界点【2 0 】。我们 将研究m b t z 黑洞背景下波动力学和检验微扰是否能帮助我们显示其与n b t z 黑洞是不同的相。为了获得一个确凿的结果，我们首先将再度研究【2 1 】中研究过 的标量微扰，然后把我们的结果扩展到费米微扰的情形。除了在体内微扰动力学 的研究，我们还将从c f t 着手研究q n m s ，并将我们在m b t z 背景下得到的结 果与在n b t z 黑洞背景下【6 ，7 】得到的结果相比较。 第二章黑洞的标量和电磁微扰 标量微扰的波动的方程是： 皓a ，( 而托卜。， 这里鳓是标量粒子的质量。在球对称和轴对称的前提下，这个方程可以化成 下面这种形式： 万d 2 r + ( t 2 一( r ) ) 尺= o ， ( 5 ) 其中( ，) 是与黑洞有关的有效势 6 。 电磁场微扰m a x w e l l 方程描述，写成 f ”，；0 ，w i t h 一4 ，一4 ， ( 6 ) 其中是m a x w e l l 张量a n d 以是电磁矢势。 对于二分量自旋场掣，质量为以满足的协变d i r a c 方程： y 4 ( a ，+ r ，) 1 i ，一以1 l ， ( 7 ) 这里。是标架满足i 醴a n d r ，。i l 【r y n ，r b 】矩阵集合y 4 为在切 空i e 的d i r a c 矩阵满足c l i f f o r d 代数 护，r 6 ) 一2 ，7 。 ( 8 ) 在三维黑洞背景下，这里我们选d i r a c 矩阵为下列形式 y o i t r 2 ，r 1 0 - 1 ，a n dy 2 一o r 3 ，( 9 ) 其中o r 是泡利矩阵。 2 1 对于m 一0 的n b t z 黑洞和2 + 1 维a d s 时空 波动方程( 4 ) 描述标量微扰 6 - 2 9 去a ，( 丢飞) 西o ， 再i v5 5 r 这里，我们设肛：- 0 ( 标量场质量为零) 并假设波函数为 m - 击，( r ) e “ 其中所为角量子数。这里用乌龟坐标比较方便， d r - d r ( 一m + r 2 1 2 1 ，或者有简单的形式 r 埘1 ，2 c o t h ( m 1 2 ) ， ( 1 0 ) ( 1 1 ) 乌龟坐标r 满足 ( 1 2 ) 其中， 一m ，0 】 利用假设( 1 1 ) 和乌龟坐标，方程( 1 0 ) 可以写成( 令f 一1 ) 掣+ 卜面3 m 研+ 碉m 而+ 司m 2 ，( ，) - o ， 定义新变量z - 1 c o s h ( m 1 7 2 ，) 2 ，石 o ，1 和新函数y，其中 ，了x 丽- 1 ) 3 s ) ，方程( 1 3 ) 可以写成下列正则形式： x ( 1 一工) ) ，。+ 【c 一( a + b + 1 ) x y - a b y - 0 ， ( 1 4 ) 其中4 1 + i m l 2 m “2 一i w 2 m “2 ，b l + m 2 m 1 7 2 一i w 2 m 1 7 2 ，和 c 1 - i w m “2 ，这是标准的超几何方程。我们希望得到方程( 1 4 ) 在区间 0 ，1 满足在石一0 处只有入射波和在x 。1 处为零的边界条件的解。它的解可以写成 y 一( 1 一工) c - a - b f ( c 一4 ，c 一6 ，c ，工) ，0 5 ) 其中f 是第二类标准超几何函数。利用在x 一1 处y - o 这个边界条件和公式 f ( 口，b ，c ，1 ) 一r ( c ) r ( c 一4 - b ) r ( c a ) r ( c 一6 ) ，我1 门得到 4 一弗，或6 - 一珂， ( 1 6 ) 这里n 0 ，l 2 ，所以准正则模频率为 - 册一2 m “2n + 1 1 ( 1 7 ) 对于a d s 空间，我们在上述方程中令m 一1 可以得到类似的结果。所以a d s 空间中的标量场扰动模式为 鼻历+ 2 ( 甩+ 1 ) 2 2m 0mbtz 的情况 我们考虑度规( 2 ) 它的事件视界是一0 所以 g 。 ，2 1 2 1 2 一 r 2 g 一- r 2 ；i ；r ；g r - f 2 r 2 r 2 _ 一 1 2 标量场的波动方程有方程( 4 ) 给出。利用假设 中( f ，r ，妒) - r ( ，) e “， 、， 有质量标量场方程可写为， r 陆1a ，( 而) 斗一o ， 詈 a ，( ，( 一笋) a ，) + a ，( r ，；a ，) + a ( r ，；a ) 】a ，一；- - 。 0 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 一；a ；+ ；a ，( ，。；a ，) + 吉a ；】m 一。2 币一。 其中径向部分可表示成， 一导( ) 等甲1 ，融) 等等等叫等一。 1 【 一r 3 ) 等+ ( 字卅等= 。 例r ) + 圳r ) + z 2 ( 字叫一神( ，) = o ( 2 2 ) 这个方程的通解是： r ( r ) a r 1 ( ，) + 丑r 2 ( r ) ， ( 2 3 ) 其中函数r 1 ( ，) 和r ( 2 ( r ) 为 肌盯1 e ( 如m 卢，半) ， ， 肌( 圹e 专f 渺厉等) c z s ， 这里口一z = 孬【i ，p 一历，f ( n ，y ，z ) 是合流超几何函数( 库末解) 。 其中 啊纠小薹崭4 这里( 口) 。- 1 ；( a l - a ( a + 1 ) ( a + n 一1 ) 若甜一t 孚，则口0 ，得 舭，硝”， 胪，硝一 另外，无穷远处的边界条件要求方程( 2 3 ) 里的系数b 为零， 波函数的近似形式为 9 2 9 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 在无穷远处 v 。一专硝”e 专e 气e 叩e 专专 ， ，( r ) “( ，) 鲁m ( r ) 一垂( r ) 导中 ( 2 7 ) 由于在无穷远处的均匀性，对j ( r ) 有贡献的仅来自r o ) ( ，) 项利用第二个 库末赋e 靠( 础一啪隆a ；卦 嘶) 的表达式也可以写成下 一，硝”e 气懒芋) 硝”小肛斟 j ( r ) - o ( 2 8 ) f - 石去巾) 1 0 ( 2 9 砒，加隧驴， ， 为三维时m a x w e l l 场的2 一式f - f 。d x d ，对偶于卜形式d q j 。 第三章黑洞的d i r a c 自旋场扰动 3 1 对于肘一0 的n btz 黑洞和2 + 1 维a ds 时空 协燹d i r a c 万程由方程( 7 ) 给出， 对于w e y l 粒子， 以一0 我们也可以用下列形式分离变量 咿川玎叫酬) ， 把这个分解代入d i r a c 方程( 7 ) ，我们得 一_ i ( m 豕- 2 , 2 ) r u f f 2 + i a l 2 0 , u p 2 + 意2 v ：( 肌+ 以，) m ， ( 3 2 ) i ( m 三j - 了2 广r 2 ) ，掣，+ f ，：以v 。一芸等v 。- m + u s r ) v ： ( 3 3 ) 我们已经设一m r 24 - r 4 1 2 其中f 是a d s 长席标量。诵常我们槁照 c h a n d r a s e k h a r t 黼。定义马，恐，和，；l 得 v 2 一a 一1 h r 2 ， m l f ，行 ( o 。- i e o ) r 2 一了i 1 2 ( 豌一讹r ) 墨 ( a + 泐) r 。丁i a x 2 协+ f 以r ) r 2 又定义，x ，k ，和克： 一( 等) ， 墨- e 1 2 y x ， ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 4 0 ) 得 其中 恐m e 4 7 t ， 池+ 去一( 等) ，p 石咖i 言j ， ( a ，一泐) k 一心， ( 钆一泐) k 一峭， 。，i a 啦( 墒2 + z 2 r 2 ) 2 肌雨r 2 荔毒。 ( 廊2 + 一2 ) + 警 最后，设z 。x t e 我们得 ( a ：+ 山2 ) z 。一k z 。 这里 y w ：业 以 考虑质量为零的自旋子( 以- 0 ) 这时有- ，和w - i a “，r 2 因此 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) k 一帮一m 垮睁m ) l ，2 ， 从( 4 7 ) 式我们立即认识到两个势能函数k 和i i _ 应该产生相同的谱。在超 对称理论里，实际上它们是从超势w 导出的超对称子势能。 类似地，w e y l 扰动的波动方程( 4 6 ) 可以写成下列形式w e y l 凇十一埘( 赢筹) 】z _ 。， 定义新变量， 石- 一s i n h ( m 1 7 2 ，) ，x m ，o ，方程( 4 9 ) 化为 ( 1 + x 2 ) z 。+ x z + z 一0 ( 5 0 ) 景一垮 波函数由z 变为z 得 z ( 石) 。南“z ( m 2 ) z 。+ ( 斋斗+ 鲁川 ( 5 1 ) ( 5 2 ) 设s l ( 1 + x 2 ) ，s 三，】，我们又得到超几何方程“4 ) ，其中a = i r a m 1 2 ， b = - 泐m t ，2 ，和c 。昙t i m l m ，n ，所以这个波动方程的解也是在奇点周围的 指定解并有标准超几何函数的解析连续到复平面给出。 这里无穷远对应5 。j 1 ，所以没有容易的办法确定q n m 频率，只有采取数值计 算。 对于a d s 空间，我们在上述方程中令m 。一1 ，然后可以得到类似的结果。 3 2m = o 的mbtz 情况 矗一吒一；，吒一f r 3 ，r 1 ，吾，r 一一；，吒一r 刍一吾 标架是 。叫仃刀1r ) 仇，- d i a g ( 一1 1 ，1 ) 小叱叫西叫古打爿 砒g 护) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 5 7 ) r o i l 【f y a ，y bj l 引v ( 。一聪) 一一i 1l r a ，bj t e 。v 聪一矾lr y 0 ，1 】( 略气一r 刍) - 一_ 【 r r 0 ，r 1 j 1 f r 一一1 2 l f 。o j 。g 。古号嘉- 寺幸 吒= 日e 。一, 7 ；( 一7 ) 一一手- 亏 同样可以得到r 1 一。和r ：一一i l 【r r i ，r z j a 7 r 一五i 7 t 盯2 d i r a c 力- 程化为 广( a ，+ r ，) 掣- 以v 用方程( 9 ) 给出的d i r a c 矩阵，d i r a c 方程化为： ( r 。( a a 一一三考矿) + r q a t + r 2 ( a z + 圭；仃2 ) ) v 。以掣 或 眵9 0 2 历，+ 台+ 引魄掣 利用波函数的下列假设 咿川“叫猢 把这个分解式代入d i r a c 方程我们得到： 睁i 1 7 2 肌钏t “) 或 b 一口 ， 历，一扣弓vj ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 6 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 俐卜“) 汹， a 土汀 ， 一 历 即 (撕乃，+_。，+；”，一芗ira+； 简化后得 e 。e 脚( 芸譬；) - 以e “( 芸g ；) - c e ， 卜蚺铷巾”) 历 ( ，a ，+ 叭铷巾( 以+ 等) 廊， 其中，一事方程组也可以化为 上述方程组乘以因子1 2 ，得 f ，2 g ( ，) + ( ，一i o d 2 ) g ( ，) - ( 以，一拥) 埘( ，) 1 ，2 日( r ) + ( r + i o d 2 ) 日( ，) 一( 一，+ i m ) l a ( r ) 令z 。r ) 一g ( r ) 日( r ) ，方程组( 7 1 ) 再写成 r r 2 z = z ： + + ( 1 0 + - 心pz 1 ) ) ，z r z ，- 以i l 似( o 。l 一+ 历m ) ) z z + _ 这个方程组的解是 1 5 2 9 ( 6 8 ) ( 6 9 ) ( 7 0 ) ( 7 1 ) ( 7 2 ) p 吖、 肌 州 叫 卜 “k 厂 守爿 泐万泐万 历，历、，h、，1、 卜 小l = ，吖1 础 吲 骘，妇， p p 抒 g r f r z 、ij、j 一肌一r聊一r 一 + “r l r _ _ g 日 二p 二p + + 甜 甜 一 + t 以 ，一产，一p 八一u z + - 扩e 专( 半) - “f ( b ，蛾半) 一矿( 等卜( 丢- v + , l - 札芋) z f 这里 ，。- j 1 以f 俨e 号( 孚) pf 舢轧等) 7 ( 等) 卜，( 三- v _ , l - 玑芋) ( 7 3 ) 当心z c3 1 2 时，方程( 7 3 ) 自动满足无穷远处波函数为零的边界条件。 凼此，我1 门l 三经让日月对于费术仇明也小仔征准止则棋。 守恒径向流是 ，( r 卜驴d r a _ v v 鲁旷 对于波函数( 6 4 ) ，这个流写为 ，( r ) 一日鲁日一h d 西h + g 导g g 昙g 因为z 。( r ) - g ( r ) 日( r ) ，我们有 z昙z+一zd_z：+z：导z一一z一万drd r z ： 4卯们 一( g 。+ 日) 万d ( g + ) 一( g + 日) 昙( g “) + ( g ) 昙( g 一日) 一昙( g 一日) ( g ) 一2 ( g 昙g g 鲁g + 日詈日一日石d 矿) 所眦 ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) ，(r)。二!煮dri一日量dri曼篓drg旦dri(zd zzd z z - g z d _ _ z 、c ， - 习由+ 万z ：+ z 一西一 办z ：) 、。 ，2 孚z + + ( 1 一以f ) r z + z 立二一 一 矗( d + 小) ( 7 8 ) j 汀r 。口一。、7 一。(1+u1)r2孟 旦z巫型?臣一rr z + + ( 1 - l t , 1 ) r z , d r r 2r a ( o ) t + m ) ( 7 9 ) 赤宁d + 阳n 警】z + ，r d z + ( 1 - p , o r z ： z ：一垒l 一( 8 0 ) 一i l ( w + 朋、 l 出z 一 - 丽1 ( i + z1 ) r d z ：+ 阳w 警h ， z 旦z z 旦z 警赤m + 【( 1 韵+ 1 2 ( w 2 1 叫2 _ _ - m 2 ) z + ) 一磐南一咖+ 阳 牮h - 高 ( 1 - 舻2 ) r 2 z ：d 导z + + 【( 1 一们，2 + f 2 ( c 0 2 1 z - m 2 ) z + 石dz ： + 砭历葡1 ( 1 一疋f 2 ) ，2 z a 办z ：+ ( 1 一舻2 ) ，2 + z 2 2 1 2 - m 2 ) z ：鲁z + - 而- 1 _ f 2 新) z ：昙z + + f 2 ( f 0 2 1 2 _ m 2 ) z + 石dz ：) - 等( z ：导z - z 石dz ：) 1 7 圆 径向流写成 ，( ，) - 三( z + d a - ，- z - z 办a _ _ z ：+ z 一l 办z 一- z 一咖a _ _ z ：) _ 丢 z ：导z + 一z + 鲁z ：+ “w l - + 研m ( z + l 西z ，- z ，务a _ _ z ：) 】 _ 熹( z ：知_ z + 万dz ：) 但由于 ( 8 2 ) ( 8 3 ) z 一一专( 孚卜山钆芋) 一 一2 e 粤( 并1f ( 扛，吨，等) 4 一c r ”( 孚) 扣。e ( ，叱；一岳) + d r “2 ( 芋广。e ( ，_ ；一吾) 这是一个实函数。所以我们有 巾) = 熹( z ：导z + _ 万dz ：) - o 通量由方程( 2 9 ) 给出 ，一石丢，( ，) 观 通量为零的事实再次确认在m btz 背景中费米扰动不存在q i j i s 。 1 8 2 9 ( 8 5 ) ( 8 6 ) 第四章两点关联函数 根据a d s c f i 对应性，我们知道a d s 黑洞的o n m s 也能从c f r 得到。受微 扰的动力学系统怎样回到平衡态的问题在统计力学和有限温度场论里是个很重 要的主题。对于小的微扰，这个过程可以用线性反应理论来解释。在动量表象里， 这个松弛过程完全由微扰推迟关联函数的奇点决定。对于通常的b t z 黑洞，a 可 在q n m s 方面的研究【7 】已经得到了结果。对于质量为零的b t z 黑洞，我们可以 用c e t 按下列步骤计算其q n m s 。 p o i n c a r e 度规是 出2 。 咖2 + d w d w ( 8 7 ) 这里已经有许多在边界理论用体- 边界对应性来研究关联函数【5 1 】。据我们所知， 这些研究主要是在p o i n c a r e 坐标系统下进行。在黑洞里的应用，我们感兴趣的是 检测b t z 坐标下这种机制如何工作。作为一个说明的例子，我们会研究算符耦 合大质量标量场的边界值的两点关联函数。我们先来迅速的回顾几点。在 e u c l i d i a n 符号的a d s a 。空间中，一个质量为a 的大质量标量场。关于它的运动 方程有唯一解。在p o i n c a r e 坐标下， 凼。d y 2 + - 群，( 8 8 ) 这个在边界( y - - , 0 ) 处行为近似为中一y 玑中( i ) 。在边界理论中，边界场哦( 王) 有现维和作为源作用在维数为2 以的算子上。参数t 为 k 一* 土扩可) ( 8 9 ) 另一方面，体内场m ( y ，i ) 能够用体边界g 啪n 函数从边界场。( ；) 得到。我们只 关注2 + 1 维的，利用参数变换把；变为m 。所以p o i n c a r e 度规为方程( 8 7 ) 的形式。 然后体内场垂可通过下式从边界值哦得到： 垂( y ，m ，m ) 一f a w ：d w _ k ，( y ，k ，吡；以，以) m 。( 以，矿) ( 9 0 ) 其中体边界g r e e n 函数k 为 嘶，w + ，w 一；州) _ c ( 赤厂+ 这里a w = 屹一w ：在边界处，量化的讨论我们看到 中一) ，2 ( w + ，m ) ( 9 2 ) 上述关系式是在e u c l i d i a n 符号中给出的。在l o r e n t z i a n 符号下，关系式( 9 0 ) 在 体场和它的边界值变得有点复杂。体内场不再单一的有边界值确定。而是要加上 正则模的影响【1 6 】。正则模在边界处的近似行为为) ，玑吼( m ，帔) ，相应于非正则 模的标量方程( 9 2 ) 。在我们两点关联函数的计算中，我们对边界处主要的近 似行为感兴趣。我们将忽略非正则模的贡献并且假定l o r e n t z i a n 符号下与e u c l i d e a n 下有相同的行为。 我们推导这些关系式如何变化蛩j m b t z 坐标( 2 ) ， k 。u l( 9 3 ) y l 了 其中 1 4 。一妒f ，f ( 9 4 ) 边界场m 。有一个共形维数( ，石) - ( 舡，h 一) 所以变换如下 讹( 玎褂l 毗以， p 固 然后，利用式( 9 4 ) 和( 9 5 ) ，我们看到变量关系( 9 2 ) 化成 垂一r “。m 。( k ，“) ( 9 6 ) 从式( 8 7 ) 开始，利用坐标变换关系( 9 3 ) ，标量关系( 9 5 ) ，d w = 的标量和吃- 1 一 ， 我们发现在体内场和边界场的关系式( 9 0 ) 可以写成 中( m 一) 一p ：咖：。( “) 吼( ：，“：) ( 9 7 ) 其中体边界g r e e n 函数有下列形式 x 。( r ，球一；鼙：，“：) 一c r ) 2 h 9 8 ) 这里血。- “。一“：，注意这里在边界坐标的变换下明显不变。为了描述一个黑 洞，我们也需要考虑周期等式。用图像方法已经可以做出来。我们在角坐标毋中 加上纫的整数倍并在g r e e n 函数前加上一个无穷求和号。在类光坐标u 弦下， ( 叫瑚_ ：) 一c 耋( 雨瓦志而五碉广( 9 9 ， ( o ( 虬，一) d ( ：，“：) ) 。我们按照1 2 3 】中的过程并估计下面的表面积分： ，( m ) 一。1 1 m 。j f d u + 出一中( i v ) 中，( 1 0 0 ) 其中正是r 一这个表面，h 是它的诱导度规，i 是与这个表面正交的单位向 厩m 舒a ，( 1 0 i ) 凼2 r f 2 出2 + l ：- - t d r + r 2 d 妒2 ( 1 0 2 ) b 。7 1 ，矗= a e t 一事，： 。一；， c ，。3 ， 扼可- 矗 , a , r 川2 lr 2 i a ? 一t r 2 r ( 1 0 4 ) 中( 州一) ，巩严：出- f k 血l ：u _ 1 巩吼( “) ( 1 0 5 ) ( 为了符号简单从现在起我们将略去在周期图上的无穷求和，形如式( 9 9 ) ) 径 秘。v 西一( 一2 1 1 + ) r 2 h - 严：如：( 1 0 6 ) ，( 中) 一p + 砒一出：咖：( “+ 以) “o o ( “：，“：) ( 1 。7 ) ( 帆。(