（电力系统及其自动化专业论文）小波概率神经网络在电能质量检测中的应用.pdf

a b s t r a c t a b s t r a c t p o w e ri saw i d e l yu s e de n e r g y i ti si m p o r t a n ts i g n i f i c a n c et h a tt h eh i g h q u a l i t y p o w e re n s u r et h es e c u r i t yo fe l e c t r i c a le q u i p m e n ta n dp o w e rg r i d s 、e c o n o m i c o p e r a t i o n 、t oi m p r o v ep r o d u c tq u a l i t ya n dt op r o t e c tt h eb r o a dm a s s e so ft h ep e o p l e l i v ean o r m a ll i f e t h er e c e n ty e a r s ，w i t ht h ev i g o r o u sd e v e l o p m e n to fc h i n a sn a t i o n a l e c o n o m y ，t h ep o w e rl o a di n c r e a s e ss h a r p l ya n dt h el o a dc a p a c i t yi sa l s og r o w i n gw i t h av a r i e t yo f r e c t i f i e r s 、f r e q u e n c yc o n v e r t e r le l e c t r i ca r cf u r n a c e ，e l e c t r i f i c a t i o nr a i l w a y t h e s en e wn o n - l i n e a r 、i m p a c ta n di m b a l a n c eo fe l e c t r i c i t y , m a k et h e p o w e rg r i d v o l t a g ea n dc u r r e n tw a v e f o r md i s t o r t i o n ，o rc a u s et h ev o l t a g ef l u c t u a t i o na n df l i c k e r ， t h r e e - p h a s eu n b a l a n c e da n de v e ng i v er i s et of l u c t u a t i o n si nt h es y s t e mf r e q u e n c y ，i t c a u s es e r i o u s l yp o l l u t i o nt ot h eq u a l i t yo fp o w e rs u p p l y ；o nt h eo t h e rh a n d ，t h er a p i d d e v e l o p m e n to fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g yp r o m o t et h a ti n d u s t r i a lp r o d u c t i o n p r o c e s s e si sh i g h l ya u t o m a t e da n di n t e l l i g e n t ，t h e s eh i g h t e c hi n d u s t r yn e e dt os u p p l y l l i g hq u a l i t yr e q u i r e m e n t s ，m a n yo ft h ee l e c t r o n i c s ，p o w e re l e c t r o n i c se q u i p m e n ta r e p a r t i c u l a r l ys e n s i t i v et ot h eq u a l i t yo fp o w e rs u p p l y , p o w e rs u p p l yw o r kp r o p e r l yo n l y b et oa c h i e v ev e r yh i g hq u a l i t yc o n d i t i o n si no r d e rt ow o r k p r o p e r l y f o ral o n gt i m e ，f o u r i e rt r a n s f o r ma n ds h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o r ma r et h e d o m i n a n tp o s i t i o ni ns i g n a la n a l y s i s ，h o w e v e rb e c a u s eo fi t si n h e r e n td e f e c t s ，t h e y c a nn o tb ee f f e c t i v e l ya p p l i e dt op r o c e s sn o n s t e a d y - s t a t e sd i s t u r b a n c e so fp o w e r q u a l i t y w a v e l e tt r a n s f o r mc a np r o v i d eav a r i a b l et i m e - f r e q u e n c y sw i n d o wa n di th a s c h a r a c t e r i s t i co fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，w h i c hm a k e sw a v e l e tt r a n s f o r mt oh a v e i n c o m p a r a b l ea d v a n t a g e si na n a l y s i st h en o n s t e a d y - s t a t es i g n a lt h a nt h et r a d i t i o n a l m e t h o d t h i sa r t i c l ed e t a i l st h eb a s i cp r i n c i p l e so ft h ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dw a v e l e t p a c k e tt r a n s f o r m ；p r o b a b i l i s t i cn e u r a ln e t w o r k sb a s i ct h e o r y , i t sm a i nc o n t e n t s i n c l u d et h eb a s i ct h e o r yo fn e u r a ln e t w o r k s ，p r o b a b i l i s t i cn e u r a ln e t w o r ks t r u c t u r ea n d l e a r n i n ga l g o r i t h m ；i nt h es i m u l a t i o n ，a n a l y s i ss o m eo ft h em a j o rs t a t e 、d y n a m i c d i s t u r b a n c ep o w e rq u a l i t yu s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ，a c c o r dt ot h ep a r s e v a lt h e o r e m ， e x t r a c to fe n e r g ya saf e a t u r ev e c t o ri n p u tt h ep r o b a b i l i s t i cn e u r a ln e t w o r k ，u s et h e i i a b s t r a c t p r o b a b i l i s t i cn e u r a ln e t w o r kt od e t e c tt h et y p eo fp o w e rq u a l i t yd i s t u r b a n c e ，i m p r o v e t h ep r o b l e m si ns i m u l a t i o n ；u s et h em a t l a bl a n g u a g e ，d e s i g no fad i a l o g b a s e du s e r i n t e r f a c e ，b yp r e s s i n gt h eb u t t o ni nt h ei n t e r f a c et or e a l i z e dt h es i g n a li n p u t 、w a v e l e t t r a n s f o r m 、t h ew a v et r a n s f o r m so u t p u t 、e x t r a c tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ee n e r g y 、 o u t p u tt h ea u t o m a t i cc l a s s i f i c a t i o no fp o w e rq u a l i t yb yp r o b a b i l i s t i cn e u r a ln e t w o r k k e yw o r d s ：p o w e rq u a l i t y ；f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ；m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；m a t l a ba l g o r i t h m ；w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m a t i o n ； p r o b a b i l i s t i cn e u r a ln e t w o r k i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：审林签字日期：劢p 乎年、2 一月g - 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：下日未抓导师签名：信拟 签字日期：) 口勺譬年1z 月i 孚 e t签字e t 期：洳艿年j1 月i 孑e t 第1 章概述 第1 章概述 1 1 电能质量 电力是现代人类社会生产与生活不可缺少的一种主要能源形式。随着电力 市场的逐步形成，电能质量问题在许多国家已经引起电力部门和用户的广泛关 注。供电质量不高将引起产品质量下降，甚至导致某些重要的生产过程中断， 从而造成严重的经济损失。为了采取合理的措施提高电能质量，必须建立电能 检测分析系统，对其进行正确的检测、评估和分类。当前比较受关注的电压质 量问题现象有：电压凹陷( s a g ) 、电压凸起( s w e l l ) 、电压间断( o u t a g e ) 、谐 波( h a r m o n i c ) 和电压波动( f l u c t u a t i o n ) 等。从普遍意义上讲，电能质量是指 优质供电，对电能质量的技术含义存在有不同的认识，这是由于人们看问题的 角度不同所引起的，如电力企业可能把电能质量看成电压( 偏差) 与频率( 偏 差) 的合格率，电力用户则可能把电能质量笼统地看成是否向负荷正常供电， 而设备制造厂家则认为合格的电能质量就是指电源特性完全满足电气设备正常 设计工况的需要，但实际上，不同厂家和不同设备对电源特性的要求可能相去 甚远。 i e e e 技术协调委员会则从电能所产生的效果来定义电能质量，指出：合格 的电能质量是指，给敏感设备提供的电力和设置的接地系统是均适合于该设备 正常工作的【5 。i e e e 给出的这个概念较为抽象，d u g a n 给出一个更具体的定义 可以做为补充：导致用户设备故障或不能正常工作的电压、电流或频率偏差都 是电能质量问题【6 】。 1 2 电能质量分类 配电系统中电能质量问题主要可以分为稳态和动态两大类。稳态电能质量 问题主要包括三相电压不平衡、电压波动与闪变、电压偏移、频率偏移以及其 它以波形畸变为特征的谐波、间谐波、陷波等现象；动态电能质量问题主要包 括短时电压改变以及各种暂态现象【5 】。其中短时电压改变是指出于系统中发生故 障或较大负载变化所引起节点电压方均根值在短时间内随时间改变现象，包括 电压骤升、电压骤降以及瞬时中断等现象；暂态现象通常是指暂态过电压，可 第1 章概述 分脉冲暂态和振荡暂态两类。此外，配电系统中还存在大量由于不正确的接线 或接地所引起的各种稳态和动态噪声剖问题。 各种电能质量指标是对电能质量各个方面的具体描述，不同的指标具有不 同的含义。自i e e e 颁布i e e es t d5 1 9 以来，i e e e i e c 和a n s i 等组织都成立了 专门的电能质量研究组，并颁布了一系列的电能质量标准，包括i e e es t d5 1 9 ， i e e es t d11 0 0 ，i e e e p l 3 3 6 ，a n s ic 8 4 1 和i e c1 0 0 0 系列等。我国在参照i e c 等 标准的基础上相继颁布了六个相关标准：电能质量供电电压允许偏差( g b 1 2 3 2 5 - 1 9 9 0 ) 、电能质量公用电网谐波( g b t1 4 5 4 9 1 9 9 3 ) 、电能质量三 相电压允许不平衡度( g b t1 5 5 4 3 1 9 9 5 ) 、电能质量电力系统频率允许偏差 ( g b t1 5 9 4 5 1 9 9 5 ) 、电能质量电压允许波动和闪变( g b1 2 3 2 6 2 0 0 0 ) 、电 能质量暂时过电压和瞬时过电压( g b t1 8 4 8 1 2 0 0 1 ) 等。 表1 1 对电力系统中发生的主要电能质量问题的性质、特征指标、产生原因、 后果、以及解决方法作了系统的归纳，表1 2 给出了i e e e 关于电力系统电磁现 象的种类和特征【7 i 。 表1 1 电能质量问题一览 表1 2 与电能质量有关的电磁现象 类别上于。时间 持续时间 l5 n s 1 m s 类别频谱持续时间电压幅值 低频 5 k h zo 3 5 0 l as 0 4 p u 振荡瞬变现象 中频 5 5 0 0 k h z2 0us 0 - s p u 高频0 5 - 5 m h z 5us 0 4 p u 短时电压变动中断o 5 3 0 t 0 1 p u 瞬间凸起 o 5 3 0 t 0 1 o 9 p u 凹陷0 5 3 0 t 1 1 - - 一0 8 p u 暂时 中断3 0 t 一3 s 1 m i n 0 9 p u 过电压 1 m i n 1 1 - 1 2 p u 电压不平衡稳态0 5 2 直流偏移稳态 o 0 1 谐波0 1 0 0 次稳态 0 2 0 波形畸变间谐波o “k h z 稳态 o 2 波形下陷稳态 噪声宽带稳态o l 注：t 为工频周期。 1 3 电能质量分析方法 近年来，基于数字技术的各种分析方法已在以下的电能质量领域中得到广 泛应用【8 】： ( 1 ) 分析谐波在网络中的传播； ( 2 ) 分析各种扰动源引起的波形畸变； ( 3 ) 开发各种电能质量控制装置，分析它们在解决电能质量问题方面的作用。 按所采用的不同分析方法，这种技术主要可分为时域、频域和变换域3 种 【9 】【l o 】 o 1 3 1 时域仿真方法 在3 种方法中，时域仿真方法在电能质量分析中的应用最为广泛，其最主 要的用途是利用各种时域仿真程序对电能质量问题中的各种暂态现象进行研 究。目前较通用的时域仿真程序主要有e m t p ，e m t d c ，n e t o m a c 等系统暂 态仿真程序和s p i c e ，p s p i c e ，s a b e r 等电力电子仿真程序两大类。由于电力 3 第1 章概述 系统主要由r ，l ，c 等元件组成，这些程序在求解用微分方程描述的电力元件 方程时，通常采用简单易行的变阶、变步长、隐式梯形积分法。利用隐式可保 证求解过程中的数值稳定。采用变阶、变步长技术可缩短迭代计算的时间。采 用时域仿真计算的缺点是仿真步长的选取决定了可模仿的最大频率范围，因此 必须事先知道暂态过程的频率覆盖范围。利用上列暂态仿真程序可在如下电能 质量领域开展研究： 1 计算系统中出现的过电压，分析其对各种保护设备的影响； 2 分析电容器投切造成的暂态现象； 3 分析可控换流器换流造成的电压波形下陷； 4 分析电弧炉造成的电压闪变； 5 分析不正常接地引起的电能质量问题； 6 分析电压凹陷等电能质量问题对各种用电设备造成的影响； 7 开发改善电能质量的新型电力电子控制器。 由于配电系统中电能质量问题的日益严重，而广大电力用户对电能质量的 要求不断提高，研究和应用各种改善电能质量的电力电子控制器已成为当务之 刍 定蚤。 利用暂态仿真程序对这些控制器及其控制策略进行仿真分析，将成为这些 时域仿真程序在电能质量应用领域中比较有发展前途的方法。此外，由于e m t p 等系统暂态仿真程序的不断发展，其功能日益强大，还可利用它们进行电力设 备、元件的建模和电力系统的谐波分析。 1 3 2 频域分析方法 频域分析方法主要用于电能质量中谐波问题的分析，利用常规谐波潮流计 算，分析谐波在系统中的分布情况。 在谐波分析中，线性网络可用式( 1 1 ) 表示。 ，。= 匕u 。m = 1 , 2 ，3 ，h r 1 _ 1 、 、一， 式中，为节点导纳矩阵，厶为注入电流源矢量，为节点电压矢量；m 为谐波次数，其中，对应每个谐波频率的都要单独生成。 通过向所需研究的节点注入幅值为1 的电流，其余节点的注入电流置为零， 求解式( 1 1 ) 所得的电压即为该节点的谐波输入阻抗和相应各节点间的转移阻抗。 当注入电流的频率在一定范围内变动时，可得相应谐波阻抗一频率的分布 4 第1 章概述 图，从图中曲线的谷值和峰值可确定该节点发生串、并联谐振的频率。 对应每个谐波频率，从各非线性负载电流中取出相应的分量组成注入电流 矢量，代入式( 1 1 ) 即可求出各节点电压的相应频率分量。将这些分量合成，又可 得各节点电压的时域波形。 这种方法简单，适用于大多数情况，因此在实际谐波潮流计算中应用较多。 近年来又提出一种更精确的方法一混合谐波潮流计算法，可详细考虑非线 性负载控制系统的作用，因此可精确描述其动态特性，缺点是计算量大，求解 过程复杂【1 1 j 。 1 3 3 基于变换域的方法 基于变换的方法主要指f o u r i e r 变换方法、短时f o u r i e r 变换方法以及近年来 出现的小波变换方法。 f o u r i e r 变换方法 连续信号x ( f ) 的傅立叶变换公式为 f ( w ) = - x ( t ) e - j w t d t r12 、 ii，i 傅立叶变换将信号从时域变换到频域，其实质是将原始信号分解为一组正 交三角函数的加权组合。它能较好地刻划信号的频域特性，能够清楚地表达出 谐波的幅值和相角。 作为经典的信号分析方法f o u r i e r 变换具有正交、完备等许多优点，而且有 像f f t 这样的快速算法，因此，已在电能质量分析领域中得到广泛应用。但在 运用f f t 时，必须满足以下条件： 1 、满足采样定理的要求，即采样频率必须是最高信号频率的两倍以上； 2 、被分析的波形必须是稳态的、随时间周期变化的。 因此，当采样频率或信号不能满足上列条件时，利用f f t 分析会产生“旁 瓣”和“频谱泄漏”现象，给分析带来误差。 此外，由于f f t 变换是对整个时间段的积分，时间信息得不到充分利用， 信号的任何突变，其频谱将散布于整个频带，分析时得出错误的结果。因此， 傅立叶变换不适合对时变信号进行分析。 短时f o u r i e r 变换方法( s t f t ) 由于在实际工作中所遇到的信号往往是时变的，即信号的频率随时间变化， 5 第1 章概述 而传统的傅立叶变换，由于基函数是复正弦，缺少时域定位的功能。为解决这 一问题，g a b o r 利用加窗，提出了短时f o u r i e r 变换方法，即将不平稳过程看成 是一系列短时平稳过程的集合，将f o u r i e r 变换用于不平稳信号的分析。 信号x ( f ) 的短时傅立叶变换定义为： s t f t x ( t ，q ) = 卜。培i q ( f ) 如= 卜( f 涫( f t ) e - j n d r = ( x ( f ) ，g ( r - t ) p 皿7 ) f13 、 其中，g ( r ) 是窗口函数。式( 1 3 ) 的意义是和g ( f ) 沿时间轴f 滑动，截取一段 一段的信号，然后对每- d , 段分别作傅立叶变换，得至j j ( t ，q ) 平面上的二维函数 s t f t ( t ，必。 由于实际多尺度过程的分析要求时一频窗口具有自适应性，即高频时频窗 大、时窗小，低频时频窗小、时窗大；而s t f t 中窗口函数g ( r ) 是不变的，因此 s t f t 的时一频窗口则固定不变，如图1 1 。只适合于分析特征尺度大致相同的 过程，不适合分析多尺度过程和突变过程。 而且，这种方法的离散形式没有正交展丌，难以实现高效算法。 小波变换方法 信号x ( ，) 的小波变换定义为： w t x ( a ，6 ) ：下1 i x ( f 妒( 丝) d r 4 a a ( 1 4 ) ( f ) 称为基本小波，或母小波，驴l a ( f ) 是母小波经移位和伸缩所产生的一 组函数。,b 小波变换由于具有时一频局部化的特点，如图1 2 ，克服了以上f f t 和s t f t 的缺点，特别适合于突变信号和不平稳信号的分析。小波变换作为一种新的数 字技术被引入工程界后，己在图象处理、数据压缩和信号分析等领域得到广泛 应用。由于小波函数本身衰减很快，也属一种暂态波形，将其用于电能质量分 析领域，尤其是暂态过程分析领域将具有f f t ，s t f t 所无法比拟的优点。 6 第1 章概述 t 1 l 2 t 图1 1 ( a ) 短时傅立叶变换时频窗 q o ，一 毛，一 图1 1 ( b ) 短时傅立叶的相平面 t 1 t t 图1 2 小波变换自适应时频窗 1 4 改善电能质量的意义 从市场经济的商品质量这个普遍意义讲，了解电能质量，改善电能质量是 必不可少的。改善电能质量的意义可简要概括为以下几点： ( 1 ) 经济运行的必要条件，是电网运行水平高低的重要标志，同时也是电力 企业用电管理水平考核的重要指标。 ( 2 ) 是提高国民经济总体效益、用电效率( 节能、降损) 和改善电气环境，以 及工业生产可持续发展的技术保证。 ( 3 ) 是面向电力市场、适应竞争机制强有力的手段。 7 第1 章概述 ( 4 ) 通过建立和健全电能质量的全面管理，保障各行各业的正常用电秩序， 为干家万户提供信得过的产品。 随着电能质量标准的制定和实施，电能质量监督管理法规体系的逐步建立， 必将大大促进设备制造厂家提高其设备与电源系统的兼容性。在促进电力用户 在提高产品生产率、使用高性能设备的同时，严格限制对电源系统和其他设备 的电磁干扰，并且促使供电部门加强电能质量的技术监督与电网的运行管理， 采用先进的技术措施，推动电能质量的监测与控制的研究和丌发保证提供合格 的电能和优质的服务。 1 5 本文的工作 本文利用小波变换具有良好的时频局部性，对各种稳态、动态电能质量做 小波变换，根据p a r s e v a l 定理，提取能量特征向量作为概率神经网络的输入，利 用概率神经网络的优势：用线性学习算法来完成以往非线性学习算法所做的工 作，同时又能保持非线性算法的高精度等特性；在应用于分类问题时准确性高。 通过概率神经网络检测出电能质量干扰的类型，运用m a t l a b 语言，设计基于对 话框的用户界面，通过按界面按钮能实现信号的输入、进行小波变换、小波变 换后波形输出、特征能量提取、概率神经网络对电能质量的自动分类输出。 8 第2 章小波变换基本理论 第2 章小波变换基本理论 2 1 引言 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是8 0 年代后期发展起来的一门新兴学科，它是 傅立叶( f o u r i e r ) 变换的发展结果。由于小波变换在时域和频域同时具有良好的局 部化性质，人们可以对对象的任何细节加以分析，所以称之为“数学显微镜”。 傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域， 因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最 关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至 根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、g a b o r 变换、时频分析、小波变换等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统 的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。但由于s t f t 的定义决定了 其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变 信号是不利的。此外，在进行数值计算时g a b o r 基无论怎样离散，都不能构成 一组正交基，因而给数值计算带来了不便，这些是g a b o r 变换的不足之处，但 恰恰是小波变换的特长所在【1 2 】。 小波变换是一种信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析方法，它具有多分辨率 分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征 的能力，是一种时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频 部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间 分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并 展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜【l2 1 。将小波变换用于暂态电能质量 分析领域，将具有f f t ，s t f t 所无法比拟的优点近年来，国内外许多学者都利 用小波变换对暂态电能质量问题进行研究，取得了许多成果。小波变换在暂态 电能质量分析领域的应用主要包括：( 1 ) 电能质量扰动检测，扰动起止时刻、持 续时间是描述扰动的重要属性，利用小波变换在信号突变点的特性，可以实现 电能质量扰动信号起止时刻的检测【1 3 】【1 4 】。( 2 ) f l t 于小波变换具有提取信号特征的 能力，能够与人工智能技术相结合实现电能质量扰动的自动分类5 】【l6 。( 3 ) 小波 变换具有集中系数的能力，在电能质量扰动数据压缩方面有独特的优势【1 7 1 。( 4 ) 9 第2 章小波变换基本理论 利用小波变换进行信噪分离，对电能质量扰动信号进行去噪处理【1 8 】；此外，小 波变换还被用来对电压凹陷等暂态扰动进行分析，对暂态现象的微分方程进行 描述，分析暂态现象在电力系统中的传播特性等。 2 2 傅立叶变换( f t ) 与短时傅立叶变换( s t f t ) 2 2 1 基本傅立叶变换( f t ) 傅立叶变换是众多科学领域( 特别是信号处理、图象处理等) 罩重要的应用工 具之一。从实用的观点看，考虑傅立叶分析的时候，通常是指积分傅立叶变换。 定义1 1 函数f ( t ) i j ( r ) 的连续傅立叶变换定义为 f ( 2 饨弦一衍 ( 2 1 ) 卜 f ，li f ( c o ) 的傅立叶逆变换定义为 凡) = 芴1e ，( 咖肌咖 ( 2 2 ) 傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换 的实质是把月d 这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和，这样我们就可 以把对原函数，( d 的研究转化为对其权系数，即其傅立叶变换尺w ) 的研究。从傅 立叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此在频 域内是局部化的。对于任一频率w ，通过必o 与e 的内积在一o o 到+ 0 0 积分，即 得到其权系数。从傅立叶变换的定义可以得出其对周期信号的分析具有良好的 效果，对大多数平稳信号傅立叶分析十分有效，因为信号的频率成分具有相当 重要的作用，作为经典的信号分析方法傅立叶变换具有正交、完备等许多优点， 并有f f t 这样的快速算法【1 9 1 ，因此傅立叶变换方法在信号分析领域得到了广泛 的应用。 虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信 号的时域和频域观察，但却不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域 波形中不包含任何频域信息，信号的频域信息不包含任何时域信息。而其傅立 叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分， 没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱 中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的，对于任何瞬时出现的干 1 0 第2 章小波变换基本理论 扰信号，都会把干扰信号分解到整个时间域内各频段波形叠加，给分析带来错 误。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附 近的频域特征都很重要。如电压的暂态尖峰脉冲，就是一瞬变信号，仅从时域 和频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能将时域和频域结合 起来描述观察信号的时域联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分 析法。 2 2 2 短时傅立叶变换( s t f t ) 短时傅立叶变换的基本思想是：在f o u r i e r 变换的框架中，把非平稳过程看 成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过一个参数，的平移来覆盖整 个时域，也就是说采用一个窗函数g ( r f ) 对信号x ( d 作乘积运算来实现在，附近 的开窗和平移，然后再进行傅立叶变换，以便确定时刻，时间间隔内存在的频率。 其表达式为： s t f t 。( t ，q ) = j x ( f 培i q ( r ) a t 2 j x ( f 培( f t ) e 吖n 7 d r f 23 、 x ( o 为待分析的信号，g ( r f ) 起着时限的作用，p 一皿7 起着限频作用。随着时 间r 的变化，g ( o 所确定的“时间窗”在，轴上移动，使x ( 0 “逐渐 进行分析。 g ( 力往往被称之为窗口函数( f 反映滑动窗的位置) 。s 乃q ( f ，q ) 大致反映x ( d 在时 刻f 时、频率为q 的“信号成分”的相对含量，如图1 1 ( b ) 。这样信号在窗函数 上的展开就可以表示为在【f 一盯，f + 仃】、【彩一彩+ g 这一区域内的状态，并把 这一区域称为窗口，o r 和g 分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分 辨率，窗宽越小则分辨率就高。很显然，希望o r 和s 都非常小，以便有更好的时 频分析效果，但海森堡( h e i s n b e r g ) 钡t j 不准原理( u n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ) 指出仃和s 是互相制约的，两者不可能同时都任意小。 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具 有局部分析能力的缺陷，但也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g ( d 确定 后，矩形窗口的形状就确定了，f 和w 只能改变窗口在相平面的位置，而不能改 变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要 改变分辨率，则必须重新选择窗函数譬( r ) 。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳 信号还可以，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要 求有较高的时间分辨率( 即o r 要小) ，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频， 第2 章小波变换基本理论 则要求有较高的频率分辨率( 即s 要小) ，而短时傅立叶变换不能兼顾两者。 总之，由于加窗傅立叶变换的时一频窗口大小不能任意改变，因此只能分 析所有特征大致相同的信号而不适合分析多尺度信号过渡过程和突变过程，且 其离散形式不能实现正交展开【2 0 】【2 1 1 ，难以获得高效算法，因此造成其应用上的 缺陷，限制其应用范围。 2 3 小波变换 小波变换用一组连续变化的伸缩平移基沙 ( ，) 来代替短时傅里叶变换中的 g t , q ( f ) = g o f ) p 膨，使它的时频域窗口均随频率的变化而变化，以实现对低频 分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。少 ( ，) 经 适当离散化后可形成一组标准正交基，因此它不仅在时频分析方面，而且在数 字信号处理及数值计算等方面都获得了广泛的应用。 2 3 1 连续小波基函数 小波( w a v e l e t ) ，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0 的波 形。 小波函数的确切定义为：设y ( r ) 为一平方可积函数，即y ( ，) = r ( r ) ，若其 傅立时变换少( 缈) 满足条件： 铲斛 亿4 ， 则称y ( f ) 为一个基本小波或小波母函数，我们称式( 2 4 ) 为小波函数的可容 许条件。由小波函数的定义可知，小波函数一般具有以下特点【1 2 】： 1 小一它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上讲，任何满足可容 许性条件的三2 ( 尺) 空间的函数都可以作为小波母函数( 包括实数函数或复数函 数、紧支集或近似紧支集函数、正则或非正则函数等) 。但一般情况下，常常选 择紧支集或近似紧支集的具有时域局部性具有正则性的( 具有频域局部性) 实 数或复数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时域和频域都具有较好的局 部特性。 2 波动性一由于小波母函数满足可容许性条件( 2 4 ) ，则必有缈( ) i 。：。= 0 ， 也即直流分量为零。由此判定小波必具有正负交替的波动性。为了进一步说明 1 2 第2 章小波变换基本理论 小波函数以上两个性质，图2 2d a u b e c h i e s ( d b n ) t b 波基函数时域波形图更好的 体现了小波函数上述两大特点。 连续小波基是小波母函数( ，) 进行伸缩和平移得到的，设其伸缩因子为口， 平移因子为f ，令其平移伸缩函数为。，( f ) ，即连续小波基，则有： 沙们( f ) = 口一尼缈( 三) ，口 o ，f z 由于小波基函数在时域、频域都具有有限或 口 近似有限的定义域，显然，经过伸缩平移后的函数仍是局部性的。当口逐渐增 大时，基函数y 。，( f ) 的时间窗口a t 逐渐变大，而其对应的频域窗口a c o 相应减少， 中心频率逐渐变低。相反，当口逐渐减小时，基函数杪。，( f ) 的时间窗口a t 逐渐 减少，而其对应的频域窗口a c o 相应增大，中心频率逐渐升高，如2 1 所示。 以下我们对窗口的变化情况进行定量分析：设小波母函数( f ) 窗口宽度为， 窗口中心为，则相应可求得连续小波y 。( f ) = 口一尼y ( ! 三) ，窗口中心为 口 t a ，= a t o + f ，窗口宽度为：a t = c e a t 。同样设( 缈) 为5 f ，( ，) 的傅立叶变换， 其频域窗1 5 1 为，窗口宽度为缈，设沙 ( f ) 的傅立叶变换为 ( c o ) ，则有： 1 少叩( c o ) = 口挽e - j 。r ( 彻) 。所以器频域窗口中心为：寺吵吖= 口1 ，窗口宽度为： 二 卵= 口一a c o ，如图2 1 所示。可见，连续小波丸，( ，) 的时域、频域窗口中心 及宽度均随尺度口变化而伸缩。称a t a c o 为窗口函数的窗口面积，由于 ，。，畋，= a a t 口a c o = a t a c o ，所以连续小波基函数的窗口面积不随参数 口，f 而变。这正是海森堡测不准原理告诉我们的：a t a r o 的大小是相互制约的， 1 乘积a t a r o ，且只有当矽( f ) 为高斯函数时，等式才成立。如图2 1 所示 1 3 第2 章小波变换基本理论 1 d 1 a 3 1 a 2 1 4 l 图2 1 小波基函数的相平面 由此得出以下几个结论【2 3 】： ( 1 ) 尺度的倒数l 口在一定意义上对应于频率c o ，即尺度越小，对应频率越 高；尺度越大，对应频率越低。如果将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信 号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号，这一点同信号时频分布的自然规 律是相符的，因为实际中的高频信号必然持续时间很短，低频信号必然持续时 间较长。 ( 2 ) 在任何f 值上，小波的时、频域窗口的大小出和a c o 。都随频率缈的变 换而变换。这是与s t f t 中的基g 鲫( ，) = g ( t - r ) e 膨的不同之处。 ( 3 ) 在任何尺度a 、时间f 上，窗口面积a t a c o 保持不变，也即时间、尺度 分辨率是相互制约的，不可以同时提的很高。 ( 4 ) 由于小波母函数在频率具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是 一组带通滤波器。通常将带通宽度与中心频率的比值称为某一带通滤波器的品 质因数，即沙( 缈) 的品质因数为：q = 。当经过尺度伸缩后，其品质因数 为： 1 ：丝：竺：q 缈口，r 土n 缈o 1 4 第2 章小波变换基本理论 由以上分析可知，小波基函数沙 ( f ) 作为带通滤波器，其品质因素不随尺 度a 变化，小波基函数是一组具有恒品质因数q 的带通滤波器。 ；圈四圈团田 #_ d b 2 d b 3d b 4 d b 5d b 6 田圈田田 d b 7 1-竹 d b 8d b 9 d b l 0 图2 2d a u b e c h i e s ( d b n ) j 、波基函数 2 3 2 连续小波变换 对于任意的可积函数x ( t ) el 2 ( r ) ，若选用的小波基函数为沙( ，) ，则信号的 连续小波变换c w t ( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) 为 w x ( a , 6 ) _ ( w 础) = 肾- i 卜( 坝竿) d r r “ ( 2 5 ) 称为x ( ，) 的小波变换。式中a 0 是尺度因子，f 反映位移，其值可正可负。 其中p , ( f ) = y ( ! 三) 是基本小波的位移与尺度伸缩。小波变换的含义是把 口 a 函数少( ，) 作位移f 后，再在不同尺度a 下与待分析的信号x ( f ) 作内积。式( 2 5 ) 中 不但，是连续变量，而且口和f 也是连续变量，因此称为连续的小波变换 ( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，简记c w t ) 。 基本小波妙( ，) 可能是复数信号，特别是解析信号。例如 f 2f 2 1 2 伊( f ) = er e j 哪= e7 c o s ( 2 ) o ，+ j e r s i n c o o t ( 称为m o r l e t 小波) 便是一列，它是高斯 包络下的复指数函数，其虚部是实部的希尔伯特变换( h i l b e r tt r a n s f o r m ) 。 尺度因子a 的作用是将基本小波y ( f ) 作伸缩，a 愈大吁a ( t a ) 愈宽。在不同尺 度下小波的持续时间( 也就是分析时段) 随口加大而增宽，幅度则与口成反比 减少，但波的形状保持不变。随着尺度因子a 发生变化，对应窗口中心频率以 及窗口宽度a c o l a 也发生变化，因此小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方 法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而当分析高频信号时，其时间窗减小， 1 5 第2 章小波变换基本理论 这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间较短，低频信号持续时间较长的自 然规律。 ( ，) 前加因子1 口的目的是使不同的口值下使”( f