（船舶与海洋工程专业论文）近岸水域波浪与结构相互作用研究.pdf

上海交通大学博士后研究出站报告 摘要 波浪与海洋结构物之间的相互作用是海岸工程中非常重要的研究课题。随着社 会经济的发展，海岸工程项目的数量及投资规模越来越大，而近岸水域的波浪直接 影响工程结构物的规划设计与安全，因此对近岸波浪等海岸动力要素的确定提出了 更高的要求。渡海登岛作战中迫切需要解决的问题之一就是近岸水域中浮式结构物 所受波浪力和运动特性的确定以及消波减浪系统的设置。因而研究近岸水域波浪传 播及其与近海结构物的相互作用是十分必要的。 第一章回顾了波浪与结构相互作用研究几种常见的理论模型、计算方法以及国 内外学者相关研究成果。 第二章、第三章、第四章、第五章分别用解析的方法研究了v 形贯底式防波堤、 圆弧形贯底式防波堤、圆弧形浮式防波堤、圆弧形多孔介质防波堤对波浪的绕射。 通过分区特征函数展开和公共边界上匹配，可得到一系列关于未知系数的线性代数 方程组。求解代数方程，即可得到各个区域的速度势、波形、压力等参数。 该方法的成功实现，是对波浪与结构相互作用研究解析方法的重大突破，有利 于深刻揭示波浪与结构相互作用的本质规律：同时为以后波浪与结构相互作用的数 值模拟提供了可供比较的基础。 基于以上方法，分别对四种不同类型的防波堤与波浪相互作用进行了计算。数 值结果给出了不同的入射波参数、不同的防波堤参数对波浪绕射的等值线图，总结 了各种防波堤对波浪绕射的系列规律，为工程设计和工程使用提供了量化的参考依 据。 。 第六章以缓坡方程为控制方程，建立了两种不同边界模型，用有限元方法数值 模拟任意形状贯底式结构对波浪的绕射。该方法的成功实现，不仅大大拓展了近岸 水域波浪与结构相互作用研究的适用范围，也为研究近岸水域波浪与浮式结构相互 作用奠定了基础。基于该数值模拟方法，系统地给出了矩形防波堤对波浪的绕射， 同时还计算了单突堤和双突堤对波浪的绕射。这些数值结果有助于了解不同的物体 形状对波浪绕射的规律及准确数值，为工程设计提供参考。 第七章是全文的总结以及研究展望。 关键词：防波堤；特征函数；波浪绕射；解析研究：数值模拟；缓坡方程；速度势 上海交通大学博士后研究出站报告 a b s t r a c t t h es t u d yo fw a v ei n t e r a c t i o nw i t hm a r i n es t r u c t u r e si so fp a r t i c u l a ri m p o r t a n c ei n c o a s t a le n g i n e e r i n g w i t hd e v e l o p i n go fs o c i a le c o n o m i c s ，t h ea m o u n ta n di n v e s ts c a l eo f o c e a ne n g i n e e r i n gp r o j e c t sg e tm o r ea n dm o r e a st h ew a v e sh a v ee f f e c to nt h el a y o u ta n d t h e s e c u r i t yo fo c e a ne n g i n e e r i n gs t r u c t u r e s n e a rs h o r e r e g i o n ，i t i s i m p o r t a n tf o r a c c u r a t e l yd e t e r m i n i n gt h ew a v ef o r c e sa n do t h e rc h a r a c t e r i s t i c so fs t r u c t u r e s i nc r o s s i n g a n dl a n d i n go p e r a t i o n ，t h eo n eo fk e yp r o b l e m si st od e t e r m i n et h ew a v ef o r c e sa n d m o t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ff l o a t i n gs t r u c t u r e sa n dt os e tu pt h es y s t e m so fa t t e n u a t i n gw a v e s n e a rt h es h o r e s oi ti sn e c e s s a r yf o r t h er e s e a r c ho nt h ew a v ep r o p a g a t i n ga n dw a v e i n t e r a c t i o n sw i t ho c e a ne n g i n e e r i n gs t r u c t u r e si nc o a s tz o n e i nc h a p t e rl ，s e v e r a lt h e o r ym o d e l sa n dc a l c u l a t i n gm e t h o d sa b o u tw a v ei n t e r a c t i o n w i t ho c e a ne n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa r er e v i e w e d i n c h a p t e r s2 - 5 ，a n a l y t i c a lm e t h o d sa r ed e v e l o p e dt os t u d yt h ew a v ed i f f r a c t i o no n v - t y p eb o t t o m m o u n t e db r e a k w a t e r s ，a r c s h a p e db o t t o m m o u n t e db r e a k w a t e r s ，a r c s h a p e d f l o a t i n gb r e a k w a t e r s a n d a r c s h a p e dp o r o u sb r e a k w a t e r s b ye x p a n d i n gt h ev e l o c i t y p o t e n t i a lb ye i g e n f u n c t i o n si ns u b r e g i o n sa n ds a t i s f y i n gt h ec o r r e s p o n d i n gb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dm a t c hc o n d i t i o n si na n db e t w e e ns u b r e g i o n s ，as e to fl i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e dt od e t e r m i n et h eu n k n o w nc o e f f i c i e n t s a f t e rs o l v i n gt h e s e l i n e a re q u a t i o n s ，w ec a ne a s i l yg e tt h ev e l o c i t yp o t e n t i a l ，t h ef r e es u r f a c ee l e v a t i o na n d w a v ep r e s s u r e s ，e t c t h ep e r f o r m a n c eo ft h e s em e t h o d sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei na n a l y t i c a lr e s e a r c ho n w a v ei n t e r a c t i o nw i t hs t r u c t u r e s i ti sb e n e f i tt or e v e a lt h ec h a r a c t e r i s t i co fw a v e i n t e r a c t i o nw i t hs t r u c t u r e s a tt h es a m et i m e ，i to f f e r sa c o m p a r a t i v ec r i t e r i o nf o r n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fw a v ei n t e r a c t i o nw i t hs t r u c t u r e s a tt h eb a s eo ft h e s em e t h o d s ，n u m e r i c a lr e s u l t s ，i nt h ef o r mo fc o n t o u rm a p so ft h e r e l a t i v ew a v ea m p l i t u d ea r o u n dt h eb r e a k w a t e r , a r ep r e s e n t e df o rar a n g eo fw a v ea n d b r e a k w a t e rp a r a m e t e r s as e r i e so fr u l e sa r eo b t a i n e d t h e s er e s u l t sa n dr u l e sc a ns e r v ef o r e n g i n e e r i n gd e s i g na n de n g i n e e r i n gl a y o u t i nc h a p t e r6 ，b a s e do ne x t e n s i v em i l de q u a t i o n ，t w om a i nb o u n d a r yp r o b l e m sa r e 上海交通大学博士后研究出站报告 d e t e r m i n e db yu s i n gh y b r i de l e m e n tm e t h o dt h e ya r es e m i c i r c l ea n dc i r c l ei n c i d e n t b o u n d a r yp r o b l e m v a r i a t i o nm e t h o di se m p l o y e df o rs o l v i n gt h e s eb o u n d a r yp r o b l e m s t h ep e r f o r m a n c eo ft h i sm e t h o dw i l ln o to n l ye x p a n dt h es c o p eo fr e s e a r c h o nw a v e i n t e r a c t i o nw i t hc o a s t a ls t r u c t u r e i tw i l lb u ta l s oe s t a b l i s haf o u n d a t i o no fr e s e a r c ho n w a v ei n t e r a c t i o nw i t hf l o a t i n gs t r u c t u r ei nc o a s t a lz o n e n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fw a v e r e f r a c t i o na n dd i f f r a c t i o nb yar e c t a n g l eb r e a k w a t e ra r ep r e s e n t e df o rar a n g eo fw a v e p a r a m e t e r sa n ds e ab e dc o n d i t i o n s i na d d i t i o n ，t h ed i f f r a c t i o nb yt h es i n g l ej e t t ya n dt h e d o u b l ej e t t yi sc a l c u l a t e d t h e s er e s u l t sc o n d u c et ok n o wt h er o l e s a n dt h ep r e c i s e n u m e r i c a lv a l u e so fw a v ed i f f r a c t i o no nd i f f e r e n ts h a p es t r u c t u r e s a l s o ，t h e s er e s u l t sw i l l p r o v i d er e f e r e n c e sf o re n g i n e e r i n gd e s i g n t h el a s tc h a p t e ri sd e v o t e dt om a k i n gs o m ec o n c l u s i o n sa n ds u g g e s t i o n sf o rt h e f u r a r er e s e a r c hw o r ko nt h i sp r o j e c t k e y w o r d s ：b r e a k w a t e r , e i g e n f u n c t i o n ，w a v ed i f f r a c t i o n ，a n a l y t i c a lr e s e a r c h ，n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ，m i l d s l o p ee q u a t i o n ，v e l o c i t yp o t e n t i a l 上海交通大学博士后研究出站报告 第一章绪论 外海深水区的风浪或者涌浪在向近岸浅水区传播的过程中，由于受到水深、地 形变化、底摩阻、障碍物( 如海洋工程结构物、岛屿、岬角、沙洲、岸壁等) 等因 素的作用会发生浅水变形、折射、绕射、反射、透射、破碎以及非线性效应等现象， 这些现象是近岸波浪传播的主要物理过程和特征。近岸水域的波浪影响浅海生产作 业及近海工程结构物的规划设计与安全。随着社会经济的发展，海岸工程项目的数 量及投资规模越来越大，对近岸波浪等海岸动力要素的确定提出了更高的要求。渡 海登岛作战中迫切需要解决的问题之一就是近岸水域中浮式结构物所受波浪力和运 动特性的确定以及消波减浪系统的设置。因而研究近岸水域波浪传播及其与近海结 构物的相互作用是十分必要的。 1 。1 近岸水域波浪计算理论模型概述 近岸水域波浪传播一直是海岸工程界的重要研究课题。近岸的波浪要素往往是 多种波浪变形过程的综合结果，是十分复杂的。随着理论的逐步成熟和计算技术的 迅速发展，利用数学模型探讨波浪传播变形的规律己成为主要手段。对于不同的波 浪传播数学模型，由于方法的物理假定不同，致使各方法都有一定的适用范围。 1 1 1 水波折射的射线理论 波浪折射与绕射是近岸波浪传播中最重要的作用过程之一，对它的研究已经有 相当长的历史。在早期是将折射与绕射分开独立进行研究的。 射线理论是研究波浪折射的经典方法，基于几何光学折射理论，适用于缓变水 深海区。假定波浪沿波向线传播，不考虑波向线问的波峰变化，认为波向线之间的 能量是守恒的，无能量跨过波向线，不考虑由于水深变化而引起的绕射和折射影响， 将波浪传播的三维问题简化为一维问题求解，特别适用于大范围区域波浪传播的计 算。基本方程的常用形式为： 塑：一三丝 r 1 1 、 d scd n 害+ p 竿+ 卵：o( 1 2 ) 黜a s 日= 世，世，足r h o( 1 3 ) t = c os i 1 t ( 1 4 ) 】 上海交通大学博士后研究出站报告 0 3 2 = g k t a n h k h( 1 5 ) 式中：目为波向，丁为周期( 常值) ，删= 2 z t 为圆频率，k 为波数，c = c o l k 为 波速，h 为水深，g 为重力加速度，日。为深水波高，为沿波向线水深为h 处经折 射后的波高，为波向线散开因子( 波动强度的量度) ，足，为折射因子( k ，= _ o ，) ，k ， 厂， 、 _ 0 5 为变浅因子( e2 j ( 1 + 她2 ( 2 k h 肋) i j t h ( 砌) i ) ，k ，为摩擦因子，p 、q 为系数，( j ，n ) 为 以波数矢量定义的正交坐标。 式( 1 1 ) 为波向线微分方程，亦称射线曲率方程；式( 1 2 ) 为波向线散开因子的微 分方程，亦称波强方程。a r t h u r ( 1 9 4 6 ) 【l 】 m u n k ( 1 9 5 2 ) 2 1 等根据f e r m a t 原理f 波浪 沿波向线需时最小原理) 最先导出式( 1 1 ) 和式( 1 2 ) 。文献 3 、 4 】也给出了式( 1 1 ) 、( 1 2 ) 的详细推导过程。龚崇准( 1 9 8 3 ) 口1 等以线性势波理论为基础，采用小参数参开方法得 到了与式( 1 1 ) 、( 1 2 ) 等价的折射方程。式( 1 3 ) 为沿波向线间能通量守恒( 假设没有能 量跨过波向线) 方程的一种表现形式。式( 1 5 ) 为色散关系。 波浪折射射线理论基本方程或其等价方程一般情况下不能求出解析解，只能求 出数值解，国外数值解最早见于1 9 6 3 年“，h a r r i s o n 等( 1 9 6 4 ) 【w ，w i l s o n ( 1 9 6 6 ) 隅】，o r r 等( 1 9 6 9 ) 【9 1 用这些理论进行了波浪折射的计算。国内有关这方面的研究 参见文献 1 0 一1 5 。 这种方法的优点是波长对计算网格的选取不敏感。因此射线理论可以利用相对 较少数量的网格来对大范围的海域进行计算。但射线理论本身为线性理论，适用于 缓变地形，且假定无能量跨过波向线，地形较复杂时，应用射线理论会出现焦散现 象( 波向线相交) 和死区现象( 波向线不能进入某些区域) ，导致该射线理论失效。 b o u e w s 和b a t t j e s ( 1 9 8 2 ) 1 6 】，s o u t h g a t a ( 1 9 8 4 ) 1 7 1 等在数值模型中，采用射线平 均技术处理焦散线附近的射线，钟正勇( 1 9 9 7 ) m 1 根据l o u g u e t h i g g i n s u 9 提出的波 谱射线基本方程以及d o 仃e s t e i n 2 0 1 提出的波向线可逆原理，建立了复杂地形水域波谱 折射的逆波向线模型。还有很多学者对射线理论进行了发展和改进，如复杂地形上 的射线理论矗“，考虑底摩阻作用2 3 1 ，考虑潮位和水流作用 2 4 - 2 6 ，有限振幅波的折 射 2 7 - 2 8 】，不规则波的折射 2 9 - 3 0 ，波群的折射 3 1 - 3 3 】，通过绕射因子考虑绕射作用的联 合折射绕射射线理论 3 4 - 3 8 等。详见文献 3 9 】。 1 1 2 波浪绕射方程 波浪传播过程中遇到障碍物如防波堤、半岛、岛屿等时，除可能在障碍物前产 2 上海交通大学博士后研究出站报告 生波浪反射外，还将绕过障碍物继续传播，并在掩护区内发生波浪扩散，这种现象 称为波浪绕射。波浪绕射是波浪从能量高的区域向能量低的区域进行重新分布的过 程，是能量沿着波峰线的横向传递现象，绕射区内散射波同一波峰线上的波高是不 同的，愈深入掩护区内波高愈小，但其波周期则保持不变。 i t o 等方程为 挈：一生f 誓+ 要1 ( 1 6 ) 百7 l i 十百j a “。a 打 繁2 一占 ( 1 ，7 ) m 6 h ”“ 丁d v o = 一g 挈 ( 1 8 ) 、 o1、o ， 式中：t 为时间，7 7 ( x ，y ，r ) 为时变波面，、v o 分别为水面处波动水质点沿z 、 y 的速度分量。式( 1 6 ) ( 1 8 ) 为e u l e r 方程和连续方程在等水深线性波动时的简化近 似形式，可用于波动绕射变形的描述。 h e l m h o l t z 方程的形式为： 妒+ k2 妒= 0 ( 1 9 ) 式中：= 情2 i o x 2 , a 2 l a y 2 ) ，y 为速度势函数中( x ，y 疋，) 的水平变化函数( 亦称 二维速度势函数) 。二者之间的关系为： 西( j ，y ，z ，f ) ：( ，y ) c o s h k ( h + z ) p ，f = j 为虚数单位。 c o s h ( 肋) 式( 1 9 ) 是线性简谐波动条件下等水深水域的波浪绕射方程，可用于任意形状港 湾和防波堤掩护水域的波场确定- 4 2 1 。 基于上述两种方程的波浪变形数学模型的缺点是等水深假定，在某些实际问题 中不一定满足该条件。 1 1 3 缓坡方程 t 9 7 2 年荷兰人b e r k h o f f 删率先在线性理论和缓变水深条件下，引入一个表示地 形缓变的小参数，将波动速度势函数分解为沿水深变化函数和复振幅，应用自由表 面边界条件的线性化形式和水底边界条件，利用摄动方法将三维波动问题化为二维 平面问题，推出了联合折射一绕射的二阶偏微分方程，即缓坡方程( m i l d s l o p e e q u a t i o n ) v ( c c g v 妒) l + 2 每矿= 0 ( 1 1 0 a ) 或完全等价形式 3 上海交通大学博士后研究出站报告 v - l c c 。v ) + 2 c c 。毋= 0 ( 1 1 0 b ) 式中妒为速度势函数丕的水平变化函数，二者之间的关系为 丕( 工，y ，z ，f ) ：庐( 。，y ) 三垒! ! ；! ! ；型。 c n t k n ) 式中倒为圆频率，k 为波数，波速c ：7 倒- ，群速度c g ：娑，甜和k 满足色散关 k d 七 系矿= g k t h ( k h ) 。 缓坡方程实际上是l a p l a c e 方程对线性波在垂向上的积分形式，将三维空间问 题简化为二维平面问题，解决了传统模型无法处理的( 如焦散点附近的波浪场计算 等) 问题。当k h 1 或砌= c o n s t ， 即深水情况或常水深情况，方程( 1 1 0 ) 化为短波方程。缓坡方程具有很宽的波浪频率 ( 从短波到长波) 和水深( 从浅水到深水) 适用范围，因而成为反映近岸水域波浪传播变 形规律的基本模型之一。该方程结合固壁边界的反射边界条件，即可构成波浪传播 变形的联合折射绕射及反射数学模型。 学者们还利用不同的数学方法推导出了缓坡方程，如s m i t h 和s p r i n k s ( 1 9 7 5 ) 1 利用渐进理论做近似展开，推导出了缓坡方程。b o o i j ( 1 9 8 1 ) 4 5 1 用变分原理推导 出缓坡方程，l o z a n o 和m e y e r ( 1 9 7 6 ) 【4 卅用多重尺度法推导了缓坡方程。缓坡方程 的使用条件为v h k h = o ( e ) “1 ，精度为o ( e 2 ) 。b o o i j ( 1 9 8 3 ) h 。1 对缓坡方程在不同水 底坡度条件下应用的精度进行了讨论，其结论是当波浪平行于等深线传播时，海底 坡度在1 ：1 时，仍能得到精确解；当波浪垂直于等深线传播时，海底坡度小于1 ：3 时可以保证其使用的准确性。 自缓坡方程一问世，就吸引了许多学者的兴趣，对它进行了大量的研究，包括 方程的改进、数值方法的建立以及工程应用等等。 b e r k h o f f 的缓圾方程属于椭圆型方程，具有不可分离的性质，对它的离散求解 不能用迭代的方法，可以通过有限元来求解( b e r k h o f f ，1 9 7 6 ) 4 8 1 , 在每个波长上 至少要有8 个( 一般8 到l o 个) 网格节点，因而需要求解庞大的矩阵。由于计算机内 存和速度的限制，缓坡方程一般只适用于小面积水域m 4 9 1 内的波浪传播。 由于直接求解缓坡方程的繁杂性和难以用于大计算域的限制，人们对缓坡方程 进行了各种简化和近似，典型的有：变系数的h e l m h o l t z 型缓坡方程样式”，然后 采用广义最小余数( g e n e r a l i z e dm i n i m u mr e s i d u es c h e m e ，g m r e s ) 法 5 ”、共扼梯度 ( c o n j u g a t eg r a d i e n t ，c g ) 法5 2 1 、广义共扼梯度( g e n e m l i z e dc g , g c g ) 法吲、误差传播 ( e r r o rv e c t o rp r o p a g a u o n ，e v p ) 法m 5 6 1 等有限差分法进行求解；抛物型缓坡方程形式 4 上海交通大学博士后研究出站报告 5 0 , 5 7 , 5 8 ；双曲型缓坡方程形式 5 9 , 6 d ，e b e r s o l e 模式1 以及水波演化方程形式6 2 1 。 除了缓坡方程数值方法的研究外，国内外学者们还致力于研究考虑底摩阻对波 能的损耗作用，波浪破碎问题，波浪的非线性问题，波浪的随机性问题，波流相互 作用问题和风对波浪的作用。如b o o i ( 1 9 8 1 ) 4 5 在b e r k h o f f 的缓坡方程中加入了 一个耗散项来考虑底摩阻问题。后来d a l r y m p l e ( 1 9 8 4 ) 6 3 1 等给出了摩阻因子的具体 表达式。a k i r aw a t a n a b e 等( 1 9 8 6 ) m 1 建立了考虑波浪破碎的时变缓坡方程，k i r b y 等( 1 9 8 4 ) 6 5 1 在抛物缓坡方程中考虑了破碎。b 0 0 i i ( 1 9 8 1 ) 4 5 】，l i u ( 1 9 8 3 ) 6 6 】， k i r b y ( 1 9 8 6 ) 【6 ”等都分别推导了在水流作用下的波浪缓坡方程，但是b o o “使用的 动力自由表面边界条件不正确，而l i u 的模型存在着缺陷，推导不出波浪作用的守 恒方程，k i r b y 修正了他们的错误。洪广文( 1 9 9 6 ) 【6 8 , 6 9 1 推出了缓变水深水域非均匀 水流中波浪折射一绕射的缓坡方程模型，同时阐明除微幅( 线性) 、缓坡假定外其它 有关适用条件，并给出适用于不规则波情况的推广表达式。k i r b y ( 1 9 8 4 m 】) 提出了 缓变地形下的弱非线性波浪传播的抛物型缓坡方程。k i r b y ( 1 9 8 6 ) 6 7 1 ，m a s s e l ( 1 9 9 3 ) 口0 】等采用不同的方法，将方程扩展到适用于较陡底坡和快变地形，推导了含有水底 高阶项的联合折射一绕射方程。p a n c h a n g ( 1 9 9 0 ) 7 1 1 使用r a d d e r 推导的抛物型缓坡 方程建立了随机波模型，计算了不规则波在一个浅滩上的传播。张永刚( 1 9 9 6 ) 7 2 1 等提出一个新的非恒定不规则波缓坡方程。丁平兴等( 1 9 9 8 ) _ 乃1 研究了非均匀流场 中随机波折射绕射。g a o 和r a d d e r ( 1 9 9 8 ) 【7 4 在改进了边界条件的情况下应用线性 叠加原理建立了随机波模型，同时考虑了风和流的作用。 缓坡方程要实际应用到工程计算i 7 。埽1 中，还必须考虑复杂的曲线边界，如曲折 多变的海岸线、形状不规则的海洋工程结构物的边界等等。科研工作者们在波浪传 播的数值模型中引入了曲线网格( l i u 等，1 9 8 3 t 6 6 1 ：k i r b y ，1 9 8 8 7 9 】：洪广文等，1 9 9 9 8 ； z h a n gh o n g s h e n g 等，2 0 0 1 喁u ) 。张洪生( 2 0 0 3 ) 8 2 8 3 1 等以l i 1 ) ，j m ( ，) 为贝赛尔函数。绕射势硝n 可 1 3 上海交通大学博士后研究出站报告 = 竺尝铲薹( a m c 删州佩r ) 2 ) 其中a m 、b 。为待定系数，h 挈( t r ) 为m 阶第一类h a n k e l 函数，在远场代表外 传波。事实上，m = 0 时，只有九h ( k r ) 一项，取b 。= 0 。这样 妒= 办+ 硝”= 旦芝篡警壶：旦薹【( e 。，。( 打) + a 。日( 打) ) c 。s m 口 ( 2 3 ) + ( j 。( 女r ) + b 。月? ( k r ) ) s i nm o 区域i i 和区域i i i e ? 速度势解在形式上应该是一样的。由分离变量法，在1 ix , n i i i 区中它们分别可记为 n 帆) = 薹c 。名渺) c o s 詈曰警 ( 2 4 ) 3 0 n “ 卅棚，z ) = 薹乜j 盖渺) c o s 磊n ；r g 伊妙警 ( 25 ) 满足在刚性壁面上( 对i i 区为0 = 0 和护= 口，对i i i 区为0 = 口和目= 2 万) 法向速度 为“0 ”的条件。 在人为划定的假想圆柱边界，= l 上，有速度势连续和速度势的法向导数连续的 匹配条件，即 珐制，= 瞄鬟三： e ， ! ! 鱼盘! ： d r 0 曰口 口s 曰2 万 匹配( 2 6 ) 式得 宝 【e 。j 。( 七r ) + a 。日掌( 蟊r ) 】c 。s m 臼+ 【r j 。( 打) + b 。日：( 七r ) 】s i n ，l 口 m = 0 妻c ，1 j 生渺) c o s 等口 n = 0 a 一 妻d ：鳓 ，兰) c o s 盖( 曰 n = 02 m一 匹配( 27 ) 式得 0 目墨口 0 0 d 0 2 * g t 4 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 等擎 上海交通大学博士后研究出站报告 “e 。t ( 女r ) + a m 日：( 打) c o s m o + i fj ( k r ) + b m h ：( 硼s i n m 0 ) m = o 萎c ，) c o s 詈口 唧s 口 h2u d ：四厂7 。( 庀r ) c o s = ! 互一( 臼一盯) 甜口2 万 2 z f - a 2 z c 一口 ( 29 ) 利用c o s m o ，s i n m o 在0 2 z 上的正交性。 a 在( 2 8 ) 式两边同乘以c o s m o ，在0 2 z 上积分，得 旧。，。( 址) + a 。h 瓢f 2 ”c o s 2m o d o = 薹c “，等( 蛳fc o s 等趴。s m o d o ( 2 l o ) + 薹盖( 蛳”c o s 而h i e ( 日刊c o s m 伽 m = 0 ，1 ，。 b 在( 2 8 ) 式两边同乘以s i n m 0 ，在0 2 z 上积分得 ( j 。( k l ) + b , , h i 2 ( 地) 旷s i n ：m o d o = 萎c 。，等( 蛳rc o s 詈蛐聊伽 ( 2 + 黔，罴( 蛳f ”c o s 而 7 - ( 帅) s 渤伽 m = 1 , 2 ，。 同样可利用c o s 等目在o d 上的正交性和c o s i 竺l ( 口一d ) 在a 2 万上的正 “ z 石一口 c 在( 2 9 ) 式两边同乘以c o s n z _ 刀o ，在o a 上积分可得 甜 e ( r ) + a m h ：( 女r ) f c o s n z a c o s m o d o 卅= 0 ” 甜 + 【，+ 吃日撕) rc o s 詈钆i n m o d o ) ( 2 1 2 ) = q 肌，r ( c o s 等卯d 目 n = 0 ，l ，o o d 在( 2 9 ) 式两边同乘以c o s 兰( 目一叻，在口。2 万上积分可得 三兀一o 【 1 5 。m ，0l = 一 上海交通大学博士后研究出站报告 = = 一 “民，：( 打) + 九日：( 尼r ) 】e ”c o s 兰( 占一 c 0 s m o d o m = o 啦 2 z 一甜 + 兀，：( 打) 十巩日：( 女咖f ”c 。s 互：( 毋一s i n r o o d 8 ) ( 2 1 3 ) 叫扪，关纠f ” c o s 鑫( 护侧2 d 口 n = 0 ，l ，o o 记：。fc o s 詈曰 c o s m 伽，屯= f ”c o s 盖( 帅) c 。s 删臼， a m n = rc o s 等o s i n m 伽，磊。= f ”c o s 盖( 帅) s i n 小蝴 * f ”c 。s 2 m o d o 一= f 。 s 3 2l ( c o s 鼍钟d 8 ，s i ： s i n m o d 0 c o s ! 一( 臼一d ) z d 曰 。 2 z 一盯、 “ 则式( 2 1 0 ) 、( 2 。1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 可变为 ( 巨。j ，。( 乜) 十a 。何等( 脚纠s ， = c ：憧( 地) 只。+ z d o j 。( 址) 只，。”2 o 1 ，。 ( 2 - 1 4 ( f 。j 。( 地) + 砩日( 地) 】s ： = c ，。( 地) 瓯。十见，。( 地) 龟。m 2 1 ，2 ，。 ( 2i 5 ) n = o 口 n 2 0 2 z 一- a e 。，：( 七r ) + a 。日：( 七r ) 己。+ f 卅- ，：( 七r ) 十丑。日：( 尼r ) q 。) = c 。丘( ”s 3 、 ( 2 1 6 ) n = 0 ，1 ，o 。 已。吒( 足r ) + 厶口：( k r ) p m 。+ l ，：( 七r ) 十b 。巩( 七r ) 垂。) ：。j7 。( ”s 4 ( 2 - 1 7 ) 2 。z 。- t z n = 0 ，l ，。 式( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 构成了求解未知系数a 。、b 。、c 。、d 的 代数方程组。如级数截断于某一充分大的m 和n ，即m 从o ，i ，m ，式( 2 1 5 ) 中 m 从l ，2 ，m ，n p , o ，i ，n ，则我们有a 。( m + 1 个) 、b m ( m 个) 、c 。( n + 1 个) 、d 。( n + 1 个) 共2 m + 2 n + 3 个未知数，由( 2 1 4 ) 式可得m + 1 个方程，由 1 6 上海交通大学博士后研究出站报告 ( 2 1 5 ) 式可得肘个方程，由( 2 1 6 ) 式可得+ 1 个方程，由( 2 1 7 ) 式可得| v + 1 个方程，总计2 m + 2 n + 3 个方程。可以唯一地求出未知系数。 写成矩阵形式，即有 【h 】忙j = 恸 ( 2 18 ) 式中日为( 2 m + 2 n + 3 ) ( 2 m 十2 n 十3 ) 阶的线性代数方程的已知系数矩阵：e 为欲求的未知系数列阵；言为已知项的列阵。 解出未知系数a 。、四。、c 。、d 。后，按式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 ) ，可求得域中任意 一点的速度势，从而也可求出任意一点的自由面位移。 2 3 算例与分析 取计算水深为2 0 m ，入射波波幅a = i ，防波堤两臂长1 0 0 m 。 由于迄今为止，尚未有有限尺度v 型堤的数值和解析结果，为验证本方法的可 靠性，取防波堤两臂间夹角为a = 1 8 0 。，此时v 形防波堤就退化成为有限尺度的平 直岛堤，波浪入射角f l = 9 0 0 ，即波浪垂直入射，入射波波长与防波堤任意一臂长相 等，即五= 1 0 0 m 。为保证计算结果的收敛性，级数项应取足够多，选取的原则是保 证截断后引起的误差在1 以内，当然，对不同的入射波波长、防波堤两臂张角和 入射角，需要截断的项也不相同。m 大致在4 0 8 0 之间，大致在2 0 4 0 之间。 图2 3 显示了流场中各点的波幅值。文献 1 7 1 中给出了有限长平直岛堤绕射的解析 解，取图2 3 中的部分剖面，与解析解进行比较，如图2 4 所示，图中a l 为所在位 置波幅。由图可见，本文值与解析解吻合很好。 图2 5 至图2 8 给出了入射波圆频率为1 0 ( 即波长为5 9 8 米) 、但防波堤两臂 张角不同( 分别为1 5 0 。、1 2 0 。、9 0 、6 0 。) 波浪正向入射时防波堤周围的波幅分布 图，图中各数值代表该点波幅与入射波波幅的比值。比较图2 4 至图2 8 可知，随着 张角从1 8 0 。逐渐变小，掩护区域内的波浪先变小，然后再增大，当张角在1 2 0 。左右 时，防浪效果最佳；当然，最佳张角也与入射波的频率( 波长) 、防波堤的两臂长度 等因素有关，对不同频率的入射波、不同的防波堤臂长，最佳防浪张角也不完全相 同。总体上看，贯底式防波堤的防浪效果较好，掩护区域内的波高一般仅为入射波 高的2 0 一5 0 。图2 9 和图2 1 0 分别给出了防波堤两臂张角均为1 2 0 0 、波浪正向 入射但入射波的频率分别为0 5 ( 波长1 6 1 米) 和1 5 ( 波长2 7 4 米) 的波幅分布 图。比较图2 9 、图2 6 和图2 1 0 可知，波长由长变短而其它情况相同时，掩护区 域内的波高变小，也即掩护效果更好。图2 1 l 给出了波浪倾斜入射时的波幅分布图， 1 7 上海交通大学博士后研究出站报告 比较图2 6 和图2 1 1 可知，当波正向入射时，防波堤外的波浪和掩护区域内的波浪 关于v 形防波堤的夹角平分线对称。而波倾斜入射时，防波堤外的波浪和掩护区域 内的波浪关于v 形防波堤的夹角平分线成明显的不对称性。还计算了其它不同入射 波频率、防波堤两臂张角和波浪入射角时防波堤的防浪效果，限于篇幅，在此不一 一列出其图形。 图2 3 平直岛堤绕射波波幅分布 r i g 2 3 d i f f r a c t e dw a v ea m p l i t u d ed i s t r i b u t i o no b t a i n e db y t h e p r e s e n t m e t h o dr 五= 1 0 0 m ，口= 1 8 0 。，f l = 9 0 。) 1 8 上海交通大学博士后研究出站报告 图2 4 本文值与解析解的比较 f i g 24c o m p a r i s o n so ft h ew a v ea m p l i t u d e sf o rv a r i o u ss e c t i o n s b e t w e e nt h ep r e s e n tr e s u l t s ( - - ) a n dt h o s eo f p a s q u a l ef l i i a n o t i ( 2 0 0 0 ) ( + ) f o ra ni s o l a t e db r e a k w a t e r 幽2 5 绕射波波幅分布( 纠= l0 ，丑= 5 9 8 m ，卢= 7 5 。，d = 1 5 0 。) f i g 2 5d i f f r a c t e dw a v ea m p l i t u d ed i s t r i b u t i o n ( 甜= 1 0 五= 5 98 m ，= 7 5 。，日= 1 5 0 。) 1 9 上海交通大学博士后研究出站报告 图2 6 绕射波波幅分布( 甜= 1 0 ，五：5 9 8 m ，口= 6 0 。 f i g26 d i f f r a c t e d w a v ea m p l i t u d ed i s t r i b u t i o n ( c o = 10 ，五= 5 9 8 m 口= 1 2 0 。、 = 6 0 。，口= 1 2 0 。) 图27 绕射波波幅分布( 脚= 1 0 ， = 5 9 8 m ，= 4 5 。 f i g 2 7d i f f r a c t e dw a v ea m p l i t u d ed i s t r i b u t i o n ( a 9 = 1 0 ，五= 5 9 8 m 口= 9 0 0 、 = 4 5 。，口= 9 0 。) 上海交通大学博士后研究出站报告 图2 8 绕射波波幅分布( 埘= 1 0 ，五= 5 9 8 m ，= 3 0 。 f i g 2 8d i f f r a c t e dw a v ea m p l i t u d ed i s t r i b u t i o nr 倒= 1 0 ，五= 5 9 8 m 口= 6 0 0 1 = 3 0 。，口= 6 0 。) 图2 9 绕射波波幅分布( d - o 5 ，五= 1 6 1 m f i g2 9d i f f r a c t e dw a v ea m