（电力系统及其自动化专业论文）快速数字保护用电流互感器的暂态仿真研究.pdf

a b s u a e t s t u d yo f t h e c t t r a n s i e n t s i m u l a t i o n f o r f a s t d i g i t a l p r o t e c t i o n a b s t r a c t i nr e c e n ty e 口s ，t h ec h i n e s ee l e c t r i cp o w e ri n d u s t r yd e v e l o p sr a p i d l y m a n yl a r g e s c a l e u l t r a - v o r a g et r a n s f o r m e ra r eu s i n gi nt h ee l e c t r i cp o w e rs y s t e m i ti s r e q u i r e dt h a tt h ee l e c t r i c p c w e rs v s t e mm u s tr a nv e r ys t a b l e h o w e v e r , t h ea c c u r a c yo fp r o t e c t i o n f o rt h el a r g es c a l e t r a n s f o r m e ri sn o ts oh i 曲a tt h i sm o m e n t i tc r nn o tf o l l o wt h er e q u i r e m e n t so f t h ep r a c t i c a l e l e c t r i cp o w e r s y s t e m ， t h ec u r r e n tt r a n s f o r m a ri s a l l i m p o r t a n t d e v i c ei nt h ee l e c t r i cp o w e rs y s t e m 、 ，j m a n o n - l i n e a rm o d e lf o rt 1 1 es a t u r a t i o no fm a g n e t i cc o r eo ft h ec u r r e n tt r a n s f o r m e r , t h et r a n s i e n t e q u a t i o nf o rm a g n e t i cf l u xc b ec o n s t r u c t e d c o n s e q u e n t l y , t h e i n f l u e n c eo fc tt r a n s i e n ts t a t u s o nt h ed i g i t a lp r o t e c t i v ed e v i c ec a nb ea n a l y s e d w t ht h es i m u l a t i o no f t h et r a n s i e n tp e r f o r m a n c e o ft h ec u r r e n tt r a n s f o r n l e r , s o m ei m p o r t a n tp a r a m e t e r s c a r lb ed e c i d e df o rt h ed i f f e r e n t i a l p r o t e c t i o no f t h et r a n s f o r m e r a c c o r d i n g t om e p d n c i p l eo f e l e c t r o m a g n e t i c ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h et i m ec h a n g i n gf i e l dc a nb eo b t a i n e db ys o l v i n gm a x w e l le q u a t i o n t h i sm e t h o dc a nb e u s e dt o a n a l y s et h es a t u r a t i o no ft h em a g n e t i cc o r e ，h y s t e r e s i sl o s s ，t h ee d d yc u r r e n td i s s i p a t i o no f t h e m a g n e t i cc o r e ，e t c h o w e v e r t h i s s i m u l a t i o ni s v e r ye x p e n s i v e i tt a k e s al o to fc o m p u t e r r e s o u r c e s t h i s p a p e rp r o p o s e s an e ww a yt o a n a l y s et h et r a n s i e n tp e r f o r m a n c e o ft h ec u r r e n t t r a n s f o r m e r f i r s t l y , t h ef i n i t ee l e m e n tm o d e lf o ra n s y ss i m u l a t i o n i sc o n s t r u c t e da n dt h e d i s t r i b u t i o no ft h em a g n e t i cf i e l di nt h et r a n s f o r m e ri sc a l c u l a t e dw i t hd i f f e r e n tp r i m a r yc u r r e n t f r o mt h er e s u l t s ，t h ei n d u c t a n c eo f t h ep r i m a r yr i n g , t h ei n d u c t a n c eo f t h el e a k i n gm a g n e t i cf l u x ， t h er e s i s t a n c eo f t h ee d d yc u r r e n tc a r lb eo b t a i n e d o fc o u r s e t h e s ep a r a m e t e r sa r et h ef i l n c t i o n so f t h ep r i m a r yc u r r e n ti f t h et r a n s f o r m e ri ss a t u r a t e d t h el e a k i n gi n d u c t a n c ei sa l s oi n f l u e n c e db yt h e s a t u r a t i o no ft h em a g n e t i cc o r e b e c a u s et h el e a k i n gm a g n e t i cf l u xi s g e n e r a t e db yt h ep r i m a r y r i n ga n d t h em a g n e t i cc o r et o g e t h e r , t h ev a r i a t i o no f t h el e a k i n gi n d u c t a n c ei sn o tt h es a m e t h a t o f t h em a i ni n d u c t a n c e t h er e s i s t a n c eo ft h ee d d yc u r r e n t , t h em a i ni n d u c t a n c e t h el e a k i n gi n d u c t a n c ea n do t h e r n o n - l i n e a rp a r a m e t e r sa r eo b t a i n e di nt h i sp a p e r an u m e r i c a lm e t h o di su s e dt os o l v et h et r a n s i e n t e q u a t i o n t h et r a n s i e n tp e r f o r m a n c eo f t h ec u r r e n tt r a n s f o r m e ri sa l s oa n a l y s e di nt h i sp a p e r w e a l s os t u d yt h ew a v ef o r m so f t h ep r i m a r yc u r r e n t a n dt h es e c o n dc u r r e n t w i t hd i f f e r e n tl o a d sa n d d j 彘r e n ts a t u r a t i o ns t a t u s f r o mt h ew a v e f o t i no ft h es c c o n dc u r r e n t t h ei n f l u e n c eo ft h e s a t u r a t i o no f t b em a g n e t i cc o r eo nt h ec u r r e n tt r a n s f o r m e rc a nb es e e n t h i sp a p e rc o n s t r u c t sa na c c u r a t em o d e lf o rt h es a t u r a t i o no ft h ec u r r e n tt r a n s f o r i f l e r w i t h t h i sm o d e l ，t h es a t u r a t i o np r o c e s so f t h em a g n e t i cc o r ei ss i m u l a t e dp r e c i s e l y t h i sp a p e r p r o p o s e s an e wm e t h o dt oa n a l y s et h et r a n s i e n tp e r f o r m a n c eo f t h ec u r r e n tt r a n s f o i t i i o li nt h i sm e t h o d ，t h e c o m p u t a t i o no ft h em a g n e t i cf i e l di s c o m b i n e dw i t ht h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h ec i r c u i t f o r i b u l a f r o mt h es i m u l a t i o nr e s u l t s ，i tc a nb es e e nt h a tt h et r a n s i e n tp e r f o r m a n c eo ft h ec u r r e n t t r a n s f o r m e rc a nb ea n a l y s e da c c u r a t e l ya n dr a p i d l yw i t ht h em e t h o d p r o p o s e di nt h i sp a p e r f r o m t h i s a n a l y s i s ，t h e c r i t e r i c ho ft h ed i f i e r e n t i a l p r o t e c t i o n c a nb e p r e d i c t e d a sr e s u l t s ，t h e p e r f o r m a n c eo f t h et r a n s f o r m e rp r o t e c t i o nc a nb ei m p r o v e d k e y w o r d s ：d i g i t a l p r o t e c t i v er e l a y i n g , c u r r e n tt r a n s f o r m e r , s a t u r a t i o n ，t r a n s i e n t p e r f o r m a n c e - l i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名：赴篁日期：塑! ：竺。 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研牲签名柱鱼翩张唑日驴坐! 第一章绪论 近十多年来，我国电力工业正处于突飞猛进的发展阶段，大容量、超高压的大型电力 变压器不断投产，系统规模不断扩大。根据相关的资料，2 2 0 k v 变压器由1 9 9 0 年的1 3 0 2 台发展到2 0 0 2 年的3 2 6 9 台，增加了将近两倍：3 3 0 k v 变压器由1 9 9 0 年的3 4 台增加到2 0 0 2 年的1 2 2 台，增加了近三倍；5 0 0 k v 变压器由1 9 9 0 年的6 6 台发展到2 0 0 2 年的2 9 5 台，增 加了三倍多，可见随着电力系统总装机容量的增大，超高压大型电力变压器台数增加尤其 明显。由于更多的超高压大型电力变压器投入系统运行，因此对电网安全稳定运行的要求 也更高。目前大型电力变压器保护的动作正确率一直偏低，滞后于线路保护和发电机保护， 这与当前的电网实际安全要求和发展水平是不符合的。 随着信息技术的发展，国外一些研究机构和大的公司己经开始将光电子技术应用于电 流互感器。但是应该看到目前电力系统中使用的电流互感器绝大部分都是电磁式。电磁式 电流互感器的工作原理是电磁感应原理，因此电磁式电流互感器的理论和制造技术都已经 比较成熟u “。本文仍然以电磁式互感器为对象，研究其暂态工作性能，特别是在出现铁芯 饱和后的工作特性。从这些分析中可以找到某些特征量作为保护判据。 正确分析电流互感器的工作特性是研究互感器对继电保护的影响的前提。对互感器这 种电磁系统的研究通常可以从电磁场的观点来加以研究，也可以从电路的观点加以研究。 所谓从电磁场观点研究互感器特性是指根据麦克斯韦方程和实际的边界条件和初始条件求 解系统中的电磁场分布，从中得出器件的各种特性。而路的方法是指将互感器的特征用一 些集中参数表示，如电阻、电感、电容等，然后利用现代电路理论，分析电路输出响应和 输入变量之间的关系。 从理论上来讲，利用电磁场理论分析得到的结论和利用电路理论得到的结论是一致 的。从历史发展来看，电路理论先于电磁场理论。但是电路的基本定律可以从麦克斯韦方 程组导出。在电路理论中，我们做以下的简化： ( 1 ) 。传导电流限制在导线中，电路的最大几何尺寸远小于交变电源的波长，在电路中 没有电磁能量辐射。 ( 2 ) 在电路中，电阻元件会产生焦耳损耗，而电感和电容所产生的能量耗散则忽略不 记。 ( 3 ) 位移电流只存在于电容元件中。 前面曾经讨论过，电流互感器通过铁芯电磁场将一次侧与二次侧联系在一起。当电流 互感器出现饱和现象时。需要考虑铁芯饱和特性。此时暂态方程中除需考虑电流状态方程 外还需考虑磁链方程。显然从麦克斯韦方程出发可以更完整地分析时变电磁场的特性，包 括在瞬问大电流作用下铁芯的饱和、磁滞损耗和铁芯的涡流损耗等非线性问题。但是直接 对时变电磁场进行数值计算需要花费大量的计算时间和计算机资源。在实际电力系统中， 电流和电压的变化频率较低，它们可以较好地满足电路理论中所需要的简化条件。因此通 常都从电路理论出发分析含有互感器的保护电路的特性。 当我们利用电路理论分析保护电路特性时，首先应该知道互感器的特性参数。互感器 的电感、电容、电阻等可以通过一些试验方法近似求得。但是当互感器中铁芯的磁饱和， 互感器的等效电感、电阻等将呈现非线性。如何建立相应的模型准确描述这些非线性元件 已经成为非线性电路的一个重要部分。 现有的分析方法来处理互感器中的饱和性质。都基于一些近似和简化。本论文试图将 时变电磁场的数值计算与互感器的等效电路分析相结合，研究种能够准确、快速分析互 感器暂态工作特性的方法。本论文的工作包括： 1 第一章绪论 ( 1 ) 建立互感器的简化数值计算模型 ( 2 ) 根据麦克斯韦方程，利用有限单元法计算互感器中的时变电磁场分布。 ( 3 ) 研究在不同一次电流激励下，互感器铁芯的饱和程度变化和相应的电磁场分布。 ( 4 ) 根据电磁场分布计算非线性系统中激励与响应的关系，从而得到互感器的励磁电 感、铁耗、漏磁电感等参数。 ( 5 ) 根据互感器的暂态方程和其等效电路的非线性参数，分析电流互感器在不同饱和 程度下的暂态工作特性。 根据论文分析得到的互感器暂态工作特性，可以发现一些有价值的特征量作为互感器 保护判据，结合相应的保护方案，可以防止互感器暂态饱和引起的保护误动或拒动。 2 篓三塞! 篓三些矍 一 第二章电流互感器 电流互感器是变压器的个种类，其工作原理与变压器基本相同。图2 1 表示了互感 器的丁作原理 j i f 一t趣才 玑自乡 x 】。r 。 r 1 。这样空载阻抗近似 等于激磁阻抗 叁三耋皇堡兰量量 z 。- z z 。2 寺 z m r o = r , + r m 。百p o r m x 。= x ，。+ x 。a x 。= ：疆 互感器的变压比则可以表示为 f 2 - 9 ) k ：1 1 2 0 ( 2 1 0 ) u 一 如前所述，通过互感器的空载试验我们可以测得互感器的铁耗、激磁阻抗和变压比。 按照近似的方法，通过互感器的负载试验，可以求得互感器一次和二次绕组的电阻和漏电 抗。 2 2 2 负载试验 图2 5 和图2 - 6 分别给出了互感器负载试验的等效电路和互感器负载试验的线路图。 图2 - 5 互感器负载试验等效电路 圈2 6 互感器负载试验的线路图 如图2 - 5 和图2 - 6 所示，在互感器的负载试验中，互感器的二次侧处于短路状态，此 时整个互感器的等效阻抗很小。为了避免绕组因为大电流而损坏，在进行负载试验时外加 电压很小。当短路电流达到额定值时的外加电压被称为阻抗电压u k ，它一般为额定电压的 5 - 一1 0 。 由于负载试验时阻抗电压很小，铁芯中的磁通密度很低，所以励磁电流和铁芯损耗可 以忽略。因此在图2 6 中测得的损耗m 为一次绕组和二次绕组的铜耗。 7 第二章电流互感器 z t _ z 一12 詈 r k - r 1 + 呼专 x 。= x 。+ x 。= 丽 ( 2 - 1 1 ) 值得注意的是在负载试验时测得的只是总的漏电抗x k = x 1 。+ x j 。，而不能将一次 侧和二次侧的漏电抗分别计算。 2 3 互感器等效电路的进一步分析 由于在互感器中激励电流的变化频率不是很快。所以可以忽略位移电流和电磁能量的 辐射，因此采用互感器的等效电路能够很好地分析互感器的性能。 随着现代科学技术的发展，互感器的绕组中可能出现大电流的情况。例如因为系统容 量增大或者系统结构等方面的原因，电力系统中某些回路在近处短路时会出现1 0 0 倍额定 电流以上的特大电流。大大超过保护用电流互感器的1 0 误差曲线所容许的电流倍数。这 种暂态短路电流可能影响相关的继电保护设备性能，从而出现越级跳闸、拒动等问题口】。 本文将分析在大电流情况下互感器出现的磁饱和现象、漏磁现象和涡流损耗现象，并 研究在非线性条件下互感器等效电路中各参数的描述方式。这些工作将有助于准确分析大 电流下互感器的工作特性。 2 3 1 铁芯的磁饱和及磁滞回线 在互感器中为了增大在一次绕组和二次绕组之间的磁通传递能力，几乎所有互感器都 采用了铁芯结构。这种铁芯是由铁磁材料制成，它具有很高的磁导率，所以能够将一次绕 组所产生的绝大部分磁场约束在铁芯中。 互感器的铁芯和其它铁磁材料一样，具有其独特的磁化曲线。图2 7 给出了铁磁性材 料典型的b 皿曲线。在铁磁性材料中，当外加磁场变得比较强( 超过p l 点) ，铁磁材料 的畴壁的移动就不再可逆，同时还会产生磁畴在外加磁场方向的转动。例如，在p 点处， 如果外加磁场减小到零b _ h 曲线将不再遵循实线曲线舅曰口的变化规律，而是沿图中 的虚线从名下降到爿。这种磁化滞后于产生它的磁场的现象被称为磁滞现象。 b 。 形一1 b r h c 杉 肥乡 ? 么夕 2 7 铁磁材料自j 典型磁化曲线 8 篁三耋皇鎏三! 童兰 ：；：；一 在图2 - 7 的曲线中，如果外加磁场从墨处的值减小到零，那么它的磁通量密度并不变 为零，而是达到某一个b ，该值被称为剩余磁通密度。永久磁铁正是利用了材料的剩余 磁通密度。为了使铁磁材料的磁通量密度减小到零，需要施加一个反方向的磁场强度h ，。 该磁场强度被称为矫顽磁场强度或矫顽力。 从图2 7 给出的磁化曲线可以看出，在铁芯的初试磁化阶段，磁场强度h 和磁通量密 度b 之间是线性关系。亦即在这一阶段铁芯的相对磁导率为常数。当磁场强度超过某一范 围时，磁通量密度趋于饱和，它几乎不随激励电流的增加而变化。显然在饱和区域铁芯的 相对磁导率不再是常数。 由于激励电流增大到某一程度时互感器的铁芯出现饱和，在铁芯饱和区域内激磁电抗 x m 不再是常数。 2 3 2 铁芯的磁滞损耗和涡流损耗 在前面讨论互感器的等效电路时曾经分析过，在互感器中除了绕组的铜耗外，在铁芯 中还存在能量损耗。这个能量损耗可以用等效电阻r 。来近似。为了研究在铁芯发生饱和 情况下该等效电阻的表征形式，我们首先分析在铁芯中所发生的能量损耗的物理过程。 根据磁性材料的物质特性可知，在随时间变化的磁场中，如果有铁磁物质存在，它所 受到的磁化情况随时间变化，它的磁导率也随时间变化。 假设一个线圈中放置了一个铁芯。在线圈中通以变化的电流，线圈中的磁通量发生变 化。此时磁场能量的改变量为 m d w m = i d g = 二竺w d 击= h l s d b = v h d b w w 。= vi h d b j 式中w 为线圈匝数，l 为铁芯高度，s 为铁芯横截面积。 磁能体密度为 w 。= 粤= f h d b v 。 如果铁磁材料的磁化沿下图所示的基本磁化曲线进行，则当b 自0 增至最大值b 。时， 上式积分所表示的单位体积磁场能量的增加，可以用图中o m n o 面积的大小来度量。当 去磁时，若去磁过程沿m o 进行，则磁场能量全部交还给电源。这样在交变磁化的情况下， 就不会有能量的损耗。 9 量三塞皇鎏三矍矍 一：一 乏 ln 哆 苛7 o h mh 图2 8 铁磁材料的磁化 但是在实际应用中，铁磁性材料的磁化过程时沿下图的磁化曲线进行。我们假设磁化 过程执顶点m 开始，沿曲线m a m c 循环一周。图2 - 9 中每单位面积所代表的能量为m 。 y 7 1 b 7 b r j j 彦 ? i c 图2 9 铁磁材料的实际磁化曲线 从m 点到a 点磁场强度逐步减小，所以它是一个去磁过程，磁场能量逐步减小，并交 还给电源。每单位体积所减小的磁场能量为e h d b = s m d 。r l l 。其中s m “是曲线 m a m n a , 所包围的面积。从点a 到点m 是反向磁化过程，磁场强度逐步增大，但是方向与前 面的方向相反。它表示外电源将能量输送给磁场。每单位体积所增加的磁场能量为 b l ”h d b = s n m ”。m 。从m 点到c 点，磁场强度逐步减小，且方向为负。它表示反 f 向去磁过程，磁场能量转还给外电源。单位体积内减小的磁场能量为 柏 l 。h d b = s ”。m 。从点c 到点m 是正向磁化过程，外电源将能量传输给磁场。每 单位体积增加的磁场能量为0h d b = s 删。x m 。从上述讨论可以看出，当交变磁化 1 0 篁三塞皇堡三璧矍 一：一 循环一次，铁磁材料每单位体积中消耗的能量等于j h d b ，即单位体积所消耗的能量等于 磁滞回线所包围的面积乘以m 。故磁滞回线的宽窄表示了铁磁材料在交变磁化过程中的 能量损耗，即磁滞损耗。该损耗的能量全部转化为热能。 一般情况下，铁芯磁滞回线的面积近似- 9b 譬成正比。假设铁芯体积为v ，磁化频率 为f ，铁芯的磁滞损耗功率可用下面公式近似计算 p h ：椰? v 式中叩是一个常数，它决定于铁芯的材料和所用的单位，一般可由实验测定。 在互感器中，除了磁滞损耗外，涡流损耗也是造成互感器能量消耗的一个重要原因。 因为互感器的铁芯具有一定的电导率，所以变化的磁场将在铁芯中产生感生电流，通常这 个感生电流被称为涡流。显然涡流将会在互感器的铁芯中产生涡流损耗。 为了分析互感器中铁芯的涡流损耗情况，我们将铁芯简化为圈2 1 0 所示的金属薄片。 当时变电磁场的变化频率比较低时，可以近似地忽略位移电流的存在。下面的计算给出了 一个位于均匀分布的磁场中的金属薄板所产生涡流损耗p “。 图2 一l o 放置在均匀磁场中的金属薄板 由于磁场变化频率比较低，在任何瞬间该磁场都可以视为均匀分布。假设磁场强度只 有z 分量，即h = a ：h 。c o s 烈。 感应电场强度在沿y 轴方向的分量可以视为均匀的。另外，金属板比较薄，可以忽略 感应电场强度沿x 轴方向的分量，同时感应电场强度沿z 轴方向没有分量。因此， 鲁一鲁= 一掣h m s i n 缸 对上式进行积分可以得到 e v = 一x a ) , u h ms i n t o t + c 其中c 是积分常数。根据对称关系，当z = 0 时，电场强度e ，= 0 。因此在上式中积分常 l l 篓三童皇堡三! 量矍 数c 等于零。 e 。= 一x 缉m 。s 遮镀 金属薄板中电流密度为 j = a e = a 。( - x a e o 1 h 。s i n o j 在单位体积内对时阊的平均功率为 p a v = 睾f o e ；d t = - w o x 2 ( 2 ) z 2 h 。2s i n 2 甜d t = j o m 2 x 2 2 h ： 将上式再对x 求平均值，即得金属薄板内单位体积的平均涡流损耗为 p o = 言虐圭砌v 咚2 d x 5 玄鲫2 a 2 2 h ： = 彻2 f 2 a2 2 h m 2 b 从p 式中可以看出，涡流损耗功塞与炳塞的平方戚诈眦和口砖a 2l 盎诈眦 从上面的简单分析中还可以看出，如果互感器的铁芯出现饱和，则铁芯中产生的感生 电流与磁场之间的相位差不再是9 0 0 。此时铁芯的损耗与激励电流的关系比较复杂，只能 通过数值计算的方法得到。 从前面关于铁芯的饱和、磁滞损耗和涡流损耗蛉分辑中可以看出，在大电流下互感器 铁芯可能出现饱和，这将导致互感器中的二次电流的严重不对称，可能影响电流互感器的 工作性能。 二 1 ： 差6 = 1 0 0 一6酬i 嘲 伪i 动 时闯h ) t m u 啦地麓雌 不抵抽电拖城皤 图2 1 1 电流互感嚣稳态饱和二次电流的波形【9 l 由电磁场的基本理论可知，当互感器的铁芯出现饱和时，互感器的激磁电抗和电阻出 现非线性。由此关于互感器的三个基本方程也出现非线性。为了准确分析互感器在出现铁 1 2 第二章电流互感器 芯饱和时的工作性能，必须给出其等效电路中各非线性元件的描述模型。 由于互感器铁芯出现饱和，仅通过试验测试的方法很难全面描述非线性元件的整个工 作过程。因此本论文将从麦克斯韦方程出发，利用数值计算手段，分析并得到互感器的参 数在出现铁芯饱和时的描述模型。将这些非线性模型与互感器的实际试验参数值相互修整， 就可以得到互感器的非线性参数的较精确描述。将这些非线性元件用于电磁暂态分析程序， 如e m t p 就可以研究互感器饱和对保护的影响等问题。 1 3 叁三塞三矍量塞皇堡垒墼墼堡垫篓 第三章互感器中电磁场的数值计算 3 1 互感器中电磁场所满足的基本方程 众所周知，如果在互感器的一次绕阻中通以激励电流，在互感器的二次绕组中将产生 感生电动势。如果二次绕组与负载相连接，则将产生感生电流。互感器中的感生电动势可 以由法拉第电磁感应定律得到。 法拉第的电磁感应实验发现了时变电场和时变磁场之间的深刻联系。如果磁场中有导 线构成闭合回路上，则当穿过三所限定的曲面s 的磁通量发生变化时，回路中就会产生感 生电动势，从而引起感生电流印j 。感生电动势的大小可以表示为 s = 一堂d t = 旦d tf b d s 毒 ( 3 - i ) 式中，占是感生电动势，妒是穿过s 和l 交链的磁通。式( 3 1 ) 说明在一个闭合回路中的感 生电动势等于和回路交链的磁通量的增加率的负值，这就是法拉第电磁感应定律。 图3 - 1 法拉第电磁感应定律 感生电流的方向可以用楞次定律判断，即感生电动势将在闭合回路中产生感生电流， 而该电流的方向总是企图阻i 上回路中磁通变化。当图3 - 1 所示回路中线圈不止一匝时式 ( 3 - 1 ) 中的庐应为全磁通 。：一立 毋 d 陛谚 扣l 盔 ( 3 2 ) 式中n 为线圈匝数。 在互感器中，铁芯中所产生的磁场是随时间变化的。麦克斯韦方程是宏观电磁场所遵 循的基本方程。麦克斯韦方程组包括两个旋度方程和两个散度方程 v x e ：一塑 f a ) o t v t d = p( b ) v x h ：j + 塑 f c l ( 3 3 ) 拼 v b = 0 ( d ) 1 4 叁三耋兰璧矍皇皇丝丝墼墼堡婆量 在式( 3 3 ) 中，规定了电场强度和磁场强度的散度和旋度，根据亥姆霍兹定理，式( 3 - 3 ) 给出了确定的电磁场分布。原则上通过求解给定边界条件和初始条件下的麦克斯韦方程， 我们可以得到时变电磁场的所有特性。 式( 3 3 ) 给出了麦克斯韦方程组的微分形式，它适用于空间中的每一点。当我们在研 究互感器中的磁场分布时，可能包含各种具有不同形状和边界的有限物体。因此，我们还 需要使用麦克斯韦方程组的积分形式。利用矢量的旋度定理和散度定理。很容易从麦克斯 韦方程组的微分形式得到其积分方程 磐m - 一嫔d s ( a ) 如d s = p d v ( b ) 扣删= j j f ，+ 詈) 墙 c c ， 。4 嘲b d s = 0( d ) 在( 3 - 4 ) 的积分方程组中，( 3 和a ) 式给出的是电场强度沿一闭合路径的积分，它所 反应的就是法拉第电磁感应定律。式( 3 - 4 _ b ) 表示的是在静电学中广泛应用的高斯定理， 它在时变场的条件下，仍然保持相同的形式。其中电荷密度p 的体积分是闭合曲面所包 围的总电量。 当我们在分析互感器中的电磁场分布时，我们需要考虑电磁场空气、绝缘介质和铁芯 等不同媒质之间的变化。在不同媒质分界面两侧媒质的性质发生突变，其电磁场的分布情 况也会发生相应的变化。因此我们必须研究在不同媒质分界面上，场矢量e ，d ，b 和h 所 满足的边界条件。 在不同媒质分界面上，由于媒质性质不同，电磁场量不一定连续，因此在不同媒质分 界面上不宜采用麦克斯韦方程组的微分形式，而应采用积分方程组。所谓边界条件是描述 场矢量越过边界面时变化规律的一组场方程，将麦克斯韦方程组的积分形式应用于不同媒 质分界面，且让方程中积分区域向分界面无限缩小，最后取得方程的极限形式。 在不同媒质分界面上，电磁场所满足的边界条件为 n ( d2 一d 】) = p ， n ( e2 一e 1 ) = 0 n r ( b2 一b i ) = 0 n ( h 2 一t 1 1 ) = j ， ( 3 5 ) 在上面的边界条件上，a 是媒质分界面上的面电荷密度，j 。是媒质分界面上的面电 流密度。 在互感器中时变电磁场随时间变化较为缓慢，该时变电磁场被称为准静态电磁场场。 准静态电磁场是时变电场，但是它却具有静态场的一些特点。在互感器所产生的时变电磁 场中，如果忽略电通量密度的变化票，它被称为磁准静态场。它的基本方程组为 优 1 5 量三塞皇些丝圭皇堡丝墼鍪堡些塞 v x e ：一塑 反 v d = p ( 3 - 6 ) v 1 4 j v b = 0 在磁准静态场的近似条件下，磁场强度h 和磁通量密度b 所满足的方程与静磁场中的 方程完全一样。因此只要知道电流分布j ，就可以利用恒定磁场的公式计算和b 。 互感器中一次绕组的电流通常是按单一频率的正弦规律变化，因此它所产生的电磁场 可以认为是一个时谐场。在时谐场的条件下，其电磁场的基本方程组为 3 2 电磁场的有限元计算 如前所述，如果我们求解给定边界条件和初始条件下电磁场的基本方程，原则上就可 以确定电磁场在整个空间的分布。但是在实际的互感器中，其铁芯结构、绕组分布等都比 较复杂，很难用解析的方法来求解电磁场的基本方程组。因此本论文利用数值计算的方法 来分析互感器中的电磁场特性。 目前有很多成熟的方法可以用于时交电磁场的计算，例如有限差分( f d m ) 、有限元 ( f e m ) 、边界元( b e m ) 等。在互感器中，由于其铁芯结构较为复杂，采用有限单元剖分可 以更好地描述任意形状的边界。因此本论文采用有限单元法计算互感器中的电磁场分布。 有限单元法最初是用来处理结构力学的问题。在6 0 年代中期有限单元法被应用来解 决电机工程中具有复杂边界的静电场、静磁场及电流场f 司题。6 0 年代末期，有限单元法被 应用于微波领域，首先用来求解封闭边界的t e m 波传输线问题，后来被用来解决具有复 杂截面的均匀及非均匀波导问题。后来有限单元法在解决开放型t e m 波传输线以及光纤 和不规则介质体的散射问题等也取得了很大的进展口8 i 。 有限单元法是微分方程的一种数值解法，它是建立在变分、区域剖分和插值的基础上。 首先通过单元剖分将所研究的区域离散化。从变分原理出发，求得与微分方程边值问题等 价的变分问题。在单元内通过插值将二次泛函的极值问题化为一组多元线性代数方程。最 后求解该线性方程组，得到单元节点上的位分布。 3 2 1 泛函及泛函变分 所谓的泛函是指一个变量( 囡变量) 对一个或多个函数的依赖关系 v = v l 4 x ) ( 3 8 】 其中y ( x ) 是自变量，它是一个函数。v 是因变量，它是一个实数。泛函的定义域是满 足一定条件的、函数集合r 。泛函v p ( x ) 】的自变量y ( x ) 的增量是指函数y ( x ) 与其附近的 另外一个函数y ，( x ) 之间的差，记为努( x ) 田(x)=y(x)-y。(x)0-9) 1 6 玲侉 h 1 p 一一 = = = e e h h x v v v v 堡三耋三璧量塞皇些丝墼鍪堡茎篓 当自变最y ( x ) 具有增量匆( x ) 时，泛函v 陟( x ) 】也具有相应的增量v a v = v 陟( x ) + 方】一v 【y ( x ) 】 ( 3 - 1 0 ) 在满足一定条件的函数集合 y ( x 酚中，仅有一个函数y = y o ( x ) 使泛函v b r ( x ) 】取得 极值，该函数被称为极值函数。泛函的变分问题实质上就是寻求泛函的极值函数的问题。 3 2 2 非齐次亥姆霍兹方程的等价泛函 现在讨论非齐次亥姆霍兹方程 v 0 v u ) + k2 u = g( 3 1 1 ) 在边界条件： 在边界8 i 上u = “ 在边界s ，上坐：0 a n 下的等价泛函，式中n 代表边界的法向矢量，总的边界为s = 5 l + 52 。 函数u 为空间坐标的函数，在直角坐标系下写成u ( x ，y 。z ) 。在式( 3 1 1 ) 中，p 反映 介质的性质，它也是空间坐标的函数，即p ( x ，y ，z ) 。g ( x ，”z ) 代表电磁场的激励源，如空 间电荷密度等。 当p = 占( x ，y z ) ，k = 0 和g = 0 时，就得到拉普拉斯方程 vu)=0(3-12、 当p = 占( x 。y ，z ) ，k = 0 , 1 1 9 = p ( x ，y ，z ) 时就得到泊松方程 v ( 田u ) = p 当g = 0 ，p = 1 时，得到电磁场中常用的亥姆霍兹方程 v 2 u + k2 u ：0 式( 3 1 4 ) 的等价泛函为 j ( u ) = j f f 咕勺u ) 2 一k 2 u 2 + 2 9 u 】d v ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) r 3 1 5 ) 式中勺u ) 2 = v u v u 2 9 下面我们来证明式( 3 1 5 ) 。为了使式( 3 1 5 ) l 毂极值，我们用一组试探函数代入该式。我 们将证明在边界s l 上等于u a 而在边界s 2 上不受任何约束的试探函数u 中，使泛函取极 值的函数1 1 1 就是非齐次亥姆霍兹方程( 3 1 1 ) 的解。 1 7 第三章互感器中电磁场的数值计算 假设试探函数为 u 2 u 1 + a t ( 3 1 6 ) 式中h 1 是使( 3 1 5 ) 泛函取极值的解，o r 为一个任意常数，r 为任意函数。式( 3 - 1 6 ) 中的函数u 在边界s i 上满足u = u 。因为u 1 在边界s i 上等于u ，从式( 3 1 6 ) 中可以 看出函数r 在边界s 1 上为零。 将式( 3 - 1 4 ) 代入式( 3 1 5 ) ，其积分表示式内各项分别为 p ( v u ) 2 = p ( v u - v u l = p v ( u l + 口叩) v ( u 1 + c z 7 7 ) j = p ( v u l ) 2 + 2 p a ( v u l ) - ( v ，7 ) + 口2 p ( v 玎) 2 p u _ = k z ，( u 。l + c z r ? 2 ， ( 3 _ 1 7 ) = k 2 u l2 + 2 k 2 u l a r + 口2 r 2 吖 2 9 u = 2 9 ( u i + 口，7 ) = 2 9 u l + 2 9 a r 将( 3 - 1 7 ) 代入式( 3 - 1 5 ) ，得到 j ( u - + a 町) = j ( u - ) + a j 他 p ( v u t ) - v 叩一k2 u l 叩+ g 叩如+ a 2m 7 7 ) 2 一k2 卵2 h ( 3 - 1 8 ) 前面已经假设u l 是使泛函取极值的函数， 函取极值。由此可以得到 a j ( u 1 + o r ) i 。：o 于是有 m u 。) v r 一k2 u t 玎+ g r j ：t v = 0 因此试探函数u 1 + c t r 只有当c t = 0 时使泛 f 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) 利用高斯积分公式及v 似) = a v + 刀a ，可以得到 强卯( v u 。) d s = 嫩v 咖v u ，如 = j h b 勺刁) u 。) + 卵v - 0 v u 。巾v 由上式得到 m p ( v 叩) _ ( v u - 如= 纷p ( v u 。) d s m 叩v - o v u 。) d v 将上式代入( 3 2 0 ) 式，有 一f f f 刁p o v u 。) + k2 1 , 1 1 - - g h + 4 j p 野( v u 。) d s = 一m 叩 v - ( p v u , ) + k 2 u 。一g 如+ 抠p r ( v u ，) d s + 9 j l p 叩( v u ，) d s 1 1 8 丝三量三矍矍! 皇璧丝墼墼堡兰塞 因为r 函数在边界s 1 上为零，所以 蛳p 叩u ，) d s = o 另外 v ”d s ：塑d s 抽 因此式( 3 2 1 ) 简化为 一j 玎扣( p v u ，) + k 2 u i - - g 如+ 强p 可d s = o 由于对于任意的函数玎，式( 3 2 2 ) 都成立，所以有 v p v u l ) + k 2 u l g = 0 孚is 2 = o r 3 2 2 ) ( 3 - 2 3 ) 在前面我们曾经讨论过，在s l 面上u = u l = “a 。再加上式( 3 2 3 ) 的结论，由此证 明使式( 3 - 1 5 ) 泛函取极值的函数u 1 是非齐次亥姆霍兹方程( 3 1 1 ) 的解。 在上面的讨论中包含了两种边界条件。第一种边界条件是在s 1 边界面上u = u 。，该 a 边界条件也被称为强迫边界条件。第二种边界条件为在s 2 边界面上兰= 0 ，它被称为自 d n 然边界条件j 。 3 2 3 区域剖分和插值函数 当我们利用有限单元法计算电磁场分布，在找到了与边值问题等价的变分问题以后， 需要通过区域剖分和分区插值，把二次泛函的极值问题转化为一组多元线性代数来求解。 所谓的单元剖分是指将定义域从几何上分成若干足够小的单元。图3 - 2 给出了利用三角形 单元剖分平面域。 图3 - 2 三角单元剖分平面域 我们在单元内选择一些特定的点作