（材料科学与工程专业论文）凝固微观组织相场法模拟.pdf

兰州理工大学硬士论文摘要 凝固微观组织相场法模拟 摘要 本文在参考国内外涉及相场理论的文献基础上，对纯物质进行了基于熵函数相 场模型推导工作；该模型考虑了界面的各向异性并在相场方程中引入了产生侧向分 枝的扰动项。同时在本文中对所采用的合金的相场模型温度场控制方程进行了部分 修正。然后基于有限差分均匀网格剖分技术利用相场模型进行了纯物质和二元单相 合金过冷熔体中枝晶生长的微观组织数值模拟。 为了了解相场模型中各种参数对于枝晶生长形貌的影响，研究了模型中过冷 度，各向异性系数等参数对枝晶形貌的影响。结果表明模型中参数的确定在相场法 模拟凝固微观组织的应用中具有非常重要的意义。 在相场法凝固微观组织模拟的应用中，程序的计算量大和计算时间长严重限制 了凝固微观组织数值模拟的应用。本文中采用一个随温度场变化而逐步放大的区域 来进行运算，结果证明对提高相场法模拟的效率有着显著的效果。 关键词：相场方法，微观组织，数值模拟，枝晶 兰州理工大学硕士论文 摘要 s i m u l a t i o no fm i c r o s t r u c t u r ei ns o l i d i f i c a t i o n u s i n gp h a s e f i e l dm e t h o d a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，a f t e rr e f e r r i n gt os o m el i t e r a t u r e si n t e r n a la n do v e r s e a s a b o u tt h e o r yo fp h a s e f i e l dm o d e l ，w eh a v ed e r i v e dt h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s i nap h a s e f i e l dm o d e lo fp u r es u b s t a n c eb a s e do nt h ee n t r o p yf u n c t i o n t h e i n t e r f a c ea n i s o t r o p yh a sb e e nt h o u g h to v e ri nt h i sp h a s e f i e l dm o d e la n d at e r mo fn o i s et op r o d u c et h es i d e b r a n c h e sh a sb e e ni n t r o d u c e di n t ot h e e q u a t i o no fp h a s ef i e l d a tt h es a m et i m ear e c t i f i c a t i o nh a sb e e nm a d et h e e q u a t i o no ft h et h e r m a lf i e l df o rab i n a r ya l l o y t h e nt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no fs o l i d i f i c a t i o nm i c r o s t r u c t u r eu s i n gp h a s e f i e l dm o d e lo ft h e d e n d r i t eg r o w t hi n t ot h eu n d e r c o o l e dp u r em e t a la n db i n a r ys i n g l e p h a s e a l l o ym e l t sa r ec a r r i e d0 1 1 d u r i n gt h es i m u l a t i o nw eh a v ea p p l i e dt h ef i n i t e d i f f e r e n c em e t h o dw i t hu n i f o r mg r i d s f o rc l e a ru n d e r s t a n d i n go ft h ea f f e c t i o nt h a te a c hp a r a m e t e ri np h a s e f i e l dm o d e lc r e a t e so nt h ep h a s ef i e l dp a t t e r no fd e n d r i t eg r o w t h ，w eh a v e s t u d i e dt h ea f f e c t i o n so fu n d e r c o o l i n g ，a n i s o t r o p yc o e f f i c i e n t ，n o i s ea n d o t h e rt h e r m a l p h y s i c a lp a r a m e t e r s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n f i r m a t i o n o fp a r a m e t e r si np h a s e f i e l dm o d e lh a sav e r yi m p o r t a n tm e a n i n g n o w ，t h ec a l c u l a t i o n a ld a t aq u a n t i t yo fp r o g r a mi s s ol a r g ea n dt h e r u n n i n gt i m eo fp r o g r a mi ss ol o n gt h a tb o t ho ft h e s et w or e a s o n sh a v eb a d l y l i m i t e dt h ef a r t h e ra p p l y i n go fp h a s e f i e l dm e t h o di nt h em i c r o s t r u c t u r e s i m u l a t i o no fs o l i d i f i c a t i o n i nt h i sp a p e rw eh a v ea d o p t e dag r a d u a l l y c h a n g i n ga r e at oc a l c u l a t e t h i sa r e aw i l lb ee n l a r g e df o l l o w i n gt h ec h a n g e o ft h e r m a lf i e l d o fc o u r s et h ec o m i n gi n f l u e n c e da r e ad u r i n gt h ec a l c u l a t i o n o fn e x t t i m es t e pw i l lb ea c c o u n tf o r ：i ts h o w st h a tt h er e s u l tb yu s i n g t h i sm e t h o dt oa c c e l e r a t et h ee a l c u l a t i n gs p e e di sq u i t eg o o d k e y w o r d ：p h a s ef i e l dm e t h o d ，m i c r o s t r u c t u r e ，n u m e f i c ms i m u l a t i o n ，d e n d r i t e 原创性声明 、本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除了论文中特别加以标注的部分以外，论文中不包含其他人 已经发表的论文或研究成果。也不包含为获得兰州理工大学或其他单位的学 位或证书而使用过的资料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在 论文中作了明确的说明。 作者耸名：秀缪澎 时间：2 0 0 5 年5 月 关于学位论文使用授权说明 本人了解兰州理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校可根据国 家或甘肃省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：墨r 伴- 彦- 导师签名：那 兰州理工大学硕士论文 第一章文献综述 第一章文献综述 1 1 铸造凝固过程计算机数值模拟的发展概况n 1 自1 9 4 6 年世界上第一台数字式电子计算机在美国发明以来，计算机技术在各 个领域都获得惊人的发展。时至今日，计算机技术不仅带动高新技术的发展，而且 在改造传统产业和基础工业中业扮演着极其重要的角色。 铸造凝固过程的计算机数值模拟可以追溯到上个世纪6 0 年代。自从1 9 6 2 年丹 麦的k f o r s u n d 第一个采用电子计算机数值模拟铸件凝固过程以来，为铸造工作者 科学地掌握与分析铸造工艺过程提出了新的方法与思路，在全世界范围内产生了积 极的影响，铸造工艺研究也进入了计算机时代。1 9 6 7 年，丹麦学者f o r s u n d 把有限 差分近似法用于铸造凝固的理论研究中：7 0 年代，美国麻省理工学院凝固模拟权威 m c f l e m i n g s 教授指出可以用模拟技术来研究及预测大型铸件或铸锭的缩孔、缩 松、热裂和偏析等缺陷，以确保获得高质量的铸件及铸锭。、 由于计算机的高速计算能力，逻辑判断能力和人工智能化能力，使得计算机可 以对各种工艺进行数值模拟：如充型过程流场，凝固过程的温度场及凝固后的组织 形态等。可以提前比较和改善工艺，减少缺陷，降低产品废品率。由于用计算机进 行铸件质量模拟预测，并没有进行实际生产实验，可以大量节省人力、物力、财力。 尤其在对于不能进行产品试制，且要求一次投产可靠性1 0 0 的大型件：或者对大 批量造型线生产时，要求浇冒口尺寸精确以节约金属时，应用计算机数值模拟方法 比应用常规经验既来得方便又可以取得显著的经济效益。此外，由于铸造工艺实际 一直建立在生产经验的基础上，通过实验，比较的方法来寻求最佳的工艺。到了2 0 世纪上半叶，也产生了一些通用简明的计算方法进行浇冒口设计，如内接圆法， c h v o r ir l o v 的平方根定理，w l o d a w a r 的模数法。虽然这些方法至今仍在起着重要 的作用，但是由于不能对每一具体工况进行复杂的且带有大量热交换的传热计算， 因而不能进行科学的工艺设计。这种设计必须涉及换热学，流体力学，凝固力学， 凝固理论，计算数学，计算机语言学等知识，且只能在可以高速计算的计算机上进 行，因而采用计算机数值模拟可以使铸造工艺设计从经验走向科学。 随着计算机的逐步普及，用计算机技术改造传统铸造产业已成为一种趋势。铸 造过程数值模拟技术在铸造领域的应用优化了产品结构、提高了产品质量、缩短了 产品开发周期，从而推动铸造行业进入了一个新的发展阶段。 正是由于上述优点，从1 9 6 2 年以来，工业发达国家美国、英国、德国、日本、 法国等的优秀冶金铸造研究人员都开展了这方面的研究，掀起了一次次高潮。一方 面他们凭借雄厚的财力物力，一直没有间断过从事凝固基础理论研究：从传热，传 质到材料结晶过程的均质形核，非均质形核，到晶粒生长，组织转变等各个方面， 为凝固研究奠定了坚实的基础。另一方面，由于研究中不断建立新的数学模型和判 据，使得铸造行业的计算机模拟逐渐由基础研究走向实用化发展，并逐步成熟。模 拟趋势也由简单到复杂、宏观到微观、定性模拟到定量计算，体现了工艺组织性能 全方位油画的格局。一般说来，铸件凝固过程的数值模拟包括宏观模拟和微观模拟。 目前凝固过程的温度场数值模拟以及缩孔，缩松预测已应用于实际生产；在充型过 程，应力分析和微观组织方面的基础研究及实用化都取得了很大进展。总的来说概 兰州理工大学硕士论文第一章文献综述 括如下： 1 温度场的数值模拟已趋成熟 从6 0 年代到8 0 年代，进行铸件凝固过程温度场的数值模拟，到1 9 8 8 年三维 温度场模拟成功，且模拟结果与实测结果吻合良好，表明凝固过程温度场模拟已达 到较高的水平。计算温度场的方法有有限差分法、有限元法和直接差分法，其结果 可预测铸件的凝固质量，消除缩孔，疏松缺陷。相应的模拟软件有：德国的 m a g m a s o f t ，美国的p r o c a s t ，日本的s o l a n 等”3 。国内清华大学开发的f t s t a r 与 华中理工大学开发的s c s 凝固模拟软件在这个方面比较具代表性。现在这一领域的 主要工作是选择正确的边界条件和合金热物性参数，提高模拟精度，防止热物性参 数不准确导致的“垃圾进，垃圾出”现象产生。另外，扩展应用范围，包括在不同 合金与不同工艺条件下的应用。 2 充型凝固过程的数值模拟正在兴起和完善 在温度场数值模拟基础上，自8 0 年代起开展了充型过程速度场的数值模拟， 到9 0 年代，三维速度场计算也获得成功。计算速度场方法主要有s o l a v o f 、m a c 、 s m a c 、c o m m i x 等，可预测铸造充型质量，消除冷隔、浇不足、气孔、夹杂缺陷。”。 综观近期的发展趋势，充型过程的数值模拟有两个明显的特点： 凡是二维速度场计算，计算域都趋于复杂，接近工业实际应用状态。如汽车 发动机的进气管，几何形状极为复杂。 在这一领域中，世界上许多著名研究小组都在致力于发展三维变计算域速度 场和温度场耦合计算。如美国g e 公司研究部的h p w a n g 小组，日本东北大学的新 山英辅领导的研究组，大阪大学大中逸雄研究组，德国亚琛工业大学的p r s a h m 小组，丹麦科技大学的p n h a n s e n 研究组，他们已经或正在实现真正的三维计算， 包括速度场和温度场耦合计算。凝固过程中热应力场的形成和应力分布的数值模拟 方面也开始起步。由于热应力产生在准固态区，金属处于粘塑性和弹塑性范围内， 因而应力计算的数学模型至今不完善另外，热应力和残余应力的测量也有许多困 难，使得热应力和残余应力的数值模拟局限在简单铸件上，对于真正的铸造应力的 准确模拟还有相当大的距离，有待今后逐步解决。 3 微观组织的数值模拟正在兴起和完善 自1 9 9 2 年起，随着铸件凝固过程和充型过程计算机数值模拟的长足发展，特 别是三维复杂几何形状的充型过程数值模拟获得成功，世界上许多发达国家的杰出 研究人员开始尝试组织形态的计算机数值模拟，包括微观的形核，结晶、长大到宏 观的等轴晶、树枝晶形貌。这是一个复杂的模拟过程，既包括各个随机出现的晶胞 的温度计算，也包括溶质扩散导致各个微观区域的熔点变化计算，来逐步实现由微 观结晶生长到宏观结晶形貌的形成，由一个原子体积逐渐积累到一个铸件的形成。 这一过程所需的计算量之大，计算时间之长，内存开辟数组之多是前所未有的。但 尽管这样难，所需的知识高深，在美国、加拿大、澳大利亚、欧共体和日本已经丌 始了这一研究。如果研究成功，人们可以预先设计某种材质的铸件的组织形态，获 得高的性能，这是具有很大经济意义的成果，也很有实用价值。 我国的铸造凝固模拟工作起步较晚，但发展迅速“1 。7 0 年代末，大连理工大学、 沈阳铸造研究所、西安交通大学、西北工业大学、哈尔滨工业大学及清华大学等单 位先后开展了计算机浇冒d t 艺c a d 及凝固模拟研究。在广泛了解、吸收国外研究 成果的基础上，沈阳铸造所的王君卿、张毅等人最先将凝固数值模拟方法应用于实 际大型铸件温度场计算，并进行了试验验证。大连理工大学的余俊泽，郭可仞等对 兰州理工大学硕士论文第一章文献综述 铸造应力的产生、裂纹的形成、数值方法及热物性参数测定等进行了一系列研究工 作。哈尔滨工业大学的安阁英，徐东等人对凝固数值模拟中的有限元法、外接点直 接差分法进行了分析研究，并用有限元法对铸件中的应力行为及热裂形成进行了数 值模拟计算李庆春、徐达鸣等人最先对合金凝固过程中的溶质再分布规律进行了 数值模拟研究。西北工业大学周尧和，介万奇等人对铸锭凝固宏观偏析、沟槽偏析 等问题进行了数值模拟研究。此外，清华大学、西安交通大学也相继开展了这方面 的研究。 1 2 铸造凝固过程微观组织数值模拟的发展概况 1 2 1 概述 铸件凝固模拟的目的是为了褥到固液界面运动的时闻和空间上的描述。这些模 型可以用于预测铸件的完整性、微观组织的长度尺度、相的份数。要描述固液界面 必须考虑三种长度尺度：宏观尺度( 宏观组织) ：可以预测缩孔、宏观偏析、裂纹、 表面质量、铸件尺寸。这些宏观组织特征在很大程度上影响到铸件的性能及表面质 量。微观尺度( 微观组织) ：大多数情况下，铸件的机械性能取决于凝固期间所形 成的微观组织，可以预测铸态晶粒的尺寸及类型( 柱状晶或等轴晶) 、化学微观偏析 的类型和密度、显微缩孔的数量、缩松和夹杂。纳米尺度( 原子尺度) ：固液界面 动力学的精确描述需要原子尺度的计算。就目前的知识和硬件的发展而言，原予尺 度还没有应用在铸造工程中。然而，在计算中正确的凝固模型至少部分要地应用到 原子尺度。 铸件凝固过程的微观模拟是指在晶粒尺度上对铸件凝固过程进行模拟。铸件凝 固过程晶粒组织的控制是铸造工作者长期致力研究的课题，过去的组织优化研究是 对不同条件下制备的试样进行金相检验，以得到其组织形成的规律性，这样要耗费 大量人力、物力和财力，并且具有一定的盲目性。对铸件凝固过程的微观模拟可减 少无为劳动，傲少量实验既可达到预测铸件的凝固组织和推断其力学性能，并可获 得主要工艺参数与铸件凝固组织的定量关系，为通过工艺控制改善铸件凝固组织提 供可靠依据。而且铸件的力学性能优劣和使用寿命取决于铸件在凝固过程中所形成 的微观组织，有效地控制铸件成型过程中微观组织的形成具有非常现实和重要的意 义，但是由于成型过程需要控制大量的参数，全部用实验手段不太现实，因而模拟 预测方法显得越来越重要。微观组织的数值模拟可以降低消耗，做少量的实验既可 达到预测铸件的凝固组织和推断其力学性能，又可获得主要工艺参数与铸件凝固组 织的定量关系，为通过工艺控制和改善铸件凝固组织提供了可靠依据。 自从1 9 6 6 年，o l d f i e l d 嘲提出在铸件凝固过程宏观温度场模拟基础上将热源项 表示成形核率和生长速率的函数，进而获得能反映铸件凝固组织形成过程的模拟结 果以来，各种微观组织的模拟方法纷纷出现。 近年来，随着铸件凝固过程宏观模拟的逐渐完善以及计算机软硬件技术的飞速发 展，使微观组织模拟成为可能，因而微观组织模拟逐渐成为当前铸件凝固过程模拟 研究的热点。微观组织模拟是指在晶粒尺度上对铸件凝固过程进行模拟，是微米级 的模拟计算。 微观组织的数值模拟先后经历了定性模拟到半定量、定量模拟，由定点形核到 随机形核，由确定性模型发展到概率模型以及最新的相场模型。在微观尺度内，可 以用相场方法计算枝晶生长的动力学和凝固过程的轨迹，在宏观范围内，根据能量、 兰州理工大学硕士论文第一章文献综述 动量和溶质的守恒方程计算溶液的过冷和凝固。晶粒是介于宏一微观之间的尺度， 因此，模拟晶粒的组织就要建立宏一微观统一的模型( m a c r o t r a n s p o r t t r a n s f o r m a t i o nk i n e t i c sm o d e l i n g 简称m t t k ) 。将宏观守恒方程与 微观的形核、生长、晶粒破碎和传输耦合起来，宏观量如温度、速度等，可以利用 相应的方程计算，通常采用有限元或有限差分法求解。在微观范围内采用解析的方 法分析枝晶端部或共晶薄层或球粒的动力学生长，并且考虑到扩散、曲率及吸附动 力学因素。 目前微观组织形成过程数值模拟主要问题是很难建立一个相当完善的数学模 型来精确计算形核数、技晶生长速度及组织转变等。以往的微观动力学模型，如k g t 模型，预测生长速度与实际情况尚有差距，对多元合金的模拟研究，技术上尚有许 多困难，特别是形核模型，计算结果很大程度上取决于经验，因为孕育剂的数量是 很难精确计算的。此外，由于剖分网格太小，计算时间太长，计算效率低w 。铸件 微观组织模拟研究今后将向走向凝固及单晶方面发展，同时，在计算精度、计算速 度及实际应用方面还有许多工作要做。其中，如何将这一研究结果在实际中得以应 用，指导生产，获得优质的铸件，将会是所有研究人员最为关注的研究课题，这也 是铸件微观组织模拟的目的所在。在理论研究方面，将会考虑更多的影响因素，以 建立更加完善的宏一微观统一模型。 1 2 2 各种微观组织模拟的方法及比较 随着计算机技术的飞速发展，凝固及相关理论的不断完善，人们开始将宏观的 热流计算与微观组织的模拟计算联系起来，有很多学者提出了预测铸件凝固过程晶 粒微观结构的模型。目前，常用的微观组织数值模拟方法主要有三种类型：确定性 方法( d e t e r m i n i s t i cm e t h o d ) 、概率方法( p r o b a b i l i s t i cm e t h o d ) 和相场方法 ( p h a s ef i e l dm e t h o d ) 。”。不管是确定模型还是概率模型，模拟晶粒生长时都 需跟踪固液界面，用它们模拟枝晶的形貌有一定的困难m ，。相场是一种计算技术， 它能使研究者直接模拟微观组织的形成。相场方法也称为直接的微观组织模拟。 1 2 2 1 具体模拟方法如下 1 确定性方法：以凝固动力学为基础，认为在一定体积的熔体中，晶粒的形核 密度和生长行为是某些确定参数的函数，例如过冷度，溶质过饱和度和其他热物性 参数等。晶粒一旦形核，它就以与界面速度相同的速度进行生长。界面速度同样是 与过冷度有关的函数。即指在给定的时刻，一定体积的熔体内晶粒的形核密度和生 长速率都是确定的函数，该函数可以通过试验求得。确定性模型的建立往往依据经 典形核和生长理论，晶粒一旦形核，就以与界面速度相同的速度进行生长。 确定性方法以凝固动力学为基础的，符合晶粒生长物理背景，具有实际意义，但由 于它的确定性，从而无法考虑晶粒生长过程中的一些随机现象，该方法忽略了一些 与结晶作用有关的因素，不能解释发生于铸型表面和导致柱状晶区域产生的晶粒选 择现象，不能够预测发生在铸型表面的等轴晶与柱状晶之间的转变。此外，当温度 梯度很小时，发生在液体内部的柱状晶向等轴晶的转变，也很难用决定论方法解释 这一现象。 确定性方法主要有前沿跟踪方法( f r o n tt r a c k i n gm e t h o d ) 等。 2 概率方法，也称为随机方法( s t o c h a s t i cm e t h o d ) ：该法以概率统计为理 论，不能处理凝固过程中存在的许多随机因素，如随机形核分布，晶粒的随机取向 4 兰州理工大学硕士论文 第一章文献综逮 等。所以后来发展的随机性方法考虑了凝固过程中的随机因素，采用概率方法来研 究晶粒的形核和长大，包括形核位置的随机分布和晶粒的随机取向等。 目前随机性微观组织模拟方法主要有蒙特卡罗法( m o n t ec a r l om e t h o d ，即m c ) ， 元胞自动机法( c e l l u l a ra u t o m a t i o nm e t h o d ，即c a ) 和改进单元自动控制法( m a c ) 1 0 】 o 3 相场方法 相场方法( p h a s ef i e l dm e t h o d ) 源于运动边界问题，运动边界问题办称s t e f a n 问题，以s t e f a n 于1 8 9 1 年研究北极冰层厚度而得名。这一数学问题模拟了许多扩 散现象。一个多世纪以来，由于其在处理各种相变过程和工程问题中的关键作用， 一直是一个十分活跃的研究领域。经典的凝固问题亦称为自由边界问题，其特点在 于求解域中存在一个位置随时间变化的固液界面，对纯物质而言，在确定的温度下， 该移动界面是明晰的( 共晶合金在这点上类似于纯物质) ：对非纯物质( 如合金) ，其 凝固现象发生在一个温度范围内，移动“界面”是模糊的两相区。金属的凝固属于 一级相变，模拟一级相变的传统方法涉及到跟踪自由边界问题，需要求解非常棘手 的自由边界问题。例如，纯物质的凝固，必须分别在固相、液相及界面建立能量守 恒方程，并分别求解满足边界条件的固相和液相的温度场及其在运动的固液界面上 的导数。 相场方法以金兹堡一朗道理论为基础，用微分方程来体现扩散、有序化势和热 力学驱动的综合作用。相场方法又称为直接的微观组织模拟，是一种计算技术，它 能使研究者直接模拟微观组织的形成n ”。相场方法是由于引入了相场变量中这一变 量而得其名。相场由这一序参量表示系统中相在时间和空间上的物理状态( 液态或 固态) ，在固液界面上由的值在0 - 1 之间连续变化相场方法以金兹堡一朗道理相 变理论为基础，相场方程的解描述金属系统中固液界面的状态、曲率以及界面的移 动把相场方程与宏观场( 温度场、溶质场、速度场) 耦合，可以模拟金属液的凝固 过程用相场模型已经模拟计算了纯物质的枝晶生长，发展了二元合金的相场模型， 并进行了数值模拟3 。并且，相场方法使用统一的控制方程，在模拟过程中，相 场方法不必区分固液相及其界面，在整个金属液系统中用统一的控制方程描述，并 且不用跟踪固液界面。非常适合用于晶粒生长模拟，尤其是微观组织的三维模拟， 所以被认为是定量模拟复杂形状界面形成的强有力工具。因此相场方法成为当前微 观组织模拟的主要研究热点“”。 1 2 2 2 模拟方法优劣比较 微观组织的数值模拟先后经历了定性模拟、半定量、定量模拟。由确定模型发 展到概率模型以及最新的相场模型一直接数值模拟。 相场方法是直接微观组织模拟的研究方法，是模拟一个枝晶生长的新方法。与 确定性方法和概率方法比较，相场方法能够对金属的凝固过程进行真实的模拟，特 别是能够模拟一个枝晶的真实形貌和演化过程；而确定性方法和概率方法则是模拟 多个晶粒的形貌。虽然确定性方法和概率方法都可以模拟微观组织的形成。但比较 而言，概率模型能够考虑形核生长过程的随机性和晶体生长过程的方向性，动态跟 踪显示每个晶粒的形核生长过程及柱状晶向等轴晶转变过程：但该方法的缺点是只 能模拟枝晶的近似形状，不能模拟枝晶的分枝，熟化过程。到目前为止，由于模型 的复杂性，只能将能量方程与形核，生长耦合起来。不能将宏观多场( 温度场，溶 质场和流场等) 与组织形成过程集成计算。确定性方法可以将凝固过程中所涉及到 兰州理工大学硕士论文第一章文献综述 的宏观多场与形核生长耦合起来，但确定性模型只能计算平均晶粒尺寸，难以考虑 晶体学的影响。不能再现凝固时枝晶的生长过程，更不能预测每个枝晶的具体形貌。 相场方法提供了数值求解复杂凝固问题的一种方便手段，对纯物质而言，其基本思 想是将相场和温度一起作为要求解的函数，在整个区域( 包括液相，固相和两相界 面) 建立一个统一的能量方程，利用数值方法求解相场的分布，然后确定两相界 面它把分区求解的相变问题化成整个区域上的非线性传热问题处理。因此，它不 需要跟踪界面将液相和固相分开处理，而是用相场跟踪系统中的相，这样在整个求 解域中采用相同的数值汁算方法，克服了原有跟踪界面模拟方法带来的形状误差， 大大提高了计算模拟结果的精度“。 1 3 相场方法的发展 1 9 8 3 年，f i x 最早提出相场模型的数值解法。1 9 9 3 年，k o b a y a s h i 首先利用含 有各向异性的相场模型实现了过冷纯物质金属熔体中的枝晶生长二维模拟，计算了 带有边枝，枝晶状晶体的形成，定性说明了微观组织形成的一些特征。随后又将二 维扩展到三维，得到了与真实凝固组织定性相似的结果“。w h e e l e 和m u r r y 等人利 用热力学一致的相场模型定量模拟了纯物质的枝晶生长“。w h e e l e r 等人推导出 二元合金的相场模型( 即w b m 模型) ，并用它预测了二元合金的溶质微观偏析模式 和枝晶形貌“”，见图1 - 1 。1 9 9 6 年，k a r m a 和r a p p e i “”对相场模型进行了薄界面渐 进分析，结果表明，界面厚度可以大于毛细长度，在此基础上，建立了可以模拟大 过冷度范围的新相场模型，并缩短了计算时间。基于新模型k a r m a 对小过冷度下界 面动力学系数为零的纯金属自由枝晶生长进行了模拟，枝晶尖端速度和尖端半径的 计算结果与稳态枝晶生长的格林函数数值解一致，图卜2 为三维自由枝晶计算结果。 k a r m a 和r a p p e l 分析了相场方法的计算 效率并对枝晶生长进行了二维、三维的定量模拟，分析了网格和扩散边界层厚度对 模拟结果的影响”“3 。k a r m a 等人研究了扰动对边枝产生的影响，提出两种加入相 场模型扰动的方法o ”。1 9 9 8 年，w h e e l e r 和n e s t l e r 提出了考虑表面自由能和界 面动力学各向异性的多元相场模型，数值计算的结果显示了许多可以观察到的生长 机理嘶1 。b e c k e r m a n nc 等人研究了对流与相场方程的耦合，模拟了二维三维情况下 对流对枝晶生长的方向和外形的影响等m ”。 兰州理工大学硕士论文 第一章文献综述 对于二元合金，w h e e l e r 等人提出了等温近似条件下的合金凝固模型 ( i s o t h e r m a lm o d e l ) ，并进行了界面厚度趋近于零的渐近分析o 。结果表明，随 着界面推进速度的增大，界面溶质富集增大，这与快速凝固过程中的溶质截留效应 不符。为此，w a r r e n 等人在浓度场控制方程中引入了一个修正项( v c ) 2 ( v c 是浓度 梯度) ，得到了与实验一致的溶质偏析计算结果“。w a r r e n 等人发展了弥散界面 相场方法，并用它预测了二元合金的溶质的微观偏析模式啪1 。1 9 9 8 年，z h i q i a n gb i 等人提出了二元合金一般性相场模型o ”。2 0 0 2 年w i l lj a mlg 和w a r r e nja 应用 相场法平行三维模型进行了合金的等温三维模拟1 ，结果见图1 - 3 。 因为对流对凝固微观组织形貌现在已经是不容置疑，因此将流场耦合到相场模 型的研究是目前相场法应用研究的一个新热点趋势。1 9 9 8 年t s n h a r d t 和a m b e r g 。“1 将纯金属凝固时熔体中的对流转换为剪切流( s h e a rf l o w ) ，建立了相应的相场模 型，研究了在剪切流作用下的枝晶生长，结果表明具有优先生长方向的晶体在逆流 方向上其垂直生长速度达到最大。t o n g 和b e c k e r m a n n “1 基于k a r m a 的模型，等提 出了考虑强迫对流的相场模型，模拟了在强迫对流下流速、流动方向等对枝晶形貌 的影响，结果显示枝晶生长速度在逆流方向较大，见图卜4 。 综合上面资料，可以看出虽然相场法自面世以来，获得很大发展，但是目前应 用还只是局限于单个枝晶和简单初始、边界条件下，模拟尺度小，结果也和真实的 凝固组织预测有很大差距。 1 4 本论文主要研究内容 本文使用镍铜合金进行相场的微观组织模拟。以下是本文的主要研究内容： 1 完善相场模型 拟采用基于熵函数的相场模型，包括相场控制方程、能量守恒方程、溶质守恒 方程。该模型比较全面的考虑了凝固过程中影响枝晶生长的众多因素，引入了界面 能各向异性。 2 研究相场参数对晶粒生长的影响 本文主要应用相场模型进行二维模拟，通过模拟计算不同相场参数和过冷度下 晶粒的生长形态，说明各个相场参数的物理意义，同时分析枝晶生长边枝的产生原 兰州理工大学硕士论文第一章文献综述 理。 3 加速相场法模拟的计算效率 微观组织数值模拟中计算数据量大和计算周期长是限制其应用的一个瓶颈问 题。为了提高计算效率，加速计算速度，本文采用了一种确定最小计算区域的算法。 该方法根据分枝的生长逐步放大计算区域，能够比较真实反映枝晶生长演化过程， 同时又起到了加速运算的效果。 1 5 本章小结 本章综述了铸造凝固过程中的数值模拟发展的状况和趋势，说明和对比了各种 微观组织模拟的基本方法及其发展的历程和趋势。阐述了课题的意义，确定了课题 研究的主要内容。 兰州理工大学硕士论文第二章相场原理 第二章相场原理 相场模型最初是为了绕开凝固组织模拟中追踪液固界面的困难而提出的，其后 在各种类型的组织演化问题中得到广泛应用。相场模型本质上是一种弥散界面模 型。它将系统看作一个整体，热力学变量控制方程在不同的相区域具有相同的形式， 不必跟踪界面。相场模型通过引入在界面处急剧变化但连续的相场变量序参量 来描述不同的相或畴，并与其它场变量相结合起来描述组织的演化问题。由于这些 场变量在整个计算区域上是连续变化的，因此楣场模型中不再需要追踪界面的几何 形态并且避免了追踪界面所引起的误差。同时相场模型可以自动处理尖锐界面模 型中难以处理的界面形态演化问题，如相的产生或消失等。同时，相场法还提供了 一个恰当的理论框架，可以很方便地将相变过程中的起伏，流场和形核等对相变过 程有巨大影响的因素加入到模型中去以考察其对相变过程的影响“1 。 相场方法是含有c a h n - h i l l i a r d 或g i n z b e r g l a n d a u 自由能函数。或者含有熵 函数的相转变数学模型。一个假定的相场参量( x ，y ，z ，f ) 被引入，熵函数或自由能 函数被认为是相场变量、热动力学变量及它们的梯度的函数：以浓度为c 的二元合 金的熵函数为例，其熵函数可以表示为： r 1 1 s 酗，8 ，c 】= c s ，g ，c ) 一i 16 2 l v 1 2 一去万2 i v c l 2 d 矿 ( 2 1 ) 。l 上z j 2 1 厄伦菲斯( p e h r e n f e s t ) 对相变的分类n 瑚“” 相变是指当外界约束( 温度或压强) 作用连续变化时，在特定的条件( 温度或压 强达到某定值) 下，物相却发生了突变。突变表现为：1 从一种结构到变化到另一 种结构：如液相凝固为固相和固态相变等；2 化学成分的不连续变化：如固溶体的 脱溶分解和溶液的脱溶沉淀等；3 某种物理性质的跃变：如正常导体一超导体转变 等。 在相变点上，两相的热力学势相等，即系统的热力学势仍然保持连续。但是热 力学势的各阶导数( 如熵、体积、比热等) 却可能发生不连续的跃变。据此厄伦菲 斯首先提出了相变的分类方案，其分类标志是热力学势及其导数的连续性：n 级相 变就是在相变点，系统的热力学势的第( n - 1 ) 阶导数保持连续，而其n 阶导数则 是不连续的。即凡是热力学势本身连续，而第一阶导数不连续的状态突变，称为一 级相变。热力学势和它的第一阶导数连续变化，而第三阶导数不连续的情形，称为 二级相交变。 2 1 1 一级相变 液固相变属于一级相变，一级相变具有如下特性；熵和体积的变化是不连续的； 存在相变潜热。在一级相变过程中，亚稳相和新相可以同时存在。图2 1 显示了一 级相变中g i b b s 自由能、熵和比热随温度的变化。z 为相变点温度。 9 兰州理工大学硕士论文第二章相场原理 c， s 名 (； i 瓢 ， ， 贫 ， 零像鼙一每 t t tt c l 渺b t 自蛾蝴麓c ) 比热 图2 - i 一级相变特性 2 1 2 二级相变 在二级相变中，熵和体积在相变点上是连续的，而比热、压缩率和膨胀率等则 是不连续的，不存在相变潜热。图2 2 显示了二级相变中g i b b s 自由能、熵和比热 随温度的变化特性。疋为相变点温度。 在二级相变过程中，不存在亚稳相，因而没有两相共存的现象。 o 8 一 i：p 小 纹 嚏g 。 丁 tt ( 1 ) a 抽i 茸奎趱帕) 藕 绀挖热 图2 - 2 二级相变特性 2 2 朗道的唯象理论( l a n d a up h e n o m e n o l o g i c a lt h e o r y ) “一“” 1 9 3 7 年，朗道概括了平均场理论的实质，采用群论语言，提出了一种很普遍 的表达，这就是二级相变的朗道唯象理论。这个理论强调了相变时对称性改变的重 要性，并提出了可用一个反应体系内部状态的热力学变量即序参量来描述相变时的 对称破缺。序参量反应了系统内部的有序化程度，它在高对称相等于零，而在低对 称相则不等于零。相变意味着序参量从零向非零的过渡( 或其逆过程) 。朗道理论的 基本出发点则在于把体系的自由能作为温度和序参量的函数展开为幂级数。它的基 本内容为： 1 0 兰州理工大学硕士论文 第二章相场原理 一熟力学势厂在相变点附近是序参量的解析函数，可以写出体积自由能前 几项的展开式且只取展开式的偶次项并作适当的截断： 仃) 是序参量矿等于0 时 的自由能密度。 f ( f t ，丁) = f o ( t ) + 三6 ( 丁) 2 + d ( r ) 妒4 ( 2 - 2 ) 由于自由能密度，必须是序参量的标量函数，改变序参量庐的序号，并不改 变系统的状态，因此在自由能密度展开式( 2 - 2 ) 中不出现序参量庐的奇次项。 二系数是温度t 的函数，展开系数b ( t ) 在相变点变号，而d ( t ) 是正的。即 b ( t ) 和d ( t ) 是温度的函数：6 ( z ) = b ( t t ) ，嚣 0 ；d ( 丁) * d 0 ；t 相变点， 因而t t c 时，b 0 ；t = t c 时，b = 0 ；t t 时，b 0 。 2 3 金兹堡一朗道相变理论“川“” 一级相变与二级相变的一个重要不同之处在于：前者存在新相与母相的界面， 而后者没有。在相界或畴界上，序参量急剧变化时往往得到不正确的结果，这是因 为当序参量在空间中有变化对，体系的自由能密度不仅与序参量的大小有关，也与 它的梯度有关，因此涉及界面的相变问题需要采用由l a n d a u 理论发展的金兹堡一 朗道理论。其基本思想是当序参量在空间中有变化时，体系的自由能不仅和序参量 的大小有关，也与它的梯度有关。因此涉及界面的相变问题需要采用金兹堡一朗道 理论，即自由能函数中引入一个微分导数项与界面能相联系。 对各向同性系统金兹堡一朗道理论自由能密度表示为： 厂( 妒，矿，t ) = 厂( ，r ) + c r ( v 庐) 2 ( 2 - 3 ) 表示l a n d a u 理论的自由能密度；系数旺为正。 2 4 液态金属凝固m “副 对金属材料而言，从液态转变为固态的过程称为凝固。由于固态金属是晶体， 故又把金属的凝固称为结晶。液态金属的结晶过程就是金属原子在相变驱动力的驱 使下，不断借助起伏作用来克服能垒，并通过彤核和长大实现相变的过程。 液态余属以一定的冷却速度不断冷却到熔点以下某一温度开始结晶。首先液体 金属中形成一些微小的具有固相结晶结构的晶胚( e m b r y o s ) ，晶胚在一定的条件下 成为稳定的结晶核心，称为晶核。然后晶核不断长大，而与此同时，新的晶核又不 断从液体中产生。于是，过冷液态金属便在持续的形核和长大过程中逐步被固化。 结晶过程具有以下的规律：结晶过程是一个在过泠金属液体中，形成具有随机 位向的晶核及晶体长大的过程：每个晶核都可能最终成为一个晶粒，晶核数越多， 兰州理工大学硕士论文 第二章相场原理 形成的晶粒越多，最终可能的晶粒尺寸也越细小。 金属在凝固过程中发生的物理现象，诸如传热过程、液体流动、溶质再分布、 晶体形态、晶体的形核与长大等，可以发生在一般的凝固条件下，也可以发生在诸 如定向凝固、快速急冷等特殊情况下。 2 4 1 液态金属结晶的驱动力 液态金属的结晶是一级相变。根据热力学分析，这是一个体系自由能降低的自 发进行的过程。根据相变动力学理论，金属原子在相变驱动力的作用下，从高自由 能的液态结构转变为低自由能的晶体结构的过程中，其运动状态和它们之间的作用 力都要发生较大的变化，原子本身也要产生较大的位移。 图2 3 所示为不同体系的相变驱动力h g ，其中g 为g i b b s 自由能，r o 为相变 点温度，x 为组元成分。g 为进行相变所需作的功，一般主要是补偿新相形成时 所增加的表面能量、扩散所需的能量和固态相变时的应变能和界面迁移的能量。 幽2 - 3 相变驱动力 只有当固相处于自由能比液相自由能低的状态，结晶才可能够自发进行。两相 自由能的差值就成为相变( 结晶) 的驱动力。一般结晶过程都发生在熔点的附近，单 位体积纯金属的相变驱动力可以表示为： a g r ( 2 - 4 ) 其中，r 为金属液的过冷度。对于给定的金属，与均为定值，故g 仅与r 有关。液态纯金属结晶的驱动力是出过冷提供的。过冷度越大，结晶驱动力也越大。 2 4 2 固液界面结构 晶体长大就是原子陆续向晶体表面排列堆砌。原子在固体表面上的叠加方式取 决于固液界面的结构。界面结构取决于材料的物理特性，也取决于晶体生长的环境。 晶体在熔体中生长时，其生长表面常为密排晶面。b u r t o n 等人指出，固液界面在原 子尺度上有的是粗糙的、有的则是光滑的。 液态金属的结晶形貌取决于它们的熔化熵值瓯，r 。绝大多数金属的熔化熵均 兰州理工大学硕士论文第二章相场原理 小于2 ，在结晶过程中固液界面表现为粗糙界面。实际的观察发现，物质是按粗糙 界面( 非小晶面) 长大或是按光滑界面( 小晶面) 长大，还和物质在溶液中的浓度以及 凝固时的过冷度有关。d e t e m k i n 和k a j a c k s o n 等人先后提出了固液界面的 多原子层模型。界面原子层的厚度随着过冷度的增加而增加，在过冷度较小的情况 下，界面的原子层数较少，长大可以按原子簇中每层台阶的侧面扩展方式进行，因 此，即使是熔融熵值低的金属，在足够小的界面过冷度下，其长大也可按小晶面结 构进行。反之过冷度较大时，固液界面原子层变厚，粗糙度随之增加。因此，即使 原来属于小晶面结构长大的物质，也可能转变为非小晶面结构长大。为此，存在一 个临界过冷度的问题，临界过冷度的大小随物质而定，熔融熵值大的物质其临界过 冷度大