（材料加工工程专业论文）多极边界元法积分奇异性处理方法的研究.pdf

， + ： ， j ： 。 尊 ；? 7 o，：v一：工。审。， ，“ 、f j ， i譬 ： t-tll p jj11 晰一毗二f s c i e n c ea n dt e c h n o l 0 6 t h e2 010m a s t e r sd e g r e et h e s i s n a m e s u p e r v i s o r m a j o r f i e l do fr e s e a r c h d e p a r t m e n t r e s e a r c hd u r a t i o n y i nl i a n g y o u h u a n gq i n g x u e ，g u i h a i l i a n m a t e r i a l sp r o c e s s i n gp r o je c t s m u l t i p o l eb e m m a t e r i a l se n g i n e e r i n gi n s t i t u t e s e p t e m b e r 2 0 0 7 - - j u n e 2 0 10 m a y ，2 0 1 0 _，0；ll 譬一一 一 “，i-i1i。jj：!，；1 1_lj，自ljl jlliiq1ij_a1jlj，a|a_q， 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 作者签名：日期： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原科技大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包 括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件、复印件与电子 版；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠 送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密学 位论文在解密后遵守此规定) 。 作者签名： 导师签名： 期： ，lj，j，_ 11j1一j】1q】，曩1jd11月一，j橱一， a叠_1月1 中文摘要 中文摘要 在现有的工程计算领域中，许多工程问题由于解题规模庞大运而被搁置。作者在现 有多极边界元法奇异性处理方法一子单元分割法的基础上，大胆地提出一种新的处理 方法一内蕴变换法，将内蕴变换思想应用于多极边界元法中，处理多极边界元法的奇异 性问题，进一步变革计算结构，以适应大规模数值计算，提高运算精度。本文概述了边 界元法的发展历史、现状和近年来的发展动向；弹性多极边界元法和弹性接触问题多极 边界元法的基本理论；并在现有多极边界元法奇异性处理方法子单元分割法的基础上， 通过建立内蕴变换坐标及数值计算公式、边界元基本理论以及局部坐标系下的边界，建 立多极边界元法的新理论框架和计算公式，开发建立适于大规模计算的多极边界元法 f o r t r a n 源程序，给出算例及分析，以综合改造传统的计算结构。进一步提高计算精度， 为进行大规模工程计算提供了强有力的数学支撑，从而为多极边界元法进一步推广和发 展奠定了基础。数值实验表明，内蕴变换法比子单元分割法更能解决多极边界元法的奇 异性问题。 可以得出下列结论： 1 在相同的单元数情况下，内蕴变换法的计算精度高于子单元分割法。 2 在相同的解题规模情况下，内蕴变换法比子单元分割法的计算时间要短。 3 内蕴变换法更能解决多极边界元法的奇异性问题。 关键词：多极边界元法；边界元法；子单元分割法；内蕴变换法； 多极边界己法积分奇异件处理方法的研究 焉廿毒：，嚏铲争蜘移肇霄 惑巍鹫”锦赫m凌垮蝣 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ef i e l do f e n g i n e e r i n gc a l c u l a t i o np r e c i s i o nf o rp r o b l e ms o l v i n ga n dl a r g e s c a l eo fo p e r a t i o n sa n dt h en e wf r o n t i e r si np l a c eh a v eb e e nl a i e da s i d ei nt h e d a i yo fl i f e i nt h ec u r r e n tt r e a t m e n tm u l t i p o l eb e ms i n g u l a r i t yt r e a t m e n t s o n p a r t i t i o nm e t h o d ，o nt h eb a s i so ft h eb o l dp r e s e n t san e wt r e a t m e n tm e t h o do f i n t r i n s i ct r a n s f o r mm e t h o d ，i n t r i n s i ct r a n s f o r mm e t h o da p p l i e di nm u l t i p o l eb e m m e t h o d ，t h ep r o c e s s i n go fm u l t i p o l eb e ms i n g u l a r i t y , f u r t h e rr e f o r m ，i no r d e rt o a d a p tt ot h el a r g e s c a l e s t r u c t u r eo fc a l c u l a t i o na n di m p r o v ea c c u r a c yo f n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n h i s p a p e rs u m m a r i z e st h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d d e v e l o p m e n th i s t o r y , p r e s e n ts i t u a t i o na n dt h ed e v e l o p m e n tt r e n di nr e c e n ty e a r s ， e l a s t i cm u l t i p o l eb e ma n de l a s t i cm u l t i p o l eb e r nc o n t a c tp r o b l e mo ft h eb a s i c t h e o r y , a n di nt h ee x i s t i n gm u l t i p o l eb e ms i n g u l a r i t ys u b u n i t ss e g m e n t a t i o n m e t h o do fh a n d l i n gm e t h o db a s e do nt h et r a n s f o r m a t i o no fc o o r d i n a t e s ，b y e s t a b l i s h i n g t h ec o n n o t a t i o n sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n f o r m u l a ，t h eb a s i c t h e o r ya n dt h eb o u n d a r ye l e m e n tu n d e rl o c a lc o o r d i n a t es y s t e m ，e s t a b l i s ht h e b o r d e rm u l t i p o l eb e mn e wt h e o r e t i c a lf r a m e w o r ka n dc a l c u l a t i o nf o r m u l af o r c a l c u l a t i n gt h es u i t a b l es c a l ed e v e l o p m e n to fm u l t i p o l eb e mf o r t r a ns o u r c e p r o g r a mi sa n a l y z e d ，a n dt h ec o m p r e h e n s i v er e f o r m ，t h et r a d i t i o n a lc a l c u l a t i o n s t r u c t u r e t of u r t h e r i m p r o v et h ec a l c u l a t i o na c c u r a c yf o r t h e l a r g e s c a l e e n g i n e e r i n gc a l c u l a t i o n ，p r o v i d ep o w e r f u ls u p p o r tf o rt h em a t h ，t h u sf u r t h e r p r o m o t et h em u l t i p o l eb e ma n dl a i daf o u n d a t i o n n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o w t h a ti n t r i n s i ct r a n s f o r i l lm e t h o di sm o r et h a nt h ec h il dp a r t i t i o nm e t h o dc a ns o l v e m u l t i p o l e b e mt h es i n g u l a r i t yo ft h ep r o b l e m t h e f o l l o w i n gc o n c l u s i o n sc a nb eo b t a i n e db y ： 1 o nt h es a m en u m b e ro fe l e m e n t s ，u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec a l c u l a t i o n m e t h o do ft r a n s f o r m a t i o n ，t h ei m p l i c a t i o ni s o b v i o u s l yh i g h e rt h a np r e c i s i o n s e g m e n t a t i o nm e t h o ds u b u n i t s 2 i nt h es a m es i t u a t i o n ，c o m b i n es o l v i n gs c a l et h a nz i j u nt r a n s f o r m a t i o n m e t h o do fc a l c u l a t i n gt h ep a r t i t i o ns h o r tt i m e 3 i n t r i n s i ct r a n s f o r mm e t h o di sm o r ec a ns o l v et h em u l t i p o l eb e mt h e 多极边界c 法积分奇异件处理方法的研究 s i n g u l a r i t yo ft h ep r o b l e m k e y w o r d s ：m u l t i p o l eb e m ；t h eb o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d ；s u b u n i t s s e g m e n t a t i o nm e t h o d ；i n t r i n s i ct r a n s f o r mm e t h o d 。 i v ： ： f ： j t 每 ， 5 目录 目录 第一章绪论1 1 1边界元法发展历史、现状和动向1 1 2 边界元法的一些优缺点5 1 3 边界元法的研究进展及未束发展方向5 1 4 弹性接触问题边界元法的发展7 1 5 边界元法源程序简介8 1 6 本章小结9 第二章多极边界元法10 2 1多极边界元法简介1 0 2 2 多极边界元法的理论基础1 0 2 3曲面上的多极展开法1 5 2 4 多极边界元法的原理分析1 6 2 5 广义极小残余算法1 7 2 6 本章小结1 8 第三章弹性力学问题多极边界元法1 9 3 1弹性多极边界元法问题的建立1 9 3 2 弹性多极边界元法问题的基本定理与等式2 0 3 3 弹性力学多极边界元问题的基本解2 1 3 4 多极边界元法边界积分方程的建立2 2 3 5 多极边界元法边界积分方程的离散化处理2 4 3 6 多极边界元法角点问题的处理一，2 6 3 7 多极边界元法表面应力的求解2 7 3 8 多极边界元法内点位移和应力的求解3 0 3 9 多极边界元法的数值精度分析3 2 3 1 0 本章小结3 2 第四章弹性接触问题的多极边界元法。3 3 4 1 接触问题的基本关系3 3 4 2 接触问题边界积分方程的建立3 5 4 3 接触区方程组建立及求解3 6 4 4 本章小结：j 9 第五章多极边界元法积分奇异性的处理4 0 5 1 边界元法奇异积分的研究现状与动向4 0 v 多极边界元法积分奇异性处理方法的研究 5 2 多极边界元法积分奇异性处理方法4 l 5 2 1 子单元分割法4 1 5 2 2 内蕴变换法。4 6 5 3 本章小结5 l 第六章多极边界元法源程序设计介绍5 2 6 1 弹性多极边界元法程序设计介绍：5 2 6 1 1 弹性多极边界元法主要符号说明：5 3 6 1 2 弹性多极边界元法程序结构介绍5 4 6 1 3 弹性多极边界元法源程序设计流程图： 5 5 6 2 弹性接触多极边界元法程序设计介绍5 5 6 2 1 主要符号说明5 5 6 2 2 弹性接触多极边界元法程序结构介绍5 5 6 2 3 弹性接触多极边界元法程序流程图5 6 6 3 算例5 7 6 4 本章小结6 0 结论6 1 参考文献6 3 攻读硕士期间发表论文6 7 致谢6 9 第一章绪论 第一章绪论 在现实代工程实际问题中，数值仿真技术正发挥越来越蕈要的作用，随着力学的深 入，计算机功能的f i 新月异，计算机辅助设计已经成为现代工程规划设计不可缺少的手 段随着各种数值方法和软件的出现，并应用于各种工程问题中，成功的解决了工程中 许多复杂问题然而现代工程中有一些不连续、不均匀，多场耦合等关键问题依然存在， 对解决工程问题造成了严重障碍，要想成功更好的解决工程问题，必须克服这一重重的 困难，只有解决这些不确定的因素，j 能更好的为工程服务。 由于现实生活中工程问题的复杂性，在处理工程问题时往往需要将某些工程问题转 化为满足某种控制方程和一定边界条件的数学问题来处理，然而，遗憾的是直接求解控 制方程解析解是非常困难的，这就促进了各种数值方法的飞速发展。有限元法曾一度在 数值方法的发展史上起着极为重要的作用。但是，就像其他任何事物一样，办存在其不 足的一面，比如有限单元法处理问题时自由度数目庞大，要求计算机容量大，且计算精 度低等不足，这就导致了边界元法的发展，在实际的工程u j 题中，两种方法相互补充， 发挥各自的优势，可以经济，有效的解决实际问题。 1 1 边界元法发展历史、现状和动向 对于边界元法的基本理论研究已有一百多年的历史了，但是将边界元法作为一种数 值方法提出则在二十世纪五六十年代左右，二十世纪5 0 年代初期，m s k h e l 于1 9 5 3 年首次 将边界积分方程法用于分析结构力学，同年，k e ll o g “1 用边界积分方程法对拉普拉 斯问题进行了求解，这便是边界元法的前身。 关于边界元法的全面研究始于2 0 世纪五六十年代，1 9 7 8 年英国南安普敦大学以c a b r e b b i a 3 为首的一个研究小组对6 0 年代起在边界元方卣做的工作进行了汇总，出版了 ( ( t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o re n g i n e e r s ) ) 一书，j 下式标志着边界元法作为一 种数值计算方法的诞生，“边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) ”一词也f 式被使用。 边界元法归纳为两类，即直接边界元法和间接边界元法，关于问接边界元法的概念 是j a s w o n ，h e s s ，s y m m 和m a s s o n n e t 等提出来的。关于直接边界元法的概念，出现 在k u p r a d z e 的著作中b 1 ，关于直接边界元法的应用，早期二r ：作是r iz z o 和c r u s e 6 1 用 边界积分方程方法求解经典的弹性力学问题和弹性动力学问题。在这一时期，r i c h a r d s h a w 对声波传播问题的边界积分方程方法进行了广泛的研究。1 9 6 0 年，他完成了博士 学位论文，并在其后发表了两篇重要论文提出了有任意形状障碍的声波脉冲的瞬态散射 问题的边界积分方程法。另外，他还对弹性动力学刚接边界积分公式、三维敞射问题、 多极边界元法积分奇异性处理方法的研究 流固耦合问题、特征值问题、扩散问题和渐近膨胀解等问题进行了研究。1 9 6 3 年，j a s w o n 和p o n t e r 讨论了扭转问题的边界积分方程法，第一次利用了边界值和法向导数的积分 关系7 1 。同年，j a s w o n 对l a p l a c e 方程由势理沦建立了边界积分方程的数值方法，为 间接边界元法的提出作出了重要贡献。其后，j a s w o n 等人建立了平面弹性静力学的边界 积分方程，提出了数值求解的有效途径，并首次用边界积分方程法求解了板弯曲问题。 1 9 6 6 年，s y m m 建立了保角映射下的边界积分方程“1 。1 9 6 9 年他发现了边界积分方程在 势问题包括热传导分析问题方面的应用。1 9 6 7 年，r i z z o 运用b e t t i - s o m i g l i a n g 公式 建立了弹性静力学问题的边界积分公式，指出了边界位移和面力的函数关系。虽然这些 公式的数学理论源于k a p r u d z e 的著作，但是r i z z o 以一种简明的形式提出了与当今边 界元法有着密切联系的边界积分公式。其后，c r u s e ，r i z z o 和$ h i p p y 对这些边界积分 公式进行了数值求解。对于边界元法求解实施的最大困难是边界积分奇异性的处理。 s y m m 在7 0 年代对二维势问题的边界积分方程中的积分奇异性问题进行了研究，并开发 了相应的计算机软件。1 9 7 3 年，b r e b b i a ，w a s t o n 等对边界元的奇异积分进行了讨论和 归纳。1 9 7 5 年，在他的博士学位论文1 中首次使用高次单元求解三维弹性静力学问题， 彻底解决了边界积分方程中的奇异积分问题，大大提高了数值计算的精度，从而为边界 元法的发展作出了非常重要的贡献。1 9 7 4 年，c r u s e 使用曲面元建立了三维弹性应力分 析的边界积分方程的新模式，为区域的更准确描述，提高边界元法的计算精度做了重要 工作。g r u s e 还就如何由边界面力获得表面应力、体积力如何向边界力转换、断裂力学 问题以及对特殊形状的裂纹采用何种特殊的应力函数等。这些成果对现代边界元法的发 展起了重要的推动作用。1 9 7 7 年，s y m m 等将直接边界元法应用于所有界面的多介质问 题，是这方面最早的贡献。1 9 7 8 年，由英国南安普顿大学教授b r e b b i a 编著的世界第一 本边界元法专著出版，标志着边界元法基本理论初步形成，同时也确立了边界元法作为 一种数值方法的地位，那以后边界元法进入了系统性的研究和发展时期。同年，在英国 南安普顿大学召开了国际第一届边界元法会议。此后，边界元法国际会议每年一次轮流 在世界各地举行，迄今为止已举行了好几十次。每次会议都有大量论文和专著问世，这 期间边界元法的发展速度是很快的，发展水平也是非常高的。为了更好的记录边界元法 的研究成果并对边界元法的研究进展进行宣传，1 9 8 4 年，边晃元法国际性刊物创刊，它 主要就是致力于边界元法研究成果和新进展的宣传，这为边界元法的开拓和发展起了重 要的推动作用。， 自1 9 7 8 年以后的3 0 多年来，随着计算机功能的同新月异，一代代高性能高容量计 算机的陆续问世，边界冗法逐渐被许多方面的：f l ：程所采用，比如应用于非线性科学工程 第一章绪论 领域的数值解析，成功地解决了如涡轮机叶片冷却孔群优化布设、内燃机曲轴强度分析、 轧钢机机架强度及刚度分析、海洋石油钻井台柱防腐蚀优化设计等复杂工程问题。如今， 边界元法的发展巳涉及工程和科字的很多领域，几乎可以解决所有的有限元法能够解决 的问题。纵观3 0 年来的边界元法困际国内研究成果，可以看到边界元法主要在以下几 个方面得到了进一步发展和成熟： 1 数学理论的完善。 如今，边界元法像有限元法那样在收敛性、误差分析和各种不同的边界元形式的统 一等方面形成了规范的数学理论。边界元法的数学理论突破了有限元法数学理论的框架 而发展。 2 方法与应用的开拓。 随着边界元法研究的深入，解决各种非线性问题的边界元法将不断发展和完善，边 界元法的应用范围将进一步拓宽。 3 应用软件的开发 随着边界元法理论的完善，将有更多功能齐全的边界元法通用程序包问世，促使边 界元法得到更广泛的应用。边界元法与有限元法互为补充，共同发展。这一时期边界元 法的发展将力求赶上有限元法的发展水平，并将与有限元法一起在工程和工业方面得劭 广泛应用。 我国关于边界元法的研究开始于1 9 7 8 年。3 0 年来，随着国际边界元法的发展，我国 的边界元法研究也取得了很大成绩。目前，我圈已举办过几次边界元法国际会议、比如 第三届亚太国际工程中计算方法学术会议和第九届全国工程中边界元、无网格等数值方 法学术会议均在我国召开，这些会议的召开进一步促进了我国边界元法研究工作的展开 和发展。我国边界元法的研究主要在以下几个方面展丌并取得了巨大的进展： 一数学方面：从边界元法取得的成果看，我国研究者在边界元法数学理论方面做 了大量的研究工作。主要有：中科院余得浩教授建立了自然边界元法的数学理论；重庆 大学祝家麟教授创立了椭圆型边界积分方程的边界元法数学理沦；另外其对边界元法中 的区域分解方法；收敛性和误差分析等都做了讨论，比并取得了良好的成果。 二应用方面：我国学者边界元法的应用方面了很多研究一i ：作，我国边界元法主要 在力学方面得到了广泛应用，主要有：弹性力学；弹性动力学；断裂力学；动态断裂力 学；流体力学；非弹性力学；弹塑性自限变形；复合材料力学；复合材料界面断裂力学、 岩土力学、有限元与边界元耦合方法和反l u j 题等。此外，边界元法在其他方面的应用也 有不少涉及，比如存板壳问题，势问题，波的传播等方面。 多极边界元法积分奇异性处理方法的研究 三应用软件方面：伴随着边界元法的研究，对求解以上各种问题的边界元法，我 国学者都发展了相应的计算机软件，有的已经应用于解决工程实际问题，比如用f o r t r a n 语占编写的处理二维，三维问题的各种源程序。并取得了良好的效果。这些程序基本是 分别针对某类具体的工程问题而编写的，其没有完善的自i 后处理，在应用上显得不如 有限元法通用源程序方便。还有待于进一步完善。 国内对边界元法的研究相对国外较晚。清华大学杜庆华教授于1 9 7 8 年开始研究边界 元法，并作了广泛的宣传，促进了边界元法的发展。后来冯康、胡海昌、何广乾等一批 国内著名的专家开始研究边界元，这使国内边界元法研究工作得到了迅猛的发展。 国内对于边界元法的研究工作起源于固体力学，那以后才转入非线性领域的。边界 元法在固体力学上的研究主要有，清华大学岑章志博士在其博士论文0 1 中采用了初应 力形式的边界积分方程，分析了三维弹塑性问题，这在奇异积分的计算以及加速收敛方 法等方面取得很好的效果。西安交通大学陈政清博士1 等提出弹塑性大变形边界元法 理论，并完成了圆柱形拉伸试件颈缩的定量数值模拟。燕山大学肖宏博1 2 1 建立了三维 弹塑性有限形变边界元法，并给出轧制过程边界元法源程序和板带轧制过程变形一面力 一应力场，还对奇异问题做了很好的处理。 边界元法边界条件的非线性使其矛盾非常突出，如果再叠加弹塑性和摩擦非线性， 求解的难度将更加复杂。另外边界元法计算效率不适应大规模工程运算课题的需要，这 一直困扰着边界元法的进步。为此，提高边界元计算效率和扩大运算规模，对边界元法 的发展至关重要。在边界元法求解过程中普遍注意到，整个运算量主要集中在积分的计 算和方程组的求解两个方面。因此，寻求方程组系数积分运算和方程组求解的快速有效 的方法是扩大边界元法解题规模的关键。在边界元法发展的初期，由于计算机条件的限 制，求解问题的规模很有限。为了处理大规模问题，通常采用多子域法。即把计算区域 分成多个子域，分别对各个子域建模后，通过结交面的位移连续和面力平衡条件形成块 稀疏矩阵，这适合求解细长域问题。1 9 9 6 年r a b i a l e c k i 讨论了多子域的内外存交换 求解器，并给出了在c r a y - y m p 机上进行的4 万自由度稳态热传导问题算例3 1 。 近十多年来随着计算机的迅速发展，边界元法并行计算开始应用于工程实际问题， 国内外研究者结合不同的并行环境，针对不同问题对边界元法并行算法的展开了研究。 如1 9 9 2 年e m d a o u d i 4 1 和1 9 9 5 年m k r e i e n m e y e r 们在微机t r a n s p u t e r 环境下进行了 边界元并行算法的研究。西北工业大学叶天麒钉在s g ip o w e r c h a l l e n g e t 作站上用 k r y o v 子空阳j 法并行求解了不连续边界元法矩阵方程。清华大学的姚振汉课题组阳在 基于l i n u x 网络操作系统的p v m 系统上，用8 台微机并行求解了石油钻探螺纹偏心钻挺的 4 第一章绪论 应力场，完成了5 力多自由度舰模运算，所需时问为4 3 d , 时4 1 分。燕山大学申光宪课题 组讨在基于w i n d o w s 操作系统的p v m 系统上对系统方程组的求解进行了并行计算，在7 台 节点机上成功地模拟了二辊冷轧机的轧制过程。 边界元法是吸收有限元法离散技术发展起来的继有限元之后的又一种数值计算方 法，目前在国外边界元法在很多领域都得到了广泛应用，并取得了良好的效果，然而在 我国尽管边界元理论方面取得了不少成就，但在应用软件方面还很缺乏，使得边界元法 方面的应用还落后于一些发达国家，目前我国有少数处理二维，三维问题的边界元法实 用程序。这些软件尽管也能解决一些工程问题，但是缺乏完善的前后处理功能，在应用 上元显得不如有限元法软件那样方便。还有待于完善。 1 2 边界元法的一些优缺点 边界元法作为边界积分方程的离散数值解法有它特有的优点，同时也在数值上引出 了一些新的问题，由于采用边界上的积分形式，降低了问题的空间维数，一个三维弹性 静力学问题利用边界积分形式则变为二维问题。平面问题，轴对称问题，柱体扭转问题 以及平板弯曲问题利用边界积分形式都只需要利用一维的边界离散，即变为一维问题。 三维边界元法在边界离散处理时只需要用二维曲面单元和一维线性单元，降低问题的维 数无疑将使未知数数目显著降低，以弹性分析为例，对一些示范性的具体事例，为了达 到一定的精度，在有限元法中常用含有数干个未知数的方程组，而用边界元法求解同样 问题只需用含有一，二百个未知数的方程组就能实现。另外当边界元法应用于无限域的 情况时是方便的，因为这时，为了建立域内量与边界量之间的关系，本来就已经选用了 适用于无限域的基本解。边界元法可以直接用边界量作为求解变量来建立边界积分方 程，也可以从虚设的源密度函数或虚设边界的虚载荷作为求解变量来形成边界积分方程 这是非常方便的，然而边界元法形成的刚度矩阵一般是满阵的，求解满阵方程组计算量 比较大，而有限元法一般导致对称的刚度矩阵，而且在适当的节点编号下可得到非零元 素集中于对角线附近的带状稀疏矩阵，一般说来边界元在计算上具有较高的精度的特 点，但是必须考虑利用最后形成的系数矩阵，其矩阵元素的求值有大量的积分运算，特 别是采用高度协调的边界元时所涉及到的积分运算鼍是比较大的，同时还应该指出，在 动力问题和进入塑性状态的计算中，除了边界积分外还有域内的积分，这样，有时还需 要将域内积分化为边界积分或者州时使用边界元法和有限元法。由边界元法和有限元法 各自的优缺点可以看出，在实际工程中，有限元法和边界元法应该互为补充，耿长补短， 充分发挥各自的优势。吏好的运用于工释实践，为其服务。 1 3 边界元法的研究进展及未来发展方向 多极边界元法积分奇异性处理方法的研究 全面了解边界元法的进展情况并看到这种数值方法的潜力及宽广的应用背景首先 见于1 9 6 3 年对势问题的应用。经过对弹性力学和塑性力学方面的一系列问题尝试后，在 七十年代中期可以看到边界元法工程应用的诸多方面。自1 9 7 8 年以后，每年举行的国际 边界元学术会议，大体上记录了边界元法基本理论方面的研究成果和边界元技术在工程 上的具体应用进展情况。国际边界元会议除了反映固体力学边界元法研究外，提到的其 他方面研究有：位势流及波的传播，女i i n g h a m 于1 9 8 5 年的研究工作盯，非均匀椭圆型 i 口j 题，抛物线形问题，如j w u 于1 9 8 5 年的工作“，各项异性介质，女i k o b a y a s h i 于1 9 8 6 年的研究工作“0 1 ，粘弹性，粘塑性，女i k o b a y a s h i 于1 9 8 2 年的研究工作和t e l l s 于1 9 8 2 年的研究工作“。岩土地基结构和土壤相互作用，开挖，深孔的渗压固化作用也一直 受到注意，女i a l a r c o n ，k u r o k i 于1 9 8 2 年的研究工作“2 1 。此外，电磁场的边界元分析， 耦合技术及形状优化特征值分析，平板弯曲等也受到工程界的重视。 近年来在我国举行过几次边界元法学术会议，标志着我国在边界元法方面的研究已 经上升到了新的阶段。目前对边界元法的研究已经从简单的线弹性力学问题扩展到弹塑 性，非线性，带时间变量等问题。3 0 年来，边界元法在各个专门问题中的研究进展是很 大的。这罩的进展有b a n e r j e e “3 1 于1 9 8 0 年提出的二维非线性位势问题研究，c r u s e 于1 9 8 0 年提出的二维及三维断裂分析“，s h a w 于1 9 8 0 年提出的波的边界元法“钉，r i z z o 和s h i p p y 于1 9 8 0 年提出的热弹性问题1 ，t o t t e n h a m 于1 9 8 0 年提出的板壳边界元法等“7 1 ，以及 w e x l e r 对电机工程问题的研究，z i e n k i e w i c z 小组对有限元一边界元耦合问题的研究“盯， b a n n e e r 及s h a w 的固化及融化分析汹，b a n n e j e e 及b u t t e r f i e l d 的多孔介质分析咖1 ，l i u 及l i g g e t t 的水波分析，j c w u 3 2 1 的一般粘性流分析，m u k h e r j e e “3 1 对金属非弹性 变形与时间有关问题的研究，k o b a y a s h i 聃1 的特征值分析和行波对于隧道空洞瞬态应力 的分析，e a t o c k t e y l o r 3 们的水动力载荷的边界塑性研究，m u k h e r j e e “钉对大应变大变 形的塑性和粘塑性的研究及非线性断裂的研究，田中正隆对薄板大挠度的研究汹，w u 对n s 流动与时间有关的分析 ，l i u 和l i g g e t t 脚1 对非线性水波以及有关晃荡问题的 边界元法研究，另外对于非线性位势问题，波的传播问题，特别对接触问题和流体与结 构的相互作用做了专门的论述。由于边界元方法与有限元法相比有突出的优点，引起了 愈来愈多的科技工作者的注意，可以预计这种方法将会在各个方面得到迅速的发展。但 仟何一种方法都不可能十全十美，对边界元法来讲也不例外。它在很多方面还不完善， 还有待于进一步研究和发展，综合边界元技术的潜在优点和目前存在的不足，可以预测 边界元法在未来的研究工作中主要从以下几个方面进行： ( 1 ) 关于边界元法的基本理论，包括对基本解、方法的收敛性及误差分析等各方面进行 6 第一章绪论 理论研究。 ( 2 ) 在数值计算方法和程序设计方面，如何在最经济的条件下获得高精度的解，它包 括对各种奇异积分的有效处理和采用何种最佳方案来形成有效的计算机软件。 ( 3 ) 如何处理满的、非对称系数矩阵，探讨这类线性方程组的有效而迅速的解法。 ( 4 ) 扩大边界元法的应用，使其广泛应用于诸如与时问相关的问题，非线性问题等。 ( 5 ) 将边界元法应用于结构形状优化等能充分发挥边界元优势的领域。 ( 6 ) 与有限元法取长补短，充分发挥其优势，使其形成一种更为有效的数值分析工具。 1 4 弹性接触问题边界元法的发展 接触这个概念对我们来说并不陌生，在现实生活中接触的例子几乎处处可见，比如 在机械行业领域内机械设备，零构件之间广泛存在着接触，铰接结构中的销轴与耳片 间的接触，齿轮传动中的轮齿接触、盘轴配合中的联接面问的接触，螺纹联接中联接件 间的接触等。构件在接触过程中，在接触区内会产生应力集中现象，若两构件间存在相 对运动，还会造成接触面间的摩擦磨损，这将促使疲劳裂纹早期形成，大大降低零构 件的使用寿命。因而在机械设计中对接触问题的研究足十分必要的。对于接触问题，在 大多数情况下，由于接触件的几何彤状和所受载荷都很复杂，很难得到理论解，因此 对接触问题人多采用数值解法。处理接触问题的数值计算方法主要有有限元法和边界元 法两种，在2 0 世纪6 0 年代左右有限元法丌始应用于处理接触问题，边界元法运用于接触 问题分析是在2 0 世纪8 0 年代，1 9 8 0 年，a n d e r s s o n 等人| 憎1 首先用边界元法分析弹性接触 问题，其根据全量理论进行推导，建立了二维无摩擦接触问题的边界积分方程，后来又 从增量理论出发，导出了边界元增量求解的迭代过程，将边界元法推广到了二维弹性带 摩擦接触问题中。p a r i s 们采用增量迭代技术，并用不连续单元处理了接触区面力不连 续问题。之后汪骏书、郑家栋“分别对二维弹性无摩擦和带摩擦的接触问题进行了研 究和拓展。对于三维弹性接触问题的研究，始于2 0 世纪8 0 年代中期，h a s e g a w a 分析了刚 性轴横向插入空心圆柱体时轴与孔之问的三维弹性无摩擦接触问题2 1 。l i us h u b i n 等 人3 1 用全量法推导了无摩擦三维弹性接触问题的边界积分方程，并用凝聚技术得到仅 包含接触边界一卜的未知量的迭代方程，大大提高了迭代效率。温卫东1 研究了带摩擦 的弹性接触问题，利用增量理论建立了相应的边界积分方程和迭代方程，解决了带摩擦 情况下切向局部坐标的选取问题。与有限元法相比，边界元法求解接触问题有如下优点： ( 1 )能卣接求得边界上的化移和应力，数值精度较高。面上的位移和应力分布规律， 边界元法只须离散边界，只对区域的边界及接触区域划分单元，不仅使数据准备工作量 减少，而且在获得相同精度的情况下，使方程未知量数目大大减少，从而提高求解效率。 多极边界元法积分奇异性处理方法的研究 ( 2 ) 可任意选取内部点的数目及位置，使之更适合于求解所关心的局部危险点的应力。 而在有限元计算中，当单元数及高斯点数确定后，计算点的位置及数目一般就不能任意 变动。 ( 3 ) 用边界元法求解时，弹性体边界上的作用力和位移都是边界积分方程中的直接未 知量，它们在求解时具有相同的精度。因此，接触问题最关心的接触压力与位移也具有 相同的精度。 ( 4 ) 边界元法为弹性体边界上法向作用力和切向作用力的耦合提供了可能性，这是我 们分析无摩擦、有摩擦接触问题的关键。 如今，边界元法求解弹性接触问题的理论及算法正逐步走向成熟，并且应用于更多 的工程实际问题。 1 5 边界元法源程序简介 任何一种数值方法，其应用都要通过计算机程序来实现，而作为一种应用软件，要 使工程技术人员能方便地使用，就必须具有可以解决多种工程问题的大型程序包，几十 年来，大量专用和通用的有限元法程序包研制成功，使得有限元法成为目前应用最为广 泛的数值方法。要使边界元法像有限元法那样得到广泛应用，必须开发与有限元法程序 包能够相媲美的大型边界元法程序包。目前国外已出现了一系列的边界元法程序包，但 由于其结构和功能等方面的原因，还需要在推广应用的过程中不断改进和完善。 纵观现今国内外边界元法应用程序软件包，相对比较完善的主要大型程序包有 b e a s y ，c a s t o r ，s u r f e s ，e z b e a 和h i b e m 等几个，这些程序包中，只有b e a s y 含有独立于计 算机程序模块的大型前后处理程序系统，其他程序包则是在计算程序模块的基础上附加 以简单的前后处理功能模块而形成的，其功能，应用范围等都受到了一定条件的限制。 边界元法程序包是伴随着边界元理论的发展而发展的，1 9 7 8 年，第一届边界元法国 际会议在英国的南安普顿大学举行，在那以后边界元法得到了突飞猛进的研究和发展， 一系列计算机程序陆续面世，英国南安普顿大学d j d a n s o n 在1 9 8 2 年举行的边界元会 议上宣布了他研制成功的边界元法程序包，这在国际上是首次出现的边界元法程序包， 对边界元法来说，这具有跨时代的意义，标志着边界元法的研究进入了一个崭新的阶段， 在随后的几次边界元法国际会议以及b r e b b i a ，b a n e r j e e “钓等人发表的专著中陆续有关 于边界元法程序包系统研究和应用的论文发表，同时也有不少其他边界元法程序包问 世。从1 9 8 5 年起，在每年举行的边界元法国际会议上，都会有大量关于边界元法理论 研究和工业应用方面的成果出现，这对边界元法计算机源程序的发展起到了巨大的推动 作用，从边界元法程序包的发展可以看出其发展现状主要体现在以下几个方方面： 8 第一市绪论 1 落后于边界元法的理论发展水平，目前边界元法已经运用于一些工程领域内，并成 功的解决了一些工程实际问题，然而，与有限元法相比，边界元法应用的范围还很狭窄， 还需要扩大应用范围，如今，边界元法对于线性问题的分析已经成熟，对非线性问题的 研究也取得了巨大的进步，也逐步走向成熟。目前的大型边界元法程序包基本局限于解 决静态线性问题，不能对动态，几何非线性和双重非线性问题进行处理。 2 落后于软件技术的发展水平，现今世界上知名的有限元法程序包有几十个，它们是 经过长期的实践考验而得出的，功能是比较齐全和可靠的，基本上代表了当今大型工程 应用软件的技术发展水平。先进的有限元法程序包具有便利的前处理和完备的后处理功 能，方便的联机询问功能，重开始功能，错误诊断能力，用户子程序接口技术及子结构 技术等。相比之下，边界元法在应用程序软件方面，无论质量还是数量都显得不如有限 元，边界元法的程序包还需在实践中加以考验，还有待于进一步完善和处理。 1 6 本章小结 本章主要介绍了边界元法的简介以及在国际国内的发展过程，介绍了边界元多年来 的研究进展和未来的发展方向，最后还对弹性接触l 日j 题的边界元法以及边界元法源程序 的发展历程做了介绍，通过这些提高了对边界元法的认识，对进一步了解边界元法，研 究边界元法具有十分重要的意义。 二 9 多极边界元法积分奇异性处理方法的研究 第二章多极边