（电力电子与电力传动专业论文）正交镜像滤波器组的原理及实现.pdf

广东t 业大学工学硕士学位论文 法设计了f i r 正交镜像滤波器组，给出了m a t l a b 设计程序并做了结果分析 及s i m u l i n k 仿真实验，表明该方法是正确有效的。 关键词：滤波器组；正交镜像：m a t l a b 仿真；调制式滤波器组 i i 摘要 a b s t r a c t q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e rb a n k si sap r o j e c tw h i c hb e l o n g st om u l t i - s a m p l er a t e d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i th a si m p o r t a n tr e s e a r c hv a l u ef o rw a v e l e t ，s p e e c hc o d e ， i m a g ec o m p r e s sa n ds oo n t h et r a d i t i o n a lm e t h o di s t h a tt h ei m p u l s er e s p o n s eo f f i l t e rc a nb eg o t t e nb yo p t i m i z a t i o nu n d e rt h ep e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nc o n d i t i o n t h e p e r f o r m a n c eo ff i l t e r s i sn o tv e r yg o o d t h ea t t e n u a t i o no fs t o p b a n di sa l m o s t 一4 4 d b t h e p e r f o r m a n c e c a n n o t s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t f o rs o m e a p p l i c a t i o n s i t u a t i o n f o r g e t t i n g b e t t e rf i l t e rp e r f o r m a n c e ，w ed e s i g nq u a d r a t u r em i r r o rf i l t e rb a n k s u s i n gw i n d o w f u n c t i o nm e t h o d c o n s i d e r i n gt h ef r e q u e n c y r e s p o n s eo f f i l t e rc h a n g e r a p i d l y ，w em a k e t h ef i l t e ri sp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o no nt h ep o i n to fc e n t e rf r e q u e n c y t h ee r r o ro fr e c o n s t r u c t i o ni ss m a l lb yt h e p o i n t a p p l y i n g t h em e t h o do ft h i sa r t i c l e ， w ec a ng e tt h a tt h ea t t e n u a t i o no f s t o p - b a n di s - 7 5 d ba n d t h ee r r o ro f r e c o n s t r u c t i o n i so 0 0 1 5 t h es i m u l a t i o np r o g r a ma n d e x p e r i m e n t r e s u l ta r ep r o v i d e d t h e c o r r e c t n e s sa n d v a l i d i t ya r ep r o v e d t h e f o l l o w i n g i st h ec o n t e n to f t h i sp 印e r ： t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h ed e v e l o p i n gh i s t o r ya n d c a t e g o r yo ff i k e r , p o i n t s o u tt h et h e o r ya n df a c tm e a n i n g ，r e s e a r c ha c t u a l i t ya n da p p l i c a t i o nr e s e a r c h t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e st h et h e o r yo f m u l t i s a m p l er a t es y s t e mi n c l u d i n g i n t e g e rt i m e sd e c i m a t ea n di n t e r p o s e ，m u l t i p h a s ee x p r e s s i o na n d i d e n t i c a lt r a n s f o r m o fn e t w o r ks h l l c t i l r e t h et h i r dc h a p t e ri n t r o d u c e st h ec o n c e p ta n dp r i n c i p l eo ff i l t e rb a n k s t w o c h a n n e lq m fb a n k sa n dm u l t i c h a n n e lq m fb a n k sa r ed i s c u s s e d t h ep e r f e c t r e c o n s t r u c t i o nc o n d i t i o ni sp r o v i d e df o rm u l t i c h a n n e lq m fb a n k s f i l t e rb a n k so f t r e es 舡u c t l i r ea r ed e s c r i b e d t h ef o u r t hc h a p t e rd i s c u s s e sm o d u l a t e df i l t e rb a n k s t h et h e o r ya n dd e s i g nm e t h o d o f p r o t o t y p e f i l t e ra r ep r o v i d e d i i i 一 三至三些奎兰三耋堡圭耋堡丝兰 t h ef i f t hc h a p t e ri n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n ts i t u a t i o no f d i g i t a li n t e g r a t ec i r c u i t t e c h n o l o g y t h ed e v e l o p m e n ts i t u a t i o no fd s pa n df p g aa r ei n t r o d u c e dt o o t h e a n a l y s i s i n d i c a t e st h a th a r d w a r er e a l i z a t i o nh a sn op r o b l e m t h er e c o n s t r u c t i o n c o n d i t i o no ft w oc h a n n e lq m fb a n k si s a n a l y z e da n dt h ef i rq m fb a n k sa r e d e s i g n e db yw i n d o w s f u n c t i o nm e t h o d ，t h em a t l a b p r o g r a m a n dr e s u l ta n a l y s i si s p r o v i d e d t h es i m u l a t i o na l s ob ed o n eb ys i m u l i n k i ti si n d i c a t e dt h a tt h em e t h o d i s c o r r e c ta n de f f i c i e n t k e yw o r d ：f i l t e rb a n k s ；q u a d r a t u r em i r r o r ；m a t l a bs i m u l a t i o n ；m o d u l a t e df i l t e r b a n k s i v 第一章绪论 第一章绪论 1 1 滤波器组的发展历史及分类 正交镜像滤波器组属于多抽样率数字信号处理领域。多抽样率数字信号处理 涉及的问题是一个数字系统中需要多于一个抽样率的一些问题。这是现代数字通 信理论的一个重要的部分，因为我们要求现代通信中的数字传输系统能处理若干 不同抽样率的数据( 比如，电传打字机、传真、低比特率语音、视频等等) 。多抽 样率数字信号处理的主要问题是设计一个有效的系统，使一个信号的抽样率提高 或者降低任意倍。我们把降低信号抽样率的过程叫做抽取，而把提高信号抽样率 的过程叫做内插。在许多信号处理技术和信号处理的应用中，抽样周期t 是一个 基本考虑，它常常决定实行信号处理是否方便，高效等。某些场合下，输入信号 可能已被抽样，抽样周期t 是某预先决定的值，我们的目的是将这个抽样信号变 换成一个新的、具有不同抽样周期的抽样信号，所得的信号仍要对应于原来的模 拟信号，这时就可能有必要将系统中信号的抽样率从一个抽样率变到另一个抽样 率。我们称这样的系统为多抽样率系统。 子带信号处理从提出概念到今天大约3 0 年的历史，期间经历以下几个阶段： ( 1 ) 提出概念阶段 滤波器组的研究最早起源于2 0 世纪7 0 年代，主要应用在多速率采样，减少 计算复杂度以及减少传输数据率和存储单元的要求。开始受到人们的关注时期是 在1 9 8 0 年，提出了两通道正交镜像滤波器组( q u a d r a t u r e m i r r o r f i l t e r ，简称q m f ) 。 由于子带滤波器组中存在：( 1 ) 分析综合滤波器( 2 ) 上下采样器，所以子带重 构信号一般存在三种失真，幅度失真，相位失真，混叠失真。一般存在混叠失真 的滤波器组是线性周期时变系统，而完全消除混叠失真的系统是线性时不变系统。 如果滤波器组的输出是输入的纯延时，则称为完全重构系统。 ( 2 ) 基本理论发展的初步阶段 在1 9 8 6 年，s m i t h 和b a m w e l l 提出的共轭正交滤波器组首次实现了完全重 构。在1 9 8 6 年由v e t t e r l i 和在1 9 8 7 年由v a i d y a n a t h a n 分别独立研究了滤波器组 广东工业大学工学硕士学位论文 的完全重构条件，并将两通道子带延伸到m ( h p 2 ) 子带。他们引入了多相位分 量分析滤波器组的方法使得滤波器组的设计和分析大大简化，从而推动了这一学 科的发展。特别是v a i d y a n a t h a n ，他和他的研究组提出了f i r 无损系统的晶格 结构，用于设计完全重构的正交滤波器组，可以实现功率互补的滤波器组，简化 了滤波器的优化设计【4 】。这些极大地推动了滤波器组的理论和应用的发展。 ( 3 ) 丰富完善理论阶段 2 0 世纪8 0 年代末到9 0 年代中期，小波分析研究成为热点。小波的多分辨分 析理论研究表明，满足一定正则条件的滤波器组可以迭代计算出小波，m a l l a t 提 出了双尺度方程以及塔式分解算法，这些成果将滤波器组和小波紧密联系在起， 使得滤波器组与小波理论及设计有了非常紧密的联系。众学者开始重视利用滤波 器组设计小波，以及滤波器组自身理论的研究。在此期间，众人公认的最有代表 性的人物是v a i d y a n a t h a ne p 他系统地提出了m 通道正交滤波器组的理论口】，他 将当时的研究成果汇集成册，成为当时将从事此领域研究者的必读之书。 按照滤波器组所具有的特点，滤波器组分成如下几类： f 1 ) m 带均匀滤波器组 自从引入多相位分量分析滤波器组后，许多学者开始了在这方面的研究。余弦调 制m 带滤波器组的出现是一次重要飞跃。得出了完全重构条件并用格形结构进行 了实现。大大简化了m 带滤波器组的设计而且出现了类似f f t 的快速算法，即 快速离散余弦变换。用调制的方法实现m 带滤波器组的方法得到广泛的应用。其 中提出的设计方法有：非余弦任意正交调制的m 带滤波器组，扩展高斯函数的余 弦调制滤波器组，用d f t 调制的m 带滤波器组等 ( 2 1 线性相位滤波器组 在某些应用中希望滤波器组是线性相位的，所以线性相位的滤波器组成为了人们 研究的热点之一。线性相位一般是通过f i r 滤波器实现的，所以由f i r 滤波器做 原型滤波器的滤波器组得到了广泛的研究。自从1 9 9 3 年，m 通道线性相位正交 滤波器组理论诞生以后，余弦调制滤波器组被延伸到线性相位滤波器组领域，从 而大大简化了线性相位滤波器组的设计，后来提出的用矩阵分解的方法设计线性 相位的两通道滤波器组使得设计更加简洁。后来研究的任意长度任意通道的线性 相位滤波器组的理论、结构、及设计方法更具一般性。 ( 3 ) 过采样滤波器组 2 第一章绪论 当采样因子r 小于通道数m 时，称为过采样滤波器组。与临界采样滤波器组相 比，它具有如下优点：( 1 ) 增加了设计的自由度，完全重构条件比较容易满足。( 2 ) 增加了系统抗噪声能力。( 3 ) 可以设计任意时延的滤波器组。( 4 ) 方便设计线性相 位滤波器组。 1 2 本研究课题的理论及实际意义 到2 0 世纪9 0 年代随着小波理论的迅速发展，小波的多分辨分析理论表明， 满足一定正则条件的滤波器组可以迭代计算出小波，双尺度方程和塔式分解算法 的提出将滤波器组和小波紧密的联系起来，给滤波器组的发展注入了新的活力。 本课题着眼于正交镜像滤波器组在尽量满足完全重构条件下的滤波器性能，希望 能够提高滤波器组的性能，在实际应用当中，滤波器组广泛应用于多载波调制， 语音信号的子带编码等领域，随着应用的不断扩展，对滤波器组性能的要求也不 断提高，特别像高保真音箱等，对于输出音质要求较高的应用，提高滤波器组的 阻带衰减可以降低信号之间的相关性，防止失真的发生。 1 _ 3 滤波器组的研究现状 由于滤波器组在子带编码和小波分析中有重要的作用，滤波器组成为人们研 究的热点。对滤波器组的要求主要有以下两个方面：第一，完全重构，即无失真 地恢复原始信号。第二，各子带滤波器的性能要好，即较小的过渡带、较小的通 带波纹和较大的阻带衰减。滤波器组的理论分析方法基本上有两种思路，一种是 树型结构滤波器组，另一种是并型结构滤波器组。而且人们对并型结构滤波器组 进行了较多的探讨。首先讨论两种设计方法的利与弊。 对于树型结构，它一般是由两通道滤波器组级联而成的。其优点是对子频带 的划分灵活，可以根据信号的特征对子带进行划分，因为它的滤波是分级实现的， 下一级的滤波必须等上一级处理完才能进行，数据传输的延时与级数有关，在滤 波器阶数一定的前提下，级数越多，延时越长。因为它每一次频带划分的滤波运 算都是独立进行的，所以其计算量大。在实际设计中还是要根据具体的要求来加 以选择，只要延时能够满足要求，树型结构滤波器组是一种理想的选择。 对于并行结构滤波器组，也称为m 带滤波器组，它对输入信号的处理是通过 一个对频带进行均匀划分的滤波器组一次性完成的。其优点是延时小，计算量小， 由于这种方法可以实现一次性将全部子带信号算出，不必对每个子带单独计算， 广东工业大学工学硕士学位论文 能够节省计算量，对于实时系统来说可以降低对处理器和存储器的要求，对系统 实现成本的降低有重要影响。所以对于多子带系统来说，并型结构滤波器组更有 其优越陛。 在满足延迟，并且子带数较少的条件下，树型结构的滤波器组可以取得较好 的滤波效果和较好的重构性。在实际产品中已有应用。并行结构滤波器组则尚处 于研究阶段。由于并行结构滤波器组具有延时小，节省计算量的特点是树型结构 滤波器组无法比拟的，按不同的设计思想阐述并型结构滤波器组的研究进展。 ( 1 1 调制型滤波器组 这种设计方法首先通过优化方法得到一个原型低通滤波器，然后通过调制得 到分析和综合滤波器组。若滤波器组为m 个通道，则低通原型滤波器的通带宽度 为1 2 m ，为了得到好的恢复特性，对低通原型滤波器的优化是很重要的。 文献【6 】通过适当矩阵变换，将精确重建余弦调制正交镜像滤波器组的设计转 化为一种带约束的非线性优化问题。这是一种带二次型约束的最小二乘( q c l s ) 优化问题。然后提出了一种变参量的罚函数方法来有效求解该类q c l s 优化问题。 通过直接采用原型滤波器系数为优化变量，构造了一个特殊的凸函数作为优化代 价函数，故获得了该问题的全局最小点吲。设计出了8 通道余弦调制正交镜像滤 波器组，其阻带衰减达到了一4 4 d b 。通过对文中滤波器幅频特性的观察会发现其过 度带很宽，在达到3 0 d b 的时候，其过度带已经延伸到了其相邻子带的中心频率。 文献 7 一种近似重够的余弦调制滤波器组的原型滤波器设计方法。该方法将 原型滤波器表示成a ( z 。) b ( z ) 的形式( 其中b ( z ) 是最平坦f i r 滤波器) ，通过优化 低阶f i r 滤波器a ( z 1 的通带边缘频率，间接设计原型滤波器。一般来说，当通 道数增加时，原型滤波器的带宽变窄，需要的过度带更窄，滤波器阶次升高。而 c p u 运算时间与滤波器阶次的平方成正比。这是我们不希望的。文中设计了一个 3 2 通道的正交镜像滤波器组，其滤波器阶数高达4 6 6 。由于在本文算法中，高阶 滤波器h ( z ) 的优化设计被转化为低阶滤波器a ( z ) 的优化设计，并且每次迭代都要 重新设计一次滤波器。这种间接设计法大大降低了运算量最后，可以得到一1 0 0 d b d 的衰减，取得了较好的滤波效果。从以上可以看出如果想得到完全重够的滤波器 组，其阻带衰减，过度带的特性都比较差，而近似重够的滤波器组的特性就比较 好。 r 2 1 单个滤波器叠加型滤波器组 第一章绪论 文献 8 考虑幅度和延时持性的i i r 型通用参数滤波器作为构件组成滤波器 组，以单个滤波器特性相互叠加为基础，设计时使相邻滤波器在交界频率点满足 一定条件，并对各过渡带区的组合特性施以优化和采取抗混叠、串话措施，做到 以一定精度逼近于信号完全重构的滤波器组。由于是以单个滤波器特性相互叠加 为基础，故计算简单，可提高计算精度，采用的是 i r 型滤波器，其阶次比其他 方法通常采用的f i r 型可低很多，因而使整体结构大为简化，不仅整体滤波器组 可以做到其幅度、延时、混叠、串话失真在容许的要求范围内，分析与综合滤波 器组也可分别做到其幅度、延时特性同时最佳优化迫近。分析滤波器组基本上可 以得到m 带正交基，此特性目前具有重要的现实意义，可以一定精度要求迫近信 号完全重构情况，达到可实用化程度嘲文中设计了8 通道l o 阶滤波器组，其 阻带衰减大约为一2 5 d b 。由于文中采用的是i i r 型滤波器，所以难以满足线性相位 的条件。但其优点是滤波器阶数低，计算量小，成本低，易于实现。 现有的滤波器组的设计方法主要是优化法 9 。”，即针对滤波器组中的每个滤 波器的频率响应建立目标函数，以滤波器的系数为变量，在完全重构的约束条件 下，使目标函数最小。用这些方法可以获得完全重构的滤波器组，但由于选择完 全重构为约束条件，所得到的滤波器组的特性较差，其阻带衰减都在- - 4 0 d b 左右。 其中具有代表性的有v a i d y a n a t h a n 提出了一种晶格结构的滤波器组实现方法，这 种结构的滤波器组是结构化完全重构的，量化其晶格系数不影响滤波器组的完全 重构特性，可以用无乘法结构【1 2 1 实现，使得信号处理速度加快，而且实现简单。 但由于晶格系数和目标函数之间的很强的非线性关系，所以很难用非线性优化方 法获得具有良好的频率特性的晶格结构滤波器组。 1 4 滤波器组的应用研究 ( 1 ) 在语音，图像编码中的应用 子带滤波器组最早的应用就是在语音，图像编码中。各种滤波器组多数是围 绕提高编码效率，降低滤波器组时延，减少恢复信号的混叠成分和相位失真及幅 度失真目的出现的。特别是为了适用于图像处理，出现了各种线性相位的滤波器 组结构和设计方法。最优正交变换编码和正交子带编码器优化的一般理论框架是 此应用最好的理论依据。 ( 2 ) 数字多路器 广东工业大学工学硕士学位论文 多个输入信号分别经过上采样器和合成滤波器组合成一个信号，在同一个信 道上发送到接收方。接收方经过分析滤波器和下采样器，完成信号的恢复。这个 系统完成了时分到频分的双向转换。这种数字多路器广泛应用于多用户通信，信 道复用和c d m a 等。电话传输的数字多路器是建立在d f t 调制滤波器组的基础 之上的。多路器中最主要的问题是交叉干扰，幅度和相位失真。随着多速率滤波 器组的理论和设计技术的成熟，提出了完全重构的多路器。 ( 3 ) c d m a 通信方面的应用 滤波器组在通信方面的应用主要是两方面的：( 1 ) 通信中干扰的抑制( 2 ) c d m a 的扩频码设计。扩频通信是当今世界通信发展的主流。但它与其他通信方 式一样也受到各种干扰的影响。其中最主要的干扰源是码间干扰，多址干扰和窄 带干扰。用滤波器组抑制窄带干扰是在频域内处理信号，在1 9 8 9 年d a v i d o v i c i s 提出了用d f t 变换方法消除窄带干扰，其算法过程是用子带滤波器分解接收信 号，确定窄带于扰所处的频段后，在频域用切除器消除干扰，然后重构信号。 第二章多抽样率系统的理论分析 第二章多抽样率系统的理论分析 2 1 整数倍抽取和内插 在一个信号处理系统中有时需要不同的抽样率。这样做的目的有时是为了系 统中各处需要不同的抽样率，以利于信号的处理、编码、传输和存储，有时则是 为了节省计算工作量。在抽样率满足抽样定理的前提下，我们可以先将以某一抽 样率得到的抽样信号经过数模转换器变成模拟信号，然后再经过模数转换器用另 个抽样率进行抽样、这样就可以改变抽样率。但是实际上改变抽样率并不一定需 要先变成模拟信号再进行另一次不同抽样率的抽样，而是以简单得多的数字处理 方法完成抽样率的转换。使抽样率降低的抽样率转换称为抽取，亦称抽样率压缩。 使抽样率升高的抽样率转换称为内插，亦称抽样率扩张。抽取和内插有时是整数 倍的，有时是有理分数倍的。抽取和内插是多抽样率信号处理中的基本环节。当 信号的抽样数据量太大时，为了减少数据量以便于处理和计算，我们把抽样数据 每隔( d 一1 ) 个取一个，这里d 是一个整数。这样的抽取称为整倍数抽取，d 称为抽取因子。这是在时域的解释。 2 2 多抽样率系统中的多相表示 多相表示在多抽样率信号处理中是一种基本方法。使用它可以在实现整数倍 和分数倍抽取和内插时提高计算效率，在实现滤波器组时也非常有用，多相表示 亦称多相分解，它是指将数字滤波器的转移函数分解成若干个不同相位的组。 在f i r 滤波器中，系统函数 n 。一- 1 日( z ) = h ( n ) z 一 ( 2 1 ) n = 0 式中n 为滤波器长度。如果将冲激响应h ( n ) 按下列的排列分成d 个组，并设n 为d 的整倍数，即n d = q ，q 为整数，则 广东工业大学工学硕士学位论文 h ( o ) z o h ( z 、=+ h o ) z 一 一- h ( d ) z 一。 h ( d 1 ) z 一。“ + + 矗 ( q 1 ) d z 一o - 1 。 + + m ( q 一1 ) d + 1 z 一口一1 。一1 + h ( d 一1 ) z 一。一1 + h ( 2 d t ) z 一2 。一1 1+ + 何( q 一1 ) d + d 一1 z 一g 一1 。一 口一l口一1 n = h ( n d + o ) ( z 。) “+ z 。h ( n d + 1 ) ( z 。) “+ + z 邶。1 h ( n d + d 1 ) ( = 。) 1 ( 2 2 ) n = 0 , 1 ，一，o 1 a 一1 e + ( z 。) = e h ( n d + k ) ( ：。) 一，k = 0 ，l ，d 一1 。 ( 2 3 ) h = 0 d - 1 日( z ) = z e 。( z 。) ( 2 4 ) k = 0 邑0 。) 称为h ( z ) 的多相分量。式( 2 4 ) 称为h ( z ) 的多相表示。( 2 4 ) 式称为多相分解 的第一种形式。其结构如图2 - 1 所示。 令z = e i 。 1z-i+i 图2 - 1 多相分解的第一种形式 f i g 2 - 1t h e f i r s tf o r m o f m u l t i p h a s ed e c o m p o s e 第二章多抽样率系统的理论分析 ( 2 5 ) 式中e 。“表示不同的k 具有不同的相位，所以称之为多相表示。这种型式的多相 分解适用于带有限带滤波的抽取系统。 下面讲述多相分解的第二种形式。如果把( 2 3 ) 式改为 q - i ( 加+ 七) ( z 。) 一：r d - i - k ( z 。) ( 2 6 ) ( 2 4 ) 式变为 日( ：) = = 。“。r 。( z 。) ( 2 7 ) 式称为多相分解的第二种形式。其网络结构如图2 - - 2 所示。 ( 2 7 ) 图2 2 多相分解的第二种形式 f i g 2 - 2 t h es e c o n df o r mo f m u l t i p h a s ed e c o m p o s e 这种型式的多相分解适用于带有去镜象滤波的内插系统。通过多相分解和等效变 换可以减少运算量。 、， 加 p ，l七 e 础 吖 p 州枷 = 、， 细 p ，f h 广东工业大学工学硕士学位论文 2 3 网络结构的恒等变换 下面将分别探讨系统函数与抽取级联时的等效变换，及系统函数与插值级联时的 等效变换。这两种等效变换对于降低计算量具有重要的意义。 2 3 1 系统函数与抽取级联时的等效变换 图2 3 中示出这种等效变换。 00 坶匝埒挲 图2 3 系统函数与抽取级联时的等效变换 f i g 2 - 3e q u i v a l e n t t r a n s i t i o no f s y s t e mf u n c t i o na n dd e c i m a t i o n 在( a ) 中输入输出关系为 所以 r ( z 2 ) = n ( z 2 ) 矿( z 2 ) 矿( z ：) ：i i 乙d - i z ( z 。) u t = o y ( z 2 ) 在图( b ) 中输入输出关系为 于是 酢：) 去芝酢) ，= 0 p ) ：告艺，矿，) l ，k 0 u ( z 1 ) = x ( z 1 ) h ( z l d ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) f 2 1 2 ) 叱) ：x ( z , w 2 ) i - l ( z l t ) 。 = x ( z l w 。) h ( z l 。) ( 2 1 3 ) 第二章多抽样率系统的理论分析 矿( z ：) = h ( z l u ) 去( z 。w 7 ) 7 = 0 比较式( 2 1 0 ) 和式( 2 1 4 ) 可知，如果h ( 毛d ) = 顶乞) 则矿( z ：) = r ( ：) 由于 己d = 哪d = p 埘五d ) = 一她= z 1 所以图( a ) 与( b ) 等效。 2 3 2 系统函数与零值内插的等效变换 图2 4 示出这种等效变换。在图( a ) 中输入输出关系为 口d ( 2 1 4 ) f 2 1 5 ) 图2 - - 4 系统函数与零值内插的等效变换 f i g 2 _ 4e q u i v a l e n t t r a n s i t i o no f s y s t e mf u n c t i o na n dz e r oi n t e r p o s e y ( 乞) = 以毛) = 瓤弓) 俄毛) ( 2 1 6 ) 在图( b ) 中输入输出关系为 y ( z 2 ) = 职乞) 矾z 2 j ) ( 2 1 7 ) u ( z 2 ) = 坝毛) ( 2 1 8 ) 地：) = 矾刁) 觑乏) = x ( z o h ( z 1 ) ( 2 1 9 ) 可以看出图( a ) 和( b ) 是等效的。 广东工业大学工学硕士学位论文 第三章滤波器组的基本原理 3 。1 滤波器组的概念 迹骘臣巫p 马 蛆圃到 + 坐沲圃出 ( b ) 图3 一l( a )分析滤波器组( b ) 综合滤波器组 f i g 3 - 1 ( a ) a n a l y s i sf i l t e rb a n k s ( b ) s y n t h e s i s f t l t e rb a n k s 在许多应用中，一个离散时间信号首先被一个分析滤波器组分成几个子带信 号，然后各予带信号经过处理，经过一个综合滤波器组，形成输出信号。各个子 塑 圆l 带信号由于所占的频带变窄，所以可以被抽取，对被抽样后的进行处理比对原信 号处理更高效，我们把具有一个共同输入信号或一个共同输出信号的一组滤波器 称为滤波器组。 图( a ) 所示是一个具有共同输入信号的滤波器组。输入信号x ( n t ) 进入k 个通 道，每个通道中有一个滤波h ；( n t ) ，k = 0 ，1 ，k l 。设x ( n d 为一宽频带信 号，经过各通道中的带通滤波器后被分成k 个子频带信号y 。 刃，k = 0 ，1 ，k - - 1 。这样的滤波器组称为分析滤波器组。滤波后各通道的信号y 。( n t ) ，k = o ， 1 ，k 一1 ，是窄带信号，因此它们的抽样率可降低。如果x ( n t ) 是个满带信号， 即x ( n t ) 的频谱占满一兀到兀的区域，而各通道的信号都具有相同的带宽b ，则 b = 警。于是抽样率最多可降低到吉。如果抽样率低于吉，则必将出现混迭。 这就是说各通道滤波后的信号可以进行抽取因子d 等于或小于k 的抽取。因此， d = k 的抽取称为最大抽取。最大抽取情况下的分析滤波器组和综合滤波器组如 图3 2 所示。 k 业娜三产掣 广东工业大学工学硕士学位论文 = = = = = = ! ! ! e ! ! ! 自! ! ! g ! ! ! g ! ! ! | ! ! ! | ! ! ! 自! ! ! 自! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 自 负塑咂卜医正学叫 y 图3 2( a ) 带d 倍抽取的最大抽取分析滤波器组 ( b ) 带d 倍内插的综合滤波器组 f i g 3 - 2 ( a ) t h em a x d e c i m a t i o na n a l y s i sf i l t e rb a n k sw i t hdt i m e sd e c i m a t i o n ( b ) t h es y n t h e s i sf i l t e rb a n k sw i t hd t i m e si n t e r p o s e 具有多个输入信号和一个共同输出信号的滤波器组称为综合滤波器组。在综 合滤波器组中输入信号为觅( n ：疋) ，k = o ，1 ，k 1 。先进行零值内插，经综 合滤波器以( h 。互) 后保留了所需要的子频带，得到相应子频带信号x k ( 五) k = o 1 ，d 一1 。把所有的氛( n ，t o 相加起来，就得到所求的综合信号量( 。五) 甚 j ( n l 五) = 窆毫( n 。互) ( 3 1 ) k - 0 滤波器组中的误差来源来自4 个方面。由于抽取和内插所产生的混迭和镜象是产 生误差的来源之一，由这种误差产生的失真称为混迭失真( a l d ) 。因为滤波器 幅颠特性的波纹而产生的误差是误差来源之二，因而产生的失真称为幅度失真 ( a m d ) 。由于滤波器相频特性的非线性而产生的误差是误差来源之三，因而产生 的失真称为相位失真( p h d ) 。还有第四种误差是编码和解码产生的误差，这种误 差与量化误差相似，是一种非线性失真，称为子频带量化误差，这是一种无法完 1 4 一 贮 唑 第三章滤波器纽的基奉蔗避 全消除的议麓。我们以后的讨论中只讨论前三种失舆而不讨论第四种失真。 3 2 两遴遵正交镜像滤波器维 设一个两通道的滤波器组如图3 3 所示。 图3 - 3 两通道正交镜像滤波器组 f i g 。3 - 3t w o c h a n n e l sq u a d r a t u r em i r r o rf i l t e rb a n k s 如果 h i ( p 加) = h o ( p 。一4 ) 瓣置。( 。归) 及墨窜”) 瓣疆藏特性蘩鬻3 叠蘑示。 野rf # 2 图3 - 4 两通道正燹筑象滤渡器组的幅频特性 f i g 3 - 4 t h em a g n i t u d ea n d f r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i co f t w o c h a n n e l sq m f b h 。( p ”) 与妫( g 扣) 对予娥镜像对称，所良称这种滤波器组为疆交镜象滤波器 ( q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r ) 组，简称q m f 组，这是q m f 组原始的涵义。 3 3 d 遴遵最大抽敬歪交镜像滤渡器( q 瓣) 组囊冬基本关系 对于d 个通道的滤波器组，如果其中备滤波器吼( e j o , ) j 鞴t 4 。( g j m ) ：h 。( 8 归* ) 广东工业大学丁学硕士学位论文 ，撕 肜= 9 1 百的关系，如图3 - 5 所示，则也称之为q m f 组。这时已经不具有幅频特 性对兀2 对称的性质，不过是一种大家习惯上的称呼而已。 一万 万 m 亿 死 m 图3 - 5理想d 通道正交镜像滤波器组的幅频特性 f i g 3 - 5 t h em a g n i t u d e a n df r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i co f i d e a ld c h a n n e l sq m f b 图3 - 6 示出一个d 通道q m f 组并注明了各点信号的符号。下面我们研究其输入 x ( z 。) 及输出卫( z 。) 的关系。 型广伍习锄砷布甲轩万一， 图3 - 6d 通道q m f 组 f i g 3 - 6 dc h a n n e l sq m f b 先取出其中的第k 条支路，有 童。( z 。) = 吱( z ) e ( z ，) 吃( = 。) = 或( z ：) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 董：三茎鎏鎏矍丝墼董奎星堡 耳( z ：) = k ( z z ) ( 3 4 ) 耳( ：z ) 2 五 台u - l y tl z - 一i ) ( 3 5 ) k ( 毛) 2x ( z i ) h t ( z ) ( 3 6 ) 譬t ( z - ) = 上d i = o x ( z t 矿7 ) h i ( z - 矿。) f a z l ) ( 3 7 ) 整个系统的输出为各通道输出之和，即 童( z ) = 蒸岩。( z 。) = 土o 篁1 = o x ( z 。形7 ) 蒸日。( z 。矽7 ) e ( z 。) ( 3 。8 其中：p 1 万 3 4 多通道最大抽取无混迭q m f 组 下面定义循环矩阵，一个方阵它的一行右移一位，其溢出补至左边，即为下一行 的矩阵是循环矩阵。也可定义为列的上移等于该列左侧列的矩阵。 下面定义伪循环矩阵。 将循环矩阵中对角线的左下方各项分别乘以= ，这里九为一常数，则矩阵即为 伪循环矩阵应该指出在上一节中( 3 7 ) 式的x ( z i w 。) ，1 = 1 ，d 一1 ，是原输入 信号x ( 2 1 ) 的混叠样本， 是由于抽取而造成的，故称混迭分量。如果希望在输出中去掉混迭的影响，则应 将( 3 8 ) 式分成，= 0 和，o 两部分。令? 0 的部分为0 ，就得到 1d l 童( z ，) = 去h 。( z 1 ) 疋( ：，) x ( 2 1 ) “k = 0 ( 3 9 ) 将( 3 9 ) 式中的日tz - ) 和r ( z 一) 用多相表示则可写成 d l h ( z 1 ) = z l “e hz , d ) ，k = 0 , 1 ，d 一1 m = o f a z l ) = 毛叫肛卜m r m ( z l 。) ，七= 0 , 1 ，d 一1 f 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 式中e 。( z 1 。) 和r i n k ( z f l ) 分别为h 。z ) 和疋( z 。) 的多相分量。将e k m ( z 。) 和 1 7 广东工业大学工学硕士学位论文 r m , ( z 。) 写成矩阵形式简记为e ( z l d ) 和r ( z 。) 。 用图表示如下： i 掣i 二 ， 十。 、- ， z 1 、f 一l 。 、 毛、 f li 。卜if 。l e ( 而d )r ( z l d ) 一1 j fz 1 颤啊石) z 1 1 r i 。 d 图3 7d 通道q m f 组的多相表示 f i g 3 - 7t h em u l t i p h a s ee x p r e s s o fdc h a n n e l sq m r b 1 旧l“o l v 、几碥( z 2 ) 心7 蜀蛹) ， 7 剀 u 一 f 一1 z 1 、 掣咖弘 d d 上钷p 7 毛一1 一【 而 、 矩阵 一l 只z 2 ) 1 z l 、，、o ln l i h 、，。瓴) 打 屯( 互) 、 墨 i x q 总 7 世j i !l ， 图3 - 8d 通道q m f 组的多相表示的进一步化简 f i g 3 8t h ep r e d i g e s t i n g o f t h e m u l t i p h a s ee x p r e s so f d c h a n n e l sq m f b 图3 - 8 中p ( z ：) 矩阵是e ( z ：) - 与r ( z ：) 的乘积。从图3 - 8 可得 x 。( z 1 ) = 圪( z ：) f 3 1 3 ) 动p 、j z ， x 吖一d 弋 z 脚 | | 、j z ，l y 第三章滤波器组的基本原理 2 口 式中= 8 。o z 2 = z 1 ( z ：) d x 女( 毛) = z l - k x ( z 1 ) f 3 1 4 ) f 3 1 5 ) r 3 1 6 ) r 3 1 7 ) 1d - 1d 一1d i j ( 毛) = 去x ( 毛w 7 ) 形州毛- k z - ( d - l - s ) “。( z ：) “i = 0k = 0s = 0 f 3 1 8 1 这是用多相表示得到的d 通道q m f 组的基本输入输出关系。( 3 1 8 ) 式可写成 定义 j ( z 。) = 上o 罗i = o x ( z 。矿7 ) 4 ，z 1 ) ( 3 1 9 ) f 3 2 0 ) f 3 2 1 ) d - 1 则 a i ( z 。) = w g ( z 。) ( 3 2 2 ) i - - 0 在( 3 1 9 ) 式中x ( z 。w 7 ) ， 0 ，为量( z ) 中的混迭分量，要想在输出中消除 x ( z ，w 7 ) ， 0 则须要4 ( z ，) = 0 ， 0 ，即，只有a ( z 。) 不为0 ，而其它a t ( z 。) 均 为0 。这样就可得到 肌弘吉x ( 啪纵啪( 3 2 3 ) 1 9 )20 u )2 ： ( 女只 )20t只 jd z 廿 z 州 缈 = )0 4 、，0 t g i | 、j 2乜只 吖肛一 z 廿 z 枷 广东工业大学工学硕士学位论文 g o ( z 1 ) = g l ( z 1 ) = 石1 舭t ) ( 3 2 4 ) 将( 3 2 1 ) 式代入( 3 2 3 ) 式按照对应项相等的条件可以得到 只，r ：只， 盹) - z z l 。一- 。4 晶p 0 ：3z ，e a o 岛op o t 只1 ) 0 2( 3 2 5 ) z 1 - 4 p o lz i - 4 e 0 2z l 。4 民 可以看出矩阵p ( z ，) 是一个伪循环矩阵。以上证明了无混迭q m f 组中p ( z ：) 必然是个伪循环矩阵。同样如果p ( ：) 是个伪循环矩阵，则系统必然是无混迭q m f 组。这里就不再加以证明了。对于d 通道q m f 组只考虑矩阵p