（应用数学专业论文）分数阶微积分及其在生物传热传质中的某些应用.pdf

- l 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名：盘熊竺晕 日期： 印( d ，锨阳 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：邋 导师签名： 日 1 t 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 符号说明v 【 第一章预备知识1 1 1 分数阶微积分简介1 1 2 积分变换简介4 1 3 特殊函数简介5 第二章生物组织径向传热的分数阶热波模理7 2 1 背景简介7 2 2 分数阶模型及其勰析解7 2 3 结果与讨论1 0 2 4 总结1 4 第三章钠离子跨肠肇的分数阶反常扩散模型1 5 3 1 背景简介1 5 3 2 基本方程的建立1 5 3 3 基本方程的求解1 7 3 4 讨论1 8 3 5 总结2 0 参考文献2 l 致谢2 5 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t ，。i e n g l i s ha b s t r a c t i i i n o t a t i o n s 1 0 r i c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s 1 1 1 i n t r o d u c t i o n so f f r a c t i o n a lc a l c u l u s 1 1 2i n t r o d u c t i o n so fi n t e g r a lt r a n s f o r l n s 4 1 3 i n t r o d u c t i o n so fs p e c i a ll n m c t i o n s 5 c h a p t e r2 t h ef r a c t i o n a lh e a tw a v em o d e lo fb i o l o g k 勉lt i s s u er a d i a lh e a t 7 2 1b a c k g r o u n d 7 2 2 f r a c 吨i o n a lm o d e la n de x a c ts o l u t i o n 7 2 3 r e s u l t sa n dd i s c u s s i o n 1 0 2 4c o n c l u s i o n 1 4 c h a p t e r3t h ef r a c t i o n a la b n o r m a ld i f f u s i o nm o d e lo fs o d i u mi o n sa c r o s s i n t e s t i n e s 1 5 3 1b a c k g r o u n d 1 5 3 2 b a s i ce q u a t i o n s 1 5 3 3 e x a c ts o l u t i o n 1 7 3 4d i s c u s s i o n 1 8 3 5c o n c l u s i o n 2 0 r e f e r e n e w s 2 】【 a c k n o w l e d g e m e n t s 2 5 山东大学硕士学位论文 分数阶微积分及其在生物传热传质中的某些应用 陈燕平 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本论文由彼此相关而又独立的三章所组成第一章为预备知识，简要介绍 了本文所需要的数学工具，第_ ：章和第三章具体讨论了分数阶微积分在生物 传热传质中应用的两个例子 在第一章中，1 1 节简要介绍了分数阶微积分的发展历史、基本概念及在 与本文内容相关的几个领域内的研究进展，给出了r i e m a n n l i o u v i l l e 型分数 阶微积分算子和c a p u t o 型微积分算子的定义及主要性质在1 2 节中，介绍 了分数阶微积分的积分变换，包括l a p l a c e 变换和h a n k e l 变换，这两种积分变 换足求解分数阶微分方程的有力工具在1 3 节中，给出了广义m i t t a g - l e t t t ( ，r 函数玩，【l ( z ) 的定义和它的某些重要公式。本章是以后各章的基础 在第一二章中，我们将分数阶微积分应用到生物传热问题，研究了生物组织 径向传热的分数阶热波模氆在2 2 节中，建立了在圆柱坐标下的径向传热 方程 a o d 卜( 豢十；筹) + 警( t b 叼+ q = 豢 假定局域热平衡条件下，给出了温升的分数阶微分方程 o o 珥一( 雾+ ；等) + q = 筹 应用l a p l a c e 变换和广义有限h a n k e l 变换及其相应的逆变换得到了以m i t t a g - l e m e , r ( m - l ) 函数表示i - _ i s 问题温升的解析解 忙警薹器唰卅一 山东大学硕士学位论文 在2 3 节中，对分敦阶的髟激赋予特值a = 0 和q = 1 进行了i , - j i 仓当= 0 时，此时的温升表达式为 口= 警薹器t 薹h 秽 当o l = 1 时，此时的温升表达式为 p = 警薹揣e c 去e 似- 卜 并且j 百过数值作图的方法，展示了各种参数对温升的影响 在第三章中，我们将分数阶微积分应用到生物传质问题，研究了钠离子在 分数阶反常扩散以及生物电势共同作用下跨肠壁的输运模型在3 2 节分别 给出了一维情形下钠离子在肠壁细胞间隙以及肠壁细胞内所满足的方程： 警= 矿。鲁+ a 面0 0 7 1 制q 一吼 丝：一一 百, q 2 3 ( c 2 一c 1 ) 在s 3 3 节中应用l a p l a c e 銮换法得到了象函数凸的表达式 c i = + 了co雨eallea2x-ea2leatx一知竺攀武 se a l l e a 2 l ，l j u a 1 一a 2 、 ；ex1。z-一eeaa：z。fjofo!：!：；半d乏，；一- “一e n z “万_ 万一嗽 在3 4 节中应用l a p l a c e 变换的终值定理给出了在乎衡状态下细胞间隙钠离 子稳态浓度分布的精确表达式： c ，。，：善c b 三雩筹，n = ， l 国( l z ) l ， n 1 以及相应的细胞内钠离子稳态分布状态 伤幽) _ 埘l i ms 岛( 删) - 。畴丝掣- - - - c t 。o ( 班 并对上述表达式进行了分析和讨论 关键词：分数阶微积分；生物传热传质；有限h a n k e l 变换；l a p l a c e 变换；m - l 函数；生物电；稳态浓度分布；l a p l a c e 变换终值定理；反常扩散；积分变换 山东大学硕士学位论文 f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n s i nb i o l o g i c a lh e a ta n dm a s st r a n s f e r c h e ny a n p i n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h i sp a p e rw a sc o m p o s e do ft h r e ei n d e p e n d e n tb u t ，c o r r e l a t i v ec h a p t e r s i n c h a p t e rl ，t h ed e f i n i t i o na n dh i s t o r yo ff r a c t i o n a le m c u l n sw e r ei n t r o d u c e d i n c h a p t e r2a n dc h a p e r3 ，t w oa p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u si nb i o l o g i c a lh e a tm i d m a s st r a i l s f o rw e r ed i s c l l s s l y t t h ef i r s tc h a p t e ri st h eb a s i sf o rt h eo t h e rc h a p t e r so ft h i st h e s i s i ns e c t i o n 1 1 ，t h ed e f i n i t i o n sa n dm a i np r o p e r t i e so ft h er i e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a lo p e r a t o r a n dc a p u t of r a c t i o n a lo p e r a t o rw e r eg i v e n i ns e c t i o n 1 2 ，t h ei n t e g r a lt r a n s f o r m a - t i o no ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s ，i n c l u d i n gt h el a p l a c et r a n s f o r ma n dt h ef i n i ! ，ph a n k e l t r a i m i b r m ，w e r ei n t r o d u c e d i i ls e c t i o n 1 3 ：t h ed e f i n i t i o na t t ds o i l i c , f o r n m l ao ft h e g e n e r a l i z e dm i t t a g - l a f l l e rf l m c t i o n 既一( ：) w e r eg i v e n t h es e c o n dc h a p t e ri sa l la p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a lc a l c u l o u si nr a d i a lh e a tt r a n s - f e ro fb i o l o g i c a lt i s s u e i ns e c t i o n 2 2 ，r a d i a l t e a tt r a n s f e re q u a t i o ni n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e sw a se s t a h h s h e d n o 。；( o u t + 吾筹) 十万w b c b , 1 吲+ 口= 警 b ya s s u m i n gt h el o c a lt h e r m a lc o n d i t i o t m ，t h et e m p e r a t u r er i s eo ft h ef r a c t i o n a l d i f f e l e n t i a le q u a t i o n sw a sg i v e n n o 。；n ( 丝o r 2 + ；1 吖o o ) + q - - - - 筹 b ya p p l y i n gt h el a p l a c et r a n s f o r ma n dt h ef i n i t eh a n k c lt r a m s f o r mm e t h o d s ，t h e i i i 山东大学硕士学位论文 e x a c ts o l u t i o no ft h em o d e li nt h ef o r mo fg e n e r a l i z e dm i t t a g - l e f l i e rf u n c t i o nw a s 口= 警薹器唰以 i ns e c t i o n 2 3 ，t h en u m b e ro ff r a c t i o n a lc a l c u l u sg i v e nb ys p e c i a lv a l u eq = 0a n d a = 1w e r ed i s c u s s e d w h e nn = 0 t h ee x p r e s s i o no ft e m p e r a t u r er i s ew a s p = 挈三o c 矗器t 薹0 0 h 鳓2n w h e nr ，= 1 t h ee x p r e s s i o no ft e m p e r a t u r er i s cw a s 护= 挈薹器t c 谲1 e 一2u i nt h ee n d ，w ed i s c u s s e dt h ei n f l u e n c e s o fv a r i o u sp a r a m e t e r so nt h et e m p e r a t u r e r i s eb a s e do ng r a p h i c so ft h es o l u t i o n t h et h i r dc h a p t e ri sa na p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a lc a l c u l o u si nt h et w o - p h r a s e b i o l o g i c a lm f l s st r m l s f e ro fs o d i m ni o n sa c r o s si n t e s t i n e s i ns e c t i o n 3 2 ，t h eb a s i c e q u a t i o n sw e r ed e r i v e d 面0 c ! = k a o d l t 一面0 2 c l + a 面0 c 1 + ，( c 2 一c 1 ) ， 0 斧c 2 ：一, 3 ( c 2 一c o 百2 一 一 i ns e c t i o n 3 3 。t h es o l u t i o n so ft h ei m a g ef u n c t i o n sc ta n dqw e r eg i v e nb ya p p l y i n g t h el a p l a c et r m m f o r mm e t h o d ， c l = g e a l l e 沁。一e a 2 l e a l 卫 se a t l e a 2 l + 砑e a l x _ e a 2 xf j o l 0+ 万万_ i 硒 e a t ( ll ：| 拦荨藏 ：车竺d ， 瓦= 万一畎 i ns e c t i o n 3 4 ，t h es t e a d y - s t a t ec o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o n so fs o d i u mi o n si nb o t h i n t e r c e l l u l a ra n dc e l l u l a rp h a s e sw e r eg i v e na n dd i s c u s s e db ya p p l y i n gt h ef i n a lv a l u e t h e o r e mo ft h el a p l a c et r m m f o r m i v = 兰笨， 山东大学硕士学位论文 劬鼎) - l i ms岛(”)=岛丝掣=c10- t - j 小) s + s 一+ o 斗 s k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l n s ；b i o l o g i c a lh e a ta n dm a s s ；l i m i t e dh a n k e lt r a n s - f o r m a t i o n ；l a p l a c et r a n s f o r m ；m - lf u n c t i o n ；b i o e l e c t r i c i t y ；s t e a d yc o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n ；l a p l a c et r a n s f o r mf i n a lv a l u et h e o r e m ；a n o m u l o u sd i f f u s i o n ；i n t e g r a l t r a n s f o r m v 东大学硕士学位论文 符号说明 n 阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分算子 p 阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分算子 n 阶c a p t u o 分数阶微分算子 3 阶c a p t u o 分数阶积分算子 r i e s z 分数阶导数 g a m m a 函数 广义m j t t a g - l c f l t c r 函数 l a p l a c e 变换 阶有限h a n k e l 变换 b 铝s e l 函数 山东大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 1 分数阶微积分简介 分数阶微积分的发展史几乎与整数阶微积分的发展史相同分数阶导数的 想法最早由l h o s p i t a l 于1 6 9 5 年向g w l e i b n i t z 提出1 8 2 3 年，n h a b e l 在求 解个积分方程的过程中涉及到了分数阶微积分直到1 8 3 2 年，l i o u v i l l e 才给 出了分数阶导数的第一个合理定义1 8 4 7 年，r i e m a n n 对分数阶微积分的定义 做了进一步的补充【1 - 2 十八世纪和十九世纪中，e u l e r ( 1 7 3 0 ) ，l a g r a n g e ( 1 7 7 1 ) ， l a p l a c e ( 1 8 1 2 ) ，f o u r i e r ( 1 8 2 2 ) 以及其他一些数学家都对分数阶微积分的发展做 出了重要的贡献之后，又有w e y l ，e r d e l y i ，k o b e r ，o s l e r 等数学家对分数阶微 积分进行过专门研究然而，由于缺乏实际的应用背景，分数阶微积分理论的 发展十分缓慢直到1 9 8 2 年，b b m a n d e l b r o t 第一次指出在自然界和许多科学 中存在大量分数维的事实【3 _ 5 】，并在整体与部分之间存在自相似现象之后，分 数阶微积分才成为研究分形几何和分数维动力学的有力工具睁1 l 】，并且在松 弛( 1 2 - 1 4 1 ，振荡 1 5 】，扩散和输运理论【1 6 - 1 9 ，生物组织【2 m 2 3 ，高分子材料的 解链 2 0 】，【2 4 】，混沌与湍流【2 5 2 6 】 随机游走【2 7 - 2 9 ，统计与随机过程 3 0 - 3 1 ， 粘弹性力学及非牛顿流体力学【2 5 3 2 - 3 3 j 等诸多领域得以应用。这些领域的应 用研究又反过来促进了分数阶微积分理论研究的进一步发展，成为当前国际 i - _ 的一个热点研究课题 分数阶微积分的定义 当前，关于分数阶微积分有很多种定义本文采用所谓的r i e m a n n - l i o u v i l l e ( r ， l ) 和c a p u t o 分数阶微积分理论对于任意的复数j j 蹰( ，) 0 ，函数f ( t ) 的f ， 阶r i e , n a n n l i o u v i l l e 积分定义为： 慨归害：= 乒附) l 一 ( 1 ，) 其中r ( ) 为g a m m a 函数，定义为： r ( z ) = e - i t 2 d t ：驼( z ) 0 ( 1 2 ) 利用递推关系 r ( ：+ 1 ) = 订( o ) ( 1 3 ) g a m m a 函数可解析延拓到泥( 2 ) 0 ) 定义为礼一q 伽一1 a n ) 阶积分算子与n 阶导数算子的合成，即： 幻钟，( ) = 警：= 杀( 瓶”她) ) p o n l 0 ( 1 1 0 ) 性质4 ： o d t ，d f p ，( t ) = od 一芦，o ) ，a o ，p 0 ( 1 1 1 ) 特别的，当p = a 时， o d x o d t f ( t ) = ，( ) ，a 0 分数阶微积分的常用公式 公式1 - 。t a t t = 亍黼p + d ， 。，弘 一1 ( 1 1 2 ) 。t p = f 端t p 一“，仃 。? 肛 一1 ( 1 1 3 ) 如果n 隹n ，则常数函数i ( t ) 三c 的分数阶导数o 擎，( ) 不等于零实际七， 当p 2o 时，( 1 1 3 ) 式简化为f ) d l2 柄，它一般不等于零值得注意的 是，分数阶微分方程嵩_ r ( ) = o ，o o ，7 一1 a n ) ( 1 1 5 ) 当0 入l 时，上式简化为 g o o t a f ( t ) ，s ，= s a 氕s ) 一i o o , q ，( ) 】- o ( 1 1 6 ) 如果，( ) 在t = 0 附近有界，i ，( ) l a ，则当0 a i 时i o d t x - 1 ，( ) i = i 菇篇m 胁| m 露篇拈志f l - a 叫t 叫这时自( 1 邶) 式可得 c o d ，( ) ：s = s a 冗s ) ，( o c o ，( 1 1 8 ) 其反演公式是 m m l 脚归葡1 删沁叫s ) c 0 ( 1 1 9 ) 我们称f ( 菩) 是，( t ) 的象函数，f ( t ) 是f ( s ) 的原函数 当一0 + 或一。时，若函数，( ) 的极限存在，则函数s f ( s ) 的极限存 在，并且满足如f 初值定理和终值定理： 一l i m o ，( ) 2 妻器s f ( s ) ， 一( 1 2 0 ) l i r a 。f ( t ) = 。绿s f ( s ) ( 1 2 1 ) 对于p 阶积分算子，l a p l a c e 变换具有如下性质： c o d f p ， ) ；s = s - b f ( s ) ，n 一1 p n ，( 1 2 2 ) 对于r - l 微分算子，l a p l a c e 变换具有如下性质： ( 1 2 3 ) 当0 o t 1 时，上式可以简化为： ( o 工掣，( ) ；s = 3 。f ( s ) 一【o d p 一1 ，( t ) 】把o ，( 1 2 4 ) 对于c a p u t o 微分算子，l a p l a c e 变换具有如下性质： ( 1 2 5 ) 当0 q 1 时，上式可以简化为： l o d 7 ，( ) ；8 ) = f ( s ) 一8 c 。- - 1 ，( o ) ( 1 2 6 ) 4 n n 一 l n 卸 一七一 n d l w 七 s 州脚 一 8f 口 s | l 、- ， s 厂w 0 ，i c n 一 a i n | 1 n ( 1 3 5 ) 其中 噶一芸蛐，= 薹蒜拱南 ( 1 3 5 ) 式的证明非常繁琐，文献【2 翻给出了该公式的一个严格而又简单的证 明。 b e s s e l 函数 b e s s e l 函数是下列贝塞尔方程的解 鱼+：1一dy+(1一万v2d ) ! ，：o ， (136)z2 d zz 、 z 2 ，。 、+ 。 其中扩是常数 当不等于整数时，b e s s e l 方程的两个线性无关的正则解是 圳沪妻k = o 揣( 严” ( 1 3 7 ) 如，称为第一类b e s s e l 函数 b e s s e l 函数山( z ) 和止，( z ) 有如下关系 爰矿山( z ) 】少山一l ( z ) ， ( 1 3 8 ) 爰瞳”以( z ) 】_ 一。”山+ l ( 2 ) ( 1 3 9 ) 6 山东大学硕士学位论文 第二章生物组织径向传热的分数阶热波模型 2 1 背景简介 生物传热学作为跨学科的新兴学科分支，近年的发展十分迅速，其研究的 应用对象涉及生物医学的肿瘤、冷冻外科、病灶的红外诊断技术及生物组织的 激光焊接和切割、生物材料乃至整个生命的冻存、工业高温环境作业下的保健 防护、军事装备如坦克以及航天仓内工作人员与环境的热交换 1 9 4 8 年，p e n n e s 4 0 1 将人小臂简化为圆柱体，写出了微分形式的生物传热 方程，该方程第一次将生物组织的传热问题与一般工程材料从根本e 区别出 来，p e t m e s 生物传热方程问世以来，引起了国内外众多学者的广泛关注和深入 研究【4 l ，- 1 2 】，研究者们提出了许多生物传热的模型，乇补宣等【4 2 】将人体组织 看作多孔介质，而把整个系统当作一个两相流系统，从这一基本点出发，较严 格地导出了一个通用模跫人体生物传热现象的研究逐渐从定性过度到定量 近年来，作为分形几何和分数维的动力学基础，分数阶微积分在粘弹性体 的本构关系刻画上获得了成功应用，其出发点就是利用分数阶导数代替整数 阶导数，从而使问题的刻画更具有j 泛性目前，分数阶微积分建模已引起生 物力学界的广泛关注，取得了一鹫进展【4 3 - 4 5 ，为生物流变学开辟了一个新的 研究领域 2 2 分数阶模型及其解析解 鉴于生物体传热基本方程在生物传热研究中的重要地位，本文尝试从分 形孔体模型出发，利用分数阶f o u r i e r 定律给出传热方程并求解 著名的p e n n e s 生物传热方程为 声r r v ( k v t ) + w b ( 乙( 死一t ) + q 。+ q ，= p c 杀? ( 2 1 ) 这里t 是组织温度；k 是热导率；p 是组织密度；c 是组织比热容；q 。是代谢 热；q 足外部因素造成的组织内热；t 是时间；下标b 是血流岛( t b t ) 是由血流灌注引起的传热顼 上述方程摹于经典f o u r i e r 定律，即 q ( r ，t ) = - k v t ( r ，) ，( 2 2 ) ， 山东大学硕士学位论文 借助分数阶f o u r i e r 定律f 4 6 1 q ( r ，t ) = 一k _ o d i 一。t ( r ) ，( 0 a 1 )( 2 3 ) 我们可以得到分数阶传热方程 。磁v ( k v t ) + w b c b c t b 咽q - 坞= 豢， ( 2 1 4 ) 这里。珥”是r - l 分数阶导数，k q l m ，聃则考虑为常数 生物传热研究中，手臂、腿等可近似看做圆柱体的径向传热情况，上述方 程在柱坐标下可写为 删弋丽0 2 t + 昙筹) + 等( t b 咽+ q = 0 夙t ， ( 2 5 ) 这黾a - - - 矽k ，q = q m 矿+ q r 考虑如下的初边值条件 t = t o r = l ， ( 2 6 ) t 有界r = 0 ，( 2 7 ) t ( r ，0 ) = t o ， ( 2 8 ) 假定局域热平衡条件下，t b t 由于血流对流传递的能鼍远高于血流导 热量，容许先忽略m 一? ) 所引起的这个小误差，引入温升秽= t t o ，上式 化为 叫弋第十昙骞= 瓦( 9 0 ， 仁9 ) 打= 0 ，r = l ：( 2 1 0 ) 秽有界， r = 0 ， ( 2 11 ) 0 0 ，t = 0 ( 2 1 2 ) 对( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 式中的时间变量l 做l a p l a c e 变换，得到 弋雾+ 等+ 詈卸，( 2 1 3 ) 舀= 0 r = 5 ， ( 2 1 4 ) 石有界， r = 0 ( 2 1 5 ) 8 山东大学硕士学位论义 为求解上述方程的解析解，对( 2 1 3 ) 式的空间变量r 作如下有限t i a n k e l 变换 ，：厂l 可，( 耖) 凡( 矗可) c f 剪， ( 2 1 6 ) ，o 其中f 。是超越方程而( f 。l ) = 0 的正根，其逆变换 ，= 壹榴， ( 2 1 7 ) ，= 箫者， ( 2 n = l 、7 利用b e s s e l 函数的递推关系式， 矗( 可) = 一j r ( y ) ， ( 2 1 8 ) 则式( 2 1 7 ) 中而1 部分可进行如下转换 丽1= 而2= 酾2 l 2 ll ， ( 2 1 9 ) 一= _ - ：一= - ：= ? ? 。_ i j jj ( 矗)路( 矗)驴圻代n ) 、 即得到有限h m l k c l 变换的逆变换 ，= 吾薹糕， 亿2 。， 对( 2 】3 ) 式施加如上正变换并利甩边界条件( 2 1 0 ) 得 n s l 一。卜f i 面+ 厂l ：s 每，( 2 2 1 ) n s l 一。卜f i 扫1 + j 0 s n ，= s 每，( 2 2 1 ) 6 因此 蚕= 两s 。- 碡2 q o 二 ( 2 2 2 ) s o + “g 、 这里蚕足l a p l a e e - h a n k e l 空间的象函数，锄足q 的h a n k e l 变换 q o = z q r j b ( f 。，) d r ( 2 2 3 ) 将式( 2 2 2 ) 代入式( 2 2 0 ) 得 百2 薹吾描南 仁2 4 ， 对上式进行逆l a p l a c e 变换，得 秽= 吾薹糟一c 磊， 仁2 5 ， 3 5 ) ，得 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) - 山东大学硕士学位论文 利用g a m m a 函数递推关系 r ( z + 1 ) = z r ( z ) ，( 2 3 5 ) 可得m - l 函数表达式 e o ，2 ( 一嘏) = ( 一嘏) “， ( 2 3 6 ) 将m l 函数表达式( 2 3 6 ) 代入温升的表达式( 2 3 2 ) ，得到口= 0 时的温升表达 式 口= 警薹揣t 至f l o h 国“亿3 7 ， 2 0 考虑“= 1 时的温升情况，此时温升0 的表达式为 秽= 擎薹器蛳( 劬 ( 2 3 8 ) 其中m - l 函数的表达式为 酬叫薹端 仁3 9 ， 和用m l 函数的性质 e l ，2 ( 2 ) = ， ( 2 4 0 ) 代入温升的表达式，得到q = 1 时的温升表达式 一挈薹老c e - a 鳔t - 1 ， 仁4 ， 数值结果 图2 1 显示了不同n 取值时径向不同位置p = 0 3 ，0 6 ，0 9 ) 温升随时问的 变化规律如图所示，不同位置的温升0 都随着时间的增加而持续增长。但 是随着a 的增大，温升0 的增长幅度逐渐变小当e l = 1 时，温升0 在较短时 间内就能够达到稳态分布，表明n 1 的分数阶热传导比整数阶热传导较慢 达到稳态分布 山东大学硕士学位论文 图2 1 不同“取值时径向不同位置( r = 0 3 ，0 6 ，0 9 ) 温升随时间的变化规律 图2 2 显示了不同q 取值时圆柱体中心位氍温升随时间的长期变化规律 如图所示，随着q 的减小，中心位置达到稳定温度的时间变长相比于a = 1 时温升在t = 1 时即可达到稳定值，当n = o 2 5 时，t = 1 0 0 时温升仍在持续增 长，表明在圆柱体的中心位置，分数阶热传导同样比整数阶热传导较慢达到稳 态分布，并且随着分数阶接近整数阶程度的增加，相应的热传导也能更快的达 到稳态值，在比较小的分数阶情形下温升在很长一段时问内持续增长 图2 3 显示了不同。取值时圆柱体内部不同时刻温升的径向分布如图所 示，随着r 的增加，温升0 的值逐渐减小，表明边缘位置的温度低于中心位置 的温度。特别的，随着n 的增大，圆柱体内部的温度分布逐渐趋于平缓，表明 在不同时刻情形下，分数阶热传导温升分布差异较大，而整数阶热传导的温升 分布则基本相同。 1 2 i 山东大学硕士学位论文 图2 2 不同o 取值时圆柱体中心位置温升随时间的长期变化规律 o o o 图2 3 不同n 取值时圆柱体内部不同时刻温升的径向分布 1 3 山东大学硕士学位论文 2 4 总结 本章从分形介质模璎出发，将手臂、腿等近似看成一个圆柱体结构，研究 了分数阶意义下的牛物传热过程通过l a p l a c e 变换，广义有限h a n k e l 变换 及其相应的逆变换得到了以m i t t a g - l e t t t e r ( m - l ) 函数表示上述问题温升的解析 解，并在此基础上，给出了组织温度的最终表达式，并且对分数阶的阶数赋予 特值进行了讨论，给出了相应的温升表达式在文章的最后，通过图的形式给 出了温升的数值结果，给出了径向不同位置下温升随时问的变化规律以及圆 柱体内部不同时刻温升的径向分布 1 4 山东大学硕士学位论文 第三章钠离子跨肠壁的分数阶反常扩散模型 3 1 背景简介 钠是人体必需的无机元素，大约占体重的o 1 5 体内钠主要以离子状态 存在于细胞外液( 血浆、淋巴、消化液) 中，约占总体钠的4 4 5 0 ，足细胞 外液中含量最丰富的带电正离子虽然钠的含量看起来很少，但在人体中却发 挥着十分重要的作用钠不仅是人体内维持渗透压、协调细胞内外平衡的主要 阳离子，还是调节人体水、电解质平衡，维持人体酸碱平衡，保证内环境稳态 的主要元素同时，钠还协助神经和肌肉的正常运作，不仅能够维持肌肉和帮 经的功能，维持肌肉的正常兴奋和细胞的通透性，还在神经调节、细胞信号转 导等方面发挥着重要的作用 钠的摄入：扛要是通过食物，尤其是食盐由于钠离子是小分子物质，可以 自由扩散进细胞膜，每日摄入体内的钠几乎全部都由胃肠道吸收。研究表明， 钠离子跨肠壁的吸收辛要经历了两个过程：部分钠离子直接为肠壁内