（电力系统及其自动化专业论文）电力系统二阶解析解精确性的研究.pdf

东北电力大学硕士学位论文 a b s tr a c t f o rt h el a r g e s c a l ep o w e rn e t w o r k ，w i t hh e a v yl c a d ，l o r so fn e ws w i f t e q u i p m e n t sh a v i n g b e e nl a u n c h e di n t ou s e t h en o n l i n e a ri n t e r a c t i o n sb e t w e e n s y n c h r o n o u sg e n e r a t o r ss t r e n g t ha n d 也ed y n a m i cp e r f o r m a n c eo f t h en o n l i n e a rp o w e r s y s t e m sb e c o m e sv e r yc o m p l e x a tt h es a m et i m e ，w i t ht h eo p e nt r a n s m i s s i o ns y s t e m ， t h ec o m p e t i t i v ep o w e rm a r k e t ，t h er e q u i r e m e n to fe c o l o g y , p o l i t i c sa n de c o n o m y , a n d t h es t r e s ss y s t e m ，t h ep o w e rs y s t e m sa c c e s st ot h el i m i to fs t a b l es t a t u ec l o s e l y n 他 c o n v e n t i o n a ll i n e a ra n a l y s i st h e o r ya n da p p r o a c hc a l ln o ts t u d yt h e s ek i n d so f n o n l i n e a rs y s t e m s ；a n dt h et r a n s i e n te n e r g yf u n c t i o nm e t h o da n ds t e pb ys t e p a p p r o a c hu n d e rl a r g ed i s t u r b a n c e sc a l la c c o u n tf o rt h en o n l i n e a rb e h a v i o ra n dj u d g e t h es t a b i l i t yo f s y s t e m s ，b u tt l l e yc a nn o tg i v ea n yi n n e rs t r u c t u r a li n f o r m a t i o n n l cv e c t o rf i e l d sn o r m a lf o r mt h e o r yi sa l le f f e c t i v et o o lt or e s e a r c ht h ed y l l a m i c p e r f o r m a n c eo ft h en o n l i n e a rp o w e rs y s t e m s a na l g o r i t h mt of i g u r eo u tn o n l i n e a r t m n s f o r m a t i o nc o g m c i e n ti s p r e s e n t e d i nt h e p a p e r t h e nt h en o r m a lf o r m s t r a n s f o r m a t i o no fn o n l i n e a rv e c t o rf i e l d si sf i n i s h e da n dt h es e c o n d o r d e l a n a l y t i c s o l u t i o ni ss o l v e db yj n v e r s et r a n s f o r m a t i o n i ns e c o n d o r d e rn o r m a lf o r m ( n f ) a n a l y s i s t h e n o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e mb e i n ga n a l y z e d i sm o d e l e dw i m n o n l i n e a r i t i e su pt os e c o n do r d e r d u et ot h ep r e s e n c eo fn o n l i n e a r i t i e si nt h em o d e l ， t 1 1 er e s u l t so fs e c o n do r d e rn fa n a l y s i sa r ei n i t i a lc o n d i t i o nd e p e n d e n t t h e r ea r et w o a s s u m p t i o n si nt h et h e o r yo fn fa n a l y s i sa n di nt h i sp a p e ri th a sb e e ns h o w nt h a ti f t h ei n i t i a lc o n d i t i o nc h o s e nd on o ts a t i s f yt h e s et w om a i na s s u m p t i o n s ，t h e nn f a n a l y s i si si n a c c u r a t e t h i sp a p e ra l s op r o p o s e st h r e ec r i t e r i at oi d e n t i f yw h e t h e rt h e i n i t i a lc o n d i t i o ns a t i s f i e so n eo ft h ea s s u m p t i o n so rn o t 1 1 l i sp a p e rp r o p o s e st ou s ea s n a ps h o to fs t a t ev a n a b l e sa ta ni n s t a n ts u b s e q u e n tt ot h ec l e a n n go fd i s t u r b a n c ei n s i t u a t i o n sw h e r et h es t a t ev a r i a b l e si n a m e d i a t e l ya f t e rc l e a r i n gt h ed i s t u r b a n c ei sn o t s u i t a b l ef o rn fa n a l y s i s t h et i m e d o m a i ns i m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e dt os u p p o r tt h e a n a l y s i s k e y w o r d s n o n l i n e a r a n a l y s i s n o n h n e a ri n t e r a c t i o n ；n o r m a lf o r ma n a l y s i s ； p o w e r s y s t e md y n a m i c s i l - 论文原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系在导师指导下本人独立完成的研究成果。 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法 律意义上己属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果。 本人如违反上述声明，愿意承担以下责任和后果： 1 交回学校授予的学位证书： 2 学校可在相关媒体上对作者本人的行为进行通报； 3 本人按照学校规定的方式，对因不当取得学位给学校造成的名誉损害， 进行公开道歉。 4 本人负责因论文成果不实产生的法律纠纷。 论文作者签名：日期： ：z 年三月上丘日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人 离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单 位仍然为东北电力大学。 论文作者签 导师签名 日期：生年上月巫日 日期：1 2 z 年月三五日 牛 第1 章绪论 1 1 课题的背景 电力系统运行日益接近他的极限，由于通讯技术、计算机技术、信号处理 技术以及电力电子学的发展，使电力系统可控性程度很高，这种接近于极限运 行的可控性很强的电力系统总体上表现了很强的非线性和动态模式相互作用， 为了使电力系统可靠运行在极限点，并且具有良好动态特性，必须很好认识动 态模式问的相互作用，以便于采取措麓缓和模式间的相互作用“1 。要认识理解这 个非线性相互作用，大系统所出现的新现象、新问题，预制这样复杂系统的性 能，协调、控制、保证整个系统步调一致稳定运行，仍然仅仅依靠以往那些传 统的稳定分析的理论和方法，就显得不够了蜘。 用于大扰动分析的数值积分法和暂态函数法，虽然能将准确地给出系统是 否稳定的结果，但难以计及系统内部动态结构信息，所以很难分析与不稳定相 关的很多因素。传统的特征值分析法，虽然能方便地分析在小干扰下的稳定性， 也可以计及系统内部的动态结构信息，但是对于非线性很强的电力系统，留给 传统小干扰稳定分析的区域也大大缩小，再用线性化分析方法难以满足要求嘞。 要改善电力系统动态性能，我们就必须先熟悉它的动态特性，而不仅仅是 判断系统是否稳定。因而，从系统内部结构来认识系统是必然的。这种非常复 杂的多机电力系统受到扰动后，不论是大扰动还是小扰动，都将展现出非常复 杂的动态过程。也就是说当受到扰动后，系统产生了许多种振荡模式，而这些 不同模式间的强烈相互作用严重地影响着系统的动态特性。在这些振荡模式中， 只有少数一部分由于它们对系统动态行为潜在的影响，而引起了许多学者和控 制器设计者的兴趣。通常有这样两类模式o ”：( 1 ) 主要由本地机组状态变量决定 的模式，被称为本地机组间的振荡模式( l o c a lm o d e ) ；( 2 ) 由系统较大区域内机 组状态变量决定的模式，它们的作用将影响系统很大的一部分，被称为系统区 域间机组振荡模式( i n t e r a r e am o d e ) 。当系统受到扰动后，可能发生区域间 机组分离，也可能发生当地机组分离。尤其是当系统联络线上传输功率较大的 东北电力大学硕士学位论文 时候，这种现象很容易发生，而且这种振荡会持续很长时问，对系统稳定造成 很大的威胁。因此分析这种振荡模式对了解与认识电力系统的动态特性是非常 重要的，我们必须弄清楚系统内部结构特征和各种非线性因素引起的相互作用， 而不单单是判断出系统是否稳定，才能找出引起这种模式分离的原因。 传统的小于扰稳定分析方法( 特征分析方法) 是从系统内部结构信息入手 分析系统动态特性，但是它没考虑系统的非线性，显然已不适用于分析现在强 非线性的多机电力系统；大干扰下的暂态能量函数法和数值积分法，虽然计及 了系统的非线性，能够判别出系统的稳定性，但是都未给出扰动后系统内部结 构特征的任何信息。 因此，对现在这种强非线性系统：静稳极限附近系统，s t r e s s 系统以及大 干扰下的电力系统，寻求一种既能判断系统稳定性，又能得到系统内部结构特 征信息研究方法，来分析复杂系统的动态特性，对于电力系统的安全稳定运行 具有深远的理论意义和重大的现实意义。 1 2 多机电力系统的稳定分析方法 多机电力系统是非常复杂的非线性系统，分析其稳定性的方法，按研究中 采用的模型来划分可分为两大类：一种是忽略系统的非线性，以线性化动态方 程分析为基础的小扰动分析方法，主要包括全部特征值分析方法和部分特征值 分析方法；另一种是考虑系统的非线性，以非线性动态方程分析为基础的时域 仿真法、暂态能量函数法。下面对这些方法作简要说明。 1 2 1 基于线性化动态方程分析的方法 小扰动稳定的分析是将描述电力系统的非线性微分方程在运行点附近线性 亿，它根据线性化后的全系统状态方程，求出其特征根和特征向量，并根据此 分析系统的振荡情况。特征分析方法的核心是计算系统状态矩阵的特征根。近 几十年来，矩阵特征根计算一直是数学上一个活跃的研究领域，但到目前为止， 从原理上来看，计算矩阵特征值有全部特征值分析方法和部分特征值分析方法 两种方法。 全部特征值分析方法是利用q r 变换一次求出系统的全部特征值，从而判断 第l 章绪论 所给定的稳态运行情况的静态稳定性。其优点是：( 1 ) 所有特征值都可以一次求 出，不会漏掉不稳定的和弱阻尼的模式；( 2 ) 特征向量标明了不同振荡模式与系 统变量及参数等因素之间的关系；( 3 ) 可以方便的求出特征值对系统参数和运行 方式的灵敏度，以便深入了解系统的动态特性和用于控制器的协调配置及参数 设计。 但随着系统维数的增加，其局限性日益显露出来。q r 法需要存储矩阵的全 部元素，占用计算机内存量大，而且其计算量约与系统系数矩阵阶数的三次方 成正比，使大规模系统所需要的计算时问达到难以接受得程度。另外，在维数 甚高的情况下，有时会出现“病态”问题，当矩阵阶数达数百阶( 例如4 0 0 5 0 0 阶) ，将可能产生显著的计算误差，甚至不能得出计算结果，因此这种方法一般 适用于中等规模的电力系统。 实际上，对于不同的静态稳定分析目的，所关心的只是矩阵中一部分与分 析目的密切相关的特征值。为此，不少文献中提出了多种只求取部分特征值的 方法，大致可分为两类，即降阶选择模式分析法和全维部分特征值分析法。 降阶选择模式分析法的主要思想是在全系统的线性化方程式中，将全部状 态变量z 按某种原则分为两部分蜀和墨，然后消去z ，只保留蜀，以 求出与其相关的部分特征值，这些特征值是研究问题所关心的。其中，a e s o p 算法( a n a l y s i so f e s s e n t i a l l ys p o n t a n e o u so s c i l l a t i o n si np o w e rs y s t e m ) 是对某台 发电机施加外部转矩扰动，从一个初始估计值开始搜索，直到共振频率为止， 这样每经一轮迭代可求出一个机电振荡模式。该法能有效的节省计算工作量及 存储量，可用于大规模电力系统，且能很快得出结果。s m a ( s e l e c t i v em o d e a n a l y s i s ) 方法的主要特点则是降阶后的系数矩阵经过一轮迭代后，希望能同时 算出多个甚至全部振荡模式。 全维部分特征值分析的主要思路是，将全系统微分方程式的系数矩阵么， 经过适当的变换后成为另一个维数与它相同的矩阵4 。使一阵中所关心的一个 或一小部分特征值相应的变换成4 中绝对值( 即模) 最大的一个或较大的几个 特征值，然后采用适合于计算矩阵中按模最大或一部分按模递减特征值的计算 方法求出4 中的这些特征值。其中，主要有s 矩阵法和分数变换法。前者将系 统静态稳定性的判断转化为计算矩阵s 的按模最大特征值，适用于进行静态稳定 东北电力大学硕十掌位论文 性判断；后者则可求出矩阵0 在某特征值平面上某一点附近的一些特征值。 基于线性化动态方程分析的小扰动分析方法虽然给出了一些系统内部结构 信息，例如前面所提到的线性相关因子、特征根灵敏度等，但它没有考虑系统 的非线性，而这是由线性化分析方法本身所造成的，这是无法克服的。 1 2 2 基于非线性化动态方程分析的方法 由于电力系统本身就是复杂的非线性系统，而且当系统受到大扰动后，呈 现出更强的非线性，系统模型也就不能在采用线性化的模型，基于线性化动态 方程分析的小扰动稳定分析方法不再适用。目前基于非线性化动态方程分析的 方法，主要有数值积分法和暂态能量函数法“”1 。 数值积分法或者说时域仿真法即s b s ( s t e pb ys t e p ) 可以处理任何非线性的 复杂场景，并可得到运动的具体轨迹。在计算机技术高速发展的今天，用数值 积分法求取大型复杂多自由度运动系统在大扰动下的受扰轨迹不再存在本质上 的困难。但在得到受扰轨迹后，专家却只能根据其上下包络线间的距离是否超 过经验限值，来定性地判断系统是否稳定。为了避免将稳定轨迹误判为失稳轨 迹，必须将该限值取得很大；为了不漏判失稳轨迹，又必须将积分区间取得很 长；因此，数值积分法不但计算量大，而且紧密依赖于专家经验，另一个缺点 是只能回答特定算例是否稳定。它既无法估计稳定的充要条件，也无法量度受 扰轨迹的稳定程度；既无法判断一个原来稳定的系统在任何小的参数变化下是 否还能保持稳定，也无法估计应该将一个原来不稳定系统的某参数改变多少， 才能使系统稳定。由于物理概念和内部机理都被掩盖在数值运算中，故难以分 析各参数对稳定性的影响，也难以发现或解释非线性系统特有的一些现象。 暂态能量函数法或者说直接法即t e f 法( t r a n s i e n te n e r g yf u n c t i o n ) e g , l o 它 不是从时域去看问稳定问题，而是从系统能量角度去看稳定问题，从而可快速 作出稳定判断，而不必计算系统运动轨迹，即不必逐步积分计算。可以看出t e f 法计算速度快，能适应较大的非线性系统，给出系统的稳定度，但直接法有两 个较大的缺点：( 1 ) 模型简单( 只能用2 阶模型) ，而我们采用发电机2 阶经典 模型，不能计及励磁系统对稳定的作用；( 2 ) 分析结果偏于保守，此外在系统 很大，或受到一系列扰动时，计算速度，精度较差。 第1 章绪 论 另外，分歧理论是一种常用的非线性方法。它充分考虑了电力系统的非线 性特性，它用特征值结合多项式的高阶项，从数学解空间结构上来分析系统的 稳定性，能够解决系统在i 临界点附近的稳定问题“”1 。根据非线性系统的特点， 在临界点处会产生不同类型的分歧，由此而应用相应的理论和分析方法。例如， 当系统的雅可比矩阵有一个实特征根沿实轴由负变正，其它特征根均具有负实 部时，所发生的分歧现象被称为鞍点分歧。如果有一对共轭特征值横截地穿过 虚轴，这时所产生的分歧就是h o p f 分歧。可以看出分歧理论是针对系统在临界 点处运行的情况来分析的。 其实上述大扰动稳定分析方法和分歧理论，虽然都计及了系统的非线性， 判别出了系统的稳定性，但是都未给出大扰动后系统内部结构特征的任何信息， 也没给出系统内部的非线性相互作用，如模式间的非线性相互作用，模式与发 电机间的非线性相互作用及状态变量问的非线性相互作用，而正是这种系统内 部的非线性相互作用，主导着系统的动态行为。分析这种模式间的非线性相互 作用可以使我们更深入的研究电力系统( 包括交直流系统) 的动态行为，也可 以用来预测系统区域阅机组的分离，而且对控制系统的设计也有很大帮助。因 此我们必须要寻求一种既能判断系统稳定性，又能提供系统内部结构特征信息 的新方法。 1 3 应用向量场正则形理论研究电力系统特性的现状 电力系统是一个强非线性系统。单纯采用线性化的分析方法对系统的动态 行为进行研究，显然是不合适的。而传统的大干扰稳定分析的理论和研究方法 不能给出系统内部结构特征信息。因而，要正确有效研究现在非常复杂的多机 电力系统，必须寻求其它的新方法。 正则形向量场是一个标准的数学工具，通过相继的坐标变换，在稳定平衡点 附近消去非线性项，使电力系统微分方程线性化。在过去的十年里，正则形理论 已被用来研究和分析电力系统模式问的非线性相互作用，这些应用包括控制系统 设计和预测区域解列“1 。在文献 1 3 中定义了模式间的相互作用系数h 2 。, k z ，。2 。 表示了复合模式( 丑+ 五) 对1 个状态变量作用的强弱，并且提出了评价具有励 磁电力系统的非线性相互作用，并且确定了控制行为之间的相互作用，通过对一 东北电力大学硕士学位论文 个四机两区域系统的研究得出了如下结论：控制模式与惯性模式有很强的相互作 用，甚至于所谓的区域模式也有很强的相互作用；当控制基于纯的线性分析而设 计的，与励磁系统相联系的某些控制模式间的相互作用可能对控制性能产生很严 重的影响。有的学者在参数谐振的“”条件下，也做了这方面非线性模式相互作 用的研究。谐振通常是在两个或更多个模式的和几乎等于另外一个模式的时候发 生，而且系统在重负荷，大扰动或弱阻尼的情况下，谐振通常是不会发生的，然而 这种分析只适合于较小的系统。在文献 1 6 中，作者提出了一种基于分析不稳定 平衡点的不稳定流形的方法，来预测大扰动后系统的不稳定模式，然而这种方法 并没有对导致不稳定模式的机理做出解释。 在文献 1 7 1 ，作者提出了一种基于向量场正则形理论的新方法，来确定振 荡模式间的非线性相互作用。利用正则形理论分析电力系统可以给出在非谐振 条件下，状态变量到任意阶的积分。另外，这种近似还考虑了模式的结构，故 障和非线性的影响，从中可以看出非线性模式的相互作用可以从性质上改变系 统动态响应和大大的改变系统控制特性。在文献 6 j o e ，作者指出了高阶项对一 个的互联系统的暂态响应的影响的重要性。对2 阶项分析表明更多的振荡频率 影响着系统的响应，这些附加的频率是由线性模式的2 阶相互作用而产生的， 是线性化分析方法不能得到的。为了描述非线性互联系统的响应。文中形成了一 套基于正则形理论的分析方法，这种方法包括2 阶模式对系统特性的影响，从而 扩展了一些线性分析的概念，如特征向量，模式和状态变量间的相关性等。在文 献 1 8 】中，作者提出了一个系统的方法来预测大扰动后系统的结构特性，尤其用 向量场正则形理论预测了大扰动下系统区域间机组的分离现象。文中提出了一 个辨识区域闯机组分离的分析指标，并用算例证明了文中提出的指标，能有效地 抓住系统的内部结构特征，能够准确地预测大扰动下系统的动态行为，而且这 种分析可以准确地预测系统发电机组间发生区域间机组分离，还是本地机组分 离。在文献1 1 9 ，2 0 中，作者指出在互联系统中，有很多非线性因素的影响，对控制 系统的设计传统的线性化设计方案有很多局限性。文中提出了一个系统地辨识 临界模式的方法，临界模式包括临界惯性模式和临界控制模式，其中临界惯性 模式是一组弱阻尼的惯性模式，这种模式受故障严重干扰，而且和其它模式有 很强的非线性相互作用。文章中指出模式间地非线性相互作用对控制器特性的 第l 章绪 论 影响，并且提出了考虑这种非线性相互作用的时候地控制器设计方法。f o u a d a a 小组自1 9 9 6 年以来运用n o r m a lf o r m 研究电力系统的稳定性。近两年来，又用 n o r m a lf o r m 来预报电力系统的失稳模式叫4 一。 在国内，文献 2 4 提出了一种运用非线性系统理论确定电力系统暂态稳定域 的新方法，作者从非线性系统稳定域边界理论出发，论述了非线性系统的不变 稳定流形与其映射后的线性系统的不变稳定子空间的关系，从理论上确定了非 线性系统的稳定边界；推导了特征值全为实数和包含任意对复数情况下的非线 的方法，从理论上给出了平衡点附近的局部稳定边界。由所有不稳定平衡点附 近的局部稳定边界构成故障后电力系统的完整的稳定边界，并由持续故障轨线 与主导不稳定平衡点处的局部稳定边界的交点确定了临界切除时间。文献 2 5 1 提出了确定电力系统临界切除时间的定理，并通过算例证明其正确性。 上面所有文章应用正则形理论都是在假设没有发生谐振的条件下进行的。 然而，系统运行时通常系统参数和运行条件都在很大范围内变化，因此，系统 的结构特征将发生变化，振荡模式也可能发生谐振。在文献 3 】中，作者提出了 在谐振条件下的正则形理论，给出了整个参数空间而不止是某一个或某几个点 辨识谐振区域和近似谐振区域的方法，找出了系统的易损或者说易失稳区域，并 且提出了在x 坐标下判断系统非线性的指标。 1 4 本文所做的工作 如何分析这种强非线性系统，不论是对作理论研究，还是对实际系统运行、 分析与控制都是非常重要的。本文运用向量场正则形理论分析了系统的动态特 性，不仅能够判断系统是否稳定，而且得到了一些重要系统内部结构信息，例 如2 阶相关因子、系统状态方程2 阶解析解等，这对实际系统的分析、设计与 控制有一定的指导意义，为分析复杂的多机电力系统的稳定性提供了一个有效 的工具和途径。本文主要做了以下工作： 1 、建立适合研究多机电力系统非线性动态特性的数学模型。 2 、本文进行了正则形理论公式的推导及计算过程的说明。 3 、采用精确的高盼动态微分方程和多维代数方程，作为多机互联电力系统 的数学模型。利用数值微分方法求取海森矩阵，实现了向量场的正则变换。 东北电力大学硕士学位论文 4 、利用向量场正则形理论，成功的分析了大干扰下四机两区域电力系统的 动态特性：非线性指标、2 阶解析解、以及提出的验证二阶解析解有效性的三个 指标等。这些都是传统的分析方法不能达到的，从中我们获得了许多新观点和 新见解。 5 、最后利用m a t l a b 语言编程仿真，验证本文所提方法的正确性和有效性。 第2 章多机电力系统数学模型 第2 章多机电力系统数学模型 2 1 引言 对于任何电力系统动态稳定研究，必须选用一个正确而合适的电力系统模 型，使它包括研究问题有关的全部重要部件，并排除与问题无关的不重要部件。 因此，研究电力系统稳定性的模型化工作一直受到很大的重视。而数学模型的 正确性和准确性是保证计算结果的正确性和准确性的基本前提。 分析任何复杂系统的一般方法是：由简单到复杂，由局部到全体。电力系 统计算亦是如此。庞大而复杂的电力系统首先被分解为一个独立的基本元件， 如发电机、变压器、输电线、励磁调节器和负荷等，然后运用电工理论和其他 相关理论分别建立单个元件的数学模型。元件的数学模型是构造全系统的数学 模型的基本砖石。有了各种元件的数学模型，进一步根据电力系统的专门知识 和这些元件在一个具体系统中的具体联系，从而可以建立全系统的数学模型。 全部电力系统的表达式包括描述同步发电机、与同步发电机相关的励磁系统和 原动机及其调速系统、负荷，其他动态装置等动态元件的数学模型及电力网络 的数学模型。电力网络将系统中所有相互独立的动态元件联系在一起1 。在下面 几节中将具体介绍本文中电力系统各环节所使用的数学模型。 2 2 同步发电机的数学模型 同步发电机是电力系统的心脏，它是一种集旋转与静止、电磁变化与机械 运动与一体，实现电能与机械能变换的元件，其动态性能十分复杂，而且其动 态性能又对全电力系统的动态性能有极大影响。因此，同步发电机的动态特性 或者说动态数学模型是研究电力系统动态行为的基础。 在电力系统稳定计算中采用的同步电机数学模型，包括转子运动方程、电 流电压方程以及电磁暂态过程三部分，其中转子运动方程描述转子运动的机械 暂态过程；电流电压方程式反映接入网络后，同步电机电势与极端电压、电流 卧 一辅北 弘。 i 堕：慨一l 砌 d t ”( 2 - - 2 ) lt ：r一r,d“)-t j 厶2 国( 2 - - 3 ) 第2 章多机电力系统数学模型 其值取为1 。 2 发电机组除了转子在转动过程中具有机械阻尼作用外，还有发电机转子 闭合回路所产生的电气阻尼作用。通常近似认为总的阻尼功率的大小与转子的 转速成正比，并用阻尼系数d 与转速0 2 , 的积反映。 考虑到以上两个因素，刚体转子的运动方程就可以写为( 除时间t ，t j 外， 其它变量均为标幺值) ： f 堕：彩一1 盘。(2-4) 【乃警= 只一e d ( r o - i ) 对于一般的暂态稳定性分析，将发电机和原动机的转子看成一个集中刚体 时，不会引起明显的误差，而次同步谐振问题则不然。 ( 3 ) 、转予绕组电磁暂态方程 e 口= = j t e 搿一e q 一晖d x d ) i d ) ( 2 - - 5 ) 式中，乙为发电机d 轴开路暂态时间常数；占。为发电机励磁绕组输入电动势。 2 3 电力网络方程及坐标变换 电力网络是指输电线路、电力变压器、串并联电容器等静止元件所构成的 总体。根据研究的需要选用不同的研究方法。这里我们采用节点导纳阵来表示 网络方程 阶吼 c z 吲 其中，i x t ，以为节点电流列向量x 轴j ，轴的分量；比，为节点电压列向量x 轴y 轴的分量；匕为节点导纳阵。 在电力系统的网络方程式中，电压和电流是以电力系统的公共坐标轴( x 轴， y 轴) 上的分量来表示的，但在同步电机方程式中，各发电机电压和电流都是以 发电机本身的坐标轴( d 轴，4 轴) 上的分量来表示的，因此二者之间需进行坐 标交换。发电机电压和电流的露轴，譬轴分量与茗轴，y 轴分量之间的关系为： 荆篡考：翻 c z 吲 阱瞄嚣 列 c z 吲 令 霉= 瞄盖 即t=diagtj(2-9) 显而易见 霉一= 彳= 互( 2 - - 1 0 ) 由式( 2 7 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 ) 得 吼= 臣l ( 2 - - 1 1 ) 其中圪= 砜t ( 2 - - 1 2 ) 2 4 负荷等值 电力系统用电设备总成为负荷。负荷是电力系统的一个重要组成部分。分 析电力系统在各种状态下的行为必须建立负荷的数学模型。负荷的数学模型通 常有以下两种： ( 1 ) 、负荷动态模型：是指电力系统综合负荷在系统频率和电压快速变化 时，其相应的负荷特性可用微分方程描写。在电力系统中的动态负荷主要是感 应电动机。 ( 2 ) 、负荷静态模型：是指负荷的有功与无功功率在系统频率和电压缓慢 变化时相应的变化特性可用代数方程( 或曲线) 描写。对于电压和频率变化较 快的动态过程，在精度要求不太高时，可以近似采用这种模型。 ( 3 ) 、线性负荷模型：是指在电力系统分析中有时可以进一步近似认为负 第2 章多机电力系统数学模型 荷全部为恒定阻抗，认为在暂态过程中负荷的等值阻抗保持不变，其数值由扰 动前稳定情况下负荷所吸收的功率和负荷节点的电压来决定。这种负荷模型十 分粗略，但是可以极大地加快计算速度。同时，由于本文的研究重点不在于此， 所以就选用恒阻抗模型，这样，除了在形成网络的导纳矩阵时要用负荷阻抗去 修正负荷节点的自导纳以外，在动态稳定计算的过程中，不必对这类负荷作任 何其它的特殊的计算，减小了计算量一。 2 5 本章小结 本章主要讲述了电力系统稳定分析中的全系统数学模型：包括同步发电机 模型、励磁系统模型、电力网络模型和负荷模型。在得到各部分模型后，消去 负荷节点，在发电机方程、网络方程和机端电压方程的基础上，通过对网络方 程的化简和坐标变换，形成状态方程。 东北电力大学硕十学位论文 第3 章向量场正则形( n o r m a i f o r m ) 理论 3 1 引言 正则形理论是研究非线性系统的一种有效方法。近年来，已被许多专家学 者应用到电力系统中，来分析互联系统的复杂动态特性。 向量场正则形理论主要是对原系统微分方程，在故障后平衡点工。处作泰 勒级数展开，然后经过一次线性变换和一次非线性变换，把x 空间中变量及方程 变换至y 空间，然后到z 空间( n o r m a lf o r m 空间) 。从而在非谐振条件下，可以 把非线性系统变换为z 空间中的线性系统。通过进一步对z 空闻变量进行分析， 再由逆变换变换到肖空间，求出x 空间的时域解及其它信息。 3 2 正则形理论 根据上一章多机系统数学模型，形成系统的状态方程： 膏= f ( 弘甲) x r ”( 3 - - 1 ) 式中z 为系统状态变量，系统的阶数为n 阶，甲是由各机电压、电流组成的中间 变量。 对受扰动后的系统进行初始化，求出各状态变量的初始值也即平衡点的值 以铲。将式( 3 1 ) 在平衡点处进行泰勒展开，忽略2 阶以上高次项，则非线性 系统为 文：a x + 三x t h xx r n ( 3 - - 2 ) 2 式中彳为系统系数状态矩阵，也即雅克比矩阵4 = a f a x 。，x r 为状态向量的 转置向量，为系统海森矩阵，口= p 2 ，胁，a t 】。 式( 3 2 ) 也可表示为 i t = a 。x + 毛x t h | x ( 3 - - 3 ) 第3 章向量场正则形( n o r m a lf o r m ) 理论 其中葺为状态向量x 的第f 个分量，4 为雅克比矩阵a 的第衍f 构成的向量， 为海森矩阵日的第f 个分量矩阵，日= a 2 f 7 a x j a x i 】，海森矩阵的具体求取 下面会讲到。 设系统右特征向量矩阵为u ，u 满足4 u = u 以，对( 3 2 ) 式作线性变换 ( 即约当变换) x = u y 。令v 7 = u 。为系统左特征向量矩阵，满足矿a = 正x v ， ，为矩阵a 的特征值的对角矩阵，则y = u - 1 工= v x ，即 只= 至勺 ( 3 4 ) 式中只为约当空间中第i 个变量，吒为左特征向量矩阵矿的第衍亍_ ，列元素。对 式( 3 4 ) 两边求导得到 舅= 善南( 3 - - 5 ) 将( 3 - 2 ) 式代入( 3 - 5 ) 式得到 旁。磊n t2 薹巧 z 7 日2 盖屹4 防+ 号刍y 7 u 7 日7 w = 7 - - ( n a j u x 7 + 日( ，) 】，= j ，+ 】，7 n(3-6)v,auy+y cy 其中，c 1 = 寺嘭7 h 9 们= 【】 y 7 c 。y = 。，：，。tj # c l 耋 = ( y iy 2 y 。 #nnhn 。y t 舌c ：乃+ 耽舌c ：y ，+ + 只舌矗m 。舌舌c ：以乃 因此，变量x 变换至】，空间可以得到 nn 萝f = 丸y f + 暑二c k y i y l t o f 3 i ( 3 7 ) ( 3 8 ) 乃 乃矗；岛 。管m。m ，jl-1，i 式( 3 8 ) 中，弘，儿，乃为】，空间中第i , k ，个变量，丑是系数矩阵a 的第i 4 特征值。 式( 3 - 8 ) 也可以表示为 p = 以l r + e ( y ) yr”(3-9) 其中k ( 】，) 为2 阶及以上项。 对式( 3 - 8 ) 进行正则变换】，= z + h 2 ( z ) ，或者说对式( 3 - 9 ) 进行正则变换 y - 2 2 s + 舌舌 2 ：毛乃，可以得到 ，2 2 丑刁当( 以， ， ) ( o ，厶，以) ( 厶，以，以) 时( 3 - - 1 0 ) l j ，= 以：。+ ( c 二+ c ；) z ，z q ! 五。= 2 p + 厶时 其中z ，z 。，z ，白为正则形变量，c 二。c ：分别为c _ 矩阵的第p 行口列和第g 行第p 列元素。非线性变换系数或称为非线性相关系数 2 ：为， 当( _ i ，f ) ( p ，g ，小) ( g ，p ，聊) 时 ( 3 1 1 ) 当以= 一+ 厶时 这是一个非常重要的物理量，它表明了模式闯非线性相关作用的大小。 当( 九，五，丑) ( a ，厶，以) ( 厶，五，以) 时，系统不发生谐振，经过约当变换 和正则变换后，在正则空问里原系统为线性系统。通常在基本运行点处这一点 是很容易满足的。然而，系统运行时通常系统参数和运行条件都在很大范围内 变化，因此，系统的结构特征将发生变化，振荡模式也可能发生谐振。 当以= 五。+ 九时，系统发生2 阶谐振，系统星现出很强的非线性，在正则空间 里，系统仍然是非线性系统。数学上，谐振指系统中固有的强非线性；从物理 角度看，谐振及近似谐振指系统暂态过程中的持续振荡。 我们可以求出，正则空间里系统的时域解 r z ，( f ) = z i o e ； i m 时； ，o1 0 、 l z ，( f ) = 护u + ( c 三+ c 品) z ，。毛。t e l , 7 i = 掰时； 一乃 一一 o 鱼蚋，：。 一 砚 i | = ，材 w 舟 2 2 矗 、_，l 第3 章向量场正则形( n o r m a lf o r m ) 理论 式中，刁。为正则形变量初值。利用上述正则变换式，可以得到不发生谐振时， 约当形系统式( 3 - 8 ) 的2 阶解析解： 乃( f ) - - - - z l o p 却+ 西2 0 z i o z i o e m 鲫 ( 3 1 3 ) k f f i l - i 有了约当形系统的2 阶解析解，通过约当变换的逆变换，就可以推出原系 统非谐振时的2 阶解析解 nnkn 墨= z 扣p 审+ 勤磊2 0 z l o z ，0 口矗蚋 ( 3 1 4 ) j - jj l k = ln 这里z 空间变量初值z 。的求解过程如下： x o = b - - x s e p ( 3 1 5 ) 其中b 是故障切除时状态变量的值；是平衡点处的状态变量的值。对式 ( 3 - 1 5 ) ，根据石= u y ，可以德到 r o = u 。( 3 - - 1 6 ) 这样m y 。代入下式中，解非线性方程组就可以求得知。 。2 毛。+ 荟荟厅2 0 以。z m ( 3 - - 1 7 ) 至此我们可以看出式( 3 - 1 4 ) 包含了系统1 阶项和2 阶非线性项，如果不发 生谐振，2 阶非线性项经正则交换后就退化了。因此，在2 阶变换有效的范围内， 2 阶正则系统和线性系统具有相同的稳定性：当发生谐振时，( 3 - 1 4 ) 式中的2 阶 非线性项经正则变换后就不能退化了，此时系统的解不再是纯指数形式的，而可 能是t e + 山”和t 2 e 2 ，因此一些非线性模式的相互作用形式为t e 厶+ 彬和t 2 e 2 却。 这些非线性项在初始时刻即t = 0 时的影响显示不出来，而随着时间的增长，他们 的影响越来越大，当达到最大值后，根据特征根的实部的符号又可能变为零，呈 现出很强的非线性。当五。是弱阻尼振荡模式时，暂态过程中的最大值可能会非常 大，而这一过程经历的时间又极短，这种现象对电力系统稳定会造成很大的威 胁。 东北电力大学硕士学位论文 3 3 数值微分( n d 算法) 的应用 数值微分的定义4 ”：如果函数，( 功是以表格的形式给出，近似地求出函数 在某点的导数值，或者说某点上函数的导数厂( 的，用该点附近节点上的函数值 近似表示。下面介绍本文中采用数值微分计算海森矩阵的部分：海森矩阵的求 取伽。 由于电力系统的状态方程是由状态变量和中间变量共同组成的，只有从状 态方程、非线性网络方程和机端电压方程中消掉中间变量，才能得到仅含状态 变量的封闭的状态方程，进而解析求得系统的海森矩阵，再求得非线性正则变 换系数。但由于非线性网络方程的存在，要从机端电压方程和网络方程中消掉 中间变量，得到封闭的不含中间变量的状态方程，是根本办不到的。按照以往 线性化方法得到的雅克比矩阵，也只是系统一阶偏导数在平衡点处的值，是无 法继续求海森矩阵的。即使走别的解析求导的渠道，也将是件困难和繁杂的 事情。本文避开了解析求导，在系统雅克比矩阵的基础上，利用数值微分的方 法求取状态方程的海森矩阵。 首先求取原始系统( 3 1 ) 的雅克比矩阵： a + ：盟掣 ( 3 1 8 ) 其中，x = ( 6 ，国，e ，) 7 。这实际上是要在a 的基础上，当自变量x 产生微增 量时，看函数= l 将怎样变化。 海森矩阵是利用数值微分方法在系统雅可比矩阵a 的基础上求取豹。 i 妒( 扎+ ) 犯瓴一) 1 删= 襄= 丢= 臣2 。h x k 习= 百a g + - a g _ c s 峭， 其中a t j + ，4 一为矩阵4 的第i 行第j 列元素，增量的选取和数值微分精度问题见 文献 1 l ，3 0 一3 3 。 虽然都是2 阶偏导数形成的矩阵，但h 2 与海森矩阵日中的元素是不同的， 所以，要注意h 2 。与日。中元素的对应关系，例如h j ，。= h 2 ，。，也就是。的第j 第3 章向量场正则形( n o r m a lf o r m ) 理论 行元素是h 2 j 中的第i 行元素。 3 4 本章小结 本章讲述了系统非线性二阶解析解的求解过程。把系统经过约当变换和正 则变换两次变换，得到线性系统后，在进行反变换，求出了非谐振条件下，系 统状态方程的二阶解析解。同时用数值微分方法求取了海森矩阵。 东北电力大学硕十学位论文 第4 章应用正则形理论分析电力系统动态特性 4 1引言 由于线性化分析方法仅仅分析了状态变量与模式间的1 阶相关性，并未涉及 到更高阶的项，而且只有在小扰动下，系统的非线性较弱的情况下才适用。现在 复杂的多机电力系统，存在很强的非线性，而且线性化分析并未考虑扰动的性质 ( 只适用于小扰动) ，没有考虑那些模式间非线性相互作用的影响，如控制变量 与临界机电振荡模式之间的相互作用亦即相关性，控制模式与低频振荡模式之 间的相互作用。这种相关性或者说相互作用是由系统的非线性而造成的。从数 学模型来看就是：把原系统在平衡点处展开成泰勒级数后由2 阶( 海森矩阵) 及以 上项引起的。我们可以看出这是由线性分析方法本身所造成的，是特征分析方法 无法克服的。所以，只有把原系统在平衡点处展开成泰勒级数后保留更高阶项， 才能从本质上解决问题m 1 。向量场正则形理论正是把系统进行泰勒展开保留了2 阶项。因此，它能分析许多线性化分析无法的得到的系统特性。 4 。2 应用正则形理论分析电力系统动态特性 4 2 1 线性相关因子 系统的1 阶解析解为： x ( f ) = u 毛 v7工