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船舶倾覆前时间的概率的研究 摘要 一横浪情况下的船舶倾覆问题，只在严重海浪下才会发生，因此是一个 强非线性问题。船舶倾覆的发生是一次性的，即倾覆一旦发生就不可能 恢复到原来的未倾覆状态，首次通过的概念正好可以用于船舶在波浪上 倾覆性能的研究。要研究船舶倾覆问题，必须求出随时问演变的概率密 度分布函数，可应用在时间域内解相应的f p k 方程的方法求得。由于这 一方程的求解比较困难，近代提出了一个比较有效的办法可以简化这一 问题的求解，就是应用路径积分法。应用路径积分法求解平稳过程的概 率密度分布函数已有很多人研究证明过。但是船舶倾覆是非平稳问题， 需要研究的是船舶倾覆概率密度分布函数随时间演变的过程，到目前为 止，还没有人做过这方面的工作。所以，这一方法是否可用于解首次通 r 过问题尚待考核，而本文的目的正在于此：厂 本文主要讨论求解船舶横对随机波的倾覆概率时，用路径积分法解首 次通过问题的可用性。文中对假想船舶在白噪声波上的倾覆用路径积分 法和有限差分法两种方法求解。诗虑到四维问题的复杂性，在不影响结 论的条件下，本文将问题简化为二维问题。两利，方法得出的船舶倾覆前 时间( 首次通过时间) 的概率分布基本相同。、7 关键词：船舶倾覆，概巅路径积分法，首次通影有限差分法 ， t h es t u d yo fp r o b a b i l i t y o ft i m e b e f o r es h i p c a p s i z e s h i pc a p s i z eo n l yo c c u r si nt h et e r r i b l es e a s t a t e s s oi t , i sas t r o n g l yn o n l i n e a rp r o b l e m i tc 觚b e s o l v e dt h e o r e t i c a l l yb yu s i n gt h em e t h o do fm a r k e rt h e o r y s h i pc a p s i z ei nag i v e nr a n d o mw a v e i sa l l i r r e c o v e r a b l ee v e n t ，t h a ti st os a y , as h i pw o u l dn e v e rc o m eb a c kt oi t sb a l a n c ep o s i t i o no n c ei tc a p s i z e d t h e c o n c e p to f f i r s tp a s s a g ei ss u i t a b l e t os t u d yt h ec a p a b i l i t yo f s h i pc a p s i z eo nr a n d o mw a v e s - i no r d e r t os t u d yt h es h i pc a p s i z ep r o b l e m ，t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nw i t ht i m em u s t b es o l v e d s o n i n g t h ec o r r e s p o n d i n gf p ke q u a t i o ni nt i m ed o m a i nc a nb eu s e dt og e tt h ef u n c t i o n - b u ti t i sv e r y d i f f i c u l tt os o l v et h ef p ke q u a t i o n av a l i d l m e t h o dt os i m p l i f yt h ep r o b l e mw a sb r o u g h tf o r w a r di n m o d e mt i m e s 。t h a ti sp a t hi n t e g r a ls o l u t i o n ( p 1 s ) m e t h o d t h e r ea r em a n yp e o p l ew h o u s e dt h i sm e t h o d t os o l v et h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yd i s t r i b u t i o nf u n c t i o no fas t a b l ep r o c e s s b u tt h es h i pc a p s i z ei s f i n u n s t a b l ep r o c e s s ，w h a tw en e e dt os t u d yi st h ee v o l u t i o np r o c e s so fs h i pc a p s i z ep r o b a b i l i t yd e n s i t y d i s t r i b u t i o nw i t ht i m e u pt 川n o w , f e wp e o p l eh a v ee v e rd o n es u c hw o r k s o 。t h ea p p l i c a b i l i t yo fu s i n g t h i sm e t h o dt os o l v ef i r s tp a s s a g ep r o b l e ms t i l ln e e d sc h e c k i n g ，a n dt h i si s j u s tt h ea i mo f m yt h e s i s i nt h i st h e s i s ，w h a tw em a i n l yd i s c u s s e di st h ea p p l i c a b i l i t yo fu s i n gp i sm e t h o dt os o l v ef i r s t p a s s a g ep r o b l e m b o t hp i sm e t h o da n df i n i t e d i f f e r e n t i a lm e t h o dw e r eu s e dt os o l v es h i pc a p s i z e p r o b l e mi nw h i t en o i s ew a v e s c o n s i d e r i n gt h ec o m p l e x i t yo ft h e4 dp r o b l e m ，w es i m p l i f i e dt h e4 d p r o b l e m t o2 dw i t h o u te f f e c t so nt h er e s u l t s t h er e s u l t so f t h e s et w om e t h o d sf i tw e l l k e y w o r d s ：s h i pc a p s i z e ，p r o b a b i l i t y , p a t hi n t e g r a l ，f i r s tp a s s a g e ，f i n i t ed i f f e r e n tm e t h o d 圭塑奎塑盔堂堕主兰堡丝! ! 一 1 1 倾覆问题的研究现状 第一章绪论 对营运中的船舶来说，船舶倾覆是极为重要的恶性事故，它与重大财产损失和人员伤亡密切 相关。倾覆开始发生后，在短短的几秒钟内，就会发展到完全倾覆状态。在如此短暂的时间内向 要抢救船上的人员和物资是根本不可能的所以，船舶倾覆一旦发生，实际上就意味着整条船人 员和物资的完全丧失和沉船事故相比，船舶倾覆事故的危害性要大得多由于船舶倾覆的研究 要涉及到随机海浪外干扰力和横摇恢复力矩的强非线性性质的处理，而这些问题的处理理论界 一直没有能够得到很好的解决问题的复杂性和理论工具的缺乏导致了造船界对船舶倾覆问题上 不能进行深入的研究目前各国的造船实践中，大多只能提出一些经验性的要求诸如对船舶静 稳性曲线的某些特性做一些限制来保证船舶的稳性来防止倾覆的发生一 近年来，随着世界经济的发展，人们越来越重视船舶航运的安全性，有关船舶事故的研究， 特别是如何防止诸如船舶倾覆等恶性事故的研究越来越受到人们的重视。同时，计算机技术的发 展和近年来许多新的数学理论和数学方法的提出，也为最终解决船舶倾覆问题提供了新的可能 性目前这一领域的研究主要集中在以下几个方面： 1 模型实验 模型实验是研究船舶运动的传统方法，同时也是最可靠的 ：具。但模型实验给出的往往是离 散的数据，只有经过必要的理论分析才能给出我们需要的结果。因此，一般模型实验要伴以相应 的理论分析或数值模拟才能给出较为有意义的结果。同时船模实验花费很大，这也限制了这种方 法在实际研究中的应用。作为船舶倾覆问题研究的基础，模型实验主要用以发现新的现象辨明 新的倾覆机理，为进一步的理论研究工作指出方向。 2 数值模拟 随着计算机技术的迅猛发展。船舶运动的数值模拟逐渐成为可能井在近年来得到越来越多的 重视运用数值模拟方法不需要修建大型的船模水池，而计算机设备的投资相对较少。因此，运 用数值模拟的方法来进行船舶倾覆性能的研究具有省时省力和投资少的优点，是今后理论研究的 个重要发展方向目前，研究船舶在波浪中运动特性问题的方法有多种不同的数值模拟方法 主要可以分为以下两类： 1 ) 考虑线性或非线性水动力作用，在频率域内求解。但由于船舶倾覆问题是强非线性问题， 频领域内求解所必需的叠加原理基本不成立。所以这种方法一般不用于求解船舶大倾角 横摇和倾覆问题 2 ) 考虑线性或非线性水动力作用，在时间域内求解。这种方法是频率域内船舶运动的线性 问题的直接推广，具有计算模型和船舶的几何形状和波浪参数关系直接的优点，是船舶 倾覆问题研究中最为常见的方法 时间域内求解船舶倾覆问题需要考虑流体动力计算以及流体和船舶建相互作用的处理作用 在船舶上的流体动力大致可分为三类：势流或理想流体作用力、非理想粘性流体作用力以及甲板 上浪的作用力理想势流的情况已经得到很好的解决，但非理想粘性流体的情况却复杂得多现 有的各个时间域内船舶运动的数值模拟程序往往采用某种经验模型来估算船体和附体所造成的粘 性力。所以，在时间域内求解船舶倾覆问题时也往往采用某种混台方法：船舶运动的模型建立在 占竖奎望盔堂堡主堂堡丝塞 线性船舶运动理论基础上，但同时又考虑到一些非线性效应 p a u l l i n g ，d ek a te ta l 以及k r i n g e ta l 等在运用数值模拟技术研究船舶倾覆问题方面取得了很 大的进步，但这种技术的应用目前还受到很多限制。同时，非线性动力学的发展也使人们认识到 单纯依靠数值模拟技术的不足。现代非线性动力学指出当系统的各项参数组合位于某一特定的 1 范围内时，系统将具有混沌的特性。此时初始条件的极小差异将导致截然不同的最终结果，这就 是所谓的非线性系统的蝴蝶效应。由于计算机系统离散性的特性使得完全精确的表达初始条件是 不可能的。我们只能给出某种程度上的近似值当系统的参数满足特定的组合时由于蝴蝶效应， 使得晟终的数值模拟结果变得不可靠。 3 理论分析 对船舶倾覆问题的全面研究离不开理论分析，无论是模型实验还是数值模拟，除非进行大规 模的系统的实验或模拟，我们得到的都是个别的时历。只有辅之以理论分析才能使我们对于船 舶倾覆问题有一个较全面的认识船舶倾覆问题的困难主要在于问题的非线性和所受外力的随机 性，特别是前者非线性问题的处理一直都是困扰理论界的难题。仅从船舶本身的特性来说，其 阻尼和复原力都是非线性的，怎么处理这些非线性性质，是各种理论分析方法必须首先解决的问 题。为了解决这一问题，有以下几种选择： 1 ) 处理倾覆问题的摄动法 摄动方法是从上世纪末发展起来的较为成熟的处理非线性问题的理论方法。和线性项相比， 将非线性项看成小量，并将最终结果展开成这些小量的各阶摄动展开项的形式。这样，运用摄动 法就可将原先的非线性方程转化为相应的各阶线性方程的形式求解作为处理非线性问题的成熟 方法，摄动法在船舶倾覆问题的研究中得到广泛的运用但摄动法主要是用于求解弱非线性问题。 而船舶倾覆和船舶大倾角运动直接相关此时船舶的运动特别是其回复力臂呈现出很强的非线性 特性，摄动法所基于的非线性部分是小扰动的假定已不再成立这大大限制了摄动方法在船舶倾 覆问题研究领域中的应用另一方面，摄动法得山的结果是一些稳态解。和倾覆发生密切相关的 船舶横摇的动态特征并没有得到很好的反映摄动发求解的结果只能提供一些线索，但并不能使 我们很好的认识到船舶倾覆的机理。 2 ) 处理倾覆问题的非线性动力系统理论方法 动力系统理论是本世纪发展起来的一种研究非线性问题的强有力工具。它在由系统的广义位 移和广义动量张成的相空间内研究系统的运动此时系统随时间的变化在相空间内描绘出一条积 分曲线研究这条积分曲线以及和它具有相近初始条件的一族积分曲线的性质就可以对系统的运 动情况有一个整体的把握现代非线性动力系统理论解释了非线性条件下许多特有的现象，如分 叉和混沌等，是解决船舶倾覆等非线性问题的有力工具。近年来，越来越多的学者开始应用非线 性动力系统理论研究船舶倾覆问题，井取得了许多有意义的发现。非线性动力系统理论的发展和 人们对混沌现象的认识在人类探索自然秘密的征途上是一个里程碑非线性动力系统理论的研究 成果提示我们。某些复杂现象背后的机理可能是很简单的。它还提示我们很多情况下数值模拟 的结果很可能是不可靠的，初始值的极小误差很可能导致截然不同的最终结果船舶倾覆等强非 线性问题的最终解释离不开非线性动力系统理论的发展目前的研究还是集中在低维问题，所得 的结果也大多是一些定性结果如何在非线性动力系统中考虑随机力的影响都是亟待解决的问 题，如何应用非线性动力系统理论研究船舶倾覆问题也是很有意义的研究方向 3 ) 处理倾覆问题的随机方法 当船舶在实际海浪中运营时，由于实际海浪时随机的因此船舶的响应也将是随机的离开 了这一随机特性研究船舶的响应是很不完善的。当船舶在随机波浪上作大幅度横摇时，由于船舶 倾覆问题的强非线性特性，严格说来，即使波浪外载荷输入是平稳的。也不能保证响应仍然保持 平稳这可以由方程的系数与运动本身有关来说明因此，将运动看成平稳显然与实际相差太远。 2 瓣一 占塑塞望查堂堡主堂竺笙塞 实际上，船舶在风浪中的倾覆除去和船舶本身运动特征有关之外，还大大取决于波浪的历时模 型实验结果表明，船舶的横浪倾覆本身所要求的实验时间尺度大大超过了一般耐波形的实验要 求。这可以理解为非线性作用的控制结果由于非线性作用，船舶在发生倾覆前的横摇既不是正 态的也不是平稳的因此。我们不能采用通常的处理线性系统的平稳概念来进行分析，而必须 采i h 不同于原来常用的概率分布的其他适合的参数 理论上研究处理强非线性系统在随机干扰下的状态，可以采用马尔科夫理论的方法一般我 们感兴趣的动力系统，如船舶大幅厦运动及倾覆问题t 均可用多元一阶微分方程组来表示如果 方程的外干扰力或右端函数为白噪声，则这一方程的解为一无后效过程，从而可以应用与马尔科 丈过程有关的一系列方法进行研究。马尔科夫过程理论，特别是伊藤随机微分方程理论说明一个 微分方程在白噪声驱动下的解为一马尔科夫过程，并且给出了由原方程计算确定系统的漂移系数 及扩散系数的方法，从而提供了我们由相应的f p k 方程求解概率分布的一种可能途径。 从理论上讲这一方法是有可能的，但在具体求解上却远不是如此简单。由于在实际情况下我 们不可能仅考虑自噪声，而应考虑统计特性满足一定波谱的实际波浪，囡此。需要运用所谓非线 性滤波器的方法处理非线性随机波。将一列白噪声输入通过该非线性滤波器作用后即可得到我们 要求的非线性随机波联立船舶运动方程和非线性滤波器方程，则得到左端为一个多元一阶微分 方程组。而右端输入为白噪声，就可以运用马尔科夫过程理论求解这样。即使在一维单自由度 横榴情况，方程也将是多维的。从而加大了求解的难度 应用这一方程，理论上可以在给定初始条r j ：和波浪的情况下求解在各个时刻的转移概率分 布。船舶倾覆的发生是一次性的。即倾覆一旦发生就不可能回复到原来未倾覆的状态首次通过 的概念正好可以用于船舶在波浪上倾覆性能的研究。运用所谓“首次通过”的概念，在求的各个 时刻的转移概率之后，应用上而得山的不定常概率分布( 以时问为参数) ，可以计算山给定时间 内实现没有达到边界( 由倾覆发生条件确定) 的概率。即我们所要求的给定持续时间内的不倾覆 概率 实际上，从上述理论框架出发，只要我们能正确的给山控制船舶倾覆的非线性系统微分方 程，我们就可能计算山在给定的随机波浪上的倾覆概率所遇到的只是计算与具体求解的问题 但求解这一多元f p k 偏微分方程组并非易事p f k 方程的求解可采用两种方法：解析法或特征 函数法及数值求解解析法比较繁复，尤其是在多维的情况下将十分复杂；而由于特征转移概率 是时间和空间的函数，运用数值方法求解也十分繁复。近代提山的路径积分( p i s ) 法可以用来 简化这个问题的求解。这一方法已为不少学者应用与求解定常状态的转移概率。但从理论上讲。 并不是限于定常解的。将这一方法和首次通过方法相结合，就有可能解出船舶在给定海浪上的倾 覆概率 p i s 法是利用马尔科夫过程的特性。即所谓的马氏链或c h a p m a n k o r m g o l o v 定理在求得某 一极小时间间隔上的转移概率表达式之后，即可求得系统在牾个时间端上的概率分布p i s 法通 过漂移系数矩阵和扩散系数矩阵与动力模型相联系。p d f 随时间的发展，如由p i s 所显示的，直 接由这些系数矩阵确定这是沈栋博士论文中所提方法的极人优点实际上。船舶横要运动这一 强非线性方程的解的形态，都是由这些系数或决定这些系数的方程中的非线性函数所决定的 由此可知，f p k 方程和非线性运动方程之间确实存在某些内在的联系由伊藤随机方程可以 看出，一个非线性状态方程其形式上与相应的随机微分方程是类似的。非线性函数项的作用体现 在最后形成的漂移系数和扩散系数中。与船舶自身运动量有关的非线性项。具体表现为阻尼项在 漂移系数中体现；而与外干扰有关的项则出现在扩散系数矩阵之中 沈栋博士的工作就是研究随机波浪作用下的船舶倾覆问题。由于发生倾覆的因素十分复杂， 为了简化问题，仅就零航速横对浪作用下的船舶倾覆进行讨论这并非因为其他情况不重要。而 是因为这样突出了矛盾的主要方面，对在随机波浪上的倾覆问题，可以找出一个解决确定倾覆可 能性的办法【6 1 中应用马尔科夫理论过程，通过求解相应的f p k 方程得到船舶横对浪时的横摇 运动概率特性，并应用首次通过的概念确定船舶倾覆实际发生前倾覆可能发生的概率随时问的分 布。这一方法在原则上可以适用于包含任意多个自由度问题的求解，但限于计算机条件等因素的 制约只讨论了单自由度横捅运动他主要作了以下的工作： 、 ( i ) 推导了表征随机横浪作用下的船舶非线性横摇运动的f p k 方程。 其中阻尼项考虑了线性阻尼和平方阻尼，回复力矩项考虑了线性回复力和三次回复力矩，同时还 将满足定波谱分布的外载荷看成是白噪声输入通过某一滤波器后的输出，并将滤波器作为系统 的一部分考虑这样船舶和滤波器组成一个动力系统，其输入为向噪声可以进一步将其表示为 一个f p k 方程，并求出系统的漂移系数和扩散系数。 ( 2 ) 就随机波浪作用下船舶倾覆的安全边界问题提出了自己的确定方案。 船舶倾覆的发生取决于其初始条件和波浪外载荷的条件，而倾覆条件即确定判断船舶倾覆的标准 就是这些物理量的一个组合。为了确定这一条件，考虑到倾覆的实际物理意义，提出了将倾覆条 件定义为在一个时间步长内不致使船舶横摇角超过其稳性消失角的所有初始条件和波浪参数的组 合。 ( 3 ) 将以往一般用于求解定常转移概率的路径积分( p i s ) 法引入船舶横摇研究领域用其求解 随机波浪作用下横摇角转移概率分布的f p k 方程，并进一步应用首次通过的概念求得船舶在给 定持续时间内的不倾覆概率 ( 4 ) 首次提出船舶在给定持续时间内的不倾覆概率的概念并给出确定这一概率的方法 利用该理论研究船舶倾疆问题，将理论计算结果和模型实验结果相比较，两者之间吻合得较好 尽管理论结果和模型实验结果相比是合理的，但并未从理论上给出证明。 1 2 本文的工作 船舶横浪时由于波浪的作用发生摇摆，进而发生倾覆由于在波浪中的倾覆只可能发生在 严重海况运动激烈的情况下因此必须计及非线性作用，也就是在建立相应的运动微分方程时 必须包含非线性项对像船舶横对浪时的大幅非线性运动一类非线性方程，目前只能对确定性的 问题。即假设波浪为规则波求解对于实际海况的随机波还难以给山解答s h a w 、t r o e c h 等人， 曾提出应用m c l n i k o v 函数的方法，但也不能得到数量上的结果。实际上由于船舶在随机波上 倾覆问题是一个随机问题不可避免的要用概率的方法来求解。而其力学特性，即其运动方程又 是强非线性的正如我们在确定性的场合常在求解非线性问题时所作的那样只能在时域内求解 而在研究概率在时间域内演变的最好的理论方法是马尔科夫过程论。因此，我们必须将这一问题 纳入马尔科夫过程理论的轨道而这一问题已经在近代由n e k r a s o v 1 9 9 4 解决 倾覆的发生是一个不可恢复的事件倾覆一但发生。横摇运动作为一个过程即告束因此在 随机性的处理上自然有别与一般的可恢复的事 i i l ：，它应该属。首次通过这一类问题，只能用在给 定波浪上不发生倾覆的持续时间这一统计! l f 来作为数罱的表征。也就是说，研究一艘船在给定波 浪上维持不倾覆的时问的长度显然这一时间应该是一随机变量。维持不倾覆的时间越长。其相 应的概率或可能性将越小。 近代的研究表明，对于船舶在随机波上的大幅度横摇运动。在经过一些处理之后，其状态变 罨，可以用一个符合某一伊藤方稗的扩散过程来模拟。而这一伊藤方程的右端的相应系数。则与 原运动方程有关这些系数既代表了非线性运动方程所起的控制作用，又是决定每一时刻船舶运 动状态变量的概率分布的主要参数应该指出的是，这时的状态变量中，还包含了波浪这一状 态变量矢量过程应该是一满足上述伊藤方程的扩散过程其转移概率满足以上列方程右端各项系 4 数为相应漂移系数及扩散系数的f o k k e r - p l a n c k 方程。我们可以通过解这一方程求出其转移概率。 并应用连锁关系求出其概率分布。将这一方程的求解与首次通过问题相结合，可以得到我们感兴 趣的倾覆时间及其概率分布 但是，为了解上述问题，首先必须解相应的f o k k e r - p l a n c k 方程。但是多维f o k k e r - p l a n c k 方 程的求解并不是很容易的事，需要相当的计算工作量。近来，路径积分法已证明是可行的方法， 可以以较少的计算时间。得到工程上可接受的结果。但是目前路径积分法主要还只用于求解平稳 过程的概率密度分布函数，对于像船舶倾覆发生这一类非平稳过程，需要研究的是船舶倾覆概率 密度分布函数随时间的演变过程，路径积分法是否适用，就作者所掌握的资料来看，到目前为止 还没有人做过这方面的工作，也未见报导和证明。因此这一方法是否适用于求解首次通过问题尚 待考核。 所以，本文的主要任务就是从理论上证明路径积分法用于求解f p k 方程的合理性。本文试 陶对【6 】中提出的在首次通过问题的求解中麻用路径积分法作一比较详细的考察，观察在非平稳 的情况下路径积分法的适用程度特别是结合船舶倾覆问题讨论其适用性。 参考书目 1 p a u l l i n g ，j r r o s e n b e r g ，r m ，o nu n s t a b l es h i pm o t i o n sr e s u l t i n gf r o mn o n l i n e a rc o u p l i n g ， j o u r n a o f s h 扣r e s e a r c h ，v 0 1 3 ，n o 1 。p p 3 6 - 4 6 2 p a u l l i n g , j r ，t h e t r a n s v e r s es t a b i l i t yo f as h i p i na l o n g i t u d i n a ls e a w a y , j o u r n a l o f s h 咖r e s e a r c h ， v 0 1 4 ，n o 4 ，p p 3 7 - 4 9 3 k r i n g ，d s d a v o u n o s ，p d ，n u m e r i c a ls t a b i l i t ya n a l y s i s f o rt i m e - d o m a i ns h i pm o t i o n s i m u l a t i o n s ，j o u r n a o f s h 驷r e s e a r c h 。v 0 1 3 9 ，n o 4 ，1 9 9 5 ，p p 3 1 3 3 2 0 4 t r o a s e h ，a w ，f a l z a r a n o 。j m 。m o d e r nn o n l i n e a rd y n a m i c a la n a l y s i so fv e r t i c a lp l a n em o t i o n o f p l a n n i n g h u l l s ，j o u r n a l o f s h f p r e s e a r c h ，v 0 1 3 7 ，n o 3 ，1 9 9 3 ，p p 1 8 9 - 1 9 9 5 n e k r a s o v , v a ，s t o e h a e t i cs t a b l i l i t yt h e o r yo fs h i pm o t i o n ，p r o c e e d i n g so f5 t hi n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c eo ns t a b i l i t yo f s h 枷a n d o c e a nv e h i c l e s f l o r i d a , 1 9 9 4 6 沈栋。随机横浪作用下船舶倾覆概率的研究，上海交通大学博+ 论文。1 9 9 9 7 d ek a t , j o & p a n l l i n g ，j r 。t h es i m u l a t i o no fs h i pm o t i o n sa n dc a p s i z i n gi ns e v e r es e a s s n a m e t r a n s a c t i o n s ，v 0 1 9 7 ，1 9 8 9 ，p p 1 3 9 - 1 6 8 8 d ek a t ，j o ，t h en u m e r i c a lm o d e l i n go f s h i pm o t i o n sa n dc a p s i z i n gi ns e v e r es e a s j o u r n a lo f 舶驴r e s e a r c h ，v 0 1 3 4 ，n o 4 ，1 9 9 0 ，p p 2 8 9 3 0 1 9 d ek a t ，j o b r o u w e r , r ，m c t a g g a r t , k a t h o m a s ，w l ，i n t a c ts h i ps u r v i v a b i l i t yi ne x t r e m e w a v e s ：n e wc r i t e r i af r o mar e s e a r c ha n dn a v yp e r s p e c t i v e ，p r o c e e d i n g so f5 t hi n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e o ns t a b i l i t y o f s h i p s a n d o c e a nv e h i c l e s f l o r i d a ，1 9 9 4 1 0 d ek a t ，j o t h o m a si i i ，w ，e x t r e m er o l l i n g , b m a c h i n g 。a n dc a p s i z i n g m o d e lt e s t sa n d s i m u l a t i o n so f as t e e r e ds h i pi nw a v e s 占塑銮堕查堂堡主堂垡丝苎 一 第二章应用路径积分法解首次通过问题 在应用路径积分法解f o k k e r p l a n k 方程方面，a n a e s s 作过大量的工作。其中包括用路径积 分法解有色噪声驱动的d u f f i n g 振荡子问题 1 ： f 碧+ 2 毒国o z + c 0 0 2 x ，( 1 + r ? ) = z ， lz f + 2 x c o ，z 。+ 脚，2 z = 弦也 以及解白噪声驱动的v a nd e r p o l 振荡子的响应统计问题 2 ： 碧( ，) + 2 善f x ( r ) 2 - l i d ( t ) + x ( t ) = 2 d ( r ) 他选择了不同的参数进行计算，将路径积分法的计算结果和数值模拟的结果相比较，发现二者均 有很好得吻合。但是他主要研究的是问题的稳态解，而我们所感兴趣的是瞬态解。虽然他的工作 没有解决我们的问题，但是其工作却能为我们提供一定的解题思路。 2 1 随机波上横摇的非线性运动微分方程 假定船舶直到倾覆的大幅度横摇可以用下面的非线性方程表示： j ( l + 厶) 痧( ，) + 删扫( ，) + 四百( ，归( ，) | + d ( c 一) + c 3 0 3 ( f ) ) 2 惦f ( f ) ( 2 - 1 ) 【f p ) + c ( r ) + j 嘭o ) = r w ( t ) 其中： o船横摇倾角； ，。+ ，。 绕过重心纵向轴的转动惯量； 础 线性阻尼系数 j f 4 2 4 ) c i c 3 平方阻尼系数 横初稳性高度： 三次方复原力系数 式中的右端为波浪所作用的干扰力矩，为一平稳随机过程，它可以由波浪本身的过程通过一个变， 换函数求得。而由平稳时间序列理论可知，一个平稳过程又可以由某一形状滤波器对自噪声滤波 求得。如果能将这一滤波器化成某一动力系统，并求得其微分方程。则将这一滤波函数归入船舶 运动动力系统之中，就可以认为这一扩展了的船舶运动动力系统是在白噪声的激励之下。从而转 换成一随机微分方程。应用状态变罱将原来的二阶方程组( 2 - 1 ) 转化为一阶状态方程组。可以 得到如下随机微分方程： 6 圭塑銮垄奎兰堡主堂竺丝兰一 其中 孔= x 2 垆一彘矿彘纠蚓一彘矿彘玎p ：， 童3 = x 4 膏= 一簖4 一肛3 + 7 , w ( t ) x = 0 x 2 = 0 x ，2 f = f ； 如果将这四个状态变量组合成为一个矢量，则该过程为一四维矢量过程，而过程的漂移系数 而【牙( ，) 】为： 而【x ( f ) = m l 【( ，) 】 m 2i x ( t ) 】 朋3 i x ( t ) 】 m i x ( t ) 】 x 2 一彘屯一彘如卜彘矿瓦d c 3 x 3 + 而 h - - c f x 4 一p x 3 扩散系数亘防( ，) 】为 豆防( ，) 】- q i ( x ( ，) ) q ：( x ( ，) ) q 3 ( ( f ) ) a ( x ( ，) ) 如果船舶具有定常的倾斜角，或受到一定常的倾侧力矩m 。，则其漂移系数变为 7 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 圭塑銮望查兰堡主堂丝丝苎一一 枷) 】= 恐 一彘而一彘如卜彘五一彘五3 岬蚍 x 4 - a x 4 一卢而 其扩散系数不受。 可以证明过程的转移概率( t p d ) p ( j ，i 牙，) 为在下列初始条件 p ( 牙，川贾。，) = 万( 牙一j ) = 兀6 ( x ，一x ，) 下的如下f o k k e r - p l a n c k 方程的解： 丢p ( 础问) 一喜丢m 肛) p ( 动旧) + 圭善否亮函肛p 暖，| 只，f 1 )上t - l ，= lc y f ， 其中： 否( j ) = ( 蜀。j ( j ) ) = 亘( j ) 囝( j ) 7 = ( 吼q 业) oo oo o 0 0o 00 00 00 0 y 2 ( 2 5 ) ( 2 - 7 ) 通过求解f o k k e r - p l a n c k 方程，可以求得舰船横摇运动的概率分布在时间域内的演变但是 由于求解这一多维的转移概率分布函数所要求满足的篇微分方程具有一定的难度虽然可以用数 值计算方法但计算量大近来有人用路径积分法( p i s ) 来近似的解这一方程。取得了很好的 效果采用路径积分法求解时，步骤是：从初始分布出发，应用路径积分法的公式求解在漂移了 的结点上的下一步概率值。即按下式算出其在漂移了的结点上的转移概率： p ( x ， t ) 2 盟j ( _ 一x 卜( x 。) f ) f ( _ i x ，) 脚y ，) = 丽1 叫一虹努型 p s ， 。 式中： r f ( x ) 代表漂移系数m ( x ) ，y 1 为扩散系数。 这一形式说明这一转移概率包含两步，c a 单纯包含漂移移系数而不含扩散系数的三维变量中的溧 8 移和包含随机外干扰引起的扩散系数的第四维所引入的随机性。此一随机扩散为一高斯分布函 数对于考虑一次通过的问题，则还应附加转移概率在在达到边界时应为零这一附加条件。在求 得步转移概率后从时刻，至时刻f 的转移概率密度分布函数可用如下积分求得： p ( x , t 阻xt ) _ 如。廊p 暖一l 牙( - 0 一t - ) a 2 。艟州。 ( 2 - 9 ) i j 一。 其中：t ，= ，l + j r ，= t n , j = 牙，f l = t o , j = 牙。1 ) 在给定初始分布w ( 贾o ) 之后，可以得到时刻f 的概率密度分布函数，( 牙，) 为： f ( 2 ，) = l 茹皿j 口( 牙朋，o 陟川，o 一) 以牙仰) 岔君”正矛“1 ( 2 - lo ) 2 2 首次通过时间 从物理上分析，我们所研究的问题或相应的过程其性质可能是完全不同的例如船舶在随机 波上的稳定横摇和倾覆就是性质完全不同的两种过程后者明显是不平稳的，对后者研究其摇幅 的概率分布，意义将不大。一个比较合理的方法是用所谓的首次通过时间的统计值来作为倾覆发 生频度的指标。它的基本概念如下。 设爿( ，) 为一马尔科夫过程，并假定其初始分布为 f ( x ，“) = ( x )( 2 - 1 1 ) 这里过程定义在x i 墨x s x 2 之间。也就是当运动超过这一范围，船舶即已倾覆，以后的求解已 无意义。因此我们讨论使过程达到边界所需的时间，自，即所谓的首次通过的时间。首次通过时间 为随机变量： 7 却2 一，o ( 2 - 1 2 ) 现在来说明如何计算首次通过时间的平均值或矩e r 加】不考虑那些开始时取边界值一，x 2 的随机过程( ，) 的现实对其余的现实用一概率密度函数厂 ，t ) 表示。并令： 印= f ( x ，t ) a x + d 【( 血) 2 】( 2 - 1 3 ) 为过程x ( o 在时间t ，取口，x + 川间隔内的值。并在全部时间间隔【f ，t 。】内没有达到过边界的 概率，则积分； f ( t ) = l f ( x ，t ) d x( 2 1 4 ) 为在时间问隔，】内宋迭到边界的概率当还没有现实达到边界时( 2 1 4 ) 式中的概率密度 f ( x ，) 与原分布( 2 1 9 ) 式相同。因此， 9 f ( t o ) = 1 ( 2 - 1 5 ) 在以后的时间里。这一正规化条件将不适用。因为越来越多的现实由于达到边界而从统计中除去- 最后所有的轨迹达到边界。因此， f ) = 0 f 2 - 1 6 ) 在间隔【五，也】之内，概率密度函数( x ，) 由通常的f o k k e r - p l a n e k 方程描述，f ( x ，f ) 在边界处 应为零。即： f ( x l ，r ) = f ( x 2 ，r ) = 0 这样由初始条件( 2 - 1 5 ) 及边界条件( 2 - 1 7 ) 唯决定了f o k k e r - p l a n c k 概率分布之后可以计算在时间问隔f ，口，】内首次达到边界的概率： r ( ，) 一f ( ，) = l 一，( ，) 2 3 应用路径积分法求首次通过问题的数值解 ( 2 1 7 ) 方程的解f ( x ，t ) 在求得这一 ( 2 - 1 8 ) 为了应用路径积分法来具体求解一次通过问题，我们考察f o k k e r - p l a n c k 方程的形式由上 面的讨论知，首次通过问题的条件为：此时在边界上，概率密度分布函数将为零，即： f ( x l ，f ) = f ( x 2 ，0 = 0 但其导数不一定为零 考察方程在这一边界上的情况。应用概率流方法，方程可表示为： ，十誓：0 ( 2 - 1 9 ) 其中 g o ) ：k 。，o ) 一吾昙 足：f ( x ) 】称为概率流； z 珊 x = r e ( x ) k 2 = g ( 力 此式表示概率守衡( 2 1 9 ) 式描叙了单位对间内沿正向通过坐标x 的概率数量考虑区闻 一x x 2 具有端点和z 2 则g ( 一) f 为在时间f 越过而进入此一区问的概率数量，而 g ( x d r 为在时阃f 越过而离开此一区间的概率数量。如果没有概率在此一区间内消失，并且如 果在此区间内无概率源- 差g ( 一) r - g ( x 2 ) f 为在区间_ x x 2 内总概率； 。i f 八x ) 西 的增量即： i o j 圭塑銮望查兰堡主兰垡篓l 一 k ( x ) 出一( x ) 出= g ( 钔r g ( 均r ( 2 - 2 0 ) 将此方程除以f 及x 2 一一，并趋于f o , x 2 一而斗0 的极限，我们可得到概率守衡方程( 2 1 9 ) 但是，在船舶倾覆等这一类非平稳过程的情况下，边界不是无限的。而由于边界的特性，总概率 在过程密度分布函数遭遇边界： f ( x l ，) = f ( x 2 ，) = 0 ( 2 。2 1 ) 后，也将不再保持为一。所以，在概率分布函数朱达到边界之前，概率密度分布函数厂( 贾，f ) 应 满足所谓的正规化条件，即： ，幔，t 谪= 1 ( 2 - 2 2 ) 但在概率分布函数达到并超过边界以后，由于分布函数在边界上空间导数将不为零从而出现概 率流，使下一步长的总概率降低，小于1 。因此可以用这一时刻求得的密度分布函数计算出边 界处的二阶导数。求出在这一步中的总概率减少量，为确定下一步的概率密度分布函数给出了一 个条件 再来考察在首次通过问题中的边界条件。由方程可知应为： 等堕= 珈帕卜1 2 旦0 x 。, 珈。，) = 。 此方程应在首次通过的边界( 一，) ，( 工：，) 上满足。因为在概率密度分布函数达到边界之后概率 将被边界吸收也就是说边界上之概率分布函数随时间的增长将为零。但是这并不等于总概率或 累积概率的消欧也为零。方程( 2 - 2 3 ) 给出了一个确定边界附近的概率密度分布形式的条件由 于在概率密度分布函数在达到边界后为零。也就是其随时间的增妖也将为零。方程( 2 2 3 ) 可以 写成： 垆i l 磊c 3 吣- ) j 瓦0 弛，r ) 一；讯) 导m ，) = 。 这样就得到一个在边界上函数的位置偏导数o ，) 所需满足的方程 垆i 1 磊0 ) 职列) 一；。( z ) 未( 州) = o ( 2 埘) 从时间达到使边界上的f ( x ，) 为零，而其位置导数：( x ，) 或x 墨，) 不为零开始求解方程 ( 2 2 4 ) 找出边界上的o ，) 值以及义x ，) 值。从而可以计算出相应的概率流g ( x ) 这一概 率流g ( d 代表在此一时刻流出边界的总概率 显然( 2 - 2 4 ) 式也同样适用于转移概率，可以用于确定在边界附近的转移概率： 【吣) 一互1 磊0 - ) 】去p ( 圳削) 一；g ( x ) 导出，f 盼，) _ 。 ( 2 1 2 5 ) 占塑奎望查兰堡主堂堡堡苎 对我们的问题转移概率可表示为( 2 8 ) 式的形式。( 2 2 5 ) 式要求这一转移概率在边界上满足所 提的条件。 如果过程的扩散系数g ( x ) 与位置x 无关。则可以得到在边界上的转移概率的位置导数为： 昙p 牡，= 圭器导触t n 显然，( 2 8 ) 式所表示的转移概率，在附加至边界后为零的边界条件后，满足这一条件。 戍用以上所述路径积分的方法可以如下的步骤对船舶倾覆前时间的概率进行数值求解首 先按问题的维数划定结点应用( 2 - 8 ) 计算在这些结点上的至。f 一时间步的转移概率。由于结 点位置的漂移应用