（计算数学专业论文）（块）h矩阵类的简捷判据与迭代法的收敛性分析.pdf

电子科技大学硕士学位论文 ( 块) h 矩阵类的简捷判据与迭代法的收敛性分析 摘要 本文主要分两大部分： 1 ( 块) h 矩阵类的简捷判据：主要是给出了( 块) h 矩阵的充分条件和 充要条件，这些条件是已有结果的推广和改进。如 2 1 节研究了块h 矩阵的简捷判据，给出了 如果对某口【0 ，1 】， ( i t a 。1 1 | | 。| | ) 。 r t ( a ) sr 。“( 爿) r j 。( 彳) 只1 。( 彳) ，v i j 则a 为块h 矩阵是文献【5 】的推广。 2 3 节研究了h 矩阵的判据，给出了两个充分条件，如 酱 挚眇孙掣酱, v i e n z , z 其中弘鬻篱a 2 迭代法的收敛性分析；首先给出了一般迭代阵必。谱半径新的上界 估计，其中矩阵m 为双严格对角占优矩阵，是一种比严格对角占优更广泛的 矩阵类。接着，将该结果应用于著名的迭代法如：j a c o b i 、g a u s s s e i d e l 、j o r 、 s o r 、m s o r 等，得出了比较好的参数估计。如3 3 节j o r 迭代法的收敛性 分析 o c o 2 0 + ( 置( 三+ ，) r ，( l + u ) f 且f ) j ) i , j e n 3 4 节研究了s o r 迭代法的收敛性分析 o m 2 1 + 警 ( 工+ u ) q ( 三+ u ) ) 2 i ， 3 5 节研究了m s o r 迭代法的收敛性分析 第1 i 页共7 页 电子科技大学硕士学位论文 o 瓣 2 ( 1 + 压丽) ，2 ( i 州，( b ) 矗胆) ) ) o 甜 邵( 爿) sr 。( a ) r f ( a ) s j l l ( 4 ) ，v i ， t h e nai sah m a t r i xw h i c hi st h ee x t e n s i o no f t h e p a p e r 5 i n2 3w e p r e s e n tt w o s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rh - m a t r i x f o r e x a m p l e ， c r l j + r j - 秒酱x 一到p 砂酬酱捌吼： w h e r er ：m a x 竺艘。 i e n i id i i 2 c o n v e r g e n c eo f t h ei t e r a t i v em e t h o d ：f i r s t l yi g i v ean e wu p p e rb o u n d f o rt h e s p e c t r a l r a d i u so fi t e r a t i v em a t r i xm n ，w h e r emi sad o u b l e s t r i c t l yd i a g o n a l d o m i n a n tm a t r i x i ti saw i d e rm a t r i xt h a nt h e s t r i c t l y d i a g o n a l d o m i n a n tm a t r i x s e c o n d l y ，w e a p p l y t h er e s u l t si nt h ef a m o u s i t e r a t i o n s ，s u c ha sj a c o b i 、g a u s s s e i d e l 、j o r 、s o r 、m s o r ，e t c io b t a i nm o r e a c c u r a t er e s u l t ss u c ha s ，t h ec o n v e r g e n c ef o rj o r 0 2 0 + ( 月，( 工+ u ) r ，( l + u ) i 口。省i ) 2 ) f ， i n3 4 ia n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo f s o r 0 珊 2 1 + m j a x ( r ，( 工+ 【，) r ，( 上+ u ) ) 2 ，t j i n3 5 ，is t u d yt h ec o n v e r g e n c eo f m s o r 第1 v 页共7 页 电子科技大学硕士学位论文 o 国 m 。i ，n ( 2 ，( 1 + 页x 百丽) ，2 ( 1 + r ，( 曰) r ，( q ) ) o 盯 0 ，i = 1 ，2 ，h ， 则称a 为l 矩阵。 定理1 3 1 1 2 7 1 设a = ( 口 ) m 。( r ) 是m 矩阵的充分条件是a 为l 矩阵，且 a 一1 0 。 定义1 3 2 设a ：( 口，) e m 。( 6 3 ，令d = d i a g ( a ，a n n ) ，c = d a ，则称矩 阵l d 卜- l cj 为一的比较矩阵，记作r e ( a ) 即 r e ( a ) = i a i i 一i d 2 l i ： - 一l d 讥l i q 2 i l a 2 2i ： 一i a 。2 i 。 一i q 。 一l d 2 。 ： 1 4 加l 若研( 以) 是非奇异的m 矩阵，则称a 为非奇异的h 矩阵，简称h 矩阵。 定义1 3 3 设a = ( ) m ，( c ) ，若a 满足 t - 1 “ 口。f 口pf + f a gf ，i = t , 2 ，拧， z lj * i + l 且至少有个i 使上述不等式严格成立，则称4 弱严格对角占优矩阵；如果上述 珂个不等式都严格成立，则称一为严格对角占优矩阵。 定理1 3 2 1 2 7 1 严格对角占优矩阵或不可约弱严格对角占优矩阵是非奇异 的h 矩阵。 定理1 3 3 p s l i 受m = ( m 。) e 帆( c ) ，n ；( ) e c ，且m 为严格对角占优矩 阵，则 第5 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 h i ”圹w 忆懋瓦两 j ， 定理1 3 4 1 2 7 1 j t h 果a 是严格对角占优矩阵或不可约弱严格对角占优矩阵， o 甜 0 ，则称“为亚正定阵。若 r e ( ) 0 ，则称a 为正稳定阵【见3 】。 设z = 爿= ( 日f ) e r ：o f 兰o ，f ) ，若爿一1 0 ，则称一为非奇异胁矩阵 见 7 】，记为a m 。 块矩阵在数值分析、数学物理和控制论等领域中有着广泛的应用，但是 如何实际判定一个矩阵是块h 矩阵却是十分困难的。本文给出了两个简捷判 剧，并应用于判定矩阵的正稳定性和亚正定性。 2 主要结果 我们首先给出4 为块日矩阵时的两个实用充分条件。 定理2 1 1 设爿= ( 勺) m n ( c ) 形如( 1 ) 式，如果对某口 0 ，1 第7 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 ( 1 1a 。“1 1 i | a 。i i ) 一1 r ? ( 爿) s ，1 。8 ( 4 ) r ，。( 爿) s ，“4 ( 爿) ，v i 则a g 。 证由假设知至多存在一个i ，1 i 女，使得 | | a 。一1i i - i r i a ( 彳) s f l 一“( 爿) ， 不妨设 l | 爿，。1 1 - r i ( a ) s 1z - ( 爿) ，l l 如。旷 r j “( 一) s 一。“( 爿) ，w 1 。 由于 ( 1 1a 。| | i ia 。l i ) 。 r ，。( 一) s 。“( 彳) r ，“( 一) s ，”。( 爿) ， 故存在充分小占 0 ，使 0 彳。一1l l r ，4 ( a ) s i j 1 ( _ ) 十g 1 i i 巧旷= i i 一；旷 d ? 月j ( 爿) s ；一“( 爿) ( d ，r j ( 爿) ) 4 q 1 ( 一) ) 胄al 。，o j i - 。( b ) a 所以，b = a d ，即a g 。证毕 推论设爿；( ) “( c ) 形如( 2 1 1 ) 式，若 ( 8 4 “| | | f 以1i i ) 。 月，( 彳) 配( 么) ，v i ， 第8 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 则爿g 。 注2 1 1 推论为文献【5 中的定理1 ，即 5 中的定理1 为本文定理2 1 1 在口= l 时的特例。 引理2 1 1 【15 l 设a = ( 口。) m 。( c ) 形如( 2 1 1 ) 式，如果存在一个正对角矩阵 d = d i a g d ，。，d 。 ，谚 0 ( 1 i k ) 使得则a g + ，则至少有一个i ，1 i t 使得 j l 靠1 旷 r ( 爿) 记k = k ，+ k ：，其中 墨= k ：0 墨( 彳) ) ， 世。n k ：妒。 由引理2 i 1 ，知足：声。此外，当k 。( k ：) 为单点集时，规定，= 0 ，i k ；， ：笼 ( = 0 ，je k ：) 定理2 1 2 设a = ( a 。) m 。( c ) 形如( 2 1 i ) 式 o ；1i i - 0 一。0 + oa 。i i l l 爿i 1l ir ( 彳) ，v i k ，( 2 1 2 ) “ 则a g + 。 证 = 驷1 川钉旷1 掣钏卜蝎1 1 x , i i i i a f t 忪m ) ) 。 v i k ，( 2 1 3 ) 当| i a 。i i = 0 ，记q f = t - o o 。由q o ，v f k 。，知一定存在充分小正数， r e r 2 使得 o “m 。i n q ，s 悯 ( 2 1 4 ) 于是，构作正对角矩阵d = d i a g d ，j ，d ：l ，一 ，其中 d ：1 “l ， 【p + r ，( 4 ) ) i i 靠1l l ，v i k 2 ， 显然d 。+ 。 第9 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 v i k t ：1 ) 当| | a 。i i = 0 时，即oa 。i i = 0 ，v t k ：由( 2 1 2 ) 式得 e e l r f ( 曰) = 圳a 。f + 圳a 。| f e k ，1 e k ， = af f 0 。 ( 2 ，1 ，5 ) 又由q ( 一) f f 匀1i i 0 。 综上可知v i k ，l i 峨1 旷 r 。( 口) ，即b = a d g ，因而a g + 。 证毕 注2 1 2 由世。的定义知1 l 爿i 1i i r ，( 爿) 0 。 由引理2 1 2 ，直接得 定理2 1 3 设a = ( ) 忆( c ) 时形如( 1 ) 式，且k = 1 , 2 ，k ) ， k = k ，+ ：，k n k ：= ，若f k 。时，爿。为h e r m i t e 正定矩阵；i k ：时，a 。 为非奇异m 矩阵，矩阵范数取f r o b e n i u s 范数，则当一满足定理2 1 1 或定理2 1 2 的条件时，a 为正稳定阵。 推论2 1 1 设a z ”，若a 满足定理2 ，1 3 的条件，则a 为非奇异m 矩阵。 推论2 1 2 设一为h e r m i t e 阵，若a 满足定理2 1 3 的条件，则a 为f l e r m i t e 正定阵。 定理 2 1 4设 a = ( 口。) m 。( c )形如( 2 1 1 ) 式，若以 a = 扣f ) ( 口i = | 矗。f ，= 一 a 口f ，f ) 代替彳，满足定理3 的条件，a 。中有p 个 实部为正，g 个实部为负，p + q = ，则月正好有p 个特征值实部为正，g 个特 征值实部为负。 证由定理2 1 3 推论2 1 ，1 知，a 为非奇m 阵，由【4 中的定理1 知结论成立。 证毕。 1 定理2 。l 5 当a j j l 毛( c ) ，若妄即+ 4 ) 满足定理3 的条件，则a 正稳定阵； 若a m 。( r ) ，则a 为亚正定阵。 1 证t = 去( 彳+ 彳+ ) 满足定理2 1 3 条件，由定理2 1 3 的推论2 1 2 知，t 为 上 h e r r n i t e 正定阵，故丁的所有特征值丑( 爿) 0 ，于是由 第1 1 页共“页 电子科技大学硕士学位论文 m i n 2 ( t ) sr e ( a ) s m a x z ( r ) 得r e a ( a ) a ( 爿) 0 ，所以a 正稳定。 当a m 。( r ) ，v x 五4 ，x 0 ， 由x t a x x 7 a x = x 7 t x 0 ，即4 为亚正定阵。 第1 2 页共4 4 页 为实对称正定阵知 证毕。 电子科技大学硕士学位论文 2 2 节块h 矩阵的简捷判据( 二) 1 注记 设a = ( ) e m 。( c ) ，分块如( 2 1 1 ) 式其中为向量范数诱导的矩阵范数( 下 同) 。以r ( 爿) 表矩阵( 1 1 4 忱。的方向图，其顶点集及弧集分别记作y ( 一) 和e ( 一) ， e 。表从顶点i 到顶点的弧，c ( 爿) 表r ( 一) 中非平凡环路集合。对任意固定 a 0 , i 】，记 屹( 爿) = i v ( a ) i i y c ( 爿) ，k ( 爿) = v ( a ) t ( 爿) ， 鬈( 彳) = 耖c ( a ) i g i i a ；1 旷 ( g r ( 彳) ) 。( g 西( 彳) ) 1 1 ) ， 彤( 彳) 2 驴e c ( a ) i g ) 1 4 72 i i - , = ( g 墨( ) ) 4 ( g 墨( 一) ) 1 1 r + = j 矿( 一) j 占( 一) 。 一p 】为行列足码皆在盯= “ c c k ，记夤：( 乞) 。，其中a ( 二) 表夤的谱，即特征值集合， 与= 矗量i , j e o 若a = ( ) m 。( c ) 满足矿( 爿) = v o ( a ) ，则称a 为块弱不约阵【见1 3 ，记为 下面给出了块h 矩阵的几个简捷判据，包含了文献【1 0 】的相应结果。 2 主要结果 我们给出下面的定义： 定义2 2 1 设a = ( ) e m ，( c ) n b w i 若对某个g o ，1 ，有c ( 一) = ( 彳) ， 则称一为块弱不可约口一对角占优矩阵，记为a b w d g ：若c ( 一) = 刀( 爿) ，则称爿 为块弱不可约口一严格对角占优矩阵，记为a b w d 4 ；若存在正对角矩阵x ， “ 使肼b w d “，则称 为块拟弱不可约口一严格对角占优矩阵，记为a b w d 。 一a 弓l 理2 , 2 。1 设a b w d ，贝4 f ( 一) 。 证因正纯量矩阵不改变矩阵的对角占优性，故不妨设正对角矩阵 第1 3 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 x = d i a g ( x 。，x ：，x 。) 满足z x 2 坼，且玉乓，使爿= a x 2 ( a f ) b w d “。反之，则对v ，c ( 一) 皆有 兀1 1 4 帷( 丌月( 一) ) 8 ( 兀s ( 一) ) 。 ( 22 1 ) t qtq*r 对r ( 4 ) 中的顶点以其足码大小定义其先序。对v 0e v ( a ) ，设0 + ，m i n 因e 痧 ( 兀鼍( 三) ) 。( 兀s ( 幼= ( 兀r ( 三) ) 4 ( 兀置( z ) ) ”。 t ，j e ，k ri e ， i e r 第1 4 页共4 4 页 皇王型垫奎堂堡主兰垡丝苎 由 1 1 】的定理2 ，7 知与。非奇异。这与丑a ( 爿o ) 矛盾，故“o 为正稳定阵，再由 1 1 知a g 。 定理2 2 2设a b w i 。则a g 的充要条件是对某个口【o ，1 】 a b w d 。 证必要性：设正对角矩阵彳使b v i 。有两种情形： 情形1 丌r ( 日) = 丌s ( 曰) ，v ，c ( b ) ， ，e yj y a x = ( b q ) e b d ，即| j 彰1i - r ( 口) ， 即得 兀| 蟛旷 兀r ( 曰) = ( 兀r ( 动。( i - i s ( b ) ) 。4 ，v 7 e c ( b ) 。 ，e ，e ，j e ， 1 5 ， 一a 故r ( 丑) = c ( b ) ，即b b w d 。，又由c ( 四) = c ( 彳) ，知a e b w d 。 情形2 存在y l , y ：，c ( b ) 使得兀足( 毋) 兀墨( 占) ， e 又由 ，ne ， v 7 c ( b ) ， 兀r ( 占) o ，兀s ( 曰) o 且! 蟀( n s ( 丑) n 置( 占) ) 。4 = 1 ，e c m ，。 j e ，q- ，q 又因存在q ( o ，1 ) 使得当1 口0 。时满足乃5 r ( b ) ，w ，而对 v y c ( b ) y ，以) 由情形1 知皆有y r ( 丑) 。故v 口( ，1 ) ，皆有y f ( b ) ， v y c ( 丑) ，这里口。= m a x a i ，口2 口，) ，所以v 口( a o ，1 ) ，由f ( 刀) = c ( b ) ，故 a b 矿d 。 充分性：设正对角阵j ，使a y b w d “，由定理2 2 1 知有正对角阵z 使得 a y z b d ，令x = y z ，则x 为正对角阵，由删b d 知a g + 。 定理2 2 3设一= ( ) m 。( c ) ，则a e g + 的充要条件是】| 4 _ 1 1 0 ， 口 v i ，对某个口 0 ，1 】有爿i v ：( a ) e b w d 。 使 证只须证明c ( 一) 且( 爿) 时成立。设有”阶置换阵p 分块形式同a 朋尸r ：一1 lob ：j 第1 5 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 其中v ( b 。) = v a a ) ，v ( b ：) = v a a ) ，则 耻l ( 爿) = 0 ，j e ，琶：b w i 。 由文献【1 2 】知a e g 的充分必要条件b 。，b ：h ，由定理2 易知结论成立。 同理y ( b 。) = v o ( a ) ，v ( b ：) = v n ( a ) 时仍然成立。 由引理2 2 ，1 及定理2 2 3 可得 推论2 2 1 设a = ( ) m 。( c ) 满足c ( 一) 妒，则a e g 的必要条件是| | 巧1 忙o ， 口 1 i k 且刀( 一眼( 爿) ) b w d ，某个a o ，l 】。 注：当= 1 时上述引理1 和定理1 ，2 ，3 分别是文献 1 0 】的引理1 ，2 ，3 及 定理1 。 即这里的结果包含了文献【l o 】的相应结果。 第1 6 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 第2 3 节非奇h 矩阵的充分条件 1 注记 非奇h 矩阵在计算数学和矩阵理论的研究中有着非常重要地位，但在实际 应用中判定一个矩阵是否为h 矩阵却是十分困难的。因此研究并给出它的简捷 实用的判据，便有非常重要意义。 记m 。( c ) 表示”阶复方阵的全体，n = 1 2 ，n ) ，设a = ( 口，) m ，( c ) ，记 r ，( 以) = 1 a ，l ，i ，。若i 盯。r i ( 爿) ，v i n ，则称一为严格对角占优矩阵， 记a d 。；若存在正对角阵x 使a x d 。，则称一为广义对角占优矩阵，记a h 。 记n ，为a 的严格对角占优行的全体，n ：为a 的非严格对角占优行全体， u n 2 = n 。令 ，= h l ，= h l ，i n ，= i a o i ，= 1 i ，ke ：， 盟。蒿，麓备， r f ( a ) = + r t ，v i n 。 因为n = 时a 不是非奇h 阵；当n 2 = 时a d 1 ，此时熟知一为非奇h 阵。 由文献 1 7 知，当一是非奇h 阵时，爿至少有一个严格对角占优行，所以n ，n 2 庐。 当。( ：) 为单点集时，规定i i = o ，i _ ，( i i = o ，：) 。 2 主要结果 定理2 3 - 1 设肛帆( c ) ，= 璎第篇等，若 中秒酱蚓刊一到p 砂驯酱m “” w n ：，( 2 3 1 ) 则a h 。 证若r ，( a ) = 0 ，v i n 时，则把第i 行i 列删除，仅考虑余子式，所以不妨设 r ，( 爿) 0 。记 旷；k i 酱) ( i a i 一善h d ，v f “，( 2 3 2 ) 屿。南叽一砂酱) ，v i an ：b 3 司 第1 7 页共4 4 页 屯子科技大学硕士学位论文 由( 2 3 1 ) 式及n ：定义知，m 0 ，v i i ，蚂 o ，w n ：。当l d 口l = o 时，记 ，e 以 t = + c 。又由( 2 3 1 ) 式矢日 托 m ，v i n l ，vj n2 ， 因而，存在充分小的正数s ，使 o 曜肾”， r ( 功，f n 至少有一个严格不等式成立。否则与( 2 3 6 ) 式矛盾因为“不可约，所以b 不可约，即b 为不可约对角占优矩阵。所以存在正对 角阵五，使e = 脚z q ，而弛仍为正对角阵，因而- 4 。 注2 3 1 定理2 3 1 和定理2 。3 2 互不包含。 3 数值例子 例1 a = 1 一三一5 99 1 l一! z2 z2 ， ；5 ，=；以=，2=(12)。ii=；，=；，l=j1，=i1，l=吣=；431 。 ”；，2 ，：2 。；，2 ；，l 。j ，2 i ，l = o ，2 j 。 因为j n 。j - 1 = ，+ a 。( r 1 3 + t o = 1 ，由文献【1 5 的定理1 知一不满足的条件，不能判 断。而由 ( r t , + r t 一掣) 7 q ，f = 三，f a ，f ( 掣+ 1 背，= 罢 ( r 1 2 + r 2 一掣，f a ”f = 詈，f a ：，fc 掣+ 皆，= 罢 可知，一满足定理2 3 1 显然也满足定理2 3 2 条件。所以，一为非奇异h 矩阵。 伽i2 a = l 4 4 77 三 1 一一1 22 一三一兰l ， 第2 0 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 r = = 4 ，。= 3 ) ，：= 1 , 2 1 。 z = 了4 ，= ；，f 2 = i 1 ，= j 1 ， 因为旧i = 1 c f 。+ ( ，+ 1 ) = 芸，显然由文献【1 5 中的定理失效，无法判断。 但是，由 ( r f 十 一半) l a ，i = i 1 8 ；，i d i 鳢型监 j l lj 也! ! 生也 lq 。l i ( r 1 2 + 吃) 、 瓦丁一 幽) ：型 i 口2 2l 7 7 0 可知a 不满足定理2 3 1 及文献 1 5 1r 9 的定理，但a 可约，满足定理2 3 1 条件，故a 为非奇异h 矩阵。 第2 l 页共“页 坐撕 恢 掣 电子科技大学硕士学位论文 第3 章谱半径的估计与迭代法的收敛性分析 第3 1 节迭代阵谱半径新的上界 1 弓i 言 定义3 1 1 2 0 】设m = 沏i ) m 。( c ) ，若f 硎。p 墨( 肘) ，v i n ，则称m 为 严格对角占优矩阵，记m d ，。若lm 。 im 。 足( m ) r ，( m ) ，v i ，j n ，i j ，则称材为双严格对角占优矩阵，记m d 2 。 实际问题和理论分柝中常需估计矩阵特征值模的界，如求解线性方程组 a x = 6 ，a 非奇，( 3 1 1 ) 常将么分裂为a = 彤一，然后用迭代格式 x + 1 = m 一1 n x + d ，k = 0 ，l ， 来解( 3 。1 1 ) 式。迭代阵m 1 的谱半径p ( m 。1 n ) 的上界估计在迭代法收敛性分析 中起着关键性作用。 在其它理论分析中，也常用到p ( m 。n ) 的上界估计( 参 2 3 1 ) 。文献 1 8 1 给出了如下的结果； 定理3 1 。1 【18 】若m = ( 掰) ，n = ( ) 均为刀阶方阵，且m5 d l ，则m 。的 谱半径p ( m “n ) 满足 j + 乞 删1 哪两专而。 i 此定理形式简洁实用，但对于肘的要求太强，并且估计误差较大。本文利 用双对角占优矩阵的概念得出迭代阵谱半径新的上界，该上界比【1 8 的结果适用 范围更广泛，而且估计常常更为精确，并将其应用于著名的迭代法s o r 和 m s o r 迭代阵的谱半径上界估计。 2 主要结果 引理3 1 i 1 9 设一= ( ) e 眠( c ) ，则彳之每一特征值均落在下述f ：1 个 l z c a s s i n i 卵形域d f ，并集之中 吼：l 五一l f 五一f 0 ，v i ，因为若五。( a ) = 0 ，则a 的第i 行的所有非对角元 均为零，且问题本质降到n 一1 阶或 一2 阶方阵。下面用反证法： 若奇异，则a 必有特征值五= 0 ，将a = 0 代入引理1 知 第2 2 页共“页 电子科技大学硕士学位论文 j 盘。| a 峰r 。( 一) r j ( 爿) 这与a d ：矛盾，故a 非奇。 定理3 1 2 设= ( 卅，) d 2 ，n = ( 月。) m 。( c ) ，则 细柳唿学 其中 证毕 s p r i n 9 1 ( 3 1 2 ) 鼻爿m 。i l m “l r ，( d ) 月j ( m ) ， b = j m 。门l + l 聍。j j m 仃i + 胄，( ，) 月j ( ) + r ，( i v ) 且，( 且，) ， 7 3 = in 。i in l - r ，( ) r ，( ) 。 证因为m d 2 ，由引理3 1 2 知非奇设a 为m 。n 的任一特征值，则 d e t ( m m “n ) = 0 ， 即 d e t ( a m 一、= 0 ， 故使2 a 4 一n d 2 的兄均不是m 。的特征值，即当 i 加。- - n i ll i 翩一”l l 砌h 一l l 翩”l ，i j ，( 3 1 3 ) if，-， 时，此a 一定不是m 。的特征值。特别当 i ( j ；tj l m 。卜魄i ) 0 j tj i m 口| _ h 岭( l a j i m , ) 匹j ) ， j i ，j i ，。( 3 1 4 ) 时， 不为m - 1 的特征值。故若丑为的特征值时，至少有一对f ，( i _ ) 使 j ( m 。i - jr i i 叫训l - i n 。眯( i t l l m 。i + 1 1 ) ( 1 ) ， l lf - j ( 3 1 5 ) 即 ( 1m 。0m l 一只。( 。m ) r ( 彳) ) i 五1 2 一( 1m 。i l 珂口i + i 。i im “i + r j ( ，) r ，( ) + r ，( ) 丑j ( m ) ) i 兄i + ( i n “i i ”l r ，( ) r j ( ) ) s0 。 ( 3 1 6 ) 由于m d ：，故( i m 。l m | _ r ，( m ) r ，( m ) ) 0 ，且判别式0 ，所v a ( 3 1 5 ) 式 的解满足 第2 3 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 墨二篓二! 墨墨i i 墨! 竺二! 墨墨 2 鼻2 鼻 且 ( 1m 。i im 。i + r ，( ，) 尺( a f ) ) ia i2 ( im ，e l 。i + i 玎。i i 埘i r ，( m ) r ，( ) 一足，( ) 月，( 且彳) ) j a + ( 1 1 1 。jj + 量( ) 月，( ，) ) 0 。 ( 3 1 。7 ) 由于( | m 。i l 埘。i + 月，( m ) r ( m ) ) 0 ，且判别式4 0 ，且判别式a9 0 ，所以( 3 2 4 ) 第2 8 页共4 4 页 电子科技大学硕士学位论文 式的解满足 ( 尸2 0 亨二石画) 2 p i 五l ( 只撕亨面) 2 p ， 且 ( 1 0 i , a l + r ，( 上) b ( 工) ) i 旯l2 + ( j r ，( l ) r ，( u ) 十r ，( l ) r ，( u ) ) i i 十r ( u ) 月，( u ) o ( 3 2 5 ) 由于ia o 日。i + r ( 上) r ，( ) 0 ，且判别式a o ，n g ( 3 2 5 ) 式的解为1 兄障r 联 合( 3 2 4 ) 和( 3 25 ) 式的解，得到不等式( 3 2 。3 ) 的解满足 ( 只一厄丽) 2 e , ( 只一厄丽) 2 只 故 p ( m ) ( 只+ 0 i 面) 2 e , 啤( 尸2 + 止亨面2 只，v i ，n ，f j 其中 只刊吼口。i r ( 工) 吩( l ) ， 只= r ( l ) r ( u ) + 贝，( l ) r ，( u ) ，b = 一r ( 【，) r ，