（信号与信息处理专业论文）不确定系统中随机控制和统计优化问题的研究.pdf

声明 本人郑重声明：本论文的所有研究工作都是在导师指导下， 由本人独立完成，论文中所引用的已知结论均已列在参考文献中。 a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et ot h a n km ya d v i s o r ，p r o f e s s o rd o c t o rl i uk u n h u i ic o u n tm y s e l f a sb e i n gm o s tf o r t u n a t et ow o r ku n d e rt h es u p e r v i s i o no fh i mh i se n t h u s i a s mf o r m a t h e m a t i c sa n dh i sh i g hl e v e lo fe x p e c t a t i o nh a v eg r e a t l yi n f l u e n c e dr i l e if o a n d h i ma l w a y se n c o u r a g i n g ，s u p p o r t i v ea n dp a t i e n tw i t hm ea n dg i v em em a n yh e l p f u l s u g g e s t i o n st h r o u g h o u tt h es t a g e so ft h et h e s i s 1w o u l dl i k ea l s ot oe x p r e s sm yt h a n k st om 3 rc o l l e a g u e s ：p r o fy u a nz h a n t i n g ， p r o f l is h i r o n g ，p r o f a nk e m i n g ，m r m al i n g ，p r o f y ud o n g m e i ，p r o fl i z h a n m i u g ，p r o l h a ox i a o h o n g ，m r z h a n gq i u y u ，m r x i ay a f e n g p r o f t i a n z h e n g j i ，p r o f z h a n gm i n g y u e ，a n dp r o f g u og ea t , l a n z h o uu n i 、e r s i t yo ft e c h n o l 0 9 3 ，e a l dp r o f l iw a n t o n g a tl a n z h o u u n i v e r s i t y t h e yh e l pm e i nn l yw o r ka n d o t h e ra r e a sd u r i n gm a n y y e a r s a l s o1w o u l dl i k et oe x p r e s sm yi n d e b t e d n e s st ot e a c h e r sw a n gw e i ，w a n gq i - u y u a n ，a n da l lo fm yc o l l e a g u e sa tb e i j i n gj i a o t o n gu n i v e r s i t y ：y a n gr i u c h e n g ，y a n g h a i b o ，d i n gl v a n g a n g ，z h ux i a o m e n g ，h es h u s o n g ，x i ab i n g ，l i ux i a o p e n ga n dm a n j i a n g y i f o rt h e i rh e l p sa n dd i s c u s s i o n s o nap e r s o n a ll e v e l ，ia l l l g r a t e f u l t om yf a n f i l y , e s p e c i a l l yl n y 、i r e f o rt h e i x r e ( 1 e t s t ；m , l i n ga n ds u p p o r t sd u r i n gt h ep a s tv e a l s 摘要 随着工程技术领域、人类经济活动中复杂系统的不断涌现，不确定系统 ( 如随机系统、模糊系统) 中存在的许多随机控制和统计优化问题已成为现 代控制科学和控制理论研究的热点问题。而充分考虑随机因素对系统的影 响，建立系统运行的随机控制模型或统计模型，采用随机分析和随机过程的 理论对系统模型求解和优化，寻找其最优控制策略或最佳的理论分析模型与 方法，既有重要的理论价值又有很大的实际意义。本学位论文为此围绕着随 机系统的奇异控制、脉冲奇异控制、时间序列动态指数平滑模型建模和模糊 系统的概率重要度分析等问题展开研究，取得了一系列结果。全部工作由以 下七章内容构成： 第一章结合实际问题和众多文献论述了不确定系统中丰富的随机控 制和随机优化问题的实际背景、基本特征、建模理论和基本类型：通过生产 计划、最优融资、破产概率最小化风险投资、遍历控制四个具体问题的介绍 归纳说明了随机最优控制模型的基本结构：通过文献综述展示了随机控制和 随机优化理论的研究内容、国内外研究现状及最新进展；总结了本论文的主 要工作。 第二章研究了一般结构下一类带停时的奇异型随机控制问题。在受 控状态为一般维纳( w i e n e r ) 扩散过程、目标泛函由一般函数构成的框架下， 将随机分析理论和变分方程的构造巧妙结合，较完整地解决了由美国概率控 制专家m h a d a v i s 等在1 9 9 4 年提出的一类带停时的奇异型随机控制问题， 得到了此类控制问题通常难于获得的显式解和最优控制策略。 第三章脉冲奇异型随机控制问题的研究。首次将源于风险资产管理 等实际背景( 见文献1 3 1 ，【8 2 1 ，【8 3 】) 的一类问题归结为脉冲奇异型随机控 制模型，在受控状态为同时含有脉冲因子和奇异因子的伊藤随机微分方程解 过程、而目标泛函山随机积分和线性脉冲项给定的结构下，解决了此类随机 控制问题最佳控制的存在性，给出了最优控制存在的一组充分条件和最优控 制的娃武结构，使得此类随机控制的实现成为可能。通过图形展示了最优控 制对状态过程的控制方式。 第四章时问序列指数乎滑动态优化模型研究。针对传统的时闻序列 指数平滑模型在实际应用中存在的三个问题，建立了类对时间序列具有自 适应特征的动态平滑参数的概念，进而在理论上首次建立了一类具有动态平 滑参数的新的指数平滑模型体系：包括一阶、二阶指数平滑模型、高阶指数 平滑模型、差分指数平滑模型、b r o w n 线性指数平滑模型等，研究了他们的 性质。并以线性预测误差平方和最小为目标设计了使指数平滑模型得以优化 的最速下降算法。新模型体系在理论上使指数平滑的研究有了实质性的进 展，基本解决了传统模型的不足。 第五章指数平滑随机序列遍历性研究。本章主要研究了在随机控制理 论运用中有重要作用的由指数平滑生成的两类随机时间序列的遍历性，证明 了它们在给定意义下是几何遍历和一致遍历的。 第六章七阶指数平滑滤波器研究。在给出o 变换理论的基础上，将离 散时间序列的高阶指数平滑公式展为差分方程的形式，通过二元z 变换得到 了- r t 维样本集合的一个k 阶指数滤波器的结构表达式，获得了样本数据和各 阶平滑初值滤波的权重函数。 第七章模糊概率重要度研究。首次将普通概率重要度概念弓l 入到具有 模糊失效和模糊功能的系统中，建立了模糊概率重要度概念的两种定义，给 出了其基于正态模糊数的分析计算公式和一个一般性的通用计算公式。并为 故障树分析构造了一种由系统元件模糊概率计算顶事件模糊概率进而对系 统元件进行概率重要度分析的方法。 上述主要工作总结为1 5 篇论文发表在国际和国内一级期刊上。其中2 篇发表在国际期刊i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) ) 【2 ( 2 0 0 3 ) 9 9 1 0 8 ：3 ( 2 0 0 3 3 0 1 3 1 0 1 ；2 篇发表在国际期刊i n f o r m a t i o n - a n i n t e r n a t i o n a lj o u r n a l ) ) f 2 ( 2 0 0 3 ) 1 3 9 一h 4 ；2 ( 2 0 0 , 1 ) 1 8 3 1 8 6 1 ；2 篇发表在 国内一缴期刊系统工程学报2 ( 2 0 0 3 ) 1 6 3 1 6 7 和系统工程理论与实 践【2 ( 2 0 0 4 ) 9 5 9 9 】：国内大学学报上发表2 篇：另外2 篇已分别为国际 2 期刊( ( i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) ) 和( ( i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f c o m p u t a t i o na n dn u m e r i c a la n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s ) 录用待发表。 关键词：随机控制奇异控制维纳过程受控状态脉冲一奇异控制 目标泛函 最优控制随机微分方程d o l d a n s d a d e m e y e 公式( i t o 公式) 变分方程显式解时间序列指数平滑动态平滑参数( 自适应平滑参 数)模型体系随机序列m a r k o v 链遍历性z 变换k 阶指数滤波 器正态模糊数模糊概率重要度故障树分析( f t a ) 失效率 e x t e n d e da b s t r a c t t h ep r o b l e m so fs t o c h a s t i cc o n t r o la n ds t a t i s t i c a lo p t i m i z a t i o ni nu n c e r t a i ns y s t e m h a v eb e c a m et h ea t t r a c t i v ef i e l di na d v a n c e dc o n t r o ls c i e n c e t h i st h e s i sf o c u 8i ns i n g u l a rc o n t r o la n di m p u l s ec o n t r o lo fs t o c h a s t i cs y s t e m ，m o d e l l i n go nd y n a m i ce x p o - n e n t i a ls m o o t h i n go ft i m e s e q u e n c e s ，a n dp r o b a b i l i t y - s i g n i f i c a n c eo ff u z z ys y s t e m b y s t o c h a s t i cc a l c u l u sa n dt h ec l a s s i c a lt h e o r yo fo p t i m a l c o n t r o l s ，a n du s i n gt h em e t h o d o fv a r i a t i o n a le q u a t i o n s ，w es o l v et w oc l a s s e so fs t o c h a s t i cc o n t r o l s ，a n do b t a i nt h e e x p l i c i ts o l u t i o no fe a c ho b j e c t i v ef u n c t i o n a la n dt h eo p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g i e s b y o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da l g o r i t h m ，w ee s t a b l i s ht h ec o n c e p to fd y n a m i cs m o o t h i n g p a r a m e t e ra n dt h en e wm o d e ls y s t e mo fe x p o n e n t i a ls m o o t h i n go ft i m es e q u e n c e s ， o b t a i nt h es t r u c t u r eo fk - o r d e re x p o n e n t i a lf i l t e r a l s ow ei n v e s t i g a t et h ee r g o d i c i t y o ft w oc l a s s e so fr a n d o ms e q u e n c e sv i ae x p o n e n t i a ls m o o t h i n g b yi n t r o d u c i n gt h e c o n c e p to ff u z z yp r o b a b i l i t y - s i g n i f i c a n c e 啪o b t a i nt h e i rt w oc l a s s e so ff o r m u l a st o c a l c u l a t ef u z z yp r o b a b i l i t y - s i g n i f i c a n c ef o ra n a l y s i so fs y s t e ms i g n i f i c a n c e t h ew h o l et h e s i si sd i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gs e v e nc h a p t e r s c h a p t e r1 w e m a i n l yp r e s e n ts o m ep r a c t i c a lb a c k g r o u n d so fs t o c h a s t i cc o n t r o l a n ds t a t i s t i c a lo p t i m i z a t i o no fu n c e r t a i ns y s t e m ，i n t r o d u c es o m eb a s i ct h e o r ya n dr e - c e n ta d v a n c e sb y s u m m a r i z i n gm a n yl i t e r a t u r e s w ea l s o 西v et h eb a s i cc h a r a c t e r i s t i c s a n dt y p e so fs t o c h a s t i co p t i m mc o n t r o lm o d e l sb ya n a l y z i n gt h ef o u re x m n p l e s c h a p t e r2 w es o l v eac l a s so fs i n g u l a rs t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e mw h i c hw a s p r e s e n t e db ym h a d a v i sa a dm z e r r o si n 1 9 9 4 【2 0 jm o r ec o m p l e t e l y u n d e rt h e f l a m et h a tt h ec o n t r o l l e ds t a r ei sa n g e n e r e dw i e n e r d i f f u s i o np r o c e s sa n dt h e o b j e c t i v e f l m e t i o n a li sc o n s i s t e do f g e n e r a lf l m c t i o a sw i t hs t o p p i n gt i m e tw e ) r o v et h ee x i s t e n c e e x t e n d e da b s t r a c t o fi t s o p t i m a lc o n t r o lb yc o m b i n i n gv a r i a t i o n a le q u a t i o n sa n ds t o c h a s t i cc a l c u l u s c o m p l e t e l y w eo b t a i n e d i t se x p l i c i ts o l u t i o na n do p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g yw h i c ha r e v e r yd i f f i c u l tt og e ti nr a n d o m e n v i r o n m e n t - i na d d i t i o n ，w er e v i s e ds o m ed e f e c t si n d a v i s - z e r r o s 2 0 】b yu s i n gl i n e a ra p p r o x i m a t i n g c h a p t e r 3a f t e rf o r m u l a t i n gt h ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，w h i c ho r i g i n a t e df r o mr i s k m a n a g e m e n t ( s e e1 3 ，8 2 ，8 3 】) ，i n t oac l a s si m p u l s e - s i n g u l a rc o n t r o lf o rt h ef i r s tt i m e ， w es o l v ea no p t i m a ls t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e mi nw h i c ht h ec o n t r o u e ds t a t ep r o c e s s i n c l u d e si m p u l s ea n ds m g u l a ri n g r e d i e n t s u n d e rt h ef r a m et h a tt h ec o n t r o u e ds t a t e i st h es o l u t i o np r o c e s so fd i f f u s i o ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n c l u d i n gi nb o t h i m p u l s es i n g u l a ri n g r e d i e n t sa n dt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n a li sg i v e nb y b o t hs t o c h a s t i c i n t e g r a la n dl i n e a ri m p u l s et e r m ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fi t so p t i m a lc o n t r o lo f t h i s k i n do fi m p u l s e - s i n g u l a rc o n t r o lp r o b l e m w eo b t a i n e da g r o u p o fs u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o f t h e e x i s t e n c e o f o p t i m a l c o n t r o l a n d g a v e t h ee x p l i c i ts t r u c t u r e o f s t o c h a s t i co p t i m a l c o n t r 0 1 c h a p t e r4c o n s i d e r i n gt h ed e f i c i e n c i e so ft r a d i t i o n a le x p o n e n t i a ls m o o t h i n g m o d e l ，w ee s t a b l i s hac l a s so fn e w m o d e ls y s t e m so fe x p o n e n t i a ls m o o t h i n go ft i m e s e r i e sb yi n t r o d u c i n gak i n do fd y n a m i cs m o o t h i n gp a r a m e t e rw h i c hi sa u t o m a t i - c a l l ya d a p t e dt os e r i e sf o rt h ef i r s t t i m e t h em o d e ls y s t e m si n c l u d ei n q n a d r i c d y n a m i ce x p o n e n t i a ls m o o t h i n gm o d e l , h i g ho r d e rd y n a m i ce x p o n e n t i a ls m o o t h i n g m o d e l , d i f f e r e n c e e x p o n e n t i a ld y n a m i cs m o o t h i n gm o d e b r o w nl i n e a r o r e c a s t i n g m o d e l so d y n a m i ce x p o n e n t i a ls m o o t h i n g a i m i n gt h es q u a r es u m o e r r o r ( s s e ) i nf o r e c a s t i n g ，w ea l s od e s i g nt h ec e l e r i t yd e s c e n da l g o r i t h mf o rd y n a m i ce x p o n e n - t i a ls m o o t h i n gt op r o d u c ea n dc h o o s et h eo p t i m a lp a r a m e t e ra u t o m a t i c a l l ya n dt o o p t i m i z et h ef o r e c a s t i n gm o d e l s os o m eq u e s t i o n s ，i , e ，t h es m o o t h i n gp a r a m e t e ri s s t a t i ca n dd e t e r m i n e db yo n e se x p e r i e n c e s ，a n dt h es m o o t h i n gi n i t i a lv a l u ei sd i f l i c u l t yt od e t e r m i n ea n dl e a d st oad e v i a t i o ne a s i l y , a r ec o m p l e t e l yr e s o l v e d f o rt h e n e wm o d e l s ，w eo b t a i ns o m eg o o dc h a r a c t e r sw h i c ha r ed i f f e r e n tw i t ht h et r a d i t i o n a l m o d e l t os o m ee x t e n t ，t h i sw o r kg i v e sae s s e n t i a lp r o g r e s so fe x p o n e n t i a ls m o o t h i n g t h e o r e t i c a l l y 6 e x t e n d e da b s t r a c _ ! ： c h a p t e r5 w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ee r g o d i c i t yo ft w oc l a s s e so fr a n d o m s e q u e n c e s v i ae x p o n e n t i a ls m o o t h i n gb yt h ei i d ，r a n d o mv a r i a b l e st h er a n d o r as e q u e n c e sp l a yv e r yi m p o r t a n ti ns t o c h a s t i cc o n t r o la p p l i c a t i o nt oi n s u r a n c e b u s i h e s s 3 9 ，7 9 1 w ep r o v et h a tt h e ya r eg e o m e t r i c a l l ye r g o d i ca l l du n i f o r n l l ye r g o d i e c h a p t e r6e x p o n e n t i a lf i l t e r i n go fad i s c r e t et i m es e r i e si sa m e t h o df r e q u e n t l y u s e dt os m o o t hd a t a i nt h i sc h a p t e r ，a f t e rt a k i n gt h ee x p o n e n t i a ls m o o t h i n gm o d e l a sd i f f e r e n c ee q u a t i o n t h es t r u c t u r eo fk - o r d e re x p o n e n t i a lf i l t e ro u t p u t , i sa n a l y z e d b yu s i n ga t w o d i m e n s i o n a l2 一t r a n s f o r ma n dt h ew e i g h t i n gf u n c t i o n sf o rb o t ht h ed a t a a n dt h ei n i t i 出c o n d i t i o n sb a ed e r i v e d c h a p t e r7 t h en o t i o no fs i g n i f i c a n c ei su s e dt os h o wac o n t r i b u t i o no ft h e c o m p o n e n t o rs y s t e m sc u ts e tt ot h ep r o b a b i h t yo ft o p - e v e n tw h e no n ec o m p o n e n t s f a i l u r ee x i s t i n g ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p o fc o m m o n p r o b a b i l i t y - s i g n i f i c a n c ei n t o t h es y s t e mw i t hf u z z yf a i l u r ea n df u z z ya c t i o nf o rt h ef i r s tt i m ea n de s t a b l i s ht h e t w od e f i n i t i o n so ff u z z yp r o b a b i h t y - s i g n i f i c a n c e w e g i v ei t sf o r m u l ab a a e do nn o r m a l f u z z y - n u m b e ra n da ng e n e r a lf o r m u l af o rc a l c u l a t i n gf u z z yp r o b a b i l i t y - s i g n i f i c a n c e w ea l s oc o n s t r u c t sak i n do fm e t h o df o rc a l c u l a t i n gt h es y s t e ms i g n i f i c a n c eb yc a l c u i a t i n gt h ef u z z yp r o b a b i l i t yo ft h et o pe v e n tf r o mt h ef u z z yp r o b a b i l i t yo fs y s t e m c o m p o n e n t si nf t a t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sh a sb e e n p u b l i s h e di nm a n yi n t e r n a t i o n a lj o u r n a i s 。 k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cc o n t r o l ；s i n g u l a rc o n t r o l ；w i e n e rp r o c e s s ；c o n t r o l l e ds t a t e ； i m p u l s e - s i n g u l a rc o n t r o l ；o b j e c t i v ef u n c t i o n a l ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d o l a n s - d a d e - m e y ef o r m u l a ；v a r i a t i o n a le q u a t i o n ；e x p l i c i ts o l u t i o n ；t i m es e r i e s ；e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g ；d y n a n f i c ( a u t o m a t i c a l l y - a d a p t i v e ) s m o o t h i n gp a r a l n ( ! t ( u ：m o d e ls y s t e m ； s t o c h a s t i cs e q u e n c e ；m a r k o vc h a i n ；e r g o d i c i t y ；z - t r a n s f o r m ；k o r d e re x p o n e n t i a lf i l t e r ；a o r l n a lf u z z 3 一n u m b e r ；f r i z z yp r o b a b i l i t ys i g n i f i c a n c e ；f a u l t t r e ea n a l y s i s ( f t a ) ； f a i l u r ep r o b a b i l i t ) r 7 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1b a c k g r o u n d s s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o li so n eo ft h em o s ta t t r a c t i v ef i e l d si nm o d e r nc o n t r o ls c i - e n c ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，i tm a i n l yd e a lw i t hc o n t r o ls t r a t e g ya n do p t i m i z a t i o n o fs y s t e mw i t hr a n d o ms i g n a l s ，r a n d o mn o i s e sa n dr a n d o mf e a t h e r s u n c e r t a i n t yi s i n h e r e n ti nm o s tr e a l - w o r l ds y s t e m s ，i tp l a c e sm a n yd i s a d v a n t a g e s ( a n ds o m e t i m e s ， s u r p r i s i n g l y la d v a n t a g e s ) o nh u m a n k i n d se f f o r t s ，w h i c ha r eu s u a l l ya s s o c i a t e dw i t h t h eq u e s tf o r o p t i m a lr e s u l t s 1 0 4 t h es y s t e m sm a i n l ys t u d i e di nt h i s t h e s i sa r e 句n a m i c ，n a m e l y , t h e ye v o l v eo v e rt i m e ，m o r e o v e r ，t h e ya r ee i t h e rd e s c r i b e db y i t 5 ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds o m e t i m e sc a l l e d d i f f u s i o nm o d e l so r r e - g a r d e da ss t o c h a s t i cp r o c e s sb yt a k i n g i n t oa c c o u n tr a n d o mf a c t o r s t h eb a s i cs o u r c e o fu n c e r t a i n t yi nd i f f u s i o nm o d e si sw h i t en o i s e ( o rb r o w n i a nm o t i o n ，w i e n e r p r o c e s s ) 3 7 ，1 9 ，2 4 2 5 1 ，w h i c hr e p r e s e n t s t h e j o i n te f f e c t s o f a l a r g e n u m b e r o f2 竹d e p e n d e 礼t r a n d o mf o r c e sa c t i n go ht h es y s t e m ss i n c et h es y s t e m sa r ed y n a m i c ，t h er e l e v a n t d e c i s i o n s ( c o n t r o 酬，w h i c ha r em a d eb s a e do nt h em o s tu p d a t e di n f o r m a t i o na v a i l - a b l et ot i l ed e c i s i o nm a k e r s ( c o n t r o l l e r s ) ，n l u s ta l s oc h a n g eo v e rt i m et h ed e c i s i o n m a k e r s ( o rc o n t r o l l e r s ) n m s ts e l e c ta l lo p t i m a ld e c i s i o na m o n ga l lp o s s i b l eo n e st o a c h i e v et h eb e s te x p e c t e dr e s u l tr e l a t e dt ot h e i rg o a l s s u c ho p t i m i z a t i o np r o b l e m s 0 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a r ec a l l e ds t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lp m 6 拒m 1 1 t h e r a n g eo fs t o c h a s t i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sc o v e r sav a r i e t yo fp h y s i c a l ，e n g i n e e r i n g ，b i o l o g i c a l ，e c o n o m i c ，a n d m a n a g e m e n ts y s t e m s ( s e e 【7 ，1 0 4 ，8 ，9 ，1 2 ，1 4 ，2 2 ，3 1 ，7 8 ，8 9 】) ，j u s tt om e n t i o n af e w t h e p r o b l e m o f o p t i m a l l yc o n t r o l l i n gs t o c h a s t i cd y n a m i c a ls y s t e m sh a sb e e ns t u d - i e df o ra b o u tf o r t yy e a r s e s p e c i a l l yt h eu s eo fc o n t i n u o u s - t i m es t o c h a s t i cp r o c e s s e s f o rm o d e l l i n gp r o b l e m so fe n g i n e e r i n ga n df i n a n c eh a sa t t r a c t e dt h ei n t e r e s to fm a n y r e s e a r c h e r s t h e r ea r ev a r i o u sp r a c t i c a lp r o b l e m st h a tc a l lb ec a t e g o r i z e di n t ot h e s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lm d d 醴s o m eo ft h e mh a sb e e ns t u d i e da n di so fs i g n i f i c a n t t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a li m p o r t a n c ea l lt h et i m e 【1 蚴t h ef o l l o w i n gp r o b l e m sa r e u p d a t e d i ns t u d y i n go fs t o c h a s t i cc o n t r o la n dc a ni l l u s t r a t es o m ef u n d a m e n t a ls t r u c - t u r ea n dp r o p e r t i e so fo p t i m a ls t o c h a s t i cc o n t r o li nac l e a na n dc l e a rw a yv i at h i s s t a n d a r da n dr e l a t i v e l ys i m p l em o d e l 1 p r o d u c t i o np l a n n i n g ：c o n s i d e rt h eo p t i m a lp r o d u c t i o np l a n n i n gp r o b l e m w i t ht h ep r e s e n c eo fu n c e r t a i n t i e si nd e m a n d t h eu n c e r t a i n t i e sa l ed e s c r i b e db ya c o m p l e