（材料科学与工程专业论文）铝合金气膜连铸过程的数值模拟.pdf

卜晦交通人学博i 。后m 站拟告 y 1 0 1 五3 1 0 铝合金气膜连铸过程的数值模拟 摘要 本论文针对气膜连铸中发生的物理过程，在商品软件p h o e n i c s l 4 的基础 上，二次开发完成了气膜连铸过程中流场、温度场和浓度场耦合的数值模拟软件。 根据气膜连铸过程的特点，在对流扩散固一液相变统一模型的基础上，建立 了适用于层流和紊流传输的统一控制方程组及其相应的辅助方程：并建立了一套 采用控制容积有限差分法耦合求解质量守恒、动量守恒、能量守恒和溶质守恒方 程的方法。计算结果与实际相符。 利用模拟软件对铸坯直径、拉坯速度以及二次冷却等特征参数对气膜连铸凝 固行为的影响进行研究，得到了具有启发性的结果，对气膜连铸的工艺优化具有 重要意义。 关键词：气膜连铸铝合金数值模拟宏观偏析 海交通人学f 粤i + j 五 i i 站搬告 n u m e r i c a ls i m u l a t i o no nt h ep r o c e s so fa i a l l o y a i rc u s h i o nc o n t i n u o u sc a s t i n g a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ep h y s i c a lp h e n o m e n ao c c u r r i n gi nt h ep r o c e s so fa i rc u s h i o n c o n t i n u o u s c a s t i n g w e r e c o m p r e h e n s i v e l yc o n s i d e r e d ，a n d t h e c o r r e s p o n d i n g m a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dn u m e r i c a la r i t h m e t i c sw e r e p r e s e n t e d b a s e d o nt h e c o m m e r c i a ls o f t w a r ep h o e n i c s1 4 ，a p r o g r a mu s e d f o r c o u p l e d n u m e r i c a l s i m u l a t i o no nf l u i df l o w , h e a tt r a n s f e ra n dm a s st r a n s f e ri nt h ep m c e s sw a sd e v e l o p e d a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so fs o l i d i f i c a t i o np r o c e s so fa i rc u s h i o nc o n t i n u o u s c a s t i n g ，a n do nt h eb a s i so fc o n t i n u u mm o d e lf o rb i n a r ys o l i d l i q u i dp h a s ec h a n g e s y s t e m ，as e to fe q u a t i o n sw h i c hi n c l u d ec o n t i n u i t y ，m o m e n t u mc o n s e r v a t i o n ，e n e r g y e o n s e r v a t i o na n ds o l u t ec o n s e r v a t i o no n e sa r ee s t a b l i s h e d i nt h e s ee q u a t i o n s ，t u r b u l e n t f l o wi sc o n s i d e r e d f u r t h e r m o r e ，ac o u p l e ds o l u t i o nm e t h o do ft h es e to fe q u a t i o n s ，i n w h i c hc o n t r o l l e d v o l u m ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di su s e d a n di sd e v e l o p e d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o ni sc o n d u c t e db yu s i n gt h ee s t a h f i s h e dm a t h e m a t i c a lm o d e la n d d e v e l o p e dm e t h o d ，a n dt h eo b t a i n e dr e s u l t s a r ec o i n c i d e n tw i t he x p e r i m e n t a lo n e s b a s i c a l l y t h ee f f e c t so fs o m et y p i c a lp a r a m e t e r ss u c ha sb i l l e td i a m e t e r , c a s t i n gs p e e d a n dt h es e c o n dc o o l i n go nt h es o l i d i f i c a t i o nb e h a v i o ra r es t u d i e d ，a n ds o m em e a n i n g f u l r e s u l t s ，w h i c ha r es i g n i f i c a n tt ot h et e c h n i q u eo p t i m i z i n go ft h ea i rc u s h i o nc o n t i n u o u s c a s t i n g ，a r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：a i rc u s h i o nc o n t i n u o u sc a s t i n g 。a i - a l l o y ，n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ，m a c r os e g r e g a t i o n 海交通入学l 埠 ：后i i i 站报告 1 1 本课题研究的意义 1 绪论 铝合金连铸技术，从传统直冷连铸到矮模连铸、热顶连铸再到电磁连铸， 使结晶器的散热减少，并改善结晶器与其中凝固壳的硬性接触，一直是其发展的 内在逻辑。气膜成型连铸技术是这一思路的延伸，其显著特点是：连续向结晶器 通入气体和润滑油，结晶器与铝合金液体之j 剐形成连续均匀的气膜。由于气膜的 传热能力小，气膜结晶器的冷却强度低，传热减少，减小了铸锭表层的偏析层厚 度和冷隔；气膜的润滑作用，消除了凝固壳与结晶器的摩擦，防止了铸锭表圄的 横向裂纹和拉痕1 ：同时结晶器传热减少使得二次冷却强度相对增加，减小了固 液界面的弯曲程度和液穴深度，从而黼弱了中心偏析和裂纹倾向；并能得到的较 小的晶粒直径和枝晶间距，甚至是完全的细小等轴晶组织。因此气膜连铸技术不 仅提高了铸锭的表面质量，也提高了铸锭的内部质量，满足了高强度铝合金铸锭 生产的技术要求。此外，与热顶连铸工艺相比，气膜连铸工艺的铸造速度提高； 单个铸次铸锭的数量增加：多元高强度气膜铸锭的内外质量基本达到直接挤压的 要求；直径3 英寸以下铝合会铸锭的晶粒细小，组织均匀加工性能良好，能 直接用于机加工和锻造生产【2 1 。由此可见，气膜连铸技术不只在提高铸坯质量， 而且在提高会属利用率和劳动生产奉以及节约能源等方面，也表现出显著的优越 性。 随着我国经济的发展，对高品质铝合金型材的需求迫切要求提供更高质量 的铸锭，这向我国的科技人员和工业领域提出了挑战。在9 7 3 项目( g 1 9 9 9 0 6 4 9 0 4 ) 的资助下，上海交通大学开展了气膜连铸工艺的设备、技术以及与之相关的基础 理论和应用研究，旨在丌发气膜连铸的核心技术和关键工艺。计算机辅助设计和 工艺开发是高效、经济又便利的现代科技开发手段，本文即针对气膜连铸过程建 立数学模型并开发数值模拟软件，并研究工艺参数对连铸坯质量的影响规律，不 绪论 仅有着重要的理论意义，也有巨大的经济价值。 1 2 连铸过程数值模拟的研究历史与现状 连铸凝固过程宏观传输现象的模型化研究工作起始于2 0 世纪6 0 年代初期， 最初的研究方向主要为热传导问题。p e h l k e 于1 9 6 3 年在美国铸造协会金属工程季 刊上发表了第一篇关于连铸计算机模拟的文章，m i z i k a r 于1 9 6 7 年在j o n e s l a u g h l i n 钢铁公司g r a d h a m 实验室对板坯连铸传热数学模型作了进一步的研究， j k b r i m a c o m b e 在接下来的几年时间内针对方坯连铸凝固过程进行了数学模型 研究1 3 】。这些早期的连铸传热模型均采用基于非稳态传热方程有限差分算法的片 层方法，即将铸坯横断面视为以一定速率在拉坯方向上移动( 取决于拉坯速度和 数值模拟时采用的时间步长) 的薄片层，忽略铸坯轴向上的传热且薄片层水平方 向热流与铸坯几何外形有关，并且在拉坯方向上将铸坯划分为三个冷却区域，即 结晶器冷却区、喷淋冷却区和辐射冷却。差分运算中，通常根据上一个时刻的温 度值来确定热物理性质，且假定该值在整个时间步长内保持不变。随着浇铸工艺 参数和连铸机结构的变化，这些模型获得了大体上相似的数值模拟结果，它们均 预测出了抛物线型的凝固壳生长模式。 考虑到连铸过程包含众多的复杂物理现象，很难在数学模型中引入所有的 影响因素，必须针对研究的主要目标对问题进行合理的简化处理，早期的连铸传 输数学模型中通常采用的一些基本假设条件包括：金属液为不可压缩牛顿流 体；忽略连铸坯的变形效果；凝固过程中保持局部熟力学平衡；热物理 性质保持恒定；忽略拉坯方向上的传热：糊状区液相分数随温度呈线性变化； 忽略结晶器振动和液面波动的影响效果。 l a l l y 等也采用二维片层有限差分模型对连铸传热过程进行了模拟【4 】。其中， 通过调整比热与温度之阃的关系式来考虑凝固潜热的影响，即在液相线温度与固 相线温度之间均匀分配凝固潜热。模型中定义了有效导热系数来说明对流传热的 影响效果，且在凝固温度范围内根据以下公式来对有效导热系数进行了计算，即： 2 海交通人学媾1 站 i 告 五彬叫舢地_ 1 ) ( 舞) 2 】巧 ( 1 f 1 ) 其中：五( 丁) 为钢的导热系数：丑为澄明对流传热影响的倍数因子且五。= 5 1 0 。 另外，模型中还通过引入假想温度 来对控制微分h - 程进行了柯希霍夫转换，即 。：e 墨婴 ( 1 2 ) o a ( 丁) 其中：咒，为参考温度。由于转换得到的方程中将几个与温度相关的热物理参数 ( 包括密度、比热和导热系数) 合并成为了一个参数且离散项有所减少，因此数 值模拟计算时间大为缩短。模型中考虑了当某一时f 8 j 步长内局部温度跨越固相线 温度或液相线温度时热物理性质的较大变化，并根据个时间步长的起点温度和 终点温度来确定了局部热物理性质在该时1 1 日j 步长内的平均值，对于一般性质口， 即有： 一 f “( 7 ) 押 西= 二2 l ( 1 3 ) t 。q t 。 其中：瓦。和疋耐分别为某一时间步长的起点温度和终点温度。 m a z u m d a r 针对圆柱坯连铸，在极坐标下建立了有限差分稳态传热模型【s 】， 其中基于源项法来考虑了凝固潜热的释放，并将液相穴视为伪固相，通过一个人 为扩大的导热系数来说明钢液对流对传热的影响效果，该有效导热系数值大约为 钢导热系数的7 倍。根据对一维稳态对流扩散问题的解析分析表明，只有当局部 皮克列数p p 的值足够小时，有效导热系数方法才能更为真实地反映钢液对流对传 热的影响。模型中针对二冷区各个冷却段均采用了单一恒定的传热系数，且根据 牛顿冷却定律来计算热流，并基于铸坯断面停留时间来对结晶器热流加以了计 算。通过模型预测结果与流动传热耦合模拟结果之间的比较，说明在液相穴采用 单一的有效导热系数，并不能充分地反映出钢液流动的复杂性及其对传热的影 响。 s e d i a k o 等针对方坯连铸，同样基于有效导热系数方法建立了二维有限差分 非稳态传热模型【6 1 。其中，有效导热系数不再取为恒定值，而是根据拉坯距离和 局部温度的不同在1 7 倍钢导热系数之间变化。模型中还考虑了非平衡凝固条件 下凝固温度范围的变化对凝固路径的影响，通过微观偏析计算对固相分数进行了 纬l 仑 更为准确的定义。 k a v i c k a 等建立了三维差分非稳念连铸传热模型【7 。没有忽略拉坯方向上 的传热且应用傅立叶一柯希霍夫方程来描述了沿z 轴方向移动的连铸坯的温度场， 并基于热焓法来考虑了相变或结构变化的潜热释放，传热控制微分方程如下： p ( 詈+ k 罢) = 昙( 五罢) + 昙( 丑器) + 鲁( 争 ( 1 。) 其中：昨为拉坯速度；日为热焓且是温度、浓度及冷却速率的函数，通常近似认 为热焓仅与温度有关 15 1 ，在假设固液两相比热相等的情况下满足h = c p t + o - f s ) l ， 居为固相质量分数，为凝固潜热。( 1 4 ) 式左侧第二项表示沿拉坯方向移动的铸坯 的能量对流传输。另外，他们还根据实测数据对铸坯的溶质微观偏析进行了研究， 其中针对各种溶质元素定义了微观非均质指数如且j 。= c c 。，a c 为铸坯样品 最大溶质浓度c 埘。与最小溶质浓度c 卅。之差，c 卅为样品平均溶质浓度，即 c 掰= ( c 册。+ g 拶2 。通过数值研究获得了如与溶质分配系数k e 2 _ 问的解析关系式， 即厶= 0 0 0 5 5 3 4 1 1 3 4 1 n k p 。 m h a m d i 等针对板坯连铸，在忽略铸坯厚度方向上传热的条件下，对( 1 4 ) 式进行了简化，建立了二维非稳态传热模型1 6 1 ，模型首次对连铸坯中柱状晶及等 轴晶的生长和c e t 边界预测进行了耦合，并通过微观偏析模型来对凝固路径加以 确定，其中引入了枝晶尖端成分过冷对溶质微观偏析的影响效果。 h u a n g 等针对板坯连铸对( 1 4 ) 式作出了更进一步的简化，建立了一维非稳态 传热模型 ，其中同时忽略了拉坯方向上和铸坯厚度方向上的传热。h a 等也基于 同样的推导过程建立了板坯连铸一维传热模型【1 8 1 ，其中采用了与液相分数相关的 有效导热系数来说明钢液流动对传热的影响。e 1 b e a l y 在其建立的一维板坯连铸 传热模型中考虑了二冷区相邻两对夹辊之间存在的多种传热方式及其导致的波 动冷却状况，即此时在二冷区各冷却段不再采用恒定的传热系数来确定边界条 件，该模型更为真实地反映了铸坯表面温度在二冷区的波动特性以及夹辊参数和 喷嘴性能对传热的影n l ；, j t 。9 1 。 t i e u 和k i m 建立了与k a v i c k a 等相似的三维非稳态传热模型【2 。】，其中基于 源项法来考虑了凝固潜热的释放，其传热控制方程如下： 海变通大学博卜后m 站搬告 胁c 詈+ k 罢，= 芸c 五罢，+ 嘉c 五等，+ 未c 鼍，+ q s ， 其中：掣为潜热源项。h a r d i n 等在忽略板坯厚度方向传热的前提下，对( 1 5 ) 式进 行了简化，并基于有效导热系数方法推导出了二维非稳态传热模型，模型中通过 对能量方程、溶质平衡方程、固相溶质扩散方程以及液相线方程的 n e w t o n r a p h s o n 迭代耦合求解来确定了固相分数与温度之间的变化关系。 r 6 9 e r 和l o u h e n k i l p 基于有限元方法对连铸钢坯凝固的三维稳态传热进行 了数值模拟【2 2 】，模型中考虑了热物理性质随温度的变化关系，并根据传热计算结 果来预测了铸坯枝晶微观结构的特征参数，包括枝晶臂间距和c e t 边界位置。 c h o u d a h a r y 和m a z u m d a r 针对圆柱坯连铸，在直角坐标系下建立了二维稳 态流动传热耦合模型【2 3 】，控制方程由质量、动量及能量守恒方程构成，并采用体 积有效粘度湍流模型对钢液湍流现象进行了模拟，即根据p u n - s p a l d i n g 方程计算了 钢的有效粘度【2 4 】。模型基于源项法在能量方程中对凝固潜热进行了描述，给出的 动量方程仅能直接应用于液相区，对于糊状区则指定了一个恒定的表观粘度( 大 小为钢层流粘度的两倍) 来反映枝晶结构对流动的阻力作用。假设钢液的流动主 要由强制对流和热溶质对流所驱动，没有考虑鼓肚变形、热收缩和凝固收缩对流 动的影响。求解过程中应用了有限差分控制容积方法，对控制方程中的对流项和 扩散项采用了混合方案进行离散。较之早期的有效导热系数模型，该模型能更为 准确地反映出连铸过程钢液流动对铸坯热量传输和凝固过程的影响。 l e e 等同样针对圆柱坯连铸，在柱坐标体系下建立了类似的二维稳态流动传 热耦合模型【2 5 】。其中，根据微观偏析模型来对糊状区内各相质量( 或体积) 分数 与温度之间的函数关系进行了确定，采用标准的肛双方程湍流模型并结合壁函数 法来对液相穴内的钢液湍流进行了模拟。 w u 等基于p e t r o v g a l e r k i n 有限元法提出了指数拟合有限控制容积方法，对板 坯连铸过程中的稳念流动传热现象迸行了二维耦合模拟【2 6 l ，该方法结合了有限元 法的本征几何灵活性和守恒原则物理意义的直接性，可清晰定义出构成计算域的 控制容积单元并模拟出凝固区域内温度以及固液界面附近流体速度的快速变化。 绪 论 s a n t i s 和f e r r e t i 及s e y e d e i n 和h a s a n 针对板坯连铸，在真角坐标体系下， 分别基于源项法和热焓法，建立了三维有限差分稳态流动传热耦合模型f 2 72 8 1 。前 者仍采用结合壁函数法的标准a 双方程湍流模型，对自浸入式水口浇入结晶器的 钢液流动行为进行了模拟，雨后者则应用了l a u n d e r 和s h a r m a 提出的修正低雷诺 数肛双方程湍流模型f 2 9 1 。两者动量方程中，均引入了达西衰减项来说明糊状区枝 晶结构对流场的影响效果，且将糊状区视为多孔介质，并应用c a r m e n k o z e n y 公 式来对其特性加以了描述。k i m 等以及h a 等，针对采用结晶器电磁制动的板坯连 铸，同样建立了类似的三维稳态流动传热耦合模型1 3 0 ，3 1 1 。 y a n g 等对板坯连铸过程中的钢液流动、热量传输以及溶质传输现象进行了 三维耦合数值模拟，他们将铸坯中发生的传输现象视为稳态过程，在迪卡尔直角 坐标系下建立了有限差分模型3 2 】。其中，将碳钢视为多组元铁素体合金，忽略了 铸坯鼓肚变形对溶质分布( 即宏观偏析) 的影响以及孔隙的形成，并假设铸坯的 枝晶凝固方式为完全柱状晶方式。模型中针对钢液的强制对流，采用了标准的高 雷诺数k 双方程湍流模型，并结合壁函数方法对固相壁面附近变化较陡的的切向 速度、湍流动能及动能耗散率梯度进行了计算。除达西衰减项以外，模型在动量 方程中还引入了浮力项来说明热溶质浮力对流场的影响效果。另外，模型中采用 人为扩大的溶质分配系数来反映实际连铸过程中的非平衡凝固，且在铸坯表面激 冷晶区将溶质分配系数取值为l 来说明此处较快的冷却速率对溶质再分布的影 响。 张红伟等针对方坯连铸，同样建立了类似的三维稳态动量、能量及溶质传 输耦合数学模型【3 m 。其中，将碳钢视为f e c 二元合盒，根据平衡凝固杠杆定律对 凝固路径进行了确定，并采用j o n e s 和l a u n d e r 提出的低雷诺数k e 双方程湍流模 型来描述了钢液湍流的流动特性【3 4 】。 m i y a z a w a 和s c h w e r d t f e g e r 通过耦合求解质量守恒方程、溶质守恒方程和 达西流动方程，定量分析了板坯连铸过程中相邻两对央辊之i _ 刚鼓肚变形和凝固收 缩对溶质宏观分布的影响效果【35 1 。其中，假设相邻兴辊问铸坯鼓肚位置处固相枝 晶以与坯壳相同的速度发生移动，且在夹辊位置处( 铸坯受到挤压) 固相枝晶以 与固相分数呈线性关系的水平速度发生移动。k a j i t a n i 等基于二维热流计算，也对 6 海交通人学博i 后i | j 站搬告 铸坯变形在宏观偏析计算中扮演的重要角色进行了数值研究【3 6 】。其中，采用 a b a q u s 有限元程序和标准蠕变模型来计算了两相邻夹辊之间坯壳的稳态鼓肚 分布。 连铸坯的鼓肚和凝固收缩对糊状区内的液相流动以及溶质元素的宏观分布 具有重要的影响作用，而鼓肚变形的求解通常是基于有限元模型，因此在连铸宏 观传输模型中对铸坯变形进行考虑，将带来较大的耦合求解工作量，这样的数学 模型通常只能选取尺寸较小的区域( 最多包括几对夹辊) 来作为研究对象，而不 可能对整个铸机长度进行模拟【”3 6 j 。另外，对于方坯连铸来说，铸坯的鼓肚变形 相对较小，其影响效果在宏观传输模型中通常没有加以考虑。 前己述及，气膜连铸是一种新型的连续铸造技术。根据气体和润滑油的引 入方式不同，工业应用的气膜连铸结晶器有a i rs l i p 3 7 嘲】和a i r s o l v e i l 4 5 , 4 6 1 两类， 如图1 1 所示。由于结晶器散热比例减小，二次冷却比例相对加强，铸坯内液穴较 浅。截止目前，有关气膜连铸凝固行为数值研究的报导尚未见到，铸造速度、铸 坯尺寸等因素对凝固行为的影响也仅见于实验研究。 综上所述不难发现，近几十年来，随着计算机技术以及数值计算方法的不 断发展，连铸过程宏观传输现象的数值仿真技术已从最初的单纯导热问题发展至 复杂的流动、传热及溶质偏析耦合求解问题，同时，早期数学模型中作出的一些 基本简化假设条件也获得了一定的改进和完善。另外，伴随着连铸技术的日益更 新，连铸过程中包含的物理现象愈加复杂，如电磁搅拌等，对这些现象的全面描 述无疑将大大增加数学模型的求解难度，因此仍需要进行大量的研究工作来获得 更为全面的数学模型，促进连铸过程数值仿真技术的进一步提高。 绪论 ab 图1 1 气膜结晶器结构示意图 a a i r s l i p b a i r s o lv e i l 1 3 固一液相变问题的数值研究 固一液相变问题存在于自然界和各种工业生产过程中，如冰川的熔化、能量 贮存、金属熔炼、铸造、焊接等，可以认为，带有固一液相变的传输问题是近年 来传热学研究中最为活跃的课题。这类问题的最主要特点是区域内存在着一个随 时间变化的两相界面或区域( 称为糊状区) ，因此，它又称之为移动边界问题1 4 ”。 其研究始于1 8 9 0 年s t e f a n 对极地冰的熔化和土壤冻结问题的研究，已有一百多 年的历史。由于这种问题在数学上是强非线性问题，只能对很简单的情况才能获 得分析解，一般情况下只能用近似方法或数值方法求解，对于多数情况，只能用 数值计算方法，所以数值方法是处理这类问题极重要的手段。 1 3 1 固一液相变问题的数学模型 固一液相变问题的的研究从时阊历程上大体可以分为两个阶段：本世纪7 0 年 代以前，在数学模型的建立上按导热问题处理，在具体的模型上可分为分区求解 模型和统一方程模型。分区求解的控制方程采用经典的s t e f a n 公式，即固相区与 液相区分别用热传导微分方程描述，在固一液界面处辅之以温度连续和能量守恒 uoll3黑可詈=窖u i f ：海交通人学博 一后“i 站报告 条件，对于一维问题，控制方程为【4 8 】： 固相区 彤，要：兰( t 要) ( 1 6 ) 液相区 p 一孕：拿( 茁，孕) ( 1 7 ) o t 0 出 式中，t 为温度；t 为时间；p 、c 和盯分别为密度、热容和导热系数：下标s 和1 分别代表固相与液相。温度连续和界面能量守恒条件分别为： t ( 6 ，) = 乃( 6 ，f )( 1 8 ) t，要一岛_at,=lp_dbon o na t ( 1 9 ) 式中：l 为物质的相变潜热；p 为密度：k 为导热系数：b 是，时刻固一液界面 的位置。 将分区描述的控制方程及界面守恒条件转化为在整个区域上适用的导热方 程，即在固相与液相整个区域建立一个统一的能量方程，求解更为方便。按照导 热问题处理的控制方程可表示为： p 掣：v ( x v r ) ( 1 1 0 ) 式中，h 是混合焓，相变潜热包含在焓中，盯是混合导热系数。 式( 1 1 0 ) 中有焓和温度两个待求变量，在已知焓与温度的具体关系式 h = h ( t ) 时，可以通过迭代方法求解，一些文献h 9 。5 1 将此称之为焓法。从方程 ( 1 ，l o ) 出发，可以获得只有温度作为求解变量的方程。有两种处理方法，一是有效 热容法1 5 2 ，5 3 1 ，它是把相变潜热折算成相变温度范围内的热容，在求解过程中，根 据温度确定固相、液相及相变区，分别构造各区域的热容，是其控制方程可表示 为： p c ，娑= v ( v r ) ( 1 1 1 ) 式中c 为有效热容，在相变温度范围内c o 的取值为 c 。= c + ( 1 1 2 ) r 其中2 n 是相变温度范围，c 是相变物的热容。 另一种方法为源项法 5 4 1 ，即把潜热作为源项，控制方程表示为 p c _ o t = v ( v ，) + s( 1 1 3 ) 式中，s = - l o 。f 。, ，z 是液相分数。 绪论 从7 0 年代后期丌始，人们注意到液相区的自然对流对固一液相变有着不可 忽视的影响【5 5 ，5 6 】，此后，对流扩散固一液相变问题的研究就成了这类问题研究 的主流。自然对流是由于流体内的密度差而引起的，通常，影响流体密度的因素 为温度和溶质的浓度，兼由温度和溶质浓度引起的对流称之为双扩散对流 ( d o u b l e d i f f u s i v ec o n v e c t i o n ) ，或称热一溶质对流( t h e r m o s o l u t a lc o n v e c t i o n ) 。 在一些固一液相变问题中，液相中的对流还可能是强迫对流。当考虑液态金属流 动对固一液相变的影响时，需要求解连续方程和动量守恒方程，如果溶质引起的 对流是不可忽略的，还应该求解溶质守恒方程。 在对流，扩散固一液相变问题已有研究中，数学模型的建立上可分为三类：一 是控制方程仍然采用热传导方程，液相对流的影响通过人为的扩大液相区的导热 系数加以考虑【5 1 1 。另一是圊相和液相区分别建立起各自的守恒方程，相界面通过 一定的边界条件耦合起来。这类模型也称之为多相模型，它适于固一液相间有明 确的界限，因此通常限于研究等温相变的物质【5 8 枷】。再一类是单相统一模型，它 是将固相区、液相区及糊状区视为一连续介质，用统一控制方程组来描述相变中 的传输现象。b e n n o n 和i n c r o p e r a l 6 l 6 2 】从各组成相的传输守恒方程出发，在一定 的假设条件下，应用被普遍接受的经验公式，以及经典的混合理论。推导了适于 固相、液相及糊状区域的动量、能量和溶质守恒方程，以及使方程封闭的辅助方 程组，控制方程可用一通用的形式表示，在直角坐标系下的张量形式为 , - 3a矗a 石 ( 删) + ( p u ，庐) = 二( l - v r - ) + & ( 1 1 4 ) o t dx|xix | 方程中的四项分别是非稳态项、对流项、扩散项以及源项，因变量m 可以代表速 度、焓、化学组分的质量分数等，k 是扩散系数，s 。是源项，对于特定意义的审， 具有特定的r 是和s 。控制方程在形式上与p a t a n k a r 6 卅提出的关于一般性流体力 学控制方程组一致，可以在通用的单相流c f d 软件上实现其数值求解。自b e n n o n 和i n c r o p e r a 建立起对流扩散固一液相变单相统一模型以来，包括b e n n o n 和 i n c r o p e r a 在内的许多研究者1 6 4 ”j 在模型完善、数值求解方法及工程应用方面做了 大量的工作，使之得到不断的充实和发展。c h i a n g 和t s a i 等人”j 在b e n n o n 和 i n c r o p e r a 统一模型的基础上建立了考虑收缩引起流体流动的模型。徐达鸣n 2 ，玛 等人也从多孔介质流体力学的概念出发，获得了与b e n n o n 和i n c r o p e r a 所建立的 模型类似的统一模型，利用基本变量法，通过对热能平衡方程和溶质平衡方程进 行t l c l f 。迭代求解，然后对动量方程和连续方程联立求解，与b e n n o n 和 i n c r o p e r a 的连续统一模型相比，该模型松弛了一些假设条件，但由于方程的各项 中均包含了一个变量一液相分数，求解难以在通用软件上实现，且其计算工作量 非常之大。近年来，一些研究者 7 4 ，”1 已将统一模型扩展到含有紊流场合的计算。 应用统一模型已计算出二元合金凝固过程中先前所观察或推测到的许多重 海交通人学博i 后站 h 篇 要特性f “”j ，如不规则固一液界面：枝晶问的滤流通道；宏观偏析特征等。 在应用单相统一模型的同时，有些研究者认为单相统一模型缺少对体系两相 问相互作用的综合考虑，因而发展了两相模型【7 9 制】。n i 和b e c k e r m a r m 7 9 1 采用体 积平均方法获得了一个描述多组份凝固过程的传输现象的一般模型，该模型以两 相法为基础，分别单独处理每一相，且每。丰目的传输办程相互独立，相削的相互 作用采用相问作用模型以显式的方式加入。基于体积平均理论获得的体积平均模 型与单相统一模型相比，松弛了固相不变形、枝晶热平衡( t s = t 。) 及固相内溶 质不扩散等假设，可以处理相间热与溶质非平衡，能够考虑固一液界面的微观几 何特征及相间应力等，因此，该模型适于微观组织形成过程的模拟计算。然而， 该模型需要同时求解两套完整的控制方程组。p r e s c o t t 等人【69 】认为在宏观传输计 算中，体积平均模型与单相统一模型是等价的。宏观传输是指不包含微观尺度上 的相间作用与非平衡，在有限尺寸的小体积内平均意义上的传输计算。在文献中， 固一液相变问题的数值模拟一般都是宏观传输的数值计算。 统一模型中糊状区内的流体流动，一般都采用了“多孔介质”假设来予以考虑 8 2 - 8 4 , 即把发生相变的固一液两相区假定为具有一定渗透率的多孔介质，在标准 的n s 方程中加入一达西阻力源项( d a r c ys o u r c e ) ，阻力源项一般表示为 s ：一尝“( 1 1 5 ) k 、 式中“是流速k 即为渗透率。在目前的数值计算中大多假定渗透率是液相分数 的函数，并且遵循k o z e n y c a r m a n 方程，即 k = k “z 3 o z ) 2 】 ( 1 1 6 ) 式中一为液相分数，硒是一个系数。从( 1 1 5 ) 与式( 1 1 6 ) 可见在纯液相区内， 斤= 1 ，此时渗透率k m ：而在纯固相区内，；= 0 ，渗透率k o ，固相区的 速度将近于0 。因此d a r c y 源项控制固相区的速度接近予0 ，而对液相区的速度 没有影响。 上述渗透率公式是基于多孔介质中的流体流动阻力得出的，一些研究表明， 对不同的合会，渗透率相差很大【8 5 ，8 6 】，许多研究者对控制糊状区内流体流动的源 项经验公式进行了改进 8 5 - 9 0 】。例如，f e l i c e l l i 等人【8 7 】在计算p b s n 二元合余垂直 凝固条件下通道偏析时，引入各相异性的渗透率；n a s t a c l 8 9 】研究热一溶质扩散对 宏观偏析的影响时，在渗透率公式中引入反映枝晶尺寸大小参量：v o l l e r 等人【9 0 】 提出了与潜热释放量成指数关系或线性关系的达西源项，并与基于 k o z e n y c a r m a n 方程的达西源项进行了对比。 总体看来，随着计算机技术和数值方法的发展，以及对固一液相变问题物理 绪论 现象认识的深入，固一液相变问题的数学模型从简单的以热传导方程为基础向综 合考虑相变过程中诸多因素的方向发展。从物理角度来看，固一液相变问题是复 杂、多样的，描述其过程的数学模型也还有待于进一步完善。 1 3 2 固一液相变问题的数值求解方法 带移动边界的固一液相变问题，已经提出了多种数值解法，一般可分为两大 类，一类是变网格或变区域法( v a r i a b l eg r i d d o m a i nm e t h o d ) ，另一类称为固 定网格法( f i x e dg r i dm e t h o d ) 。 a 变动网格法 变动网格法是显式跟踪所求相变界面的方法，它又包括区域变换( d o m a i n t r a n s f o r m a t i o n ) 法，非结构变网格( u n s t r u c t u r e dd e f o r m i n gg r i d s ) 法，局域适配( l o c a l a d a p t a t i o n ) 法等。 ( 1 ) 区域变换法区域变换法是通过自变量变换，即通过映象函数 = g ( x ，y ，t ) ；t 1 = r l ( x ，y ，t ) 对控制方程组进行变换，将不规则的物理域变换到规 则的计算域进行数值计算。变换后的方程求解可用有限差分法或有限元法等数值 技术实现。在这一方法中，映象函数的构造很重要，一般情况下，映象函数的构 造又非常复杂，只能对一些简单的情况写出映象函数的显式定义。从网格生成的 角度来看，它对应着一个网格生成的代数处理。对于一般的对流扩散相变问题， 必须在计算的每一个时间层次上求解一个耦合的网格生成微分方程，网格生成微 分方程的求解往往要比传输方程本身求解的代价还要高。因此，在实际计算中往 往要根据具体问题做某些假设，以简化映象函数= t ( x ，y ，t ) ：q = n ( x ，y ，t ) 的定 义。应用这一方法求解相变问题的例子有许多，例如p a g e d 6 0 】等人用这一方法计 算了水平管内熔化过程的传热问题：s p a r r o w 5 5 佣这种方法计算了围绕垂直圆管 的熔化问题。 ( 2 ) 非结构变网格法这种方法是对物理域直接构造非结构网格，在非结 构网格上对原控制方程进行离散求解 9 1 , 9 2 】。在求解的每一个时间层次上，用准静 态法( q u a s i s t a t i o n a r ya p p r o a c h ) 确定新的相变界面，准静态法是假定在两个相邻 的计算时刻t 与( 什t ) 之间，相变的界面是不动的，而在( t + x t ) 时刻采用更 新后的温度场和s t e f a n 条件来显式地确定相变界面。在一个时间层次上求解的第 二步是生成新的网格：第三步是将各变量插值于新的网格节点，然后返回至第一 步，直至收敛。 b 固定网格法 固定网格法是用一套固定的数值网格系统和一组物理域的外界条件获得固 一液相变问题的解，固相、液相及糊状区之间通过控制方程组隐式地耦台起来。 i 海交通人学博l j 后m 站撒告 该方法的求解过程不必跟踪相界，既适于等温相变问题，也适用于相变发生在一 定的温度范围内，即有糊状区的相变，如二元合余的相变；既可用于原始变量( 速 度一压力) 形式的控制方程，又可用于涡量流函数形式的控制方程：既可用有限 差分，又可用有限元数值方法，这种方法是目前固一液相变问题数值计算中应用 最普遍的方法。 采用固定网格方法求解对流扩散固一液相变问题时，由于固相、液相及糊状 区采用统一的控制方程，统一进行求解，需要特殊考虑固相区的速度值置为零的 问题。主要有源项法阢9 3 ，9 4 1 和变粘度( v a r i a b l ev i s c o s i t y ) 法1 9 们。如果控制方程中采 用了“多孔介质”假设，n s 方程中引入达西阻力源项，该阻力项在液相区为零， 在固相区为很大，这保证了固相区的速度的计算结果近于零。变粘度法也叫大粘 度法，该方法是对固相的单元加大粘度值，以使计算出的固相速度近于零可以 忽略不计，在文献一o 】中，整个计算域的粘度值根据下式来计算： 2 = ，+ b ( l 一6 h ，)( 1 1 7 ) 式中，为液相的粘度，b 是一个较大的系数，l 是相变潜热，阳，是潜热释放量。 从式中看出，当数值单元为液相时，由于8 1 - 1 ，= l ，= 肛，单元的粘度值就是 液相的的粘度值；当数值单元为固相时，掰，= 0 ，肛= t ，+ b l ，单元的粘度值 为一很大值。 变网格和固定网格作为固一液相变数值求解的两种方法，都有很多应用，一 些研究表明两者各有特色。v i s w a n a t h 和j a l u r i a 9 5 慵两种方法计算了矩形框内镓 的熔化其结论是，对于固定温度下发生相变的问题，变网格法比固定网格法计 算的精度更高，且计算时问更短，但对于存在糊状区的相变问题，固定网格法更 适合。l a c r o i x 和v o l l e r t ”j 进行了类似的工作，所得出的结论也相类似。 1 4 本论文思路及主要工作内容 目前国内对气膜连铸的研究，除个别厂家引进国外设备进行生产外，还局限 于实验室研究阶段。上海交通大学丌发了a i r - s l i p 气膜连铸结晶器，利用数值模 拟手段研究铸造速度与铸坯直径等因素对连铸凝固行为的影响，是制定合适工艺 并深入理解气膜连铸过程的简便、经济而可靠的辅助手段。本文针对开发气膜连 铸技术遇到的理论和工艺问题，对气膜技术展开数值模拟研究，主要研究内容是： ( 1 ) 建立气膜连铸凝固过程的数学模型和数值计算方法，并与相图结合纳 入宏观偏析的计算，丌发适用于气膜连铸研究的模拟软件： ( 2 ) 研究拉坯速度、铸坯直径和二次冷却等参数对凝固行为的影响，探讨 绪论 其对铸锭温度分布、液穴形状以及宏观偏析的影响舰律。 ( 3 ) 探究液穴内部的流动形态机理，并考察紊流模型及层流模型在气膜连 铸过程数值模拟中的适用性。 海叟通人学博i 。届站搬告 2 气膜连铸凝固过程的数学模型与数值求解方法 2 1 引言 气膜连铸凝固过程中伴随着许多复杂的物理现象，包括凝固前沿固液相界面 的移动以及合金液流动、凝固传热和溶质传输，且动量、能量以及溶质的宏观传 输现象对于最终浇铸产品的质量具有重要影响，在针对实际连铸生产过程的数值 仿真研究中必须对所发生的宏观传输现象进行全面的分析，同时还应该充分地考 虑到三种传输现象相互之间的影响效果。 连铸过程中合金液的流动包括由注入射流所引起的强制对流以及由热浮力 和溶质浮力所引起的双扩散对流，流场的分布直接影响了温度场和溶质浓度场的 分布以及凝固坯壳的形成和生长；连铸坯的凝固传热方式主要包括对流传热、传 导传热和辐射传热，温度场的分布直接决定了凝固区域( 液相区、固相区和两相 糊状区) 、固液相分数和液相密度场的分布状况，故将对合金液流动和宏观偏析 产生重要的影响；连铸坯中溶质的宏观传输将导致宏观偏析现象的形成，其根本 原因在于溶质元素在固液两相中的饱和溶解度有所不同以及凝固前沿固液相界 面处排斥出的溶质通过对流和扩散进行传输，溶质浓度场的分布直接决定了合会 液流动区域和凝固坯壳的分布。 本文采用固定网格方法来对移动固液界面进行处理，并基于单区域连续介质 模型的思想来建立连铸过程合金液对流、凝固传热以及溶质传输的三维耦台数学 模型，对连铸体系的宏观传输现象进行深入理解。 2 2 气膜连铸凝固过程的数学模型 2 2 1 基本假设 气膜连铸凝固过程很复杂，影响因素众多，为了能够建立描述其过程的数学 模型，有必要作出如下的假设： ( 1 ) 所研究的体系是a l 基二元合金，c u 是溶质，凝固过程溶质分配符合 a i c u 二元相图： ( 2 ) 液态金属是不可压缩牛顿液体； ( 3 ) 熔化区局域保持热力学平衡； t 膜连铸凝州过程的数学模型j 数值求斛方法 ( 4 ) 固相的速度为零( 这里不考虑拉坯作用) 。 2 2 2 控制方程组 连铸过程合金凝固是一个对流扩散固液相变问题，在求解区域内包含固 相、液相和糊状区( 固一液两相区) ，为便于求解，基于b e r m o n 和i n c r o p e r a i 州 的固一液相变统一模型，把固相、液相和糊状区( 固一液两相区) 看成是一个连 续的介质，用统一方程表示。由于气膜连铸是圆坯连铸，控制方程用圆柱坐标系 下轴对称的形式给出。在圆柱坐标系轴对称的情况下，以轴向z 和径向r 表示的 方程组如下： ( 1 )连续性方程 塑+ 1o ( r p u r ) i - 型：0( 2 1 ) o t，o ro z 式中，p 为混合密度；f 为时问：“，、“：分别表示径向和轴向上的混合速度分量。 混合密度和混合速度分别定义为： p = 恢a + p t p t ( 2 2 ) “，= f t u h ( 2 3 ) “：= 石“：， ( 2 4 ) 上式中，p 。和功分别表示固相的密度和液相的密度；“，和u z l 分别表示径向和轴 向上液相的速度分量；仍和妒，分别为固相体积分数和液相体积分数：正和石分 别为固相质量分数和液相质量分数。它们之间有如下的关系： f ：丛生 ( 2 5 ) j0 p 石：旦盟 ( 2 6 ) 尸 叩。+ ( p ，= 1 ( 2 7 )