（光学专业论文）模块网络的混沌斑图同步.pdf

摘要 摘要 非线性系统的研究在2 0 世纪6 0 年代取得了可喜的突破：一方面，对非线性演化方程的求 解有了进展，对浅水波方程研究中发现了“孤波”，进而发展起了一套系统的数学研究方法： 另一方面是在对天文学、气象学、生态学等若干自然科学领域一些相对简单的不可积系统的 研究中，发现了确定性系统存在着对初值异常敏感的复杂运动形式一混沌。与其它学科相 比，非线性学科还处于相对比较年青的阶段。但是她的重要性在许多学科中缛到体现。本文 主要研究内容： 第一部分用主稳定函数分析在规则和非规则网络中的全同振子的全局同步，首次计算了 单摆振子的主稳定函效的最大李雅普诺夫指数在复平面鲍关系图，及单摆振子在不同混沌态 下复平面关系图，并给出了不同网络结构下耦合强度的同步临界值。 第二部分是用同步误差研究模块网络的时空斑图同步。着重研究了构成模块网络的四类 双向耦舍的模型：一维周期边界的环、二维自由边界的方格子、随机网络和s c a l e - f e 网络 其中关于模块网络对应振子的斑图同步目前还未涉及主要研究了( 1 ) 网络结构大小对斑图 同步的影响。发现网络结构变大时斑图同步越难实现；( 2 ) 耦合两个模块网络间连接数对斑 图同步的影响，发现连接两个模块网络的连接数越少斑图同步越难实现；( 3 ) 振子摆长引入 d i o r d e r 后对斑图同步的影响( ，【o 9 9 8 ，1 0 0 2 ) ，发现在引入d i s o r d e r 后。斑图同步比全 同振子在同样的网络中更难同步；( 4 ) 此外还在非规则网络中，发现随机网络的内部连接几 率越小，并在s c a l e - f t e e 网络中发现内部网络参与连接的振子数越小时越难实现对应撮子斑 图同步；( 5 ) 最后是对内部耦合引入非对称性时，发现非对称性的引入能极大压缩斑图同步 时间 第三部分是用平均场理论分析模块网络全同振子的全局同步主要围绕s c a l e f r e e 网络 耦合成的模块网络进行研究数值计算的结果与理论预测在斑图同步后出现全局同步相符 台并且发现斑图同步和全局同步之间的临界区域非常小。说明斑图同步在网络同步中起到 一种过渡的中间状态 关键词：混沌：单摆模型；模块网络斑图同步：模块网络全局同步 a b s t r a c t t h ef i e l do fn o n i i n c a rd y n a m i c a ls y s t e m sh a sm a d es a t i s f i e db r e a k t h r o u g h si n1 9 6 0 s ： o nt h eo n eh a n d ，p r o g r e s sh a sb e e nm a d ei ns o l v i n gt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，”t h e s o f i t a r yw a v c ”h a sb e e nf o u n di nt h es t u d yo ft h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n sa n daf u r t h e r d e v e l o p m e n to f t h em a t h e m a t i c a lm e t h o d sh a v eb e e nm a d et o o ；o nt h eo t h e rh a n d ，i nt h e s t u d yo f t h e5 0 m e r e l a t i v e l ys i m p l en o n i n = g r a ls y s t e m s s u c h a s u o n o m y , m e t e o r o l o g y ，e c o l o g ya n do t h e rn a t u g a s c i e n t i f i ca r e a s ，f o u n dt h a tt h e r ea ma b n o r m a lf o r m s o ft h ec o m p l e xc a m p a i g nw h i c hs e n s i t i v et ot h ei n i t i a lc o n d i t i o n si nc e r t a i n t i e s s y s t e m s w h i c hw ec a t l i sc h a o s i nc o n l r a s tw i t ho t h e rd i s c i p l i n e s ，t h i sa r e ai ss t i h r e l a t i v e l yy o u n g ，b u tt h e r ei sn oq u e s t i o nt h a ti ti sb e c o m i n gm o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti na v a r i e t yo f s c i e n t i f i cd i s c i p l i n e s t h ef i r s tp a r to ft h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt os t u d yt h eg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o nw i t h t h em a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n ，i nt h er e g u l a ra n di r r e g u l a rn e t w o r k sc o u p l e db yt h ei d e n t i c a l o s c i l l a t o r s i ti st h ef i r s tt i m et h a tw ec a l c u l a t el h em “l y a p u n o ve x p o n e n to ft h em a s t e r s t a b i l i t yf u n c t i o no ft h ep e n d u l u mm o d e li nt h ec o m p l e xp l a n e , a n ds o m eo t h e rc o m p l e x p l a n e sf o rt h ei m d u l aw i 血d i f f e r e n tc h a o t i cc o n d i t i o n s w ea l c a l c u l a t et h ec r i t i c a l c o u p l i n gs _ 廿e n g t ho f s o m ed i f f e r e n tn e t w o r k s t h es e c o n dp a r to f t h ep r e s e n tt h e s i si st h es t u d yo f t h ep a t t e r ns y n c h r o n i z a t i o no f t h e m o d u l a rn e t w o r k s a n dw eu s et h es y n c h r o n i z a t i o no n a so u rr e s e a r c ht 0 0 1 w ef o c u so u r s t u d yf i l lt h ef o l l o w i n gn e t w o r k s ，s u c ha sl d 血挚、2 dl a t t i c e sw i t h6 b o u n d a r y c o n d i t i o n s 、r a n d o mn e t w o r k sa n ds c a l e - f r e en e t w o r k s w em u s ts u e s st h a tp a t t e m s y n c h r o n i z a t i o no ft h em o d u l a rn e t w o r k sh a sn o tb e e ns t a d i e dy e t t h ec o n c l u s i o nw eg e t i s ：( 1 ) p a t t e r ns y n c h r o n i z a t i o nb c c o m e sh a r d e ra st h es i z eo f t h em o d u l a rn e t w o r k sb e c o m e l a r g e r ；( 2 ) t h el e s st h eo s c i l l a t o r sa r ec o n n e c t e da tt h ec o r r e s p o n d i n gs i t e s ，t h em o r e d i 币c u l tt h ep a t t e r ns y n c h r o n i z a t i o nb e m e si ( 3 ) i f w ei n l a x ，d u e ed i s o r d e ri nt h ep e n d u l u m l e n g t h ( ，【0 9 9 8 ，1 0 0 2 】) ，p a t t e r ns y n c h r o n i z a t i o nb o c o m a sh a r d e r t h a nt h ei d e n t i c a l o s c i l l a t o r si nt h es a m en e t w o r k s ；( 4 ) p a t t e r ns y n c h r o n i z a t i o nb e c o m e sm o r ed i f f i c u l ta st h e i n n e rc o u p l i n g p r o b a b i l i t yi nt h er a n d o m n e t w o r k sb c o m es m a l l e ra n d 越e v e r yt i m es t e p w ea d dan “v e l t e xt o m d i f f e r e n tv e r t i c e sa 陴s m a l l e r ；( 5 ) w h e nw ei n u o d u c a a s y m m e u f yi nt h el n n c rc o u p l i n gs n e n g t h ，w ef i n dt h a tt h eu n s y n c h r o n i z a t i o nt i m ec a nb e d e c r e a s e da st h ec o u p l i n gs t r e n g t h 麻i n c r e a s e d t h el a s tp a r to ft h ep r e s e n tt h e s i si st h es t u d yo ft h eg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o ni nt h e m o d u l a rn c * ￥v o r k sw i t ht h em a i nf i e l dt h e o r y w ef o c u so u r s t u d y 0 1 1t h es c a l e - f r e en e t w o r k s 。 t h er e s u l to ft i l ec a l c u l a t i o no o i n c i d e sw i t ht h et h e o r e t i c a lp r e d i c t i o n a n dt h er e g i o n b e t w e e np a t t e ma n dg l o b a l s y n c h r o n i z a t i o n i s s m a l l ，w h i c ht e l l s u st h a t p a t t e r n s y n c h r o n i z a t i o ni sa l li n t e r m e d i a t es t a t et ot h eg l o b a is y n c h r o n i z a t i o n k e y w o r d s ：c h a o s ；p e n d u l u mm o d e l ；p a t t e r ns y n c h r o n i z a t i o ni nm o d u l a rn e t w o r k s ； 一o h a is y n c h r o n i z a t i o ni nm o d u l a rn e t w o r k s 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：盈塑竺日期： 2 0 0 7 - 1 2 5 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学 位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文 的公布( 包括刊登 研究生签名：期：2 0 0 7 - 1 2 - 5 第一章绪论 第一章绪论 1 1 选题背景和研究意义 混沌现象不但普遍存在于自然界中，而且它的发展对描述客观世界通用的数学物理方 法及其概念都带来了深刻的影响i i | 早在1 9 - 2 0 世纪之交，法国数学家p o i n c a r e ( 庞加莱) 在研 究天体力学中的三体问题时，把动力系统和拓扑学有机结合起来，发现三天问题( 如太阳、 月亮和地球三者的相对运动) 与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的于是， 1 9 0 3 年p o i n c a r e 在他的科学与方法 一书中提出了p o i n c a r e 猜想。他指出三体问题中 在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使p o i ：n c a r e 成为世 界上最先了解混沌存在的可能性的第一人1 2 1 。 1 9 6 3 年美国著名的气象学家洛伦兹( l o r e n ze 发表在不引人注目的大气科学杂志 上的论文确定性的非周期流1 3 1 并指出，在气候不能精确重演与长期天气预报无能为力之 间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联系他还认为一串事件可能 有一个临界点，在这一点上，小的变化可以放大为大的变化。而混沌的意思就是这些点无处 不在。这一研究清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本特征。这就是著名的 “蝴蝶效应”。7 0 年代混沌作为- - i j 新的学科而正式诞生。1 9 7 5 年，t y l i ( 李天岩) 和 j a y o r k e 在美国数学月刊上发表了周期三意味着混沌 4 1 的著名文章。深刻揭示了从有 序到混沌的演化过程，并被认为是对混沌的第一次描述，c h a o s 一词也自此被正式使用 混沌科学更是与其他科学相互渗透，使得它不仅在生物学、数学、物理学、化学、电子 学、信息科学、气象学、宇宙学、地质学以及经济学、人脑科学，甚至音乐、美术等多个领 域出现并得到广泛地运用比如，奔腾的急流、呼啸的疾风、缭绕的烟雾、声光的湍流、不 正常的心律、变化莫测的市场行情等等，这些都是世界上本质的非线性所导致的混沌的问 世，引发了探索非线性的一场革命，人们在令人望而生畏的复杂现象中，发现了许多出乎意 外的规律性混沌理论正在改变着人们观察和认识客观世界的思维方式，在哲学、艺术、教 育、经济、管理和人口发展诸多方面产生着深远影响。混沌作为非线性科学的主体，与在无 穷多自由度的复杂系统中可以促成规整性的孤子遥相呼应。从另一个极端向人们展示了在微 观和宏观两个层次上，由确定性方程描述的简单系统可以出现貌似无规则的运动。这一发现 进一步动摇了牛顿以来占主导地位的“机械决定论”混沌物理学家约瑟夫福特曾经预言， 东南大学硕士论文 混沌理论对科学思想的影响，最终将与相对论和量子力学相媲美，被称为2 0 世纪物理学上 的“第三次革命。他说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学则消除了 关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。” 混沌运动并不总是对宏观秩序起消极和破坏作用，在一定条件下它能产生相干运动，在 建立“序”上起着积极的创造性作用。因此。研究非线性条件下混沌产生的各种效应，进而 研究混沌运动产生的条件，机制及其应用便成为当前非线性科学发展的一个重要任务。作为 一门新兴的交叉学科，近几年来混沌科学在科学和工程领域中的应用研究发展迅速。特别是 混沌同步的发现。耦合非线性系统的合作行为多种多样，而同步应该说是其中的最基本现象 之一 同步现象的最早记录可以追溯到1 7 世纪惠更斯o - l u y g e n s ) 关于两个弱耦合单摆相位同步 的工作。他的关于耦合极限环系统的同步是最基本的一种同步1 9 9 0 年p e c o r a 与c a r r o l l 首 次提出通过建立驱动一响应系统的思想可以实现混沌同步，并以次思想建立了同步混沌系统 的实际电路。过去十几年的研究发现几种常见的混沌体系的同步有：完全同步( c s ) 、相位同 步( p s ) 、滞后同步皿s ) 、广义同步( g s ) 、间歇滞后同步( 几s ) 、完全位相同步( p s ) 等”。这里 主要说明前四种混沌同步1 4 给出了混沌同步的统一数学定义 定义l ：对于系统 p 爪五弘o ( 1 1 ) 【y = 五( x ，y ，t ) x r 4 ，y r ” 令z - - - - ( x ，力7 ，称系统( 1 1 ) 的轨道妒( z ，) 关于性质和毋同步，如存在与时间无关映 射h ：震。x r ”+ 彤，使得舰l 降【& ，, a i - - o 对于上述的统一定义，由h , g 。，g v 的不同情况可以给出四种不同同步的相应定义 定义2 ：对于系统 陆z o ，力 1 【y = 疋( 工，y ) 工置”，_ ，r 。 ( 1 2 ) 称系统( 1 2 ) 的两子系统达到完全同步，若m = ，且有觋i i x ( 0 一y ( f ) 0 = 0 ， e p x ( t ) y ( f ) 是( 1 2 ) 的解。 一2 第一章绪论 定义3 称系统( 1 2 ) 的两子系统达到滞后同步，若m = 押，且存在于时间无关常数f ，使得 ! 觋忙( ，) 一y ( f f ) 0 = 0 ，其中石( r ) 和y ( ，) 是( 1 2 ) 的解 定义4 称系统( 1 2 ) 的两子系统关于性质h 广义同步，若存在映射h ：r ”哼r ”连续。 使得骢瓶( z ( f ) 一y ( 功0 = 0 其中工( d 和) ，( f ) 是( 1 2 ) 的解 定义4 设系统( i 2 ) 的解茸o ) 和y ( t ) 为震荡型的。它们具有相位磊和唬，称两子系统为 ii 相同步，若存在两正整数。j ，v ，使得l k 磊一v 屯l 2 o ； 在本文中以后的讨论如不加说明同步一般就是指对应振子的完全同步。 早期的同步现象是在各种不同的人工制造的设备中发现和观察到的，如钟摆、乐器、电 力系统和激光系统等，并在电气和机械工程中有很多实际的应用。近几十年，对同步的研究 重心已经转移到各种生物系统的同步，如细胞核的同步变化，脑神经细胞的同步，心律随着 呼吸或者运动节奏调整及昆虫、动物和人类的各种各样的合作行为。研究同步现象主要有两 种基本方法：统计方法1 1 和动力学方法i ”1 统计方法研究的是在热力学极限( 哼0 0 ) 系 统的整体行为。动力学的方法则是在讨论振子数有限的情况下同步的动力学行为。但到目前 为止，大多数都只在讨论在热力学极限下的同步行为 物理体系中无序和噪声往往破坏时间和空间的规律性。但是最近在非线性体系的研究中 却发现了令人振奋的相反的现象。例如：在随机共振现象中，噪声的引入增强了一些非线性 体系传输信息的可靠性，嗓声可以消除模式震荡器的混乱并能促进延长阵列双稳态的同步： 在受驱动单摆振子组成的网络结构中引入摆长的无序可以抑制时空混沌和出现自组织行为 及引入初相角的无序可以出现规则的时空斑图和位相锁定现象。虽然非线性系统中的时空斑 图的同步研究刚刚起步，但是已经逐渐引起人们的重视，还有许多未知的问题有待深入研究， 还有大量的工作要做总之这是一个重要的、富有挑战性的课题，更有广阔的应用发展前 景 1 2 本文研究内容 本文工作主要分为三部分：第一部分是对不同网络结构下全同混沌单摆振子的全局同步 研究；第二部分是两个相同拓扑结构的模块网络的斑图同步的研究；第三部分是对相同拓扑 结构的模块网络的所有振子满足斑图同步后全同振子全局同步的研究。具体章节安排如下： 3 一 东南大学硕士论文 第一章：提出课题的研究背景及意义。混沌现象不但普遍存在于自然界中而且它的发展对 描述客观世界通用的数学物理方法及其概念都带来了深刻的影响。混沌时空斑图的 研究已经逐渐引起人们的重视。 第二章：简要介绍混沌及其基本概念，并且给出了定量描述混沌的基本方法：相空间重构、 l y a p o n o v 指数，这两种方法是用来判断混沌、混沌同步的稳定性的重要工具，在 本论文工作中占有举足轻重的地位。 第三章：介绍孤立单摆振子的动力学行为。 第四章：本文主体之一：用主稳定函数方法来研究不同网络结构的同步行为 第五章：本文主体之二：用同步误差分析模块网络对应振子的时空斑图同步。给出了规则和 非规则模块网络的各种制约因素对斑图同步的影响。这是本文最重要的一部分。 第六章：本文主体之三：用平均场理论分析模块网络所有振子的全局同步 第七章：对全文进行总结 1 3 参考文献 【1 】谢应齐，曹杰，非线性动力学数学方法。气象出版社2 0 0 1 【2 】郝柏林，分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其他【m 】物理学新进展，1 9 8 3 ，3 0 ) ：3 2 9 - 4 1 6 【3 e l o r e n z , d e t e r m i n i s t i c ：n o n - p e r i o d i c f l o w s 嗍j a t m o s p h e r e s s c i e n c e ，1 9 6 3 ，2 0 ：1 3 0 1 4 1 【4 】l i ty y o r k ej a ，p e r i o d t h r e e i m p l i e sc h a o s , a m e r m a t h m o n t h l y , 1 9 7 5 8 2 ：9 8 5 9 9 2 【5 1 s b o c g a l e t t i ，j k u r t h s ，g o s i p o v , d l v a l l a d a r e s ，c s z h o u t h es y n c h r o n i z a t i o no f c h a o t i cs y s t e m s ，p h y s i c sr e p o r t s3 3 6 ( 2 0 0 2 ) 1 1 0 0 6 b r o w n i t a n dk o c a r e vl a r e l y i n gd o f r u i t i o no fs y n c h r o n i z a t i o nf o rd y n a m i c a l s y s t e m s c h a o s2 0 0 0 ，1 0 ( 2 ) ：3 4 4 - 3 4 9 阴k u m m o t oy a n dn i s h i k a w alj o u r n a lo f s t a f f s t i c a lp h y s i c s ，1 9 8 7 ，4 9 ：5 6 9 【8 z h c n gz h gh ug a n dh ub p h a s es l i p sa n dp h a s es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e do s c i l l a t o r s 【刀，p h y s r e vl 1 9 9 s , 8 1 ( 2 4 ) ：5 8 3 t - 5 3 2 t 9 h ub a n dz h e n gz i n t e m a t i o n a lj o u r n a lo f b i f u r c a t i o na n dc h a o s2 0 0 01 0 ：2 2 9 9 - 4 第二章混沌及其定量描述 第二章混沌及其定量描述 2 1 混沌概述 我们用“混沌”来翻译“c h a o s ”。早在公元前5 6 0 年左右，中国古代思想家老子就有了 “道可道，非常道”之说，并初步提出了宇宙起源于混沌的哲学思想。易纬乾凿度给 混沌下了个定义：“混沌者。言万物相混成而未相离。”也即。气似质具而未相离者谓之浑 沌”。看来，混沌是一种未经分化的实在统一体，它蕴含万物，由万物相混而成，因而包含 着种种差异，并有内在地走向分化的可能。也就是说，混沌有混乱无序的一面，又内在地包 含着规则、有序的成分 2 1 1 混沌定义1 1 l 1 l i y o r k e 的混沌定义 l i - y o r k e 定义是影响较大的混沌的数学定义。它是从区间映射出发进行定义的，该定义 描述如下 l i - y o r k e 定理：设八功有3 个周期点，则对任何正整数疗，f o ) 有一个周期点。 混沌定义( l i - y o r k e ) ：区间i 上的连续自映射厂( 力，如果满足下面条件，便可确定它有 混沌现象： ( 1 ) f 的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意x ，y s - 并j ，时， 熙s l 】p l ，”( ，) 一，“( 力i o ( i i ) 对任意x , y s ，嬲i f i ，”o ) 一f 4 驯- - 0 ( 嫩) 对任意x s 和，的任意周期点y ，有密跫叫，1 ( x ) 一，“o ，1 o 该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征： ( 1 ) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。 2 m e l n i k o v 的混沌定义 5 - 东南大学硕士论文 在二维系统中，最具有开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。马蹄映射f 定义于平面区域d 上，f ( d ) i , - d ，其中d 由一单位正方形s 和两边各一个半圆构成。映射规则是不断把s 纵 向压缩( 压缩比小于1 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ，再弯曲成马蹄形后放回d 中。 h e n o n 映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集之交， 映射在这个不变集上里混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有 混沌 由h o l m e s 转引的m e l n l k o v 方法是对混沌的另一种严格描述。概括起来可表述为：如果 存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形横截相交，则必存在混沌。m e l n i k o v 给出了判定 稳定流形和不稳定流形横截相交的方法，但这种方法只适合近可积h a m i l t o n 系统 3 d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑意义下，混沌定义( d e v a n e y ) 为：设y 是一度量空间，映射，( 矿) 寸v ，如果 满足下面3 个条件便称厂在矿上是混沌的。 ( 1 ) 对初始敏感依赖。存在6 o 。对任意的占 0 和任意的z v ，在x 的j 邻域内存 在) ，和自然致以，使得d ( f 4 ( 曲，f 4 ( y ) ) 艿。 ( 2 ) 拓扑传递性。对矿上的任意对开集x ，y ，存在七 0 ，( j ) n y 妒( 如一映 射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的) ( 3 ) 厂的周期点集在y 中稠密 4 此外还有许多关于混沌的表述虽侧重点不同，但都是描述同一种现象： ( 1 ) i 定义混淹来源于确定性方程的无规律运动。 ( 2 ) 。混沌运动的研究主要涉及不带任何噪声输入的有序系统。混沌运动的发生不需要无 限数量的自由度，也不需要外部的扰动。由非常简单函数或微分方程决定的动态系统的 未来状态，可以是混沌的。如果系统状态用状态空间上的点来表示的话。那么，相邻点 简单地指数式分离而全局受限就产生混沌。 ( 3 ) 。仅具有几个元素的简单确定性的系统能够产生随机行为。这种随机行为是本质上的， 收集更多的信息并不能消除它以这种方式产生的随机行为就称为混沌。 ( 4 ) 。对于一个非保守动力学系统，如果在一个吸引子上的典型轨迹具有对初始条件的敏 感依赖性，则就说该系统是混沌的。 ( 5 ) 。混沌是没有周期性的序。 一6 一 第二章混沌及其定量描述 ( 6 ) 。混沌是非周期性的、是具有渐进的自相似的有序现象。 2 1 2 混沌运动的基本特征1 l 与其他复杂现象相区别。混沌运动有着自己独有的特征主要有： ( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称为 混沌吸引域无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整体 上来说混沌系统是稳定的 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道经过 混沌区内每一个状态点 ( 3 ) 内随机性。一定条件下。如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，该系统被 任为具有随机性 ( 4 ) 分维性。是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。分维性表示混沌运动状态具 有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构 ( 5 ) 标度性。是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或实验设 备精度足够高，总可以在小尺度的混沌的混沌区内看到其中有序的运动花样 ( 6 ) 普适性所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，它 不依具体的系统方程或参数而变 ( 7 ) 统计特征。正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等对于非线性映射而言，l y a p u n o v 指数表示撑维相空间中运动轨迹沿各基向量的平均指数发数率，当l y a p u n o v 指数小于零时， 轨道间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点：当l y a p u n o v 指数大于 零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动状态对应于混沌状态；当iy a p l m o v 指数等于零时，各轨道闻的距离不变，迭代产生的点对应分岔点( 郎周期加倍的位置) 2 1 3 通向混沌的道路1 1 】定域场中粒子运动由周期通向混沌 的道科 目前研究发现通向混沌的道路有5 种：准周期道路、倍周期分叉道路、阵发( 间歇) 道 路、以及k a m 环面破裂、茹勃泰肯道路通向混沌 1 准周期道路 在保守系中，粒子运动由准周期道路通向混沌 一7 东南大学硕士论文 2 倍周期分叉道路 系统运动变化的周期行为是一种有序行为，但在一定的条件下，系统经过周期加倍会 逐步丧失周期行为而进入混沌。在耗散系中，粒子运动由倍周期分贫过渡到混沌。 这条道路是由分形理论创始人b ，b m a n d e l b r o t 和p _ m y l b e i g 等一批科学家共同努力发 现札 3 阵发( 间歇) 道路 在非平衡非线性的条件下，某关键参数的变化达到一定得临界阈值时系统就会出现 时而有序、时而混沌的随机震荡，这种现象称阵发混沌，当参数超过临界值时，系统发展成 完全的混沌。这是由法国科学家y p o m e a u 和p m a n n e v i l l e 于1 9 8 0 年提出的一条通向混沌 的道路故又称p m 类问歇道路。 4 k a m 环面破裂 k a m 定理指出，近h a m i l t o n 系统的轨线分布在一些环面( 称为k a m 环面) 上，它们 一个套在另一个外面，而两个环面之内充满着混沌区。它在法向平面上的截面称为k a m 曲 线。 5 茹轨泰肯道路通向混沌。 物理学家彭伽勒早已发现。三体相互作用会进入混沌。茹勒和泰肯研究证明：当系统内 有不同频率的振荡互相耦合时，系统就会出现新的耦合频率的运动，混沌状态可以看做有无 穷多个频率耦合的振动现象 2 1 4 混沌的分类1 2 】 从混沌的类型上一般可以分为四大类：第一类时间混沌。只存在与时问演化有关的1 混沌： 第二类空间混沌，只存在与空间位置变化有关的混沌；第三类时空混沌，同时在时间上与空 问上都呈现混沌。还可以包括生物体内产生的功能混沌：第四类超混沌，往往与时空混沌相 关。 2 2 常见的几种研究混沌的方法 本节将绘出几种分析系统混沌运动的定性署珏定量的方法。郾从定性移定量的角度来刻画 混沌的方法。这里主要介绍庞加莱截面、相空间重构、李雅普诺夫( l y s p u n o v ) 指数和功率 谱分析方法 一皇- 第二章混沌及其定量描述 1 庞加莱截面例 庞加莱截面法是由法国数学家庞加菜提出来的。它可以将一个复杂问题简化处理，在 多维空间“，五9 o0 9 毛，毛) 中适当选取一个截面，这个截面可以是平面，也可以是曲面。然 后考虑连接的动力学轨道与此截面相交的一系列交点的变化规律，并由此可以得到关于运动 特征的信息。不同的运动形式通过截面时，与截面的交点有不同的分布特征 ( 1 ) 周期运动在此截面上留下有限个离散的点。 ( 2 ) 准周期运动在此截面上留下一条封闭的曲线 o ) 对于混沌运动，其庞加莱截面上是沿一条线段或曲线分布的点集，而且具有自 相似性的分形结构 一般有两种方法计算p o i n e a r e 截面，对于周期驱动酶系统而言，p o i n c a r e 截面可以通过 每间隔周期r 采样系统变量来计算，这种方法已经被进一步的发展成分频采样法。应当指出 这种方法具有很大的局限性，它只适用于周期激励的非自洽系统，对于一些含有时间激励的 自治系统，这种方法无法给出p o t c a r e 截面的另一种方法是在相空间上直接截取某个面如 z = 0 作为p o i n c a r e 截面为了避免在取截面时的内插误差，m _ h e n o n 提出一个非常有效的 方法： ，l ( z ，y ，z ) ，2 ( 耳_ ) ，：) ，( j ，y ，：) 设z = o 为p o i n c a r e 截面，假定在f 。时刻，我们有第弗步毛，咒，磊 0 很明显截面一定发生在这两步之间，那么我们把变量f 变 成z 。则求截面的方程为： 旦三- ；z ! l ! ! z ：12 d ： f 3 ( j ，y ，：) 业：21111112 ( 2 2 2 ) d = f ，( j ，) ，：) dt1 d ： f 3 ( z ，_ ) ，：) 把z 作为新的积分变量，积分步长为z 一- - - 1 乙+ l ，积分初值为：毛+ i ，以+ l ，t + f ；反向积 分方程( 2 2 2 ) ，我们可以得到在p o i n c a r e 截面2 = 0 的其余变量的值。 2 相空间重构 为了构造相空间，需要同步测出一切自变量的时间序列。但实际问题中，我们往往可以 - 9 东南大学硕士论文 得到一个等时间间隔的单变量的时间序列。单纯从时间序列去判断混沌是不够的，而混沌运 动至少要在三维自治动力系统中才能出现。因此，我们要把时间序列扩展到三维或更高的相 空间中去，才能把时间序列的混沌信息充分显露出来，这就是时间序列的重建相空间。 1 9 8 0 年p a c k a r d 等人提出了由一维可观察量重构一个“等价的”相空间，来重构系统 的动态特性。f t a k e n s 则从数学上为其奠定了可靠的基础。他的基本观点是：相空间重构法 虽然是用一个变量在不同时刻的值构成相空间，但动力系统的一个变量随时间的变化隐含 着整个系统的动力学规律。因此重构的相空间的轨线也反映系统状态的演化规律唧 其做法如下：得到某一变量的时间序列( z ( 七) ，k i i l ，2 ，) ，再适当选取某一时间延 迟量f 。其中f 为采样周期的整数倍，取工( 七) ，x ( k + 力，“k + ( 脚一1 ) f ) 为坐标轴，重新构 建m 维相空间，并利用先前测得的时间序列画出系统在这一m 维相空间的轨迹1 4 1 重构空间中的轨迹可以反映系统运动状态的演化规律对于定态。重构相空间的轨迹是 一个定点 对于周期运动，重构相空间中的轨迹是有限个点：而对于混沌运动，重构相空问 中的轨迹是一些具有一定分布形式或结构的离散点 3 李雅普诺夫( l a y p u n o v ) 指数 混沌对初值极端敏感，相邻近的两条轨道会按指数分离可看成两条轨迹之间的。距离” 被“拉长”。由于奇怪吸引子为有限相空间，相轨迹间的距离也会被。压缩”，l y a p u n o v 指 数就是长时间计算相空间相邻两轨道的拉长和压缩的平均速率。 假定在初值为i ( o ) 的条件下- 沿相轨迹经时向t 运动至毛( f ) 当初值为 易( o ) = 墨( o ) + ( 0 ) 时，系统将沿另一条相轨迹运动，经时间t 运动到 毛( ，) = 蜀( f ) + 五( f ) 在r = o 时，相空间的两条轨迹相距很近，即陋( o ) f 很小在r 时刻- 两轨迹相距陋( f 1 ，两条轨迹按指数分离嘲，即 i 五( f ) | = l 五( o ) i c x p ( 2 2 3 ) l a y p u n o v 指数为上：1 1 n 婆掣 ( 2 2 4 ) t 陋( o ) l 式中。因子l i t 有平均速率的意义。取足够长的时间沿着整个相轨迹考察，在0 和t 之 间的时间顺序划分为f o = o ，t l ，t 2 ，f ，l ，n 足够大，相应的得到两轨迹之间距离演化的 时间序列 一t n 第二章棍沌及其定量描述 五( f 。) ，x ( t 。) ，x ( t ：) ，五( f 。一。) ，五( f ) 对应的模为 ( f o ) ，a c t l ) ，a ( t 2 ) ，( f “) ，a ( t 。) ( 2 2 6 ) 其中，a ( t o ) = ( o ) ，以) = a ( f ) 。 将( 2 2 5 ) 简记为 ( o ) ，a 1 ( 0 ) a 2 ( o ) ，a ( o ) ，a ( 0 ) 于是堕丛可以改写为 陋( 0 ) i 盟：生：垒生垒生 ( 0 )o oa i，一2 a - l 将( 2 2 8 ) 式代入( 2 2 4 ) 式，对整个相轨迹取f - - h 的极限，可得 = 隐h 黜 ”。， ( o ) l ： i m - l i n i 生一a 2 垒笠i 4 t l 厶oa i 。- 2 。1j 地t - - , 。ts - i 岛 ( 2 2 7 ) ( 2 2 。8 ) ( 2 2 9 ) 一般来说，系统在相空间中有个独立变量，可以求出相应的n 个l y a p u n o v 指数， 按数值大小排列厶l 2 芝“一l “其中，三1 称为最大的l y a p u n o v 指数。 按上述的基本方法我们可以计算差分方程组，微分方程组和时间序列的l y a p u n o v 指 数1 6 。l y n p u n o v 的指数的符号在区分吸引子的性质很有用，以3 维动力学为例对稳定不 动点，3 个l y a p u n o v 指数都是负的，即l y a p u n o v 指数的符号为( 一，一，一) ，表示在三个 方向上都收敛；对于极限环l y a p u n o v 指数的符号为( o ，0 。一) ，表示沿极限环方向轨道 既不收敛也不发散，而在其它两个横截极限环方向轨道收敛到极限环上；对于极限环面 l y a p u n o v 指数为( 0 一，一) - 两个l y a p u n o v 指数为0 表示两个频率q ，吼的准周期运动 而对于混沌运动至少有一个l y a p u n o v 指数大于零如l o r e n z 混沌系统在参数为 盯= 1 6 ，- = 4 5 9 2 ，b = 4 0 时，通过实际计算的l y a p u n o v 指数为( 2 1 6 ，0 0 0 ，- 3 2 4 ) 。而r o s s l e r 混沌系统在参数为a = o 1 5 ，b = 0 2 ，c = 1 0 0 时l y a p u n o v 指数为(